分数阶微积分发展现状及展望
试论微积分教学的发展趋势
2019第4期下（总第298期）ZHONG GUO NONG CUN JIAO YU随着时代的不断发展，人类对社会科学的探索也逐渐朝向更宽广、更深入的领域和层次，基于这些背景下，高校微积分教学在时代潮流的推动下出现了一些新的发展趋势，具体下文详述。
一、教学内容的时代化当下，互联网科技迅速发展，整个社会科技的探索也愈加广泛，而微积分又与科学技术的发展密不可分，并且相互作用，一方面微积分为科技的探索和发展提供支持，另外一方面，可以的发展成果最终会被微积分理论吸收，成为其不断发展的主要支撑。
因此，基于这种背景和特性，微积分未来的教学越来越会体现出时代化的特点。
这种时代的特点，在于微积分教学内容的更新与发展，而非是保守不变的。
也就是说，微积分的教学会随着时代的进步分更加完备，呈现出不断前进的趋势。
一方面，这种趋势下，时代的迅速发展为微积分教学提出了更高的要求，尤其是科研和人才的需要，而各个高校的人才培养，本身就是为了给时代和社会的进步提供人才的支撑，满足时代的要求，这也为毕业生的就业和生存提供一层保证。
另一方面，对于高校来说，本身就属于学界的范畴，而学界本身也是不断进行理论的探索与更新，探索的主力是教师，探索的成果反哺时代的发展，形成时代化趋势以后，又会在高校推广，应用于对学生的教学上。
因此，在这种循环之下，未来微积分的教学会不断显现出时代化的特色。
二、教学发展的应用化对于微积分未来教学的发展趋势而言，应用化自然少不了，尤其是微积分本身就是很多科学研究的理论基础。
因此来说，在未来的微积分教学发展中，会在本身理论的基础上进行应用性的延伸，也即延伸到各个应用领域中。
这种应用，其实就是一种细分，对于当前高校的不同专业而言，依据应用性的要求，进行微积分侧重点的细分。
当然，这种细分其实对教师和学生都提出了更高的要求，教师要不断的掌握专业新的发展和应用，然后反馈到日常的教学中，学生要不断地接受时代发展带来的新内容，反馈到自身以后的工作上。
分数阶微积分及其应用
分数阶微积分及其应用分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，在过去的几十年中，其应用在物理、工程、生物、经济等多个领域取得了显著的进展。
在分数阶微积分中，函数的导数和积分的阶数可以是非整数，这使得分数阶微积分能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。
分数阶微积分的基本概念包括幂级数、勒让德符号等。
幂级数是一种用无穷级数表示函数的方法，通过幂级数，我们可以将一个函数表示成无限多个因子的乘积。
而勒让德符号则是一种表示分数阶导数和积分的符号，它能够简洁地描述分数阶微积分中的运算。
分数阶微积分在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在信用卡计息中，分数阶微积分可以描述复利计息的规律，更好地拟合实际数据。
在股票投资中，分数阶微积分可以用于描述股票价格的动态变化，从而帮助投资者更好地预测股票价格的走势。
此外，分数阶微积分在科学研究和工程实践中也有广泛的应用，例如在电磁学、流体动力学、控制理论等领域都有重要的应用。
学习分数阶微积分需要掌握一些基本的技巧。
首先，需要熟悉函数的导数和不定积分的概念，这是学习分数阶微积分的基础。
其次，需要学会使用幂级数和勒让德符号进行运算，这可以帮助我们更准确地描述复杂的函数。
最后，需要掌握分数阶微积分的算法和计算方法，例如通过数值方法和软件包进行分数阶微积分的计算。
总之，分数阶微积分是一种具有重要应用价值的数学工具，它能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。
随着科学技术的不断发展，分数阶微积分的应用前景将更加广阔。
未来，分数阶微积分的研究和应用可能会涉及更多的领域，例如、大数据分析、化学反应动力学等。
随着分数阶微积分理论的不断完善，其应用也将越来越成熟和广泛。
因此，我们应该积极学习和掌握分数阶微积分这一重要的数学技能，为未来的科学研究和工程实践打下坚实的基础。
引言分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，它允许我们处理具有非整数阶导数的函数。
在过去的几十年里，分数阶微积分在物理学、工程学、生物学等许多领域发现了广泛的应用。
分数阶微积分发展现状及展望
分数阶微积分发展现状及展望分数阶微积分是传统微积分的推广和拓展，它不仅包含了整数阶的微积分概念和方法，还引入了分数阶导数和分数阶积分的概念。
分数阶微积分的发展历程可以追溯到18世纪末，但在过去几十年里，由于计算机技术的快速发展和实际应用需求的推动，分数阶微积分得到了极大地关注和发展。
从教学方面来看，分数阶微积分开始被引入一些高校的课程设置中。
在一些数学、物理、工程和生物等领域的课程中，分数阶微积分被用来对现实问题进行建模和分析。
一些教材和教学资源也开始出现，帮助学生理解和应用分数阶微积分。
从理论研究方面来看，分数阶微积分的理论基础已经逐渐完善。
分数阶导数的定义和性质已经被广泛研究和讨论，分数阶积分的求解方法和性质也得到了进一步的探索。
同时，分数阶微积分和其他数学分支的关系（如数值计算、泛函分析等）也得到了深入的研究。
从应用方面来看，分数阶微积分在各个领域都得到了广泛应用。
例如，分数阶微积分可用于描述非线性、非局域和非平稳系统中的动力学行为，广泛应用于混沌系统、信号处理、图像处理等领域。
另外，分数阶微积分还在金融、生物医学、力学、材料科学等领域中得到了应用。
许多实际问题的建模和分析需要使用分数阶微积分的方法。
展望未来，分数阶微积分仍然存在一些挑战和机遇。
一方面，分数阶微积分的教学仍然相对滞后，需要进一步推广和普及。
多样化和个性化的教学方法、教材和教学资源的开发是当前的重要任务。
另一方面，分数阶微积分的理论研究还有很大的发展空间，需要深入研究分数阶微积分的性质、方法和应用。
分数阶微积分与其他数学分支的交叉研究也是未来的一个重要方向。
另外，随着科技的进步和应用需求的增加，分数阶微积分的应用前景也非常广阔，可以进一步推动分数阶微积分的发展。
总结起来，分数阶微积分是传统微积分的推广和拓展，已经在教学、理论研究和应用方面取得了一定的成果。
未来的发展需要进一步推广和普及分数阶微积分的教学，深入研究理论和方法，并进一步拓展分数阶微积分的应用领域。
分数阶微积分的产生及演变
四 Caputo分数阶微积分
五 空间分数阶拉普拉斯算子的Riesz 定义
六 总结
分数阶微积分的理论主要的研究内容包括： (1)分数阶微积分定义的修正与完善。现在分数 阶微积分的定义有十几种，而这些定义之间又 存在密切的联系。但是，由于定义的使用范围、 涉及的初值条件等不相同，所以在应用方面存 在一些不确定性，因此分数阶微积分定义的分 类与统一是一项非常有意义的开创性工作。
(2)分数阶微积分的数值求解、分数阶微积分定 义的扩展与延伸(如分形导数的一些性质与分析； 正定分数阶微积分的性质与应用)。 (3)分数阶微积分不同于整数阶微积分的性质研 究，分数阶微积分的积分变换，如傅里叶变换、 拉普拉斯变换、z变换等。以上都是分数阶微积 分理论研究的重要方向。
现在，虽然分数阶微积分的定义已被提出， 但是分数阶微积分的理论体系还有待进一步的 扩充与完善，如时间分数阶微积分定义的统一 问题。空间分数阶导数的定义问题更为严重， 在现阶段，空间分数阶微积分的定义在数值计 算中较为使用的是Grunwald-Letnikov定义与 Riesz-Feller定义，其次是Riemann-Liouville定义。 多维空间分数阶定义方面，比较成功的是分数 阶拉普拉斯定义，但是该定义也比较繁琐，现 阶段还未见应用到微分方程的求解中。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法 和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材 料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物 理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若 干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可 代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一 个热点。
另外，分数阶微积分的非局域性质，导致 分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储 量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方 程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数 值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前 大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型， 其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待 进一步的深入研究。
多尺度分数阶微积分模型及其应用
多尺度分数阶微积分模型及其应用随着科技的不断发展，许多传统的学科正在被更新和改进。
微积分作为数学的基础学科，在现代科技应用中有着越来越广泛的应用。
随着数据和信息时代的到来，越来越多需要对时间序列数据分析和处理的问题出现了，而这些问题无法用传统的微积分方法解决。
因此，分数阶微积分应运而生。
基于分数阶微积分的方法具有分形特性和非局域化特性，拥有更合理的数学描述。
而多尺度分析方法则可以更好地揭示时间序列的动态信息，从而更精确地进行时间序列建模、处理和预测等应用。
因此，结合分数阶微积分和多尺度分析成为时序建模领域的热点。
多分辨率分数阶微积分模型以国内外学者研究的多分辨率分数阶微积分模型为例，这是将分数阶微积分与多分辨率分析相结合的一种理论和方法。
针对实际问题，可以根据问题要求选择不同的分辨率，从而建立出相应的多分辨率分数阶微积分模型。
多分辨率分数阶微积分模型最基础的流程如下：首先，将原始的时间序列分解为多个不同分辨率的序列；然后，分别对这些序列进行分数阶微积分处理；最后，将处理好的序列重新组合起来得到整个时间序列的分数阶微积分模型。
这种模型在参数确定方面更加普适，并具有更广泛的适用性。
应用多分辨率分数阶微积分模型及其扩展形式已经被广泛应用于多个领域。
下面列举几个具体领域的实际应用案例。
金融领域：随着金融市场环境不断变化，如何对市场风险进行准确预测成为重要的研究课题。
多分辨率分数阶微积分模型可以用于股票价格的预测，以及量化投资和交易的决策支持。
其中，多分辨率分数阶随机游动模型（MRSW）是一种典型的方法，其可以更好地处理金融数据的波动性和长期依赖性等特点。
信号处理领域：多分辨率分数阶微积分模型在信号处理领域也有很好的应用前景。
一般而言，信号的时域和频域信息要么直接从信号中提取，要么通过傅里叶变换等方法转换到频域。
但是，这种转换可能会导致信息损失。
而多分辨率分数阶微积分模型可以更全面地考虑时域和频域的多尺度特性，从而更好地提取信号的时频信息。
数学物理学中的分数阶微积分研究
数学物理学中的分数阶微积分研究分数阶微积分是一个比较新颖的研究领域，它将常规的微积分理论推广到了分数维度。
分数阶微积分的研究涉及到多个领域，其中数学和物理都是重要的一部分。
在这篇文章中，我将主要讨论分数阶微积分在数学物理学中的应用和研究进展。
什么是分数阶微积分？分数阶微积分（Fractional Calculus）是指将微积分的概念和方法推广到实数或复数阶的情况。
传统微积分只考虑了整数次导数，而分数阶微积分考虑了任何实数或复数次导数，包括非整数次。
因此，它拥有更广泛的适用范围和更大的内在复杂性。
分数阶微积分的研究历史悠久，早在18世纪，德国数学家利奥波德·欧拉就开始研究分数阶导数，但是这个领域的研究成果并不多。
直到20世纪60年代，分数阶微积分在电学、热力学、流体力学、地震学等领域得到了广泛应用，引起了学者们的广泛兴趣。
自此，分数阶微积分开始成为一门独立的学科，并在不同领域中取得了广泛应用和深入研究。
分数阶微积分在数学物理学中的应用分数阶微积分的发展和应用受到了数学和物理学界的广泛关注，其应用也十分广泛，尤其是在数学物理学中。
分数阶微积分的应用范围涉及微分方程、泛函分析、概率论、积分学等多个领域，它在科学研究中的作用越来越重要。
在物理学中，分数阶微积分的应用相对比较广泛。
以热传导方程为例，传统的热传导方程只能描述整数维空间的扩散和传输过程，而在分数阶微积分的框架下，可以更加准确地描述非整数维度下的扩散、传递和热流等现象，从而更准确地预测和解释一些复杂的物理现象。
除此以外，分数阶微积分在流体力学、声学、结构力学、生态学等领域也有广泛的应用。
分数阶微积分的应用不仅可以推广传统微积分的方法，更可以更好地描述一些现实中复杂的物理现象，为学者提供更准确的理论基础。
分数阶微积分的研究进展如今，分数阶微积分已经成为数学物理学研究的一个重要分支，其研究领域和方法不断丰富和完善。
国内外的学者们纷纷加入到了这一领域的研究中，各种新理论和新方法也相继涌现。
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
百家论点分数阶微积分在图像处理中的研究综述白宜禾（西安培华学院，陕西西安710125）摘要：在图像边缘纹路处理工作开展的实践性工作流程之中，为了突出相应纹路处理对象的最终成效，分数阶微积分计算模式在处理环节中的应用频率逐年提升。
本文将微积分在图像处理中的应用作为主要的研究对象。
结合目前国内有关微积分合成模式研究所得的相关技术理论，将理论性研究成果在图像处理实践性工作流程中的应用方式，做出了详细的分析和介绍。
关键词：分数阶微积分；图像处理；应用；分析1引言分数阶微积分是与整数存在形式微积分定理，相对应而存在的理论性研究结果，是原创于美国数学研究领域的一大研究突破。
在社会进入21世纪知识经济的发展进程后，微积分在社会各个生产领域信息技术手段中的应用，已经逐渐成为技术人员提升自身工作时效的有效途径之一。
将分数阶微积分结合应用在图像处理工作之中，就是在这一社会背景下产生的。
2分数阶微积分的研究理论分析2.1分数阶微积分的基本概念界定目前数学理论研究领域中关于分数阶微积分的基本定义，众多研究学者尚未形成统一的认知观念。
基于各个研究人员在分数阶微分研究方面立足的视角和出发点的各不相同，相应概念界定的存在形式也会有所差别。
纵观目前世界范围内有关分数阶微积分理论研究所提出的成果，通常存在三种较为经典的概念界定形式。
GL微积分概念的定义形式、RL微积分基本概念的界定，以及CP基本微积分构成理论研究结果的提出，都是目前应用频率较高的分数阶微积分概念的界定方法。
2.2分数阶微积分方程式的分类由于分数阶微积分方程式构成概念界定方式的各不相同，在实际运算过程之中，可以被工作人员灵活应用的计算方程式，也有多种各不相同的构成形式。
在众多方程式构成形式之中，将时间分数阶参数作为参照依据组建而成的方程式相对较为特别[1]。
与传统微积分方程式的构成模式相比较而言，这一新型微积分方程的构架方式，对时间和空间的偏导型数据信息进行了高度融合重整。
分数阶微积分及分数阶方程初步研究
分数阶微积分及分数阶方程初步研究[摘要]分数阶微积分及分数阶方程是当今国内外研究的最热的研究课题，理论及相关问题的研究还处在初级阶段。
本文旨在通过引入分数阶导数及其相关问题，初步介绍和研究了分数阶微积分的若干性质。
本文分别给出分数阶导数常见的四种定义：Grünwald-Letnikov分数阶导数定义、Riemann-Liouville分数阶导数定义、Caputo分数阶导数定义、Weyl分数阶导数定义，讨论了其联系与区别。
在整数阶微积分的基础上进一步延伸了Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶的运算法则、基本性质。
最后简要介绍了线性分数阶微分方程初值问题解的唯一存在性。
[关键词] 分数阶导数；分数阶方程；Grünwald-Letniko分数阶导数；Riemann-Liouville分数阶导数；Caputo分数阶导数.Preliminary studies of fractional calculus and fractional equation[Abstract]Fractional Calculus and Fractional equations are the hottest research topic in today's domestic and international research, theoretical and related issues is still in its infancy.This paper aims to introduce fractional derivatives and related issues, initial presentation and study some properties of fractional calculus.This article gives four common definition of the fractional derivatives : Grunwald Letnikov fractional derivative , Riemann Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, Weyl fractional derivative and the relation and distinction between them. On the basis of the integer-order calculus,further extend the fractional algorithms and basic nature under the definition of the Riemann-Liouville fractional derivative. Finally,briefly introduced the existence and uniqueness of the solutions of linear fractional differential equations.[Keywords]F ractional derivative;Fractional equations; Grünwald-Letnikov fractional derivative;Riemann-Liouville fractional derivative;Caputo fractional derivative.1 引言 (1)1.1分数阶导数的研究背景、意义 (2)1.2分数阶微积分理论的研究现状 (2)1.3 本文的组织结构 (3)2 分数阶微积分的基本概念 (3)2.1 Grünwald-Letnikov分数阶导数定义 (3)2.2 Riemann-Liouville分数阶导数定义 (4)2.3 Caputo分数阶导数定义 (6)2.4 Weyl分数阶导数定义 (6)2.5三种分数阶导数的关系及其与整数阶导数的区别 (8)2.5.1Riemann-Liouville定义与Grünwald-Letnikov定义的比较 (8)2.5.2Grünwald-Letnikov定义和Caputo定义的比较 (10)2.5.3Riemann-Liouville定义和Caputo定义的比较 (11)2.5.4分数阶导数和整数阶导数的比较 (12)3分数阶导数的运算法则 (13)3.1分数阶导数在Riemann-Liouville定义下的运算法则 (13)3.2分数阶导数在其他定义下运算法则探讨 (16)4分数阶导数和积分的基本性质 (17)4.1分数阶微积分的性质 (17)4.2分数阶导数、积分的奇偶性及周期性 (17)5分数阶方程的初步研究 (19)5.1序列分数阶导数 (19)5.2线性分数阶微分方程 (20)结论 (24)致谢语 (24)[参考文献] (17)1.1分数阶导数研究背景、意义整数阶导数以及积分的概念是大家所熟知的。
分数阶微积分发展现状及展望
分数阶微积分发展现状及展望在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。
这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。
从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。
作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。
(一)、发展历史及现状牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。
分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。
1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。
这是公认的第一次提及分数阶微分。
1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。
riemann-liouvile}型分数阶微积分
Riemann-Liouville型分数阶微积分是近年来微积分领域的一个热门研究方向，它延续了传统微积分理论的思想，同时又拓展了微积分的应用范围。
本文将通过对Riemann-Liouville型分数阶微积分的理论基础、应用与研究进展等方面进行系统的介绍，旨在加深对这一领域的理解，促进读者对分数阶微积分的探索与应用。
一、Riemann-Liouville型分数阶微积分的基本概念1.1 分数阶微积分的起源和发展背景分数阶微积分作为微积分的一种新的分支，在20世纪引起了学术界的广泛关注。
它的研究起源于对非整数阶微分方程的求解问题，随着分数阶微积分理论的不断发展，逐渐涉及到了信号处理、控制系统、金融工程等众多领域。
1.2 Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义Riemann-Liouville型分数阶微积分是分数阶微积分理论中最经典的一种类型，其定义如下：对于函数f(x)和实数α，Riemann-Liouville型分数阶积分的定义如下：\[D^{\alpha}_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{n-\alpha-1}f(t)dt\]1.3 Riemann-Liouville型分数阶微积分的性质及其意义Riemann-Liouville型分数阶微积分具有一系列与传统整数阶微积分不同的性质，如线性性质、微分学基本定理、分部积分等。
这些性质的存在使得Riemann-Liouville型分数阶微积分在实际问题中具有更加灵活的应用。
二、Riemann-Liouville型分数阶微积分的应用2.1 信号处理中的应用在信号处理领域，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于分析非平稳信号和非线性系统，提高信号处理的精度和效果。
2.2 控制系统中的应用在控制系统理论中，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于描述复杂系统的动态特性，并设计出更加优越的控制算法，提高控制系统的稳定性和鲁棒性。
分数阶微积分的基本理论及其简单应用-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---题目：分数阶微积分的基本理论及其简单应用目录一、引言近年来,随着科学技术的飞速发展,分数阶微积分在科技领域的诸多方面所起到的重要作用也越来越明显,例如物理力学领域、自动控制领域、信号处理领域以及生物医学领域等.因此,研究了解分数阶微积分的基本原理及其简单应用就显得尤为重要.分数阶微积分是将经典的整数阶微积分运算拓展到有理分数以及无理数和复数的情形,因此研究分数阶微积分的相关问题可以帮助本科生更好地理解和学习高等数学中所涉及的整数阶微积分方面的知识理论,建构好微积分领域的认知结构,形成更加系统完善的知识体系,从而对微积分知识有更加清晰深入的理解.文章将主要从R-L型分数阶微积分的基本理论、分数阶微积分与整数阶微积分的区别与联系以及分数阶微积分在实际生活中的应用三大部分出发,对分数阶微积分的基本原理及其简单应用进行说明.二、R-L 型分数阶微积分的基本理论分数阶微积分这一问题的研究已经具有较长时间,早在微积分创立的时代就已经被提出.1695年,Leibniz 给Hospital 写信时第一次提出了将微分阶次从整数推广到非整数的含义的问题.在此之前,整数阶微积分在人们的生产生活中已经得到了广泛应用,但人们逐渐发现,在描述一些复杂问题和复杂现象时,整数阶微积分逐渐出现了一些限制,例如因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等问题,由这些限制引发的对问题的思考让分数阶微积分逐渐走入了人们的视野.那么何为分数阶微积分?如何定义?它又有怎样的性质?以下这一部分就将对Riemann -Liouville 型（R -L 型）分数阶微积分的定义及其若干性质进行详细介绍.（一）左R -L 型分数阶微积分1.左R -L 型分数阶积分如何对左R -L 型分数阶积分进行定义?在本科阶段的数学分析中,我们学过整数阶积分,并且知道函数u(x)的n 阶积分的表达式D t n a u (t )=1(n−1)!∫(t −ξ)n−1u(ξ)t a dξ.通过Gamma 函数,我们可以将上式记为 D t n a u (t )=1Γ(n)∫(t −ξ)n−1u(ξ)t a dξ. 因此我们将函数u(x)的n(n ∈N)重积分推广到非整数的情形时可以得出如下定义：设函数u(x)定义在区间(a,b)上,μ>0,则次数为μ的左R -L 分数阶积分定义为D t −μa u (t )=1Γ(μ)∫(t −ξ)μ−1u (ξ)t a dξ,其中Γ(μ)为Gamma 函数： Γ(z )=∫e −t t z−1∞0dt , Re(z)>0.所有使上式有意义的函数u 所构成的函数类记为W .因此根据左R -L 型分数阶积分的定义,我们不难得出以下性质：性质1 左R -L 型分数阶积分满足下面的线性关系：D a t −μ[λ1u 1(t )+λ2u 2(t)]=λ1D t −μu 1(t )+λ2D t −μa a u 2(t ), λ1,λ2∈R .性质2 左R -L 型分数阶积分算子有可以顺序交换的性质,即对于任意的μ,ν>0,有D t −μa D t −νa u (t )=D t −(μ+ν)a u (t )=D t −νa D t −μa u (t ). 性质3 u(t)在(0,+∞)上具有连续的p 阶导数,其中p 为正整数,且μ>p ,就会有D p[D t−μu(t)]=D t−(μ−p)u(t).此性质为整数阶导数与左R-L型分数阶积分的复合运算性质的推论.2.左R-L型分数阶导数左R-L型分数阶导数的定义可以根据上面所给出的左R-L型分数阶积分并结合整数阶积分的定义后得出,即：设函数u(x)是定义在区间(a,b)上的函数,其中μ>0,n>μ,σ=n−μ,则次数为μ的左R-L型分数阶导数定义为D a tμu(t)=D n[D a t−σu(t)]=1Γ(σ)d ndt n(∫(t−ξ)σ−1tau(ξ)dξ).根据左R-L型分数阶导数的定义,我们可以得到它的以下若干性质: 性质4左R-L型分数阶导数满足与整数阶导数类似的线性关系:D tμa [λ1u1(t)+λ2u2(t)]=λ1Dtμau1(t)+λ2D tμau2(t), λ1,λ2∈R.性质5阶数为μ的左R-L型分数阶导数与和它同样阶数的左R-L型分数阶积分互为逆算子.即设n−1<μ≤n,u(t)在[a,b]上的n阶导数连续,则有D tμaD t−μau(t)=u(t), ∀μ>0.再结合前面介绍的左R-L型分数阶积分的定义和性质,我们可以得出以下：性质6若μ>0,n−1<μ≤n,u(t)在[a,b]上的n阶导数连续,那么同阶的左R-L型分数阶积分和导数进行复合运算即为:D t−μaD tμau(t)=u(t)−∑[D tμ−jau(t)]t=anj=1(t−a)μ−jΓ(μ−j+1),(n−1≤μ<n).性质7设α>0,β>0,D tβ−αa存在,则左R-L型β阶分数阶导数和左R-L型α阶分数阶积分运算的复合公式为D tβaD t−αau(t)=D tβ−αau(t).性质8设α≥0,β≥0,u(t)有n=[α]+1阶连续的导数,则左R-L型β阶分数阶积分和左R-L型α阶分数阶导数运算的复合公式为D t−βa (D tαau(t))=D tα−βau(t)−∑[D tα−jau(t)]t=anj=1(t−a)β−jΓ(β−j+1).性质9由性质3和性质7的结论可得：设n∈N,m−1<μ<m,且μ≠n> 0,u(t)在区间(a,b)上具有r(r=max{m,n})阶连续的导数,则有(i)D n(D tμa u(t))=D t n+μau(t).(ii)D tμa (u(n)(t))=D tμ+nau(t)−∑u(k)(a)(t−a)k−μ−nΓ(1+k−μ−n)n−1k=1.性质10设α,β>0,m−1<β<m,n−1<α<n,m,n∈Z+,r= max{m,n},u(t)在区间(a,b)上具有r阶连续的导数,则有(i)D tβa (D tαau(t))=D tα+βau(t)−∑D tα−n+ka u(a)Γ(k−n−β+1)n−1k=0⋅(t−a)k−n−β;(ii)D tαa (D a tβu(t))=D tα+βau(t)−∑D tβ−m+ka u(a)Γ(k−m−α+1)m−1k=0⋅(t−a)k−m−β.性质11 设u (t )=t λg (t ),λ>−1,g (t )=∑a n t nα∞n=0,级数的收敛半径为R ,0<α≤1.若(i)β<λ+1,0<α≤1;或者(ii)β≥λ+1,γ>0,且当k =0,1,2,… ,m −1时,a k =0,其中m −1<β≤m.则有D t γ0 D t β0 u (t )=D t γ+β0 u (t )=D t β0 D t γ0 u (t ). （二）右R -L 型分数阶微积分1.右R -L 型分数阶积分与左R -L 型分数阶积分类似,我们知道,函数u(t)在区间(t,b)上求n(n ∈N)重积分有D b −n t u (t )=1(n−1)!∫(ξ−t )n−1u (ξ)bt dξ. 因此将此式子中的n 推广到非整数的情形,可得到右R -L 型分数阶积分的定义,如下：设函数u(x)定义在区间(a,b)上,μ>0,则阶数为μ的右R -L 型分数阶积分定义为D b −μt u (t )=1Γ(μ)∫(ξ−t )μ−1u(ξ)bt dξ. 右R -L 型分数阶积分的很多性质都与左R -L 型分数阶积分相类似,这里我们只给出右R -L 型分数阶积分的部分性质：性质12 右R -L 型分数阶积分算子是可以互换的,即对任意的μ,ν>0,有D b −μt D b −νt u (t )=D b −(μ+ν)t u (t )=D b −νt D b −μt u (t ). 2.右R -L 型分数阶导数和左R -L 型分数阶导数定义的得出类似,我们将通常意义下的整数阶导数与右R -L 型分数阶积分算子作复合运算,即可得到右R -L 型分数阶导数的定义如下：设函数u(x)定义在区间(a,b)上,μ>0,n 是大于μ的最小整数(n −1≤μ<n),则次数为μ的右R -L 型分数阶导数定义为D b μt u (t )=(−D )n [D b μ−n t u (t )]=(−1)n Γ(n−μ)d n dt n (∫(ξ−t )n−μ−1bt u(ξ)dξ). 同样,我们可以类比左R -L 型分数阶导数的性质得出右R -L 型分数阶导数的性质：性质13 μ阶右R -L 型分数阶微分算子是μ阶右R -L 型分数阶积分算子的逆算子.即设n −1<μ≤n,u(t)在[a,b]上的n 阶导数连续,则有D b −νt D b −μt u (t )=u (t ), ∀μ>0.性质14令μ>0,n−1<μ≤n,u(t)在[a,b]上的n阶导数连续,则右R-L型分数阶积分和右R-L型分数阶导数运算的复合公式为D b−μtD bμtu(t)=u(t)−∑[D bμ−jtu(t)]t=bnj=1(b−t)μ−jΓ(μ−j+1), (n−1≤μ<n).性质15设α>0,β>0,D tβ−αa存在,则右R-L型β阶分数阶导数和右R-L型α阶分数阶积分算子的复合公式为D tβaD t−αau(t)=D tβ−αau(t).性质16(i)设α>β≥0,u(t)有m=[β]+1阶连续的导数,则右R-L型α阶分数阶积分和右R-L型β阶分数阶导数算子的复合公式为D b−αt (D bβtu(t))=D b−(α−β)tu(t)−∑[D bβ−jtu(t)]t=bmj=1(b−t)α−jΓ(α−j+1)(α>β>0).(ii)设β≥α>0,u(t)有m=[β]+1阶连续的导数,则右R-L型α型分数阶积分和右R-L型β阶分数阶导数算子的复合公式为D b−αt (D bβtu(t))=D bβ−αtu(t)−∑[D bβ−jtu(t)]t=bmj=1(b−t)α−jΓ(α−j+1)(β≥α>0).性质17设m∈N,μ>0,D bμt u(t),D bμ+mtu(t)存在,则有(i)D m(D bμt u(t))=(−1)m D bμ+mtu(t).(ii)D bμt (D m u(t))=(−1)m D bμ+mtu(t)−∑(−1)m+j u(j)(b)Γ(1+j−μ−m)m−1j=0(b−t)j−μ−m.性质18设α,β>0,m−1<β<m,n−1<α<n,m,n∈Z+,r= max {m,n},且α+β<n,u(t)在区间(a,b)上具有r阶连续的导数,则有D bαt (D bβtu(t))=D bα+βtu(t)−∑[D bβ−jt u(t)]t=bΓ(1−j−α)mk=1⋅(b−t)−j−α.以上是关于R-L型分数阶微积分基本概念的综述,它可以帮助我们更好地理解R-L型分数阶微积分的性质和意义,也为下面我们研究分数阶微积分同传统的整数阶微积分之间的联系与区别创造了前提条件.三、R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别通过上一部分的介绍,我们知道,分数阶微积分可以看作是整数阶微积分的推广,因此它们之间也一定存在着千丝万缕的关系.了解分数阶微积分与传统的整数阶微积分的联系与区别将会有利于我们更好地把握分数阶微积分的特点及作用.下面将分别按照左R-L型分数阶微积分和右R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别进行阐述.（一）R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系1.R-L型分数阶微积分是整数阶微积分的推广对μ阶左R-L型分数阶导数(μ>0),n是大于等于μ的最小整数,若函数u(t)的n+1阶导数在区间(0,+∞)上连续时,有极限等式:lim μ→(n−1)+D0tμu(t)=D n−1u(t)=d n−1dtu(t),lim μ→n−D0tμu(t)=D n u(t)=d ndtu(t).上两式说明,若μ=n−1为正整数,则可得到一个传统意义下的n−1阶整数阶导数：D a t n−1u(t)=d ndt n[D a t−1u(t)]=u(n−1)(t).若μ=n为正整数,则可得到一个传统意义下的n阶整数阶导数：D a tμu(t)=d ndt n [D a t0u(t)]=d n u(t)dt n=u(n)(t).这表明当a>t,μ=n>1(n∈N)时,左R-L型分数阶微分算子与传统的n阶导数是一致的.所以,当μ为正整数时,Da tμu(t)就是整数阶微分里的μ阶微分,也称为μ阶导数.同样的,在左R-L型分数阶积分的定义式子D t−μa u(t)=1Γ(μ)∫(t−ξ)μ−1u(ξ)tadξ中,当μ=n为正整数时,D t−μa u(t)=D t−nau(t)=1Γ(n)∫(t−ξ)n−1u(ξ)dξta=∫dξta∫dξ1ξa…∫u(ξn−1)dξn−1ξn−2a,即是普通意义下的n(n∈N)重积分.综上,我们不难看出,在左R-L型分数阶微积分中,取阶数μ为整数n,当n>0时即可得函数u(x)的整数阶导数,当n<0时即可得函数u(x)的整数阶积分,左R-L型分数阶微积分因此可以看作是传统整数阶微积分的推广,整数阶微积分是左R-L型分数阶微积分的特殊情况.与左R-L型分数阶积分类似,当右R-L型分数阶积分定义式D b−n t u(t)=1(n−1)!∫(ξ−t)n−1u(ξ)btdξ.中μ=n为正整数时,我们可以得到D b−μt u(t)=D b−ntu(t)=1Γ(n)∫(ξ−t)n−1u(ξ)btdξ.为普通意义下的n(n∈N)重积分.同样的,在右R-L型分数阶导数的定义式D bμt u(t)=(−D)n[D bμ−ntu(t)]=(−1)nΓ(n−μ)d ndt n(∫(ξ−t)n−μ−1btu(ξ)dξ).中,当μ=n−1为正整数时,则可以得到一个传统意义下的n−1阶整数阶导数D b μt u (t )=(−D)n [D b μ−n u(t)t ]=(−1)n Γ(n−μ)d n dt (∫(ξ−t )n−μ−1u(ξ)dξbt ). 综上,我们不难看出,在右R -L 型分数阶微积分中,取阶数μ为整数n,当n >0时即可得函数u(x)的整数阶导数乘(−1)n ,当n <0时即可得函数u(x)的变下限整数阶积分,右R -L 型分数阶微积分同样可以看作是传统整数阶微积分的推广,整数阶微积分是右R -L 型分数阶微积分的特殊情况.2.R -L 型分数阶导数也同样具有线性性质在整数阶导数中,我们有[λ1u 1(t )+λ2u 2(t )](n )=[λ1u 1(t )](n )+[λ2u 2(t )](n )=λ1u 1(t)(n)+λ2u 2(t)(n) 即整数阶导数有线性性质.由前文提到的性质1、性质4,我们可以知道,R -L 型分数阶导数与整数阶导数同样都具有线性性质.我们可以通过下面一个简单的例子,更加清晰地观察到两者线性性质之间的相同之处.例1 设u 1(t )=t 3,u 2(t )=t 4,分别求2u 1(t )+5u 2(t)的2阶导数和12阶导数.解: 对2u 1(t )+5u 2(t )求2阶导可得:[2t 3+5t 4](2)=[6t 2+20t 3]′=12t +60t 2=2(t 3)(2)+5(t 4)(2),可以发现,线性性质在整数阶导数中得到满足.下面对其求12阶导:D t 120 [2t3+5t 4]=1Γ(12)d dt {∫(t −ξ)−12(2ξ3+5ξ4)dξt 0}= 1Γ(12)d dt {[∫(t −t 0ξ)−122ξ3dξ]+[∫(t −ξ)−125ξ4t 0dξ]}=1Γ(12)d dt {2[∫(t −ξ)−12t0ξ3dξ]+5[∫(t −t 0ξ)−12ξ4dξ]}=2D t 120 t3+5D t 120 t 4. 可以发现,线性性质在分数阶导数中同样适用.（二）R -L 型分数阶微积分与整数阶微积分的区别1.对于常函数的求导两者得到不同结果我们来看当t >a 且μ>0函数μ(x)为常函数μ(x )=C 时,其分数阶导数由R -L 型分数阶微分的定义易求得:D t μa u (t )=D t μa C=C(t−a)−μΓ(1−μ), (n −1<μ<n, n ∈N ). (*) 例如,当C =2,a =0,μ=12时,D t 120 2=2t −12Γ(12)=√πt .可以看到,与整数阶导数不同,我们对常函数C =2求12阶导数所得的结果并不为0. 另外,根据(*)式可以知道,当μ(x )=C =0时,D t μa 0=0.由此我们可以得出,在整数阶导数意义下对常函数求导是为零的,然而在R -L 型非整数阶导数的情况下对常函数求导不为零.在这个意义上能够看出,引入分数阶微积分实际上是对整数阶微积分的推广和补充.2.R -L 型分数阶微积分是一种加权积分以左R -L 型分数阶积分为例,在左R -L 型积分的定义式D t −μa u (t )=1Γ(μ)∫(t −ξ)μ−1u (ξ)t adξ 中,令a =0,μ=1,可得D t −10 u(t)=1Γ(1)∫(t −ξ)0u(ξ)t 0dξ=∫u(ξ)t 0dξ.显然这是一个普通的变上限积分.而当μ取分数时,例如,当μ=32时,有：D t −320 u (t )=1Γ(32)∫(t −ξ)12u(ξ)t 0dξ, 而当μ=12时,有：D t −120 u (t )=1Γ(12)∫(t −ξ)−12u(ξ)t 0dξ. 可以看出,左R -L 型实数阶积分实际上是一种加权积分,当μ=1时,其权值为1;当μ>1时,μ−1>0,则积分变量ξ距离积分上限t 越远, (t −ξ)μ−1越大,权值越大;当μ<1时,μ−1<0,则积分变量ξ距离积分上限t 越远, (t −ξ)μ−1越小,权值越小.与左R -L 型分数阶积分类似,在左R -L 型分数阶导数的定义式中,取a =0,则当μ=12时,稍加变形就可以得到： D t 120 u (t )=1Γ(−12)∫(t −ξ)−32u(ξ)t 0dξ. 可以看出,同样地,左R -L 型分数阶导数也可以视作一种加权积分,积分变量ξ距离积分上限t 越远,权值越小.右R −L 型分数阶微积分与其同理.由此我们可以得知,分数阶导数实质上也是一种积分,它能够记录下之前的所有变化,我们称之为分数阶微积分的“记忆”功能.正是分数阶积分的积分结构使得积分变量ξ取不同值时所对应的权重不同，因此具有了记忆功能.由于分数阶导数具有上述的“积分”作用,因此在非整数阶导数的极限形式表达式里,“积分”作用使得其表现为求和项数为无穷,但这与阶数没有关系,对比整数阶导数只有极限形式表达式,它的求和项数是有限的,且求和项数与阶数相同.四、分数阶微积分在众多方面的具体应用随着科学技术的不断进步,分数阶微积分在众多领域所起到的重要作用也越来越明显.目前国内对于分数阶微积分的研究集中于在自然科学与社会科学的各个领域的应用,主要有物理力学领域、反常扩散相关问题研究领域、自动控制领域、信号处理领域、生物医学领域等方面.下面通过几个例子来说明分数阶微积分目前在科技领域的具体应用.（一）分数阶微积分在图像降噪方面的应用在数字图像的采集、转换和传输过程中,一些孤立的像素点由于成像设备本身或外部环境的因素,会产生一些随机位置,形成噪声.不管它是改进成像设备本身还是减少环境干扰,噪声都很难避免.这些噪声不仅影响视觉效果而且还可能掩盖图像中的重要特征信息,给图像的后续处理带来困难.因此,图像去噪是一个重要的问题,是数字图像处理研究的主要内容.分数阶微积分理论是分形理论的数学基础之一,它在数字图像处理领域的应用为许多学者所接受.基于分数阶微积分,去噪成了其中的一个重要分支.近年来,使用分数阶微积分进行图像处理的方法在这一领域逐渐引起了人们的关注.近年来有学者提出了一种对每个像素都进行不同阶次分数阶积分运算的方法，称为图像去噪算法.具体为:首先设图像f(i,j)，其中每个像素都有八个方向，设M(i,j)为这八个方向上的梯度幅值的平均值,对其进行归一化处理后就得到与像素对应的积分阶数,例如取M(i,j)的最大值为Y,最小值为X,就能通过归一化获得动态分数阶：ν=(−1)×M(i,j)−X.Y−M(i,j)因此,我们可以认识到,当梯度均值较大时,存在一个小的负序,它的分数阶积分对噪声有较大的衰减作用;对于中、小梯度幅度与相应大小的积分阶数,其分数阶积分对图像纹理有一定的增强和保持作用.可以知道,邻域半径越大的像素与中心点的像素相关性越小.距离中心点较远的像素将抑制中心点的变化,而靠近中心点的像素将增加中心点的趋势.因此,这种改进方法明显优于其他方法.（二）分数阶微积分在粘弹性材料的本构关系领域中的作用以粘弹性材料为例,因为粘弹性材料是一种在外力作用下,粘性和弹性这两种变形机制同时存在的材料,因此要得到粘弹性材料的力与形变之间的关系模型就变得比较复杂.经典的粘弹性模型虽然做到了方便理解,但是由于整数阶微分算子性质的限制,其在蠕动和松弛初期的情况下不能很好地做到同实验数据精准匹配.在这种情况下,分数阶微积分的出现为计算有关粘弹性材料的力与形变量存在的关系的问题提供了很大帮助.首先,弹性变形指的是,物体在外力的作用下变形,外力撤销后变形完全消失的情况.在牛顿经典力学中,理想弹性模型的线弹性变形的力与形变量之间的关系满足虎克定律,即F(t)=−k⋅τ(t),其中F(t)是力,τ(t)是形变量,k是材料的劲度系数.其次,牛顿流体是指任一点上的剪应力都同剪切变形速率呈线性函数关系的流体,其力与形变量之间的关系满足牛顿粘性定律,即F(t)=μdτ(t)dt,其中F(t)是指剪应力,μ是指流体动力粘性系数（即粘度）,dτ(t)dt是指剪切变形速率.粘弹性材料由于介于弹性材料和牛顿流体之间,因此它的力与形变量之间的关系就满足F(t)=μD sατ(t)(0<α<1).可以观察到,在粘弹性材料的力与形变量的关系公式中,当α取0时,得到的就是理想弹性材料所满足的虎克定律;当α取1时,得到的是牛顿流体所满足的牛顿粘性定律.（三）分数阶微积分在现代信号的处理中的应用现代信号的分析与处理要依靠分数阶微积分领域的基础.由于现代信号具有分数阶导数的特性,所以传统的整数阶导数无法很好地描述和处理信号.主要原理是通过控制阶数υ(0<υ<1)来达到既使信号保持在低频范围,又能增强信号强度的效果.分数阶微积分在现代信号的处理与应用中,有一个重要的应用方面被称为“分数阶内插”,表示为Piecewise能量函数即：βυ+=1Γ(υ+1)Δ+υ+1xυ+=1Γ(υ+1)∑(υ+1k)k≥0(−1)k(x−k)υ+,βυ+(ω)=(1−e−jωjω)υ+1.目前,分数阶内插在图像增强、图像压缩等方面已经得到了广泛应用.（四）分数阶导数的幂律记忆性在热力学中,布朗粒子在白噪声的环境下受到的阻尼力只与粒子当前的速度有关,不涉及历史速度的问题;但在非均匀介质中,布朗粒子受到的阻尼力还与历史速度有关,即距离当前时刻越近,其所占权重越大,距离当前时刻越远,其所占权重越小.这种记忆性表现为下面的阻尼核函数γ(t):γ(t)=1Γ(1−α)t−α,0<α<1.我们注意到,当取β=1−α时,得到:γ(t)=1Γ(β)tβ−1, 0<β<1,上式即为分数阶积分的核函数.五、总结从数学分类来看,分数阶微积分是数学分析的一个分支,或者整体微积分的一个部分内容,当微分或积分的阶数为整数时,分数阶微积分就转化为了经典的微积分.因此,分数阶微积分作为整数阶微积分的推广,一方面为我们更加深入地了解整数阶微积分提供了有利条件;另一方面,它是我们解决复杂问题时的有力工具.因此,研究分数阶微积分具有十分重要的意义.综上,本文主要有以下三点结论:（1）首先分为左R-L型分数阶积分、左R-L型分数阶导数、右R-L型分数阶积分和右R-L型分数阶导数分别介绍了R-L型分数阶微积分的基本概念以及性质.以此了解分数阶微积分的基本原理,为帮助理解和应用分数阶微积分提供了必要条件.（2）主要分析了分数阶微积分和整数阶微积分之间的联系和区别.联系主要有以下两点：①当分数阶微积分的阶数取整时,即可得到整数阶微积分,从而说明了整数阶微积分是分数阶微积分的特例,分数阶微积分是整数阶微积分的推广和补充.②整数阶导数和分数阶导数都具有线性性质.区别有两点：①对于常函数,整数阶导数求导得到的结果为零,但非整数阶导数求导结果不为零,只有当常函数为零时,非整数阶导数求导结果才为零.②分数阶微积分是一种加权函数,具有“记忆”功能,具有非局部的性质,其微分和积分是对之前过程的叠加,而整数阶微积分则只有局部性质,也并无“记忆”功能.（3）分数阶微积分目前已经应用十分广泛,本文主要介绍了它其中的四种简单应用,即图像降噪、粘弹性材料的本构关系、现代信号的处理以及布朗粒子在非均匀介质中的受力情况,涉及生物医学、电子科技、物理力学等多个方面.除此之外,分数阶微积分还在环境力学、自动控制、信号处理等多个研究领域中得到广泛使用.根据以上的分析我们不难发现,分数阶微积分作为整数阶微积分的推广,其与整数阶微积分有联系也有区别,因此可以作为许多复杂问题的解决方案.毋庸置疑,分数阶微积分在当今许多科技领域有着举足轻重的作用,是我们解决许多复杂问题的有力工具,因此,了解和研究分数阶微积分有着十分重要的意义.可以预见,在不久的未来,分数阶微积分的研究和应用还将不断取得新的飞跃.参考文献[1]吴强,黄建华.分数阶微积分[M].北京:清华大学出版社,2016.[2]祝奔石.分数阶微积分及其应用[A].徐明瑜,谭文长.中间过程、临界现象——分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用[C].中国科学G辑,2006.36:225—238.[3]张旭秀,邱天爽,盛虎.分数阶微积分的一种物理解释和定域长分数阶微积分[A].Y Q Chen, K L Moore. 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分数阶导数与分数阶微分方程
要点三
计算方法
整数阶导数的计算方法相对简单，可 以通过求极限的方式得到；而分数阶 导数的计算涉及复杂的数学运算，如 特殊函数的计算、数值逼近等。
02 分数阶导数的定 义与性质
分数阶导数的定义
分数阶导数是一种扩展了整数阶导数的概念，其中导数的阶数可以是任意 实数或复数。
分数阶导数描述了函数在某一点的非局部性质，即函数在该点附近的变化 情况，而不仅仅是该点的局部变化率。
生物医学工程
在生物医学工程中，分数阶微分方程可以用来描述生物组 织的电生理特性、药物代谢过程等，为生物医学研究和治 疗提供新的思路和方法。
04 分数阶导数与分 数阶微分方程的 数值计算
分数阶导数的数值计算方法
01
Grunwald-Letnikov方法
基于整数阶导数的差分定义，通过极限过程推导得到分数 阶导数的差分格式。
描述复杂系统的动力学行为
分数阶导数能够更准确地描述具有记忆效应和长程相互作 用的复杂系统的动力学行为，如黏弹性材料、电解质溶液 等。
建模非线性物理现象
分数阶微分方程可用于建模非线性物理现象，如混沌、分 形、湍流等，这些现象在传统整数阶导数框架下难以准确 描述。
量子力学与统计物理中的应用
在量子力学和统计物理中，分数阶导数和分数阶微分方程 可用于描述粒子的非经典扩散行为、量子隧穿等现象。
分数阶导数具有非局部性，即函 数在某一点的分数阶导数不仅与 该点的函数值有关，还与函数在 该点附近的其他点的函数值有关 。
分数阶导数的计算方法
分数阶导数的计算可以通过定义直接进 行，但这种方法通常比较复杂且计算量 大。
可以利用一些特殊函数（如Gamma函数、 Beta函数等）的性质来简化分数阶导数的计 算。
浅谈分数阶微积分
其中 [r] 表示 r 的整数部分； Grunwald-Letnikov 分数阶积分如下
G a x
I f x lim
1
[ x a
x 0
x
i 1
x
]
-1 f x - ix i
i
分数阶微积分的主流定义
思路二：基于函数 n 重积分的表达式
x 0
1
-1
f s ds
为 f x 的 Riemann-Liouville 分数阶积分。
分数阶微积分的主流定义
（3）Riemann-Liouville 分数阶导数
在（2）的基础上，定义 Riemann-Liouville 分数阶导数如下
D x f x =D I
m
RL 0
m - 0 x
dm f x = m dx
x m - -1 1 f s ds , x - s 0 m -
m 其中 m 1 m, m , D 通常表示 m 阶导数。
分数阶微积分的主流定义
（4）Caputo 分数阶导数
如果 f x C m 0, , 那么称
分数阶微积分的应用
概括起来主要具有以下几方面特点： 1. 软物质。既不属于理想固体，也不属于牛顿流体的物质。例 如聚合物、泡沫、生物体、石油、汽油等。分数阶微分是刻 画软物质行为的有力数学工具。 2. 幂律现象。在复杂网络、蛋白质的结构、放射性物质的衰减 过程、人口的分布等领域幂律现象广泛存在，其物理和力学 演化有明显的记忆、路径依赖性质，而分数阶导数可以较好 地表征这些性质。 3. 分形的微分描述。在现象表现复杂、混沌的问题中，如材料 不光滑的表面、混乱的湍流体、裂缝的扩展、非均匀介质中 的不规则扩散中，分形描述具有独特的优势，而分数阶微分 可以为描述分形提供准确的模型。
微积分的完善与发展
微积分的完善与发展微积分是现代数学中的重要分支，由于其在自然科学、工程技术等领域的广泛应用，成为高等数学中不可或缺的学科之一。
随着科学技术的不断发展，微积分也在不断完善和发展，为研究者们提供了更多的研究工具和方法。
本文将探讨微积分的完善与发展的相关内容。
一、微积分的基本概念微积分是研究函数的变化规律和定量关系的数学分析方法。
其基本概念包括导数、积分和微分方程。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，积分则描述了函数在某一区间上的累积效应。
微分方程则是描述函数关于自变量和导数之间的关系。
这些基本概念构成了微积分学的核心内容，也是现代数学研究和应用中不可或缺的工具。
二、微积分的发展历程微积分的发展可以追溯到17世纪，当时牛顿和莱布尼兹同时独立发现了微积分的基本原理。
他们提出了导数和积分的概念，并建立了微积分学的理论框架。
随后，微积分学在欧洲迅速传播开来，成为数学研究的热点领域。
18世纪，欧洲数学家对微积分学进行了进一步的发展和完善，提出了微积分学的基本定理和方法，如微分学和积分学的基本定理、极值定理、泰勒级数等，奠定了微积分学的理论基础。
19世纪，微积分学得到了更为全面和深入的发展。
高等数学的课程设置中，微积分学成为了不可或缺的核心内容，被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
20世纪以来，微积分学不断发展和完善，出现了微分几何、变分法、概率微积分等新的研究领域和方法，为数学和自然科学的研究提供了更多的工具和理论支持。
三、微积分的应用领域微积分作为数学的一个重要分支，在科学技术和工程领域有着广泛的应用。
在物理学中，微积分被应用于描述物体的运动规律、力学、电磁学等内容；在工程学中，微积分被应用于建筑设计、电子电路、控制系统等方面；在经济学中，微积分被应用于描述市场供求关系、收益最大化等问题。
微积分的应用领域涵盖了众多学科和领域，为人类的发展和进步提供了重要的支持和保障。
四、微积分的完善与发展随着科学技术的不断发展，微积分学也在不断完善和发展。
分数阶微积分的历史与发展
分数阶微积分的历史与发展摘要：分数阶微积分作为一种新的数学分支，近年来备受关注。
分数阶微积分与整数阶微积分相比，其具有更广泛的应用领域，如控制论、力学、经济学、生物医学等。
本文主要介绍了分数阶微积分的历史、发展及其应用领域，并分析了其未来发展趋势。
本文的目的是为读者提供对分数阶微积分的基本认识和启发。
关键词：分数阶微积分，历史，发展，应用领域，未来趋势一、分数阶微积分的历史分数阶微积分的出现，是为了解决传统整数阶微积分难以处理的问题而产生的。
实际上，很多现象和系统的行为不能用整数阶微积分来刻画，反而可以用非整数阶微积分来描述。
比如，分数阶微积分可以处理无界增长的数据，比如空气质量指数、绿色产业数据，分数阶微积分还可以处理非线性行为的系统，比如人口增长理论、化学反应系统。
分数阶微积分更能够处理系统之间的耦合关系，例如，它可用于描述经济中提高关税的决策对不同国家经济的影响。
分数阶微积分的历史可以追溯到1695年，Leibniz和L'Hôpital在处理常微分方程时首次提出了非整数阶导数的概念。
19世纪中叶，Grünwald和Letnikov独立地研究了分数阶导数，并提出了一种数值计算方法，即Grünwald-Letnikov导数。
20世纪初，Riesz研究了分数阶微积分的理论，并提出了一种新的导数定义，即Riesz导数。
1959年，Samoilov首次应用分数阶微积分理论解决了具有记忆效应的动态问题。
分数阶微积分的引入是为了使电力系统更加稳定。
在 19 世纪时，对于实际技术问题，整数阶微积分已成为解决这一问题的主要工具。
然而，在 20 世纪60 年代末到 70 年代初期，一些科学家发现，现实生活中很多现象不能用整数阶微积分来解释，于是，引入了分数阶微积分。
分数阶历史的成因：1、时代趋势：在数字化时代，人们对时间的刻划更加准确、更加精细，因此，在历史研究领域，分数阶历史逐渐得到了应用。
分数阶微积分的历史背景
D t
a
1 a a t a
• 而Riemann在1847年对分数阶微积分的定义 作了进一步的补充，在他逝世后的28年， 即1892年，发表了他在学生时代研究的分 数积分理论。对 f t ，遗著给出的公式为 1 t 1 D f t t f d t c
(1)自L’Hospital与Leibnitz从1695年通信到 1812年
• 这期间，虽然有Euler，Bernoulli等大家关 注，分数微积分仍然只是纯数学的一些议 论和猜想。
(2)1812～1974年
• 这个时期从逐渐提出分数微积分的相关概 念、名词，到给出确切定义和性质，导出 了为数不多但确有见地的实际应用，并于 1974年出版了第一本分数微积分的专著。 • 期间，首先是1812年Laplace用积分定义一 个分数导数．1819年，他首次提到“任意 yx 阶导数”名词．同年Laeroix给出当 1 时，
这与现在的R-L定义只差了一个Riemann称 之为“补充函数”的 t ．他附加 t 的原 意是想对不同的积分下限予以调整．几经 争论，终于去掉 t 。
微积分与未来科技发展趋势展望
微积分与未来科技发展趋势展望微积分是数学中一门重要的学科，它在科学领域中具有极其广泛的应用。
随着时代的发展，微积分在未来科技的发展中也扮演着重要的角色。
本文将探讨微积分与未来科技发展的趋势展望。
微积分在科技发展中的应用微积分是数学中涉及变化的一部分，它通过极限、导数和积分等概念描述事物的变化规律。
在科技领域中，微积分被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等各个领域。
在物理学中，微积分被用来描述物体的运动、力学、热力学等现象。
例如，通过微积分可以推导出牛顿运动定律、万有引力定律等基本物理定律，为科学研究提供了数学工具支持。
在工程学中，微积分用于解决工程问题中的最优化、模拟、建模等方面。
通过微积分，工程师可以优化设计、提高效率，实现各种工程项目的创新发展。
在计算机科学中，微积分则被应用于算法设计、数据处理、人工智能等领域。
通过微积分方法，计算机科学家可以提高算法效率、解决复杂问题，推动计算机科学领域的进步。
未来科技发展趋势展望随着科技的不断发展，未来科技领域将面临更多挑战和机遇。
微积分作为一门基础学科，在未来科技发展中将继续扮演重要角色。
人工智能人工智能是未来科技发展的热点之一，通过模拟人类智能的实现，人工智能将带来巨大的变革。
微积分在人工智能领域的应用将更加深入，通过微积分方法，可以实现数据处理、模型训练等关键过程。
生物技术生物技术是未来科技的另一个重要方向，通过将生物学和工程学相结合，实现对生命体的控制和改造。
微积分在生物技术领域的应用将促进生物数据处理、遗传算法等技术的发展，推动生物技术的进步。
太空探索太空探索是人类探索未知的一大挑战，通过航天器、人造卫星等技术手段，人类不断探索宇宙奥秘。
微积分在航天领域的应用将带来更精确的轨道计算、导航技术等创新发展，推动太空探索的进程。
总结微积分作为一门重要的数学学科，在未来科技发展中扮演着关键角色。
通过微积分的方法和思想，可以解决科技领域中的复杂问题，推动科技发展的进步。
高中微积分教学介绍与现状分析
微积分（是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它 是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。 微分学包括导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、 加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括积 分的定义、运算并为计算面积、体积等提供一套通用的方法。高中教材中 的微积分重点探讨导数和积分的概念及运用。它以函数为研究对象，为解
怎样？微积分的教与学有哪些成功的经验？又存在哪些问题？这些问
题都值得进一步关注和研究。
国外微积分教学简介
鉴于微积分的重要性，自20世纪五六十年代后，美国、日本、德国、法国、英国等发达国 家都先后在中学阶段就已经开设微积分课程。现在，微积分在世界各地的高中数学课程中几乎都 占有一席之地，大部分的国家将其作为高中数学选修课程，这是世界性趋势。高中微积分教学已 经逐渐引起国际教育界的重视。1997年，针对美国微积分教学现状，时任国际数学家联盟主席的 美国著名数学家David Mumford教授，发表了题为《改革微积分为了数百万人》的文章。该文中 特别提出“我们讲授微积分，是为了希望我们的学生中的一部分能追随我们对严谨性的热爱？还 是为了使我们的大多数学生将来在他们的专业中有应用微积分的能力？” 美国的微积分教学重点在微积分的理解和应用。美国总是走在教育改革的前沿，其微积分 的课程改革自然也相当活跃，教学理念非常先进。美国微积分教材比较重视与实际相联系，语言 通俗易懂，使微积分变得简单易学。美国微积分教学强调用图像、数值、符号和语言四个方面多
高中微积分教学介绍 与现状分析
李扬 研二 数学系
为了描写现实世界中运动或变化着的现象，在数学中引入了函数。刻画静态现象的数 与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念。随着对函数研究的不断深化，产生了 微积分，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数 学史上的里程碑。导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
{
d n f（ x） dn x dn 1 （ v － n） dn x Γ
v = n∈N
∫
t a
f n （ y） dy 0 ≤n － 1 ＜ v ＜ n （ x － y） n － v + 1
（ 3）
针对三种经典分数阶微积分定义 ， 国内外众多学者从不同 得到了不同形式的分 应用角度研究分析各种各样的实际问题 ， Liouville 定 数阶微积分定义表达式 。 分数阶微积分 Riemann义和 分 数 阶 微 积 分 Caputo 定 义 都 是 对 分 数 阶 微 积 分 GrümwaldLetnikov 定义 的 改 进。 分 数 阶 微 积 分 的 GrümwaldLetnikov 定义在数值实现时可以转换为卷积运算形式 ， 因此非 Li常适合在 信 号 处 理 中 的 应 用 ； 分 数 阶 微 积 分 的 Riemannouville 定义主要应用于计算一些较为简单函数的解析解 ； 分数 阶微积分的 Caputo 定义适用于分数阶微分方程初边值问题的 分析， 因此非常适合在工程领域中应用 。三种关于分数阶微积 在一定条件下可以相互转换 。 分定义之间存在着紧密的联系 ， 例如， 如果分数阶微积分阶次 v 满足 n － 1 ＜ v ＜ n， 当函数 f （ x ） ， 的 m + 1 阶 导 数 连 续 并 且 满 足 m =? n － 1 」 分数阶微积分 GrümwaldLetnikov 的定 义 与 分 数 阶 微 积 分 RiemannLiouville 的定义是完全等价的。 在满足相同条件下， 分数阶微积分的 Caputo 定义和分数阶微积分的 GrümwaldLetnikov 定义等价。 当分数阶微积分阶次 v 为正整数和负实数时， 分数阶微积分的 Caputo 定义和分数阶微积分的 RiemannLiouville 定义满足以 下关系：
函数的广义分数阶微积分
函数的广义分数阶微积分概论广义分数阶微积分作为微积分的一个重要分支，将微积分的思想扩展到分数阶域，使得微积分工具能够应用于更广泛的学科领域。
广义分数阶微积分的概念最早可以追溯到19世纪早期，但直到20世纪后期才得到快速发展。
分数阶导数和积分在广义分数阶微积分中，分数阶导数和分数阶积分是两个基本的概念。
分数阶导数是针对分数阶函数定义的，其定义与整数阶导数类似，但涉及到分数阶幂函数。
分数阶积分则与分数阶导数密切相关，并且具有与整数阶积分类似的性质。
分数阶导数和积分的定义有多种，其中最常用的两种是格林函数法和黎曼-刘维尔法。
格林函数法将分数阶导数和积分定义为通过求解分数阶微分方程得到的函数，而黎曼-刘维尔法则基于黎曼积分和广义函数的理论。
广义分数阶微积分的应用广义分数阶微积分在许多学科领域都有着广泛的应用，包括数学、物理、工程、生物学和经济学等。
在数学领域，广义分数阶微积分被用于研究分数阶微分方程和分数阶积分方程，并将其应用于各种数学问题。
在物理领域，广义分数阶微积分被用于研究分数阶力学、分数阶热力学和分数阶电磁学等。
在工程领域，广义分数阶微积分被用于研究分数阶控制系统、分数阶信号处理和分数阶图像处理等。
在生物学领域，广义分数阶微积分被用于研究分数阶生物系统、分数阶流行病学和分数阶神经科学等。
在经济学领域，广义分数阶微积分被用于研究分数阶经济模型、分数阶金融市场和分数阶经济发展等。
广义分数阶微积分的挑战虽然广义分数阶微积分有着广泛的应用，但也面临着一些挑战。
其中一个挑战是分数阶微积分的理论和方法还不够完善，特别是对于高阶分数阶微积分，还需要进一步的研究。
另一个挑战是分数阶微积分的计算难度较大。
分数阶导数和积分的计算通常需要用到复杂的数学方法，这使得分数阶微积分的应用受到了一定的限制。
近年来，随着计算机技术的进步，分数阶微积分的计算技术也在不断发展，这使得分数阶微积分的应用前景更加广阔。
广义分数阶微积分的展望随着广义分数阶微积分理论和方法的不断完善，以及计算机技术的不断进步，广义分数阶微积分的应用范围将进一步扩大。
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分数阶微积分发展现状及展望
在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。
这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。
从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。
作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。
(一)、发展历史及现状
牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。
分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。
1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。
这是公认的第一次提及分数阶微分。
1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。
之后刘维尔发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的实际级创始人。
1974年，Oldham与Spanier出版了第一本关于分数阶微积分理论的专著。
在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，但是从近几十年，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。
分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很
多数学工作者的研究热点。
随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。
但是目前分数阶微积分的实际工程应用存在许多障碍，很重要的一个原因是分数阶微积分的数学基础仍未完善。
目前就数学领域而言，分数阶微积分存在的主要问题有:多种分数阶微分算子定义形式，在实际应用中都各有优势，尚不能做到统一；在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。
对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都具有局限性。
在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元；（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。
(二)、对未来发展的看法
鉴于此目前分数阶微积分发展的现状及主要问题，我认为未来分数阶微积分的发展要抓住几个关键点：（1）分数阶微积分还处在探索阶段，其理论体系还需要进一步扩充和完善。
这也是我们方向未来的主要工作。
（2）分数阶微积分作为一种新颖的数学工具，在应用来解决物理、力学、生物、信号处理、材料等学科问题还任重而道远。
未来要着重于理论研究与实际应用相结合。
（3）在数值计算方面应发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。