概率论与数理统计第3讲

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不同的问题选取的划分不同，而最常见的划 分，是某事件A和它的逆A 构成的划分， 用这样的划分来计算任意事件B的全概 率公式为
P ( B ) P ( A) P( B | A) P ( A) P ( B | A)
(1.13)
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例 1.13有两个口袋，甲袋中有2个白球1个黑 球，乙袋中有1个白球2个黑球。由甲袋 任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出 一个球，求取到白球的概率。
A B
图1-2
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而我们不应当只是根据定义来看待这个条件 概率，更应当思考条件试验，就是说， 在这里我们要将试验改成，在事件A也 就是正方形的左半边的矩形中任掷一点， 这就是一个条件试验。在此条件试验中， 这一点落在区域B中的概率。
A B
图1-2
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二. 乘法法则
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正因为有条件试验这种思考和试验的设计， 就导致了下面的一个经验之谈： 在计算概率时，两个事件A和B的积事件 的概率P(AB)的计算通常不容易，而B对 A的条件概率P(B|A)的计算通常容易一些。
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
因为如此，所以经常倒是利用式(1.10)来计算 P(AB)，即有如下的乘法法则： 定理 1.7 (乘法法则) 对两个事件A,B, 设 P(A)>0，则下式成立： P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11)
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P(AB)=P(A)P(B|A) (1.11) 这样的乘法法则可以推广到三个甚至更 多个事件上去。例如对于事件A，B，C， 就有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 这是因为上式右边头两项的乘积就是 P(AB)，再利用一次公式(1.11)就可得结 果。
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例 1.11接着例 1.9进行研究，事件A与B的定 义也都不变，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ义事件C为点落在内接 圆上，如图 1-3所示。
A C
B
图1-3
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因此事件C只是一条曲线，曲线在平面上的 面积为0，所以P(C)=0。但是现在考虑条 件试验，强行地让C成为必然事件，而 且任何事件发生的概率都和它在C中占 有的曲线长度成正比。
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用组合的办法算也行，就是
5 4 2 1 2 C5 8 7 C82 1 2
也能够得到正确结果。但总的来讲，用 乘法法则进行思考是最简洁的。这也说 明了当一个问题求的虽然不是条件概率， 也可以考虑利用条件概率然后由乘法法 则获得答案。
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三. 0概率事件作条件
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在对条件概率的定义 1.2中，因为条件事件A 的概率是要放在分母上的，所以要求 P(A)>0。但是实际应用中经常遇到象几 何概型那样的试验模型，就是存在着0概 率的可能事件，因此是可以设计以0概率 事件作为条件，把这样的事件上升为必 然事件的条件试验的。 这时可以根据条件试验的模型直接计算 条件概率，而不使用式(1.10)。
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定理 1.8 (全概率定理) 如果A1,A2,…,An构成一 个划分，且都有正概率，则对任何一个 事件B，都有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) +…+P(An)P(B|An) (1.12) 上式也称为全概率公式。
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全概率定理解决的一些问题中，通常试验可 视为分两步做，第一步决定划分的各个 事件A1,A2,…,An的产生，第二步决定事 件B的产生。
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例 1.12假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同 一种螺钉，产量依次占全厂的45%、 35%、20%。如果各车间的次品率依次 为4%、2%、5%。试求此工厂生产出的 这种螺钉的总次品率。
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例 1.12假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同 一种螺钉，产量依次占全厂的45%、 35%、20%。如果各车间的次品率依次 为4%、2%、5%。试求此工厂生产出的 这种螺钉的总次品率。 解 试验为从全厂生产出的螺钉中任抽一 个，抽出的螺钉为次品的事件为B，并 假设抽出的螺钉为甲、乙、丙车间生产 的事件为A1,A2,A3，这三个事件构成划分， 且由题意可知P(A1)=0.45, P(A2)=0.35, P(A3)=0.2。
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控制试验使得事件A必然发生，这样的试验 称之为条件试验。条件试验的思考是解 决概率论许多问题的重要手段。
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对于条件概率，有控制论和信息论这两种情 况。 控制论的观点，就是通过条件试验将某 个事件上升为必然事件，然后计算各个 其它事件在此事件条件下的条件概率。
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而信息论的观点涉及到信息传递 这时候可以设置试验场地和信息中心两 个地方, 在试验场地的试验员将试验的部 分或者全部结果向信息中心的信息员报 告.
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而这道题当然也可以完全用古典概型的办法 来算，考虑上面的P(A)和P(B|A)乘到一起 5 4 就是 8 7 分母上正好是8个元素取两个的排列数， 是有次序地抽两个球的基本事件总数， 而分子上则是5个白球取两个的排列数， 这是在一个56个基本事件的试验中进行 计算，当然思考就复杂一些。
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就拿例 1.8来说，如果想要得到抽到男生条件 下抽到的是免修英语的学生的条件概率 P(B|A), 则是将试验重新设计为抽到男生 成为必然事件，也就是先将80名男生取 出来，而将20名女生剔除，然后在这80 名男生中任抽一个，计算其免修英语的 概率。
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在实际应用中如果想要获得B对A的条件概率， 如果是试图通过频率的办法测量，也是 控制试验使得事件A成为必然事件，然 后再统计事件B发生的频率。也可以还 是做一般的试验，但是将事件A没有发 生的那些试验剔除，再将AB都发生的次 数除以事件A发生的次数。
5 4 P ( AB) P ( A) P ( B | A) 0.3571 8 7 在上式的思考过程中，在计算P(A)也就是第 一次抽得白球的事件，这时是从8个球中 抽出5个白球中的1个，因此是一个基本 事件数为8的古典概型问题是简单的，然 后在A已经发生的条件下，第二次抽的 时候袋内只剩7个球且只有4个白球，因 此也是一个基本事件数为7的古典概型的 试验，因此条件概率也是好计算的。
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例 1.8全年级100名学生中，有男生(用事件A 表示)80人，女生20人；免修英语的(用 事件B表示)40人中有32名男生8名女生。 从这100名学生中任抽一名进行观察。 80 40 32 P ( A)= P( B) P ( AB ) 100 100 100 而在事件A已经发生条件下事件B发生的 概率为 32 P ( B | A) 0.4 80
1.4 条件概率与乘法法则
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一. 条件概率
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条件概率是概率论中的重要概念，条件概率 的基本定义是，在事件A已经发生的条 件下，事件B发生的概率，称为事件B在 给定A下的条件概率，简称为B对A的条 件概率，记作P(B|A)。相应地，把P(B) 称为无条件概率。
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例 1.8全年级100名学生中，有男生(用事件A 表示)80人，女生20人；免修英语的(用 事件B表示)40人中有32名男生8名女生。 从这100名学生中任抽一名进行观察。 其中抽到男生的概率为 80 P ( A)= 0.8 100 抽到免修英语的学生的概率为 40 P( B) 0.4 100 32 P ( AB) 0.32 100 4
A C B
图1-3
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从图中不难看出，事件A和B都是压住了内接 圆的一半，所以 1 P( A | C ) P( B | C ) 2
A C B
图1-3
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四. 全概率定理与贝叶斯定理
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在某些试验环境中，某个事件B的概率有可 能难计算，这时如果能够将B划分成为n 个互不相容事件的和事件，则计算这些 事件的概率并相加就得到P(B)。
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而经常就是利用一个划分A1,A2,…,An来将B切 割成n个互不相容的事件，即
B=BW=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+BA
n
上式右端的各个事件BAi (i=1,2,…,n)就是 两两互不相容的事件, 因此就有 P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)
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例 1.12假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同 一种螺钉，产量依次占全厂的45%、 35%、20%。如果各车间的次品率依次 为4%、2%、5%。试求此工厂生产出的 这种螺钉的总次品率。 P(A1)=0.45, P(A2)=0.35, P(A3)=0.2 题目给出的各个车间的次品率为条件概 率，就是将条件试验设定为A1,A2,A3依次 上升为必然事件的条件下进行试验，得 到的三个条件概率依次为P(B|A1)=0.04, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.05,
试验场所
信息中心
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例 1.9考虑例 1.2的试验，在边长为1的正方形 中等可能地任掷一点，令点落在正方形 左半边为事件A，在正方形的右上角到 左下角划一直线，将点落在此直线下方 的事件称为事件B，如图 1-2所示。
A B
图1-2
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从图中不难看出，B对A的条件概率为 1 P ( B | A) 0.25 4
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例 1.12假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同 一种螺钉，产量依次占全厂的45%、 35%、20%。如果各车间的次品率依次 为4%、2%、5%。试求此工厂生产出的 这种螺钉的总次品率。 P(A1)=0.45, P(A2)=0.35, P(A3)=0.2 P(B|A1)=0.04, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.05, 则根据全概率公式可得： P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P( B|A3) =0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035
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例 1.8全年级100名学生中，有男生(用事件A 表示)80人，女生20人；免修英语的(用 事件B表示)40人中有32名男生8名女生。 从这100名学生中任抽一名进行观察。 80 40 32 P ( A)= P( B) P ( AB ) 100 100 100 32 P ( B | A) 0.4 80 可以看出 P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
上式可以由图 1-4表示，图中是给出了n=4的 情况，其中B的总面积是它与A1,A2,A3,A4 这四个区域的重合部分的面积之和。
A1 W A2
B
A3 图1-4
A4
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P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn) 但是由经验之谈，计算两个事件的积事 件的概率P(BAi)是不容易算的，因此就 利用乘法法则，P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai) (i=1,2,…,n)。这样我们就得到如下定理。
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例 1.10袋内有3个红球5个白球，从中任抽两 个，求抽得的都是白球的概率。 解 假设A={第一次抽到白球}，B={第二 次抽到白球}，则题意是要求P(AB), 根据 式(1.11)可得 5 4 P ( AB) P ( A) P ( B | A) 0.3571 8 7
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例 1.13有两个口袋，甲袋中有2个白球1个黑 球，乙袋中有1个白球2个黑球。由甲袋 任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出 一个球，求取到白球的概率。 解 试验分两步做，将试验的第1步产生 的各事件构成划分，因此设A为从甲袋 中取出的是白球，则A 为从甲袋中取出 的是黑球，设B为最后取到白球的事件。 因为甲袋中有2个白球1个黑球，所以 2 1 P ( A) , P ( A) 3 3
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定义 1.2 设P(A)>0，则B对A的条件概率为
P( AB ) P( B | A) P( A) (1.10)
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P( AB ) P( B | A) P( A)
(1.10)
但是不要以为通常的概率论问题都是根据式 (1.10)计算条件概率的，其实不然。在解 决许多问题时，条件概率是通过对试验 进行控制而更改了样本空间而得到的， 就是说，修改随机试验使得那个条件事 件A上升为必然事件或者新的样本空间， 然后再通过试验、思考或者计算得到 P(B|A)。