第三章稳恒电流

I
不同类型电源中，非静电力不同：
A
•发电机：电机作用将机械能转化为电能； •化学电池：化学作用将化学能转化为电能； •温差电源：扩散作用将热能转化为电能； •太阳能电池：直接将光能转化为电能； •核能电池：直接将核能转换为电能。
B 17
二、电源的电动势
设K表示作用在单位正电荷上的非静电力，其方向在电源 内与电场E的方向相反，量纲、单位相同。在有电场E和非电 场力K同时存在的电路中（如电源内），应把欧姆定律推广为
b
I
⑴ 放电
a , Ri c R
I
⑵ 充电
如图所示，在一段含源的电路中
j
K
E
E
j
K
将上式从ab端E经 d电l源 到cbj端 线dl积分b，j 得 dl
b K dl
a
a
c
a
b 20
积分时 注意到，电路⑴ 中 j与 dl 方向相反，电路⑵ 中 j 与 dl 方向相同，而 K与 dl 的方向相反，故得
如下图所示，在设定 I1、I2 之后，对CA支路可不必再设
新的变量
，直接设它为
I1
I
，这样便将三个未知变量减少
2
到两个.
ε1,Ri1
E
R3
I1 A I2
R1 C I3=I1+I2
D R2
B ε2,Ri2
R4
28
根据基尔霍夫笫二方程，选择回路ABCDEA和AEDCA，
㈠ 电流 电流密度
一、电流
电荷的定向运动形成电流。电流分为传导电流和运流电流
电流的微观机制：导体内自由电子在电场力作用下在原来 不规则的热运动上附加了定向漂移运动. 热运动速度：105 m.s-1 定向漂移运动速度：104 m.s-1
电流方向：正电荷的定向运动方向，即沿电场方向，从高 电势流向低电势。 2
a
I s jr dS jr 2rL
l
通过各柱面的I是相等的，故
j I 1
2L r
E j
I
1
2L r
13
两极间的电势差为
U1 U2
E dl
b I
dr
I ln b
a 2L r 2L a
R U1 U2 ln b I 2L a
例题3-1-2 图中所示是电学仪器中调节电阻的装置,其
注意：此处的dS是垂直电流方向的截面面积。
8
五、焦耳－楞次定律
电流通过一段电路时，电场力要对移动电荷做功
A IUt Q A I 2Rt U 2 t
R
在一段纯电阻电路中，电功等于电热。但在非纯电阻电路 中（如含有电动机等输出设备）电功和电热两者不相等。
电功率则为
P A IU I 2R U 2
Rab
R
Rab
r
R 2
r
Rab
R
Rab
r
16
㈡ 电源 电动势
为维持恒定电流，除了静电场外，必须有非静电力，使正电 荷逆着电场力的方向运动，从低电势处返回高电势处，同时，用 其它形式的能量补偿焦耳热的损失。
一、电源
R
电源是不断地将其它形式的能量转换为
电能的装置。电源中非静电力的存在是形 成恒定电流的根本原因。
10
六、经典金属电子论
金属导体的微观电结构图像（自由电子模型）： • 金属具有晶格点阵结构； • 电场力作用下电子的无规热运动附加了定向运动； • 大量电子不断地与晶格碰撞。
自由电子的定向运动是一段一段加速运动的衔接，各段 加速运动都从定向速度为0开始。
欧姆定律的经典解释
金属内自由电子在电场E作用下，会在热运动的同时逆电
上式称为匹配条件.应当注意，对于一般化学电源，内阻都很小
当满足匹配条件时，总电阻很小，会使电流超过额定值，故一般
条件不能在匹配条件下使用化学电源.但在电子技术中的某些电
源，其内阻很大，考虑匹配是很重要的.
24
㈢ 复杂电路与基尔霍夫定律
在实际直流电路中，往往碰到多电源多回路的复杂电路。 处理复杂电路的基本方法是根据基尔霍夫定律列出一组电路 的线性方程，通过解线性方程组解决复杂电路问题。
I
i
j
0
j
i 1,2,, n
汇于节点各支路电流强度的代数和为0.
基尔霍夫第二定律
把关于一段含源电路欧姆定律应用到闭合回路上，这时
Uab 0 ，可得
( Ii Ri ) j 0
i
j
沿任一闭合回路中电动势的代数和等于回路中电阻上电势 降落的代数和。
26
应用基尔霍夫定律列方程组应注意：
上式计算出的电导率与实际相差甚远.这些困难需要量子理论
来解决.
12
例题3-1-1 两同轴铜质圆形套管，长为L，内圆柱的
半径a，外圆柱的半径为b，两圆柱间充以电阻率为
的石墨.若以内、外圆柱分别为一个电极，求石墨的 电阻.
解：两根铜管分别作为一个等势面，电流
沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒， b
根据对称性
4. 电流强度和电流密度矢量关 系
I S j dS
说明：电流强度是通过某面积的电流密度的通量。
4
三、 电流的连续性方程
1. 电流的连续性方程 在导体内任一闭合曲面内，根据电荷守恒定律，满足
dq
j dS
S
dt 连续性方程积分形式
左侧：单位时间内由S 面流出的电量；
右侧：单位时间内S 面的电量减少量。
端电压：从正极到负极时静电力所做的功，与外电路的情况
有关。
一段含源电路的欧姆定律的一般计算式为
Ua Ub Ii Ri j
i
j
符号约定：先任意选取沿电路线积分的方向，写出初末 两端点的电势差 Ua Ub
⑴ 若通过电阻中电流的流向与积分路径的方向相同，该 电阻上电势降取“+”号，相反则取“-”号. 22
Rab
R
Rr r
R r r
Rr Rr
r
借助偏导 同样可得 此结论
Rr rR
rRr
r R2
r
R 2 r R
15
设r不变，R改变 R时，则 Rab 的改变为
Rab
r
rR rR
rRR
r R2
r
r
2
R
R
两者之比为
Rab
R
Rab
r
R 2
r
r R
当 R r 时，便有
因R>>r,故得
注意：欧姆定律在某些情况下会失效，其主要表现是I与U 的比例关系遭到破坏，而代之以非线性关系。
7
2.欧姆定律的微分形式
将欧姆定律应用于微圆柱体，有
dI dU , R dl ,
ds
R
dS
j E dl
j dI , dU Edl dS
得 j E
j
E
E
上式适用于恒定及非恒定情况，是实验定律的总结。描述 了导体中电场和电流分布之间细节关系。
Ua Ub
RI Ri I （放电） RI Ri I （充电）
上式即为一段含源电路的欧姆定律.
若R=0，则有
Ua Ub
IRi （放电） IRi （充电）
此时是电源正、负极间的电势差，称为电源的端电压. 21
电源的电动势与端电压的区别:
电动势：非静电力做功，仅取决于电源本身的性质，与外电 路性质及是否接通无关；
普遍形式的欧姆定律 ： j K E
在实际应用中，常用电动势 反
映电源中非静电力做功的本领。其定 义为将单位正电荷从负极经电源内部
L
+K -
到正极时非静电力所做的功，即
K dl
A
B
E
就是衡量电源转换能量的能力大小的物理量。
18
在闭合回路中，静电力和非静电力作的功为
KE
dl
二、电流强度 与电流密度
1. 电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量.
取 t 0，则得
I q t
I lim q dq t0 t dt
单位： 1A 103 mA 106 A
电流强度是标量,它只能描述导体中通过某一截面的整体特征. 为反映导体中各处电荷定向运动的情况，需引入电流密度概念.
中R是一个较大的电阻，r是一个较小的电阻，R和r都
可以改变.试证明R>>r时，r是粗调，R是微调（即r改
变某一数值时，ab间电
R
阻 Rab改变较大；而R改 变同一数值时，则 Rab改
a
b
变较小）.
r
14
R
a
b
R
a
b
r
证： 如图，R与r并联，故
rR
Rab r R
设R不变，r改变 r 时，则 Rab的改变为
恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。 6
四 欧姆定律（1826年）
1. 欧姆定律（电学的基本定律实验之一）
I
U1
U2 R
G (U1
U2 )
电导
G
1 R
的单位为［欧姆］1
，称西门子.
实验表明 R l
S
R
dl
S
1
电阻率，单位： m . 电导率，单位：（ m）.1
① 在给定电路上标定各支路上电流的参考方向.
② 方程组中各项之前的正负号约定： 对于节点方程，流出节点的电流I之前取正号，流入取负
号.对回路方程，首先标定回路绕行方向.若电阻中电流方向 与绕行方向一致，电位降落，IR之前加正号，反之加负号.
若电动势与绕行方向一致，电位升高， 之前加正号，反之
加负号.
当 dq 0时,有
j dS 0，则流入S面内电荷量多于流出量。
dt
当 dq
0时,有
S
j dS
0，则流出S面内电荷量多于流入量。
dt
S
5
利用数学上的高斯定理
j dS j dV
s
v
dq dt
v
t
dV
得
j
0
t
电流连续方程微分形式
2. 电流的恒定条件
0
t
j 0
wk.baidu.com
S j dS 0
⑵ 若电动势的指向与积分路径的方向相同，该电动势前 取“+”号，相反则取“-”号.
例题3-2-1 如图所示，求电路a、f间电势差.
a R1 b
d R2 e
f
I1 1 c 2
I2 3
解 各支电路设置的电流方向如图所示，则对电阻有
Uab I1R1
Ude I2R2
对电源有 Ubc 1
Ucd 2
③ 注意方程的独立性及独立方程数目应等于所求末知量数. 对于n个节点p条支路的复杂电路，可列出（n-1）个独立节
点电流方程和（p-n+1）个独立回路电压方程.（在新选定的回 路中，必须至少有一段电路在已选的回路中未曾出现过）。
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基尔霍夫方程组原则上可以解决任何直流电路问题.为避免 方程过多，在具体解题过程中可灵活运用，充分运用基尔霍夫 笫一方程组，使未知变量数目尽可能少，从而使问题简化.
场E的方向附加一个定向加速度
a
e
E
me
11
自由电子同原子实碰撞，只能在连续两次碰撞的时间间隔内 得以定向加速，从统计角度考虑，平均定向运动速度为
u
1
e
E
1
e
E
2 me
2 me v
若导体内自由电子（载流子）密度为n，则
j
n e
u
ne2
E
E
2mev
ne2
2mev
由经典电子论导出的结果只能定性说明金属导电的规律由
Uef 3
Uaf I1R1 I2R2 3 1 2
23
例题. 3-2-2 试求电源向负载输出功率最大的条件.
解： 设一闭合回路，电源电动势为 ，
内电阻为r，负载电阻为R，则
R
I
Rr
r
电源向负载输出的功率为
P
I
2R
2
R r2
R
根据求极值的方法
dP dR
2
rR
R r3
0
由此得到向负载输出功率最大的条件是： R= r
t
R
9
焦耳－楞次定律的微分形式
热功率密度：纯电阻导体内单位体积内的热功率.
p P I U jE E2 E2
V S0 l
表明：在导体中某点的热功率密度与该点的电场强度的平 方成正比，也与导体的电导率成正比。
焦耳热的微观机制：
自由电子与正离子碰撞时将在电场力作用下增加的动能传 给了正离子，使正离子无规振动的能量增大，这在宏观上表 现为导体温度升高。
名词： ①支路：由电阻、电源串联而成的电流通路.
②节点：3条以上支路的连接点.
③回路：由几条支路组成的闭合电流通路.
基尔霍夫第一定律：
如图，在节点处，根据电流的恒定条件
s
j
dS
0
I1
j dS j dS j dS 0
S1
S2
S3
I3 I2
25
I1 I2 I3 0
基尔霍夫第一定律一般形式
j
K
dl
j
E
dl
j
dl dl dl
利用欧姆定律，得
外 j
dl
外
j
内
E dl
外
U1
IR
内
dl
E dl
内
U2 Ir
而
K dl E dl K dl
I R r 全电路欧姆定律
19
三、一段含源电路的欧姆定律
a , Ri c
R
3
2. 电流密度矢量 j
定义
j
dI
n
dI
n
dS dS cos
S0
S
S
n
j
电流密度是一个矢量，其方向和该点正电荷运动的方向 一致，数值上等于通过该点单位垂直截面的电流强度.
电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场。
3. 电流线：用电流线描述电流场 曲线方向：该点电流密度方向； 曲线密度：与该点电流密度的大小成正比。
第三章 稳恒电流
目录
1、电流 电流密度 2、电源 电动势 3、复杂电路与基尔霍夫定律
1
经过多年的研究，1800年春，意大利的伏打（Count Alessa －Ndro Volta，1745－1827）制成了伏打电池，从而获得持续 的电流。有了稳定的电源，就为人类从研究静电现象过渡到研 究动电现象提供了坚实的技术基础。