电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
电磁场 拉格朗日量
电磁场的拉格朗日量可以用来推导电磁场的运动方程，即麦克斯韦方程组。通过变分原理 ，可以获得电磁场的运动方程，包括麦克斯韦方程和洛伦兹力的表达式。
需要注意的是，上述给出的电磁场的拉格朗日量是在相对论情况下的描述，即考虑了时空 的弯曲和洛伦兹变换。对于非相对论情况下的电磁场，可以使用非相对论性的拉格朗日量进 行描述。
电磁场 拉格朗日量
总之，电磁场的拉格朗日量是描述电磁场运动的重要工具，可以通过变分原理推导出电磁 场的运动方程。
电磁场 拉格朗日量
在物理学中，拉格朗日量是描述系统动力学的一个重要概念，它是拉格朗日力学的核心。 对于电磁场，我们可以使用拉格朗日量来描述其运动。
在电磁场中，电磁场的拉格朗日量可以通过电磁场的场强和场势来表示。场强包括电场强 度和磁场强度，场势包括电势和磁矢势。
电磁场的拉格朗日量可以写为：
L = -\frac{1}{4\mu_0}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - j^{\mu}A_{\mu}
电动力学教学大纲(科学教育专业)
《电动力学》教学大纲课程名称：电动力学课程编号：073132003总学时：54学时适应对象：科学教育（本科）专业一、教学目的与任务教学目的：电动力学是物理学本科专业开设的一门理论课程，是物理学理论的一个重要组成部分。
通过对本课程的学习，（1）使学生掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；（2）获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的能力，为解决实际问题打下基础；（3）通过对电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。
教学任务：本课程主要阐述宏观电磁场理论。
第一章主要分析各个实验规律，从其中总结出电磁场的普遍规律，建立麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式。
第二、三章讨论恒定电磁场问题，着重讲解恒定场的基本性质和求解电场和磁场问题的基本方法。
第四章讨论电磁波的传播，包括无界空间中电磁波的性质、界面上的反射、折射和有界空间中电磁波问题。
第五章讨论电磁波的辐射，介绍一般情况下势的概念和辐射电磁场的计算方法。
第六章狭义相对论，首先引入相对论时空观，由协变性要求把电动力学基本方程表示为四维形式，并得出电磁场量在不同参考系间的变换。
二、教学基本要求通过本课程的教学，使学生了解电磁场的基本性质、运动规律以及与物质的相互作用。
掌握求解恒定电磁场的基本方法；掌握电磁波在无界和有界空间的传播规律；掌握一般情况下势的概念和求解电偶极辐射，理解相对论的时空理论；掌握电磁场量的四维形式和电动力学规律的四维形式，加深对电动力学规律的认识。
三、教学内容及要求绪论矢量场分析初步第一章电磁现象的普遍规律第一节引言及数学准备第二节电荷和电场第三节电流和磁场第四节麦克斯韦方程第五节介质的电磁性质第六节电磁场的边值关系第七节电磁场能量和能流教学重点：电磁场的普遍规律，麦克斯韦方程组，电磁场的边值关系。
教学难点：位移电流概念，能量守恒定律的普遍式。
本章教学要求：通过本章学习，要使学生了解各实验定律及其意义，掌握电磁场散度、旋度的计算方法及意义，理解麦克斯韦方程的重要意义和地位，以及积分和微分形式的麦克斯韦方程适用的范围。
理论物理综合 第一章 拉格朗日方程与哈密顿方程
哈密顿 (Hamilton，William Rowan) （1805—1865）
爱尔兰人
他的研究工作涉及不少领域，成果 最大的是光学、力学和四元数．他 研究的光学是几何光学，具有数学 性质；力学则是列出动力学方程及 求解；因此哈密顿主要是数学 家．但在科学史中影响最大的却是 他对力学的贡献．哈密顿量是现代 物理最重要的量，当我们得到哈密 顿量，就意味着得到了全部
参考书
1．理论物理导论 2．理论物理导论 3. 量子力学I 4. 统计物理学导论 5. 统计热力学
李卫 刘义荣 程建春 曾谨言 王竹溪 梁希侠，班士良
考核
平时成绩（30%）：包括考勤（累计5次旷课则平时 成绩以零分处置），课堂听课情况，作业完成情况， 课堂测验成绩
期末考试成绩（70%）
力学的发展
牛顿力学(牛顿三大定律+万有引力定律)
经典力学
历史发展的先后 研究方法的不同
(低速、宏观) 分析力学
力
（拉格朗日力学+哈密顿力学)
学
量子力学(微观）
现代力学
相对论力学（高速）
牛顿力学回顾
一、研究对象及研究方法
物体的机械运动(物质世界最低级、最基本的运动
形态)，即物体的空间位置随时间变化的规律。
二、适用范围
人们发现，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原 理及正则方程，完全适用于其它形式的物质运动，如 电动力学、统计物理、相对论、量子力学，量子场论 乃至基本粒子等，都是分析问题的基本工具或出发点。 因而分析力学也就成了跨入理论物理学和现代物理学 的入门课程。
谢谢观赏
p
L q
勒让德变换
变换形式，令： 微分：
独立变量
勒让德变换公式： 只换一个变量时：
电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
（5）
dx• 由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量
因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：
d
dt
t
精v选课•件
（66）
所以（5）可写为： dpq q v•
dt
动量p和矢势A可以写为
pi
vi
m 0c 2
i
vi
v
•
v2 1 c 2
所以拉格朗日量L为： Lm0c2 1vc2 2 qv•
vc 只能是一个洛伦兹不变量，当
时，则自有粒子的拉格朗日
函数为：L m0c2
1
v2 c2
③ 当粒子在电磁场中运动时，除了U
之外，还依赖于四维势 ，则它们可以
U ④
⑤
构量成L为一（个8不）变量
，因此，当v<<c时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗
精选课件
8
3，哈密顿形式
p L
▪ 对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量 i 定义为 P i •
矢量
K K,
i c
K•c
所以，在相对论协变的力学方程包括：kdp，可改写为： 1v c2 2•kd dp t, 1c v2 2•k•vd dw t
精选课件
2
定 义 ： F1v c2 2K 相 对 论 力 学 方 程 为 F F vd dp tdW dt
在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为： FqEvB
当v<<c时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形 下相应的量。
拉格朗日量（8）式当v<<c时变为：
L1 2m0v2qv•
哈密顿量（16）式变为：
（19）
1 Pq2q
《电动力学第三版》chapter6_7电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
HH(qi,Pi)
用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式
qi H Pi ,Pi H qi 电磁场中的带电粒子运动情形
正则动量 即
Pi vLi
m0vi 1v2
c2
qAi
PpqA
正则动量 机械动量
附加动量
带电粒子的哈顿量为
HPvL
m0c2
q
1cv22
但H应该用正则动量而不是用速度表出
Η (P q Α )2 c 2 m 0 2 c 4 q
把电Ε 磁 场v 用 Β 标 量 势和矢 量 Α 势 表v 示 , (则 Α )
t
在拉氏形式中, 坐标
x和速度
v
x是独立变量,
▽算符不作用在 v的函数上, 因此
v ( Α ) ( v Α ) v Α
d p q [( v Α ) Α v Α ]
d t
t
由 矢A 于 有 势粒 增 d ,x 在 子 A 量 .因 时 dt内 运 此 间 有 动 dx ,由 位此 移引
dΑΑvΑ dt t
d p q [( v Α ) Α v Α ]
d t
t
d(p qΑ )q (v Α )
dt
注意到动量和矢势可以分别写为
pi vi [m0c2
1v2 c2
],
Ai
vi
v
Α
运动方程可以写为拉氏形式 d L L 0
dt vi xi
其中拉格朗日量L为
L m 0 c21 c v2 2 q ( v Α )
当粒子在电磁场内运动时, 除了Uµ之外, L还依 赖于四维势Aµ或电磁场张量F. 由粒子的四维速度 Uµ与电磁场的四维势Aµ可构成一个不变量UµAµ , 因 而L可以含有一项bUµAµ, b为一待定常数.
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数本文将介绍如何求得带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数先给出结论：L=T−U=12mv2−qφ+qA⋅v其中φ为电磁场的标势，A为电磁场的矢势，T为带电粒子动能，U为带电粒子在电磁场中的广义势能U=qφ−qA⋅v基本思路：根据Maxwell方程组，将Lorentz力写成广义力Q a的形式，得到相应的广义势U，再带入拉格朗日表达式得到L1.非保守力广义力Q a表达式为Q a=ddtðUðq̇α−ðUðqα其中U为广义势，qα为广义坐标。
拉格朗日函数为L=T−U其中T为粒子动能，U为粒子广义势能。
带电荷量为q的粒子在电场E和磁场B中运动所受的Lorentz力为F=q(E+v×B)地磁场本身满足Maxwell方程组{∇×E+ðBðt=0∇⋅E=ρε0∇×B−μ0ε0ðEðt=μ0j∇⋅B=02.根据磁场散度方程∇⋅B=0和矢量恒等式，矢量场旋度的散度恒为0∇⋅∇×A=0由电磁场矢势A定义磁场强度B=∇×A 3.由法拉第电磁感应方程∇×B+∂Eðt=0得∇×(E+ðAðt)=0根据矢量恒等式∇×∇φ≡0定义一个标量函数φ−∇φ=E+ðA ðt做恒等变换则有E的表达式E=−∇φ−ðA ðt4.将E和B的表达式代入Lorentz力表达式得F=q[−∇φ−ðAðt+v×(∇×A)]A对时间的全导数dA dt =ðAðt+(v⋅∇)A做恒等变换有ðA ðt =dAdt−(v⋅∇)A将v×(∇×A)做恒等变换得v×(∇×A)=(∇A)⋅v−(v⋅∇)A 将上面两式带入Lorentz力表达式得F=q[−∇φ−dAdt+(v⋅∇)A+(∇A)⋅v−(v⋅∇)A]=q[−∇φ−dAdt+(∇A)⋅v]=q[−∇φ−dAdt+∇(A⋅v)]其中A,φ都不是v的函数，因此dA dt =ddt[ððv(A⋅v)]=ddtððv(−φ+A⋅v)将dAdt带入Lorentz力表达式得F=q[−∇(φ−A⋅v)−ddtððv(φ−A⋅v) ]5.与广义力满足方程比较Q a=ddtðUðq̇α−ðUðqα得广义势U的表达式为U=q(φ−A⋅v)则有带电粒子的拉格朗日函数L=T−U=12mv2−qφ+qA⋅v。
拉格朗日量的物理意义
拉格朗日量的物理意义拉格朗日量是物理学中一个极其重要且有着深刻物理意义的工具。
它是一种可以用来描述物理系统运动方程的数学形式，能够简便地描述自然界中的基本定律和规律，从而提高我们对物理世界的理解和掌握。
本文将从以下几个方面，详细介绍拉格朗日量的物理意义。
（一）拉格朗日量的物理基础拉格朗日量的物理基础是哈密顿原理。
该原理表明，在所有可能的运动路径中，物理系统沿使作用量S最小的路径运动。
其中，作用量S定义为积分Ldt，即L为拉格朗日量，t为时间。
哈密顿原理的物理基础可以通过光行程极小原理：在所有光线中，光的路径是光程最短的路径，而光程也可以用作用量表示，从而进行类比推广。
（二）拉格朗日量的物理意义所有物理系统都可以用拉格朗日量描述其运动方程。
这里的“物理系统”，不限于宏观世界，也包括微观领域的粒子、场等，因为不管是宏观还是微观领域的物理系统，其物理规律都可以被描述为能量最小的过程。
而我们可以通过定义拉格朗日量求得其中的能量。
利用拉格朗日量导出运动方程式，则运动的规律在较高层次上被理解和描述了。
（三）拉格朗日量的独立性与其他描述物理规律的多种工具不同，拉格朗日量的表格极为简单明了。
它是被量子理论和经典理论所共同接受的唯一工具。
这是因为它是一种独立于物理系统的工具，与时间、观察者等因素都没有关系。
这意味着它能够为各种物理情况提供解决方案，而不需要事先准备好特定的条件。
总之，拉格朗日量虽然简单，但十分重要，并且它与所有其它复杂工具、量子理论和经典理论共同构成了物理学的基石。
拉格朗日量描述的不仅仅是物理系统的运动规律，还反映了物理系统具有的能量、动量等物理量的本质和规律，拓宽了我们对物理世界的认识。
拉格朗日方程推导
拉格朗日方程推导拉格朗日方程是经典力学中的一种重要的数学工具，它是描述物体在给定势能和受到外力作用下的运动的方程。
拉格朗日方程由意大利数学家拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于力学和物理学的研究中。
为了推导拉格朗日方程，我们首先需要引入拉格朗日量。
拉格朗日量是一个描述系统能量的函数，它可以表示为广义坐标和广义速度的函数：L(q, q̇)。
其中,q表示广义坐标，q̇表示广义速度，它们两者都是时间的函数。
为了推导拉格朗日方程，我们需要先定义系统的能量。
系统的总能量可以分为动能和势能两部分。
动能表示物体由于运动而具有的能量，可以用广义速度的平方的一半乘以物体的质量来表示。
势能表示物体处于外力场中的能量，可以用广义坐标的函数来表示。
对于一个自由度为n的系统，广义坐标可以表示为q₁, q₂,..., qn。
我们可以定义广义速度为对时间的导数，即q̇₁, q̇₂,..., q̇n。
那么系统的总能量可以表示为：E = T - V其中，T表示系统的总动能，V表示系统的总势能。
我们可以将系统的总动能表示为：T = 1/2(m₁q̇₁² + m₂q̇₂² + ... + ṁq̇̇²)其中，m₁, m₂,..., ṁ分别表示物体的质量，q̇₁, q̇₂,...,q̇̇表示对应广义坐标的广义速度。
类似地，我们可以将系统的总势能表示为：V = V(q₁, q₂, ..., q̇)V是关于广义坐标的函数，表示物体在外力场中的势能。
带入上述表达式，可以得到系统的总能量：E = 1/2(m₁q̇₁² + m₂q̇₂² + ... + ṁq̇̇²) - V(q₁, q₂, ..., q̇)现在我们引入拉格朗日量L。
拉格朗日量L可以定义为系统的总能量E对广义速度q̇₁, q̇₂,..., q̇̇的一阶偏导数，即：L = ∂E/∂q̇₁ * q̇₁ + ∂E/∂q̇₂ * q̇₂ + ... + ∂E/∂q̇̇ *q̇̇ - EL可以写为：L = 1/2(m₁q̇₁² + m₂q̇₂² + ... + ṁq̇̇²) - V(q₁, q₂, ..., q̇)接下来，我们需要引入哈密顿原理，它是推导拉格朗日方程的关键。
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数
得广义势U的表达式为
U = q(������ − ������ ⋅ ������) 则有带电粒子的拉格朗日函数
L
=
T
−
U
=
1 2
����������;
������������
⋅
������
������ ������ ⋅ ������ = ������0
������������
������ × ������ − ������0������0 ������������ = ������0������
{
������ ⋅ ������ = 0
2. 根据磁场散度方程
������ ⋅ ������ = 0
������������ ������������ ������������ = ������������ − (������ ⋅ ������)������ 将������ × (������ × ������)做恒等变换得
������ × (������ × ������) = (������������) ⋅ ������ − (������ ⋅ ������)������
和矢量恒等式，矢量场旋度的散度恒为0
由电磁场矢势������定义磁场强度
������ ⋅ ������ × A = 0
������ = ������ × ������
3. 由法拉第电磁感应方程
∂������ ������ × ������ + ������������ = 0 得
根据矢量恒等式
������������ ������ × (������ + ������������ ) = 0
将上面两式带入Lorentz力表达式得
电动力学六七(电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量)
L m0c2
1
2
c2
14
当粒子在电磁场内运 动时，除了Uµ之外，L 还依赖于四维势Aµ或 电磁场张量F。由粒 子的四维速度Uµ与电 磁场的四维势Aµ可构 成一个不变量UµAµ ， 因而L可以含有一项 bUµAµ，b为一待定常 数。
在静电场中，当粒 子运动速度<<c时， 这项应等于粒子在 静电场中的负位能-
e，由此定出b=e。
根据协变性要求，
确定带电粒子在电
磁场中运动的拉格 朗日量为
L m0c2
1
2
c2
q(
υ )
15
2 哈密顿形式
对于用拉氏量L描述的 动力学系统，广义动量 Pi定义为
Pi
L qi
Pi也称为与广义坐标qi 共轭的正则动量。系统 的哈密顿量为
H Piqi L
i
H是广义坐标qi和广义 动量Pi的函数
21
变量，▽算符不作用在的函数上，因此
υ( ) (υ ) υ
8
dp q[ ( υ ) υ ]
dt
t
由于粒子运动，在时间dt有位移dx，由此 引起矢势A有增量dx∙▽A 。因此，作用于 粒子上的矢势总变化率为
d υ dt t
9
d υ dp q[ ( υ ) υ ]
§6.7 电磁场中带 电粒子的拉格朗日 量和哈密顿量
1
把力学方程表为分析力学形式更具有 普遍的意义，因为这样可以在一般广义坐 标下研究力学系统的运动，因而对力学系 统的性质可以作出普遍的推论。把带电粒 子在电磁场中的运动方程用分析力学的拉 格朗日形式和哈密顿形式表示出来。
2
另一方面，在微观领域内带电粒子的运动 问题占有重要地位，例如电子在原子核的 场内运动就属于这类问题。在微观领域内 需要用量子力学来解决粒子运动问题，而 量子力学是用哈密顿量或拉格朗日量来描 述粒子系统的力学性质的。
力学 牛顿力学 哈密尔顿 力学 拉格朗日力学 量子力学-概述说明以及解释
力学牛顿力学哈密尔顿力学拉格朗日力学量子力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对整篇文章的主题进行简要介绍，为读者提供背景信息和基本了解。
以下是一个可能的概述部分的内容:引言:力学是自然科学中研究物体运动规律的一个重要分支。
它涉及到如何描述、分析和预测物体在受力作用下的运动状态。
牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学是力学领域的几个重要理论体系，它们对于我们理解和解释物质世界中的运动现象具有重要意义。
牛顿力学是经典力学的基础，由伊萨克·牛顿在17世纪提出。
它通过牛顿三定律和牛顿运动定律，描述了宏观物体受力运动的规律，并对大多数日常物理现象提供了简单而直观的解释。
哈密尔顿力学是经典力学发展的重要阶段，由威廉·哈密尔顿在19世纪提出。
它通过哈密尔顿原理和哈密尔顿方程，以广义坐标和广义动量为描述变量，建立了描述物体运动的一种更为普遍和优雅的数学形式。
拉格朗日力学是另一种重要的经典力学形式，由约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出。
它通过拉格朗日方程和虚功原理，利用拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，适用于多体系统和复杂的约束情况。
量子力学是20世纪物理学的重大突破，研究微观领域中的粒子行为。
它提出了波粒二象性和薛定谔方程，对微观粒子的运动和性质进行了深入研究。
量子力学的基本概念和数学形式与经典力学截然不同，为我们理解微观世界的奇特现象提供了新的视角。
本文旨在探讨牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学这四个力学理论的基本原理和应用。
通过对这些理论的比较和分析，我们可以更全面地了解力学在不同尺度和领域中的应用，以及它们对我们对物质世界的理解和探索的贡献。
在结论部分，我们将对力学的发展和未来的展望进行综合总结。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：首先，文章将按照牛顿力学、哈密尔顿力学、拉格朗日力学和量子力学的顺序进行组织。
电动力学课程教学大纲
电动力学课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：电动力学所属专业：理学专业课程性质：基础课学分：4（二）课程简介、目标与任务；电动力学是宏观电磁现象的经典理论，是研究电磁场的基本属性、运动规律以及它与带电物质之间相互作用的一门重要基础理论课。
电动力学是物理学科的一门重要基础理论课，是物理学的“四大力学”之一。
基本目标：1. 掌握处理电磁问题的一般理论和方法2. 学会狭义相对论的理论和方法学习目的与要求：1. 通过学习电磁运动的基本规律，加深对电磁场基本性质的理解；2. 通过学习狭义相对论理论了解相对论的时空观及有关的基本理论；3. 获得在本门课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力；4. 为学习后续课程和独力解决实际问题打下必要的基础。
为了达到以上目的和要求，在教材内容和课程设置中应注意以下问题：1. 由于本课程是理论物理课程的一部份，因而在要注意与研究生课程的衔接，尽量使这二者有机结合。
介绍麦克斯韦方程组的相对论形式时，本课程主要介绍物理量和方程如何从三维过渡到四维空间的表述形式。
结合科研工作，我们将从更深知识层次的广义相对论、微分几何角度来阐述狭义相对论时空观和Maxwell方程组的四维张量表述。
2. 详细阐述如何把学过的数理方程知识用于解决实际物理问题，即求解一定边界条件下静电势和磁矢势所满足的偏微分方程，达到提高学生分析和解决问题的能力。
3. 在电动力学课程中，讨论了如何从经典物理过度到相对论物理，因此，在介绍这些内容时要从相对论时空观上加以阐述，以使学生真正掌握狭义相对论的物理精髓，达到培养学生抽象思维的目的。
4. 适当介绍一些与课程相关的科研前沿知识，如A-B效应，超导体的磁通量子化，超颖材料（隐身材料），高维时空中的电磁理论（库伦定律），电磁与引力的统一（Kaluza-Klein理论），额外维与膜世界理论等以开阔学生的眼界。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程：高等数学矢量分析、数学物理方法、电磁学关系：其中高等数学矢量分析和数学物理方法是电动力学的数学基础，电磁学是电动力学的物理基础，电动力学在电磁学的基础上系统阐述电磁场的基本理论，并进一步在狭义相对论框架下讲述电磁场的四维协变规律。
在电磁场中带电粒子的正则动量p和哈密顿量h的新表述
在电磁场中带电粒子的正则动量p和哈密
顿量h的新表述
在电磁场中，带电粒子的正则动量和哈密顿量是两个重要的物理量，它们有助于描述粒子在电磁场中的运动。
在过去，正则动量和哈密顿量是相互独立的物理量，研究者们在电磁场中不能将它们结合起来。
但是，最近研究者们发现，利用哈密顿量可以更好地描述在电磁场中带电粒子的正则动量。
在电磁场中，带电粒子的正则动量p可以用哈密顿量h表示，其公式为：p=h/c，其中c是光速。
这种新的表述方式消除了正则动量和哈密顿量的独立性。
按照这种新的表述，正则动量被视为哈密顿量的一种特殊形式，它可以在电磁场中直接用哈密顿量来表示。
这种新的表述方式改变了研究者们研究电磁场中带电粒子的方法，这种新的表述方式使研究者们可以更加简单、有效地研究电磁场中带电粒子的正则动量。
此外，这种新的表述方式使研究者们可以更加清晰地理解带电粒子在电磁场中的运动，这有助于更好地利用电磁场。
同时，由于这种新表述方式，研究者们可以更加精确地研究电磁场中带电粒子的正则动量，有助于更准确地描述粒子在电磁场中的运动。
总的来说，通过新的表述方式，研究者们能够更好地描述电磁场中带电粒子的正则动量和哈密顿量，为研究电磁场中带电粒子的运动提供了新的突破和更多的可能性。
哈密顿量表达式
哈密顿量表达式哈密顿量是描述量子力学中经典与量子物理学变量演化的重要工具。
它可以用于描述系统的状态随着时间的演化，因此对于研究系统演化的过程具有重要的作用。
哈密顿量的表达式取决于系统的性质和考虑的相互作用。
下面我们将对哈密顿量的表达式进行详细说明。
哈密顿量的基本表达式为：H = T + V其中H表示系统哈密顿量，T为系统的动能（包含平移动能和转动动能），V为系统的势能。
在量子力学中，动能T的表达式可用薛定谔方程得到：T = -h^2/2m ∇^2-h为普朗克常数，m为粒子质量，∇^2为拉普拉斯算符。
这里的T表达了粒子的动能，是一个二次型式的表达式。
由于量子力学中的不确定性原理，动量p 和坐标x无法同时测定，因此T的表达式使用拉普拉斯算符表示。
V表示系统的势能，可以采用不同形式，例如：1. 均匀电场中的带电粒子的哈密顿量表达式H = p^2/2m + qEx其中q为电荷量，E为电场强度。
2. 一维谐振子的哈密顿量表达式H = p^2/2m + 1/2kx^2其中k为劲度系数。
3. 电子自旋-轨道耦合系统的哈密顿量表达式H = p^2/2m + V(r) + α(L·S)其中V(r)为电子在电场中的势能，α为自旋-轨道耦合常数，L为轨道角动量，S 为自旋角动量。
总的来说，哈密顿量的表达式取决于所考虑的系统和相互作用。
对于简单的系统，可以直接使用基本的哈密顿量表达式，而对于复杂的系统需要考虑更多的因素，并采用更加细致的模型进行计算。
哈密顿量在研究各种物理系统中非常重要，可以在很大程度上帮助我们理解自然界的各种现象。
电磁场拉格朗日量密度 -回复
电磁场拉格朗日量密度-回复电磁场的拉格朗日量密度是描述电磁场运动的一个重要概念，它在理论物理学中发挥着重要的作用。
在本文中，我们将逐步讨论电磁场拉格朗日量密度的含义、形式以及它的基本性质。
首先，我们需要了解什么是拉格朗日量。
拉格朗日量是描述物理系统的一个函数，通常由系统的动力学变量和它们的导数构成。
在量子场论中，拉格朗日量描述了场的运动方程。
对于电磁场而言，拉格朗日量密度可以表示为一个标量函数，记作\mathcal{L} 。
该函数是电磁场的空间坐标和时间的函数。
电磁场的拉格朗日量密度包含了电磁势和电磁场强度。
接下来，我们将讨论电磁场拉格朗日量密度的形式。
根据电磁场的基本定律和电磁场的动力学方程，电磁场的拉格朗日量密度可以写成如下形式：\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}其中，F_{\mu\nu} 为电磁场张量，F^{\mu\nu} 为其对偶张量。
电磁场张量取决于电磁场的强度和势，这些量可以通过电磁场的四势A_{\mu} 导出，其中\mu 和\nu 表示四维时空坐标指标。
电磁场张量的具体表达式为：F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu}F^{\mu\nu} =\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}其中，\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} 为四维时空的Levi-Civita符号。
通过这些表达式，我们可以得到电磁场的拉格朗日量密度。
在了解了电磁场拉格朗日量密度的形式之后，我们将讨论它的基本性质。
首先，电磁场拉格朗日量密度是洛伦兹不变的，也就是说它在洛伦兹变换下保持不变。
这是因为电磁场张量和电磁势在洛伦兹变换下具有相同的变换性质。
其次，电磁场拉格朗日量密度可以导出电磁场的运动方程。
第九讲 拉格朗日-哈密顿力学
牛顿世界观
牛顿的困惑：为什么行星能够保持圆周运动？什么是第一推动？
这个问题带着他走向了神学。
“牛顿一脚把上帝踢出了
太阳系，但还让他临走前 推了太阳系一把。”
康德，“星云假说”
“在这个世界上只有两种 东西最能震撼人们的心 灵，一是我们内心崇高 的道德；二便是我们头 顶上灿烂的星空。”
S + H (q, p,t) = 0 t
简化的偏微分方程
经典力学达到巅峰
牛顿世界观
➢18世纪后整个自然科学都走上牛顿指引的道路。 ➢“自然哲学的全部任务看来就在于从各种现象来研究各种自然之
力，而后用这些力去论证其他的现象” ➢不同领域均发生了力学化：天体力学、流体力学、电动力学。 ➢直到19世纪末，整个自然科学可以说就是力学。
哈密顿力学
经典力学体系：拉格朗日-哈密顿力学
标准模型的拉格朗日量
哈密顿力学
经典力学体系：拉格朗日-哈密顿力学
哈密顿作用量 S = t2 Ldt t1
哈密顿量 H (q, p,t) = T +U
H ( p, q,t) = piqi − L
i
哈密顿方程
q=
H p
p
=
−
H
两个常微分方程
q
哈密顿-雅可比方程
小时绕地球一周会变成常识？ • 有没有可能，我们目前的世界观也是错误的？或者在我们的子
孙看来，我们的观念是陈旧而且诡异的？
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19世纪末
伽利略：《两门新科学的对话》
运动学
材料的强度
一般力学 牛顿运动定律
胡克定律
牛顿流体
电磁场
拉格朗日量
拉格朗日量拉格朗日量（Lagrangian）是物理学和数学中一种重要的量，用于描述系统的动力学性质。
它是由意大利数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪中期提出的，被广泛应用于力学、量子场论和其他各个领域。
拉格朗日量是一种能量的函数，它描述了系统中各个粒子或场的运动方式。
通常，拉格朗日量由系统的广义坐标和广义速度来确定。
广义坐标用来描述系统自由度的个数，而广义速度则表示这些自由度的变化率。
通过构建拉格朗日量，我们可以得到系统的运动方程，从而推导出系统的行为。
在经典力学中，拉格朗日量的构建涉及到系统的动能和势能。
动能描述了系统中各个粒子的运动能量，而势能则表示它们之间的相互作用能量。
拉格朗日量等于动能减势能，从而可以将系统的运动方程写成拉格朗日方程的形式。
这种方法被称为拉格朗日力学，它比牛顿力学更加普适，适用于复杂系统的分析。
在量子场论中，拉格朗日量则用来描述场的运动。
例如，最著名的拉格朗日量之一是标准模型的拉格朗日量，它包括了描述粒子与相互作用的项。
通过利用拉格朗日量可以得到场的运动方程，从而研究粒子的性质和相互作用。
除了经典力学和量子场论，拉格朗日量还在其他领域有着广泛的应用。
例如，在经济学中，拉格朗日量可以用来描述经济系统的最优化问题。
在控制论中，拉格朗日量也可以用来描述控制系统的优化问题。
因此，拉格朗日量可以说是一种统一的数学工具，可以应用于各个领域，从而揭示出系统的内在规律。
总结起来，拉格朗日量是一种重要的量，用于描述系统的动力学性质。
它可以通过构建系统的动能和势能得到，并用于推导系统的运动方程。
拉格朗日量在经典力学、量子场论以及其他领域都有着广泛的应用，是一种十分有用的工具。
通过研究拉格朗日量，我们可以更好地理解系统的行为，为科学和工程技术的发展做出更大的贡献。
带电粒子在电磁场中运动问题 协变形式下的作用量原理
其中
ˆ xp ˆ ˆ l yp i x y i z y x y x ( x 2 y 2 ) ~ a 2 ~ (108 cm) 2
实验室中的磁场强度 B( 105 Gs)
协变形式下的 欧拉方程 广义动量
L d L u L 2 L-u 0 x d u u c
L' L u L P ' 2 L-u u u c u
由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂。 下图是钠原子光谱黄线在强磁场中的正常Zeeman分裂。
无外磁场
加强外磁场
dp q v v dt t
得到：
d p q q v dt
定义广义势能
U q v
拉格朗日函数和哈密顿函数
由广义势能和拉格朗日函数的定义L=T-V
L
理论力学期末报告
带电粒子在电磁场中运动问题 协变形式下的作用量原理
物理科学学院 2012级伯苓班 杨麒麟 1210261 2014年01月12日
1、重温经典力学体系下带电粒子在电 磁场中的拉格朗日函数 2、协变形式下的作用量原理和拉格朗 日函数推导及规范变换
3、量子力学中正常Zeeman效应
由欧拉方程可知：
将以上各式代入
L d L u L 2 L-u 0 x d u u c
协变形式下的作用量原理
,并对上页等式左右两侧分别乘以u 用广义速度u 表示x d L L 2 d c u u d d u x 对两侧积分，可得 L c 2 =u -L u
电磁辐射拉格朗日量
电磁辐射拉格朗日量电磁辐射是指由电磁场产生的能量传播，包括电磁波在空间中的传播和辐射。
它是一种无形的能量，可以在真空中传播，对人类和环境都具有一定的影响。
电磁辐射的拉格朗日量是描述电磁场的重要概念之一。
拉格朗日量是描述物理系统的能量和运动规律的函数，通过对拉格朗日量的变分可以得到物理系统的运动方程。
对于电磁场而言，其拉格朗日量可以通过电磁场的能量密度和磁场的矢量势来表示。
电磁场的能量密度是描述电磁辐射能量分布的重要物理量。
它表示单位体积内电磁辐射的能量，可以用来描述电磁辐射的强度。
电磁场的能量密度与电场强度和磁场强度的平方成正比，即能量密度等于电场强度的平方加上磁场强度的平方。
能量密度越大，说明电磁辐射的能量越强。
磁场的矢量势描述了电磁场的空间分布特征。
通过对磁场的矢量势的变分可以得到磁场的运动方程。
磁场的矢量势与电场强度和磁感应强度之间存在着复杂的关系，通过对磁场的矢量势的变分可以得到麦克斯韦方程组，进而描述电磁场的传播和辐射规律。
电磁辐射的拉格朗日量可以通过将电磁场的能量密度和磁场的矢量势写成拉格朗日量的形式来表示。
通过对拉格朗日量的变分，可以得到电磁场的运动方程和辐射规律。
这些方程和规律描述了电磁辐射的行为和特性，对于研究和应用电磁辐射具有重要的意义。
电磁辐射广泛应用于通信、无线电、雷达、电视、手机等领域。
电磁辐射的强度和频率对人体和环境都具有一定的影响。
低频电磁辐射可以引起人体的电磁感应，高频电磁辐射可以产生热效应和生物效应。
因此，对电磁辐射的研究和应用需要考虑其对人体和环境的潜在影响，采取合理的防护和控制措施。
在电磁辐射的研究和应用过程中，需要对电磁场的能量分布和辐射特性进行分析和评估。
通过对电磁辐射的拉格朗日量的研究，可以揭示电磁辐射的物理本质和规律，为电磁辐射的研究和应用提供理论依据和技术支持。
电磁辐射的拉格朗日量是描述电磁场的重要概念之一。
通过对电磁场的能量密度和磁场的矢量势的变分，可以得到电磁场的运动方程和辐射规律。
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3，哈密顿形式
p 对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量
i
定义为 Pi
L
•
•
qi
则系统的哈密顿量为： pi qi L
i
用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式：
（10） （11）
•
qi
H pi
（12） 和
•
Pi
qi
（13）
对于电磁场中的带电粒子运动情形，由（8）式，正则动量P是：
Pi
m0c2
v2 1 c2
i vi v •
所以拉格朗日量L为：
L m0c2
1
v2 c2
q
v•
（7） （8）
d
则运动方程（7）可以写为拉格朗日形式：
dt
L vi
L xi
0
（9）
对L的几点说明：
① 把（8）式乘以
1
v2 c2
得： L m0c3 q U
上式右边是洛伦兹不变量，因此上式左边也是洛伦兹不变量。
则哈密顿量H与Pu的第四分量联系：
P
P，i c
（17） （18）
不难验证哈密顿方程（12）和（13）相当于原运动方程（1）
4，非相对论情形
当v<<c时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形 下相应的量。
拉格朗日量（8）式当v<<c时变为：
L
1 2
m0v2
q
v
•
哈密顿量（16）式变为：
（4）
把（3）和（4）代入（1）式中，得
dp dt
q
v
•
t
v
•
dx • 由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量
因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：
（5）
d v •
（6）
dt t
所以（5）可写为： d p q q v •
dt
动量p和矢势A可以写为
pi
vi
dp 电磁场中的带电粒子的运动方程为： q E v B
dt
（1）
其中粒子的机械动量p是：p
m0v
1
v2 c2
（2）
现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程（2）化为拉格朗日形式。
由1得：E+v B v （3）
t 因为算符不作用v的函数上，
则：v v • v •
d
对保守力系来讲：
dt
T
•
q
T
q
V q
1, 2,..., s
•
q 因为势能V中一般并不包含广义速度 ，所以令L=T-V来代表体系的动能与
势能之差。
d
所以得到保守力系下的拉格朗日方程为：
dt
L
•
q
L
q
0
1, 2,..., s
在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保守力系下的拉格 朗日方程。
因为K
1
v2 c2
q
E
v
B
所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。
综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为： dp q E v B
dt
2，拉格朗日形式
在理论力学中，拉格朗日的基本形式
为：
d
T
dt
•
q
T
q
Q
1, 2,..., s
T
•
q 其中
•
q
为广义动量， 为广义速度，Qa为广义力。
电磁场中带电粒子的拉格朗日量和 哈密顿量
1，电磁场中带电粒子的运动方程 2，拉格朗日形式 3，哈密顿形式 4，非相对论情形
1，电磁场中带电粒子的运动方程
在相对论力学中，力学基本方程可写为协变式：K
dp dt
其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维矢量。 在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上的四维力
矢量
K
K
,
i c
K
•
c
所以，在相对论协变的力学方程包括：k dp ，k • v dw
dt
dt
上式可改写为： 1 v2 • k dp ,
c2
dt
1
v2 c2
•k
•v
dw dt
定义：F
1
v2 c2
K
相对论力学方程为F F
v
ห้องสมุดไป่ตู้
dp dt dW
dt
在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为： F q E v B
L vi
m0vi
1
v2 c2
qi
即 P p q
（14）
由（11）式，带电粒子的哈密顿量为: P • v L
m0c2 q
1
v2 c2
但是H应该用正则动量P而不是用速度v表出。所以哈密顿量表示为：
P q2 c2 m02c4 q
（15） （16）
P 引入四维正则动量：
p
q
（19）
1 P q2 q
2m0
（20）
可以看出H和L仍然满足关系式（11），
P•vL
所以非相对论的情形下，拉格朗日量和哈密顿量即为分析力学中的情形。
U ② 自由粒子的状态由速度确定，所以只能由协变量四维速度
决定。
L 因此
v c 只能是一个洛伦兹不变量，当
时，则自有粒子的拉格朗日
函数为：L m0c2
1
v2 c2
③ 当粒子在电磁场中运动时，除了U
之外，还依赖于四维势 ，则它们可以
U 构成一个不变量
量L为（8）
，因此，当v<<c时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗