利用基本不等式求最值

∴
x
＋
4 x－2
＝
x
－
2
百度文库
＋
4 x－2
＋
2
＝
－
2－x＋2－4 x
＋
2≤
－
2
2－x·2－4 x＋2＝－2.
当且仅当 2－x＝2－4 x，即 x＝0 时，
x＋x－4 2取最大值－2.
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
(2)x2－x－2x2＋4＝x－22＋x－22x－2＋4 ＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，原式有最小值 6.
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a>0，b>0，且 a＋b＝16，则 ab≤64.( )
(2)若 ab＝2，则 a＋b 的最小值为 2 2.( )
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[解] (1)∵x>0， ∴由基本不等式得 y＝4x＋9x≥2 4x·9x＝2 36＝12， 当且仅当 4x＝9x，即 x＝32时，y＝4x＋9x取最小值 12. (2)∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋32－2x2＝92.
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时取“＝”． ∴y 的最大值为92. (3)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝(x－2)＋x－4 2＋2 ≥2 x－2·x－4 2＋2＝6. 当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，x＋x－4 2取最小值 6.
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)， 再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论 (作答)．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[针对训练] 4．某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造 一栋至少 10 层，每层 2000 m2 的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋48x(单位：元)．为 了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购
小值是 2
x x－1.(
)
(4)若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2≥2.(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
课堂互动探究
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
题型一 利用基本不等式求最值 【典例 1】 (1)若 x>0，求 y＝4x＋9x的最小值； (2)设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (4)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． [思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时， 通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[变式] (1)本例(3)中，把“x>2”改为“x<2”，则 x＋x－4 2的最 值又如何？
(2)本例(3)中，条件不变，改为求x2－x－2x2＋4的最小值．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[解] (1)∵x<2，∴2－x>0，
购地总费用 地费用＝建筑总面积)
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为 2126000×0 1x04＝108x00.
于是每平方米的平均综合费用 y＝560＋48x＋108x00＝560＋ 48x＋22x5(x≥10)，
当 x＋22x5取最小时，y 有最小值． ∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30，
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应 对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形” 等方法创建应用．
3．求解应用题的方法与步骤 (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
课标A版·数学·必修第一册
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. ∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当 2x＝3y 时，等号成 立． 由2xyx＝＝234y，， 解得xy＝＝64.， 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求 积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、 合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[针对训练] 1．已知 x，y>0，且满足3x＋4y＝1，则 xy 的最大值为________．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
题型二 利用基本不等式解决实际问题 【典例 2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为 多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最小．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
课堂归纳小结 1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x，y 一定要都是正数； (2)求积 xy 最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 最 小值时，应看积 xy 是否为定值； (3)等号是否能够成立． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.
课标A版·数学·必修第一册
第
二
一元二次函数、方程和不等式
章
第二章 一元二次函数、方程和不等式
课标A版·数学·必修第一册
2.2
基本不等式
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
第 2 课时
利用基本不等式求最值
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
课前自主预习
第二章 2.2 第2课时
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
由22xx＋＝33yy＝，18， 解得xy＝＝43..5， 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大． 解法二：∵2x＋3y＝18， ∴S＝xy＝16·(2x)·(3y)≤16·2x＋2 3y2＝861＝227.(以下同解法一)
第二章 2.2 第2课时
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
(4)∵x>0，y>0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝10＋yx＋9yx ≥10＋2 9＝16. 当且仅当yx＝9yx且1x＋9y＝1 时等号成立， 即 x＝4，y＝12 时等号成立． ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 有最小值 16.
第二章 2.2 第2课时
∴1x＋3y≥1＋ 23，
故1x＋3y的最小值为
1＋
3 2.
[答案]
1＋
3 2
课标A版·数学·必修第一册
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
3．若 x<3，则实数 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值为________． [解析] ∵x<3，∴x－3<0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3 ＝－3－4 x＋3－x＋3 ≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取“＝”号． ∴f(x)的最大值为－1. [答案] －1
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[思路导引] 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题是在 4x＋ 6y＝36 的前提下求 xy 的最大值．
[解] (1)设每间虎笼长 x m，宽为 y m，则由条件知 4x＋ 6y＝36，即 2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 解法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
课标A版·数学·必修第一册
1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
基本不等式与最值 已知 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2P ； (2)如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 14S2 . 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必 须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
[解析] ∵x，y>0， ∴3x＋4y＝1≥2 1xy2， 得 xy≤3，当且仅当3x＝4y即 x＝32，y＝2 时，取“＝”号， ∴xy 的最大值为 3. [答案] 3
第二章 2.2 第2课时
课标A版·数学·必修第一册
2．已知 x，y>0，且 x＋y＝4，则1x＋3y的最小值为________． [解析] ∵x，y>0， ∴(x＋y)1x＋3y＝4＋yx＋3yx≥4＋2 3， 当且仅当yx＝3yx， 即 x＝2( 3－1)，y＝2(3－ 3)时取“＝”号， 又 x＋y＝4，
请做：随堂巩固验收
第二章 2.2 第2课时