平面向量典型题型大全

平面向量典型题型大全

平面向量

题型1.基本概念判断正误：

例2

（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____

（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____

（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为_

9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ）

A ．125,1313⎛⎫- ⎪⎝

⎭

B ．125,1313

⎛⎫-- ⎪⎝

⎭

C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

或 D ．125125,,13131313

⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

或 10．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________：

①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0

11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（

） A.0PA PB += B.0PC

PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 12.已知点A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，

那么有BC CE λ=，其中λ等于（ ）

A.2

B.12

C.-3

D.－1

3

13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量

F

E C

B

4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6)

D.(－2,－6)

14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若

AD x AB y AC

=+，则 x = ，y =

.

图2

15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=那

么（ ）

Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =

题型3平面向量基本定理

平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1

λ、2

λ，使a =1λe 1＋2

λe 2。

性质：向量 PA PB PC 、、中三终点A

B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=. 例3

（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______

123

F F F F =++的终点坐标是

（4）设(2,3),(1,5)A B -，且13

AC AB =，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________ 练习

1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。

2.设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( )

（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,3

3.若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =

A. (4,6)

B. (4,6)--

C. (2,2)--

D. (2,2)

题型5.求数量积

平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 平面向量数量积坐标表示：12

12

a b x x y y •=+

•的几何意义：数量积•等于的模||a 与在上的投影的积。

向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=；

②当，同向时，•＝a b ，特别地，2

2

2

,a a a a a a =•==；当与反向时，•＝－a b ；当θ为锐角时，•＞0，且 a b 、

不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、

不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；

例5

（1）△ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________

（2）已知11

(1,),(0,),,22

a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____ （3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____；

（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____ （5）已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝

（－1，0）。（1）若x ＝3π，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[π

π-，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为2

1，求λ的值 （6）下列命题中：① →

→→

→→

→

→

⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →

→

→→

→→

⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2

()a b →

→

-2

||a →

=

2

2||||||a b b →→→

-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→

b ；⑤若,a b

c b ⋅=⋅则a c =；⑥22

a a =；⑦2

a b b a

a

⋅=；⑧22

2

()a b a b ⋅=⋅；⑨22

2

()2a b a a b b -=-⋅+。其中正确的是______ 练习

1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+， （3）2

)(b a -，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。

2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（2）a b ⋅，

3.已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =

(A) —1 (B) —12 (C) 1

2

(D)1 4已知向量a 与b 的夹角为120，且4

==a b ，那么b a •的值

为 ．

5. △ABC 中，

60,3,2=∠==B BC AB ,则________=•BC AB

6、设a 、b 、c 是单位向量且a ·b ＝0则()()a c b c -•-的最小值为

( ) （A ）2- （B ）

22

- （C ）1- (D)12-

7、设ABC ∆的三个内角,,A B C 向量(

3sin ,sin )A B =m (cos ,3cos )

B A =n