分数阶微积分的历史背景
微积分产生的历史背景课件人教新课标(4)
现代科技的推动力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
牛顿、莱布尼茨之前的微积分方法
微积分理论的建立聚集了许许多多数学 家的努力，如： 开普勒的求积术 卡瓦列里不可分量原理 笛卡儿求切线方程的“圆法” 费马求极大、极小值的方法 巴罗的“微分三角形” 沃利斯的“无穷算术”
谢谢观赏！
现代科技的推动力
凡此一切都归结为如下一些基本问题： 1、确定非匀速运动物体的速度和加速度需要研究瞬时变化 率问题； 2、望远镜的设计需要确定透镜曲面上任一点的法线因而需 要研究曲线的切线问题； 3、确定炮弹的最大射程等需要研究最大、最小值； 4、确定行星运行的路程、向径扫过的面积等又需要计算曲 线长、曲边图形的面积等。
微积分产生的历史背景
17世纪最伟大的数学成绩是微积分的发明。微积分 是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及 后来的电磁学等提供了必不可少的工具。
微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念。 而这两个方面由于笛卡儿和费马等人的工作，其基础已 基本具备。
微积分及其产生条件
对微积分的发明起了直接推动作用的是现代科技的发展。 1、17世纪，开普勒提出行星运行定律，从数学上推证这些 定律成了当时自然科学的中心课题； 2、伽利略的自由落体定律、动量定律、抛物体运动性质等也 激起了人们用数学方法研究动力学的热情。
微积分创立的背景与过程
微积分创立的背景与过程微积分是一门综合性的数学学科，它是由牛顿、莱布尼茨等数学家在17世纪末发明的。
微积分的发明是为了解决物理学中的一些问题，如速度、加速度等，因此，它是在物理学的研究中发展起来的。
微积分是研究函数和它们的变化率、极限、积分等的一门数学学科。
微积分的创立过程、背景和发展历程是非常复杂的，这篇文章将从以下几个方面进行介绍。
1. 微积分的背景微积分的发展背景是欧洲文艺复兴时期的科学繁荣。
在这个时期，人们开始追求自由和民主，同时也开始研究自然界和宇宙的规律。
牛顿、莱布尼茨等数学家在这个时期提出了微积分的概念，为物理学和其他科学领域的研究提供了新的数学工具。
2. 微积分的发展过程微积分的发展过程非常漫长，它由牛顿、莱布尼茨等数学家在不同的时间、不同的地方进行研究。
牛顿在1665年至1666年间，在农村避瘟疫的时候，开始研究运动的规律。
他发现物体的速度在不断变化，而速度的变化率就是加速度。
牛顿发明了微积分的基本概念，即导数和积分，从而解决了运动学中的很多问题。
莱布尼茨则在牛顿之后，于1675年左右独立发明了微积分。
他发现导数和积分是可以互相转换的，从而大大简化了微积分的运算。
莱布尼茨还发明了微积分符号，这使得微积分的表达更加简单和精确。
3. 微积分的应用微积分的应用非常广泛，它是物理学、工程学、经济学、生物学、化学等学科中不可或缺的工具。
在物理学中，微积分可以用来研究物体的运动、力学、电磁学等问题。
在工程学中，微积分可以用来设计建筑物、桥梁、道路等。
在经济学中，微积分可以用来研究市场供求关系、价格变动等。
在生物学中，微积分可以用来研究动植物的生长、繁殖等。
在化学中，微积分可以用来研究化学反应的速率、平衡等。
微积分的发明是人类智慧的结晶，它在解决物理学和其他科学领域的问题中发挥了重要作用。
微积分的发展历程是一个漫长而复杂的过程，但它对人类的进步和发展做出了巨大的贡献。
微积分建立的时代背景和历史意义
微积分建立的时代背景和历史意义微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。
到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。
直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
分数阶微积分的历史背景
分数阶微积分的历史背景一、微积分学的创立微积分学作为一门高等数学的基础学科，是在十七世纪产生的。
微积分的基本概念和内容包微分学积分学。
但是早在公元前三世纪，就已经出现过利用微积分思想解决问题的实例了，如庄子在天下篇中曾记载“一尺之锤,日取其半,万世不竭”，阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积以及旋转双曲体的体积问题中，都体现了极限的概念。
十七世纪，人们面临着许多新的数学问题，比如求瞬时速度的问题等，这些问题促成了微积分的产生，当时有许多著名的数学家都为了解决相关问题做了大量的研究，其中莱布尼茨和牛顿的成就尤为突出。
1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列0，1，4，9，16，…的性质，例如它的第一阶差为1，3，5，7，…，第二阶差则恒等于2，2，2，…等．他注意自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为1+3+5+7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列。
流数(fluxion)1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微积分），后来世人就以这天作为“微积分诞生日”。
牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。
所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。
riemann-liouvile}型分数阶微积分
Riemann-Liouville型分数阶微积分是近年来微积分领域的一个热门研究方向，它延续了传统微积分理论的思想，同时又拓展了微积分的应用范围。
本文将通过对Riemann-Liouville型分数阶微积分的理论基础、应用与研究进展等方面进行系统的介绍，旨在加深对这一领域的理解，促进读者对分数阶微积分的探索与应用。
一、Riemann-Liouville型分数阶微积分的基本概念1.1 分数阶微积分的起源和发展背景分数阶微积分作为微积分的一种新的分支，在20世纪引起了学术界的广泛关注。
它的研究起源于对非整数阶微分方程的求解问题，随着分数阶微积分理论的不断发展，逐渐涉及到了信号处理、控制系统、金融工程等众多领域。
1.2 Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义Riemann-Liouville型分数阶微积分是分数阶微积分理论中最经典的一种类型，其定义如下：对于函数f(x)和实数α，Riemann-Liouville型分数阶积分的定义如下：\[D^{\alpha}_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{n-\alpha-1}f(t)dt\]1.3 Riemann-Liouville型分数阶微积分的性质及其意义Riemann-Liouville型分数阶微积分具有一系列与传统整数阶微积分不同的性质，如线性性质、微分学基本定理、分部积分等。
这些性质的存在使得Riemann-Liouville型分数阶微积分在实际问题中具有更加灵活的应用。
二、Riemann-Liouville型分数阶微积分的应用2.1 信号处理中的应用在信号处理领域，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于分析非平稳信号和非线性系统，提高信号处理的精度和效果。
2.2 控制系统中的应用在控制系统理论中，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于描述复杂系统的动态特性，并设计出更加优越的控制算法，提高控制系统的稳定性和鲁棒性。
微积分产生的历史背景
微积分发生的汗青配景数学中的转机点是笛卡尔的变数，有了变数，活动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学跟积分学也就破即成为须要的了，而它们也就破即发生，同时是有牛顿跟莱布尼兹年夜要上实现的，但不是由他们创造的。
恩格斯从15世纪初欧洲文艺振兴时代起，产业、农业、帆海奇迹与商贾商业的年夜范围开展，构成了一个新的经济时代，宗教变革与对教会思维监禁的疑心，西方进步的迷信技巧经过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国毁灭后希腊少量文献的流入欧洲，在事先的常识阶级眼前出现出一个完整斩新的相貌。
而十六世纪的欧洲，正处在资源主义抽芽时代，消费力掉掉了非常年夜的开展，消费理论的开展向天然迷信提出了新的课题，急切请求力学、地理学等根底学科的开展，而这些学科基本上深入依附于数学的，因此也推进的数学的开展。
迷信对数学提出的各种请求，最初汇总成车个中心咨询题：（1）活动中速率与间隔的互求咨询题〔多少何演示〕即，已经明白物体挪动的间隔S表为时间的函数的公式S=S〔t〕,求物体在恣意时辰的速率跟减速率；反过去，已经明白物体的减速率表为时间的函数的公式，求速率跟间隔。
这类咨询题是研讨活动时直截了当出现的，艰苦在于，所研讨的速率跟减速率是时时刻刻都在变更的。
比方，盘算物体在某时辰的刹时速率，就不克不及象盘算均匀速率那样，用活动的时间去除挪动的间隔，因为在给定的霎时，物体挪动的间隔跟所用的时间是0，而0/0是有意思的。
然而，依照物理，每个活动的物体在它活动的每一时辰必有速率，这也是无疑的。
已经明白速率公式求挪动间隔的咨询题，也碰到异样的艰苦。
因为速率时时刻刻都在变更，因此不克不及用活动的时间乘恣意时辰的速率，来掉掉物体挪动的间隔。
（2）求曲线的切线咨询题〔多少何演示〕那个咨询题自身是纯多少何的，并且对于迷信使用有宏年夜的主要性。
因为研讨地理的需求，光学是时十七世纪的一门较主要的迷信研讨，透镜的计划者要研讨光芒经过透镜的通道，必需明白光芒入射透镜的角度以便使用反射定律，这里主要的是光芒与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，因此老是就在于求出法线或切线；另一个触及到曲线的切线的迷信咨询题出现于活动的研讨中，求运植物体在它的轨迹上任一点上的活动偏向，即轨迹的切线偏向。
分数阶微积分的历史与发展
分数阶微积分的历史与发展摘要：分数阶微积分作为一种新的数学分支，近年来备受关注。
分数阶微积分与整数阶微积分相比，其具有更广泛的应用领域，如控制论、力学、经济学、生物医学等。
本文主要介绍了分数阶微积分的历史、发展及其应用领域，并分析了其未来发展趋势。
本文的目的是为读者提供对分数阶微积分的基本认识和启发。
关键词：分数阶微积分，历史，发展，应用领域，未来趋势一、分数阶微积分的历史分数阶微积分的出现，是为了解决传统整数阶微积分难以处理的问题而产生的。
实际上，很多现象和系统的行为不能用整数阶微积分来刻画，反而可以用非整数阶微积分来描述。
比如，分数阶微积分可以处理无界增长的数据，比如空气质量指数、绿色产业数据，分数阶微积分还可以处理非线性行为的系统，比如人口增长理论、化学反应系统。
分数阶微积分更能够处理系统之间的耦合关系，例如，它可用于描述经济中提高关税的决策对不同国家经济的影响。
分数阶微积分的历史可以追溯到1695年，Leibniz和L'Hôpital在处理常微分方程时首次提出了非整数阶导数的概念。
19世纪中叶，Grünwald和Letnikov独立地研究了分数阶导数，并提出了一种数值计算方法，即Grünwald-Letnikov导数。
20世纪初，Riesz研究了分数阶微积分的理论，并提出了一种新的导数定义，即Riesz导数。
1959年，Samoilov首次应用分数阶微积分理论解决了具有记忆效应的动态问题。
分数阶微积分的引入是为了使电力系统更加稳定。
在 19 世纪时，对于实际技术问题，整数阶微积分已成为解决这一问题的主要工具。
然而，在 20 世纪60 年代末到 70 年代初期，一些科学家发现，现实生活中很多现象不能用整数阶微积分来解释，于是，引入了分数阶微积分。
分数阶历史的成因：1、时代趋势：在数字化时代，人们对时间的刻划更加准确、更加精细，因此，在历史研究领域，分数阶历史逐渐得到了应用。
（二）分数阶微积分
（⼆）分数阶微积分2.1 分数阶微积分的历史分数阶微积分已有300多年的历史，最早由L'Hospital 1695年9⽉30号在给Leibnitz 的信件中提出，经Euler,Lagrange,Lacroix,Fourier,Liouville,Riemman,Weyl 等数学家的⾟勤⼯作初步建⽴起来的,但数学理论仍有诸多不完善。
分数阶导数进展缓慢，直⾄近代分数阶微积分才有了较⼤的发展，这要归功于各种应⽤学科例如流体⼒学、控制论、⽣物学等的发展⼈们逐渐认识到了分数阶微积分的实际意义，近年来，分数阶微积分⼴泛应⽤于反常扩散、信号处理与控制、流体⼒学、图像处理特别是核磁共振成像、软物质研究、地震分析、分形理论、分数阶PID 控制器等，研究分数阶微积分的学者与专著也⽇益增多。
分数阶微积分的优点体现在下⾯的⼏个⽅⾯:1. 从数学上讲体现了历史发展的必然性。
2. 分数阶微积分具有记忆性。
3. 分数阶模型与现实世界更加吻合。
4. 与⾮线性模型⽐较,表达更加简洁。
2.2 分数阶导数的定义与计算分数阶导数的定义有很多种，最常⽤的有Riemman-Liouville 导数和Caputo 导数,在经典的微积分理论中易见D −n f (t )=1(n −1)!∫t a f (τ)(t −τ)n −1d τ=1Γ(n )∫t a f (τ)(t −τ)n −1d τ因此，定义分数阶积分D −βf (x )=1Γ(β)∫t a (t −τ)β−1f (τ)d τ,(β>0)a. 若利⽤导数与积分的关系（先积分后求导）,设m =[β]+1D β=D m D −(m −β)定义⾮整数Riemman-Liouville 分数阶导数为RL a D −βtf (x )=1Γ(m −β)d m dt m ∫t a (t −τ)m −β−1f (τ)d τb. 若利⽤导数与积分的关系（先求到后积分）D −β=D −(m −β)D m定义Caputo 导数C aD −βtf (x )=1Γ(m −β)∫t a (t −τ)m −β−1f (m )(τ)d τRemark ：其中k (t ,τ)=(t −τ)(m −β−1)称为记忆核函数.从上也可以看出Riemman 分数阶导数和Caputo 分数阶导数在数值计算可能会有所不同，因为⼀般D −m −αD m ≠D m D −(m −α) 例如常函数的Caputo 型分数阶导数为0⽽Riemman 型分数阶导数不为0.Caputo 型分数阶导数要求f (x )具有m 阶导数在数学上要求⽐Riemman 型分数阶导数要苛刻很多。
数学素材：微积分建立的时代背景和历史意义
微积分建立的时代背景和历史意义河北 牛云飞微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用．积分的思想产生得很早，公元前200多年，希腊科学泰斗阿基米德（Archimedes ，约公元前287~前212）就用积分的观点求得球体积公式34π3V r =他用球体“薄片"的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用杠杆原理得到球体积公式．公元5世纪，中国数学家祖冲之、祖日恒 父子提出了“缘幂势既同，则积不容异”，也是积分概念的雏形．微分观念的发生比积分大概迟了2000年．公元16世纪,伽利略发现了自由落体的运动规律212S gt =,落体的瞬时速度近似于()()S t t S t gt t +∆-≈∆．当t ∆很小时,这个比值接近于时刻t 的瞬时速度，这是导数的启蒙．同时,在探求曲线的切线的时候，人们发现，切线是割线的近似，割线的斜率是()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆，当x ∆很小时，y x∆∆应该是切线斜率的近似，求瞬时速度及切线斜率，是产生导数观念的直接动因．17世纪，法国数学家笛卡儿（Descartes ，1596~1650)建立了坐标系,使几何图形能够用函数来表示,从而为研究函数及其变化率提供了有力的工具．在17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学．牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是建立了微积分基本定理()()()ba F x dx Fb F a '=-⎰，它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起,揭示了微分和积分的逆运算关系．所不同的是,牛顿（Newton ，1642~1727)创立的微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题,把力学问题归结为数学问题,而莱布尼茨（Leibniz ，1646~1716）主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响．19世纪,法国数学家柯西（Cauchy ，1789~1857）和德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass ，1815~1897）为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学成为一套完整的、严谨的理论体系．微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实践．数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分．。
微积分理论发展的历史沿革
微积分理论发展的历史沿革
微积分的发展始于古希腊时代，早在公元前600-300年，古希腊数
学家几何学家艾萨克·欧几里得发明了曲线，把几何学和数学联系在一起，开创了微积分的几何学基础。
欧几里得以著名的《几何原本》首次提出运动曲线及其边对应的形状
面积计算，从几何学角度探讨了计算曲线面积的方法。
与此同时，他
也隐��地引入了积分概念，奠定了数学界的微积分理论发展的基础。
在十七世纪，英国数学家斯托克斯将欧几里得概念发展成功地应用与
一元函数上，并首次证明了此方法的可行性和有效性，此为推动了微
积分理论发展的重要转折点。
在十八世纪，微积分理论再次得到发展，德国数学家勃兰特提出了一
个叫做微积分的理论方法，在他的协助下，一元函数微积分理论逐渐
完善，多元函数微积分理论也得到发展。
在十九世纪，几个主要数学家发展出了外积分和内积分等术语，使微
积分理论更加完整和成熟。
此外，数学家们还发现了微分方程的概念，大大提高了微积分的应用，可以研究的问题更多了。
二十世纪，有着两个著名的微积分运动发起人：瑞士数学家冯·诺伊曼
和德国数学家尤金·布洛佛，使微积分理论提高到一个新层次，奠定了
现代微积分权威的地位。
（以上叙述并不完全准确，这仅仅是大致的历史沿革）。
分数阶微积分简介(大三下)讲解
... ... ... ...
t dn 1 n 1 ( t x ) f ( x)dx f (t ) n dt (n 1)! 0
以上公式说明
t 1 n 1 J f (t ) ( t x ) f ( x)dx (n 1)! 0 1 t n 1 ( t x ) f ( x)dx ( n) 0 n t
两边作Laplace变换得
ˆ (t ) t h ,
0
1 t
e dt t 1et dt
0
( )( ) 2 .
两边再取Laplace逆变换得
( )( ) 1 h , (t ) t . ( )
若 1 ，则
( ) h ,1 (t ) t . ( 1)
下面例证整数阶导数的结论在分数阶 导数定义中是否成立？对于幂函数有
m t 1 d n m 1 n Dt x ( t s ) s ds m 0 (m ) dt 1 dm h (t ) m m , n 1 (m ) dt
1 d t Dt 1 ( t s ) ds 0 (1 ) dt
1 d 1 1 t (1 ) dt 1 1 t 0. (1 )
这导致了分数阶导数其他定义形式的产生
Caputo导数
函数 f (t ) 的 阶Caputo导数定义如下
其中 0, m 表示不小于 的最小整数。
引入分数阶导数的定义后，整数阶导数
就成为分数阶导数的特殊情况. 我们自然希望：在分数阶导数定义中 取整数时，已有整数阶导数的结论依然 成立.
我们先得介绍一下Laplace变换和Beta函数。
微积分的历史背景(二)
引言：
微积分作为数学的分支之一，是研究变化和运动的科学。
它在科学、工程、经济学等领域中扮演着重要的角色。
本文将深入探讨微积分的历史背景，以及与之相关的重要概念和人物。
概述：
微积分的历史可以追溯到古希腊时期，但直到17世纪才真正形成为一个完整的数学学科。
在这个时期，一些伟大的数学家和科学家为微积分的发展做出了重要贡献。
微积分的发展可以分为两个阶段，分别是古代的微积分和现代微积分。
古代微积分：
1.希腊古代数学的基础
希腊数学的几何学和代数学基础
奥克西里斯和厄尼斯特斯的工作
插值法的发展与应用
2.阿基米德的工作
无穷小量和无穷大量的概念
阿基米德的方法和应用
3.大毕达哥拉斯定理的发现
毕达哥拉斯学派的成就
毕达哥拉斯学派与微积分的联系
现代微积分：
1.牛顿与莱布尼茨
牛顿的方法和应用
莱布尼茨的方法和应用
2.分析学的建立
连续函数与极限的概念
微分与积分的关系
3.微积分的应用
物理学中的微积分应用
工程学中的微积分应用
经济学中的微积分应用
4.微积分之外的发展
复变函数与复分析
非标准分析的发展
总结：
微积分作为数学中的重要分支，经历了数千年的发展与演变。
从古代微积分到现代微积分，数学家们通过深入研究和不断探索，建立了微积分的理论体系，并把它应用于科学、工程和经济学等各
个领域。
微积分的发展不仅推动了其他学科的进步，也为人们提供了解决实际问题的有力工具。
通过深入了解微积分的历史背景，我们更能欣赏和理解这一学科的重要性和应用广泛性。
分数阶微积分的历史背景
1 2
2 x
• 1822年Fourier用他自己的函数的积分表示
1 f x 2
f a da cos P x a dP
• 定义的任意阶导数为：
d f x 1 2 dt
f a da cos(Px a
(1)自L’Hospital与Leibnitz从1695年通信到 1812年
• 这期间，虽然有Euler，Bernoulli等大家关 注，分数微积分仍然只是纯数学的一些议 论和猜想。
(2)1812～1974年
• 这个时期从逐渐提出分数微积分的相关概 念、名词，到给出确切定义和性质，导出 了为数不多但确有见地的实际应用，并于 1974年出版了第一本分数微积分的专著。 • 期间，首先是1812年Laplace用积分定义一 个分数导数．1819年，他首次提到“任意 yx 阶导数”名词．同年Laeroix给出当 1 时，
(3)1974年迄今
• 1974年以后，分数微积分与分数微分方程 无论是应用还是理论上都有飞速发展，应 用面越来越宽，出现了许多专著和论文集， 至少有20种以上，开始呈现全面推广常微 分方程乃至泛函微分方程的分数阶理论．
• 由于在应用数学、材料力学、生物物理学 等方面提出分数阶微积分的应用背景，分 数阶微积分才被人们重视，特别是到1982 美籍法国数学家曼德尔布罗特 ((B.B.Mandelbrot)首次指出自然界和许多技 术科学中存在大量分数维的事实，并在整 体与部分之间存在自相似现象以后，分数 阶微积分作为分形几何和分数维动力学的 基础和有力工具才获得了飞跃的发展，并 在松弛、振荡、控制系统、扩散和输运理 论、生物组织、高分子材料的解链、混沌 与湍流、随机游走、统计与随机过程、粘 弹性力学及非牛顿流体力学、电化学等诸 多领域得以应用。
微积分产生的社会背景和数学渊源
数学包含了运动、变化和无限。
Barrow
Newton
Leibniz
Weierstrass
Bolzano
Cauchy
Cauchy的贡献在于将微积分的基础建立在极限
基础上，Weirstrass的贡献是建立了分析基础的
逻辑顺序：实数系——极限论——微积பைடு நூலகம்。
微积分的诞生具有划时代意义，是数学史上的
分水岭和转折点，这个伟大发明的产生，使得数学 明显地不同于从古希腊继承下来的旧数学，旧数学 是关于常量的数学，而新数学是关于变量的数学； 旧数学是静态的，新数学是动态的，两者的关系就 象解剖学与生理学，前者研究死的躯体，后者研究 活的身体，旧数学涉及的只是固定的和有限的，新
Newton求导（流数）的大概思想是： 求
x
n
的流数
n
n ( x ) x 变成 在量 x 因流动变成 x 的同时，
2 n n n n1 x n x x n2 &C 2 2 n n n 1 与 n x x n 2 &C 之比等于 2 2 n n n2 n 1 1 : nx x &C 2
其成为“数理逻辑奠基人之一”）。Leibniz 很
多重大的成就包括微积分都是在巴黎的4年中完 成的。
在 Paris, Leibniz 结交了荷兰著名数学家和物理 学家 Huygens，在他的指导下，钻研了笛卡尔、费马、 帕斯卡的著作，它制造出能进行加、减、乘、除和开方 运算的计算机。 他曾写信给中国的康熙皇帝建议成立北 京科学院，他主持出版了《中国近况》一书，他是最早 关心中国科学事业的西方朋友。
和数学家。1642年，伽利略去世，Newton诞生在
分数阶微积分的产生及演变
四 Caputo分数阶微积分
五 空间分数阶拉普拉斯算子的Riesz 定义
六 总结
分数阶微积分的理论主要的研究内容包括： (1)分数阶微积分定义的修正与完善。现在分数 阶微积分的定义有十几种，而这些定义之间又 存在密切的联系。但是，由于定义的使用范围、 涉及的初值条件等不相同，所以在应用方面存 在一些不确定性，因此分数阶微积分定义的分 类与统一是一项非常有意义的开创性工作。
(2)分数阶微积分的数值求解、分数阶微积分定 义的扩展与延伸(如分形导数的一些性质与分析； 正定分数阶微积分的性质与应用)。 (3)分数阶微积分不同于整数阶微积分的性质研 究，分数阶微积分的积分变换，如傅里叶变换、 拉普拉斯变换、z变换等。以上都是分数阶微积 分理论研究的重要方向。
现在，虽然分数阶微积分的定义已被提出， 但是分数阶微积分的理论体系还有待进一步的 扩充与完善，如时间分数阶微积分定义的统一 问题。空间分数阶导数的定义问题更为严重， 在现阶段，空间分数阶微积分的定义在数值计 算中较为使用的是Grunwald-Letnikov定义与 Riesz-Feller定义，其次是Riemann-Liouville定义。 多维空间分数阶定义方面，比较成功的是分数 阶拉普拉斯定义，但是该定义也比较繁琐，现 阶段还未见应用到微分方程的求解中。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法 和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材 料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物 理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若 干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可 代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一 个热点。
另外，分数阶微积分的非局域性质，导致 分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储 量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方 程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数 值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前 大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型， 其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待 进一步的深入研究。
3.9微积分建立的时代背景和历史意义
19世纪: 19世纪:黎曼积分及其他 世纪
柯西 黎曼与黎曼积分
16
现代:测度与积分 现代:
积分概念的扩充 问题 容量概念 测度论, 测度论, Lebesgue积分及 Lebesgue积分及 其意义
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 东部 西部 北部
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
4
逼近思想的起源与发展
埃及人的圆面积计算 希腊: 希腊:割圆术与穷竭法 阿基米德的有关工作 中国: 中国:刘徽与祖冲之父子
5
无穷小方法: 无穷小方法: 16世纪后期至17世纪中叶 世纪后期至17 16世纪后期至17世纪中叶
Kepler, 开普勒 (Johannes Kepler,1571 — 1630,德国) 1630,德国) (G. 罗 伯 瓦 尔 (G.P. de Roberval , 1675,法国) 1602 — 1675,法国) Cavalieri, 卡瓦列利 (Bonaventura Cavalieri , 1647,意大利) 1598 — 1647,意大利)
6
无穷小方法: 无穷小方法: 16世纪后期至17世纪中叶 世纪后期至17 16世纪后期至17世纪中叶
(P. 费 尔 马 (P. de Fermat , 1601 — 1665,法国) 1665,法国) (E. 托 利 拆 利 (E.Torricelli , 1608 — 1647,意大利) 1647,意大利) (B.Pascal, 1662, 帕斯卡 (B.Pascal , 1623 — 1662 , 法国) 法国) 沃 利 斯 (John Wallis , 1616 — 1703,英国) 1703,英国)
微积分的背景, 微积分的背景,发展与意义
分数阶微积分发展现状及展望
分数阶微积分发展现状及展望在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。
这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。
从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。
作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。
(一)、发展历史及现状牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。
分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。
1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。
这是公认的第一次提及分数阶微分。
1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。
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• Sonin在莫斯科数学通报中提出“任意指标 的微分”。所有这些学者共同奠定了今天 普遍认可的R-L分数微积分基础。
• 1892年，另一个重要的进步是来Heavisid
的线性微分方程的算子解法．当他用L变换
• 由于在应用数学、材料力学、生物物理学 等方面提出分数阶微积分的应用背景，分 数阶微积分才被人们重视，特别是到1982 美籍法国数学家曼德尔布罗特 ((B.B.Mandelbrot)首次指出自然界和许多技 术科学中存在大量分数维的事实，并在整
体与部分之间存在自相似现象以后，分数
阶微积分作为分形几何和分数维动力学的
(1)自L’Hospital与Leibnitz从1695年通信到 1812年
• 这期间，虽然有Euler，Bernoulli等大家关 注，分数微积分仍然只是纯数学的一些议 论和猜想。
(2)1812～1974年
• 这个时期从逐渐提出分数微积分的相关概
念、名词，到给出确切定义和性质，导出
了为数不多但确有见地的实际应用，并于
假定之下，对 R，定义 t a 的 阶导数
D t a
1 a a
t
a
• 而Riemann在1847年对分数阶微积分的定义 作了进一步的补充，在他逝世后的28年， 即1892年，发表了他在学生时代研究的分 数积分理论。对 f t ，遗著给出的公式为
D
c
os
Px
adP
• 定义的任意阶导数为：
d
f x
dt
1
2
f ada cos(Px a )dP
2
• N. H. Abel在1823年求解一个积分方程的 过程中涉及到了分数阶微积分。
• 特别是1832年，Liouville才给出了分数阶 导数的第一个合理的定义，Liouville在给 出第一个应用例子的同时，给出了两个公 式，其中之一是由Gamma函数定义即在一些
分数阶微积分的历史背景
历史背景
• 分数阶微积分的出现己有300多年的历史，几乎 古典微积分的概念刚被提出，分数阶微积分就受 到众多学者的青睐。
• 1695年，法国的L’Hospital函询G W Leibnitz ，问 到导数的阶数为分数时如何理解？特别提到n=1/2 时d^ny/dx^n的含义是什么?这距Leibnitz发表首篇 微积分论文仅11年，它显然是一个难以回答的问 题。不过Leibnitz还是于1695年9月30日复了一 函．说了一些似是而非的猜测以后，他写道， “你可以这样看，分数导数可以在两整数阶导数 的阶数之间引入某种插入法(interpolation)”．这一 点虽然也是猜测，但毕竟用现在的手段做到了， 这封信历史上不止一次公开发表．此后大致分为 三个阶段：
基础和有力工具才获得了飞跃的发展，并
在松弛、振荡、控制系统、扩散和输运理
论、生物组织、高分子材料的解链、混沌
与湍流、随机游走、统计与随机过程、粘
弹性力学及非牛顿流体力学、电化学等诸 多领域得以应用。
• M.Zahle, N.Patzschke在应用分数阶微积分 于分形集方面作了很多工作，首先把分数 阶微积分应用于研究自仿函数，得到了自 仿函数的可导临界阶，并且深入研究了自 仿函数的分数阶微积分变换的阶与计盒维 数上界的关系，获得了很好的结果;其次， 把分数阶微积分理论有机的应用到随机过 程、自仿随机过程等方面，取得了深入的 结果。而这些领域的应用研究反过来又促 进了分数阶微积分的理论研究的进一步发 展，成为当前国际上的一个热点研究课题， 相信随着学科融合和细化的速度的不断加 快，分数阶微积分将会有更加广阔的发展 前景。
1974年出版了第一本分数微积分的专著。
• 期间，首先是1812年Laplace用积分定义一
个分数导数．1819年，他首次提到“任意
阶导数”名词．同年Laeroix给出y当 x
时，
1
d2y 2 x
1
dx 2
• 1822年Fourier用他自己的函数的积分表示
f
x
1
2
f
ada
式1
S2
去得到逆变换时，得到微分算子
1
1
D2
d2
1
dt 2
并且运用于电路理论之中，最终人们还是
把他的算子方法与分数微积分和分数微分
方程很好地联系起来 。
• 概括的说分数阶微积分最早有系统化的研 究是由Liouville (1832), Riemann(1853) 和Holmgren(1864)在19世纪初期和中叶完 成的，但Grunwald和Krug最先统一了 Liouville和Riemann分数阶微积分定义。 而针对分数阶微积分，后来人们又提出许 多不同的定义 ，例如Grunwald分数阶微积 分，Weyl-Marchaud分数阶微积分，局部分 数阶微分，Caputo分数阶微分等等。
• 并针对这些定义，类似经典微积分的研究， 研究了有关它们的一些性质。然而，由于 分数阶微积分缺少明确的物理意义且应用 前景不明朗而发展缓慢。
(3)1974年迄今
• 1974年以后，分数微积分与分数微分方程 无论是应用还是理论上都有飞速发展，应 用面越来越宽，出现了许多专著和论文集， 至少有20种以上，开始呈现全面推广常微 分方程乃至泛函微分方程的分数阶理论．
f
t
1
t
c
t
1
f
d
t
这与现在的R-L定义只差了一个Riemann称
之为“补充函数”的 t．他附加 t的原
意是想对不同的积分下限予以调整．几经
争论，终于去掉 t 。
• 此后，又有Weyl, Erdel，Sler，Letnikov 等数学家对分数阶微积分进行过专门的研 究。