生物医学信号处理-32 随机过程(信号)

一维概率密度
fX
( x; t )
FX (x;t) x
对于随机序列： FX (x; n) P{X (n) x}
fX
(x; n)
FX (x; n) x
二维概率分布 FX (x1, x2;t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
fX
( x1 ,
x2;t1, t2 )
2 FX
随机过程也称随机信号、随机函数或随机序列 随机信号是随机变量的时间过程
e1● e2● e3●
S
X (t, e1) X (t, e2 ) X (t, e3)
随机过程的概率分布 一维概率分布：对于某特定时刻t，X(t)是个随机变量，设x为任意实 数，定义一维概率分布为
FX (x;t) P{X (t) x}
分的相关函数：
Cx (t1,t2 ) E[X (t1)-mx (t1)][X (t2 )-mx (t2 )]
物理信号
Байду номын сангаас
确定性
随机性
周期性
非周期性
平稳
非平稳性
各态遍历
非各态遍历
在随机信号情况下，一般的说，概率密度函数是时间函数，能完整地 表现随机变量和随机过程的统计性质。
如果随机过程的任意N维分布不随时间起点的不同而变化，即当时 间平移c时，其任意的N维概率密度函数不变化，则称该随机过程是 平稳的。根据定义有：
每次试验所得到的观测记录结果xi(t)是一个确定的函数，称为样本函 数，所有这些样本函数的全体构成了随机过程X(t)。
设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素ei（i=1,2,...） 都以某种法则确定一个样本函数x(t,ei)，由全部元素{e}所确定的 一簇样本函数X(t,e)称为随机过程，简记为X(t)。
数字特征 随机过程的数字特征一般不是常数，而是时间t（或n）的函数，因此
也常称为矩函数
１.数字期望（均值）：
mx (t) E[ X (t)] xfX (x;t)dx
随机过程的均值是时间t的函数，也称为均值函数，统计均值是对 随机过程中所有样本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均，所以 又称为集合平均。随机过程的均值可以直观地理解为在t时刻所有样本 函数取值的一取值中心，它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律。
, xn ;t1, t2 ,
,tN
)
N
FX
(x1, x2 , x1x2
xN ;t1, t2 , xN
,tN )
在随机信号情况下，一般的说，概率密度函数是时间函数，能完整地 表现随机变量和随机过程的统计性质。
对于一个随机信号，虽然我们不能确定它的每个时刻的值， 但可以从统计平均的角度来认识它。我们可以知道它在每个时刻 可能取哪几种值和取各种值的概率是多少，以及各个时间点上取 值的关联性。因此，如果已经知道了它的概率分布，我们就认为 对这个随机信号在统计意义上有了充分的了解。而随机过程的各 种统计特征量分别从各个侧面间接反映了概率分布特性。 可以用概率密度函数来描述随机信号的统计特征。
60
70
80
随机相位信号—许多样本函数的集合
例 分析接收机的噪声
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
50
50
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0
-5
0
50
100
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200
5
0
-5
0
50
t1 100
150
200
X(t1)
接收机噪声
随时间变化的随机变量----随机变量的集合
随机过程的直观解释: 对随机相位信号或噪声信号作一次观测相当于做一次随机试验，
2.方差：
x 2 (t) E[(X (t) mx (t))2 ]
方差反映了一个随机过程的取值相对于均值起伏的大小,一个起 伏较大的过程方差也大.
3.均方值：
E[ X (t)2 ] Dx
它反映的是随机信号的平均功率。
易得： x 2 (t) E[X (t)2 ] mx (t)2
数字特征表示单一时刻随机变量的特征；自相关函数表征信号在不同 时刻取值间的关联程度。对随机信号，自相关函数的定义须从统计概 念入手，如下图所示的随机过程 总体自相关：
(x1, x2;t1, t2 ) x1x2
注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程在两个不同时刻的状态对应的随机变量。
N维分布
FX (x1, x2 , , xN ; t1, t2 , , tN ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2 , , X (tN ) xN }
f X (x1, x2 ,
确定性信号:信号随时间的变化有确定的规律，只要条件相同，不论 何人、何时、何地观察总成同一性质。其每个时间点上的值可以用某 个数学表达式或图表唯一地确定的信号。 随机信号：信号的变化不遵循任何确定性的规律，而是一个随机变量 随时间变化的过程。只能用统计的方法进行描述，只能在一定的准确 性（accuracy）或可信性（confidence）范围内进行预测。
例 分析随机相位信号
1
0
-1
10
10
20
30
0
-1
10
10
20
30
0
-1
10
10
20
30
0
-1
0
10
20
30
xi (n, i ) Acos(0n i )
样本函数
X (n) Acos(0n ) ~ U (- , )
1
40
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80
2
40
50
60
70
80
3
40
50
60
70
80
4
40
50
上图两随机过程具有相似均值和方差的随机过程 ,但自相关函数不同. 自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。一般说
来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关函数的绝对值也越弱，当两 个时刻重合时，其相关性应是最强的，所以RX(t,t)最大。
自协方差 实际进行信号处理时，往往先把均值（直流分量）去掉再做剩余部
Rx
(t1,
t2
)
E(
X
(t1 )
X
(t2
))
lim
N
1 N
N
x x (i) (i) 12
i 1
x1x2 f (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
式中，f (x1, x2;t1,t2 ) 表示随机变量x1,x2的二阶联合概率密度函数。
自相关函数反映了随机过程在两个不同的时刻取值的依赖性
由下表可以看出，随着抛掷次数的增加，比值m/n在1/2附近 摆动，而且总是在1/2附近摆动。
• 这种在个别实验中其结果呈现不确定性，在大量重复实验中其结果又具 有规律性的现象，称之为随机现象。大量同类随机现象所呈现的固有规 律称为随机现象的统计特征。
n阶原点矩： mn E[ X n ] n 1,2, n阶中心矩： n E{(X E[X ])n} n 1，2，