固体物理(2011) - 第1章晶体结构 2 倒格子

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固体物理第1章晶体结构2

图1-3-4晶面簇
等效晶面(不同于晶面簇):由于晶体的对称性,晶体在这些晶面等效晶面(不同于晶面簇): ): 上的具有完全相同的性质
图1-3-5立方晶系晶面及等效晶面
晶面指数(密勒指数): 晶面指数(密勒指数):把晶面在坐标轴(基矢)上的截距的倒数 ): 的比简约为互质的整数的比,所得的互质整数就是晶面指数. 下面说明晶面指数的互质性及对晶面表示的合理性. (1)合理性描述一个平面的方位可以由其方向余弦.设一晶面簇的面间距为d,其法线方向的单位矢量为 n ,则晶面簇中离开原 x 点的距离等于md的晶面的方程式为: n = md . 这里m x 为整数, 为晶面上任意点的位矢.若此晶面和坐标轴的交点的位矢分别为: r a 1 , s a 2 , t a 3 则有:
ra1 cos( a1 , n ) = md sa 2 cos( a 2 , n ) = md ta cos( a , n ) = md 3 3
于是
1 1 1 cos( a1 , n ) : cos( a 2 , n ) : cos( a3 , n ) = : : r s t
此即方向余弦之比等于截距倒数之比.
晶向, §1-3 晶向,晶面和它们的标志晶列:布拉菲格子联成的相互平行的直线簇. 晶列: 晶向:晶列的方向.
图1-3-1 晶列,晶向
若从一个格点沿晶向到最邻近的格点的位移矢量为: l1 a 1 + l 2 a 2 + l 3 a 3 则晶向可用一组[l1,l2,l3]表征,这组数称为晶向指数.
→晶面包含了所有的格点,因此基矢端点必落在该晶面簇的某些平面上,设 a 1 , a 2 , a 3 的末端上的格点分别落在离原点的距离为h1d,h2d,h3d的晶面上(这里h1,h2,h3均为整数), 因:

固体物理 chapter 1

晶格：小球代表晶体中原子（离子），直线将小球连接而
构成晶体的格子。
布喇菲晶格：由同种原子组成，每个原子周围环境相同。
晶格
两种或两种以上的原子组成的晶格。复式晶格
由相同的一种原子组成，每个原子周围环境不同。
一、晶体结构的重要概念
1、配位数：一个粒子周围最近邻粒子数。
由于密堆积的粒子大小相同，所以最大，CN=12。如果粒子大小不同，则不能形成密堆积，配位数小于12。
Rl ma nb lc
4、惯用元胞体积
a b c

1.2 晶格的基本类型
根据惯用原胞基矢的长短与夹角不同，可分为七大晶系。
三斜单斜正交三方
abc

a b c 90
abc
a bc
90
惯用元胞的体积 a3
惯用元胞
一个惯用元胞包含格点数 4
SC
初基元胞
惯用元胞
c
a
b
a1 ai a2 aj a3 ak
a ai b aj c ak
a
3
a
3
1个原胞包含格点数 1
bcc
初基元胞
惯用元胞
c
a
Y
六角蜂房结构的晶格
a2
3 a1 ai 2 3 a2 ai 2
X
3 aj 2 3 aj 2
a1
a
一个初基元胞包含一个格点（两个原子）
例一维晶格（1） a n
基元
空间点阵
a1
基矢
a ai
一个初基原胞包含1个格点——1个基元——1个原子

固体物理学：第一章晶体结构1-2

4
——
a1
a 2
(
j
k)
a2
a 2
(k
i)
a3
a 2
(i
j)
晶胞中只包含4个格点
—— 晶胞体积是原胞的4倍
1. 2 简单格子和复式格子我是哪种简单格子——晶体的原胞只格含一子种？粒子，这些粒子的化
学成分和所处的化学环境相同
复式格子——晶体的原胞由两种或三种以上粒子组成
1. 2.1 体心立方结构晶体
复式格子
例子：立方系ZnS晶体的结构化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
Zn : 000, 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0 22 2 2 22
S:1 1 1,1 3 3,31 3,3 31 444 444 444 444
1. 2.5 氯化钠结构
基元由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体(通过离
—— 描写晶体中粒子排列的紧密程度
密堆积 —— 晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球这些全同的小圆球最紧密的堆积
密堆积所对应的配位数 —— 晶体结构中最大的配位数
两种堆积方式 —— 六角密积，立方密积
六角密积
—— 全同小圆球平铺在平面上，任一个球都与6个球相切。每三个相切的球的中心构成一等边三角形
格点动画
1. 1.3 布拉菲格子布拉菲格子（空间晶格） ——格点在有规则周期性排列构成的阵列
布拉菲格子+基元=晶体结构
1. 1.4 原胞与晶胞(动画114)
原胞——组成晶体的最小周期平移单元
原胞基矢——原胞的边长矢量 a1, a2, a3
晶胞——组成晶体的体积较大的结构重复单元
晶胞基矢——原胞的边长矢量

固体物理§1.5倒格子

r r r Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。，
9
r 3.倒格矢 Kh和面间距的关系倒格矢晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。为晶面族中最靠近原点的晶面。晶面为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 r a1 = ⋅ h1
r r r r r Kh a1 ⋅ h1b1 + h2b2 + h2b3 r = r Kh h1 Kh
( Ω Ω＝2π )
∗
3
3 r r r (2π ) (a a ) [(a a ) (a a )] r r r r r r ∗ Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 ) = 2× 3 ⋅ 3× 1 × 1× 2 3 Ω r r r r r r r r r 利用： A 利用： × (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C r r r r r r r r r r r r r (a3 × a1 ) × (a1 × a2 ) = [(a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 = Ωa1
1
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系倒格子基矢和正格子基矢之间的关系
r r r r r r 正格子基矢： a 正格子基矢： 1、a2、a3；倒格子基矢： 1、b2、b3; 倒格子基矢： b
晶面族： a d 晶面族： 1a2、a2a3、a3a1的面间距分别为 3、d1、d2;
r b3
r a3
r b2
3.倒格矢和正格矢的关系倒格矢和正格矢的关系
r r r r r r r r Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)

(参考资料)固体物理习题带答案

D E ( ) ，其中，表示沿 x ， y ， z 轴的分量，我们选取 x ， y ， z
沿立方晶体的三个立方轴的方向。
显然，一般地讲，如果把电场 E 和晶体同时转动， D 也将做相同转动，我们将以 D' 表示转
动后的矢量。
设 E 沿 y 轴，这时，上面一般表达式将归结为：Dx xyE, Dy yyE, Dz zy E 。现在
偏转一个角度 tg 。（2）当晶体发生体膨胀时，反射线将偏转角度
tg ，为体胀系数
3
解：（1）、布拉格衍射公式为 2d sin ，既然波长改变，则两边同时求导，有
2d cos ，将两式组合，则可得 tg 。
（2）、当晶体发生膨胀时，则为 d 改变，将布拉格衍射公式 2d sin 左右两边同时对 d
考虑把晶体和电场同时绕 y 轴转动 / 2 ，使 z 轴转到 x 轴， x 轴转到 z 轴， D 将做相同
转动，因此
D'x Dz zy E
D'y Dy yyE
D'z Dx xy E 但是，转动是以 E 方向为轴的，所以，实际上电场并未改变，同时，上述转动时立方晶体
的一个对称操作，所以转动前后晶体应没有任何差别，所以电位移矢量实际上应当不变，即
第一章：晶体结构 1．证明：立方晶体中，晶向[hkl]垂直于晶面(hkl)。
证明：晶向 [hkl] 为 h1 k2 l3 ，其倒格子为
b1
2
a1
a2
a3
(a2 a3 )
b2
2
a1
a3 a1 (a2 a3)
b3
2
a1
a1
a2
(a2 a3)
。可以知道其倒格子矢量

固体物理第一章总结

第一章晶体结构1.晶格实例面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3??氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n] 晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅= 简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k⎧=⎪=⎨⎪=⎩体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。

固体物理-第一章

•

ai
aj
ak
•
•
•
•
顶角8个格点→8×1/8=1个原子；→平均包含1个原子
原胞的体积 V a1 (a2 a3 ) a3
➢晶体的周期性
面心立方晶胞
晶
胞
的
ABC ABC 排列（立方密堆）
选
取
a1

a 2
jk
顶角8个格点→8×1/8=1个原子；面心6个原子→6×½=3个原子；→平均包含4个原子
1.1 晶体的周期性
1.1.1 常见的晶体
沸石晶体
方沸石
化学式：RR[Alx+2ySin-(x+2y)O2n]·mH2O含水架状结构铝硅酸盐矿物，单斜和正交（斜方）晶系为主。式中R代表碱金属离子，基本上为K+或Na+。
菱沸石
纯净的各种沸石均为无色或白色，但可因混入杂质而呈各种浅色。玻璃光泽。解理随晶体结构而异。沸石的晶体结构是由硅（铝）氧四面体连成三维的格架，格架中有各种大小不同的空穴和通道，具有很大的开放性。碱或碱土金属子和水分子均分布在空穴和通道中，与格架的联系较弱。不同的离子交换对沸石结构影响很小，但使沸石的性质发生变化。晶格中存在的大小不同空腔，可以吸取或过滤大小不同的其他物质的分子。工业上常将其作为分子筛，以净化或分离混合成分的物质，如气体分离、石油净化、处理工业污染等。此外沸石还具有独特的吸附性、催化性、离子交换性，离子的选择性、耐酸性、热稳定性、多成份性、及很高的生物活性和抗毒性等。
1.1.3 基本概念
晶体的特点：晶体具有规则的几何外形，固定的熔点，某些晶体具有一定的解理性。
周期性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复的性质，称为晶体结构的周期性。

倒格子——精选推荐

a
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。

固体物理学：关于几个结构的倒格子

注意：晶向指数和晶面指数都依赖于晶轴的选取。
(010)
从晶面指数的图可以看出，密勒指数简单的晶面，如（100）（110）等，它们的面密度较大，面间距d也较大，因为单位体积中原子数目是一定的。
结束
例：简单立方晶格的倒格子
例：体心立方(bcc)晶格的倒格子体心立方晶格的初基平移矢量
其原胞的体积
例：面心立方(fcc)晶格的倒格子面心立方晶格的初基平移矢量
总结倒格子基矢的性质
1、正倒格子基矢的关系 bi a j 2 ij
2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3
倍。
* (2 )3
倍，这个矢量一定是倒格矢。
2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。
5.晶面指数和面间距在一组（或一族）平行的晶面中，两相邻
晶面间的距离称为面间距。
通常把米勒指数为（hkl）的一组晶面的面间距记为dhkl，对于不同晶系，可以求得米勒指数与面间距的关系式。
( * b1 (b2 b3 ) 为倒格子原胞体积。）
3、倒格矢 K h 是晶面指数为（h1，h2，h3）所对应的
晶面族的法线。
4、倒格矢 K h 于晶面间距 d h1h2h3
关系为 Kh
2
d h1h2h3
5、正格矢 Rl 与倒格矢 K h 的关系 Rl Kh 2 m
（m为整数）
理解： 1、如果有一矢与正格矢点乘后等于2π的整数

固体物理答案

第一章晶体结构1.1、（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.3证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r213422()()4a b i j k i j k a aππ∴=⨯⨯-++=-++r r rr r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

固体物理学倒格子

(2π ) v v v v = 2 ( a2 × a3 ) ⋅ a1 v0
3 * 0
(2π ) v = v0
* 0
3
01 04 倒格子 —— 晶体结构
2) 正格子中一簇晶面 ( h1 h2 h3 ) 和
v Gh1h2h3 正交
v v v v Gh1h2h3 = h1b1 + h2b2 + h3b3
—— 积分在一个原胞中进行
01 04 倒格子 —— 晶体结构
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
v v v * v0 = b1 ⋅ (b2 × b3 )
3
v v v v v v v v v A × B × C = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B )C
(2π ) v v v v v v = ( a2 × a3 ) ⋅ ( a3 × a1 ) × ( a1 × a2 ) 3 v0
v v v a2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3
v v v v v v a3 × a1 a1 × a2 b2 = 2π v v v b3 = 2π v v v a1 ⋅ a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
v v v 以 b1 , b2 , b3 为基矢构成一个倒格子
01 04 倒格子 —— 晶体结构
v 3) 倒格子矢量 Gh1h2h3 为晶面( h1h2 h3 ) 的法线方向
v v v v 晶面方程 ( h1b1 + h2b2 + h3b3 ) ⋅ x = 2πn
各晶面到原点O点的距离
v v v (2π n ) / h1b1 + h2b2 + h3b3
v v ai ⋅ b j = 2πδ ij

固体物理第一章总结

固体物理(黄昆)第一章总结(总5页)页内文档均可自由编辑，此页仅为封面第一章晶体结构1.晶格实例1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等1.5金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度0.34晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构2.1基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞2.2维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n]晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅=4.1简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k ⎧=⎪=⎨⎪=⎩4.2体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体4.3面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.1对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)5.2六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象5.3对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。

固体物理基础第1章-晶体结构

ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体？研究固体的思路？复杂到简单
为什么从研究晶体开始？原胞的选取唯一吗？
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化学性质完全等价 • 复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相同的，就是他们的结构完全相同！

数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分
的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体：实际晶体的数学抽象以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完全相同的方式无限地排列而成 • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 • 晶格（点阵）：格点（结点）的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有？个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞

第一章-晶体结构-《固体物理学》黄昆-韩汝琦

6. 几种化合物晶体的晶格 1) NaCl晶体的结构氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成
16 /16
第一章晶体结构
晶体：在微米量级的范围是有序排列的 —— 长程有序
—— 在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体时对应一定的熔点
晶体的规则外形
—— 最显著的特点是晶面有规则、对称地配置 —— 一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
01/ 28
不同生长条件下NaCl晶体的外形___b, c, d
—— 20世纪三十年代，建立了固体能带论和晶格动力学
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
10 /16
—— 固体能带论说明了导体与绝缘体的区别，并断定有一类固体，其导电性质介于两者之间______半导体
—— 20世纪四十年代末，以诸、硅为代表的半导体单晶的出现并制成了晶体三极管______ 产生了半导体物理
体心立方晶格中，A层中原Байду номын сангаас球的距离等于A－A层之间的距
离，A层原子球的间隙 —— 0.31r0
r0 —— 原子球的半径
—— 体心立方晶格结构的金属
Li、Na、K、Rb、 Cs、Fe 等
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
10 / 28
体心立方晶格结构金属 —— Iron
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
钙钛矿结构 —— 钛酸钙（CaTiO3）结构 —— 重要介电晶体钛酸钡（BaTiO3）锆酸铅（PbZrO3）铌酸锂（LiNbO3）钽酸锂（LiTaO3）等

北京航空航天大学《固体物理》 (1)

第一章晶体结构
(Crystal Structure)
1.1 晶体结构的周期性 1.2 典型晶体结构类型 1.3 对称性和布拉维格子的分类 1.4 倒格子/倒易点阵 1.5 晶体结构的实验确定
理学院物理系沈嵘
1
1.1 晶体结构的周期性
1.1 晶体结构的周期性
一布拉维格子（布喇菲格子）
“基石”的重复规则排列 → 微粒在空间按一定方式排列
（4）简单六角（simple hexagonal,sh)
av1 = axˆ
av2 av3
= =
a xˆ 2 czˆ
+
3a yˆ 2
4 维格纳-塞茨（Wigner-Seitz,WS）原胞
反映晶格全部对称性且体积最小的重复单元。以任一格点为中心，以这个格点与其近邻格点连线的中垂面为界面围成的最小多面体。
1 基元（basis)：构成
晶体的最小重复单元。 (原子或原子团)
2
1.1 晶体结构的周期性
2 阵点(基点、格点) (lattice site) ：
把基元抽象成点，代替基元在晶体中的位置。
3 晶格(点阵)(crystal lattice)：晶体的内部
结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这些点子在三个不同方向连成直线，就形成一个网格，称为晶格、点阵或格子。
cubic,
bacv1c)=
a 2
(−
xˆ
+
yˆ + zˆ)
av2
=
a (xˆ
2
−
yˆ
+
zˆ )
（3）面a心v3 =立a2方(xˆ(+fayˆc−e-zˆc)entered

固体物理基础第1章结晶学理论

1.6中，我们先把这第一层密排原子面标注为A，其中的原子间隙可以区分为三角形开口朝上和朝下的两种，并分别标注为B和C，显然，在A层原子面上堆积第二层密排原子面时，原子只能占据B位置或C位置中的一种，而不可能同时占据。如果第二层密排原子面占据的是B位置(称之为B层)，那么可以想象，B层上的原子间隙又会对应A位置和C位置，即第三层可以排C层原子，也可以排A层原子，以此类推。根据晶格周期性的特点，我们就可以得到两种最典型的密堆积结
24
第1章结晶学理论
图1.11 闪锌矿结构的重复单元
25
第1章结晶学理论 1.1.8 钙钛矿结构
自然界中很多ABO3型化合物材料，如钛酸钡(BaTiO3)、钛酸锶(SrTiO3)、铬酸锶(SrCrO3)等，都具有如图1.12所示的典型的重复单元，统称为钙钛矿结构。以钛酸钡为例，立方体的8个顶角各有一个Ba原子，6个面心各有一个O原子，体心位置上是一个Ti
34
第1章结晶学理论 1.2.2 布拉菲格子
为了进一步从数学上研究晶体结构的共性，如果我们不考虑基元的具体细节(内容)，而将其抽象成数学上的点(称为阵点或格点)，那么由于晶格的周期性，这些点也将在空间
叫做布拉菲(Bravias)格子(或者简写为B格子)，如图1.16所示。
35
第1章结晶学理论
1.2.1 基元基元是指组成晶体的基本结构单元，基元中所包含的原
子数应当等于晶体中原子的种类数，其中化学成分不同或化学成分相同但“周围环境”不同的原子应视为不同种类的原子。晶体就是由大量完全相同的基元在空间按照一定方式作
31
第1章结晶学理论对基元的概念进行理解时最关键的就是“周围环境”，
图1.16 空间点阵和布拉菲格子

固体物理第一章

3、晶格分类
① 简单晶格：
性质：每个原胞有一个原子 → 所有原子完全“等价 ” 举例：具有体心立方晶格的碱金属具有面心立方结构的 Au, Ag,Cu 晶体
② 复式晶格：
性质：每个原胞包含两个或更多的原子 → 实际上表示晶格包含两种或更多种等价的原子或离子
结构：每一种等价原子形成一个简单晶格; 不同等价原子形成的简单晶格是相同的
3· 注意：复式晶格的原胞 = 相应的简单晶格的原胞原胞中包含每种等价原子各一个 4· 原胞：B 原子组成的面心立方原胞 + 一个A原子
金刚石晶格的原胞
六、氯化钠(NaCl)结构
1· 特点：NaCl 结构的布拉伐格子是 fcc 格子基元 = Na+ + Cl- (相距半个晶格常数) 2· 堆积方式: Na+ + 和 Cl-本身构成面心立方晶格 NaCl晶格 → Na 和 Cl- 的面心立方晶格穿套而成
非晶体
第二节一些晶格的举例
学习内容：
定义一、简单立方晶格（SC格子）二、面心立方晶格三、体心立方晶格四、六角密排晶格五、金刚石晶体结构六、氯化钠结构
七、氯化铯晶格
了解几个定义：
1· 配位数：原子的最近邻（原子）数目 2· 致密度：晶胞中原子所占体积与晶胞体积之比注：配位数和致密度 ↑→ 原子堆积成晶格时愈紧密 3· 密排面：原子球在一个平面内最紧密排列的方式把密排面叠起来可以形成原子球最紧密堆积的晶格。
: 原胞内各种等价原子之间的相对位移 ra
1,2,.....,i
面心立方位置的原子 B 表示为：l1a1 l2a2 l3a3
立方单元体内对角线上的原子 A 表示为: l1a1 l2a2 l3a3

固体物理第一章(2)

d
知道了晶体的体密度，求出面间距，即可求出（h k l）面的面密度。原子密度大的晶面，对射线的散射强，因而指数简单的晶面系在X射线衍射中往往为照片中的亮点所对应的晶面。

A
d
Ad A
2、确定密勒指数的方法
若一个晶面在单胞基矢坐标系的三个基矢方向上的截距分别
为 ua, vb, wc ，用三个数字 u,v, w 就可以标志晶面的空间方
cos
b, n

d
/

b k

cos
c, n

d
/

c l

考虑到正交坐标系有： cos2 a, n cos2 b, n cos2 c, n 1
可得（h k l）晶面系的相邻晶面间距为： dhkl
对简单立方晶格，则 dhkl
第一章(2) 晶体结构
1.7 晶向、晶面和它们的标志 1.8 倒格子 1.9 布里渊区
1.7 晶向、晶面和它们的标志
一、晶列
定义
布拉菲格子的格点可以看作分列在一
系列相互平行的直线系上，这些直线
系称为晶列。同一个格子可以形成方
向不同的晶列。
R
性质
（1）任一晶列上都有无穷多个格点；（2）任一晶列都有无穷多条相互平行的晶列，构成一
的法线，d表示该晶面系的面间距，有
n
a1 h1 cos a1, n d a2 h2 cos a2 , n d a3 h3 cos a3 , n d
od
a1
a1/h1
晶面指数的意义
cos a1, n : cos a2 , n : cos a3 , n h1 : h2 : h3 a1 a2 a3

固体物理学第一章晶体的结构(2)

(d)
x1x1
例3.正六角柱 * 不动 * 绕上下面心连线转2π /6,2π /3, π , 4π /3, 5π /3 * 绕对棱中点连线转π /2 （3个) * 绕对面中心连线转π /2 （3个) 12转动，再加中心反演，共24个对称操作分析对称性一一列出对称操作很麻烦,为简便，不列对称操作，而列出对称素。一个物体的旋转轴或旋转-反演轴统称该物体的对称素。 *旋转轴：一个物体绕某一转轴旋转2π /n 及其整数倍后复原,该轴称物体的n重旋转轴，记作n。 *旋转反演轴：物体旋转2π /n ，再作中心反演的联合操作及联合操
对于周期函数，在数学上可以进行付里叶展开（变换）。对于晶格周期函数进行展开，就可以引入倒格子的概念。在固体物理中，倒格子是一个极其重要的概念，一个新概念，也是一个比较抽象的概念。对应波矢空间,或状态空间。空间矢量量纲 [长度]-1。倒格子概念的用途：X-ray衍射分析晶格振动：原子运动状态的描写
群的例子：所有整数相对其加法运算构成一个群（整数群）。封闭性：所有整数相加仍然为一整数。单位元：整数 “0”。结合律：整数相乘满足结合律逆元存在：整数和其相对应的“负整数”。这里的群元为无穷多个，乘法呢？）
思考题：所有非零的实数是否相对于数的乘法运算构成一个群呢？
* 对称操作群的说明（回答为什么对称操作构成一个群？）： “乘法规则”为连续操作。并满足四个条件： 1.单位元素就是不动； 2.逆群元存在； 3.结合律为操作的先后次序。 4.对称操作存在封闭性。所以对称操作可以组成群。（应讨论晶体满足什么条件对称操作形成封闭的群）
n
作的整数倍后不变，这个轴称物体的n重旋转反演轴,记操作过程中保持不变的点、线、面
* 2 代表线旋转π ，再作中心反演，如图 A' A 实际存在一个镜面，这个对称素一般称 O 镜面，用m表示，即 2 = m. 3.对称操作群（Group) 一个物体的全部对称操作的集合称对称操作群. A'' * 群的定义：它是一个数学“元素”集合，数学“元素”（群元）之

固体物理学：倒格子

正格子体积为倒格子体积为
a1 • (a2 a3 ) b1 • (b2 b3)
(3) 倒格子矢量与晶面指数的关系---倒格矢的方向
如图所示，晶面系 (hlh2h3)中最靠近原点的晶面ABC在基矢a1 , a2 , a3上的截距分别是a1/hl， a2/h2，a3/h3。
结论：倒格矢G垂直于密勒指数为（h1h2h3）晶面系(倒格式的方向)。或倒格矢G为晶面（h1h2h3）
倒格子
设晶格的平移矢量 R n1a1 n2a2 n3a3
( n1n2 n3 ,为整数)
由于晶格的周期性晶格中某一点的物理性质也应该具有周期性。
考场虑V (晶r)格，中按任周一期点势处要r求的某一物理量，例如晶格中原子所产生的势
V (r ) V (r R)
即原胞内任一点
r
处的物理性质与另一个原胞中相应点的物理性质
就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
理解（2）
晶格点阵（或叫正格子点阵）是真实空间中的点阵，具有[长度]的量纲；
倒格子点阵（或叫倒易点阵）是在与真实空间相联系的傅里叶空间中的点阵，具有[长度]-1的量纲。量纲为L-1 的矢量空间为倒格子空间。
每一个布拉伐格子都有一个与之相应的倒格子。
4 倒格子的基本性质
一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数
F(r)的周期性而与函数的具体形式无关。我们把在傅里叶
空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子点阵（或倒易点
阵）。
倒格子点阵是晶体结构周期性在傅里叶空间中的数学
抽象。
如果把晶体点阵本身看作一个周期函数，我们可以说，
倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶变换。反之，晶体点阵
相同。
这种周期函数可以V展(开r)为傅立叶V级 e数iGr G

固体物理(2011) - 第1章 晶体结构 2 倒格子

固体物理 第1章 晶体结构2

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