MATLAB在复变函数与积分变换里的应用
利用MATLAB进行复变函数的主要运算
利用MATLAB进行复变函数的主要运算摘要复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换1.复数的生成：Z= a + b*I;z = r*exp(i*theta);2.复数的运算：Real（z）imag（z）；3．共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x) 返回复数x 的共轭复数4．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式abs(x)复数x 的模angle(x)复数x的辐角5．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。
6．复数的平方根复数的平方根运算由函数sqrt实现。
调用形式sqrt(x)返回复数x的平方根值。
7．复数的幂运算复数的幂运算的形式为x^ n结果返回复数x的n次幂。
8.复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log( x) 返回复数x的以e为底的对数值。
9．复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
10.留数在MATLAB中可用如下方法：假设以知奇点a和m重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a的一级极点的留数Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a的m级极点的留数11. taylor 泰勒级数展开taylor( f )返回f 函数的五次幂多项式近似。
2---浅谈Matlab在_复变函数_教学中的应用
2---浅谈Matlab在_复变函数_教学中的应⽤1、引⾔复变函数理论是数学的⼀个重要分⽀，是很多专业必修的基础课。
但由于课程本⾝的特点，在实际教学中，很多学⽣认为该门课程抽象、枯燥、难以理解。
M atlab 是美国MathWorks 公司20世纪80年代中期推出的数学软件，其优秀的数值计算能⼒和卓越的数据可视化能⼒使其很快在数学软件中脱颖⽽出。
利⽤Matlab 可以实现复变函数的数据计算并可以⽅便地将函数及表达式以图形化的形式显⽰出来，使数据关系更加清晰明了。
本⽂以⼏个实例来讨论M atlab 在《复变函数》教学中的应⽤。
2、Matlab 在复变函数论教学中的应⽤实例(1)复变函数的图形化表⽰Matlab 可以将复变函数以图形化的形式显⽰出来，便于学⽣加深对复变函数内容的理解。
图1为复变函数sin(z)的图像，x 轴和y 轴分别表⽰变量的实部和虚部，纵轴表⽰宗量的实部，颜⾊表⽰宗量的虚部，虚部数值⼤⼩由右侧的颜⾊条表⽰。
从图中可以清楚的看出，函数sin (z)的实部和虚部在⼀定的区域中都可以⼤于1，因⽽其模的数值也可以⼤于1。
相对于函数的数学公式表⽰⽅法，图形化的表⽰更直观，更易于理解和记忆。
图1复变函数sin(z)的图形图2复变函数ln(z)的图形⼀图2是函数lnz 的图形，图中底⾯上的两个坐标分别是变量的实部和虚部，纵轴同样表⽰函数lnz 的实部，颜⾊表⽰lnz 的虚部。
由于lnz 是多值函数，对于同⼀个实部，虚部可以相差2π的整数倍，所以我们⽤四个颜⾊不同的图形表⽰其中的四个分⽀。
这四个图形形状完全⼀样，区别仅在颜⾊不同，表⽰虚部相差2π的整数倍。
需要说明的是，图中⾕底即是ln0的位置，虽然图形上有数值显⽰，但实际并⽆意义，这与计算机的数据处理过程有关。
还可以利⽤纵轴表⽰函数lnz 的虚部，⽤颜⾊表⽰实部，如图3所⽰。
图3复变函数ln(z)的图形⼆(2)幂级数展开式讨论利⽤Matlab 也可以讨论幂级数展开问题。
MATLAB在复变函数与积分变换里的应用
MATLAB在复变函数与积分变换里的应用目录1复数的生成 (1)2 复常数的运算 (1)2.1—2.3 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1)2.4—2..8两个复数之间进行乘除法运算、幂运算、指数对数运算及方程求根 (2)2..9MA TLAB极坐标绘图 (6)3 泰勒级数的展开 (3)4 留数计算和有理函数的部分分式展开 (4)4.1 留数计算 (4)4.2 有理函数的部分分式展开 (5)5 Fourier变换及其逆变换 (6)6 Laplace变换及其逆变换由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系 (7)参考文献 (10)复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier 变换、Laplace变换和图形绘制等几个问题.可以使用MATLAB来进行复变函数的各种运算，还可以使用matlab进行Taylor级数展开以及Laplace变换和Fourier变换。
1.复数的生成复数的生成有两种形式。
a: z=a+b*iexample1:>> z=2+3*iz =2.0000 +3.0000ib: z=r*exp(i*theta)example2: >> z=2*exp(i*30)z =0.3085 - 1.9761i2.复数的运算2.1、复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real(x)返回复数的实部imag(x)返回复数的虚部example3: >> z=4+5*i;>> real(z)ans =4>> imag(z)ans =52.2、共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x)返回复数的共轭复数example4: >> z=4+5*i;>> conj(z)ans =4.0000 -5.0000i2.3复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。
【毕业论文】MATLAB在复变函数课程中的实现
摘 要《复变函数》是电子、信号、通讯、控制系统等学科必备的基础课，又是数学分析的后继课,它的理论和方法深刻渗透到代数学、解析数论、微分方程、计算数学等数学的各个分支，有着十分重要的意义。
同时，MATLAB是我专业的重要课程之一，作为数值计算型的数学类科技应用软件，它具有数据分析、可视化及应用程序设计等功能，以成为数学分析、复变函数等课程的基本应用工具。
本论文用MATLAB软件对《复变函数》中的留数、有理分式展开、Taylor级数展开等问题进行求解。
作为复变函数课程中的主要学习部分，三者在复变函数中有着重要的地位。
通过计算机实现对复变函数主要计算问题的实践，体现利用MATLAB软件求解复杂数学理论问题的规范性、简洁性、灵活性。
同时，寓理论教学、实验演示于一体，使一些抽象的知识或运算能用可视化的图形表示，达到传统理论教学无法实现的效果，并利用软件对自己的设计方案进行分析，进而加深对复变函数理论知识的理解。
通过复变函数的系统性和严谨性，为我们进一步系统地学习复变函数知识打下良好的基础。
关键词：留数，Taylor级数，洛朗级数，MATLABAbstract"Complex Function" not only is the foundational course of electronic, signal, communication, control systems and other disciplines, but also the follow-on course of Mathematical analysis. "Complex Function", whose theory and methods have infiltrated into the various branches of algebra, analytic number theory, differential equations, mathematical calculations, is of great significance. At the same time, MATLAB is one of the most important courses of information and computing science. As the mathematic technology application software of numerical calculation, it has the functions of data analysis, visualization and application program design, and has become a basic application tool of mathematical analysis course and complex function course. This thesis discussed residues, Taylor Series, Fourier transform and linear differential equation of complex function with the MATLAB. As the main part in the course of complex function, the three parts play the significant role in complex function. So that students can solve the main calculation problems of complex function with the computer after they have the understanding of theoretical, which shows MATLAB software’s normative, simplicity, flexibility when solving complex mathematical academic problems. At the same time, it makes some abstract knowledge or calculations can be represented by visual graphics, and curves with the combination of academic teaching and practice demonstration, and hit the target that the traditional theory of teaching can not achieve. Besides, it analyses the designed project with software, then we can learn more about the understanding of complex function theoretical knowledge. According to the systematic and rigorous complex function, we will have a better foundation of studying Complex Function.Key words: residues, Taylor series, Laurent series, MATLAB目 录第一章前言 (1)1.1 复变函数的发展及其应用 (1)1.2 MATLAB软件的发展及其应用 (2)1.3 本论文研究的主要内容和意义 (2)1.4 本论文应解决的主要问题 (3)第二章复变函数基本知识 (5)2.1 有理函数部分分式展开 (5)2.2 泰勒级数和洛朗级数 (5)2.3 留数及留数的应用 (7)2.4 MATLAB画复变函数图形指令 (9)第三章计算与程序实现 (11)3.1 有理函数部分分式展开和留数计算 (11)3.2 泰勒级数展开与洛朗级数展开 (19)3.3 留数的应用 (19)第四章结论与展望 (26)4.1 结论 (26)4.2 对进一步研究的展望 (26)参考文献 (27)致 谢 (28)附 录 (29)第一章 前 言1.1 复变函数的发展及其应用复变函数论产生于十八世纪。
复变函数中MATLAB的应用
MATLAB在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。
1 复数和复矩阵的生成在MATLAB中，复数单位为)1ji，其值在工作空间中都显示为=sq rt=(-0+。
.1i00001.1 复数的生成复数可由iz+=。
a=语句生成，也可简写成biaz*+b另一种生成复数的语句是)exp(i=，也可简写成)rz*=，thetaexp(theta*irz*其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。
（1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如：)]iA*ii*=+3[i*-+*2523exp(336),exp(3,,9（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如：re=；rand)2,3(im i re com *+=]5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i ii i ii com ++++++=注意 实、虚矩阵应大小相同。
2 复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。
调用形式 )(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2．共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式)(x conj返回复数x 的共轭复数3．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调用形式 )(x abs 复数x 的模)(x angle复数x 的辐角例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1）i231+ （2）i i i --131 （3）ii i 2)52)(43(-+（4）i i i +-2184由MATLAB 输入如下：]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[i i i i i i i i i i a +*--*=--+==ai iii0000.30000.10000.135000.35000.25000.11538.02308.0-----)(a real %实部=ans0.23081.5000 –3.50001.0000)(a imag%虚部=ans–0.1538–2.5000 –13.0000 –3.0000)(a conj%共轭复数=ans0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i–3.5000+13.0000i1.0000+3.0000i)(a abs%模=ans0.27742.9155 13.4629 3.1623)(a angle%辐角=ans–0.5880–1.0304–1.8228-1.24904．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用【摘要】MATLAB在复变函数教学中扮演着重要的角色。
本文首先介绍了MATLAB在教学中的重要性和复变函数教学的特点，然后详细探讨了MATLAB在复变函数图像绘制、数值计算、符号计算、实例分析和数据分析中的应用。
通过这些具体案例，可以看出MATLAB在复变函数教学中的多方面作用。
文章总结了MATLAB在复变函数教学中的重要性，并指出MATLAB的应用提升了教学效果。
未来，MATLAB在复变函数教学中的应用还有待进一步探索和提升，可以为学生提供更加直观、灵活和高效的学习体验。
MATLAB的应用有望在复变函数教学中取得更大的突破和发展。
【关键词】MATLAB, 复变函数, 教学, 图像绘制, 数值计算, 符号计算, 实例分析, 数据分析, 教学效果, 未来发展。
1. 引言1.1 MATLAB在教学中的重要性MATLAB在复变函数教学中不仅可以提高学生的学习效率，还能够拓展他们的数学思维和计算能力。
将MATLAB作为教学工具引入复变函数课程中，对于学生的学习和发展具有重要意义。
1.2 复变函数教学的特点复变函数是数学分析中的一个重要分支，包括解析函数、共轭函数、共轭解析函数等概念。
复变函数教学在数学及工程类专业中占据着重要的地位，因为它涉及到很多实际问题的解决办法，如电路分析、信号处理、图像处理等。
复变函数的特点主要表现在以下几个方面：1. 抽象性高：与实数函数不同，复变函数的定义域和值域都是复数集合，这使得复变函数的概念和性质更加抽象和深奥。
学生往往难以直观理解复变函数的含义和应用。
2. 几何意义强：复变函数可以看作平面上的点在复平面上的映射，而复平面是由实数轴和虚数轴组成的，因此复变函数的图像常常与平面几何有关，如曲线、区域、奇点等概念在复变函数中具有重要意义。
3. 计算方法多样：复变函数的计算方法包括解析计算、数值计算、符号计算等多种方式，学生需要掌握多种计算方法，并能灵活运用于实际问题中。
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用作者：韩英李雁飞汪贤华弓亚鑫舒心来源：《科技资讯》 2014年第32期韩英1 李雁飞2 汪贤华1 弓亚鑫2 舒心2(1.北京石油化工学院数理系;2.北京石油化工学院信息工程学院北京 102617)摘要:复变函数课程的理论比较枯燥。
论文设计了MATLAB软件在复变函数教学中的几个典型案例,将MATLAB引入课堂教学,通过数学实验,让学生感受“看得见”的数学,使得复变函数的理论学习达到事半功倍的效果。
关键词:MATLAB 复变函数泰勒级数洛朗级数中图分类号:O174.55 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2014)11(b)-0121-03“复变函数”课程是通信工程、电子工程、自动化等工科专业必修的专业基础课,该课程理论性强、内容抽象,工科学生普遍感到学习困难。
为了解决这个问题,我们在复变函数的教学中引入MATLAB实践内容,使得复变函数的教学理论与实验相结合,教与学相结合,引导学生利用软件对教学内容进行仿真,激发其学习积极性与主动性,提高其对于复变函数内容的理解。
该文就MATLAB在复变函数中的几点应用加以分析。
通过计算机实现对复变函数主要计算问题的实验,达到传统理论教学无法实现的效果。
1 利用MATLAB进行复变函数的简单运算复数的表示式突出三角表示法和指数表示法,而这两种表示法中辐角的计算公式较复杂,利用MATLAB可以把复数的实部,虚部,共轭复数,辐角,模等利用简单的命令求出。
解:在MATLAB工具窗输入以下矩阵A=[((1+i)*(2-i)^2*(3-i)^3)/((3+4)^4*(2+i)^5) i^i i^(2^1/2) (-8)^(1/3) log(1+i)]A= -0.0016+0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000+1.0000i 1.0000+1.7321i 0.3466+0.7854i>>real(A)-0.0016 0.20791.00000.3466>> imag(A)ans = 0.00051.00001.73210.7854>> angle(A)ans = 2.85781.57081.04721.1552>> abs(A)ans = 0.00170.20791.00002.00000.8585>> conj(A)ans=-0.0016-0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000-1.0000i 1.0000-1.7321i 0.3466-0.7854i用MATLAB可直接计算出复数的四则运算和初等函数的值。
MATLAB在复变函数中的应用 ppt课件
0.9501 + 0.4565i 0.4860 + 0.4447i 0.2311 + 0.0185i 0.8913 + 0.6154i 0.6068 + 0.8214i 0.7621 + 0.7919i
4
2 复数的运算
2.1 复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角
1.复数实部和虚部
real(X) 返回复数X的实部
fourier(f,v)=F(v)=int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf) ➢ F=fourier(f,u,v): 以v代替x且对u积分。且有
fourier(f,u,v)=F(v)=int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf)
% complex08.m syms s v w x F1=fourier(1/t) F2=fourier(exp(-x^2),x,t) F3=fourier(exp(-t)*sym(‘Heaviside(t)’),v) F4=fourier(diff(sym(‘F(x)’)),x,w)
MATLAB在复变函数与积分变换课程教学中的应用_陈静
河南机电高等专科学校学报 Journal of Henan Mechanical and Electrical Engineering College
Vol． 19 №． 5 Sep． 2011
MATLAB
*
在复变函数与积分变换课程教学中的应用
陈 静，段振辉
=
可知 z = 0 是 3 级极点，z = 1 是 1 级极点。利用
如果存在 m 级极点则有 P（ j） = … = P（ j +数，在 MATLAB 窗口输 1） ，展开式包括以下形式：
* 收稿日期： 2011-05-11 作者简介： 陈静（ 1981-） ，女，河南南阳人，硕士，主要从事应用数学研究。
在复变函数的教学与研究中，对于复变函数的图 形绘制 往 往 繁 冗 复 杂，仅 凭 手 工 很 难 画 出 来。 MATLAB 软件中自带了图像处理工具包，它是由一系列支 持图像处理操作的函数组成的，它囊括了几乎所有主 流的科学计算中所涉及的图像处理功能。借助 MATLAB 的绘图功能，可以快捷、准确地绘出图形，使教学 变得形象、直 观、生 动，有 利 于 学 生 观 察 图 形 的 形 状， 掌握图形的性质。
110
陈静等： MATLAB 在复变函数与积分变换教学中的应用
R（ j） s － P（ j）
+
（
R（ s－
j + 1） P（ j） ）
2
+
…
+
R（ （s
j + m － 1） － P（ j） ） m
例 2 ： 计算函数 f（ z）
=
z2 z3
－ 4z + 2z2
MATLAB在《复变函数与积分变换》中的应用
MATLAB在《复变函数与积分变换》中的应用作者：周后卿徐幼专来源：《电脑知识与技术》2018年第04期摘要：《复变函数与积分变换》是工科类学生的一门重要基础课，既是《高等数学》的后续课程，也是学习其他专业课程的有力工具。
该文探讨如何应用MATLAB辅助《复变函数与积分变换》教学的问题。
关键词：复变函数与积分变换；MATLAB；应用中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）04-0089-03计算机辅助教学在大学数学教学中越来越普遍，利用MATLAB软件，已成为教师的首选。
MATLAB凭借强大的符号运算、大量的函数以及统计、最优化、偏微分方程数值解等工具箱，已经成为运筹学、多元统计、时间序列分析、数字信号处理、动态系统仿真、图像处理、自动控制理论等课程教学中的必备教学工具，深受师生的喜欢和信赖。
在《复变函数与积分逆变换》课程教学中，MATLAB也大有可为，许多内容都可以用到这个软件。
我们通过一些实例，阐述MATLAB在这门课程中的应用。
通过运用这个软件，达到降低内容难度，提振学生学习的士气，帮助学生加深、了解、掌握知识点，培养学生运用软件解决问题的能力。
1 利用MATLAB作图我们知道，MATLAB提供了强大的图形处理和编辑功能，能够将经过数据处理、运算和分析后的结果通过图形的方式直观地进行表示。
作图的原理是先计算离散自变量上对应的函数值，然后将这些点描绘出来；对于连续函数的话，则可以通过微分思想来进行，即不断减小离散点的间隔后，绘制这些数据。
通过MATLAB作图，直观反映函数，把复杂问题简单化，学生容易接受与理解。
例如，在实数域中，对于实变量函数，不妨设正弦函数，它是一个一元函数，它的图形是一条曲线（见图1）。
代码如下：x=0：0.01：2*pi；y=sin（x）；plot（x，y， 'r'）红颜色用“r”表示。
对这个图形，学生很熟悉。
但是，在复数域中，对于复变量函数的图像，到底是啥样？学生不清楚；特别是说不成立，学生更不清楚。
Matlab在复变函数中应用
第9章 Matlab在复变函数中的应用从根本上讲，复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算；介绍留数的概念及Matlab的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开、Laplace变换和Fourier 变换）。
9.1 复数及其矩阵的生成。
在Matlab中，复数的单位为i和j，即：i = j =19.1.1 复数的生成在Matlab中，产生复数的方法有两种：1.由z = x + y*i产生，可简写成z = x + y i ；2.由z = r*exp (i*theta)产生，可简写成z = r*exp (theta i )，其中r为复数z的模，theta 为复数z辐角的弧度值。
9.1.2 复数矩阵的输入Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。
复数矩阵的输入方法有两种：1. 与实数矩阵相同的输入方法（见第1章）2. 将实部、虚部矩阵分开输入，再写成和的形式例9-1>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 复数的运算9.2.1 复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取。
格式：real (z) %返回复数z的实部imag (z) %返回复数z的虚部9.2.2 共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。
格式：conj (z) %返回复数z的共轭复数9.2.3 复向量或复矩阵的转置复向量或复矩阵的转置符合两个规则：1. 符合实矩阵转置原则2. 转置后的元素均为共轭复数格式：Z’%Z的共轭转置例9-2>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i>> A'ans =1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i3.0000 + 8.0000i4.0000 - 9.0000i若要得Z的非共轭转置，可用Z .’或conj (Z’)。
Matlab在复变函数中的应用实验课(0903)
Matlab在复变函数中应用运城学院应用数学系1MATLAB 在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor 级数展开Laplace 变换和Fourier 变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB 来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT –LAB 的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor 展开（Laurent 展开Laplace 变换和Fourier 变换）。
1 复数和复矩阵的生成在MATLAB 中，复数单位为)1(-==sqrt j i ，其值在工作空间中都显示为i 0000.10+。
1.1 复数的生成复数可由i b a z *+=语句生成，也可简写成bi a z +=。
另一种生成复数的语句是)exp(theta i r z **=，也可简写成)exp(i theta r z *=，其中theta 为复数辐角的弧度值，r 为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法。
如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如：)]33exp(23),6exp(9,32,53[i i i i A ***+-*+= 2 复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。
调用形式 )(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2．共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式)(x conj返回复数x 的共轭复数3．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调用形式 )(x abs 复数x 的模)(x angle复数x 的辐角例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角（1）i 231+ （2）i ii --131 （3）i i i 2)52)(43(-+（4）i i i+-2184由MATLAB 输入如下：iiia+iiiii*-+=]---*=1[ii2/)52(),/(21^448^),3(3/12),31/(a=.015385000.2.1--5000--.0-23080000i0000ii.3.3i5000000013..1(areal%实部)ans=0.2308 1.5000 –3.5000 1.0000imag%虚部)(aans=–0.1538 –2.5000 –13.0000 –3.0000)conj%共轭复数(aans=0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i–3.5000+13.0000i1.0000+3.0000iabs%模(a)ans=0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle%辐角(a)ans=–0.5880 –1.0304 –1.8228 -1.24904．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。
复变函数与场论简明教程：复变函数与场论的MATLAB求解
复变函数与场论的MATLAB求解
［例2］ 绘制u(x,y,z)=x2+y2+z2的等值面x2+y2+z2=2， 并绘制其梯度场的梯度矢量。
该方法相当于求出 3 1 的三个根。
复变函数与场论的MATLAB求解
4) 指数、 MATLAB函数exp(z)可以计算z的指数， log(z)可以计算 z以e为底的对数主值， a^b可以计算a的b次幂的主值。 ［例6］ 设a=1－2i， b=5+i， 求ea， ln(a+ib)的主值 以及ii 解
复变函数与场论的MATLAB求解
2) 加、 减、 乘、 除、
设a和b为两复数， n为正整数, 则在MATLAB中，
a+b可以实现复数加法， a－b可以实现复数减法， a*b可以
实现复数乘法， a/b可以实现复数除法, a^n可以计算复数
a的n次幂, a^(1/n)可以计算复数a的n次方根(需要注意的是，
a=1－2i； b=5+i； result=［exp(a)； log(a+i*b)； i^i］
复变函数与场论的MATLAB求解
result = －1.1312 － 2.4717i 1.0986 + 1.5708i 0.2079
复变函数与场论的MATLAB求解
5) 三角函数与反三角函数运算 ［例7］ 设z=1－2i， 求sin(z)， sin(z)/cos(z)， tan(z+2π), arctan(tan(z+10π))以及csc(z) 解
该结果仅对应于
a
1 n
cos
arg(a) 2k
n
i sin
arg(a) 2k
n
在k=0时所对应的根)。
Matlab在复变函数中应用
Matlab在复变函数中应用数学实验(一)西安交通大学理学院二??八年十一月MATLAB在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB来进行复变函数的各种运算;介绍留数的概念及MATLAB的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开和Laurent展开;利用Matlab 实现Laplace变换和Fourier变换。
1 复数和复矩阵的生成i,j,sqrt(,1)在MATLAB中，复数单位为，其值在工作空间中都显示为0，1.0000i。
1.1 复数的生成z,a，b,iz,a，bi复数可由语句生成，也可简写成。
z,r,exp(i,theta)另一种生成复数的语句是，也可简写成z,r,exp(thetai)，其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。
(1)如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵A,[3，5,i,,2，3i,9,exp(i,6),23,exp(33i)]例如: (2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如:re,rand(3,2) ;im,rand(3,2) ;com,re，i,imcom,[0.6602，0.3093i0.3412，0.3704i0.3420，0.8385i0.5341，0.7027i0.2897，0.5681i0.7271，0.5466i]注意实、虚矩阵应大小相同。
2 复数的运算1,复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real(x)x 返回复数的实部imag(x)x 返回复数的虚部2(共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式conj(x)x 返回复数的共轭复数3(复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
Matlab在复变函数中应用技术
MATLA在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT - LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开(Laurent展开Laplace变换和Fourier 变换)。
1复数和复矩阵的生成在MATLAB中，复数单位为i = j = sqrt(-1)，其值在工作空间中都显示为0 1.0000i。
1.1 复数的生成复数可由z =a b i语句生成，也可简写成z =a bi。
另一种生成复数的语句是r exp(i theta)，也可简写成z = r “ exp(theta i)，其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。
(1)如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如：A =[3 5 i, -2 3i ,9 exp(i 6), 23 exp(33i)](2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例如：re 二rand (3, 2);im 二rand (3, 2);com = re i imcom =[0.6602 0.3093i 0.3420 0.8385 0.2897 0.5681i 0.3412 0.3704i 0.5341 0.7027i 0.7271 0.5466i]注意实、虚矩阵应大小相同2复数的运算1 •复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现, 调用形式real (x) 返回复数x的实部imag (x) 返回复数x的虚部2 •共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式conj (x) 返回复数x的共轭复数3. 复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现调用形式abs(x) 复数x的模angle(x) 复数x的辐角例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角(1) 13 2i3i1 -i(3)(3 4i)(2 -5i)2i (4) i8-4i21i由MATL AB输入如real (a) %实部ans 二0.23081.5000 - 3.5000 1.0000imag(a)% 虚部ans --0.1538- 2.5000 - 13.0000 - 3.0000conj(a)%共轭复数ans 二abs(a)% 模ans -0.27742.9155 13.4629 3.1623an gle(a)% 辐角ans 二-0.5880- 1.0304- 1.8228-1.24904. 复数的乘除法复数的乘除法运算由“ /”和“一实现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
MATLAB在复变函数与积分变换里的应用目录1复数的生成 (1)2 复常数的运算 (1)2.1—2.3 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1)2.4—2..8两个复数之间进行乘除法运算、幂运算、指数对数运算及方程求根 (2)2..9MA TLAB极坐标绘图 (6)3 泰勒级数的展开 (3)4 留数计算和有理函数的部分分式展开 (4)4.1 留数计算 (4)4.2 有理函数的部分分式展开 (5)5 Fourier变换及其逆变换 (6)6 Laplace变换及其逆变换由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系 (7)参考文献 (10)复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier 变换、Laplace变换和图形绘制等几个问题.可以使用MATLAB来进行复变函数的各种运算，还可以使用matlab进行Taylor级数展开以及Laplace变换和Fourier变换。
1.复数的生成复数的生成有两种形式。
a: z=a+b*iexample1:>> z=2+3*iz =2.0000 +3.0000ib: z=r*exp(i*theta)example2: >> z=2*exp(i*30)z =0.3085 - 1.9761i2.复数的运算2.1、复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real(x)返回复数的实部imag(x)返回复数的虚部example3: >> z=4+5*i;>> real(z)ans =4>> imag(z)ans =52.2、共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x)返回复数的共轭复数example4: >> z=4+5*i;>> conj(z)ans =4.0000 -5.0000i2.3复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调用形式abs(x)复数的模angle(x)复数的辐角example5: >> z=6+8*i;>> abs(z)ans =10>> angle(z)ans =0.9273Example ：求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数. (1) i347+ (2) 3i e π (3) 3737++i i>> clear>> format rat>> X=[7/4+3i,exp(pi*i/3),i^7+i^(3/7)+3]X =7/4 + 3i 1/2 + 1170/1351i5079/1343 - 561/1490i>> RE=real(X)RE =7/4 1/2 5079/1343>> IM=imag(X)IM =3 1170/1351 -561/1490>> AB=abs(X)AB =5102/1469 1 1448/381>> AN=angle(X)AN =659/632 355/339 -632/6369>> CO=conj(X)CO =7/4 - 3i 1/2 - 1170/1351i 5079/1343 + 561/1490i2.4复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“* ”实现。
example6: >> z1=2+3*i;>> z2=3*exp(pi/4i);>> z12=z1*z2z12 =10.6066 + 2.1213i>> z21=z1/z2z21 =-0.2357 + 1.1785i2.5、复数的平方根复数的平方根运算由函数sprt实现。
调用形式sqrt(x) 返回复数的平方根值example7: >> z=2+3*i;>> sqrt(z)ans =1.6741 + 0.8960i2．6、复数的幂运算复数的幂运算的形式为x^n ，结果返回复数x的n次幂。
example8:>> (-2)^(2/3)ans =-0.7937 + 1.3747i2.7、复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log(x)返回复数x的以e为底的对数值example9: >> z=3+4*i;>> log(z)ans =1.6094 + 0.9273i>> exp(z)ans =-13.1288 -15.2008i2.8、复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
example10: >> solve('x^2+9=0')ans =-3*i3*i2..9MA TLAB极坐标绘图polar指令可以将数据以极座标方式加以绘图调用形式：polar(theta,r) (theta,r)分别代表极座标上的角度及半径值Example：>> t=0:0.01:2*pi;r=sin(2*t).*cos(2*t);polar(t,r) title('Polar plot of sin(2t)cos(2t)')3 泰勒级数的展开3.1 定理1 （泰勒展开定理） 设)(x f 在区域D 内解析，D x ∈0,R 为0x 到D 的边界上各点的最短距离⇒当R x x <-0时，∑∞=-=00)()(n n n x x c x f 为)(x f 在0x 处的泰勒级数. 其中：n c =!1n ()f n ()0x n =0，1，2，……… 用函数taylor 来实现泰勒级数的展开，taylortool 可以进行泰勒级数逼近分析.r = taylor(f,n,v)：符号表达式f 以符号标量v 作为自变量，返回f 的n -1阶泰勒展开式。
r = taylor(f,n,v,a)：返回符号表达式f 在v = a 处的n -1阶泰勒展开式。
example11: 求函数f(x)=sin(x)在x=0的泰勒展开式的8次幂多项式和16次幂多项式，并分别进行泰勒级数逼近分析.>> clearsyms x>> f=sin(x)f =sin(x)>> taylor(f,8)ans =- x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + x>> taylor(f,16)ans =-x^15/1307674368000 + x^13/6227020800 - x^11/39916800 + x^9/362880 - x^7/5040 + x^5/120 - x^3/6 + xtaylortool图例11-1图例11-2example12: 求函数x ex f -=)(在x=0的泰勒展开式的7次幂多项式并进行泰勒级数逼近分析.>> clearsyms x>> f=exp(-x)f =1/exp(x)>> taylor(f,10)ans =- x^9/362880 + x^8/40320 - x^7/5040 + x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1 taylortool图例12-13.2 级数求和函数symsum()来对符号表达式进行求和，其具体用法如下：r = symsum(s,a,b)：求符号表达式s 中默认变量从a 到b 的有限和；r = symsum(s,v,a,b)：求符号表达式s 中变量v 从a 到b 的有限和。
Example13：求下列级数的和（1）13521 (2482)n n -+++++ （2）1111...............31021(21)n n ++++++ （3）2sin sin sin sin ......149x x x x n+++++ >> clearsyms n>> f1=(2*n-1)/2^nf1 =(2*n - 1)/2^n>> f2=1/(n*(2*n+1))f2 =1/(n*(2*n + 1))>> I1=symsum(f1,n,1,inf)I1 =3>> I2=symsum(f2,n,1,inf)I2 =2 - 2*log(2)（1）（2）级数收敛clear>> syms n x>> f3=sin(x)/n^2f3 =sin(x)/n^2>> I3=symsum(f3,n,1,inf)I3 =(pi^2*sin(x))/6该级数是发散的4 留数计算和有理函数的部分分式展开4.1 留数计算定义1 设f(x)在0<x -a <R 解析，即a 是f(x)的孤立奇点，则称积分值i π21⎰cdx x f )(为f(x)关于点a 的留数，记作Res[f(x),a].其中c 为在0<x -a <R 内包含在点a 的任何一条正向简单闭曲线.定理2 设函数f(x)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1,z 2,z 3......,z n 处处解析，c 是D 内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，那么⎰c dx x f )(=i π2∑=n k s 1Re [f(x),z k ]residue 函数可以用来求解分子分母均为多项式的函数。
调用格式：[R,P]=residue （A,B ）其中R 是部分分式的系数数组即留数数组，P 是极点数组。
注意，当函数有重极点时，对同一个极点P ，存在几个展开系数R ，这几个R 中只有与相同极点中的第一个对应的R 是1()Z P --的系数即与极点P 对应的留数，其余的不是留数。
参数A 是由复变函数的分子的系数组成的向量，参数B 是由复变函数的分母的系数组成的向量。
Example14：求函数()f z =321310z z z +-在各极点处的留数 >> clear>> format rat>> a=[1];>> b=[1,3,-10,0];>> [R,P]=residue(a,b)R =1/351/14-1/10P =-52Example15：求函数()f z =3211z z z --+在各极点处的留数 >> clear>> format rat>> a=[1];>> b=[1,-1,-1,1];>> [R,P]=residue(a,b)R =-1/41/21/4P =11-14.2有理函数的部分分式展开利用residuez 函数计算F(z)分子多项式和分母多项式[r,p,k]=residuez(num,den)Example16：将F （z ）用部分分式展开，2310)(2+-=z z z Z F >> num=[0,10];>> den=[1,-3,2];>> [R,P,K]=residuez(num,den)R =10-10P =21K =[]5 Fourier 变换及其逆变换定理3 若f(t)在()+∞∞-,上满足：（1）在任何的有限区间上满足Dirichlet 条件；（2）在无限区间()+∞∞-,上绝对可积（即⎰+∞∞-dt t f )(收敛）：则有ωττωωτd d f e e x j i ⎰⎰+∞∞-+∞∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)(21π=[]⎪⎩⎪⎨⎧-++（在间断点上）在连续点上)0()0(21)()(x f x f x f 定义2 如果函数f(t)满足定理3，由 ⎰⎰+∞∞+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--)(21)(ωττωωτd d f x f e e x i i π (1) 设 ⎰+∞∞--=ττωωτd f F e j )()( (2)则 ⎰+∞∞=-)(21)(ωωωd F t f e t j π (3) (2)式称为)(t f 的傅里叶变换，记为[])()(t f F ℘=ω()ωF 称为)(t f 的象函数，并且这样的积分运算称为取)(t f 的Fourier 变换，式(3)称作)(ωF 的傅里叶逆变换式，记为[])()(1ωF t f -℘=Fw = fourier(ft,t,w)：求时域函数ft 的Fourier 变换Fw ；ft = ifourier(Fw,w,t)：求频域函数Fw 的Fourier 反变换。