12-2固体物理第一章

1/6
A
1/6 1/2 1/6
H
1/6
K
I
J
1/6 B
Байду номын сангаас
1/6
c
A
O
G
D 元胞 F
O
a
E
b
晶胞
以直角坐标系Oxyz的x、z轴与 a、 c 重合，晶胞基矢，
六次轴
a ai
1 3 b ai aj 2 2
A
c
B
c ck
O
a b a、 c c
3 2 a c 晶胞体积 2
A O1
B OⅢ OⅡ 氧八面体
A离子在立方顶角，B离子在立方体心(氧八面体中心），O1、 OⅡ、OⅢ分别在立方面心， A、B、O1、OⅡ、OⅢ各自组成简单 立方格子套构而成。
1.2 晶体结构及周期性 (平移对称性）的描述 1.2.1 晶体结构及周期性 (平移对称性）的描述
（1） 基元—构成实际晶体的一个最小重复结构单元
基元为一个分子 基元为一对钠离子-氯离子
Cl-
Na+
（2） 格点—用几何点代表基元，该几何点称为格点
基元 格点 分子 分子
基元
格点
（3） 点阵（空间点阵、正格子） 格点的集合称为点阵。 晶体结构= 点阵+基元 （4）基矢(basis vector）、晶格周期性（平移对称性） 三个不共面矢量 a1 , a2 , a3 为点阵空间坐标矢量，称为基矢。 晶体由基元（格点）沿空间基矢方向重复堆积而成的性质称为 晶格周期性（平移对称性）。 基矢选择不是唯一的。
晶胞中原子最大体积之和 晶胞体积
例、金刚石晶胞含8个原子，设原子为球形，半径
r ，顶角
原子球心与1/4对角线长度处原子球心等于1/4晶胞对角线长，
3a 2r 4
r
3a 8
a
4 3 8 r 3 3 34% 3 a 16
（12）布拉菲格子
复式格子
以原子为晶格格点，晶体结构分为布拉菲格子（简单格子） 和复式格子。
晶格只对离散值的平移具有对称性，称为破缺的平移对称性。 例、
R1,0,2 a1 2a3
R2,1,1 2a1 a2 a3
a a3 2
(0,0,0)
a1
R2,0,0 2a1
（6）点阵空间密度函数
点阵空间密度分布的函数表示，
r r Rl
体积，
a1 a2 a3 a3
晶胞与原胞
晶胞含1个格点，体积，
a3
体心立方晶格 晶胞基矢，
a ai , b aj , c ak
a1 a2
a3
a b c
c
晶格常数，
a b c a
a3 a2
a1
a3 a 2 a1
原胞的性质 ① 有8个顶点，每个原胞含1个格点； ② 体积
a1 (a 2 a3 ) a 21 a31 a11 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
③ 不同原胞中对应点的性质相同（平移对称性）；
Zn
A B
A
c
S
1/4体对角线原子
B
A B B
b
a
体对角线上离子面心立方与顶角、面心离子面心立方沿体对 角线相互移动1/4对角线长套构而成。
1.1.6 纤锌矿（六方硫化锌）型结构
c
Ⅱ族锌离子
Ⅵ族硫离子 B B A
A
六方硫离子晶格和六方锌离子晶格沿六方轴C移动3C/8长度套构形成。
1.1.7 氯化钠(sodium chloride)晶体结构
第一章
晶体结构
1.1 常见的实际晶体结构 1.2 晶体结构周期性及其描述
1.3 晶列 晶面
1.4 晶体的宏观对称性及晶体结构分类 1.5 倒格子
§1.1 常见的实际晶体结构（晶格）
晶体结构—晶体中原子的具体排列形式
晶格—晶体中原子的规则排列 1.1.1 简单立方晶体结构（sc）
(sc：simple cubic)




（8）晶胞（单胞、结晶学原胞）
以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）a、b、c 为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六
面体称为晶胞， a、b、c 称为晶胞基矢。 例、
c
c
b
a
体心立方晶胞
b
c
b
a
面心立方晶胞
a
简单立方晶胞
晶胞的性质
b、 c 称为晶格常数； ① 晶胞边长 a 、
② 晶胞不一定是最小周期重复体积单元，体积是原胞的整 数倍； ③ 格点可能在晶胞非顶点位置； ④ 反映晶体的宏观对称性；
⑤ 晶胞不能按平移矢量无交迭填满整个空间，因而不能完
全反映点阵平移对称性；
（9）威格纳-赛兹原胞（WS原胞、对称化原胞） 以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂 面围成的多面体称为WS原胞。 WS原胞含一个格点，体积与原胞体积相等。 WS原胞避免基矢选择，既反映晶体平移对称性又反映晶体宏 观对称性。
例、
一个二维点阵的WS原胞
面心立方的WS原胞
（10）配位数(coordination number)
晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。 晶体最大配位数为12，晶体可能配位数12，8，6，4，3，2。
配位数6
配位数8
配位数12
配位数4
（11）致密度(packing factor） 晶胞中原子的最大体积与晶胞体积的比值
a3 k
k a3



a2 k 2 a1 a1 2a1 a 2 k 1



第三种基矢 a1 a1 a1 a2 a2
k a3
a 2 k 3 a1 a1 a1 a 2 k 1
Rl
Rl l1a1 l2a2 l3a3
(l1, l2 , l3 0, 1, 2, 3, )
点阵空间密度函数是晶格平移矢量的周期函数，
r Rl r
（7）原胞(元胞、固体物理学原胞) 以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方 向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平 行六面体。 原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、 无空隙地堆积构成整个晶体。 例、
a a3 (i j ) 2
2a a1 a2 a3 2
原胞体积，
a3 a1 a2 a3 4
金刚石结构
面心 顶角
c
对角线1/4处
a3 a2
b
a
晶胞与元胞
a1
体对角线原子面心立方晶格与顶角、面心原子面心立方晶格 沿体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成面心立方格子 （复式）。 基元由面心（或顶角）原子和1/4对角线长度处原子组成。
Cl-
Na+
Na+和Cl-各自构成面心立方格子沿立方边长方向相互移动半 个边长套构形成。
1.1.8 氯化铯(cesium chloride )晶体结构
Cl-
c
b
a
Cs+
Cs+和Cl-各自构成简立方晶格，沿体对角线相互移动1/2对 角线长套构而成。
1.1.9 钙钛矿( calsium titanate )（ABO3）晶体结构
面心立方晶格 晶胞基矢，
a ai , b aj , c ak
a c 3 a 2
a b c
b a 1
a
晶格常数，
a b c a
晶胞与原胞
晶胞含4个格点，体积，
a3
a 原胞基矢， a1 ( j k ) 2 a a2 (i k ) 2
布拉菲格子（简单晶格） 全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
例、
c
b
c
b
a
简单立方晶格
a
体心立方晶格
c b
c
a
底心立方晶格
b
a
面心立方晶格
c b
a
底心立方晶格原子的全同性
复式格子(complex crystal lattice)
c
b
a
氯化铯结构
Cl-
c
b
a
Cs+
a b c a
Cs+和Cl-各自构成简单立方晶格，沿体对角线相互移动1/2 对角线长套构形成简单立方晶格（复式），基元含相距1/2对 角线长的一对Cs+ 和Cl- 。
A
B
O O
1200
A
1.1.4 金刚石结构
顶角 面心 A B 1/4对角线 B
A
两个面心立方晶格沿体对角线相互移动1/4对角线长套构成 金刚石结构。（或：金刚石结构是体对角线上原子构成的面心 立方晶格与顶角、面心原子构成的面心立方晶格沿立方体对角 线相互移动1/4对角线长度套构形成）
1.1.5 闪锌矿（Zine blende)结构（立方硫化锌结构）
a
a2
a1
1.1.2 常见晶体结构的基矢、原胞、晶胞、晶格常数
简单立方晶格 晶胞基矢， 原胞基矢，
a ai b aj
c
a1 ai a2 aj a3 ak
c ak a b c
b
a
晶格常数，
a b c a
a1 a2 a3 a1 a2 a3 a
b
a
晶胞与原胞
晶胞含2个格点，体积，
a3
原胞基矢，
a a1 (i j k ) 2 a a2 (i j k ) 2
a a3 (i j k ) 2
3a a1 a2 a3 2
原胞体积，
a3 a1 a2 a3 2
z
A
a
x
120
0
O
y
b
a
基元中两个不等价原子的坐标,
2 1 1 O 0, 0, 0 、O , , 3 3 2
晶胞
氯化钠结构
Cl-
Na+
Na+和Cl-各自构成面心立方格子沿 晶胞基矢方向相互移动半个晶格常 数套构形成面心立方格子（复式）。 基元包含一个Na+和一个 Cl-。
晶胞基矢，
a ai , b aj , c ak
a b c
晶格常数，
a b c a
晶胞包含4个格点，晶胞体积，
a
3
六角密堆积结构（hcp)
B层原子与A层原子成键方向相差180度（不全同），晶格由 两个简单六方格子套构成复式格子，晶胞含6个原子，基元由 两个不等价原子 O 、O构成，原胞是DFEGHIJK包围的体积。
V (r Rl ) V (r )
④ 原胞选择不是唯一的，但不同原胞的体积相同；
例、
a2 r
R11
a2
a1
a1
a2
a1
1 a1 a2 k
第一种基矢 a1 , a2
a a 第二种基矢 1 1
2a1 a2 2a1 a2 a2
a3 a 2 a1
a a3 2 a 1
（5）晶格平移矢量 ( position vectors )
基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量。
Rl Rl1l2l3 l1a1 l2a2 l3a3 (l1, l2 , l3 0, 1, 2, 3, )
A A A A A A
A
密排面
立方密堆积——面心立方晶体结构（fcc）
（fcc: face-centered cubic)
密排面按ABC\ABC\ABC…排列，
六角密堆积结构（hcp)
(hcp：hexagonal close-packed)
密排面按AB\AB\AB…堆积，B层原子与A层原子取向相差180度
不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格 例1、两种原子一维复式格子
d
a
a
例2、同种原子二维复式格子
a2
Q
R
P
S
a1
例3、金刚石结构三维复式格子
面心 顶角 A A
c
B
1/4对角线
b
A
a
B
B
B
例4、石墨层中的碳原子排列为六角网状结构，是简单还是复 式格子？标出这一结构的原胞。
原子
1.1.2 体心立方晶体结构（bcc）
(bcc: body-centered cubic)
1.1.3 面心立方晶体结构（fcc）、六角密堆积结构（hcp)
密堆积结构 将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个
球相切，形成密排面，密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结 构称为密堆积。