苏教版数学高一必修4教案 向量的数乘

2．2.3向量的数乘

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．

(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．

(3)掌握向量共线的条件．

2．过程与方法

由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．

3．情感、态度与价值观

(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．

(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，向学生揭示事物是在不断地运动变化着．

(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中“万变不改其性”的哲理．

●重点难点

重点：数乘向量的运算及其几何意义．

难点：两向量共线的含义及共线定理．

●教学建议

1．关于数乘向量的概念的教学

教学时，建议教师结合学生熟悉的物理知识引出实数与向量的积，并着重强调数乘向量也是向量，也应该从“模”与“方向”两点学习该部分知识，进而得到数乘运算的几何意义．2．关于向量共线的判定定理和性质定理的教学

教学时，建议教师从数乘向量的定义及共线向量的定义出发，先让学生由“a(a≠0)，b 共线”导出“b＝λa”这一等量关系，在此基础上给出“b＝λa”让学生判断a(a≠0)，b是否共线．从而从正反两方面给出该定理的推导和证明，最后通过典例辅助学生理解并应用．

●教学流程

创设问题情境，引入向量数乘的概念，并引导学生探究向量数乘的运算律.

⇒引导学生结合向量数乘的定义及共线向量的定义，探究向量共线定理的推导和证明.

⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握进行向量数乘基本运算的方法.

⇒

通过例2及其互动探究，使学生掌握结合向量数乘运算，用已知向量表示未知向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用向量共线定理解决有关三点共线问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.

⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

课标解读

1.掌握向量数乘的运算及其几何意

义．(重点)

2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共

线定理．(难点)

3.了解向量线性运算的性质及其几何意

义.

向量数乘的定义

我们知道a＋a＋a＝3a，那么a＋a＋a是否等于3a？(－a)＋(－a)＋(－a)呢？

【提示】a＋a＋a＝3a，(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa＝0.

实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘.

向量数乘的运算律

类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？

【提示】结合律，分配律．

(1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .

向量共线定理

【问题导思】

若b ＝2a ，b 与a 共线吗？

【提示】 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线．

如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .

向量数乘的基本运算

(1)化简23[(4a －3b )＋13b －1

4

(6a －7b )]；

(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b )－(a －2

3b )＋(2b －a )．

【思路探究】 去括号→合并共线向量→化简． 【自主解答】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋7

4b ]

＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋7

4)b ] ＝23(52a －1112b )＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋2

3b ＋2b －a

＝(13－1－1)a ＋(－1＋2

3＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋5

3(2i －j )

＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j ＝－5

3i －5j .

向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

计算： (1)(－7)×(6a )；

(2)(a ＋b )－3(a －b )－8a ； (3)(a ＋2b ＋c )－2(b －3c )． 【解】 (1)(－7)×(6a )＝－42a .

(2)(a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .

(3)(a ＋2b ＋c )－2(b －3c )＝a ＋(2b －2b )＋(c ＋6c ) ＝a ＋7c .

向量的表示

图2－2－21

如图2－2－21，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →

＝

2b ，求CD →，CE →

.

【思路探究】 由D ，E 为边AB 的两个三等分点可知A ，B ，D ，E 四点共线，从而向量AD →，AE →均可以由向量AB →表示，而向量AB →可由向量CA →，CB →

表示，从而问题可解．

【自主解答】 ∵CA →＝3a ，CB →

＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →

＝2b －3a ， 又D ，E 为边AB 的两个三等分点， 所以AD →＝13AB →＝2

3

b －a ，

所以CD →＝CA →＋AD →

＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，

CE →＝CA →＋AE →

＝3a ＋23AB →

＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43

b .