双曲线知识点复习总结

双曲线知识点总结复习

1. 双曲线的定义：

（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222

c a b =+），焦点在y 轴上时2

222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为：

22

1(0)x y mn m n

-=>这样设的好处是为了计算方便。

（2）等轴双曲线：

（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）

例一：已知双曲线C 和椭圆22

1169

x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。）

思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线

2. 双曲线的几何性质：

（1）双曲线（以）（0,01-22

22>>=b a b

y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：

两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点

(,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2

a x c

=±； ⑤离心

率：c

e a

=

，双曲线⇔1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a

（2）渐近线：双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线为：

等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）

例二：方程

1112

2=--+k

y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆

164

162

2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________

例四：双曲线142

2=+b

y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________

例五：已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点为F ，过点F 作直线PF 垂直于该

双曲线的一条渐近线l 于)3

6,33(P ．求该双曲线的方程为：

3．直线与双曲线的位置关系：

（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交或直线与渐近线平行。（2）相切：

0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；

例六：过点P(1,1)与双曲线22

1916x y -

=只有一个交点的直线共有 条。 例七：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线2

2

:14

y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

渐近线

准线

离心率

顶点

对称性

范围

∆4、焦半径（双曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用双曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed ex a ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。

例八：经过双曲线2

2

1x y -=的左焦点1F 作倾斜角为

6

π

的弦AB 。求的2F AB ∆周长。

例九：已知A （3，2），M 是双曲线H ：

上的动点，F 2是H 的右焦点，求

的最小值及此时M 的坐标。

5、弦长问题：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）

若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 2

121k

x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝212

1

1y y k -+

， （若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 2

121k

y +-。特别地，焦点弦

（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条

焦半径之和后，利用第二定义求解，如例八。）

例十：直线1+=x y 与双曲线13

22

2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____________ 六、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和双曲线的交点设而不求）

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆1-22

22=b

y a x 中，以

00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

20

2y a x b ；

例十一：过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14

22

=-y x 的弦所在直线方程为_____________

例十二：已知双曲线C 2x 2－y 2

=2与点P (1，2)

(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点

(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在

例十三：过双曲线的右焦点F 2作倾斜角为

的直线，它们的交点为A 、B ，

求：

（1）线段AB 的中点M 与F 2的距离； （2）线段AB 的长度。

-1

1

2

1Q

P

o

y

x