小学数学行程问题
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小学数学行程问题
基本公式
一、相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做
相遇问题。它特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题。
相遇问题根据数量关系可分成三种类型:求路程,求相遇时间,求速度。
它们的基本关系式如下:
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
二、追及问题
追及问题的地点可以相同(如环形跑道上的追及问题),也可以不同,但方向一般是相同的。由于速度不同,就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系,常用下面的公式:
距离差=速度差×追及时间
追及时间=距离差÷速度差
速度差=距离差÷追及时间
速度差=快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中,找出两者,然后运用公式求
出第三者来达到解题目的。
三、相离问题
两个运动物体由于背向运动而相离,就是相离问题。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距
离(速度和)。
基本公式有:
两地距离=速度和×相离时间
相离时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相离时间
四、流水问题
顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题,流水问题属于行程问题,仍然利用速度、时间、路程三者之间
的关系进行解答。
船在静水中行驶,单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫做划力;顺水行船的速度叫顺流速度;逆水
行船的速度叫做逆流速度;船放中流,不靠动力顺水而行,单位时间内走的距离叫做水流速度。各种速度的关系
如下:
(1)划行速度+水流速度=顺流速度
(2)划行速度-水流速度=逆流速度
(3)(顺流速度+ 逆流速度)÷2=划行速度
(4)(顺流速度-逆流速度)÷2=水流速度
流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。即:速度×时间=距离;距离÷速度=时间;距离÷时间=速度。但是,河水是流动的,这就有顺流、逆流的区别。在计算时,要把各种速度之间的关系弄清楚是非常必要的。
基础题型
反映时间、速度、距离三者之间关系的应用题一般称为行程问题。行程问题的内容相当广泛,目前小学数学教材中行程问题仅涉及相向运动中的相遇问题。相遇问题是研究两个运动的物体,从两个不同的地方,沿同一条路线同时(或者不同时)出发,作相向运动。因此,它有三种基本形式:
第一是已知甲、乙的速度和相遇的时间,求距离;
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
第二是已知甲、乙的速度和距离,求相遇的时间;
相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
第三是已知距离,相遇时间和甲(或者乙)速度,求乙(或者甲)速度。
甲乙的速度和=总路程÷相遇时间
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
例1一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米。
3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米?
[解]46×3.5+48×3.5
=161+168
=329(千米)。
或(46+48)×3.5
=94×3.5
=329(千米)。
答:甲、乙两个城市的路程有329千米。
[常见错误]
46×3.5+48
=161+48
=209(千米)。
答:甲、乙两个城市的路程有209千米。
[分析]
这是一道相遇问题的基本题,错解中由于审题不严密,误认为只有客车行了3.5小时,货车行了48千米,两车就相遇了,因而产生了错误。如果首先理解甲、乙两城的路程就是客车与货车所行路程的和,然后分别求各自的速度与行驶的时间,就不会出现错误了。
例2两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时,各行了多少千米?
[解]255÷(45+40)
=255÷85
=3(小时)。
45×3=135(千米)。
40×3=120(千米)。
答:相遇时甲车行了135千米,乙车行了120千米。
[常见错误]
(1)255÷(45+40)
=255÷85
=3(小时)。
45×3=135(千米)。
答:相遇时各行了135千米。
(2)255÷(45+40)
=255÷85
=3(小时)。
40×3=120(千米)。
45×3=135(千米)。
答:相遇时甲车行了120千米,乙车行了135千米。
[分析]
解题不完整,答非所问,这是应用题解答经常出现的一种错误,特别是对于粗心大意的学生来说,更是如此。防止粗心大意的办法是要养成检验的良好习惯。
例3 两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行了15
分钟,还要行多少分钟两人可以相遇?
[解][3300-(82+83)×15]÷(82+83)
=[3300-165×15]÷165
=[3300-2475]÷165
=825÷165
=5(分钟)。
答:还要5分钟两人可以相遇。
[常见错误]
(1)(82+83)×15÷(82+83)
=165×15÷165
=2475÷165
=15(分钟)。