微积分概史及其评价

微积分概史及其评价

[摘要] 本文阐述了微分学同积分学的历史进程，并对献身于微积分学发展的一些科学家做了历史评价。微积分的建立，介绍了牛顿、莱布尼茨的工作。详细介绍了牛顿的微积分思想，他的流数法、求积法，莱布尼茨的符号计算法。微积分学的进一步发展和完善，介绍了约翰·兰登、欧拉、拉格朗日、罗伊里哀、波尔查诺、柯西、黎曼的工作。

[关键词] 微积分微分学积分学穷竭法不可分无法极限法定积分不定积分无穷小增量

一、引言

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从十七世纪开始，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。

二、微积分概史

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生于发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽为《九章算术》作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆，这是极限论思想的成功运用。

积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的。古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。

微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于1629年费尔玛陈述的概念，他给出了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在十七世纪下半叶各自独立创立了微积分。1605年5月20日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于1665~1676年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿—莱布尼茨公式。

牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律——航海的需要、矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。

如果说牛顿从力学导致“流数术”，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于1684年的《都市期刊》上，这比牛顿公开

发表微积分著作早3年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。

莱布尼茨的微积分符号“”和“”已被证明是很好用的。

牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作，经过各自独立的研究，掌握了微分法和积分法，并洞悉了二者之间的联系。因而将他们两人并列为微积分的创始人是完全正确的，尽管牛顿的研究比莱布尼茨早10年，但论文的发表要晚3年，由于彼此都是独立发现的，曾经长期争论谁是最早的发明者就毫无意义。

牛顿在数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。据牛顿本人回忆，他是在1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，试图修改他的求圆面积的级数时发现这一定理的。

笛卡儿的解析几何把描述运动的函数关系和几何曲线相对应。牛顿在老师巴罗的指导下，在钻研笛卡尔的解析几何的基础上，找到了新的出路。可以把任意时刻的速度看成是在微小的时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小的路程和时间间隔的比值，当这个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确值，这就是微分的概念。

求微分相当于求时间和路程关系得在某点的切线斜率。一个变速的运动物体在一定时间范围里走过的路程，可以看作是在微小时间间隔里所走路程的和，这就使积分的概念。求积分相当于求时间和速度关系的曲线下面的面积。牛顿从这些基本概念出发，建立了微积分。

微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为“流数术”。它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿前已经得到人们的研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。

黎曼在该论文中还有“大和”、“小和”的概念及可积性条件，这些思想被法国数学家达布在1875年阐述得更加清楚而完整，因此现在有达布大、小和数之称谓。至此，定积分的理论业已就绪。

综上，微积分的建立经历了很长的过程，它不是某位天才的突发其想，但同时也不可否认，有太多的天才在这一过程中担当着决定性的角色。对微积分历史的探讨一方面可以加深对微积分本身的认识，另一方面，也许是更为重要的一面，有助于提高研究素质。引用数学家克莱因的话：“了解数学的未来，不妨去了解它的现在和过去。”

参考文献：

[1] 微积分概念发展史[美]卡尔·B. 波耶(Carl B. Boyer)著_复旦大学出版社_2007.6.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学[m].北京：高等教育出版社,2008.