微积分的发展史

聊城大学

本科生毕业论文

题目：微积分的发展史

专业代码： 070101

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目录

前言 0

1.古代东西方微积分思想的萌芽 0

2.微积分的产生 (1)

2.1微积分的诞生 (1)

2.2柯西与魏尔斯特拉斯的贡献 (2)

3.微积分的意义 (4)

4.东西方微积分发展差异分析 (4)

结论 (5)

参考文献 (7)

致谢 (8)

摘要

微积分作为数学的一个重要分支,是许多学科的重要工具.那么它是如何产生的,对于微积分的发展史我们从中能发现什么规律和启示呢？通过研究微积分的历史可以有助于我们的科研与生产,对于理解微积分也有很大的帮助.

关键词:微积分；发展史；启示；意义

Abstract

Calculus as an important branch of mathematics, is an important tool in manydisciplines. So how it is produced, the development history of calculus from which we can find out what rules and Enlightenment Through the study of calculus of history can contribute to the scientific research and production of our calculus, for the understanding is also a great help.

Key words:Calculus; development history; inspiration; law

微积分的发展史

前言

微积分学是微分学与积分学的总称,微积分作为现代数学的一个分支,它的触角几乎遍布当今科学的各个角落,更是当今科学的重要基石.微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.微积分的发展同时推动了天文学和物理学前进的步伐,摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学.不仅如此,微积分在数学这一学科中同时又贯穿了多个分支体系,如极限、微分学、积分学、以及导数等.

1.古代东西方微积分思想的萌芽

微积分作为一门学科是在十七世纪产生的,标志是牛顿——莱布尼兹公式.然而正如牛顿所说：“如果说我比别人看的更远些,那是因为我站在了巨人的肩上”.作为一门学科,它的产生绝不是偶然,那是无数先人的努力与支持.

公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决“抛物弓形的面积,球和球冠面积,螺旋下面积和旋转双曲体的体积”的问题中,就隐含着近代积分学的思想.再比如古希腊数学家安提丰的“穷竭法”,前四世纪由欧多克斯作了补充和完善,它们用来求平面的面积和立体的体积.而在东方,在中国,前四世纪的春秋战国时代

者惠施称：“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,引出收敛的数列2111,......222n

⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在这里安提丰的“穷竭法”和惠施的“一尺之棰”都是极限思想的滥觞.至公元三世纪,三国魏人刘徽作《九章算术》注,提出“割圆术”——割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.他的数学表述是以圆的内接正()()6211,2...n n ⨯-=边形的面积n A 近似单位圆的面积()n A ππ≈,算的629174⨯=边形,得 3.14π≈,又进一步通过6×29＝174边形,得到一个相当于

3.14159的分数,即n 愈大,n A π-愈小;,0n n A π→∞-→.剩余面积可以被竭尽.在中国古代此方法用来求圆周率,在刘徽极限思想的影响下,后来者祖冲之进一步

求得更精确的圆周率.

南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷,创举

世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解,比

西方早500多年.北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆

术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究.

在此可见在古代的东西方微积分的极限思想已普遍产生,并已经能够解决实

际问题,并且在我国的一些文学或哲学文献中也有极限的思想.思想家荀子“尽小

者大,积微者著”,“不积跬步,无以至千里；不积小流,无以成江海”.沈括在

《梦溪笔谈》中也提到了“造微之术”当时沈括已经知道分割的单元愈小,所求

得的体积,面积俞精确.尽管中国在古代已有微积分思想的萌芽,但微积分最终还

是诞生在了西方.

2.微积分的产生

在十七世纪,随着人们思想的不断解放,科学研究的不断深入,不少科学问题

都以解决,但同样还有新的问题出现,这些问题主要涉及物理学、天文学、军事等,

总结起来就是求曲线围成的面积、体积.以及曲线上任意一点的斜率.解决这些迫

切需要解决的问题,需要经过长时间的研究、讨论、酝酿,有关知识渐渐积累起来,

一些最活跃的人理应称为微积分的先驱.

2.1微积分的诞生

在微积分被发现之前,求面积只能求规则图形的面积,一些在解析几何中出现

的不规则的图形的面积,由于没有公式而无从下手.

在十七世纪求不规则面积、体积、曲线长,始于开普勒.他怀疑酒商的酒桶体

积,认为旋转体的体积是非常薄的圆盘体积之和,卡瓦列里求积提出不可分量法,

认为面积是无数个等距平行线段构成的.线是由点构成的,就像链由珠子穿成一

样；面是由直线构成,就像布是由线织成一样；立体是由平面构成,就像书是由页

组成一样.卡瓦列里的理论来自“穷竭法”,而费马的方法更接近现代的积分,他

用小矩形面积近似小曲边形的面积,最后用相当于和式极限的方法,得到正确的结

果,求得一个幂函数曲线下的曲变形的面积.此后还有华里斯、罗贝瓦儿、这些人

都已来到微积分的大门口.微积分的研究源于运动学,即对切线极值、运动速度的