分数阶微积分发展现状及展望教学文稿
试论微积分教学的发展趋势
2019第4期下（总第298期）ZHONG GUO NONG CUN JIAO YU随着时代的不断发展，人类对社会科学的探索也逐渐朝向更宽广、更深入的领域和层次，基于这些背景下，高校微积分教学在时代潮流的推动下出现了一些新的发展趋势，具体下文详述。
一、教学内容的时代化当下，互联网科技迅速发展，整个社会科技的探索也愈加广泛，而微积分又与科学技术的发展密不可分，并且相互作用，一方面微积分为科技的探索和发展提供支持，另外一方面，可以的发展成果最终会被微积分理论吸收，成为其不断发展的主要支撑。
因此，基于这种背景和特性，微积分未来的教学越来越会体现出时代化的特点。
这种时代的特点，在于微积分教学内容的更新与发展，而非是保守不变的。
也就是说，微积分的教学会随着时代的进步分更加完备，呈现出不断前进的趋势。
一方面，这种趋势下，时代的迅速发展为微积分教学提出了更高的要求，尤其是科研和人才的需要，而各个高校的人才培养，本身就是为了给时代和社会的进步提供人才的支撑，满足时代的要求，这也为毕业生的就业和生存提供一层保证。
另一方面，对于高校来说，本身就属于学界的范畴，而学界本身也是不断进行理论的探索与更新，探索的主力是教师，探索的成果反哺时代的发展，形成时代化趋势以后，又会在高校推广，应用于对学生的教学上。
因此，在这种循环之下，未来微积分的教学会不断显现出时代化的特色。
二、教学发展的应用化对于微积分未来教学的发展趋势而言，应用化自然少不了，尤其是微积分本身就是很多科学研究的理论基础。
因此来说，在未来的微积分教学发展中，会在本身理论的基础上进行应用性的延伸，也即延伸到各个应用领域中。
这种应用，其实就是一种细分，对于当前高校的不同专业而言，依据应用性的要求，进行微积分侧重点的细分。
当然，这种细分其实对教师和学生都提出了更高的要求，教师要不断的掌握专业新的发展和应用，然后反馈到日常的教学中，学生要不断地接受时代发展带来的新内容，反馈到自身以后的工作上。
分数阶微积分及其应用
分数阶微积分及其应用分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，在过去的几十年中，其应用在物理、工程、生物、经济等多个领域取得了显著的进展。
在分数阶微积分中，函数的导数和积分的阶数可以是非整数，这使得分数阶微积分能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。
分数阶微积分的基本概念包括幂级数、勒让德符号等。
幂级数是一种用无穷级数表示函数的方法，通过幂级数，我们可以将一个函数表示成无限多个因子的乘积。
而勒让德符号则是一种表示分数阶导数和积分的符号，它能够简洁地描述分数阶微积分中的运算。
分数阶微积分在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在信用卡计息中，分数阶微积分可以描述复利计息的规律，更好地拟合实际数据。
在股票投资中，分数阶微积分可以用于描述股票价格的动态变化，从而帮助投资者更好地预测股票价格的走势。
此外，分数阶微积分在科学研究和工程实践中也有广泛的应用，例如在电磁学、流体动力学、控制理论等领域都有重要的应用。
学习分数阶微积分需要掌握一些基本的技巧。
首先，需要熟悉函数的导数和不定积分的概念，这是学习分数阶微积分的基础。
其次，需要学会使用幂级数和勒让德符号进行运算，这可以帮助我们更准确地描述复杂的函数。
最后，需要掌握分数阶微积分的算法和计算方法，例如通过数值方法和软件包进行分数阶微积分的计算。
总之，分数阶微积分是一种具有重要应用价值的数学工具，它能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。
随着科学技术的不断发展，分数阶微积分的应用前景将更加广阔。
未来，分数阶微积分的研究和应用可能会涉及更多的领域，例如、大数据分析、化学反应动力学等。
随着分数阶微积分理论的不断完善，其应用也将越来越成熟和广泛。
因此，我们应该积极学习和掌握分数阶微积分这一重要的数学技能，为未来的科学研究和工程实践打下坚实的基础。
引言分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，它允许我们处理具有非整数阶导数的函数。
在过去的几十年里，分数阶微积分在物理学、工程学、生物学等许多领域发现了广泛的应用。
分数阶微积分发展现状及展望
分数阶微积分发展现状及展望分数阶微积分是传统微积分的推广和拓展，它不仅包含了整数阶的微积分概念和方法，还引入了分数阶导数和分数阶积分的概念。
分数阶微积分的发展历程可以追溯到18世纪末，但在过去几十年里，由于计算机技术的快速发展和实际应用需求的推动，分数阶微积分得到了极大地关注和发展。
从教学方面来看，分数阶微积分开始被引入一些高校的课程设置中。
在一些数学、物理、工程和生物等领域的课程中，分数阶微积分被用来对现实问题进行建模和分析。
一些教材和教学资源也开始出现，帮助学生理解和应用分数阶微积分。
从理论研究方面来看，分数阶微积分的理论基础已经逐渐完善。
分数阶导数的定义和性质已经被广泛研究和讨论，分数阶积分的求解方法和性质也得到了进一步的探索。
同时，分数阶微积分和其他数学分支的关系（如数值计算、泛函分析等）也得到了深入的研究。
从应用方面来看，分数阶微积分在各个领域都得到了广泛应用。
例如，分数阶微积分可用于描述非线性、非局域和非平稳系统中的动力学行为，广泛应用于混沌系统、信号处理、图像处理等领域。
另外，分数阶微积分还在金融、生物医学、力学、材料科学等领域中得到了应用。
许多实际问题的建模和分析需要使用分数阶微积分的方法。
展望未来，分数阶微积分仍然存在一些挑战和机遇。
一方面，分数阶微积分的教学仍然相对滞后，需要进一步推广和普及。
多样化和个性化的教学方法、教材和教学资源的开发是当前的重要任务。
另一方面，分数阶微积分的理论研究还有很大的发展空间，需要深入研究分数阶微积分的性质、方法和应用。
分数阶微积分与其他数学分支的交叉研究也是未来的一个重要方向。
另外，随着科技的进步和应用需求的增加，分数阶微积分的应用前景也非常广阔，可以进一步推动分数阶微积分的发展。
总结起来，分数阶微积分是传统微积分的推广和拓展，已经在教学、理论研究和应用方面取得了一定的成果。
未来的发展需要进一步推广和普及分数阶微积分的教学，深入研究理论和方法，并进一步拓展分数阶微积分的应用领域。
分数阶微积分的历史背景
分数阶微积分的历史背景一、微积分学的创立微积分学作为一门高等数学的基础学科，是在十七世纪产生的。
微积分的基本概念和内容包微分学积分学。
但是早在公元前三世纪，就已经出现过利用微积分思想解决问题的实例了，如庄子在天下篇中曾记载“一尺之锤,日取其半,万世不竭”，阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积以及旋转双曲体的体积问题中，都体现了极限的概念。
十七世纪，人们面临着许多新的数学问题，比如求瞬时速度的问题等，这些问题促成了微积分的产生，当时有许多著名的数学家都为了解决相关问题做了大量的研究，其中莱布尼茨和牛顿的成就尤为突出。
1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列0，1，4，9，16，…的性质，例如它的第一阶差为1，3，5，7，…，第二阶差则恒等于2，2，2，…等．他注意自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为1+3+5+7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列。
流数(fluxion)1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微积分），后来世人就以这天作为“微积分诞生日”。
牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。
所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。
数学物理学中的分数阶微积分研究
数学物理学中的分数阶微积分研究分数阶微积分是一个比较新颖的研究领域，它将常规的微积分理论推广到了分数维度。
分数阶微积分的研究涉及到多个领域，其中数学和物理都是重要的一部分。
在这篇文章中，我将主要讨论分数阶微积分在数学物理学中的应用和研究进展。
什么是分数阶微积分？分数阶微积分（Fractional Calculus）是指将微积分的概念和方法推广到实数或复数阶的情况。
传统微积分只考虑了整数次导数，而分数阶微积分考虑了任何实数或复数次导数，包括非整数次。
因此，它拥有更广泛的适用范围和更大的内在复杂性。
分数阶微积分的研究历史悠久，早在18世纪，德国数学家利奥波德·欧拉就开始研究分数阶导数，但是这个领域的研究成果并不多。
直到20世纪60年代，分数阶微积分在电学、热力学、流体力学、地震学等领域得到了广泛应用，引起了学者们的广泛兴趣。
自此，分数阶微积分开始成为一门独立的学科，并在不同领域中取得了广泛应用和深入研究。
分数阶微积分在数学物理学中的应用分数阶微积分的发展和应用受到了数学和物理学界的广泛关注，其应用也十分广泛，尤其是在数学物理学中。
分数阶微积分的应用范围涉及微分方程、泛函分析、概率论、积分学等多个领域，它在科学研究中的作用越来越重要。
在物理学中，分数阶微积分的应用相对比较广泛。
以热传导方程为例，传统的热传导方程只能描述整数维空间的扩散和传输过程，而在分数阶微积分的框架下，可以更加准确地描述非整数维度下的扩散、传递和热流等现象，从而更准确地预测和解释一些复杂的物理现象。
除此以外，分数阶微积分在流体力学、声学、结构力学、生态学等领域也有广泛的应用。
分数阶微积分的应用不仅可以推广传统微积分的方法，更可以更好地描述一些现实中复杂的物理现象，为学者提供更准确的理论基础。
分数阶微积分的研究进展如今，分数阶微积分已经成为数学物理学研究的一个重要分支，其研究领域和方法不断丰富和完善。
国内外的学者们纷纷加入到了这一领域的研究中，各种新理论和新方法也相继涌现。
浅谈分数阶微积分在高等数学教学中的应用
文献标志码院A
文章编号院2096-000X渊2019冤17-0116-04
Abstract: By introducing the development history of fractional calculus, this paper expounds the positive significance of fractional calculus in the teaching of higher mathematics, and then uses several specific examples to further illustrate that the understanding of fractional calculus can promote students' integer derivative. The understanding of the student's interest in learning.
符号在高等数学中得到广泛使用，但是在 17 世纪却引起
不少的疑虑。1695 年，法国数学家 L'Ho赞 spital 就向 Leibnitz
发问：如果
n
为
1 2
怎么办？Leibnitz 回复说，这将导致矛盾，
但将来终究会得到有用的结果。1819 年，在 Lacroix 的一份
文稿中首次出现了任意阶导数。记 y=xm，m 是一个正整数，
尽管分数阶微积分历史久远，且已有相当的发展，但 在大学本科的教育中，据我们了解，了解它的人非常少。
二尧分数阶微积分在融入高等数学教学中的意义 （一）提高学生的学习兴趣
* 基金项目院桂林理工大学科研启动基金资助项目野两类时间非局部方程的高精度算法研究冶渊编号院GLUTQD2016044冤 作者简介：陈安（1984-），男，汉族，广西玉林人，博士，讲师，研究方向：分数阶微分方程的数值解。
分数阶微积分发展现状及展望
分数阶微积分发展现状及展望在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。
这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。
从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。
作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。
(一)、发展历史及现状牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。
分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。
1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。
这是公认的第一次提及分数阶微分。
1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。
riemann-liouvile}型分数阶微积分
Riemann-Liouville型分数阶微积分是近年来微积分领域的一个热门研究方向，它延续了传统微积分理论的思想，同时又拓展了微积分的应用范围。
本文将通过对Riemann-Liouville型分数阶微积分的理论基础、应用与研究进展等方面进行系统的介绍，旨在加深对这一领域的理解，促进读者对分数阶微积分的探索与应用。
一、Riemann-Liouville型分数阶微积分的基本概念1.1 分数阶微积分的起源和发展背景分数阶微积分作为微积分的一种新的分支，在20世纪引起了学术界的广泛关注。
它的研究起源于对非整数阶微分方程的求解问题，随着分数阶微积分理论的不断发展，逐渐涉及到了信号处理、控制系统、金融工程等众多领域。
1.2 Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义Riemann-Liouville型分数阶微积分是分数阶微积分理论中最经典的一种类型，其定义如下：对于函数f(x)和实数α，Riemann-Liouville型分数阶积分的定义如下：\[D^{\alpha}_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{n-\alpha-1}f(t)dt\]1.3 Riemann-Liouville型分数阶微积分的性质及其意义Riemann-Liouville型分数阶微积分具有一系列与传统整数阶微积分不同的性质，如线性性质、微分学基本定理、分部积分等。
这些性质的存在使得Riemann-Liouville型分数阶微积分在实际问题中具有更加灵活的应用。
二、Riemann-Liouville型分数阶微积分的应用2.1 信号处理中的应用在信号处理领域，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于分析非平稳信号和非线性系统，提高信号处理的精度和效果。
2.2 控制系统中的应用在控制系统理论中，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于描述复杂系统的动态特性，并设计出更加优越的控制算法，提高控制系统的稳定性和鲁棒性。
分数阶微积分的基本理论及其简单应用-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---题目：分数阶微积分的基本理论及其简单应用目录一、引言近年来,随着科学技术的飞速发展,分数阶微积分在科技领域的诸多方面所起到的重要作用也越来越明显,例如物理力学领域、自动控制领域、信号处理领域以及生物医学领域等.因此,研究了解分数阶微积分的基本原理及其简单应用就显得尤为重要.分数阶微积分是将经典的整数阶微积分运算拓展到有理分数以及无理数和复数的情形,因此研究分数阶微积分的相关问题可以帮助本科生更好地理解和学习高等数学中所涉及的整数阶微积分方面的知识理论,建构好微积分领域的认知结构,形成更加系统完善的知识体系,从而对微积分知识有更加清晰深入的理解.文章将主要从R-L型分数阶微积分的基本理论、分数阶微积分与整数阶微积分的区别与联系以及分数阶微积分在实际生活中的应用三大部分出发,对分数阶微积分的基本原理及其简单应用进行说明.二、R-L 型分数阶微积分的基本理论分数阶微积分这一问题的研究已经具有较长时间,早在微积分创立的时代就已经被提出.1695年,Leibniz 给Hospital 写信时第一次提出了将微分阶次从整数推广到非整数的含义的问题.在此之前,整数阶微积分在人们的生产生活中已经得到了广泛应用,但人们逐渐发现,在描述一些复杂问题和复杂现象时,整数阶微积分逐渐出现了一些限制,例如因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等问题,由这些限制引发的对问题的思考让分数阶微积分逐渐走入了人们的视野.那么何为分数阶微积分?如何定义?它又有怎样的性质?以下这一部分就将对Riemann -Liouville 型（R -L 型）分数阶微积分的定义及其若干性质进行详细介绍.（一）左R -L 型分数阶微积分1.左R -L 型分数阶积分如何对左R -L 型分数阶积分进行定义?在本科阶段的数学分析中,我们学过整数阶积分,并且知道函数u(x)的n 阶积分的表达式D t n a u (t )=1(n−1)!∫(t −ξ)n−1u(ξ)t a dξ.通过Gamma 函数,我们可以将上式记为 D t n a u (t )=1Γ(n)∫(t −ξ)n−1u(ξ)t a dξ. 因此我们将函数u(x)的n(n ∈N)重积分推广到非整数的情形时可以得出如下定义：设函数u(x)定义在区间(a,b)上,μ>0,则次数为μ的左R -L 分数阶积分定义为D t −μa u (t )=1Γ(μ)∫(t −ξ)μ−1u (ξ)t a dξ,其中Γ(μ)为Gamma 函数： Γ(z )=∫e −t t z−1∞0dt , Re(z)>0.所有使上式有意义的函数u 所构成的函数类记为W .因此根据左R -L 型分数阶积分的定义,我们不难得出以下性质：性质1 左R -L 型分数阶积分满足下面的线性关系：D a t −μ[λ1u 1(t )+λ2u 2(t)]=λ1D t −μu 1(t )+λ2D t −μa a u 2(t ), λ1,λ2∈R .性质2 左R -L 型分数阶积分算子有可以顺序交换的性质,即对于任意的μ,ν>0,有D t −μa D t −νa u (t )=D t −(μ+ν)a u (t )=D t −νa D t −μa u (t ). 性质3 u(t)在(0,+∞)上具有连续的p 阶导数,其中p 为正整数,且μ>p ,就会有D p[D t−μu(t)]=D t−(μ−p)u(t).此性质为整数阶导数与左R-L型分数阶积分的复合运算性质的推论.2.左R-L型分数阶导数左R-L型分数阶导数的定义可以根据上面所给出的左R-L型分数阶积分并结合整数阶积分的定义后得出,即：设函数u(x)是定义在区间(a,b)上的函数,其中μ>0,n>μ,σ=n−μ,则次数为μ的左R-L型分数阶导数定义为D a tμu(t)=D n[D a t−σu(t)]=1Γ(σ)d ndt n(∫(t−ξ)σ−1tau(ξ)dξ).根据左R-L型分数阶导数的定义,我们可以得到它的以下若干性质: 性质4左R-L型分数阶导数满足与整数阶导数类似的线性关系:D tμa [λ1u1(t)+λ2u2(t)]=λ1Dtμau1(t)+λ2D tμau2(t), λ1,λ2∈R.性质5阶数为μ的左R-L型分数阶导数与和它同样阶数的左R-L型分数阶积分互为逆算子.即设n−1<μ≤n,u(t)在[a,b]上的n阶导数连续,则有D tμaD t−μau(t)=u(t), ∀μ>0.再结合前面介绍的左R-L型分数阶积分的定义和性质,我们可以得出以下：性质6若μ>0,n−1<μ≤n,u(t)在[a,b]上的n阶导数连续,那么同阶的左R-L型分数阶积分和导数进行复合运算即为:D t−μaD tμau(t)=u(t)−∑[D tμ−jau(t)]t=anj=1(t−a)μ−jΓ(μ−j+1),(n−1≤μ<n).性质7设α>0,β>0,D tβ−αa存在,则左R-L型β阶分数阶导数和左R-L型α阶分数阶积分运算的复合公式为D tβaD t−αau(t)=D tβ−αau(t).性质8设α≥0,β≥0,u(t)有n=[α]+1阶连续的导数,则左R-L型β阶分数阶积分和左R-L型α阶分数阶导数运算的复合公式为D t−βa (D tαau(t))=D tα−βau(t)−∑[D tα−jau(t)]t=anj=1(t−a)β−jΓ(β−j+1).性质9由性质3和性质7的结论可得：设n∈N,m−1<μ<m,且μ≠n> 0,u(t)在区间(a,b)上具有r(r=max{m,n})阶连续的导数,则有(i)D n(D tμa u(t))=D t n+μau(t).(ii)D tμa (u(n)(t))=D tμ+nau(t)−∑u(k)(a)(t−a)k−μ−nΓ(1+k−μ−n)n−1k=1.性质10设α,β>0,m−1<β<m,n−1<α<n,m,n∈Z+,r= max{m,n},u(t)在区间(a,b)上具有r阶连续的导数,则有(i)D tβa (D tαau(t))=D tα+βau(t)−∑D tα−n+ka u(a)Γ(k−n−β+1)n−1k=0⋅(t−a)k−n−β;(ii)D tαa (D a tβu(t))=D tα+βau(t)−∑D tβ−m+ka u(a)Γ(k−m−α+1)m−1k=0⋅(t−a)k−m−β.性质11 设u (t )=t λg (t ),λ>−1,g (t )=∑a n t nα∞n=0,级数的收敛半径为R ,0<α≤1.若(i)β<λ+1,0<α≤1;或者(ii)β≥λ+1,γ>0,且当k =0,1,2,… ,m −1时,a k =0,其中m −1<β≤m.则有D t γ0 D t β0 u (t )=D t γ+β0 u (t )=D t β0 D t γ0 u (t ). （二）右R -L 型分数阶微积分1.右R -L 型分数阶积分与左R -L 型分数阶积分类似,我们知道,函数u(t)在区间(t,b)上求n(n ∈N)重积分有D b −n t u (t )=1(n−1)!∫(ξ−t )n−1u (ξ)bt dξ. 因此将此式子中的n 推广到非整数的情形,可得到右R -L 型分数阶积分的定义,如下：设函数u(x)定义在区间(a,b)上,μ>0,则阶数为μ的右R -L 型分数阶积分定义为D b −μt u (t )=1Γ(μ)∫(ξ−t )μ−1u(ξ)bt dξ. 右R -L 型分数阶积分的很多性质都与左R -L 型分数阶积分相类似,这里我们只给出右R -L 型分数阶积分的部分性质：性质12 右R -L 型分数阶积分算子是可以互换的,即对任意的μ,ν>0,有D b −μt D b −νt u (t )=D b −(μ+ν)t u (t )=D b −νt D b −μt u (t ). 2.右R -L 型分数阶导数和左R -L 型分数阶导数定义的得出类似,我们将通常意义下的整数阶导数与右R -L 型分数阶积分算子作复合运算,即可得到右R -L 型分数阶导数的定义如下：设函数u(x)定义在区间(a,b)上,μ>0,n 是大于μ的最小整数(n −1≤μ<n),则次数为μ的右R -L 型分数阶导数定义为D b μt u (t )=(−D )n [D b μ−n t u (t )]=(−1)n Γ(n−μ)d n dt n (∫(ξ−t )n−μ−1bt u(ξ)dξ). 同样,我们可以类比左R -L 型分数阶导数的性质得出右R -L 型分数阶导数的性质：性质13 μ阶右R -L 型分数阶微分算子是μ阶右R -L 型分数阶积分算子的逆算子.即设n −1<μ≤n,u(t)在[a,b]上的n 阶导数连续,则有D b −νt D b −μt u (t )=u (t ), ∀μ>0.性质14令μ>0,n−1<μ≤n,u(t)在[a,b]上的n阶导数连续,则右R-L型分数阶积分和右R-L型分数阶导数运算的复合公式为D b−μtD bμtu(t)=u(t)−∑[D bμ−jtu(t)]t=bnj=1(b−t)μ−jΓ(μ−j+1), (n−1≤μ<n).性质15设α>0,β>0,D tβ−αa存在,则右R-L型β阶分数阶导数和右R-L型α阶分数阶积分算子的复合公式为D tβaD t−αau(t)=D tβ−αau(t).性质16(i)设α>β≥0,u(t)有m=[β]+1阶连续的导数,则右R-L型α阶分数阶积分和右R-L型β阶分数阶导数算子的复合公式为D b−αt (D bβtu(t))=D b−(α−β)tu(t)−∑[D bβ−jtu(t)]t=bmj=1(b−t)α−jΓ(α−j+1)(α>β>0).(ii)设β≥α>0,u(t)有m=[β]+1阶连续的导数,则右R-L型α型分数阶积分和右R-L型β阶分数阶导数算子的复合公式为D b−αt (D bβtu(t))=D bβ−αtu(t)−∑[D bβ−jtu(t)]t=bmj=1(b−t)α−jΓ(α−j+1)(β≥α>0).性质17设m∈N,μ>0,D bμt u(t),D bμ+mtu(t)存在,则有(i)D m(D bμt u(t))=(−1)m D bμ+mtu(t).(ii)D bμt (D m u(t))=(−1)m D bμ+mtu(t)−∑(−1)m+j u(j)(b)Γ(1+j−μ−m)m−1j=0(b−t)j−μ−m.性质18设α,β>0,m−1<β<m,n−1<α<n,m,n∈Z+,r= max {m,n},且α+β<n,u(t)在区间(a,b)上具有r阶连续的导数,则有D bαt (D bβtu(t))=D bα+βtu(t)−∑[D bβ−jt u(t)]t=bΓ(1−j−α)mk=1⋅(b−t)−j−α.以上是关于R-L型分数阶微积分基本概念的综述,它可以帮助我们更好地理解R-L型分数阶微积分的性质和意义,也为下面我们研究分数阶微积分同传统的整数阶微积分之间的联系与区别创造了前提条件.三、R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别通过上一部分的介绍,我们知道,分数阶微积分可以看作是整数阶微积分的推广,因此它们之间也一定存在着千丝万缕的关系.了解分数阶微积分与传统的整数阶微积分的联系与区别将会有利于我们更好地把握分数阶微积分的特点及作用.下面将分别按照左R-L型分数阶微积分和右R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别进行阐述.（一）R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系1.R-L型分数阶微积分是整数阶微积分的推广对μ阶左R-L型分数阶导数(μ>0),n是大于等于μ的最小整数,若函数u(t)的n+1阶导数在区间(0,+∞)上连续时,有极限等式:lim μ→(n−1)+D0tμu(t)=D n−1u(t)=d n−1dtu(t),lim μ→n−D0tμu(t)=D n u(t)=d ndtu(t).上两式说明,若μ=n−1为正整数,则可得到一个传统意义下的n−1阶整数阶导数：D a t n−1u(t)=d ndt n[D a t−1u(t)]=u(n−1)(t).若μ=n为正整数,则可得到一个传统意义下的n阶整数阶导数：D a tμu(t)=d ndt n [D a t0u(t)]=d n u(t)dt n=u(n)(t).这表明当a>t,μ=n>1(n∈N)时,左R-L型分数阶微分算子与传统的n阶导数是一致的.所以,当μ为正整数时,Da tμu(t)就是整数阶微分里的μ阶微分,也称为μ阶导数.同样的,在左R-L型分数阶积分的定义式子D t−μa u(t)=1Γ(μ)∫(t−ξ)μ−1u(ξ)tadξ中,当μ=n为正整数时,D t−μa u(t)=D t−nau(t)=1Γ(n)∫(t−ξ)n−1u(ξ)dξta=∫dξta∫dξ1ξa…∫u(ξn−1)dξn−1ξn−2a,即是普通意义下的n(n∈N)重积分.综上,我们不难看出,在左R-L型分数阶微积分中,取阶数μ为整数n,当n>0时即可得函数u(x)的整数阶导数,当n<0时即可得函数u(x)的整数阶积分,左R-L型分数阶微积分因此可以看作是传统整数阶微积分的推广,整数阶微积分是左R-L型分数阶微积分的特殊情况.与左R-L型分数阶积分类似,当右R-L型分数阶积分定义式D b−n t u(t)=1(n−1)!∫(ξ−t)n−1u(ξ)btdξ.中μ=n为正整数时,我们可以得到D b−μt u(t)=D b−ntu(t)=1Γ(n)∫(ξ−t)n−1u(ξ)btdξ.为普通意义下的n(n∈N)重积分.同样的,在右R-L型分数阶导数的定义式D bμt u(t)=(−D)n[D bμ−ntu(t)]=(−1)nΓ(n−μ)d ndt n(∫(ξ−t)n−μ−1btu(ξ)dξ).中,当μ=n−1为正整数时,则可以得到一个传统意义下的n−1阶整数阶导数D b μt u (t )=(−D)n [D b μ−n u(t)t ]=(−1)n Γ(n−μ)d n dt (∫(ξ−t )n−μ−1u(ξ)dξbt ). 综上,我们不难看出,在右R -L 型分数阶微积分中,取阶数μ为整数n,当n >0时即可得函数u(x)的整数阶导数乘(−1)n ,当n <0时即可得函数u(x)的变下限整数阶积分,右R -L 型分数阶微积分同样可以看作是传统整数阶微积分的推广,整数阶微积分是右R -L 型分数阶微积分的特殊情况.2.R -L 型分数阶导数也同样具有线性性质在整数阶导数中,我们有[λ1u 1(t )+λ2u 2(t )](n )=[λ1u 1(t )](n )+[λ2u 2(t )](n )=λ1u 1(t)(n)+λ2u 2(t)(n) 即整数阶导数有线性性质.由前文提到的性质1、性质4,我们可以知道,R -L 型分数阶导数与整数阶导数同样都具有线性性质.我们可以通过下面一个简单的例子,更加清晰地观察到两者线性性质之间的相同之处.例1 设u 1(t )=t 3,u 2(t )=t 4,分别求2u 1(t )+5u 2(t)的2阶导数和12阶导数.解: 对2u 1(t )+5u 2(t )求2阶导可得:[2t 3+5t 4](2)=[6t 2+20t 3]′=12t +60t 2=2(t 3)(2)+5(t 4)(2),可以发现,线性性质在整数阶导数中得到满足.下面对其求12阶导:D t 120 [2t3+5t 4]=1Γ(12)d dt {∫(t −ξ)−12(2ξ3+5ξ4)dξt 0}= 1Γ(12)d dt {[∫(t −t 0ξ)−122ξ3dξ]+[∫(t −ξ)−125ξ4t 0dξ]}=1Γ(12)d dt {2[∫(t −ξ)−12t0ξ3dξ]+5[∫(t −t 0ξ)−12ξ4dξ]}=2D t 120 t3+5D t 120 t 4. 可以发现,线性性质在分数阶导数中同样适用.（二）R -L 型分数阶微积分与整数阶微积分的区别1.对于常函数的求导两者得到不同结果我们来看当t >a 且μ>0函数μ(x)为常函数μ(x )=C 时,其分数阶导数由R -L 型分数阶微分的定义易求得:D t μa u (t )=D t μa C=C(t−a)−μΓ(1−μ), (n −1<μ<n, n ∈N ). (*) 例如,当C =2,a =0,μ=12时,D t 120 2=2t −12Γ(12)=√πt .可以看到,与整数阶导数不同,我们对常函数C =2求12阶导数所得的结果并不为0. 另外,根据(*)式可以知道,当μ(x )=C =0时,D t μa 0=0.由此我们可以得出,在整数阶导数意义下对常函数求导是为零的,然而在R -L 型非整数阶导数的情况下对常函数求导不为零.在这个意义上能够看出,引入分数阶微积分实际上是对整数阶微积分的推广和补充.2.R -L 型分数阶微积分是一种加权积分以左R -L 型分数阶积分为例,在左R -L 型积分的定义式D t −μa u (t )=1Γ(μ)∫(t −ξ)μ−1u (ξ)t adξ 中,令a =0,μ=1,可得D t −10 u(t)=1Γ(1)∫(t −ξ)0u(ξ)t 0dξ=∫u(ξ)t 0dξ.显然这是一个普通的变上限积分.而当μ取分数时,例如,当μ=32时,有：D t −320 u (t )=1Γ(32)∫(t −ξ)12u(ξ)t 0dξ, 而当μ=12时,有：D t −120 u (t )=1Γ(12)∫(t −ξ)−12u(ξ)t 0dξ. 可以看出,左R -L 型实数阶积分实际上是一种加权积分,当μ=1时,其权值为1;当μ>1时,μ−1>0,则积分变量ξ距离积分上限t 越远, (t −ξ)μ−1越大,权值越大;当μ<1时,μ−1<0,则积分变量ξ距离积分上限t 越远, (t −ξ)μ−1越小,权值越小.与左R -L 型分数阶积分类似,在左R -L 型分数阶导数的定义式中,取a =0,则当μ=12时,稍加变形就可以得到： D t 120 u (t )=1Γ(−12)∫(t −ξ)−32u(ξ)t 0dξ. 可以看出,同样地,左R -L 型分数阶导数也可以视作一种加权积分,积分变量ξ距离积分上限t 越远,权值越小.右R −L 型分数阶微积分与其同理.由此我们可以得知,分数阶导数实质上也是一种积分,它能够记录下之前的所有变化,我们称之为分数阶微积分的“记忆”功能.正是分数阶积分的积分结构使得积分变量ξ取不同值时所对应的权重不同，因此具有了记忆功能.由于分数阶导数具有上述的“积分”作用,因此在非整数阶导数的极限形式表达式里,“积分”作用使得其表现为求和项数为无穷,但这与阶数没有关系,对比整数阶导数只有极限形式表达式,它的求和项数是有限的,且求和项数与阶数相同.四、分数阶微积分在众多方面的具体应用随着科学技术的不断进步,分数阶微积分在众多领域所起到的重要作用也越来越明显.目前国内对于分数阶微积分的研究集中于在自然科学与社会科学的各个领域的应用,主要有物理力学领域、反常扩散相关问题研究领域、自动控制领域、信号处理领域、生物医学领域等方面.下面通过几个例子来说明分数阶微积分目前在科技领域的具体应用.（一）分数阶微积分在图像降噪方面的应用在数字图像的采集、转换和传输过程中,一些孤立的像素点由于成像设备本身或外部环境的因素,会产生一些随机位置,形成噪声.不管它是改进成像设备本身还是减少环境干扰,噪声都很难避免.这些噪声不仅影响视觉效果而且还可能掩盖图像中的重要特征信息,给图像的后续处理带来困难.因此,图像去噪是一个重要的问题,是数字图像处理研究的主要内容.分数阶微积分理论是分形理论的数学基础之一,它在数字图像处理领域的应用为许多学者所接受.基于分数阶微积分,去噪成了其中的一个重要分支.近年来,使用分数阶微积分进行图像处理的方法在这一领域逐渐引起了人们的关注.近年来有学者提出了一种对每个像素都进行不同阶次分数阶积分运算的方法，称为图像去噪算法.具体为:首先设图像f(i,j)，其中每个像素都有八个方向，设M(i,j)为这八个方向上的梯度幅值的平均值,对其进行归一化处理后就得到与像素对应的积分阶数,例如取M(i,j)的最大值为Y,最小值为X,就能通过归一化获得动态分数阶：ν=(−1)×M(i,j)−X.Y−M(i,j)因此,我们可以认识到,当梯度均值较大时,存在一个小的负序,它的分数阶积分对噪声有较大的衰减作用;对于中、小梯度幅度与相应大小的积分阶数,其分数阶积分对图像纹理有一定的增强和保持作用.可以知道,邻域半径越大的像素与中心点的像素相关性越小.距离中心点较远的像素将抑制中心点的变化,而靠近中心点的像素将增加中心点的趋势.因此,这种改进方法明显优于其他方法.（二）分数阶微积分在粘弹性材料的本构关系领域中的作用以粘弹性材料为例,因为粘弹性材料是一种在外力作用下,粘性和弹性这两种变形机制同时存在的材料,因此要得到粘弹性材料的力与形变之间的关系模型就变得比较复杂.经典的粘弹性模型虽然做到了方便理解,但是由于整数阶微分算子性质的限制,其在蠕动和松弛初期的情况下不能很好地做到同实验数据精准匹配.在这种情况下,分数阶微积分的出现为计算有关粘弹性材料的力与形变量存在的关系的问题提供了很大帮助.首先,弹性变形指的是,物体在外力的作用下变形,外力撤销后变形完全消失的情况.在牛顿经典力学中,理想弹性模型的线弹性变形的力与形变量之间的关系满足虎克定律,即F(t)=−k⋅τ(t),其中F(t)是力,τ(t)是形变量,k是材料的劲度系数.其次,牛顿流体是指任一点上的剪应力都同剪切变形速率呈线性函数关系的流体,其力与形变量之间的关系满足牛顿粘性定律,即F(t)=μdτ(t)dt,其中F(t)是指剪应力,μ是指流体动力粘性系数（即粘度）,dτ(t)dt是指剪切变形速率.粘弹性材料由于介于弹性材料和牛顿流体之间,因此它的力与形变量之间的关系就满足F(t)=μD sατ(t)(0<α<1).可以观察到,在粘弹性材料的力与形变量的关系公式中,当α取0时,得到的就是理想弹性材料所满足的虎克定律;当α取1时,得到的是牛顿流体所满足的牛顿粘性定律.（三）分数阶微积分在现代信号的处理中的应用现代信号的分析与处理要依靠分数阶微积分领域的基础.由于现代信号具有分数阶导数的特性,所以传统的整数阶导数无法很好地描述和处理信号.主要原理是通过控制阶数υ(0<υ<1)来达到既使信号保持在低频范围,又能增强信号强度的效果.分数阶微积分在现代信号的处理与应用中,有一个重要的应用方面被称为“分数阶内插”,表示为Piecewise能量函数即：βυ+=1Γ(υ+1)Δ+υ+1xυ+=1Γ(υ+1)∑(υ+1k)k≥0(−1)k(x−k)υ+,βυ+(ω)=(1−e−jωjω)υ+1.目前,分数阶内插在图像增强、图像压缩等方面已经得到了广泛应用.（四）分数阶导数的幂律记忆性在热力学中,布朗粒子在白噪声的环境下受到的阻尼力只与粒子当前的速度有关,不涉及历史速度的问题;但在非均匀介质中,布朗粒子受到的阻尼力还与历史速度有关,即距离当前时刻越近,其所占权重越大,距离当前时刻越远,其所占权重越小.这种记忆性表现为下面的阻尼核函数γ(t):γ(t)=1Γ(1−α)t−α,0<α<1.我们注意到,当取β=1−α时,得到:γ(t)=1Γ(β)tβ−1, 0<β<1,上式即为分数阶积分的核函数.五、总结从数学分类来看,分数阶微积分是数学分析的一个分支,或者整体微积分的一个部分内容,当微分或积分的阶数为整数时,分数阶微积分就转化为了经典的微积分.因此,分数阶微积分作为整数阶微积分的推广,一方面为我们更加深入地了解整数阶微积分提供了有利条件;另一方面,它是我们解决复杂问题时的有力工具.因此,研究分数阶微积分具有十分重要的意义.综上,本文主要有以下三点结论:（1）首先分为左R-L型分数阶积分、左R-L型分数阶导数、右R-L型分数阶积分和右R-L型分数阶导数分别介绍了R-L型分数阶微积分的基本概念以及性质.以此了解分数阶微积分的基本原理,为帮助理解和应用分数阶微积分提供了必要条件.（2）主要分析了分数阶微积分和整数阶微积分之间的联系和区别.联系主要有以下两点：①当分数阶微积分的阶数取整时,即可得到整数阶微积分,从而说明了整数阶微积分是分数阶微积分的特例,分数阶微积分是整数阶微积分的推广和补充.②整数阶导数和分数阶导数都具有线性性质.区别有两点：①对于常函数,整数阶导数求导得到的结果为零,但非整数阶导数求导结果不为零,只有当常函数为零时,非整数阶导数求导结果才为零.②分数阶微积分是一种加权函数,具有“记忆”功能,具有非局部的性质,其微分和积分是对之前过程的叠加,而整数阶微积分则只有局部性质,也并无“记忆”功能.（3）分数阶微积分目前已经应用十分广泛,本文主要介绍了它其中的四种简单应用,即图像降噪、粘弹性材料的本构关系、现代信号的处理以及布朗粒子在非均匀介质中的受力情况,涉及生物医学、电子科技、物理力学等多个方面.除此之外,分数阶微积分还在环境力学、自动控制、信号处理等多个研究领域中得到广泛使用.根据以上的分析我们不难发现,分数阶微积分作为整数阶微积分的推广,其与整数阶微积分有联系也有区别,因此可以作为许多复杂问题的解决方案.毋庸置疑,分数阶微积分在当今许多科技领域有着举足轻重的作用,是我们解决许多复杂问题的有力工具,因此,了解和研究分数阶微积分有着十分重要的意义.可以预见,在不久的未来,分数阶微积分的研究和应用还将不断取得新的飞跃.参考文献[1]吴强,黄建华.分数阶微积分[M].北京:清华大学出版社,2016.[2]祝奔石.分数阶微积分及其应用[A].徐明瑜,谭文长.中间过程、临界现象——分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用[C].中国科学G辑,2006.36:225—238.[3]张旭秀,邱天爽,盛虎.分数阶微积分的一种物理解释和定域长分数阶微积分[A].Y Q Chen, K L Moore. Discretization schemes for fractional -order differentiators and integrators[C].IEEE Trans On Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications,2002.49(3):363-367. [4]燕远伟.分数阶微积分在现代信号分析与处理中应用的研究[A].王福兴,蒲亦非,周激流.分数阶微积分的应用研究[C].无线互联科技.2011(08):87－88.[5]宋超.从整数阶微积分到分数阶微积分[A].Cafagna D.Past and present-fractional calculus:A mathematical tool from the past for present engineers [C].IEEE Industrial Electronics Magazine,2007,2(1):35-40.[6]闫启方,陈哲,刘林超.分数阶Kelvin粘弹性材料的力学特性研究[A].刘林超,张卫.具有分数Kelvin模型的粘弹性岩体中水平圆形硐室的变形特性[C].岩土力学,2005,26 (2):287 ~289.[7]康凯.基于梯度和信息熵特性的自适应分数阶微积分图像去噪研究.[8]陈安.浅谈分数阶微积分在高等数学教学中的应用[A].Podlubny I.Fractional Differential Equations[C].Academic Press,San Diego,1999.[9]宋传静.大学微积分课程的延伸——分数阶微积分[A].陈纪修,於崇华.数学分析[C].北京:高等教育出版社,2004.[10]王在华.分数阶微积分:描述记忆特性与中间过程的数学工具[A].陶然,邓兵,王越.分数阶傅里叶变换及其应用[C].北京:清华大学出版社,2009.[11]Qi Wang,Jing Ma,Siyuan Yu,Liying Tan.Noise detection and image denoising based on fractional calculus.[12]高仕龙,赵清.分数阶微积分的记忆效应[A].包景东.经典和量子耗散系统的随机模拟方法[C].北京:科学出版社.2009.。
中学数学中微积分的教学现状分析和策略研究
目录
01 一、中学数学中微积 分的教学现状
03 三、实践案例分析
02
二、中学数学中微积 分的教学策略
04 参考内容
内容摘要
微积分是数学中的重要分支，也是现代科学技术的基础。在中学阶段，微积 分的教学对于培养学生的数学素养和思维能力具有重要意义。然而，当前中学数 学中微积分的教学存在一些问题，需要进行分析并寻找相应的教学策略。
3、教师教学能力的提高
（2）提高教学技能。除了专业知识外，教师还需要提高自己的教学技能，如 语言表达、课堂组织、教学评价等。只有当教师具备良好的教学技能，才能更好 地引导学生掌握知识点和提高思维能力。
3、教师教学能力的提高
（3）参与教学研究和合作。教师可以通过参与教学研究和合作，不断优化自 己的教学方法和策略，提高教学效果和质量。同时，也可以与其他教师进行交流 和分享，互相学习和借鉴成功的教学经验。
参考内容
一、引言
一、引言
微积分是中学数学的重要内容之一，对于中学生来说，理解和掌握微积分概 念和原理可能具有一定的难度。然而，将数学史应用于中学微积分教学，可以帮 助学生们更好地理解和掌握微积分知识。本次演示旨在探讨数学史在中学微积分 教学中的应用，并通过实证研究方法，验证数学史对于中学生微积分学习的积极 影响。
3、教师教学能力的提高
3、教师教学能力的提高
为了提高中学数学中微积分的教学效果，教师需要不断提高自己的教学能力。 具体来说，可以从以下几个方面入手：
3、教师教学能力的提高
（1）加强专业知识的学习。微积分作为一门重要的数学分支，其知识点在不 断更新和丰富。因此，教师需要不断学习和掌握最新的微积分知识和教学方法， 以便更好地进行教学活动。
我国微积分教学改革方向的思考 兼论美国AP微积分计划给我们的启示
三、微积分教学改革方向
1、改革教学目标。从学生的考试成绩转变为培养学生的数学素养和思维能力， 为其未来的发展打下坚实的基础。
三、微积分教学改革方向
2、加强数学应用。在教学内容中增加实际问题和案例，使学生更好地理解微 积分的应用价值和实践意义。
三、微积分教学改革方向
3、提高教师素质。加强对教师的培训和进修，使他们能够适应教育改革的需 求，提高教学质量和水平。
三、微积分教学改革方向
针对我国微积分教学存在的问题，结合美国AP微积分计划，我国微积分教学 改革可以从以下方向入手：
三、微积分教学改革方向
1、改革教学目标。从学生的考试成绩转变为培养学生的数学素养和思维能力， 为其未来的发展打下坚实的基础。
三、微积分教学改革方向
2、加强数学应用。在教学内容中增加实际问题和案例，使学生更好地理解微 积分的应用价值和实践意义。
3、教学方法多样。采用探究式、项目式等多种教学方法，激发学生的学习兴 趣和积极性。
二、美国AP微积分计划
4、评价方式科学。结合平时的作业、测试和期末考试，全面评价学生的学习 效果。
三、微积分教学改革方向
三、微积分教学改革方向
针对我国微积分教学存在的问题，结合美国AP微积分计划，我国微积分教学 改革可以从以下方向入手：
微积分作为大学数学的基础课程，对于培养学生的数学素养和思维能力具有 重要意义。随着我国高等教育的发展，微积分教学的改革势在必行。通过借鉴美 国AP微积分计划的优点，我国微积分教学可以朝着更加注重学生的综合素质培养 和应用能力提高的方向发展。只有不断推进微积分教学的改革，才能更好地培养 出适应社会发展需要的高素质人才。
参考内容
内容摘要
微积分作为大学数学的基础课程，对于培养学生的数学素养和思维能力具有 重要意义。随着我国高等教育的发展，微积分教学也面临着一系列的挑战和问题。 本次演示将探讨我国微积分教学改革的方向，并结合美国AP微积分计划，提出一 些思考和建议。
浅谈微积分教与学.docx
浅谈微积分教与学【摘要】微积分是大学数学的一门核心课程，如何提高微积分的教学效果，本文从教与学方面做了一些探讨。
微积分是研究变量及其变化规律的科学，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有着广泛的应用。
它的思想方法与理论是大学生学习其他专业课程的工具与基础，为后续课程的学习和学生素质的形成以及分析问题、解决问题能力的培养产生着重要而深远的影响。
但在财经类院校，由于多种原因，使得微积分教学中存在许多问题。
本文从教与学方面对微积分教学进行初步探讨。
一、微积分教与学现状1.学习现状微积分是一门公共必修基础课，几乎所有大学一年级的学生都要修这门课。
但由于学生的数学基础参差不齐；学习微积分的方法和态度不同，使得学生学习成绩有很大的悬殊。
微积分这门课程比较抽象，也有点枯燥，有些同学没有什么兴趣；有些同学的学习是被动的，还有的同学仅是为了拿到学分和学位而学习，缺乏学习微积分的兴趣和动力。
有些同学学习微积分很努力，但是由于学习方法不恰当，学完微积分这门课程以后收获也很小。
当然也有部分同学在学习微积分课程之后其思维能力，分析问题和解决问题的能力，综合素质等都有很大提高。
2.教师教学现状从总体上看，每一位老师都做到了吃透教材、精心备课、认真讲课等教学环节，还坚持了微积分教学应坚持的原则，但是教学效果还是没有达到理想状况。
其实课堂教学是“一对多”的互动过程，教师应在充分了解学生并且兼顾到不同学生不同需求的基础上来设计课堂教学。
教师不能只关注课堂上讲了些什么，更要关注学生通过你的教学学到些什么，会对他们的行为产生什么样的影响，或者产生什么样的潜在影响。
教师要站在学生的角度上来看待教学。
大学教师的教学方法直接关系到学生的学习方法。
教师可以通过改进微积分的教学方法，来影响学生的学习方法，使得我们的教学达到预期的理想效果。
二、微积分教学注意问题1.培养学生学习微积分的兴趣，激发学生创新兴趣是最好的老师，兴趣越浓，求知欲望越高。
浅谈分数阶微积分
其中 [r] 表示 r 的整数部分； Grunwald-Letnikov 分数阶积分如下
G a x
I f x lim
1
[ x a
x 0
x
i 1
x
]
-1 f x - ix i
i
分数阶微积分的主流定义
思路二：基于函数 n 重积分的表达式
x 0
1
-1
f s ds
为 f x 的 Riemann-Liouville 分数阶积分。
分数阶微积分的主流定义
（3）Riemann-Liouville 分数阶导数
在（2）的基础上，定义 Riemann-Liouville 分数阶导数如下
D x f x =D I
m
RL 0
m - 0 x
dm f x = m dx
x m - -1 1 f s ds , x - s 0 m -
m 其中 m 1 m, m , D 通常表示 m 阶导数。
分数阶微积分的主流定义
（4）Caputo 分数阶导数
如果 f x C m 0, , 那么称
分数阶微积分的应用
概括起来主要具有以下几方面特点： 1. 软物质。既不属于理想固体，也不属于牛顿流体的物质。例 如聚合物、泡沫、生物体、石油、汽油等。分数阶微分是刻 画软物质行为的有力数学工具。 2. 幂律现象。在复杂网络、蛋白质的结构、放射性物质的衰减 过程、人口的分布等领域幂律现象广泛存在，其物理和力学 演化有明显的记忆、路径依赖性质，而分数阶导数可以较好 地表征这些性质。 3. 分形的微分描述。在现象表现复杂、混沌的问题中，如材料 不光滑的表面、混乱的湍流体、裂缝的扩展、非均匀介质中 的不规则扩散中，分形描述具有独特的优势，而分数阶微分 可以为描述分形提供准确的模型。
分数阶微积分的历史与发展
分数阶微积分的历史与发展摘要：分数阶微积分作为一种新的数学分支，近年来备受关注。
分数阶微积分与整数阶微积分相比，其具有更广泛的应用领域，如控制论、力学、经济学、生物医学等。
本文主要介绍了分数阶微积分的历史、发展及其应用领域，并分析了其未来发展趋势。
本文的目的是为读者提供对分数阶微积分的基本认识和启发。
关键词：分数阶微积分，历史，发展，应用领域，未来趋势一、分数阶微积分的历史分数阶微积分的出现，是为了解决传统整数阶微积分难以处理的问题而产生的。
实际上，很多现象和系统的行为不能用整数阶微积分来刻画，反而可以用非整数阶微积分来描述。
比如，分数阶微积分可以处理无界增长的数据，比如空气质量指数、绿色产业数据，分数阶微积分还可以处理非线性行为的系统，比如人口增长理论、化学反应系统。
分数阶微积分更能够处理系统之间的耦合关系，例如，它可用于描述经济中提高关税的决策对不同国家经济的影响。
分数阶微积分的历史可以追溯到1695年，Leibniz和L'Hôpital在处理常微分方程时首次提出了非整数阶导数的概念。
19世纪中叶，Grünwald和Letnikov独立地研究了分数阶导数，并提出了一种数值计算方法，即Grünwald-Letnikov导数。
20世纪初，Riesz研究了分数阶微积分的理论，并提出了一种新的导数定义，即Riesz导数。
1959年，Samoilov首次应用分数阶微积分理论解决了具有记忆效应的动态问题。
分数阶微积分的引入是为了使电力系统更加稳定。
在 19 世纪时，对于实际技术问题，整数阶微积分已成为解决这一问题的主要工具。
然而，在 20 世纪60 年代末到 70 年代初期，一些科学家发现，现实生活中很多现象不能用整数阶微积分来解释，于是，引入了分数阶微积分。
分数阶历史的成因：1、时代趋势：在数字化时代，人们对时间的刻划更加准确、更加精细，因此，在历史研究领域，分数阶历史逐渐得到了应用。
微积分与未来科技发展趋势展望
微积分与未来科技发展趋势展望微积分是数学中一门重要的学科，它在科学领域中具有极其广泛的应用。
随着时代的发展，微积分在未来科技的发展中也扮演着重要的角色。
本文将探讨微积分与未来科技发展的趋势展望。
微积分在科技发展中的应用微积分是数学中涉及变化的一部分，它通过极限、导数和积分等概念描述事物的变化规律。
在科技领域中，微积分被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等各个领域。
在物理学中，微积分被用来描述物体的运动、力学、热力学等现象。
例如，通过微积分可以推导出牛顿运动定律、万有引力定律等基本物理定律，为科学研究提供了数学工具支持。
在工程学中，微积分用于解决工程问题中的最优化、模拟、建模等方面。
通过微积分，工程师可以优化设计、提高效率，实现各种工程项目的创新发展。
在计算机科学中，微积分则被应用于算法设计、数据处理、人工智能等领域。
通过微积分方法，计算机科学家可以提高算法效率、解决复杂问题，推动计算机科学领域的进步。
未来科技发展趋势展望随着科技的不断发展，未来科技领域将面临更多挑战和机遇。
微积分作为一门基础学科，在未来科技发展中将继续扮演重要角色。
人工智能人工智能是未来科技发展的热点之一，通过模拟人类智能的实现，人工智能将带来巨大的变革。
微积分在人工智能领域的应用将更加深入，通过微积分方法，可以实现数据处理、模型训练等关键过程。
生物技术生物技术是未来科技的另一个重要方向，通过将生物学和工程学相结合，实现对生命体的控制和改造。
微积分在生物技术领域的应用将促进生物数据处理、遗传算法等技术的发展，推动生物技术的进步。
太空探索太空探索是人类探索未知的一大挑战，通过航天器、人造卫星等技术手段，人类不断探索宇宙奥秘。
微积分在航天领域的应用将带来更精确的轨道计算、导航技术等创新发展，推动太空探索的进程。
总结微积分作为一门重要的数学学科，在未来科技发展中扮演着关键角色。
通过微积分的方法和思想，可以解决科技领域中的复杂问题，推动科技发展的进步。
q-分数阶微分方程研究现状
q-分数阶微分方程研究现状English Answer:Fractional calculus, as a branch of mathematical analysis, has gained increasing attention in recent decades due to its various applications in diverse fields,including physics, engineering, and finance. Within fractional calculus, q-calculus, which involves q-derivatives and q-integrals, has emerged as a significant area of study.Q-fractional differential equations, which incorporate q-derivatives and q-integrals, have become a fascinating subject of investigation. These equations offer a more generalized framework compared to their classical counterparts, providing researchers with a powerful tool to model complex phenomena in various disciplines.The study of q-fractional differential equations has witnessed substantial progress in recent years, leading tosignificant advancements in both theoretical foundations and practical applications. Here are some key aspects related to the current research landscape in q-fractional differential equations:1. Theoretical Development:Establishing new mathematical tools and techniques for analyzing q-fractional differential equations.Exploring the existence, uniqueness, and stability of solutions to q-fractional differential equations.Developing numerical methods for solving q-fractional differential equations efficiently and accurately.2. Applications:Modeling anomalous diffusion and transport phenomena in physics.Analyzing fractional-order control systems in engineering.Studying financial models with long-range dependencies and memory effects.3. Interdisciplinary Collaborations:Combining q-fractional differential equations with other mathematical disciplines, such as probability theory and numerical analysis.Exploring applications of q-fractional differential equations in fields such as biology, medicine, and social sciences.4. Open Challenges:Further development of analytical and numerical techniques for solving q-fractional differential equations.Investigating the connections between q-fractionaldifferential equations and other areas of mathematics, including partial differential equations and integral equations.Exploring new applications of q-fractionaldifferential equations in emerging fields, such asartificial intelligence and machine learning.The research on q-fractional differential equations continues to expand rapidly, with numerous researchers worldwide contributing to its development. It isanticipated that this field will continue to yieldsignificant theoretical and practical advancements in the years to come.中文回答：q-分数阶微分方程是分数阶微积分的一个分支，由于其在物理、工程和金融等领域的广泛应用，近年来受到越来越多的关注。
微积分课程趋势
• 英國牛津大學(Oxford University)： 英國牛津大學(Oxford University)：
以數學系為例，將微積分課程分的很細， 主要是區分為單變數與雙變數課程並直接 從微分與積分講起。至於基本函數以及極 限概念，必須在修課前學過，亦即在高分為基礎的數學課程
在95及98課綱中亦強烈建議學生利用電腦 95及98課綱中亦強烈建議學生利用電腦 畫圖軟體增加學生對函數變化、平面圖形、 立體圖形的掌握，並利用電腦計算軟體實 際展現求取極限的過程。可見科技教學是 未來一個重要的趨勢。
二. 國內各大學微積分課程的探討
國內各大學的微積分課程以及組別區分有 很大的差異性，主要是依據學生的吸收能 力而規劃並加以區別，我們以台灣大學、 清華大學、交通大學、成功大學以及南部 16所夥伴學校所開設的微積分課程，作為 16所夥伴學校所開設的微積分課程，作為 主要探討對象而一一討論。
為方便起見，我們以成功大學各學系、學 院為分類，來探討有哪些課程是必須以微 積分學為基礎必修課程，從而來探討微積 分學的重要性。
理學院部分以高等微積分、微分方程、數 值分析、機率論、統計論、實變數函數論、 物理數學等為代表課程。 工學院、電機資訊學院部分則是以工程數 學為最具代表。 規劃與設計學院則以統計學、工程數學為 必修科目。 管理學院中大部分的科系都有把統計學、 經濟學納入成為必修科目。
較特別的是其在大三、大四開了一門科目 名稱為〝數學分析原理〞 名稱為〝數學分析原理〞的 4 學分選修課 且排定時間為星期六或日。 目的： 為轉入數學類專業的學生補高等數學和數 學分析之間的缺口。 為有興趣進一步提升自身數學修養的非數 學類專業學生提供一個學習的機會 。 為一些感到有必要使所學的數學分析知識 融合起來的數學類專業學生提供一些指導 。
2021高职专科院校微积分教学面临的现状范文3
2021高职专科院校微积分教学面临的现状范文大学数学微积分论文专业推荐10篇之第三篇：高职专科院校微积分教学面临的现状 摘要：为了让高职院校的学生更好地学习大学数学，提升课堂教学效果，本文从课堂教学语言表达的角度出发，结合多年教学实践认知，提出了微积分教学的语言表述应该"形象化""生活化"和"诗情画意化"的观点。
同时，为了便于学生理解和记忆，进一步提出了"用一个词、一个短语、一句话来概括一个知识点、一个小节、一个章节及一本书的内容"的观点，同时要不失时机推进课堂思政，不遗余力地对学生进行思想道德教育，教书又育人。
关键词：大学数学；微积分教学；语言表达；课程思政； 教育部统计数据显示我国2017全年普通本专科招生761.5万人，其中高职专科350.7万人，这部分高职专科新生，根据专业不同一般需要学习一个学期的微积分。
针对这部分学生基础较差，数学学习兴趣低的特征，开展微积分的有效教学是一个迫在眉睫的问题[1][3]. 一、高职专科院校微积分教学面临的现状 目前高职专科学校学生的数学基础较差，学习兴趣不大，概括起来就是"两不一没",即学生"听不懂、学不会、没兴趣".因此，这部分学校的微积分教学面临很大难度。
数学作为极其抽象的学科，学习曲线陡峭，难度大。
研究教学语言中的表达技巧，通过具体、形象、生动传神的语言文字，来传递微积分的知识、思想和技巧，来达到更好的传授知识、教书育人的目的。
本文通过具体的教学案例，从以下几方面予以论述，同时案例中蕴含了课程思政的思想[2]. 二、微积分教学中使用形象化的比喻 语言作为表情达意的载体，承载着传递知识、点燃兴趣的作用。
在微积分教学中，复合函数求导是一个难点问题。
其计算规则可以简单写成（f （φ（x））′====φ（x）=u（f（u））′u′=（f（φ（x））′φ′（x）。
分数阶微积分的探讨 (2)
目录绪论 (1)1 分数阶微分的基本理论 (1)1.1分数阶微积分 (2)1.2分数阶微积分的定义 (3)1.3分数阶微积分的性质 (5)1.4各种定义之间的联系与区别 (6)1.5一些初等函数的分数阶微积分 (8)1.6分数阶微积分的物理意义 (10)1.7分数阶微积分在自然中的存在 (11)2 分数阶微积分的应用 (12)2.1 医学图像处理 (12)2.2 天气和气候的研究 (13)2.3 地震奇异性分析 (14)参考文献 (15)致谢 (16)分数阶微积分及其应用摘要分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，其概念早已提出，近300年来，分数阶微积分这一重要数学分支渐成体系，它是研究分形分析的重要工具被应用于许多工程计算中。
本文给出了分数阶微积分的一些性质及其推导过程，并给出一些初等函数的分数阶微积分,及其应用。
【关键词】分数阶微积分分数阶微分分数阶积分图像增强模板应用Fractional calculus and its applicationsAbstractFractional Calculus as extention of integral calculus, its concept has long been proposed, for nearly 300 years, fractional calculus of this important branch of mathematics that had gradually become the system , it is the study of fractal analysis tools are used in many engineering calculations .in his paper, some properties of the fractional calculus and the derivation process of the fractional calculus are given, Besides some elementary functions of fractional calculus and its applications.【Key Words】Fractional Calculus Fractional derivatives Fractional integrals image enhancement applications绪论分数阶微积分是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分，如对函数求1/2阶导数。
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分数阶微积分发展现状及展望
在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计
算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。
这五个方向对数学在当
代的发展都有不可或缺的作用。
从研究内容来讲，方程、算子、群论、
图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。
作为基础数学专
业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历
史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的
基本知识。
(一)、发展历史及现状
牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。
分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。
1695年9月，洛必达
（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数
f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。
这是公认的第一次提及分数阶微分。
1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。
之后刘维尔发表的一系列文
章使他成为分数阶微积分理论的实际级创始人。
1974年，Oldham与Spanier出版了第一本关于分数阶微积分理论的专著。
在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，但是从近几十年，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。
分数阶微积分理论也受到越来越多的国内
外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。
随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。
但是目前分数阶微积分的实际工程应用存在许多障碍，很重要的一个原因是分数阶微积分的数学基础仍未完善。
目前就数学领域而言，分数阶微积分存在的主要问题有:多种分数阶微分算子定义形式，在实际应用中都各有优势，尚不能做到统一；在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。
对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都具有局限性。
在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元；（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。
(二)、对未来发展的看法
鉴于此目前分数阶微积分发展的现状及主要问题，我认为未来分数阶微积分的发展要抓住几个关键点：（1）分数阶微积分还处在探索阶段，其理论体系还需要进一步扩充和完善。
这也是我们方向未来的主要工作。
（2）分数阶微积分作为一种新颖的数学工具，在应用来解决物理、力学、生物、信号处理、材料等学科问题还任重而道远。
未来要着重于理论研究与实际应用相结合。
（3）在数值计算方面应发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。