电磁感应和麦克斯韦方程组

b
I
解 设长直导线通电流 I
B Hale Waihona Puke BaiduI
d
l
2π x
dΦ

B

ds

I
ldx
o x dx x
2019/8/8
2π x
Φ db I ldx d 2π x
b
I
d
l
o x dx x
Φ db I ldx d 2π x Il ln(b d ) 2π d
M Φ l ln(b d )
令：a bcos t
dt bsind
Ei


π 0
0 Ivb 2
sin d (a b cos )
Ei
0Iv 2
abdt ab t
0Iv ln a b 2 a b
举一反三：
（1）以下各种情况中 i ?

B va
I
B E

l E dl
dB
dt


B t

dS

j E/
洛伦兹力：
法拉第电磁感应定律：变化的磁场激发变化的电场

l H dl
Ii

dD
dt


(j
D
)

dS
t
F qE qv B
全电流安培环路定理：传导电流和位移电流都激发磁场
（A）顺时针 （B）逆时针 （C）无电流 （D）无法判定

B
例 一个圆形环，它的一半放在一分布在方形 区域的匀强磁场中，另一半位于磁场之外，如图所 示，磁场的方向垂直向纸内，欲使圆环中产生逆时 针方向的感应电流，应使

（A）圆环向右平移
传导电流和位移电流的代数和。
——有旋场
例 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均
相同，半径分别为 r1 和 r2 ，管内充满均匀介质，其磁
导率分别为1 和 2 设 r1 : r2 1: 2, 1 : 2 2 :1 ，
当将两只螺线管串联的电路中通电稳定后，其自感系
数之比 L1 : L2 与磁能之比 Wm1 :Wm2分别为
其充电,使电路上的传导电流 Ic dQ dt 2.5A,
若略去边缘效应, 求（1）两极板间的位移电流;（2）两
极板间离开轴线的距离为 r 2.0cm 的点 P 处的磁
感强度 .
解 如图作一半径
Q
Q
为 r平行于极板的圆形
回路，通过此圆面积的 电位移通量为
Ic
R P*r
Ic
Ψ D(π r 2 )
电势差 Ua Uc .

Bb
l
c

( A) E 0, Ua Uc Bl 2 2 (B)E 0, Ua Uc Bl2 2
a
(C)E Bl2, Ua Uc Bl2 2
(D)E Bl2, Ua Uc Bl2 2

中，例以角一速长度为3在l 的与铜磁棒场在方磁向感垂强直度的为平面B上的绕均O匀点磁旋场
D
Ψ

r2 R2
Q
Id

dΨ dt

r2 R2
dQ dt
Q Q
Ic
R P*r
Ic
Id

dΨ dt

r2 R2
dQ dt


H
l
dl

Ic
Id

Id
H (2π r) r 2 dQ R2 dt
计算得 H r dQ 2π R2 dt
B 0r dQ
2π R2 dt
位移电流密度
jd

dD dt
单位面积上通过的位移电流
Id

s
jd

ds

dΦD dt
麦克斯韦方程组

sD dS qi vdv
电场高斯定理：电荷激发的电场有源场
各向同性的线性介质条件


sB dS 0
D E

磁场高斯定理：任何磁场都是无源场
H B/
（B）圆环向上平移
（C）圆环向左平移
B
（D）磁场强度变弱
三 自感电动势和互感电动势（按激发方式分类）
1. 自感
自感电动势

L

L
di dt
自感系数
L


i
或：L
L
di
dt
2. 互感
互感电动势
12

M
di1 dt

21


M
di2 dt
互感系数

M 12 i1 21
i2
B
O

A
CB
（C）A点比B点电势低
o
（D）由稳恒电流从A点流向B点
例：如图园盘在均匀磁场中以 角速度旋转，
求盘中心至盘边缘间的感应电动势的大小和方向.
B
R
Ei
解: 圆盘在磁场中转 动等效于长为 R 的棒绕过 其端点的轴的转动.
Ei

1 BR 2
2
方向从圆心向外
例 已知半圆导线与长直电流共面（ 如 图），半圆

EOA EBO
dB dt

SΔABO
O Ek dl 0
同理
EACB

dB dt
S ACBOA
由于SOABO < SACBOA故（D）正确.
例 在圆 柱形空间内有一磁感应强度为 B 的匀强
磁场，如图.B 的大小以速率dB / dt 0 变化，有一长度
为 l 的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab）和2
Eiab


0
nA
dI dt
0nAI 0 cost
例 在磁导率为的均匀无限大的磁介质中,
一无限长直导线与一宽长分别为 b 和 l 的矩形线圈共
面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为d . 求二者
的互感系数.
问：求谁对谁的互感方便？
b
I
解 设长直导线通电流 I
B I
d
l
2π x
I 2π d
I
l
若导线如左图放置, 根据对
称性可知 Φ 0
b2 b2
得
M 0
四 磁场能量
自感线圈储存的磁场能量
Wm

1 2
LI 2
空间磁场能量 Wm V wmdV
其中，磁场能量密度
wm

B2
2

1 H 2
2
1 BH 2
五 麦克斯韦电磁场方程
位移电流
Id

d D
dt
电位移通量对时间的变化率 电荷移动 全电流I=Ic+Id
螺绕环上密绕一边长为 l 的方形线圈中通以交变
电流 I0 sin t 求螺绕环两端的互感电动势。 已知：A, n,l, Icd I0 sin t
c
求： Eiab
d
解：设螺绕环上电流为 I '
I0 sin t
B 0nI '
ab
方形线框中磁通量
M 0nA
0nI ' A MI '
(1) 在任何电场中，通过任何闭合曲面的电位移通量等于
该闭合曲面内自由电荷的代数和。
——有源场
(2) 在任何磁场中，通过任何闭合曲面的磁通量恒等于0。 ——无源场
(3) 在一般电场中，电场强度E沿任意闭合环路的积分， 等于穿过该环路磁通量随时间变化率的负值。
——有旋场
(4) 磁场强度H沿任意闭合环路的积分，等于穿过该环路
v
F
(a) L

(b) a L
o
v
I (c)
I (d)
v
r2
例 圆柱形空间内有一磁感强度为B的均匀磁场，
B的大小以恒定速率变化.在磁场中有A、B两点,其间 可放直导线或弯曲的导线:
B
O
A
（A） 电动势只在直导线中产 生.
（B） 电动势只在曲线中产生.
（C）电动势在直导线和曲线
B 中都产生，且两者大小相等.

M

12
di1 dt

21
di2 dt
例：如图在一轴上绕有两相同的线圈 AB 和 A’B’，每个线圈的自感均为 L ，求（1）A 和 A’相连；（2）A’和 B 相连时的总自感各为多 少？
(1) LBB' 0
(2) LAB' 4L
A A
B B
例 已知园环式螺线管的自感系数为 L ,若将该
代入数据计算得 Id 1.1A B 1.11105T
（a 'b'），则该棒放在这两个位置时棒内的感应电动势
满足
（A） 1 2 0
（B） 1 2 0 （C） 2 1 （D） 2 1
xx
xxxx
x x . ox x
a
xx
x bx
xx
a'
b'
例 均匀磁场如图垂直纸面向里. 在垂直磁场的平 面内有一个边长为 l 的正方形金属细线框，在周长固 定的条件下，正方形变为一个圆，则图形回路中感应 电流方向为
（A） L1 : L2 1:1, （B）L1 : L2 1: 2, （C）L1 : L2 1: 2, （D）L1 : L2 2 :1,
Wm1 :Wm2 1:1 Wm1 :Wm2 1:1 Wm1 :Wm2 1: 2 Wm1 :Wm2 2 :1
例 有一圆形平行平板电容器, R 3.0cm.现对
同理 EiOD 2Bl 2
EiCD EiOC EiOD
EiCD


3 2
Bl
2
C
*O
D
C 点电势高于 D 点电势
例 如图，导体棒 AB 在均匀磁场中绕通过 C 点
的垂直于棒长且沿磁场方向的轴 OO' 转动（角速度
与 B 同方向），BC 的长度为棒长的1/3，则
（A）A点比B点电势高 （B）A点与B点电势相等
转，已知 CO l, OD 2l 求铜棒两端的感应电动势 .
.B. . . . . . . .
v. . . . . . d.l . D.
.........
. C
. . dl
* O.
.
.
.
.
.
v . . . . . . . . .
等效电路
解
EiOC

l Brdr
0
Bl 2 2
dΦ

B

ds

I
ldx
o x dx x
2019/8/8
2π x
Φ db I ldx d 2π x
例 在磁导率为的均匀无限大的磁介质中,
一无限长直导线与一宽长分别为 b 和 l 的矩形线圈共
面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为d . 求二者
的互感系数.
问：求谁对谁的互感方便？
v 以匀速 沿直导线方向向上运动，求动生电动势 .
I
B
v
解：解法一
+ v C
M
dl
*o
'
b
a
N
连接 MN形成一半圆闭合回路
Ei总 E iMCN E iNM
Ei总
d
dt
0
o
C x EiMCN EiNM EiMN
M
N
O’
B 0I 2x
I
B
v
+ v C
M
dl
*o
'
b
N
dEi

(v

B)

dl

vBdl
EiMN
ab v 0I dx ab 2x
a
o
x
0Iv ln a b 2 a b
B 0I 2x
EiMCN

0Iv ln a b 2 a b
问：M、N 两端，何处电势高？
v v解IB法 二BM+：ad直l 接*oC计b算N半(圆v弧导BBdl)线d的2bl动d(生a2,电0b0(动IaIcv势odsl.b2cc)ooss )
螺线管锯成两个半环式的螺线管，则两个半环式螺线
管的自感系数 （ ）
(1) 都等于 L 2
(2) 有一个大于 L 2 ，另一个小于 L 2
(3) 都大于 L 2 (4) 都小于 L 2
解：视园环式螺线管为两 个半环式的螺线管串联而成
LI

L 2
I

L 2
I

M12I

M 21I
例：如图在截面积为 A 单位长度匝数为 n 的
（D）直导线中的电动势小于 弯曲的导线.
B
解：联结OA、OB，构成 闭合回路OABO（三角型）或
O
OACBO（扇型）
A C
B

EOABO


Ek dl



d
dt

EOABO
OA Ek dl

AB Ek
A

dl


BO Ek dl
EAB
例 若用条形磁铁竖直插入木质圆环，则环中 （A）产生感应电动势，也产生感应电流 （B）产生感应电动势，不产生感应电流 （C）不产生感应电动势，也不产生感应电流 （D）不产生感应电动势，产生感应电流
例：如图金属三角形框在均匀磁场中以角速度 绕 ab 边旋转，求回路感应电动势E 和 a，c 两点间的