一维势阱中的运动粒子
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数
一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数一维势场是指只存在一个空间维度上的势能，并且可以用一个实函数V(x)描述。
假设一个带电粒子（例如电子）在一维势场中运动，其所受的动能为T，势能为V，则其总能量E=T+V。
由于势场只存在于一维空间中，因此可以使用Schrödinger方程来描述带电粒子的运动。
根据Schrödinger方程的解析式和边界条件，可以求出粒子的能级和对应的波函数。
下面，将逐步介绍一粒子在一维势场中运动的过程，包括求粒子的能级和对应的波函数的方法。
具体如下：一、Schrödinger方程一粒子的运动可以用薛定谔方程描述，即：HΨ(x) = EΨ(x)其中，H是哈密顿算符，Ψ(x)是波函数，E是总能量。
在一维势场中，H的形式为：H = -(h²/2m) ∂²/∂x² + V(x)其中，h是普朗克常数，m是带电粒子的质量，V(x)是一维势能。
二、求粒子的能级和对应的波函数1. 首先，需要根据一维势场的特性和边界条件来确定粒子的波函数形式。
例如，如果一个实函数V(x)在无限远处趋近于零，那么可以假设粒子的波函数也在无限远处趋近于零。
2. 根据波函数的形式和Schrödinger方程，可以求出粒子的能级和对应的波函数。
在求解过程中，需要注意以下几点：a. 在一维势场的不同区域，波函数的形式可能不同。
例如，在势阱中，波函数可以是正弦函数或余弦函数，在势垒中，波函数可以是指数函数或衰减函数。
b. 计算过程中需要使用边界条件，例如波函数在无限远处趋近于零，以及波函数在势场的交界处连续、导数连续。
c. 对于一些特殊的势场，例如谐振子势场，可以使用已知的解析式求解粒子的能级和对应的波函数。
三、总结对于一粒子在一维势场中的运动，粒子的能级和对应的波函数是根据Schrödinger方程和边界条件求解得出的。
在求解过程中需要注意不同势场区域波函数的形式、边界条件的使用和特殊势场解析式的应用等问题。
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
V(x)
0 (0 x a) (x 0或x a)
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx
在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， ∞
∞
由于A不恒为零，所以ka = nπ。
k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。
可 得
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
n2
(n = 1，2，3，…)O
要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，
或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。
n能=量1最状低态的称状为态基，态最，低也能就量是为粒子E1
2h 2 2ma2
h2 8ma2
x a 其他态称
为激发态， E2称为第 一激发态。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
ψ(x) = Asinkx，
En
kn2h 2 2m
π2h 2 2ma2
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
一维无限深势阱中运动粒子的Wigner函数
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ａｎ ｈ ｕ ｉ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
一
维 无 限 深 势 阱 中运 动 粒 子 的 Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ函数
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ： Ａｓ Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ ｑ ｕａ ｓ ｉ—ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ，ｔ ｈｅ Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎ ｔ ａ ｉ ｎ ｓ ｔ ｈ ｅ ｅ ｎ ｔ ｉ ｒ ｅ ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｈｅ ｔ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｑ ｕ ａ ｎ ｔ ｕｍ ｓ ｔ ａ ｔ ｅ ｓ ｉ ｎ ｈｅ ｔ ｐ ｈ ａ ｓ ｅ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ．Ｔ ｈｅ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｓ ｏ ｈ ａ ｓ ｇ ｒ ｅ ａ ｔ ｓ ｉ ｇ ｎｉ ｉｃ ｆ ａ ｎ ｃ ｅ ｉ ｎ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ． Ｔ ｈｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｓ ｔ ｈｅ ｄ ｅ ｉｎ ｆ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｏ ｆ ｈｅ ｔ Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ，ａ ｓ ｗｅ ｌ ｌ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｅ ｘ ｐｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ．Ｔ ｈ ｅ ｎ， ｉ ｔ ｕ ｓ ｅ ｄ ｈｅ ｔ ｉ ｎｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｏ ｎ ｅ—ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｉ ｎ ｉｎ ｆ ｉ ｔ ｅ ｌ ｙ ｄ ｅ ｅ ｐ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｗｅ ｌ １ ．Ｆ ｉ － ｎ ａ ｌ ｌ ｙ，ｗｅ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｈｅ ｔ ｃ ｈａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎｄ ｐ ｏ ｉ ｎｔ ｏ ｕ ｔ ｈａ ｔ ｔ ｉ ｔ ｉ ｓ ａ ｒ ｅ ａ ｌ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｈ Βιβλιοθήκη ｓ ｅ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ．
量子力学 02一维势场中的粒子
2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 dz2
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 2 d x 2 d 2 [ V2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 2 d y 2 d 2 [ V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 2 d z
虽然，波函数ψ(-x) 也是满足S方程的，且也属于能 量E的波函数。
空间反演算符P
定义 一维
P ( r ) ( r ) P ( x ) ( x )
对于任意波函数，满足
P ( x) P ( x) ( x)
2
本征值方程
P ( x) C ( x)
V * ( x) V ( x)
2 d 2 [ V ( x)] * ( x) E * ( x) 2 2 dx
• 即ψ*(x)也满足同一个能量本征方程，并且对应的能 量本征值也是E。
• 无简并：能量本征方程的解只有一个，即一个E对应一 个波函数。 • 简并：能量本征方程的解不止一个，即一个E对应多 个波函数，称为多重简并。 推论：按定理1，假设对应于能量的某个本征值是E，能量 本征方程的解无简并，则可取为实解。 • 证明 若ψ(x)是能量本征值为E的一个解， ψ*(x)也是能量 本征值为E的一个解，由于无简并，必有： ψ(x)= Cψ*(x)， 且ψ* (x)= C*（ψ*(x）)*= C*ψ (x）=C* Cψ*(x) 故C* C=1，即C=e ia,a可取任易实数，则取a=0 ψ(x)= Cψ*(x)= ψ*(x)， ψ(x)为实函数
2 2 2 2 d d d [ 1 ( x ) V2 ( y ) V 3 ( z )] ( x , y , z ) V 2 2 2 X ( x )Y ( y ) Z ( z ) 2 dx dy dz
第2章 习题课21(一维势阱系列I)
习题课021 第2章 一维势场中的粒子1.例题（一维势阱系列题I ）①质量为μ的粒子在一维无限深势阱 ⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=ax a x x x V 00)( 中运动,求出粒子的能级和对应的波函数。
解：本征值方程： ⎪⎩⎪⎨⎧><=≤≤=-a x x a x E dx d ,0,00,2222ψψψμ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=a x 0, x ,0a x 0,sin 2x an a nπψ),3,2,1n (a2n E 2222n =μπ=，（有三种一般解的形式可令。
）其含时波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ax 0, x ,0ax 0,e)sin(2),(i -tE n n x an a t x πψ②粒子处于基态，则找到粒子的概率密度为最大的位置是哪里？ 解：在区间ax 0≤≤内求x aaπψω2211sin2||==的极大值，结果为x=a/2③设粒子处于一维无限深势方阱中（如图），证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子， 2a x =）（）（22226112πn ax x -=-。
讨论∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。
[解]写出归一化波函数：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<>=ψ)0(,sin 2),0(,0a x a xn a a x x x n π 先计算坐标平均值：xdx axn axdx ax n axdx x aaan ）（⎰⎰⎰-==ψ=222cos11sin2ππ 利用公式： 2cos sin cos ppx ppxx pxdx x +-=⎰22cos 22sin 221022a a x n n a a x n x n a xa x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-已知，可计算2xdx axn x adx ax n x adx x x aan ）（⎰⎰⎰-==ψ=2222222cos11sin2ππ 利用公式pxppx x ppx x ppxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰ （5）有 aa x n x n a a x n n a x n a x a x 0222222cos 222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn aa-=()22222222223⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 2222212πn aa-=在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的概率密度看作相同，由于总概率是1，概率密度a1=ω。
第三章 一维势场中的粒子 讲义 2
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
基态时，波函数无节点
Fang Jun
第11页
当粒子能量增加时，在|x|>a/2， ψ(x)的曲率减小。|x|<a/2时， ψ(x) 的振荡加快。在某个能量E处， ψ(x) 在|x|<a/2内经历一次振荡，并出现一 个节点，并且能与外面波函数光滑衔 接上，外面解不发散。此时出现第一 激发态，有一个节点。 继续下去，可以得出：只当粒子能量 取某些离散值的时候，相应的波函数 才满足束缚态边界条件。这些能量值
设粒子从左方射向势垒。如能量 E<V0 ， 则按经典力学，粒子必定要在x=0面被反 射回去。如 E>V0 ，则粒子将穿过势垒。 但从量子力学观点看，考虑到粒子的波动 性，此问题与波碰到一层厚度为a的介质 相似，有一部分波透过，一部分波被反射 回去。
因此，按波函数的统计解 释，无论粒子能量 E<V0 ， 或是E>V0，都有一定几率 穿透势垒，也有一定几率 被反射回去。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第25页
由于
尽管ψ’在x=0点不连续，但粒子流密度连续。
可见：从流密度的连续性不能得出Ψ′的连续性。 问题在于:流密度公式中含有互为复共轭的两项，尽管Ψ′不连续， 但两项相减后就抵消了。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第28页
B. 奇宇称态
波函数应表为
3.3.3
δ势与方势的关系，
Ψ′跃变条件
δ势常作为一种理想的短程作用来讨
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数一维无限深势阱是量子力学中常用的模型之一，它能够帮助我们理解粒子在一维空间中的运动以及对应的能级和波函数。
首先，我们来看一下什么是一维无限深势阱。
这是一个理想化的模型，由两堵非常高的无限高势垒所夹，其中粒子的运动只能在这一段距离内进行，并且在势垒外是无法找到粒子的。
这种模型可以用来描述电子在原子中的运动，或者光子在光导纤维中的传播。
在量子力学中，波函数是描述粒子性质的数学函数。
对于一维无限深势阱模型，波函数可以通过解薛定谔方程获得。
薛定谔方程可以用来描述波函数随时间的演化，它是量子力学的基本方程之一。
对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以简化为亥姆霍兹方程的形式。
亥姆霍兹方程是一个常微分方程，它的解由定态波函数给出。
定态波函数允许我们计算粒子在一维无限深势阱中的能量和波函数。
解一维无限深势阱的亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能量的解，这些能量称为能级，用n来表示。
每个能级都对应着一个定态波函数，这些波函数描述了粒子在势阱内的运动方式。
对于一维无限深势阱，能级的表达式为En = (n^2 *h^2)/(8*m*L^2)，其中n为能级的序数，h为普朗克常数，m为粒子的质量，L为势阱的宽度。
对应于每个能级，还有一个对应的波函数。
波函数用Ψ(x)来表示，描述了在不同位置概率密度的分布。
在一维无限深势阱中，波函数能够取到零点以外的任意位置。
波函数的形式为Ψn(x) = sqrt(2/L) * sin(n * π * x / L)，其中x为位置，L为势阱的宽度，n为能级的序数。
通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到多个能级和对应的波函数，它们描述了粒子在一维无限深势阱中的运动和性质。
这些能级和波函数不仅在理论计算中起到了重要作用，而且在实验中也得到了验证。
总之，一维无限深势阱模型是量子力学中研究粒子运动和性质的重要工具。
通过解亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能级和对应的波函数，这些能级和波函数描述了粒子在势阱中的行为。
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。
无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。
井内电势为0，井外电势无穷大。
在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。
但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。
通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。
特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。
这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。
2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。
3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。
这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。
这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。
其实这个问题也很重要。
无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。
为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。
一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。
势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。
粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。
一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。
一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。
第二章一维势场中的粒子
定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找 到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何 解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。
证：如果 (x)是实解,就可以将其归为实解集合。 如果 ( x )是复解 ，( x )* 是方程（1）的实 解，
且：( x ) ( x ) *( x ) 和 ( x ) i( ( x ) * ( x )) 也是 方程（1）的解，属于能量E，且均为实解。 ( x ) 和 ( x )* 均可以表示为( x ) 和 ( x )的线形叠加。
A' 2 a
ψn
(
x
)
2 sin( nπ x ), 0 x a;
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้,
x 0, x a
其中n 为量子数，我们看到它是由于边界条件而自然引入的。
一维方势阱波函数图象
对一维势阱中粒子的讨论，可得以下重要概念与结论：
1）对束缚态粒子，其能级是量子化的。此为边界点上波函数 连续性要求决定，非人为的。而在经典力学中，能量是连续的。 通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一 般地说，束缚态所属的能级是分立的。
一维问题的一般性质
定理1：设( x )是方程（1）的一个解，对 应的能量本征值是E，则 ( x )* 也是方程的 一个解，对应的能量也是E。
证：方程（1）取复共轭，注意E取实值， U( x )* U( x ) ，容易证明。
如果对应于能量的某个本征值E，方程（1） 的解无简并（即只有一个解），则解为实解。
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
第12章薛定谔方程一维无限深方势阱中的粒子
狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量 子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。
§12.6.1 自由粒子薛定谔方程
粒子在 x 方向匀速直线运动，E、px 不变
i p x x E t Y x , t Y0e p2 2Y x , t x 2 Y x , t 2
x 2Y x , t 2
2 p xY x , t
算符(operator) —— 对波函数的运算、变换或操作。
例如
Y x，t ：算符 代表对波函数关于 t 求导； t t Y x，t ：算符 代表对波函数关于 x 求导； x x
ˆ ˆ xY x，t xY x，t ：算符 x 代表用 x 乘波函数；
§12.7.1 无限深方势阱中的粒子
一、一维无限深势阱 金属中自由电子的运动，是被限制在 一个有限的范围 —— 称为束缚态。 作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势 阱中运动，即它的势能函数为
问题的提出：
德拜：问他的学生薛定谔能不 能讲一讲 De Broglie 的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大 家介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。 由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动 遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象 重新建立。 薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论 性的薛定谔方程.。
由上面可以看出：
Y ( x, t ) ~
2
2 i t ( x )e
( x)
2
即此时，概率密度也可以用 |(x) |2 来表示，即在定态下概率分 布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。(x) 称为定态 波函数。
一维无限深势阱中粒子的能级
一维无限深势阱中粒子的能级
一维无限深势阱中粒子的能级：
1、定义：一维无限深势阱中粒子的能级是物理学涉及的一个重要概念，指的是势
阱中粒子被限制在有限的空间内，力量为无穷大的情形，因此粒子的运动能力只能像一个有限单元阱中的粒子一样静止。
2、能量阶：一维无限深势阱中粒子的能级分为几个阶段，分别是最低能量阶、次
低能量阶，以及更高能量阶。
阶根据粒子的运动状态可以分成三类：常规状态，即粒子在最低能量阶的状态；次轨道状态，即粒子在次低能量阶的状态；第三状态，即粒子在更高能量阶的状态。
3、能量关系：一维无限深势阱中粒子能量等级关系按照能级阶梯式由低到高，比
如最低能量阶为0；次低能量阶为1；更高能量阶则会随着势阱深度增加、产生无
穷多个能量阶。
4、可变规律：一维无限深势阱中粒子的包络规律是其能量随势阱深度的变化可以
表示为一次函数。
势阱深度越深，粒子的能量的越大，其能量曲线越接近抛物线。
5、局域性：无论是费米子陷阱系统还是一维无限深势阱系统，都存在局域性特性，也就是当粒子分子数量发生变化时，其能量等级也会发生变化，比如势阱深度一定时，一个粒子的能量和两个粒子的能量是不同的。
6、可以控制的方式：为了获得更高的精度，人们可以通过控制势阱深度，来改变
一维无限深势阱中粒子的能级，以获得最佳的实验效果。
例如，研究者可以改变势阱的深度，使粒子的能量阶达到自己所期望的精确值，从而达到更好的实验精度。
一粒子在一维无限深势阱中动量在基态平均值
一、背景介绍量子力学是描述微观世界的理论体系，它与经典力学有着本质的区别。
在量子力学中，粒子的性质通常通过波函数来描述，而不再是经典力学中的位置和动量。
一维无限深势阱是量子力学中简单而重要的模型之一，它可以帮助我们理解粒子在有限范围内运动的行为。
二、基态与概率分布在一维无限深势阱中，粒子的波函数必须满足边界条件，因此只能存在离散的能量本征态，即量子力学中的基态、一级激发态、二级激发态等。
基态对应能量最低的状态，它的波函数形式通常为正弦函数。
具体来说，一维无限深势阱中粒子的基态波函数为：\[\Psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\]其中，L为无限深势阱的长度。
基态波函数的平均动量可以通过其动量算符的期望值来计算。
动量算符为\(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\)，基态波函数的平均动量可以表示为：\[\langle p \rangle = \int_{-L/2}^{L/2}\Psi^*(x)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x)dx\]通过对波函数进行数值计算，我们可以得到基态波函数中动量的平均值。
三、动量平均值的物理解释在一维无限深势阱中，粒子受到势阱的束缚，因此其动量不会是一个确定的值，而是存在一定的不确定性。
基态波函数中动量的平均值表征了粒子运动的一种特定方式。
从物理学角度来看，动量的平均值可以被解释为粒子在基态波函数对应的空间范围内运动的动量加权平均值。
由于基态波函数对应的是粒子能量最低的状态，因此动量的平均值也会相对较小。
四、动量平均值的计算结果经过数值计算，我们可以得到一维无限深势阱中基态波函数的动量平均值。
以长度L为1为例进行计算，基态波函数的动量平均值为0。
这意味着，在基态下，粒子的运动状态呈现出较小的动量。
一维势阱
12
势垒的势场分布写为： 势垒的势场分布写为：
I 在三个区间内波函数应遵从的 薛定谔方程分别为： 薛定谔方程分别为：
10
则
多次测量能量(可能测到的值) 多次测量能量(可能测到的值) 概率各1/2 概率各1/2 能量的平均值
11
势垒贯穿（隧道效应） 势垒贯穿（隧道效应）
在经典力学中,若 在经典力学中 若 ,粒子的 粒子的
V0
动能为正,它只能在 区中运动。 动能为正 它只能在 I 区中运动。 I 即粒子运动到势垒左边缘就被 反射回去，不能穿过势垒。 反射回去，不能穿过势垒。
h E1 = = 2 2 2m a 8m a
πh
2
2
2
称为基态能级 称为基态能级
∴En = n E1
2
n叫作量子数 叫作量子数
5
E
势 阱 能 中 级 粒 图 子
n = 4, E = E4 n = 3, E = E3 n = 2, E = E2
o
a
n = 1, E = E1 x
6
相对应的本征函数，即本问题的解为： 与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
2 2
令 k = 2m h E 代入薛定谔方程得： 代入薛定谔方程得： 此方程的通解为： 此方程的通解为：
d2ψ (x) 2 + k ψ (x) = 0 2 dx ψ (x) = Asinkx + Bcoskx
由于阱壁无限高， 由于阱壁无限高，所以 ψ (0) = 0 阱壁无限高
量子力学01一维无限深方势阱中的粒子
10
一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)
2 2 最低能量 E1 2m a2 0 经典粒子，可以有 E 0
局域化越强，即 a 越小，则 E1 越大。 En 非均匀分布 2 2
En En 1 En 2ma
2
(2n 1)
n ( x)
正交性和完备性
* m n dx mn 0 a
15
三、 一维谐振子(1)
1、能量本征方程
简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时 粒子的势能可以表示为 V ( x) Kx 2 2 例如，双原子分子中两原子之间的势能
V ( x) V0 K ( x a)2 2
V 二、态叠加原理（2）
粒子在势阱中可能的态和能量为
2 n x 2 2 2 sin( ), 0 x a; n n ( x) a n 1, 2,3, , a E En 2 2 m a 0, x 0, x a.
但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中 的某一状态，而是以某种概率处于其中的某 一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些 分立状态的叠加，即 ( x) cn n ( x)
d2 2m 1 2 ( x) 2 ( Kx E ) ( x) 0 2 dx 2
0
a
x
1 E /( x m ， 令 K m， 2 )
d 2 2 得到 ( ) 0 2 d
16
三、一维谐振子(2)
2、能量本征方程的解
, 有 当 时， 其解 ~ e / 2 ( ) Ae u( ) 能量本征方程的解可表示为 u ( ) 为待求函数，代入能量本征方程，有 其中，
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
第17讲 一维无限深方势阱中的粒子
近代物理第五周学习内容第17讲一维无限深方势阱中的粒子第18讲一维方势垒势垒贯穿第19讲简谐振子第20讲氢原子第21讲电子自旋)()()()(r E r r U r mψψψ=+∇-222定态薛定谔方程2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇定态薛定谔方程的应用定态条件：U = U (x ，y ，z )不随时间变化。
(1) 一维自由运动微观粒子 U = 0(2) 一维无限深势阱中粒子 (3) 谐振子 22222x m kx x U ω==)((4) 氢原子rer U 02π4ε-=)(⎩⎨⎧≥≤∞<<=a x x ax x U 0 0 0，)(结论一维无限深方势阱中粒子氢原子 (1) 能量量子化谐振子 )( 2 1 0 21，，，=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n h n E n ν)()( 3 2 1 eV 6.132，，，=-=n nE n )( 3 2 1 2π2222，，，==n n maE n一维无限深方势阱中粒子谐振子氢原子E a xE 1 n = 1 4E 1 n = 29E 1n = 30 E n (eV )r-13.6-3.4 -1.5 E 0E 4 E 3 E 1 E 2 ωE2ω (2) 能级分布图(3)一维无限深方势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。
λn n=a2(4)能级跃迁从基态跃迁到激发态时，所需能量称为激发能。
第17讲一维无限深方势阱中的粒子[Q5.17.1] (1) 质量为 m 的粒子处在宽度为 L 的一维无限深势阱中，它的解为定态波函数，试应用薛定谔方程，求该粒子在这势阱中的能量表达式。
(2) 当该粒子在势阱中处在基态时，试求发现粒子处在 x = L /4 到 x = L /2 之间的概率 P 。
Lxn A x πsin =)(ψ解：(1) 由定态薛定谔方程 将 代入，整理后可得 Lxn A x πsin=)(ψLxn EA L x n A L n m πsin πsinπ222=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ψψE xm =-222d d 2 22π2⎪⎭⎫ ⎝⎛=L n m E解：(2) 由归一化条件 所求概率为1d πsin 022=⎰⎪⎭⎫⎝⎛Lx L x n A 得LA 2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=242d πsin 2L L x L x LP π2141+=41.0=[Q5.17.2] 设有一电子在宽为 0.20 nm 的一维无限深的方势阱中。
一维无限深势阱内粒子的动量概率分布
一维无限深势阱内粒子的动量概率分布
，
马尔科夫显示处形状在单维无限深势阱内粒子的动量分布经历严格拟合，这种
情况中粒子主要由1个或2个谱线构成，由于不同参数选择，可以得出不同时间尺度上粒子扩散情况，比如过冷状态下的低和高温梯度；另外，模拟单维无限深势阱内粒子的动量概率分布，也可以获得动量的散射函数。
模拟常数的参数可以使用拉格朗日分布函数方程以及离散散射函数这两种方式，它们使得计算可以进行，但从通常意义上，第一种方法更方便。
在这两种方法中，有可能会得到不同的散射函数和概率分布，这可以使用数值方法进行估计。
另外，研究表明，当动量深度势阱的单维半宽小于某一阈值时，动量分布可以
用高斯函数拟合，使粒子近似地分布在固定的状态下。
而当半宽大于阈值时，动量概率的分布便不会改变，可以看出，半宽对粒子的分布影响比较大，因为可以用半宽来调节动量分布。
另一方面，根据实验结果，在动量深度势阱内，动量概率分布与拉格朗日标准分布函数的偏度具有正相关性。
总之，单维无限深势阱内粒子的动量概率分布是一个复杂的问题，表征困难度
较高。
它的实验和数值模拟的过程均相当复杂，并且与参数调节有关，其计算过程也很复杂。
不过，通过所有的模拟实验可以探究单维无限深势阱内粒子的动量分布。
大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子
解 由波函数可知，粒子处在宽度为L的势阱中，将波 函数代入薛定谔方程
（1）当n=1时，对应基态的能量为 E1 2 2mL 25 E5 5 E1 2 2mL
2
第12章 量子力学基础
2
当n=5时为第4激发态，对应的能量为
2
12.4 一维无限深势阱中的粒子
（2）波函数的模平方即粒子的几率密度为
12.4 一维无限深势阱中的粒子
步骤： 确定粒子的哈密顿量；
在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值 和波函数。
处理的问题：
势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中；
势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势 场中。
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
0
V=0
∞
L
该方程的解只能是： x
e ( x) 0
（2）
无限深方势阱
波函数在阱壁上的连续条件、本征能量
i (0) e (0) 0 i ( L) e ( L) 0
（3） （4）
第12章 量子力学基础
12.4 一维无限深势阱中的粒子
Φi ( x) C sin(kx ) i (0) e (0) 0
( x)dx
( x) dx 1
2
( x) dx 1
2
C
2 L
定态波函数为
2 nπ sin x, ( x) L L 0,
第12章 量子力学基础
0xL 0 x, x L
12.4 一维无限深势阱中的粒子
物理-粒子在一维无限深方势阱中的运动
a
2a
x
a 3
处的几率密度:
(x a ) 2 1 cos 0
3 a2
例2 在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为
f (x) 1 sin x 1 sin 2 x
aaa a
问(1)每次可能测到的值和相应概率？ (2)能量的平均值？
解：已知无限深势阱中粒子的
En
2 2
2m a 2
n2
n(x)
m
a
xsin n
a
xdx
1 a
a 0
cos
m a
n
xdx
a 0
cos
m a
n
xdx
0
若mn
a
*
m
(
x)
m
(
x)dx
1
0
可一般的证明,任意Hamiltonian算子属于不同本征值的
本征函数都是正交的。
4、粒子的物质波在阱中形成驻波
k n ,n 1,2,
a
定态波函数: n (x)
2 sin n x
2 2
2ma 2
n2,
n 1,2,3,
质子基态能量:
E1
2 2
2m pa2
3.31013(J )
第一激发态能量:
E2
2 2
2m pa2
22
4E1
E2 E1 9.9 1013 J 6.2(MeV )
1eV 1.6021019 J
相应的能量本征值： E 2k2 ―连续谱
2m
( x) eikx , eikx
自由粒子波函数：
2k2 E
2m
E (x,t)
e ikx
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量子理论证明，粒子能量尽管小于势阱势能，也有可
能到达势阱之外 —— 即粒子在势阱外不远处出现的概率
E3
不为零。
这一点也得到了实验验证。
E2
E1
-a
C
B
D
U
U(x)
0
a
abc 2a 2b 2c
4）能量量子化的问题—— 经典理论的解释遇到困难。
按经典理论的说法，把经典粒子放在势阱中，它的能量
可以连续取值。而量子理论的结果告诉我们，粒子的能量
取值只能是离散的，这一点得到了实验验证。
E
5）如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于阱壁
A
经典理论表明，粒子的能量小于势能时，粒子是 不可能越过势阱的。
k
n
2a
sin 2ka 0 2ka n
E
n2 22
8ma 2
En
n 1,2,3, 结论 1：粒子被束缚在势阱中，体系能量是量子化的
a Ae ika Beika 0
（1）n 为奇数：B A
B Ae i2ka (1)n1 A
x A(eika eika ) 2 A cos kx
运动波函数
a 2a
a 2a
E3 E2 E1 x
a
n 2,4,6
结论 3：根据玻恩概率波诠释，运动粒子的概率密度为
x (x)
讨论
1）粒子最低能级：n 1
E1
22
8ma 2
—— 零点能
U(x)
E4
2）从驻波条件出发，运用德布罗意关系式，可求能量 E ：
2a n
2
E
n2 22
8ma 2
h h
(x) 0
U(x)
E4
(x) 0
2Aபைடு நூலகம்os(nx / 2a)
（2）n 为偶数：B A
x A(eika eika ) 2 Ai sin n x
2a
归一化条件 a 4A2 cos2 ( n x)dx 1
a
2a
A 1 -a 2a
0
结论 2：粒子 x 1 cos n x n 1,3,5 x 1 sin n x
(x) 0
x -a 0 a
II 区域中：
d2 (x)
dx 2
2mE 2
x
0
d
2 (x)
dx 2
k
2
x
0
解得： x Aexp(ikx) B exp(ikx) A, B 待定系数
x Aexp(ikx) B exp(ikx)
x a (a) 0
边 界
a Ae ika Beika 0
一维无限深势阱中的运动粒子 离散谱
通常把粒子在无限远处为零的波函数所描写的状
态，称为束缚态。一般而言，束缚态的能级是离散
的，构成离散谱。
一维无限深势井
Ux 0 Ux
a xa x a x a
(x) 0
I
U(x)
(x) 0
II
m
III
d2 (x)
dx 2
2m 2
E
U
x
0
I、III 区域中： U (x)
p 2mE
节点↑， 波长↓，频率↑，能量↑
3）一维势阱是研究两维或三维势阱问题的基础
-a
0
设势阱的长、宽、高为 a, b, c 势阱中运动粒子的能级公式和波函数为：
E3
E2 E1 x
a
E
n12 22
8ma 2
n22 22
8mb 2
n32 22
8mc 2
x, y, z 1 sin n1 x sin n2 y sin n3 z
条
x a (a) 0
件
a Ae ika Beika 0
方程组若有非零解，系数行列式等于零：
U(x)
(x) 0
(x) 0
I
m II
III
x -a 0 a
eika eika
eika eika
0
ei2ka ei2ka 0 ei2ka ei2ka sin 2ka
2i
2mE 2