利用基本不等式求最值
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式求最值的八种思维方法
ʏ尹丹青利用基本不等式求最值是高考的常考点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维方法㊂方法一: 定和 与 拼凑定和 求积的最值例1 已知x >0,y >0,且x +y =7,则(1+x )(2+y )的最大值为㊂解:由x +y =7,可拼凑(x +1)+(y +2)=10,利用基本不等式求最值㊂易得(x +1)+(y +2)=10,所以(1+x )(2+y )ɤ(1+x )+(2+y )22=25,当且仅当1+x =2+y ,即x =4,y =3时等号成立㊂故(1+x )㊃(2+y )的最大值为25㊂解后反思:利用基本不等式求最值时,必须同时满足: 一正 二定 三相等㊂方法二: 定积 与 拼凑定积 求和的最值例2 若a >-3,则a 2+6a +13a +3的最小值为㊂解:对a 2+6a +13a +3变形拼凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >-3,所以a +3>0,4a +3>0㊂由基本不等式得a 2+6a +13a +3=(a +3)2+4a +3=(a +3)+4a +3ȡ2(a +3)㊃4a +3=4,当且仅当a +3=4a +3即a =-1时等号成立㊂故a 2+6a +13a +3的最小值为4㊂解后反思:观察积与和哪个是定值,根据 和定积动,积定和动 来求解㊂方法三: 和积化归 构建不等式求最值例3 已知x >0,y >0,且x +y +x y =3,若不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:由基本不等式得(x +y )m i n =2,构建m 2-m ɤ(x +y )m i n ,再解不等式即可㊂由3-(x +y )=x y ɤ(x +y )24,当且仅当x =y =1时等号成立,解得x +y ȡ2或x +y ɤ-6(舍去),则(x +y )m i n =2㊂因为不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,所以m 2-m ɤ(x +y )m i n ,即m 2-m ɤ2,解得-1ɤm ɤ2㊂解后反思:根据和与积的关系式,结合基本不等式可以求出积或和的最值,这就是 和积化归法㊂方法四: 化1 与 拼凑化1 求最值例4 已知a ,b 均为正数,且1a +1+2b -2=12,则2a +b 的最小值为㊂解:确定b >2,由题设变换得2a +b =2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2,展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂当b ɪ(0,2)时,2b -2<-1,而1a +1<1,则1a +1+2b -2<0,不符合题意,故b >2㊂2a +b =2(a +1)+(b -2)=2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2=8㊃a +1b -2+2㊃b -2a +1+8ȡ216㊃a +1b -2㊃b -2a +1+8=16,当且仅当8㊃a +1b -2=2㊃b -2a +1,即a =3,b =10时等号成立㊂故2a +b 的最小值为16㊂解后反思: 化1 或 拼凑化1 求最值的关键是基本不等式的灵活应用㊂方法五:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)的合理应用例5 已知a >0,b >0,若a +b =4,51知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则( )㊂A .a 2+b 2有最小值4B .a b 有最大值2C .1a +1b 有最大值1D .1a +b 有最小值24解:已知a >0,b >0,则21a +1b ɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b22,当且仅当a =b 时取等号㊂a 2+b 2ȡ(a +b )22=8,A 错误㊂由4=a +b ȡ2a b ,可得a b ɤ4,B 错误㊂1a +1b ȡ4a +b =1,C 错误㊂1a +b ȡ12a +b 2=122=24,当且仅当a =b =2时取等号,D 正确㊂应选D ㊂解后反思:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)分别为调和平均数㊁几何平均数㊁代数平均数㊁平方平均数㊂方法六:复杂分式构造法凑定值例6 已知a >b ,不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,且∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,则a 2+b2a -b的最小值为㊂解:由不等式恒成立和∃x 0ɪR 使得方程成立可得a b =1,将a 2+b2a -b化成a -b +2a -b 求最值㊂因为不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,所以a >0,4-4a b ɤ0㊂因为∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,所以4-4a b ȡ0㊂据上可得,4-4a b =0,所以a >0,b >0,a b =1㊂故a 2+b 2a -b =(a -b )2+2a ba -b=a -b +2a -b ȡ22,当且仅当a -b =2a -b 时取等号㊂故所求的最小值为22㊂解后反思:复杂分式构造法凑定值,其目的是构造和式的积为定值,再利用基本不等式求最值㊂方法七:反解代入消元法凑积为定值例7 设b >0,a b +b =1,则a 2b 的最小值为㊂解:已知等式转化为b =1a +1,再通过常数分离得到a b 2=(a +1)+1a +1-2求最值㊂已知b >0,a b +b =1,所以b =1a +1,a +1>0,所以a 2b =a 2a +1=(a +1-1)2a +1=a +1+1a +1-2ȡ2(a +1)㊃1a +1-2=0,当且仅当a +1=1a +1,即a =0时等号成立㊂故a 2b 的最小值为0㊂解后反思:借助反解代入消元,重新构造积为定值,这是求解最值的通法㊂方法八:两次使用基本不等式求最值例8 已知x ,y 都为正实数,则4(x y +1)x +x 2y的最小值为㊂解:4(x y +1)x +x 2y=4y +4x +x 2y ㊂因为x ,y 都为正实数,所以4y +x 2yȡ24x 2=4x ,当且仅当4y 2=x 2,即2y =x 时等号成立㊂所以4y +4x +x 2yȡ4x +4x ȡ216=8,当且仅当4x =4x,即x =1时等号成立㊂综上所述,当x =1,y =12时,4(x y +1)x +x 2y取得最小值为8㊂解后反思:两次使用不等式求最值,既要注意多次取等号时成立的条件,也要注意两次使用不等式后能 约分凑出定值㊂作者单位:江苏省丹阳高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
利用基本不等式求最值的技巧
基本不等式应用一：直接应用求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋解：（1）y ＝3x 2＋≥2)＝∴值域为[，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋≥2)＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋=－（－x －）≤－2)=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 二：凑项例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
变式12,33y x x x =+>- 三：凑系数例3.当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式1：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=3,03x 时等号成立。
变式2：已知x ，y 为正实数，且x 2＋＝1，求x 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤。
利用基本不等式求最值(解析版)-高中数学
利用基本不等式求最值题型梳理【题型1直接法求最值】【题型2配凑法求最值】【题型3常数代换法求最值】【题型4消元法求最值】【题型5构造不等式法求最值】【题型6多次使用基本不等式求最值】【题型7实际应用中的最值问题】【题型8与其他知识交汇的最值问题】命题规律基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.知识梳理【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1.利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1.基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.举一反三【题型1直接法求最值】1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+1a+1的最小值为()A.2B.3C.4D.5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a>0，所以a+1a+1≥2a⋅1a+1=3，当且仅当a=1a即a=1时取等号；故选：B.【变式训练】1(2023·北京东城·统考一模)已知x>0，则x-4+4x的最小值为()A.-2B.0C.1D.22【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x-4≥2x×4x-4=0，当且仅当x=4x即x=2时等号成立．故选：B．2(2023上·山东·高一统考期中)函数y=x2-x+9x(x>0)的最小值为()A.1B.3C.5D.9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2-x+9x=x+9x-1≥2x⋅9x-1=5，当且仅当x=9x，即x=3时等号成立，故选：C.3(2023下·江西·高三校联考阶段练习)3+1 x21+4x2的最小值为()A.93B.7+42C.83D.7+43【解题思路】依题意可得3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2，再利用基本不等式计算可得.【解答过程】3+1 x21+4x2=7+1x2+12x2≥7+21x2⋅12x2=7+43，当且仅当1x2=12x2，即x4=112时，等号成立，故3+1 x21+4x2的最小值为7+4 3.故选：D.【题型2配凑法求最值】1(2023·浙江·校联考模拟预测)已知a>1，则a+16a-1的最小值为()A.8B.9C.10D.11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1，所以由a+16a-1=a-1+16a-1+1≥2a-1⋅16a-1+1=9，当且仅当a-1=16a-1时取等号，即a=5时取等号，故选：B.【变式训练】1(2023上·吉林·高一校考阶段练习)已知x>3，则y=2x-3+2x的最小值是()A.6B.8C.10D.12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由x-3>0，则y=2x-3+2(x-3)+6≥22x-3⋅2(x-3)+6=10，当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.2(2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习)设x>2，则函数y=4x-1+4x-2，的最小值为()A.7B.8C.14D.15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x-2>0，所以y=4x-1+4x-2=4x-2+4x-2+7≥24x-2⋅4x-2+7=15，当且仅当4x -2 =4x -2，即x =3时等号成立，所以函数y =4x -1+4x -2的最小值为15，故选:D ．3(2023上·辽宁·高一校联考期中)若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则2xx -1+4y y -1的最小值为()A.6+26B.4+62C.2+46D.6+42【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若x >0，y >0且满足x +y =xy ，则有1x +1y=1，所以x >1，y >1，2x x -1+4y y -1=2x -1 +2x -1+4y -1 +4y -1=6+2x -1+4y -1≥6+22x -1⋅4y -1=6+28xy -x +y +1=6+42，当且仅当2x -1=4y -1，即x =1+22,y =1+2时等号成立.所以2x x -1+4y y -1的最小值为6+4 2.故选：D .【题型3 常数代换法求最值】1(2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习)已知a >0，b >0，若2a +3b=1，则2a +b3的最小值是()A.8B.9C.10D.11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得a >0，b >0，2a +3b=1，所以2a +b 3=2a +b 3 2a +3b =4+1+2b 3a +6ab ≥5+22b 3a ×6a b=9，当且仅当2b 3a =6ab 时，即a =3，b =9，取等号，故B 项正确.故选：B .【变式训练】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，点M 1,4 在直线xa +y b=1上，则a +b 的最小值为()A.4B.6C.9D.12【解题思路】根据题意可得1a+4b=1，结合基本不等式运算求解.【解答过程】由题意得1a+4b=1，且a>0,b>0，故a+b=a+b⋅1a+4b=5+b a+4a b≥5+2b a×4a b=9，当且仅当ba=4ab，即a=3，b=6时，等号成立.故选：C.2(2023上·重庆·高一统考期末)若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为()A.25B.16C.37D.19【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴2y+8x=1,x+y=x+y2y+8x=2x y+8+2+8y x≥22x y×8y x+10=18,∴2 x+y ≤218=19.故选:D.3(2023·重庆·统考一模)已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1+b2+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解题思路】首先根据题意求出0≤a<12，0<b≤1，然后将原式变形得2a2a+1+b2+1b=2a+1+1b-1，最后利用1的妙用即可求出其最值.【解答过程】∵2a+b=1，且a,b为非负实数，b≠0，则a≥0,b>0则b=1-2a>0，解得0≤a<12，2a=1-b≥0，解得0<b≤1，∴2a2 a+1+b2+1b=2(a+1)2-4(a+1)+2a+1+b2+1b=2(a+1)-4+2a+1+b+1b=(2a+b-2)+2a+1+1b=2a+1+1b-12 a+1+1b=42a+2+1b=13(2a+2)+b⋅42a+2+1b=135+4b2a+2+2a+2b≥135+24b2a+2⋅2a+2b=3，当且仅当4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，2a+b=1时,即b=1,a=0时等号成立，故2a+1+1b-1min=2，故选：B.【题型4消元法求最值】1(2023上·江苏·高一校联考阶段练习)已知正数x，y满足3x-4=9y，则x+8y的最小值为12.【解题思路】根据指数方程，得出x,y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3x-4=9y，可得x-4=2y，即x=2y+4，代入x+8y中，可得2y+4+8y=2y+8y+4≥22y⋅8y+4=12,当且仅当y=2,x=8时，取等号，所以x+8y的最小值为12.故答案为：12.【变式训练】1(2023上·安徽池州·高一统考期中)已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为62-5.【解题思路】根据题意，化简得到x+2y=x2-3x+14x+1，设t=x+1，求得x2-3x+14x+1=t+18t-5，结合基本不等式，即可求解.【解答过程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得y=7-2xx+1，则x+2y=x+2×7-2xx+1=x2-3x+14x+1，设t=x+1，可得x=t-1且t>1，可得x2-3x+14x+1=t2-5t+18t=t+18t-5≥2t⋅18t-5=62-5，当且仅当t=18t时，即t=32时，等号成立，所以x+2y的最小值为62-5.故答案为：62-5.2(2023上·山东淄博·高一校考阶段练习)已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为13.【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b-2>0，由于b>0，所以b>2，故a+2b=b+6b-2+2b=8b-2+2b-2+5，由于b>2，所以8b-2+2b-2≥216=8，当且仅当b=4时等号成立，故a+2b=8b-2+2b-2+5≥13，故a+2b的最小值为13，故答案为：13.3(2023·上海崇明·统考一模)已知正实数a, b, c, d满足a2-ab+1=0，c2+d2=1，则当(a-c)2+(b-d)2取得最小值时，ab=22+1．【解题思路】将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，进而转化为a,b与圆心0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【解答过程】可将(a-c)2+(b-d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，由a2-ab+1=0，得b=a+1 a，而c2+d2=1表示以0,0为圆心，1为半径的圆，c,d为圆上一点，则a,b与圆心0,0的距离为：a2+b2=a2+a+1 a2=2a2+1a2+2≥22a2⋅1a2+2= 22+2，当且仅当2a2=1a2，即a=±412时等号成立，此时a,b与圆心0,0的距离最小，即a,b与c,d两点间距离的平方最小，即(a-c)2+(b-d)2取得最小值.当a=412时，ab=a2+1=22+1，故答案为：22+1.【题型5构造不等式法求最值】1(2023下·河南·高三校联考阶段练习)已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是()A.ab的最大值为8B.1a-1+2b-2的最小值为2C.a+b有最小值3+2D.a2-2a+b2-4b有最大值4【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式化成a-1b-2=2，即可得1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，即B正确；不等式变形可得2b+1a=1，利用基本不等式中“1”的妙用可知a+b≥3+22，C错误；将式子配方可得a2-2a+b2 -4b=(a-1)2+(b-2)2-5，再利用基本不等式可得其有最小值-1，无最大值，D错误.【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥22ab，即ab≥22，故ab≥8，当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8，A错误；对于B选项，原式化为a-1b-2=2,b=2aa-1>0，故a-1>0；a=bb-2>0，故b-2>0；所以1a-1+2b-2=1a-1+a-1≥2，当且仅当a=2,b=4时等号成立，B正确；对于C选项，原式化为2b+1a=1，故a+b=a+b2b+1a=2a b+1+2+b a≥3+22，当且仅当a=2+1,b=2+2时等号成立，C错误；对于D选项，a2-2a+b2-4b=(a-1)2+(b-2)2-5≥2a-1b-2-5=-1，当且仅当a=1+2,b=2+2时等号成立，故有最小值-1，D错误．故选：B.【变式训练】1(2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy-3=0；则下列结论正确的是()A.xy的最小值是1B.x+y的最小值是2C.x+4y的最小值是8D.x+2y的最大值是42-3【解题思路】利用基本不等式得x+y+xy-3≥(xy+3)(xy-1)、x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3分别求xy、x+y的最值，注意取等条件；由题设有x=3-yy+1且0<y<3代入x+4y、x+2y，结合基本不等式求最值，注意取等条件.【解答过程】由x+y+xy-3≥xy+2xy-3=(xy+3)(xy-1)，当且仅当x=y=1时等号成立，即(xy+3)(xy-1)≤0，又x>0，y>0，故0<xy≤1，仅当x=y=1时等号成立，所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A错误；由x+y+xy-3≤(x+y)24+(x+y)-3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以(x+y)24+(x+y)-3≥0，即(x+y+6)(x+y-2)≥0，又x>0，y>0，则x+y≥2，仅当x=y=1时等号成立，故x+y的最小值是2，B正确；由x+y+xy-3=0，x>0，y>0，可得x=3-yy+1，且0<y<3，所以x +4y =3-y y +1+4y =4y 2+3y +3y +1=4(y +1)2-5(y +1)+4y +1=4(y +1)+4y +1-5≥24(y +1)⋅4y +1-5=3，当且仅当y +1=1，即y =0、x =3时等号成立，故x +4y >3，C 错误；同上，x +2y =3-y y +1+2y =2y 2+y +3y +1=2(y +1)2-3(y +1)+4y +1=2(y +1)+4y +1-3≥22(y +1)⋅4y +1-3=42-3，当且仅当y +1=2，即y =2-1、x =22-1时等号成立，故x +2y ≥42-3，D 错误；故选：B .2(2023上·江苏·高一专题练习)下列说法正确的是()A.若x >2，则函数y =x +1x -1的最小值为3B.若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y 的最小值为5C.若x >0，y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1D.若x >1，y >0，x +y =2，则1x -1+2y的最小值为3+22【解题思路】选项A ：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项B ：由基本不等式进行判断即可，选项C ：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项D ：对式子进行变形得到1+yx -1+2x -1 y+2，再利用基本不等式进行判断即可．【解答过程】解：选项A ：y =x +1x -1=x -1+1x -1+1≥2x -1·1x -1+1=3，当且仅当x -12=1时可以取等号，但题设条件中x >2，故函数最小值取不到3，故A 错误；选项B ：若x >0，y >0，3x +1y =5，则5x +4y =153x +1y 5x +4y =1519+5x y +12y x ≥1519+25x y ·12y x=19+4155，当且仅当5xy =12y x时不等式可取等号，故B 错误；选项C ：3-xy =x +y ≥2xy ⇒xy +2xy -3≤0当且仅当x =y 时取等号，令xy =t t ≥0 ，t 2+2t -3≤0，解得-3≤t ≤1，即0<xy ≤1，故xy 的最大值为1，故C 错误；选项D ：x +y =2，(x -1)+y =1，1x -1+2y =1x -1+2y·x -1 +y =1+y x -1+2x -1 y+2≥3+2y x -1·2x -1y=3+22，当且仅当y =2x -2时取等号，又因为x +y =2，故x =2y =2-2 时等号成立，即1x -1+2y最小值可取到3+22，故D 正确．故选：D ．3(2023上·广东中山·高三校考阶段练习)设正实数x ,y 满足x +2y =3，则下列说法错误的是()A.y x +3y 的最小值为4 B.xy 的最大值为98C.x +2y 的最大值为2D.x 2+4y 2的最小值为92【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A ，y x +3y =y x +x +2y y =y x +x y +2≥2yxxy+2=4，当且仅当x =y =1时取等号，故A 正确；对于B ，xy =12⋅x ⋅2y ≤12×x +2y 2 2=12×94=98，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时取等号，故B 正确；对于C ，(x +2y )2=x +2y +22xy ≤3+22×98=3+3=6，则x +2y ≤6，当且仅当x =2y ，即x =32,y =34时，故C 错误；对于D ，x 2+4y 2=(x +2y )2-4xy ≥9-4×98=92，当且仅当x =32,y =34时取等号，故D 正确.故选：C .【题型6 多次使用基本不等式求最值】1(2023·河南·校联考模拟预测)已知正实数a ，b ，满足a +b ≥92a +2b，则a +b 的最小值为()A.5B.52C.52D.522【解题思路】先根据基本不等式求出92a +2ba +b ≥252.然后即可根据不等式的性质得出a +b2≥92a +2ba +b ≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.【解答过程】由已知可得，a >0，b >0，a +b >0.因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab≥29b2a×2ab+132=6+132=252，当且仅当9b2a=2ab，即2a=3b时等号成立.所以，a+b2≥92a+2ba+b≥252，当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即a=322b=2时，两个等号同时成立.所以，a+b≥322+2=522.故选：D.【变式训练】1(2023·山东菏泽·统考一模)设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2xy的最小值为()A.22-1B.22+1C.2-1D.2+1【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【解答过程】当x>0时，1x+2xy=x+yx+2xy=yx+2xy+1≥2yx⋅2xy+1=22+1，当且仅当yx=2xy，即x=2-1，y=2-2时等号成立，此时有最小值22+1；当x<0时，1x+2xy=x+y-x+-2xy=y-x+-2xy-1≥2y-x⋅-2xy-1=22-1.当且仅当y-x=-2xy，即x=-1-2，y=2+2时等号成立，此时有最小值22-1.所以，1x+2xy的最小值为22-1.故选：A.2(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+1z取得最小值时，y+z的值为()A.1B.32C.2 D.52【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，所以xy +zx=2≥2xy ×z x =2yz ⇒yz ≤1，当且仅当z =yx 2时，yz =1，所以4y +1z≥24y ×1z=24yz≥241=4，当且仅当4y =1z且yz =1时，等号成立；所以当yz =1且4y =1z 时，4y +1z取得最小值4，此时解得y =2z =12 ⇒y +z =52，故选：D .3(2023上·辽宁大连·高一期末)若a >0,b >0,a +b =1，则a 2+3ab a +2b +2b +1-1b 的最大值为()A.2B.2-2C.3-2D.3-22【解题思路】由已知可得a 2+3ab a +2b +1b +1=3-2b -1b +1，进而有a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b，结合基本不等式求最大值，注意取值条件.【解答过程】由题设，a 2+3ab a +2b +1b +1=a (a +3b )+1b +1=a (2b +1)+1b +1，而a =1-b >0，b >0，所以a (2b +1)+1b +1=2+b -2b 2b +1=1+1-2b 2b +1=1+2(1-b 2)-1b +1=3-2b -1b +1，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b =3-2b -1b 且0<b <1，又2b +1b≥22b ⋅1b =22，当且仅当b =22时取等号，所以a 2+3ab a +2b +2b +1-1b ≤3-22，当且仅当a =1-22,b =22时取等号，即目标式最大值为3-2 2.故选：D .【题型7 实际应用中的最值问题】1(2023上·四川眉山·高一校联考期中)如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为400m 2的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为8400元/m 2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为420元/m 2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为160元/m 2.设总造价为y (单位：元)，AD 长为x (单位：m ).(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【解题思路】(1)由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM=400-x2 4x；(2)先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.【解答过程】(1)由题意可得，矩形AMQD的面积为S AMQD=400-x24,因此AM=400-x24x，∵AM>0，∴0<x<20.(2)y=8400x2+420×400-x2+160×4×12×400-x24x2=8000x2+3200000x2+152000，0<x<20，由基本不等式y≥28000x2×3200000x2+152000=472000，当且仅当8000x2=3200000x2，即x=25时，等号成立，故当x=25时，总造价y最小，最小值为472000元.【变式训练】1(2023上·山东·高一校联考期中)某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a x+2x元(a>0)(整体报价中含固定费用).若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【解题思路】(1)根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】(1)设甲工程队的总造价为y 元，则y =150×2x +16x×3+400×16+800=900x +16x+7200≥900×2x ⋅16x +7200=14400当且仅当x =16x时，即x =4时等号成立.即当宽为4m 时，甲工程队的报价最低，最低为14400元.(2)由题意可得900x +16x +7200>900a x +2 x.对∀x ∈2,6 恒成立.即a <x 2+8x +16x +12令y =x 2+8x +16x +2=x +2 +4x +2+4∵2≤x ≤6,∴4≤x +2≤8.令t =x +2,t ∈4,8 ，则y =t +4t+4在4,8 上单调递增.且t =4时，y min =9.∴0<a <9.即a 的取值范围为0,9 .2(2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习)因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x 米(1≤x ≤5)．(1)记y 为甲工程队整体报价，求y 关于x 的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t (x +1)x元，问是否存在实数t ，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功(注：整体报价小者竞标成功)，若存在，求出t 满足的条件；若不存在，请说明理由．【解题思路】(1)根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;(2)由题意可得不等关系240184x +10x-3120>4800t (x +1)x,对任意x ∈[1,5]都成立，进而转化t <10x 2-13x +18420(x +1)恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.【解答过程】(1)由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为24x米，正面费用为3604×24x-2×6,故y=3604×24x-2×6+4×24x×100+2×300×4x+1200=240184x +10x-3120，1≤x≤5.(2)由题意知, 240184x +10x-3120>4800t(x+1)x，对任意x∈[1,5]都成立,即t<10x2-13x+18420(x+1)对任意x∈[1,5]恒成立，令k=x+1,则x=k-1,k∈[2,6]，则t<10(k-1)2-13(k-1)+18420k=10k2-33k+20720k=k2+20720k-3320，而k2+20720k≥2k2⋅20720k=20710，当且仅当k=20710∈[2,6]取等号，故0<t<20710-3320，即存在实数0<t<20710-3320，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.3(2023上·重庆·高一校考阶段练习)为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形)，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=xcm．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【解题思路】(1)根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.(2)根据(1)利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时AD和CD的值.【解答过程】(1)根据题意DC=xcm，矩形海报纸面积为36000cm2，所以AD=36000xcm，又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，所以四个宣传栏的总面积y =CD -5×10 AD -2×10 =x -50 36000x-20 ，其中x -50>036000x -20>0 所以x ∈50,1800 .即y =x -50 36000x-20,x ∈50,1800 .(2)由(1)知y =x -50 36000x-20 ,x ∈50,1800 ，则y =x -50 36000x -20 =37000-20x +1800000x,x ∈50,1800 20x +1800000x≥220x ×1800000x =12000，当且仅当x =300时取等号，则y =37000-20x +1800000x≤25000，当且仅当x =300时取等号，即CD =300cm ,AD =36000300=120cm 时，可使用宣传栏总面积最大为25000cm 2.【题型8 与其他知识交汇的最值问题】1(2023上·安徽·高三校联考阶段练习)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足c +b cos2A =2a cos A cos B A ≤B .(1)求A ；(2)若角A 的平分线交BC 于D 点，且AD =1，求△ABC 面积的最小值.【解题思路】(1)由已知结合正弦定理边化角即可求解;(2)表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【解答过程】(1)由已知和正弦定理可得：sin C +sin B cos2A =2sin A cos A cos B ，所以sin C =sin2A cos B -sin B cos2A =sin (2A -B )>0.又因为C ∈(0,π)，2A -B ∈(0,π)，所以C =2A -B 或者C +2A -B =π.当C =2A -B 时，A +B +2A -B =π，A =π3；当C +2A -B =π时，A =2B 与题设A ≤B 不符.综上所述，A =π3.(2)△ABC 面积S =12bc sin π3=34bc ，由AD 是角平分线，∠BAD =∠CAD =π6，因为S △ABC =S △ABD +S △ADC ，得12bc sin π3=12b sin π6+12c sin π6，即b +c =3bc ，由基本不等式3bc ≥2bc ，bc ≥43，当且仅当b=c=233时等号成立.所以面积S=34bc≥34×43=33.故△ABC面积的最小值3 3.【变式训练】1(2023上·安徽铜陵·高二校联考期中)已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l 都经过点(0,2)，且l⊥l ，直线l交圆C于M，N两点，直线l 交圆C于P，Q两点，求四边形PMQN面积的最大值．【解题思路】(1)根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；(2)根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【解答过程】(1)由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r=3．所以圆C的方程为x2+y2=9．(2)当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2，圆心到直线l的距离为d，则d=2k2+1，|MN|=232-d2=29-4k2+1，同理可得|PQ|=29-41k2+1=29-4k2k2+1，则S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×29-4k2+1×29-4k2k2+1=29-4k2+19-4k2k2+1≤9-4 k2+1+9-4k2k2+1=14，当且仅当9-4k2+1=9-4k2k2+1，即k2=1时等号成立．当直线l的斜率不存在时，|MN|=6，|PQ|=232-22=25，此时S PMQN=12|MN|⋅|PQ|=12×6×25=65．当直线l的斜率为0时，根据对称性可得S PMQN=65．综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．2(2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习)已知在定义域内单调的函数f x 满足f f x +12x+1-ln x=23恒成立．(1)设f x +12x+1-ln x=k，求实数k的值；(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；(3)设g x =f x -ln x，若g x ≥mg2x对于任意的x∈1,2恒成立，求实数m的取值范围．【解题思路】(1)由题意列方程求解；(2)由函数的单调性转化后求解；(3)参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.【解答过程】(1)由题意得f x =ln x-12x+1+k，f k =ln k-12k+1+k，由于y=ln k-12k+1+k在k∈0,+∞上单调递增，观察ln k-12k+1+k=23，可得k=1；(2)由于f x 在定义域内单调，所以f x +12x+1-ln x为常数，由(1)得f x =ln x-12x+1+1，f x 在x∈0,+∞上单调递增，f-x=ln-x-12-x+1+1=ln-ex-2x2x+1，故原不等式可化为f7+2x>-2x2x+1+ln-ex=f-x，由2x+7>0-x>07+2x>-x，解得-73<x<0，故原不等式的解集为-7 3 ,0；(3)g x =f x -ln x=-12x+1+1=2x2x+1>0，g x ≥mg2x可化为m≤2x2x+1⋅4x+14x=4x+14x+2x=1+-2x+14x+2x对于任意的x∈1,2恒成立，设t=-2x+1∈-3,-1，则-2x+14x+2x=t1-t2+1-t=1t+2t-3，t∈-3,-1，由基本不等式得t+2t=--t+2-t≤-22，当且仅当-t=2-t即t=-2时等号成立，故当t=-2时1t+2t-3min=22-3，故m≤22-2，当且仅当x=log22+1等号成立.实数m的取值范围为-∞,22-2.3(2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是长方形A1B1C1D1内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.(1)证明：点P 在A 1C 1上；(2)若AB =BC ，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值.【解题思路】(1)由二面角定义知AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，利用线面垂直的判定及性质可证PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，结合面APC 与面ACC 1A 1有交线，确定它们同平面，进而证结论；(2)构建空间直角坐标系，令P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，求直线方向向量、平面法向量，应用空间向量夹角坐标表示、基本不等式求线面角正弦值的最大值，注意取值条件.【解答过程】(1)由∠APC 是二面角A -PD 1-C 的平面角，则AP ⊥PD 1,CP ⊥PD 1，又AP ∩CP =P ，AP ,CP ⊂面APC ，则PD 1⊥面APC ，又AC ⊂面APC ，即PD 1⊥AC ，由长方体性质知A 1C 1⎳AC ，故PD 1⊥A 1C 1，由长方体性质：AA 1⊥面A 1B 1C 1D 1，又PD 1⊂面A 1B 1C 1D 1，则PD 1⊥AA 1，又A 1C 1∩AA 1=A 1，A 1C 1,AA 1⊂面ACC 1A 1，故PD 1⊥面ACC 1A 1，而面APC ∩面ACC 1A 1=AC ，且PD 1⊥面APC 、PD 1⊥面ACC 1A 1，根据过AC 作与PD 1垂直的平面有且仅有一个，所以面APC 与面ACC 1A 1为同一平面，又P ∈面A 1B 1C 1D 1，面ACC 1A 1∩面A 1B 1C 1D 1=A 1C 1，所以点P 在A 1C 1上；(2)构建如下图示的空间直角坐标系A -xyz ，令AB =BC =1，AA 1=k ，由题设，长方体上下底面都为正方形，由(1)知PD 1⊥A 1C 1，则P 为A 1C 1中点，所以P 12,12,k且k >0，C (1,1,0)，D (0,1,0)，则AP =12,12,k ，PC =12,12,-k ，PD =-12,12,-k ，若m =(x ,y ,z )是面PCD 的一个法向量，则m ⋅PC =12x +12y -kz =0m ⋅PD =-12x +12y -kz =0，令y =2，则m =0,2,1k，所以|cos ‹AP ,m ›|=|AP ⋅m||AP ||m |=212+k 2⋅4+1k 2=23+4k 2+12k 2≤23+22=2(2-1)，仅当k =422时等号成立，故直线PA 与平面PCD 所成角的正弦的最大值为2(2-1).直击真题1(2022·全国·统考高考真题)若x ，y 满足x 2+y 2-xy =1，则()A.x +y ≤1B.x +y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【解答过程】因为ab ≤a +b 2 2≤a 2+b 22(a ,b ∈R )，由x 2+y 2-xy =1可变形为，x +y 2-1=3xy ≤3x +y 2 2，解得-2≤x +y ≤2，当且仅当x =y =-1时，x +y =-2，当且仅当x =y =1时，x +y =2，所以A 错误，B 正确；由x 2+y 2-xy =1可变形为x 2+y 2-1=xy ≤x 2+y 22，解得x 2+y 2≤2，当且仅当x =y =±1时取等号，所以C 正确；因为x 2+y 2-xy =1变形可得x -y 2 2+34y 2=1，设x -y 2=cos θ,32y =sin θ，所以x =cos θ+1 3sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ-13cos2θ+13=43+23sin2θ-π6∈23,2，所以当x=33,y=-33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC．2(2020·山东·统考高考真题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则()A.a2+b2≥12B.2a-b>12C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2【解题思路】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【解答过程】对于A，a2+b2=a2+1-a2=2a2-2a+1=2a-1 22+12≥12，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；对于B，a-b=2a-1>-1，所以2a-b>2-1=12，故B正确；对于C，log2a+log2b=log2ab≤log2a+b22=log214=-2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；故选：ABD.3(2020·全国·统考高考真题)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.32【解题思路】因为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.【解答过程】∵C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=bax，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=-bax，解得{x=ay=-b故E(a,-b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8当且仅当a=b=22取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.4(2021·天津·统考高考真题)若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为22．【解题思路】两次利用基本不等式即可求出.【解答过程】∵a>0,b>0，∴1 a +ab2+b≥21a⋅ab2+b=2b+b≥22b⋅b=22，当且仅当1a=ab2且2b=b，即a=b=2时等号成立，所以1a+ab2+b的最小值为2 2.故答案为：2 2.5(2020·天津·统考高考真题)已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为4【解题思路】根据已知条件，将所求的式子化为a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4，当且仅当a+b=4时取等号，结合ab=1,解得a=2-3,b=2+3，或a=2+3,b=2-3时，等号成立.故答案为：4.6(2020·江苏·统考高考真题)已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是45．【解题思路】根据题设条件可得x 2=1-y 45y 2，可得x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y 2+4y 25，利用基本不等式即可求解.【解答过程】∵5x 2y 2+y 4=1∴y ≠0且x 2=1-y 45y 2∴x 2+y 2=1-y 45y 2+y 2=15y2+4y 25≥215y 2⋅4y 25=45，当且仅当15y2=4y 25，即x 2=310,y 2=12时取等号.∴x 2+y 2的最小值为45.故答案为：45.7(2019·天津·高考真题)设x >0, y >0, x +2y =5，则(x +1)(2y +1)xy的最小值为43【解题思路】把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．【解答过程】∵(x +1)(2y +1)xy =2xy +x +2y +1xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴2xy +6xy ≥2⋅23xyxy =43，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立，故所求的最小值为43．8(2017·江苏·高考真题)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【解题思路】得到总费用为4x +600x ×6=4x +900x，再利用基本不等式求最值．【解答过程】总费用为4x +600x ×6=4x +900x≥4×2900=240，当且仅当x =900x，即x =30时等号成立．故答案为30.。
利用基本不等式求最值的常见方法
利用基本不等式求最值的常见方法利用基本不等式求最值是一种常见的数学方法，适用于解决许多最值问题。
基本不等式是指一个关于两个变量的不等式，例如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。
这些不等式通过将变量与其平方、乘积等进行比较，从而得到最值的上限或下限。
其中最常用的基本不等式是AM-GM不等式。
AM-GM不等式指出，对于非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$$将这个不等式应用于最值问题时，常用的方法如下：1.确定可变参数的范围：首先，确定问题中的可变参数范围，并将其表示为一个或多个变量（通常用$x$表示）。
这些变量可以是任意从一个集合中取值的实数或正整数。
2. 构造一个函数：将问题转化为一个函数问题，其中目标函数和约束条件由可变参数表示。
通常，要求最大化或最小化的数值表示为目标函数（通常用 $f(x)$ 表示），而由可变参数表示的约束条件表示为 $g(x) \leq k$ 或 $g(x) \geq k$ 的形式。
3. 在约束条件下，应用AM-GM不等式：根据问题的约束条件，应用AM-GM不等式。
根据AM-GM不等式，可以将目标函数表示为对应于AM-GM 不等式的形式。
例如，如果AM-GM不等式为 $\frac{a+b}{2} \geq\sqrt{ab}$，则可以通过对目标函数的一部分应用这个不等式，得到$\frac{f(x)}{g(x)} \geq \sqrt[h]{k}$ 的形式。
4.求导并解方程：将目标函数分别对可变参数求导，然后解方程。
这是为了找到使目标函数达到最大或最小值的可变参数的值。
对于一些复杂的问题，可能需要应用一些高等数学技巧，如极值判别法或拉格朗日乘数法等。
5.验证最优解：找到使得目标函数达到最大或最小值的可变参数的值后，将其代入目标函数和约束条件，以验证是否满足最值条件。
浅析利用基本不等式求最值问题的解法
浅析利用基本不等式求最值问题的解法在应用基本不等式求最值时，一定要把握不等式成立的三个要素，就是“一正―――各项均为正；二定―――积或和为定值；三相等―――等号能否取得” 若忽略了某个条件，就会出现错误，并且利用基本不等式求最值问题是高职招考的重要内容，学生往往感到比较困难。
本文通过对几个例题的解法浅析，从中发现解决此类题目的常规方法。
一、直接法例1 已知a、b、c , ,则的最大值为剖析：a、b、c，由已知得评注：本题的关键是观察所求式子的特点，而后利用均值不等式定理。
二、拼凑法例2 当＞2时，求函数的最小值。
剖析：与的乘积不定值，无法直接运用基本不等式求解，但把“凑项”成后为定值。
＞2 ＞0, ＞0当且仅当即时，上式等号成立，故当时，函数的最小值为4.1.当0＜＜时，求函数的最大值。
剖析：由0＜＜得＞0，运用基本不等式求最值必须和为定值或积为定值，本题为的形式，但不为定值。
注意到，所以，只需将“拼凑”成后，就能运用基本不等式求最值了，如下：当且仅当即时，上式等号成立，故时函数的最大值为。
评注：利用基本不等式求几个正数的和的最小值或几个正数积的最大值时，通常要通过拼凑方式进行构造条件。
三、拆项法1.求函数的值域剖析：本题从形式上看无法运用基本不等式，但可将分子拆成含有的项，再分离拆成能运用基本不等式的形式。
故有当且仅当即时上式等号成立，所以函数的值域为1.若且，则的最小值为剖析：评注：本题解法的关键是对已知等式的拆分和重新组合，然后关注所考察的问题，两者结合达到求解问题的目的。
四、换元法例6、求函数的最小值剖析：令（＞0）评注:形如的函数，可以将分子配凑后或分母换元后将式子拆开，把函数化为的形式，然后运用基本不等式来求值，依然需要注意“一正、二定、三相等”的条件。
例 7 已知，且，则的最小值剖析：将化成把2换成，再利用基本不等式求解。
，且＝2＝当且仅当，＝2即时，取得最小值 .评注：把常数用一个代数式进行整体代换，便转化为出现和或积为定值情况，从而可以运用基本不等式求解。
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
运用基本不等式求最值需注意的两个问题
基本不等式a +b 2≥ab (a ,b ∈R +)是高中数学中的重点知识，其应用范围较广,尤其在求最值时,运用基本不等式能使问题快速获解.而在运用基本不等式求最值时，我们需要注意以下两个问题.一、把握应用基本不等式的条件运用基本不等式求最值需把握三个条件：一正、二定、三相等.“一正”是指两个数或两个式子都是大于0的；“二定”是指两个数或两个式子的积或和为定值；“三相等”指在两个数或两个式子相等时不等式可取等号.运用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.例1.求函数y =x 2+1x 2+2的最值.解析：很多同学在解题时会直接利用基本不等式进行求解：y =x 2+2+1x 2+2-2≥2-2=0.出错的原因在于，忽略了“三相等”这一条件，很显然x 2+2≠1x 2+2，导致得到错误的答案.解答本题，我们需通过换元，令t =x 2+2(t ≥2),则y =t +1t-2,根据对勾函数y =t +1t -2在[2,+∞)上为增函数，得出y =x 2+1x 2+2的值域为[12,+∞).很多同学在运用基本不等式时往往会注意到“一正”“二定”两个条件，却忽略“三相等”这个条件.大家在解题时要警惕，避免出现这样的错误.二、灵活运用配凑技巧运用基本不等式求最值，关键是配凑出两式的和或积的定值.如何配凑呢？常见的配凑技巧有拆项、裂项、添项等，下面我们结合实例来说明.1.拆项在拆项时，我们要学会将某些项拆为两项之和、差、积的形式，以便配凑出两式的和或积.常见的拆项形式有：a +b =a 2+a 2+b 、x 2+m x =x +m x 等.例2.当x >0时，试求y =16x +9x2的最小值.分析：可将目标式中的16x 拆为8x +8x ，这样便构造出三项8x 、8x 、9x2积的定值，便可利用基本不等式求得最值.解:因为x >0,所以y =8x +8x +9x 2≥=1293,当且仅当8x =9x 2，即x =时，y 的最小值为1293.2.裂项裂项是指将某一项分裂为两项、三项之和或者差的形式，然后将各式重新组合，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值.裂项常用于求分式的最值.例3.已知x >-1,求函数y =x 2+7x +10x +1的最小值.分析：要运用基本不等式求得y 的最小值，需先将函数式中的分式裂项，配凑出分母x +1，才可利用基本不等式求得最值.解：∵x >-1,∴y =x 2+7x +10x +1=[]()x +1+4[]()x +1+1x +1=()x +1+4x +1+5≥+5=9,当且仅当x +1=4x +1,即x =1时，等号成立,∴y 的最小值为9.3.添项添项，即通过恒等变换，在代数式中添加某些项，从而配凑出两式的和或者积.常见的添项形式有：a +1a +m =()a +m +1a +m-m 、a =a -b +b 等.例4.已知a >1,b >1,且ab -()a +b =1，求a +b 的最小值.分析：因为ab -()a +b =1，所以()a -1()b -1=2，将其与目标式对比可发现，只需通过添项，构造出a -1、b -1，便可运用基本不等式求得问题的答案.解:a +b =()a -1+()b -1+2≥2()a -1()b -1+2=22+2，当且仅当a -1=b -1，即a =b =1+2时，等号成立，因此a +b 的最小值为22+2.虽然，基本不等式法是一种常用的解题方法，也是大家比较熟悉的方法，但是同学们在解题时一定要注意这两个问题，只有把握了应用基本不等式的条件，学会灵活运用配凑的技巧，才能顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省海门证大中学）思路探寻49。
基本不等式求最值
基本不等式应用注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。
在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。
以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。
这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。
首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。
然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。
方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。
例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。
方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。
然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。
方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。
例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。
例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。
方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。
假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。
反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。
以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。
根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略
高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略基本不等式ab b a ≥+2（0,0>>b a 当且仅当b a =时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。
从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。
本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。
一、基本不等式的基础知识[1]基本不等式：如果0,0>>b a ，则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时等号成立。
在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”：a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。
“二定”：当两正数的和b +a 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定值时，和b +a 有最小值。
“三相等”：b a =是ab b a =+2的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。
二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。
题型一配凑系数例1 设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
分析：因为x x x 23)23(4+=-+不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。
但凑系数将4x 拆为x 22⋅后可得到和3)23(2=-+x x 为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。
解：因为230<<x ，所以023>-x 故2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立. 所以原式的最大值为29. 题型二配凑项1 配凑常数项例2 已知54x <，求函数54124-+-=x x y 的最大值。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法一．配项例1：设x>2,求函数y=x+92x-的最小值解析：y=x-2+92x-+2≥8 当x-2=92x-时，即x=5时等号成立例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值法1：ab=a+b+3≥当a=b3即ab≥9当a=b=3时等号成立。
法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3二．配系数例3:设0<x<1,求解析：当三．重复使用不等式例4：已知a>b>0，求2a+16()a b b-的最小值解析：2a+16()a b b-=2a b b-+（）+16()a b b-≥4(a-b)b+16()a b b-≥当时，等号成立。
四．平方升次例5：当x>0时，求函数的最大值。
解析：y2=x2+4-x2=4+≤4+［x2+)2］=8 当，即时，y取得最大值.五．待定系数法例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。
解析：y=2sin 2x+2sinxcosx=2 sin 2x+2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a+ =a+22(21)sin a a xa+- 若为定值，则221a a +-=0，+1,所以y 时成立。
六． 常值代换例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1y 的最小值解析：1x +1y =13(x+2y)(1x +1y )=1+13(2y x +xy )≥1+23当且仅当2yx =xy ，且x+2y=3，即-1),y=32)时，取得最小值为1+23。
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式求最值的方法有多种，以下列举了其中六种方法：
1.配凑法：通过观察式子中的各项，尝试将其配成基本不等式的形式，从而求出最值。
2.均值不等式：对于一组正数a1, a2, ..., an，其算术平均值大于等于几何平均值，即
(a1+a2+...+an)/n >= sqrt(a1a2...*an)。
利用此不等式，可以将式子变形，从而求出最值。
3.等号成立条件：在使用基本不等式时，需要注意等号成立的条件。
例如，在使用均值不
等式时，只有在a1=a2=...=an时，等号才会成立。
4.换元法：在求解一些复杂的不等式时，可以通过换元法将问题简化。
例如，设a=a1/b1,
b=a2/b2, ...，将原式化简后再使用基本不等式求解。
5.对勾函数性质：对勾函数是一种特殊的函数形式，其性质可以用来求解一些复杂的不等
式。
例如，当x>0时，x+1/x >= 2 (当且仅当x=1时取等号)。
6.三角不等式：对于一些涉及到三角函数的式子，可以使用三角不等式来求解。
例如，
|sin(a)-sin(b)| <= |a-b|。
利用基本不等式求最值(精心搜集好题,真心推荐)
利用基本不等式求最值一.含单变量的最值问题1.基础题：1.已知0<x<13, 则x(1－3x)的最大值为.2.若f(x)=x+1x−2(x>2), 则f(x)的最小值为.变式2.若f(x)=x+2x−3x−2(x>2), 则f(x)的最小值为.3.设x＞−1, 求y=x2+7x+10x+1的最小值.变式3.若x＞0, 则y=2xx2+1的最大值为.4.若0<x<1,则f(x)=1x +41−x的最小值是.变式4.若0<x<1,则f(x)=1x +4x1−x的最小值是.【小结】常用方法技巧：配凑、添项、拆项、取倒等.【答案】1. 1122. 4 变式2. 63. 9 变式3. 14. 9 变式4. 5【练习】1.若－1<a<0，则不等式2a −11+a的最大值为.2.若x∈(0,1), 则1x +2x1−x的最小值是( )A. 2√2B. 1+2√2C. 2+2√2D. 3+2√23.若x＞−1, 则y=(x+10)(x+2)x+1的最小值为.【答案】1. －3－2√2 2. B 3. 162.综合题：1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4 ，S10=110，则S n+64a n的最小值是（）A. 7B.152C.172D.82.若关于x的不等式2x2−4x+5x−1≥m在(1,+∞)上恒成立，则m的取值范围为（）A. (－∞,2√6] B.(－∞,2√2] C. (－∞,2√3] D. [2,+∞)变式：若存在x∈(1,+∞)使得不等式2x 2−4x+5x−1<m的解集非空，则m的取值范围为（）A. (2√6,+∞)B. (2√2,+∞)C.( 2√3,+∞)D. (2,+∞)3.已知f(x)=x2−mx+2m−4 (m∈R). 当x>2时，不等式f(x)≥−1恒成立，求m的取值范围.【答案】1. C 2. A 变式. A 3. (－∞,6]二.含双变量的最值问题1.基础题：1.已知x ＞0, y ＞0, x+y+2xy －4=0，求x+y 的最小值及xy 的最大值. 变式1：已知x ＞0, y ＞0, x+y －2xy =0，求x+y 的最小值及xy 的最小值.2.若x+3y －2=0, 则3x +27y +1的最小值 .3.已知a ＞0, b ＞0, a+b ＝2, 求y = 1a +4b 的最小值. 变式3：正实数a,b 满足a+b ＝2, 求ab 4a+b 的最大值.【小结】常用方法技巧：消元、配凑、变形、1的代换、添项、取倒等. 【答案】1. 2；1 变式1. 2；1 2. 7 3. 92 变式3. 29【练习】1.已知正实数x , y 满足x+4y －xy =0，求x+y 的最小值是 ；xy 的最小值是 .2.若log 2 x+log 4 y =1, 则x 2+y 的最小值是( )A. 2B. 2√3C. 4D. 2√2 3.在等差数列{a n }中，若a 1－a q = a p －a 5，则2p +12q 的最小值是 .【答案】1. 9；16 2. C 3. 34 2.综合题：1.已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n =4a 22，则2m +12n 的最小值为( ) A. 34 B.12 C. 13 D. 16 2.若正实数a,b 满足 1a+1b ＝1,则4a−1+16b−1的最小值为( )A. 16B. 25C. 36D. 49 3.在等比数列{a n }中，若a 3a 6 =a p a q ，则1p+9q 的最小值为 .变式：已知92是p 和q 的等差中项，且实数p,q 均为正数，则1p+9q的最小值为 .4.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c , ∠ABC = 23π,∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a+c 的最小值为 .5. 若正实数a,b 满足 12a+b +1a+2b ＝1,则a+b 的最小值为 . 【答案】1. A 2. A 3. 2514 变式.1694. 95. 43 三、连用不等式求最值1.若实数a,b 满足ab ＞0，则a 2+4b 2+1ab 的最小值为( C )A. 8B. 6C. 4D. 22.若a ＞0, b ＞0, 且a 2+4b 2=(ab)2,则a 4+16b 4的最小值是 128 .四、综合训练1. (2019天津卷) 设x ＞0, y ＞0，x+2y=5，则√xy的最小值为 4√3 .2.(2020南阳期中)已知x ＞0, y ＞0, 1x +2y ＝1, 若2x+y ≥k 2+k +2恒成立,求k 的取值范围. [－3,2] 变式：已知x ＞0, y ＞0, 1x+2y ＝1, 若2x+y ＜k 2+k +2有解,求k 的取值范围. (－∞,−3]∪(2,+∞)3. (2018天津卷)已知a,b ∈R,且a －3b +6=0,则2a +18b 的最小值为 14.变式2：正实数a,b 满足a+b =4,求1a+1+1b+3的最小值. 124.已知x ＞0, y ＞0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +13y 的最小值是（ C ） A.2 B. 2√2 C.4 D. 2√35.已知直线mx －y+n =0过点(2,1)，且m 、n 为正数, 则2m +1n 的最小值是 9 ，mn 的最大值是 18 . 6.若直线2ax －by +2=0(a ＞0, b ＞0)被圆x 2+y 2+2x －4y +1=0截得的弦长为4,则1a +1b 的最小值是 4 . 7.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1),OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b,0)(a ＞0, b ＞0,O 为坐标原点).若A 、B 、C 三点共线，则2a+1b的最小值是（ D ）A.4B. 92 C.8 D.98.已知x , y 满足{x ≥2y ≥2 x +y ≤8, z =x a +yb(a ≥b >0)的最大值为2,则a+b 的最小值为( D )A. 4+2√3B. 4+2√2C.9D. 8 9.已知x+y =1x+9y +6(x >0,y >0),则x+y 的最小值为( C )A. 6B. 7C. 8D. 9 10.若正实数a,b 满足 1a+2b＝1,则2a−1+1b−2的最小值为 2 .11.若不等式1a−b +1b−c +λc−a >0对于任意的a ＞b ＞c 恒成立，则实数λ的取值范围是( A ) A. (－∞,4) B.(－∞,4] C. (4,+∞) D. [4,+∞) 12.已知f (x )=|lgx |,若0<a<b ，且f (a )=f (b ), 则a+b 的范围是( C )A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (2,+∞)D. [2,+∞) 13.在△ABC 中，若tanAtanB =4, 求tan (A －B )的最大值. 3414.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对于任意p , q ∈N *, 都有a p+q =a p ·a q ，则S n−1·(S n−1+2)+256a n(n∈N *，n ≥2)取得最小值时，n =( D )A. 1B. 2C. 3D. 415.已知等比数列{a n }中，a 2=1，则其前3项的和S 3的取值范围是( D )A. (－∞,−1]B. (－∞,0)∪(1,+∞)C. [3,+∞)D. (－∞,−1]∪[3,+∞)16.在等比数列{a n }中，若a 2017 a 2019 a 2021= a 2017 + a 2019 + a 2021，则a 2019的取值范围是 (－∞,−√3]∪[√3,+∞) .17.设a ＞0, b ＞0.若2是2a 与2b 的等比中项，则ab −√ab 的取值范围是( C ) A. [－12,0] B. (－12,0) C. [－14,0] D. (－14,0)18.已知正实数x,y 满足x > y , x 3y +xy 3=4+2x 2y 2,则x + y 的最小值为 2√2 ,此时y = √2－1 .(第一空3分，第二空2分)19.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2018=√22，则1a2017+2a2019的最小值为 4 .。
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧 应用一:求最值例1:求下列函数的值域（1）y ＝3x ２+＼f(1,2ｘ 2) （2)y =x +错误!解：（1）ｙ=３x 2+错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为[错误!,+∞）（2）当x >０时,ｙ＝x +错误!≥2错误!＝2;当ｘ＜0时， y =x +1x ＝ -（- x －１x）≤-2错误!＝-2∴值域为（-∞,-2]∪［2,+∞)解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
解:因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-,即1x =时，上式等号成立，故当1x =时,max 1y =。
评注:本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知,，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当,即x ＝2时取等号 当x =２时,(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
基本不等式求最值的6种常用方法
基本不等式求最值的6种常用方法班级 姓名注意：每一道题写出完整的解答过程！题型一 直接法求最值【例1】y ＝9x x +(x >0)的最小值为 ________.y ＝9x x +的取值范围为 ________.y ＝x ＋4x ＋2(x >－2)的最小值为 ________.y ＝x 2＋3＋1x 2＋3的最小值为 ________.【变式1-1】已知x >0，y >0,2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 ________.【变式1-2】已知x >0，y >0，且2x ＋8y =xy ，则xy 的最小值为 ________.．【变式1-3】已知x ，y 为正实数，x ＋2y ＝1，求W ＝x ＋2y 的最大值．【变式1-4】已知0x >，0y >，若41x y +=，求()()411x y ++的最大值A ．94B ．14 C ．34 D ．1【变式1-5】已知0,0>>b a ，求a bb a a33++的最小值【变式1-6】(挑战)若a ，b ，c 均为正实数，求2222ab bca b c +++的最大值题型二 配凑法求最值【例2-1】若函数()()122f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a =（ ）A ． 1．1． 3 D ．4【例2-2】设302<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值【变式2-1】已知实数3x >，则943x x +-的最小值是（ ） A ．24 B ．12 C ．6 D ．3【变式2-2】已知54x <，求14245=-+-y x x 的最大值【变式2-3】设0x y >>，则41x x y x y+++-的最小值为（ ）A ．．．4 D题型三 消元法求最值【例3】已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为________．【变式3-1】已知()()1,1,112x y x y >>--=，则24x y +的最小值是（ ）A ．14B ．6C ．8D ．6【变式3-2】设正实数a,b 满足121=+b a ，则2112-+-b a 的最小值为________．题型四 乘“1”法求最值【例4】已知a >0，b >0，2=+b a ，求ba 212+的最小值.【变式4-1】已知x >0，y >0，且2x ＋8y =xy ，求x ＋y 的最小值．【变式4-2】已知0,0>>a b ，且12121=+++ba b a ，求b a +的最小值题型五 简化分母换元法求最值【例5】已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94C ．2D ．3【变式5-1】求y ＝x 2＋6x ＋12x ＋3在x >－3时的最小值．【变式5-2】设0<x <1，求11－x ＋9x的最小值．【变式5-3】已知正实数,a b 满足22a b +=，则22121a b a b +++的最小值是（ ） A ．94 B ．73 C ．174D ．133题型六 构造不等式法求最值【例6】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的取值范围是（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎛ ⎝⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭【变式6-1】（教材58页改编）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，求ab 的最小值。
利用基本不等式求最值
1 sin x (0 x ) 2 sin x
x x
不满足相 等
解：x 0时A不成立。
B. 5 0,5 0,5 5 2 5 5 2, x 0时取等 2 C (lg x) 1时取等,即x 10 （ 1 ， 10 ） D与C同理
x x x
x y xy 18 2 2
2
当且仅当x y 9时面积最大为 81m2
例4、当 0 x 5 时，函数 f ( x) 3x(16 3x) 的最大值是
8
8 此时x=_______. 3
解： 3 x 与 16 3 x 和为定值，
0 x 5, 0 3x 15
x
二.两个正数的积为定值，求它们和的最小值；
12 3 x的最小值为_______; 例2.若x 0, f ( x) 12 x
此时x=_______. 2
一正
二定 12 12 f (x) 3x 2 3x 12 x x 三相等 12 当且仅当 3x即x 2时取等号, x 即当x=2时函数的最小值为12.
2
9 2 x 10 16 x
9 2 此时 x , x 0,即x 9, x 3 x
六.“1”的替换
1 1 例7. 若正数x, y满足x 4 y 1, 则 的最小值为（ x y
1 1 1 1 x 4y 解： x 4 y 1, ( )(x 4 y ) 5 x y x y y x 5 x 4y 5 2 7 y x
12 解:因为x>0, 3x 0, . 0, x
现炒 现卖
挑战高考 的
2 x 0 1.（2009湖南卷）若 ，则 x x 最小值为 .
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
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∴
x
＋
4 x－2
＝
x
－
2
＋
4 x－2
＋
2
＝
－
2－x＋2－4 x
＋
2≤
－
2
2－x·2－4 x＋2＝－2.
当且仅当 2－x＝2－4 x，即 x＝0 时，
x＋x－4 2取最大值－2.
第二章 2.2 第2课时
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(2)x2－x－2x2＋4＝x－22＋x－22x－2＋4 ＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，原式有最小值 6.
第二章 2.2 第2课时
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(4)∵x>0，y>0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝10＋yx＋9yx ≥10＋2 9＝16. 当且仅当yx＝9yx且1x＋9y＝1 时等号成立， 即 x＝4，y＝12 时等号成立． ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 有最小值 16.
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第
二
一元二次函数、方程和不等式
章
第二章 一元二次函数、方程和不等式
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2.2
基本不等式
第二章 2.2 第2课时
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第 2 课时
利用基本不等式求最值
第二章 2.2 第2课时
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课前自主预习
第二章 2.2 第2课时
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[变式] (1)本例(3)中，把“x>2”改为“x<2”，则 x＋x－4 2的最 值又如何？
(2)本例(3)中，条件不变，改为求x2－x－2x2＋4的最小值．
第二章 2.2 第2课时
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[解] (1)∵x<2，∴2－x>0，
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当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时取“＝”． ∴y 的最大值为92. (3)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝(x－2)＋x－4 2＋2 ≥2 x－2·x－4 2＋2＝6. 当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，x＋x－4 2取最小值 6.
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2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应 对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形” 等方法创建应用．
3．求解应用题的方法与步骤 (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
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[解] (1)∵x>0， ∴由基本不等式得 y＝4x＋9x≥2 4x·9x＝2 36＝12， 当且仅当 4x＝9x，即 x＝32时，y＝4x＋9x取最小值 12. (2)∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋32－2x2＝92.
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(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求 积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、 合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
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[针对训练] 1．已知 x，y>0，且满足3x＋4y＝1，则 xy 的最大值为________．
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[思路导引] 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题是在 4x＋ 6y＝36 的前提下求 xy 的最大值．
[解] (1)设每间虎笼长 x m，宽为 y m，则由条件知 4x＋ 6y＝36，即 2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 解法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
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当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最小．
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课堂归纳小结 1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x，y 一定要都是正数； (2)求积 xy 最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 最 小值时，应看积 xy 是否为定值； (3)等号是否能够成立． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.
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由22xx＋＝33yy＝，18， 解得xy＝＝43..5， 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大． 解法二：∵2x＋3y＝18， ∴S＝xy＝16·(2x)·(3y)≤16·2x＋2 3y2＝861＝227.(以下同解法一)
第二章 2.2 第2课时
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∴1x＋3y≥1＋ 23，
故1x＋3y的最小值为
1＋
3 2.
[答案]
1＋
3 2
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3．若 x<3，则实数 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值为________． [解析] ∵x<3，∴x－3<0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3 ＝－3－4 x＋3－x＋3 ≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时取“＝”号． ∴f(x)的最大值为－1. [答案] －1
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(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 则 l＝4x＋6y. ∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当 2x＝3y 时，等号成 立． 由2xyx＝＝234y，， 解得xy＝＝64.， 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
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1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
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基本不等式与最值 已知 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2P ； (2)如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 14S2 . 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必 须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
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判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a>0，b>0，且 a＋b＝16，则 ab≤64.( )
(2)若 ab＝2，则 a＋b 的最小值为 2 2.( )
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最
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题型二 利用基本不等式解决实际问题 【典例 2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为 多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
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[解析] ∵x，y>0， ∴3x＋4y＝1≥2 1xy2， 得 xy≤3，当且仅当3x＝4y即 x＝32，y＝2 时，取“＝”号， ∴xy 的最大值为 3. [答案] 3
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2．已知 x，y>0，且 x＋y＝4，则1x＋3y的最小值为________． [解析] ∵x，y>0， ∴(x＋y)1x＋3y＝4＋yx＋3yx≥4＋2 3， 当且仅当yx＝3yx， 即 x＝2( 3－1)，y＝2(3－ 3)时取“＝”号， 又 x＋y＝4，
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解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)， 再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论 (作答)．
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[针对训练] 4．某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造 一栋至少 10 层，每层 2000 m2 的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋48x(单位：元)．为 了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购
小值是 2
x x－1.(
)
(4)若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2≥2.(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
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课堂互动探究
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题型一 利用基本不等式求最值 【典例 1】 (1)若 x>0，求 y＝4x＋9x的最小值； (2)设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值； (4)已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． [思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时， 通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．