2017中考数学总复习概率
中考数学复习：专题8-1 浅议列举法解中考概率题的策略
专题01浅议列举法解中考概率题的策略【专题综述】考查学生用列举法解决随机事件发生的概率是近几年中考数学命题的热点之一.用列举法求概率必须满足两个条件:一是一次试验中，可能出现的结果是有限多个;二是各种结果发生的可能性相等.常用的公式是:如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相同，事件A出现m种结果，那么事件A发生的概率为()mP An=.列举法有直接列举法.列表法和画树状图法.而中考数学中概率型应用题与学生的生活紧密联系，问题背景丰富，包括掷骰子游戏、摸球游戏、手心手背游戏、纸牌游戏、转盘实验等等.解题的关键是读懂并领会题意，分清数量之间的关系，把实际问题转化为数学问题.具体做法是准确建立概率模型，用列表法或画树状图列举出所有可能的结果，再利用概率公式计算每个事件发生的概率，最后比较概率的大小.概率相等就公平，否则就不公平，从而求得答案.【方法解读】一、田忌赛马中的概率问题—用直接列举法例1：田忌赛马的故事为人熟知.传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定:比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜.看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强.(1)如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜?(2)如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少?(要求写出双方对阵的所有情况)错解：P∴ (田忌获胜)31 93 ==.(2)当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表:双方马的对阵中，共有6种等可能的结果，只有1种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率16P .【解读】 (1)直接列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法，求解的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性.正确理解题意，将齐王与田忌的马的对阵排序一一列举出来即可求得.(2)要恰当列表，写出双方对阵的所有情况，可求得结果.注意：列表法或画树状图法并非求概率的万能解法，有的题用直接列举法解很为简便.学#科网【举一反三】用蓝色和红色可以混合在一起调配出紫色，小明制作了如图所示的两个转盘，其中一个转盘两部分的圆心角分别是120°和240°，另一个转盘两部分被平分成两等份，分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域颜色恰能配成紫色的概率是（）A. B. C. D.【来源】2017年山东省烟台市芝罘区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）【答案】B【解析】列表如下：红红蓝红紫蓝紫紫共有9种情况，其中配成紫色的有3种，所以恰能配成紫色的概率=故选B．二、考查简单事件发生的概率—用列表法(树状图法)例2：某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是:绿茶(500mI)、红茶(500mI)和可乐(600ml).抽奖规则如下:①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样.②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”).③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”.④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关)，便可获得相应奖品一瓶;不相同时，不能获得任何奖品.根据以上规则，回答下列问题:(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率;(2)有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率.解：(1)转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样，∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为15.(2)如图，画树状图，得:共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为2 25.【解读】 (1)由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样;直接利用概率公式求解即可求得答案.(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案. 本题的考点是列表法或树状图法;概率公式. 注意此题是放回实验，用到的知识点为概率公式:()mP An=.【举一反三】一个不透明的箱子里只有 2 个白球和1个红球，它们除颜色外其他均相同．（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少?（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，再摸出一个球，用画出树状图或列表的方法，求两次摸出的球都是白球的概率．【来源】广东省深圳高级中学2017-2018学年初三上期末数试题【答案】(1)．(2)．【解析】试题分析：（1）根据概率公式列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．（2）根据题意画出树状图如下：一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，所以，P（两次摸出的球都是白球）＝＝．点睛：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．三、判断游戏的公平性—用列表法(树状图法)求出概率例3：某中学要在全校学生中举办“中国梦我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛.九年级(1)班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛.经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛).规则如下:两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜;向上一面的点数都是偶数，则小丽胜;否则，视为平局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止.如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题:(1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少?(2)该游戏是否公平?请用列表或树状图等方法说明理由(骰子:六个面上分别刻有1 ,2,3,4,5,6个小圆点的小正方体).解：(1)因为，向上一面的点数为奇数有3种情况，所以，小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是: 31 62 .(2)填表如下:由表可知，一共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果. 所以，P (小亮胜)=91364=，P (小丽胜)= 91364=,因此,游戏是公平的.’ 【解读】(1)首先判断出向上一面的点数为奇数有3种情况，然后根据概率公式，求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可.(2)应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平.此题主要考查了判断游戏公平性问题.首先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平. 而用列举法(树形图法)求出概率，解答此类问题的关键在于列举出所有可能的结果. 【举一反三】在学习概率的课堂上，老师提出问题：一口袋装有除颜色外均相同的2个红球1个白球和1个篮球，小刚和小明想通过摸球来决定谁去看电影，同学甲设计了如下的方案：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一红一白”，则小刚看电影；摸到“一白一蓝”，则小明看电影．（1）同学甲的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；（2）你若认为这个方案不公平，那么请你改变一下规则，设计一个公平的方案． 【来源】2017-2018学年天津市宁河县九年级（上）期末数学试卷【答案】（1）不公平，理由见解析；（2）拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了.解：（1）同学甲的方案不公平．理由如下：由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一红一白”有4种，摸到“一白一蓝”的概率有2种，故小刚获胜的概率为412=13，小明获胜的概率为212=16，所以这个游戏不公平．（2）拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了．【强化训练】1．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为5的概率是（）A．16B．29C．13D．12【来源】2016届辽宁大连市中考模拟数学试卷（一）（带解析）【答案】B【解析】试题分析：根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和为5的有2种，因此两次摸出的小球标号的和为5的概率是29.故选：B．学3科4网考点：列表法与树状图法2．一个不透明的袋中共有20个球，它们除颜色不同外，其余均相同，其中：8个白球，5个黄球，5个绿球，2个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（）A. 23B.110C.15D.14【来源】2017年中考真题精品解析数学（贵州黔西南州卷）【答案】B【解析】解：∵20个球中红球有2个，∴任意摸出一个球是红球的概率是220=110，故选B．点睛：本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．3．某同学家长应邀参加孩子就读中学的开放日活动，他打算上午随机听一节孩子所在1班的课，下表是他拿到的当天上午1班的课表，如果每一节课被听的机会均等，那么他听数学课的概率是_____．班级节次1班第1节语文第2节英语第3节数学第4节音乐【来源】2017年初中毕业升学考试（湖南湘潭卷）数学（带解析）【答案】1 4考点：简单的概率计算4．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了_______名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．【来源】2015年初中毕业升学考试（四川资阳卷）数学（带解析）【答案】（1）20；（2）详见解析；（3）12.【解析】试题解析：（1）20.（2）如图列表如下：A 类中的两名男生分别记为A1和A2 男A1 男A2 女A 男D 男A1男D 男A2男D 女A 男D 女D男A1女D男A2女D女A 女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：2163 考点：条形统计图；扇形统计图；用列表法求概率.5．如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是______．【来源】2017年中考真题精品解析 数学（江苏镇江卷） 【答案】23． 【解析】解：图中共有6个相等的区域，含奇数的有1，1，3，3共4个，转盘停止时指针指向奇数的概率是46=23．故答案为： 23． 点睛：此题主要考查了概率公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．6．在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y）.（1）画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标；（2）求点Q（x，y）在函数y＝－x＋5的图象上的概率；（3）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则.【来源】辽宁省盖州市东城中学2017届九年级中考模拟数学试题【答案】（1）画树状图见解析；（2）13；(3)不公平,理由见解析.本题解析：（1）画树状图得：则点Q所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），2，4），（3，1），（3，2），（3，4）（4，1），（4，2），（4，3）共12种；（2）这个游戏不公平．因为点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率为：41123=；共有12种等可能的结果，在函数y=﹣x+5的图象上的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），∴点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率为：41 123=；（3）∵x、y满足xy＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4种情况，x、y满足xy＜6有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6种情况，∴P（小明胜）=41123=，P（小红胜）=61122=，∴P（小明胜）≠P（小红胜），∴不公平；公平的游戏规则为：若x、y满足xy≥6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜．7．为了传承祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ;(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.九宫格【来源】2017年初中毕业升学考试（江苏盐城卷）数学（带解析）【答案】（1）12；（2）14（2）画树形图得：由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率=．考点：列表法与树状图法；概率公式．学！科2网8．传统节日“端午节”的早晨，小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点：一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，四个粽子除内部馅料不同外，其它一切均相同．（1）小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为；（2）若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性是否会增大？请说明理由．【来源】2017年中考真题精品解析 数学（辽宁锦州卷）【答案】（1）16；（2）会增大． （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小文吃前两个都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给小文再增加一个花生馅的粽子，比较大小即可． 试题解析：解：（1）分别用A ，B ，C 表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，小文吃前两个粽子刚好都是花生馅的有2种情况，∴小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率： 212=16，故答案为： 16； （2）会增大，理由：分别用A ，B ，C 表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，三个花生馅粽，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两个都是花生的有6种情况，∴都是花生的概率为： 620 =310＞16； ∴给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性会增大．点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．图1是一个可以自由转动的转盘，被分成了面积相等的三个扇形，分别标有数1-， 2-， 3-，甲转动一次转盘，转盘停止后指针指向的扇形内的数记为A （如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形为止）．图2是背面完全一样、牌面数字分别是2， 3， 4， 5的四张扑克牌，把四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，乙随机抽出一张牌的牌面数字记为B ．计算A B +的值．（1）用树状图或列表法求0A B +=的概率．（2）甲乙两人玩游戏，规定：当A B +是正数时，甲胜；否则，乙胜，你认为这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．【来源】【全国百强校】陕西省西安市高新第一中学2017届九年级下学期模拟四数学试题【答案】（1）树状图见解析；（2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得A +B =0的概率；（2）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以求得甲获胜的概率和乙获胜的概率．（2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由：由题意可得，A +B 的所有可能性是：﹣1+2=1，﹣1+3=2，﹣1+4=3，﹣1+5=4，﹣2+2=0，﹣2+3=1，﹣2+4=2，﹣2+5=3，﹣3+2=﹣1，﹣3+3=0，﹣3+4=1，﹣3+5=2，∴A +B 的和为正数的概率是： 93124= ，∴甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，∵34≠14，∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 点睛：本题考查游戏公平性、列表法和树状图法，解答此类问题的关键是明确题意，写出所有的可能性．10．如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A ：自带白开水；B ：瓶装矿泉水；C ：碳酸饮料；D ：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图．（2）若该班同学没人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元？（3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？（4）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率．【来源】2017年中考真题精品解析数学（辽宁盘锦卷）精编word版（解析版）【答案】(1)50；（2）2.6；（3）104000元；（4）35．试题解析：解：（1）∵抽查的总人数为：20÷40%=50人，∴C类人数=50﹣20﹣5﹣15=10人，补全条形统计图如下：（2）该班同学用于饮品上的人均花费=（5×0+20×2+3×10+4×15）÷50=2.6元；（3）我市初中生每天用于饮品上的花费=40000×2.6=104000元．（4）列表得：或画树状图得：所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，所以P（恰好抽到一男一女）=1220=35．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．学~科1网。
中考数学总复习概率与统计知识点梳理
中考数学总复习概率与统计知识点梳理概率与统计是中考数学中的重要内容，考查的主要知识点包括：概率、统计、抽样调查和相关性等。
以下是对这些知识点的详细梳理。
1.概率：概率是描述件事情发生可能性大小的数值，是随机试验结果的度量标准。
概率的计算方法包括：理论概率、几何概率和频率概率。
-理论概率：根据随机试验的全部可能结果进行计算，概率值范围为0到1之间。
-几何概率：通过对随机试验的几何模型进行分析，计算几何概率。
-频率概率：通过重复实验来估计事件发生的概率，概率值近似于实验中事件发生的频率。
2.统计：统计是收集、整理和分析数据，从而得出有关事物规律的学科。
统计的主要目的是对研究对象进行客观的描述和分析。
-数据的收集和整理：对于给定的研究对象，要通过合理的方法收集数据并进行整理，包括调查问卷、实验、采样等方法。
-数据的分析和表示：使用图表、统计量等方法对收集到的数据进行分析和表示，主要包括频数表、频率分布表、直方图、折线图等。
-数据的描述性统计：通过描述性统计指标，如均值、中位数、众数、极差、方差、标准差等，对数据的特征进行描述。
3.抽样调查：为了对整个群体进行研究，使用抽样调查的方法从群体中抽取一部分样本进行调查。
抽样调查的方法包括概率抽样和非概率抽样。
-概率抽样：每个样本被抽取的概率相等，可以使用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和整群抽样等方法。
-非概率抽样：每个样本被抽取的概率不等，可以使用方便抽样、判断抽样、专家抽样和雪球抽样等方法。
4.相关性：相关性是用来衡量两个变量之间关系的指标，包括正相关、负相关和不相关。
初三数学概率知识点总结
初三数学概率知识点总结一、事件的分类。
1. 必然事件。
- 在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
例如：太阳从东方升起。
2. 不可能事件。
- 在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中都不可能发生的事件。
例如：掷骰子得到的点数大于6。
3. 随机事件。
- 在一定的条件下重复进行试验时，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷一枚硬币，正面朝上。
二、概率的定义。
1. 概率的概念。
- 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=(m)/(n)。
- 例如：掷一枚均匀的骰子，共有6种等可能的结果（1点、2点、3点、4点、5点、6点），掷出偶数点（事件A）包含3种结果（2点、4点、6点），则P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)。
2. 概率的取值范围。
- 对于任何事件A，0≤ P(A)≤1。
- 当P(A) = 0时，事件A是不可能事件；当P(A)=1时，事件A是必然事件；当0时，事件A是随机事件。
三、用列举法求概率。
1. 直接列举法。
- 当试验的结果较少时，可以直接列举出所有可能的结果，然后计算事件的概率。
- 例如：一个布袋中有1个红球和2个白球，除颜色外其余都相同。
从袋中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。
- 这里总共有3个球（1个红球和2个白球），摸出红球这一事件包含1种结果，所以P(摸到红球)=(1)/(3)。
2. 列表法。
- 当一次试验涉及两个因素（例如掷两枚骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，可以采用列表法。
- 例如：同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为7的概率。
- 列表如下：第一枚骰子\\第二枚骰子 1 2 3 4 5 6。
1 2 3 4 5 6 7.2 3 4 5 6 7 8.3 4 5 6 7 8 9.4 5 6 7 8 9 10.5 6 7 8 9 10 11.6 7 8 9 10 11 12.- 共有36种等可能的结果，点数之和为7的情况有6种（1和6、2和5、3和4、4和3、5和2、6和1），所以P(点数之和为7)=(6)/(36)=(1)/(6)。
2017年初中数学知识点中考总复习总结归纳
2017年中考数学总复习资料第一章 数与式考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称， 如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
（1）一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（2）正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
2017年广东省中考数学备考必备第三部分统计与概率第七章统计与概率课时34概率
字后放回，再随机地摸出一个小球.
（1）请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上 数字的所有可能结果； （2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率. 解：（1）画出树状图如答图3-7-34-2. 则共有9种等可能的结果. （2）由（1），得两次摸出的 球上的数字和为偶数的有5种情
况，
∴两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为 .
（3）概率:
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
会稳
定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的_________. 概率
一般地，用英文大写字母A，B，C，„表示事件，事件A的概率
p 可记为P（A）＝__________. 概率是频率（多个）的波动稳定
值，是对事件发生可能性大小的量的表现. （4）确定事件和随机事件的概率之间的关系： ①当A是必然发生的事件时，P（A）＝__________. 1 ②当A是不可能发生的事件时，P（A）＝__________. 0 ③当A是随机发生的事件时，_________________. 0＜P（A）＜1
解：（1）画出树状图如答图3-7-34-6.
则共有16种等可能的结果. （2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B，C， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况.
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为
10. （2016临夏州）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3 个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标 有数字0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字-1，-2，0. 现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x，再从乙 袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为y，以此确定点M
考点巩固训练
考点1 确定事件与随机事件
2017届九年级数学中考总复习：全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解
全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．【思路点拨】延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．通过证全等将AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．2、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求证：AB＝CD－BD．【思路点拨】在DC上取一点E，使BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再证出EC ＝AE即可．【答案与解析】证明：在DC上取一点E，使BD＝DE∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE在△ABD和△AED中， BD＝DE，AD＝AD．∴△ABD≌△AED（SAS）．∴AB＝AE，∠B＝∠AED．又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD沿AD翻折，使线段BD运动到DC上，从而构造出CD－BD，并且也把∠B转化为∠AEB，从而拉近了与∠C的关系.举一反三：【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝12（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.【答案】证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，∵CE⊥AB，AEDC B∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° 在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ） ∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ， 即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ） ∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE. ∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.类型二、全等三角形的判定2——“角边角”2、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC ＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】 证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠CBF ∵∠ABC＝2∠ADG ∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ） ∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等． 举一反三：【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例7】【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型三、全等三角形的判定3——“角角边”3、已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE ⊥CD 、BF ⊥CD ，垂足为E 、F ， 求证：CE ＝BF.【答案与解析】证明：∵ AE ⊥CD 、BF ⊥CD ，∴∠AEC ＝∠BFC ＝90° ∴∠BCF ＋∠B ＝90° ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCF ＋∠ACF ＝90° ∴∠ACF ＝∠B在△BCF 和△CAE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC ∴△BCF ≌△CAE （AAS ） ∴CE ＝BF【总结升华】要证CE ＝BF ，只需证含有这两个线段的△BCF ≌△CAE.同角的余角相等是找角等的好方法.4、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB ＝90°）和一直线MN ．过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF ＋BF ＝2CE ．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【思路点拨】过B 作BH ⊥CE 与点H ，易证△ACE ≌△CBH ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF ＋BF ＝2CE ． 【答案与解析】解：图2，AF ＋BF ＝2CE 仍成立， 证明：过B 作BH ⊥CE 于点H ，∵∠CBH ＋∠BCH ＝∠ACE ＋∠BCH ＝90° ∴∠CBH ＝∠ACE在△ACE 与△CBH 中，90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBH ．（AAS ） ∴CH ＝AE ，BF ＝HE ，CE ＝EF ，∴AF ＋BF ＝AE ＋EF ＋BF ＝CH ＋EF ＋HE ＝CE ＋EF ＝2EC ．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三：【变式】已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.【答案】解：图2成立； 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥， 则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A BAD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB （AAS ）图2ADBCE M NF∴DM ＝DN∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ＝90°， ∴∠ MDE ＝∠NDF 在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DNMDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF （ASA ） ∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形 可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形， ∴12DEFCEF ABC S S S +=△△△类型四、全等三角形判定的实际应用5、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A 、B 两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案． 要求：（1）画出设计的测量示意图； （2）写出测量方案的理由．【思路点拨】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得揽月湖的长度（如下图）；（2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案． 【答案与解析】 解：（1）如图所示；分别以点A 、点B 为端点，作AQ 、BP ， 使其相交于点C ，使得CP=CB ，CQ=CA ，连接PQ ， 测得PQ 即可得出AB 的长度．（2）理由：由上面可知：PC=BC ，QC=AC ， 又∠PCQ=∠BCA ，∴在△PCQ 与△BCA 中，，∴△PCQ ≌△BCA （SAS ），∴AB=PQ．【总结升华】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握．。
备考2023年中考数学一轮复习-统计与概率_概率_利用频率估计概率
备考2023年中考数学一轮复习-统计与概率_概率_利用频率估计概率利用频率估计概率专训单选题：1、(2017北京.中考真卷) 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（）A . ①B . ②C . ①②D . ①③2、(2019阜新.中考真卷) 一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（）A . 12B . 10C . 8D . 63、(2015本溪.中考真卷) 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A . 16个B . 20个C . 25个D . 30个4、(2015南通.中考真卷) 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（）A . 12B . 15C . 18D . 215、(2019嘉兴.中考模拟) 对某校600名学生的体重（单位：kg）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，学生体重在60kg以上的人数为（）A . 120B . 150C . 180D . 3306、(2019武汉.中考模拟) 如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）.小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率为（）A . 0.33B . 0.34C . 0.20D . 0.357、(2019花都.中考模拟) 在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共40个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球实验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中白色球可能（）A . 4个B . 6个C . 34个D . 36个8、(2020无为.中考模拟) 某校生物兴趣小组为了解种子发芽情况，重复做了大量种子发芽的实验，结果如下：根据以上数据，估计该种子发芽的概率是（）A . 0.90B . 0.98C . 0.95D . 0.919、(2021张店.中考模拟) 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）A . 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”B . 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”C . 在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”D . 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是610、在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（）A . 6个B . 15个C . 13个D . 12个填空题：11、(2017昆都仑.中考模拟) 在一个不透明的口袋中有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在15%左右，则口袋中的白球大约有________个．12、(2017泰兴.中考模拟) 如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为________．13、(2019瑞安.中考模拟) 瑞安某服装厂对一批服装质量抽检情况如下：抽检件数（件）10 100 200 500 1000正品件数（件）10 97 194 475 950根据表格中的数据，从这批服装中任选一件是正品的概率约为________.14、(2018郴州.中考真卷) (2018·郴州) 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示，则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是________。
中考概率知识点总结
中考概率知识点总结概率是一个在日常生活中经常出现的概念，它涉及到我们对未知情况的估计和推测。
在数学中，概率是描述一个随机事件发生可能性的一种数值，通常用来衡量某个事件发生的可能性有多大。
在中考数学中，概率是一个重要的知识点，它涉及到事件的发生概率计算、概率的性质、概率分布、概率的运算等内容。
下面我们来总结一下中考概率知识点。
一、概率的基本概念1.1 随机事件在概率论中，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币得到正面、摸黑箱中的球是红色等都属于随机事件。
1.2 随机事件的概率随机事件的概率就是指在一定条件下，某个随机事件发生的可能性大小。
概率通常用P(A)表示，其中A表示随机事件，P(A)表示事件A发生的概率。
1.3 随机试验随机试验是指在相同的条件下，可以重复进行的观察、记录或测量，且每次试验的结果不确定。
例如：掷硬币、抽取彩票等都属于随机试验。
1.4 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
例如：掷硬币的样本空间为{正面，反面}，抽取一张扑克牌的样本空间为{红心A，红心2，…，黑桃K}等。
1.5 事件的互斥和对立互斥事件是指两个事件不可能同时发生，对立事件是指两个事件至少有一个发生。
例如：掷骰子得到奇数和得到偶数是对立事件，抽取一张扑克牌是红心和不是红心是互斥事件。
二、概率的性质2.1 非负性概率永远是非负数，即0≤P(A)≤1，其中A表示随机事件。
2.2 规范性对于一个必然事件，其概率为1，即P(Ω)=1。
2.3 可列可加性对于事件A和事件B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
2.4 对立事件概率关系事件A的对立事件记作A'，有P(A)+P(A')=1。
2.5 空集事件概率对于空集事件ϕ，有P(ϕ)=0。
三、事件的概率计算3.1 等可能性原理对于一个没有任何明显差别的样本空间，每个基本事件的概率相等。
例如：掷骰子得到1、2、3、4、5、6的概率都是1/6，抽取一张扑克牌得到红心、方块、梅花、黑桃的概率都是1/4等。
2017中考数学知识点总结：概率统计的9个考点
2017中考数学知识点总结：概率统计的9个考点考点1：确定事件和随机事件考核要求：（1）明白必定事件、不会事件、随机事件的概念，懂确定事件与必定事件、不会事件的关系；（2）能区分简单日子事件中的必定事件、不会事件、随机事件。
考点2：事件发生的也许性大小，事件的概率考核要求：（1）懂各种事件发生的也许性大小别同，能推断一些随机事件发生的也许事件的大小并排出大小顺序；（2）懂概率的含义和表示符号，了解必定事件、不会事件的概率和随机事件概率的取值范围；（3）明白随机事件发生的频率之间的区不和联系，会依照大数次试验所得频率恐怕事件的概率。
注意：（1）在给也许性的大小排序前可先用“一定发生”、“非常有也许发生”、“也许发生”、“别太也许发生”、“一定不可能发生”等词语来表述事件发生的也许性的大小；（2）事件的概率是确定的常数，而概率是别确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，惟独当试验次数脚够大时才干更精确。
考点3：等也许试验中事件的概率咨询题及概率计算考核要求（1）明白等也许试验的概念，会用等也许试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率；（2）会用枚举法或画“树形图”办法求等也许事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率咨询题；（3）形成对概率的初步认识，了解机遇与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率咨询题。
注意：（1）计算前要先确定是否为也许事件；（2）用枚举法或画“树形图”办法求等也许事件的概率过程中要将所有等也许事情思考完整。
考点4：数据整理与统计图表考核要求：（1）懂数据整理分析的意义，懂普查和抽样调查这两种收集数据的办法及其区不；（2）结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的办法，并能经过图表猎取有关信息。
考点5：统计的含义考核要求：（1）懂统计的意义和普通研究过程；（2）认识个体、总体和样本的区不，了解样本恐怕总体的思想办法。
考点6：平均数、加权平均数的概念和计算考核要求：（1）明白平均数、加权平均数的概念；（2）掌握平均数、加权平均数的计算公式。
新人教版初中数学中考总复习：统计与概率--知识点整理及重点题型梳理
新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：统计与概率—知识讲解【考纲要求】1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算；3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件；5.加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．【知识网络】「I 统计图表——।阅读图表提取信息T 集中程度I 怦均数中位教嬴【考点梳理】考点一、数据的收集及整理1 .一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展 开调查、记录结果、得出结论.2 .调查收集数据的方法:普查与抽样调查. 要点诠释：(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的.(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行 普查；或调查具有破坏性时，不允许普查，这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想 (3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本.统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样 3 .数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图. 要点诠释：这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额.收集数据媒体查询抽样调查-抽样的基本要求总体个体样本T 整理数据借助统计活动研究概率从概 率角度分析善数据特征离散程度限差方差标准差实验估计概必然事不可能事游戏的 公平与模拟等效实考点二.数据的分析 1 .基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体； 个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本； 样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组 数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数； 极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的 情况，这个结果通常称为方差.计算方差的公式：设一组数据是/,无是这组数据的平均数。
上海市中考数学真题汇编 统计与概率
上海市中考数学真题汇编统计与概率一、单选题1．（2018·上海）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A．25和30B．25和29C．28和30D．28和29【答案】D【解析】【解答】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28，∴这组数据的中位数是28，在这组数据中，29出现的次数最多，∴这组数据的众数是29，故答案为：D．【分析】对这组数据按从小到大重新排列顺序后处于最中间位置的是第4个数28，故这组数据的中位数是28，在这组数据中，29出现的次数最多，出现了2次，故这组数据的众数是29。
2．（2017·上海）数据2、5、6、0、6、1、8的中位数和众数分别是（）A．0和6B．0和8C．5和6D．5和8【答案】C【解析】【解答】解：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：0，1，2，5，6，6，8，位于中间位置的数为5，故中位数为5，数据6出现了2次，最多，故这组数据的众数是6，中位数是5，故选C．【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．3．（2020·上海）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是()A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图【答案】B【解析】【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图．故答案为：B．【分析】根据统计图的特点判定即可．4．（2019·上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是()A．甲的成绩比乙稳定B．甲的最好成绩比乙高C．甲的成绩的平均数比乙大D．甲的成绩的中位数比乙大【答案】A【解析】【解答】甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为15[(7−8)2+3×(8−8)2+(9−8)2]=0.4；乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为8，平均数为8，方差为15[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2，∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低.故答案为：A.【分析】根据题意，分别计算两名学生的平均数。
浙江省2017年中考数学重点知识点测试及预习：概率(pdf版)
概率的练习【例1】下列事件中必然发生的是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．阴天就一定会下雨【例2】下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖【答案】例1 C 例2 D【例3】从1~12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4倍数的概率是（）．A．112B．14C．13D．12【例4】在12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________．【答案】例3 B 例443【例5】如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．请用列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．【例6】现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．请用画树形图的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；【例5】 解：列表法∵共有12种等可能的结果，摸出的两张牌均为黑色的有2种情况， ∴P （摸出的两张牌均为黑色）=61122 ． 【例6】 解：树状图共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P （数字之积为6）==．【例7】在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 个．【例8】4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x 的值大约是多少？ 【答案】 【例7】8【例8】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（抽到的都是合格品）==；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．【例9】把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）A．B．C．D．【例10】设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A．B．C．D．【例11】有七张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3，4的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣3a=0有实数根，且无解的概率是．【答案】5【例9】C 【例10】B 【例11】7【例12】有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；（2）求使分式+有意义的（x，y）出现的概率；（3）化简分式+，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率．【例13】一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有1，2，3，4，5，6．如果小王抛掷一次得到一个数字x，小张手里有四张背面完全相同的卡片，正面标有1，2，3，4．小张将卡片洗匀后机抽取一张得到一个数字为y，（抽取后要放回）确定一点P（x，y），那么他们各做一次所确定点P落在已知直线y=﹣x+5的概率是多少？【例14】有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和2．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）．求点Q落在函数图象上的概率．【答案】【例12】解：（1（2）使分式+有意义的（x，y）出现的概率是，（3）使分式的值为整数的（x，y）出现的概率是．【例13】他们各做一次所确定点P落在已知直线y=﹣x+5的概率是．【例14】点Q落在函数图象上的概率为：=．。
2017年中考数学黄金知识点系列专题09概率
专题09 概率聚焦考点☆温习理解一、频率分布1、频率分布的意义在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：①计算极差（最大值与最小值的差）②决定组距与组数③决定分点④列频率分布表⑤画频率分布直方图（2）频率分布的有关概念①极差：最大值与最小值的差②频数：落在各个小组内的数据的个数③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。
二、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
3、随机事件发生的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。
要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。
所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
三、概率1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A ，B ，C ，…，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P四、确定事件和随机事件的概率之间的关系1、确定事件概率（1）当A 是必然发生的事件时，P （A ）=1（2）当A 是不可能发生的事件时，P （A ）=02、确定事件和随机事件的概率之间的关系五、古典概型1、古典概型的定义某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
2017届中考数学第27讲概率知识梳理(冀教版)
2017届中考数学第27讲概率知识梳理（冀教版）
第27讲概率
一、知识清单梳理
知识点一：概率内容
关键点拨
1.概率及公式定义表示一个事件发生的可能性大小的数．例：设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是.
概率公式P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
2.用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝. 例：在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则摸到白球的概率为0.7.
3.事件的类型及其概率事件类型概率例：下列4个事件：①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正数；③异号两数相乘，积为正数；④异号两数相除，商为负数．其中必然事件是④，不可能事件是③．
确定性事件1或0
必然事件1
不可能事件0
不确定性事件(随机事件)0知识点二：随机事件概率的计算
4.随机事件概率的计算方法(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
(2)两步完成：列表法、画树状图法；
(3)两步以上：画树状图法树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
知识点三：几何概率的计算*
5.几何概率的计算方法求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
几何概率的考查一般结合特殊三边形、四边形或圆的基本性质，不一定把具体的面积求出来，只需要求出比值即可.。