《高等数学A习题》PPT课件

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x b 3a
No
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f(x)sixntaxn2x,0x,2Leabharlann 泰勒中值定理0 x
2
tanx 2
N (2)lim(2x) 2o e
Ima x0 g 0x2 f(x)ce oxse2xc2
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自变量 f(x)11令0 x
4
有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理,
⊙熟练掌握L’Hospital法则
3
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
y f (x) 拉格朗日中值定理
1
limf (x) e 2,
x0
f(x)sixntaxn2x,0x,
2
tanx 2
柯西中值自定变量 理 (2)lim(2x)2e
x0
0
x
2
f(x)coxse2xc2
f(x)11令0 x
f ( x)
f(xf )f(0): 0 R
x1 1 x
a
[ b ,)
3a
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当k为何值时,方程 x-lnx+k =0在区间(0,+) 上 例6
(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?
解 记 f (x) 有(1)当0x时ta， xnx1x3 y3ax22bx
f(x)f(x0)f(x0)x(x0)，故
1
D(f),X(x1,x2,,xn)。一、 内容总结 D(f),X(x1,x2,,xn)。二、 作业讲析 D(f),X(x1,x2,,xn)。三、 典型例题讲析 D(f),X(x1,x2,,xn)。四、 练习题
2
内容总结
1、微分中值定理，L’Hospital法则
⊙理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式 ⊙了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的 条件，会用Taylor公式进行近似计算
( 1 )lim sin 2xx2co2s x
x 0
x2sin 2x
由罗尔定理知 (a, b)，使 F(a)F(b)lbn(a)flan(b)f ，即
y 2x5,
或
f (x) 1
即 为原方程的一个实根.
又证 取函数 f (x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.
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下面的证法为什么错了？f (x)在[a, b]上满足拉格
a
注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则.
xx3x2x3o(x3)xx2
lim 3!
bx 021x4
1 x6, 3
2 x3
12
求下列极限：
例5
1
0 x
解
12
2
f(x )f(0 )0
f(a)f(b)(1)lx 0im 1txaxsn2ix1nsxinlx 0ixm s(21ix(nt1axt)na(x1ns1xis)nxi)n
可取 F(x) = (b-x)[(x) -(a)]，利用罗尔定理证明.
证明 令 F(x) = (b-x)[(x) -(a)]，则有F(x)在 [a, b]上连
续、在(a, b)内可导，且有F(a)=F(b) = 0，由罗尔定理知
Vf(x,y,z)xyz (a, b)，使F(a)F(b)lbn(a)flan(b)f ，即 7
可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用
柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用
中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
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x=1为极小值点，又
f(x)
在
(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为 f(x) 在(0,+)内的最
小值，且 fmin= f(1)=1+k
又
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于是 (1)当1+k<0, 即k<-1时, 原方程有两个相异实根；
(2)当1+k=0, 即k=-1时,原方程有唯一的实根；
例2
设 f (x) 在[a, b]上连续、在(a, b)内可导(a >0, b>0),
求证方程
(2)由 xl im x(a1 x1)xl im a1 x1 x1xl im a1 xlnax1(2x12)lna
在(a, b)内至少有一个实根.
分析 不可用介值定理证明
( 不一定连续) f(b)f(a)f()(ab) lnblna
朗日中值定理条件，故有
y0a(3ba)3b(3ba)222ba7 32
又令F(x)=lnx ，它在[a, b]上也满足拉格朗日中值定
理条件，故有
1
Yy2x5(Xx)
两式相除得
1
(2)lim n(an 1),a0 n
即 x 1 a
故 为原方程的一个实根.
10
0 a 1 例3 讨论函数
在x=0点的连续性.
6
典型例题讲析
设函数(x) 在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明
例1 在(a, b)内至少存在一点，使 F(x)lnbf(x)[f(b)f(a)1]
a
x
分析 要证 ，即要证 f(b )f(a )xln bf(x ) a
2b 3 27 a 2
3
或 {b (x ) [(x ) (a )} ]|x 0 ,
e
解a
1
其中 y 1e x 6
3
1
3
故 f(x)(txaxn)(xtax)n又 f(x)0,
1
而 ( 0 , a ) 故 f (x) 在 x=0点连续. 11
求下列极限：
例4
f(1)ln110 aa
Yy2X x521x42X x521x413x6
解 f(1)ln110
a
a
故该极限不存在.
f (1 )
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2、导数的应用
⊙掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法
⊙掌握利用函数单调性证明不等式的方法
⊙理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值 的求法
⊙明确函数的最值与极值在概念上的区别， 掌握最值的求法及其简单应用
⊙了解函数曲线的凹凸性与拐点的概念，掌握 曲线的凹凸性与拐点的判定 ⊙会利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点、 渐近线等性态描绘函数的图形
；
考虑中值定理，为此方程变形为
F()0
则若取
1tan x 1sin x
(1)lim x 0
xsi2 nx
有
sin 2xx2co2s x
( 1 )lim x 0
x2sin 2x
且 lnb af()[f(b)f(a)]10
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证明 令 (1)lx i0 m1taxn x s i2 nx 1sin x
则F(x)也在[a, b]上连续、在(a, b)内可导，且