最新初三数学--与圆有关的计算
初三下册数学圆知识点定理总结
1.垂径定理及推论:如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例：∵ CD过圆心∵CD⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1）∵∠ACB=∠AOB∴……………（2）∵ AB是直径∴∠ACB=90°（3）∵∠ACB=90°∴ AB是直径（4）∵ CD=AD=BD∴ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ ABCD是圆内接四边形∴∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1）∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线（2）∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB（3）……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA、PB是切线∴ PA=PB∵PO过圆心∴∠APO =∠BPO8．弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）（1）∵BD是切线，BC是弦∴∠CBD =∠CAB（2）∵ ED，BC是切线∴∠CBA =∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例：（1）∵PA·PB=PC·PD∴………（2）∵AB是直径∵PC⊥AB∴PC2=PA·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1）∵PC是切线，PB是割线∴PC2=PA·PB （2）∵PB、PD是割线∴PA·PB=PC·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1）（2）几何表达式举例：（1）∵O1，O2是圆心∴O1O2垂直平分AB （2）∵⊙1 、⊙2相切∴O1 、A、O2三点一线12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n；（2）有关计算在RtΔAOC中进行. 公式举例：(1) αn =；(2)几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.（4）扇形面积S扇形=；（5）弓形面积S弓形=扇形面积S AOB±ΔAOB的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔ d＜r ；直线与圆相切⇔ d=r ；直线与圆相离⇔ d＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）两圆外离⇔ d＞R+r；两圆外切⇔ d=R+r；两圆相交⇔ R-r＜d＜R+r；两圆内切⇔ d=R-r；两圆内含⇔ d＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：已知弦构造弦心距.已知弦构造RtΔ. 已知直径构造直角.已知切线连半径，出垂直.圆外角转化为圆周角. 圆内角转化为圆周角. 构造垂径定理. 构造相似形.两圆内切，构造外公切线与垂直.两圆内切，构造外公切线与平行.两圆外切，构造内公切线与垂直.两圆外切，构造内公切线与平行.两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似, 并且构造弦切角.两割出相似,并且构造圆周角.双垂出相似,并且构造直角.规则图形折叠出一对全等，一对相似.圆的外切四边形对边和相等. 若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.RtΔABC的内切圆半径：r=.补全半圆.AB=. AB=.PC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.O是圆心，等弧出平行和相似. 作AN⊥BC，可证出:.。
初中数学初三数学下册《圆中的计算问题》教案、教学设计
1.教学活动设计
在本节课的导入阶段，我将通过展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、车轮等，引发学生对圆的关注。接着，提出问题：“你们觉得圆有什么特别之处？”让学生思考并回答，从而激发学生对圆的性质和计算问题的兴趣。
2.教学内容
（1）引导学生观察圆形物体，发现圆的形状特点。
（2）让学生用自己的语言描述圆的定义和性质。
4.通过典型例题的分析与讲解，使学生掌握解题方法和技巧，提高解题能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成独立思考、自主学习的好习惯。
3.通过对圆的性质和计算问题的研究，使学生体会数学的和谐美、逻辑美，提高学生的审美情趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解和掌握圆的基本性质，如圆的对称性、圆周角定理等。
2.运用垂径定理、切线定理、弦长公式等解决圆中的计算问题。
3.将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决与圆相关的问题。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过展示生活中常见的圆形物体，如车轮、硬币等，引发学生对圆的兴趣，为新课的学习打下基础。
（3）简要回顾已学的圆的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学活动设计
在此环节，我将采用讲解、示范、提问等方式，向学生传授圆的基本性质和计算方法。同时，结合实际例子，让学生更好地理解和掌握新知识。
2.教学内容
（1）讲解圆的半径、直径、周长和面积的定义及计算方法。
（2）介绍圆的对称性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质。
当前学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，对新鲜事物充满兴趣。他们对数学学科的兴趣和信心是教学的重要基础。此外，学生在学习过程中可能存在以下问题：对复杂题目的畏惧心理、解题思路不清晰、对知识点掌握不牢固等。
初三数学《圆》总结
圆小学知识回顾圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr ²圆环面积计算方法：S=πR ²-πr ²或S=π（R ²-r ²）(R 是大圆半径，r 是小圆半径） 一、圆的概念集合形式的概念： 1.圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2.圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3.圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念(引伸)：①圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
②垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； ③角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；④到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； ⑤到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
问题：概念如何学？如何从学习概念中培养理解能力？学习概念(定义)时，要善于用简明的语言或式子表达概念的本质属性有几条；并能举出正、反例子来领会概念的本质；有时还需与某些易混淆的概念加以比较，弄清其区别，等等。
二、圆的性质(主要两条：轴对称性和旋转不变性)(1) 轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理(★非常重要，圆这章大多数题目都要用这个定理，务必掌握！！!★) ①内容：文字语言：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧⌒。
几何语言：在⊙O 中，AB 为弦,CD 是直径,CD ⊥AB,则AM=BM,⌒ AC =⌒ BC ,⌒ AD =⌒ BD 推论1：文字语言：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
几何语言：在⊙O 中，AB 为弦(不是直径),CD 是直径,AM=BM,则CD ⊥AB,⌒ AC =⌒ BC ,⌒ AD =⌒ BD推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
初三有关圆的解答题及答案
初三有关圆的解答题及答案初三数学教学中，圆是一个非常重要的内容，也是经常考察的一道题型。
下面，我们来探讨一些初三有关圆的解答题及其答案。
一、相切问题问题：两个圆相切，半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的公切线的长度$L$。
解析：根据勾股定理，可得：$(r_1 + r_2)^2 = L^2 + (r_1 - r_2)^2$化简得：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$答案：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$二、切线问题问题：已知一个圆心坐标$(a, b)$，与一直线$y=k$相切，求这个圆的方程。
解析：由于圆与直线相切，所以该直线的距离等于圆的半径。
直线$y=k$与圆的距离为$|b-k|$，因此圆的方程为：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$答案：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$三、垂直问题问题：已知直线$y=k$和圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相交于点$P(x_0,y_0)$，求直线$OP$的斜率，其中$O(a,b)$为圆心。
解析：首先，求点$P$的坐标。
因为$P$是圆和直线的交点，所以可以列出以下方程组：$\begin{cases} y=k \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases}$将$y=k$代入第二个方程，可得：$(x-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$将$(x,y)$代入，得到：$(x_0-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$整理可得：$x_0 = a\pm \sqrt{r^2-(k-b)^2}$由于直线$OP$与$x$轴垂直，所以直线$OP$的斜率为$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$。
代入$x_0$和$y_0$，即可得到答案。
答案：$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$四、分割问题问题：一个圆$O$被圆弧$AB$和直径$CD$所分割，分别为弧$AB$和弧$BCD$。
九年级上册圆题型归纳
九年级上册圆题型归纳一、圆的基本概念相关（5题）题1：已知圆的半径为5cm，求圆的周长和面积。
解析：圆的周长公式为C = 2π r，面积公式为S=π r^2，其中r = 5cm。
周长C=2π×5 = 10π cm≈ 10×3.14=31.4cm面积S=π×5^2=25π cm^2≈25× 3.14 = 78.5cm^2题2：在圆O中，弦AB的长为8，圆心O到弦AB的距离为3，求圆O的半径。
解析：设圆O的半径为r，圆心O到弦AB的距离为d = 3，弦长AB=8。
根据垂径定理，半弦长、圆心到弦的距离与圆的半径构成直角三角形。
半弦长为(AB)/(2)=(8)/(2) = 4由勾股定理r^2=d^2+<=ft((AB)/(2))^2r=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5题3：已知圆O的直径为10，点A在圆O上，求∠ AOB的度数（其中O为圆心，B为圆上另一点且AB为圆的弦）。
解析：因为圆O的直径为10，则半径r = 5。
当AB为直径时，∠ AOB=180^∘；当AB为非直径的弦时，0^∘<∠AOB<180^∘。
由于题目没有更多关于AB弦的信息，所以仅能得出∠ AOB的取值范围是0^∘<∠ AOB≤slant180^∘题4：圆O中，弧AB所对的圆心角为60^∘，半径为6，求弧AB的长。
解析：弧长公式l=(nπ r)/(180)（n为圆心角度数，r为半径）已知n = 60^∘，r=6弧AB的长l=(60π×6)/(180)= 2π题5：判断：相等的圆心角所对的弧相等。
（）解析：错误。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
如果没有同圆或等圆这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧长也不一定相等。
二、与圆的切线相关（5题）题1：直线l与圆O相切于点A，圆O的半径为3，若OA与直线l的夹角为30^∘，求圆心O到直线l的距离。
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
九年级数学圆中有关计算知识精讲
九年级数学圆中有关计算【本讲主要内容】圆中有关计算包括圆中有关线段的计算，角度的计算，圆的周长及面积等。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 垂弦定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2. 直径上的圆周角等于90°。
3. 勾股定理。
4. 锐角三角函数。
5. 圆的周长R 2C π=，弧长：l 180Rn π=。
6. 圆的面积：2R S π=，扇形面积：21R 360n S 2=π=扇l R弓形面积：±=扇弓S S 等腰三角形的面积【解题方法指导】例1. （2005年某某市）如图，AE 切圆D 于点E ，AC ＝CD ＝DB ＝10，则线段AE 的长∴∴ 评析：切线的性质可以构造出直角三角形。
例2. （2005年某某市）如图，已知圆O 的半径为5，弦AB ＝8，P 是弦AB 上任意一点，则OP 的取值X 围是________。
2∵OB ＝5 345CB OB OC 2222=-=-=∴5OP 3≤≤∴∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠BBEAE DE CE BECEDE AE DBE ACE ⋅=⋅∴=∴∆∆∴∽ ∵AB ＝4，E 是AB 中点， ∴AE ＝EB ＝2 又DE ＝CE ＋3，设CE ＝x ，则DE ＝x ＋3 22)3x (x ⨯=+∴ 04x 3x 2=-+4x 1x 21-==∴，（舍去）∴CE ＝1，DE ＝1＋3＝4 ∴CD ＝1＋4＝5 故选B 。
解：∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝25°∴∠AOB ＝180°―25°―25°＝130° 又∠AOB ＝2∠C∴∠C 21=∠AOB 21=×130°＝65°故选D 。
评析：这里用到了同弧上的圆心角是圆周角的2倍。
【考点突破】【考点指要】 圆中的计算问题内容很丰富，涉及到许多性质，可以考查同学们的计算能力，因此在中考中经常出现，但难度不是很大，加上对实际问题中弧长、扇形等问题的不断出现，还应该对圆中的计算问题予以重视，在计算中，还要注意推理。
关于初中数学圆方面的计算公式
关于初中数学圆方面的计算公式1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr²/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl6.圆锥的表面积S=πrl+πr²〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗1、圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820 9749445923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。
2、圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4、内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5、扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
初三数学圆练习题及答案
初三数学圆练习题及答案初三数学圆练习题及答案数学是一门需要不断练习的学科，而初三的数学学习则是为了为高中数学的学习打下坚实的基础。
在初三数学中，圆是一个重要的内容，掌握圆的相关知识对于解题非常有帮助。
下面，我将给大家提供一些初三数学圆练习题及答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 已知圆的半径为5cm，求该圆的周长和面积。
解答：圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径。
将半径r=5cm代入公式得到周长C=2π×5=10π≈31.42cm。
圆的面积公式为S=πr²，将半径r=5cm代入公式得到面积S=π×5²=25π≈78.54cm²。
2. 已知圆的直径为12cm，求该圆的周长和面积。
解答：圆的周长公式为C=πd，其中d为直径。
将直径d=12cm代入公式得到周长C=π×12≈37.68cm。
圆的面积公式为S=πr²，其中r为半径。
将直径d=12cm代入公式得到半径r=12/2=6cm，再将半径r=6cm代入公式得到面积S=π×6²=36π≈113.04cm²。
3. 已知一个圆的周长为18π，求该圆的半径和面积。
解答：圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径。
将周长C=18π代入公式得到18π=2πr，解方程得到r=9。
所以该圆的半径为9，面积公式为S=πr²，将半径r=9代入公式得到面积S=π×9²=81π≈254.34。
4. 已知一个圆的面积为64π，求该圆的半径和周长。
解答：圆的面积公式为S=πr²，其中r为半径。
将面积S=64π代入公式得到64π=πr²，解方程得到r=8。
所以该圆的半径为8，周长公式为C=2πr，将半径r=8代入公式得到周长C=2π×8=16π≈50.27。
通过以上练习题，我们可以看到掌握圆的周长和面积的计算方法非常重要。
初三圆的练习题加答案
初三圆的练习题加答案1. 已知一个圆的半径为5cm，求该圆的直径、周长和面积。
答案：直径 = 2 ×半径 = 2 × 5cm = 10cm周长= 2 × π × 半径= 2 × 3.14 × 5cm ≈ 31.4cm面积= π × 半径² = 3.14 × 5cm² ≈ 78.5cm²2. 已知一个圆的直径为8cm，求该圆的半径、周长和面积。
答案：半径 = 直径 / 2 = 8cm / 2 = 4cm周长= 2 × π × 半径= 2 × 3.14 × 4cm ≈ 25.12cm面积= π × 半径² = 3.14 × 4cm² ≈ 50.24cm²3. 已知一个圆的周长为12πcm，求该圆的半径、直径和面积。
答案：周长= 2 × π × 半径= 12πcm则半径 = (周长/ (2 × π)) = (12πcm / (2 × π)) = 6cm直径 = 2 ×半径 = 2 × 6cm = 12cm面积= π × 半径² = 3.14 × 6cm² ≈ 113.04cm²4. 已知一个圆的面积为36πcm²，求该圆的半径、直径和周长。
答案：面积= π × 半径² = 36πcm²则半径² = 面积/ π = 36cm² / π ≈ 11.46cm²则半径≈ √(11.46cm²) ≈ 3.39cm（保留两位小数）直径 = 2 ×半径= 2 × 3.39cm ≈ 6.78cm（保留两位小数）周长= 2 × π × 半径= 2 × 3.14 × 3.39cm ≈ 21.29cm（保留两位小数）5. 如果一个圆的周长和半径的比例为4：1，求这个圆的半径、直径和面积。
初三下册数学圆知识点定理总结
一基本概念：圆的几何定义和集合定义, 弦, 弦心距, 弧, 等弧, 弓形, 弓形高三角形的外接圆, 三角形的外心, 三角形的内切圆, 三角形的内心, 圆心角, 圆周角, 弦切角, 圆的切线, 圆的割线, 两圆的内公切线, 两圆的外公切线, 两圆的内（外）公切线长, 正多边形, 正多边形的中心, 正多边形的半径, 正多边形的边心距, 正多边形的中心角.二定理：1．不在始终线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面绽开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四 常识：1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R, r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加协助线. 7．关于圆的常见协助线：。
关于初中数学圆方面的计算公式
1. 圆的周长C=2 πr= πd2. 圆的面积S= πr23. 扇形弧长l=n πr/1804. 扇形面积S=n πr2/360=rl/25. 圆锥侧面积S= πrl6. 圆锥的表面积S= πrl+ πr2〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗1、圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974 9445923078164062862089986280348253421170679... ，通常用π表示，计算中常取 3.14 为它的近似值(但奥数常取 3 或3.1416) 。
2、圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4、内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5、扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P 与圆O 的为例（设P 是一点，则PO 是点到圆心的距离），P 在⊙O 外，PO＞r；P 在⊙O 上，PO＝r；P 在⊙O 内，PO＜r。
直线与圆有3 种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
初三中考数学与圆有关的计算
课时39．与圆有关的计算【课前热身】1. 如图，在⊙O 中，60AOB ∠=o ，3cm AB =， 则劣弧AB⌒ 的长 为 cm ．2. 翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，AB⌒ 的 长度为9米，那么半径OA ＝ 米．3. 如图，已知扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则扇形的面积为__________ 2cm .(结果保留π）4. 已知扇形的半径为2cm ，面积是243cm π，则扇形的弧长是 cm ，扇形的圆心角为 °．5. 如图，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为 ．【考点链接】1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n °的圆心角所对的弧长为 ，弧长公式为 .2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯ = = . 3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的高） 4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长）【典例精析】例1 如图，CD 切⊙O 于点D ，连结OC ，交⊙O 于点B ，过点B 作弦AB ⊥OD ，点E 为垂足，已知⊙O 的半径为10，si n ∠COD =54．(1)求弦AB 的长；（2）第1题A B O 第3题 O第5题 第2题CD 的长；（3）劣弧AB 的长.（结果保留三个有效数字，sin53.130.8o ≈，π≈3.142）例2 如图，AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，OF AC ⊥于点F ．（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当30D ∠=o ，1BC =时，求圆中阴影部分的面积．例3 如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA 、OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知6cm OA OB ==，63cm AB =.求（1）⊙O 的半径； （2）图中阴影部分的面积．【中考演练】1. Rt ABC △中，90C ∠=o ，8AC =，6BC =，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）A ．254πB ．258πC ．2516πD ．2532π2. 如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为r 米，圆心角均为90o ，则铺上的草地共有 平方米．CB AO F DEOACBD3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且13AB =，5BC =．（1）求sin BAC ∠的值；（2）如果OD AC ⊥，垂足为D ，求AD 的长；（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．﹡4. 如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90o 的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）；（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由． （3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．B。
九年级上册数学圆概念公式
初三总复习知识点总结------圆(1)(2) (3)(4)(4)∵CD=AD=BD ∴ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ABCD是圆内接四边形∴∠CDE=∠ABC∠C+∠A=180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)圆的切线垂直于经过切点的半径；※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：(1)∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线(2)∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB (3)……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵PA、PB是切线∴PA=PB∵PO过圆心PABO11．关于两圆的性质定理:(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；(2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.(1)(2)几何表达式举例：(1)∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB (2)∵⊙1、⊙2相切∴O 1、A 、O 2三点一线12．正多边形的有关计算:(1)中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n ；(2)有关计算在RtΔAOC 中进行.公式举例：(1)αn =n 360︒；(2)n1802n ︒=α几何B 级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内(外)、公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.ABO1O2AO1O2αnβnABCDEOa r n nnR3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：1．有关的计算：(1)圆的周长C=2πR ；(2)弧长L=180Rn π；(3)圆的面积S=πR 2.(4)扇形面积S 扇形=LR 21360R n 2=π；(5)弓形面积S 弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.(如图)2．圆柱与圆锥的侧面展开图：(1)圆柱的侧面积：S 圆柱侧=2πrh ；(r:底面半径；h:圆柱高)(2)圆锥的侧面积：S 圆锥侧=LR 21.(L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径)四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：(其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径)直线与圆相交⇔d ＜r ；直线与圆相切⇔d=r ；直线与圆相离⇔d ＞r.5．圆与圆的位置关系：(其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R≥r)两圆外离⇔d ＞R+r ；两圆外切⇔d=R+r ；两圆相交⇔R-r＜d ＜R+r ；两圆内切⇔d=R-r ；两圆内含⇔d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：。
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初三数学与圆有关的计算
考点回顾：
1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为；
2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为
（其中l表示扇形的弧长）；
3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形；
4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh；
5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为
S＝πr2＋πar．
考点精讲精练：
例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F．（1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数；
（2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．
变式练习1、如图，半径OA＝6cm，C为OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分面积．
例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（）
变式练习2、如图，AB为⊙O的切线，半径OA＝2，OB交⊙O于点C，∠B＝30°，则劣
弧的长是__________．
例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（）
A、1
变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥
的母线长为________．
例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）证明：△AFO≌△CEB；
（2）若EB＝5cm，，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积．
变式练习4、如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积．
例5、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁从A点出发，绕侧面一周又回
到A点，它爬行的最短路线长是多少？
1、若一个圆锥的底面圆的周长为4πcm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为（）A．40°B．80°C．120°D．150°
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6cm，CD⊥AB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为（）cm2．
A．B．
C．D．
3、已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图，则sinθ的值为（）
4、将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）cm．A．10B．30 C．45D．300
5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，若把△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，所得的几何体的表面积为（）
A．4πC．8π
二、填空题
6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12．分别以AB、AC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为__________．
7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A、C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个图形，则剩余（阴影）部分的面积为__________cm2．8、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，且AE＝6，EF＝8，FC ＝10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为__________．
9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为__________．
10、用一个半径为8，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为__________．
11、如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．
（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．
12、如图，已知点A，B，C，D均在已知图上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．
13、如图，AB为⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB交于
点P，连EF，EO，若，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．
14、如图，在△ABC中，∠A＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，连OD，已知BD＝2，AD＝3，求：（1）tanC的值；（2）图中两
部分阴影的面积之和．
一个资料员的自述
我个人认为作为一名资料员，心态和心理素质一定要好，首先必须和监理处好关
系（本着监理就是上帝的宗旨），凡有搞不明白的地方就去请教他们，尽量按监
理的要求去做，确保资料签认的通过率，除此以外必须做好自己的本分工作，在每道工序报验前必须先将涉及到本工序的材料报上，及时做好隐蔽工序报验工作，进场材料应及时做台帐，并让监理签字认可（施工单位材料台帐应与监理台帐必须相吻合），所有收（发）文应做记录并让对方签字，所有资料经报验通过后及时将原件按资料组卷目录摆放，并做好汇总，混凝土、砂浆试块制作应及时登记，及时做好桩位轴线偏差记录，每一分项都应有专项施工方案（如土方、钢筋、模板、砌筑、门窗、装饰、保温、屋面、地坪等，钢结构组装、焊接、涂装、安装、高强度螺栓、普通螺栓施工等），并对应做好书面技术交底，并让被交底人签字，所有非本人办理的资料应及时向项目部汇报（如口头汇报无效，应出具书面申请，并要求责任到人）。
主体结构施工应及时做好沉降观测记录（每层一次），钢结构工程根据设计要求也应做沉降观测记录。
检验批报验应做分项工程质量验收记录——分部（子分部）工程质量验收记录——单位（子单位）工程质量验收记录。
混凝土试块如发现有不合格的应及时进行回弹试验（出具混凝土非破损检测报告），商品混凝土应有混凝土质量证明书（搅拌站提供），同一分部、强度等级的试块应按实际组数进行数理或非数理统计评定。
所有设计变更应进行汇总，并做好图纸变更台帐（所有设计变更应在竣工图上反应）。
土建部分
1、开工前（具备开工条件的资料）：施工许可证（建设单位提供），施工组织设计（包括报审表、审批表），开工报告（开工报审），工程地质勘查报告，施工现场质量管理检查记录（报审），质量人员从业资格证书（收集报审），特殊工种上
岗证（收集报审），测量放线（报审），
2、基础施工阶段：钢筋进场取样、送样（图纸上规定的各种规格钢筋），土方开挖（土方开挖方案、技术交底，地基验槽记录、隐蔽、检验批报验），垫层（隐蔽、混凝土施工检验批、放线记录、放线技术复核），基础（钢筋原材料、检测报告报审，钢筋、模板、混凝土施工方案、技术交底，钢筋隐蔽、钢筋、模板检验批、放线记录、技术复核，混凝土隐蔽、混凝土施工检验批，标养、同条件和拆模试块），基础砖墙（方案、技术交底，提前做砂浆配合比，隐蔽、检验批，砂浆试块），模板拆除（拆模试块报告报审，隐蔽、检验批），土方回填（方案、技术交底，隐蔽、检验批，土方密实度试验）。
3、主体施工阶段：一层结构（方案、技术交底基础中已包含，钢筋原材料、检测报告报审，闪光对焊、电渣压力焊取样、送样，钢筋隐蔽、钢筋、模板检验批、
模板技术复核）。