卷积的物理意义
实验报告信号卷积实验
一、实验目的1. 理解卷积的概念及其物理意义。
2. 掌握卷积运算的原理和方法。
3. 通过实验加深对卷积运算在实际应用中的理解。
二、实验原理1. 卷积的定义：卷积是一种线性运算，它描述了两个信号在时域上的相互作用。
对于两个连续时间信号f(t)和g(t)，它们的卷积定义为：F(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，F(t)是卷积结果，f(τ)是信号f(t)的任意时刻的值，g(t-τ)是信号g(t)在时刻t-τ的值。
2. 卷积的性质：卷积具有交换律、结合律和分配律等性质。
其中，交换律是指f(t)和g(t)的卷积与g(t)和f(t)的卷积相等；结合律是指三个信号f(t)、g(t)和h(t)的卷积可以分别进行两两卷积后再进行一次卷积；分配律是指一个信号与两个信号的卷积等于该信号分别与两个信号卷积后的和。
三、实验内容1. 实验一：连续时间信号卷积实验（1）选用信号：选取两个连续时间信号f(t)和g(t)，其中f(t)为矩形脉冲信号，g(t)为指数衰减信号。
（2）卷积计算：根据卷积的定义，计算f(t)和g(t)的卷积F(t)。
（3）结果分析：观察F(t)的波形，分析卷积结果的物理意义。
2. 实验二：离散时间信号卷积实验（1）选用信号：选取两个离散时间信号f[n]和g[n]，其中f[n]为单位阶跃信号，g[n]为矩形脉冲信号。
（2）卷积计算：根据离散时间信号卷积的定义，计算f[n]和g[n]的卷积F[n]。
（3）结果分析：观察F[n]的波形，分析卷积结果的物理意义。
3. 实验三：MATLAB仿真实验（1）选用信号：选取两个连续时间信号f(t)和g(t)，其中f(t)为正弦信号，g(t)为余弦信号。
（2）MATLAB编程：利用MATLAB的信号处理工具箱，编写程序实现f(t)和g(t)的卷积运算。
（3）结果分析：观察MATLAB仿真得到的卷积结果，分析其物理意义。
四、实验结果与分析1. 实验一：连续时间信号卷积实验（1）实验结果：通过计算得到f(t)和g(t)的卷积F(t)的波形。
卷积实验报告
一、 实验目的：
1. 理解卷积的概念及物理意义； 2. 通过实验的方法加深对卷积运算的图解方法及结果的理解。
二、 实验内容：（请将实验的题目内容、实验及过程代码、实验结果（必要时可以进行拷屏）、 实验体会等填写到此处。页面空间不够，可另附页或另附文件。
f1( t ) 1
f2(t ) 1
t
t
01
01
(a)
(b)
f ( t ) f1( t )* f2( t )
0.5
t 12
(c)
图 10-2 矩形脉冲信号与锯齿脉冲信号的卷的实现方法 在本实验装置中采用了 DSP 数字信号处理芯片，因此在处理模拟信号的卷积积分运算时，是先通过 A/D 转换器 把模拟信号转换为数字信号，利用所编写的相应程序控制 DSP 芯片实现数字信号的卷积运算，再把运算结果通 过 D/A 转换为模拟信号输出。结果与模拟信号的直接运算结果是一致的。数字信号处理系统逐步和完全取代模 拟信号处理系统是科学技术发展的必然趋势。图 9-3 为信号卷积的流程图。
x( t ) 或 x( ) 1
h( t ) 或 h( ) 1
h( )
1 (a)
t或
t或
1 （b)
h( t ) x( )
h( t ) x( )
(c) h( t ) x( )
t (d) t 0
x( ) h( t )
t (e) 0 t 1
2 x( ) h( t )
f (t) f1(t) f2(t )d = f1( t )* f2( t ) = f2( t ) * f1( t )。
卷积的物理意义
卷积的物理意义
卷积的物理意义：卷积可代表某种系统对某个物理量或输入的调制或污染。
在泛函分析中，卷积、旋积或褶积(英语：Convolution)是
通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数
f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
卷积定理
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。
即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。
在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。
利用卷积定理可以简化卷积的运算量。
对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做(2n- 1)组对位乘法，其计算
复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。
这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。
卷积的物理意义
卷积的物理意义卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢?卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点,我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理,x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统,就常识来讲,系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关,也跟之前若干时刻的输入有关,因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程(这种过程可以是递减,削弱,或其他)对现在时刻系统输出的影响,那么显然,我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。
但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。
再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。
即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的ﻪ“残留影响”有关。
卷积拉普拉斯——意义
卷积拉普拉斯——意义数学定义：函数f与g的卷积记作f*g，它是其中⼀个函数翻转并平移后与另⼀个函数的乘积的积分，是⼀个对平移量的函数f(t)*g(t) = (f*g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ积分区间取决于f与g的定义域对于离散域的函数，卷积的定义：(f*g)[m] = ∑n f[n]g[m-n]1.卷积是求累积值，就是某⼀时刻的反应，是多个反应的叠加值。
2.既然如⼀，就有2.1任何信号可微分成脉冲信号的组合，依次通过系统。
2.1，系统是线性的，某时的响应是可以看成是响应的叠加。
注：关于线性系统，可以理解为：如果⼀系统，输⼊为1时，输出为1；那么输⼊为2时，输出也为2.⽽不是1.⼏。
3.y(t)=∫T(τ)H(t-τ)，这是卷积的公式，要理解这个，⾸先要有时间的概念，τ，t这两个参数的真正意义，是时间。
t是某时，⽽τ表⽰从零到某时的这个时间段的某时刻。
这个公式包括两个部份，前⾯的表⽰脉冲强度，τ时刻的脉冲强度；是后⾯的是单位脉冲响应函数，或者说是响应的衰减函数，因为响应随着时间的推移⽽减弱，就像疼痛会减弱⼀样这样更好理解，⽽个体表⽰的是t时刻时，τ时刻的脉冲响应的值。
那么整个式⼦就表⽰，强度*衰减系数。
叠加到⼀块⼉，就是t时刻的响应了。
最幽默的解释卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒⽴的⼩蝌蚪，卷积其实就是为它诞⽣的。
”冲击函数”是狄拉克为了解决⼀些瞬间作⽤的物理现象⽽提出的符号。
古⼈⽈：”说⼀堆⼤道理不如举⼀个好例⼦”，冲量这⼀物理现象很能说明”冲击函数”。
在t时间内对⼀物体作⽤F的⼒，我们可以让作⽤时间t 很⼩，作⽤⼒F很⼤，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在⽤t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同⼀个⾯积不变的长⽅形，底边被挤的窄窄的，⾼度被挤的⾼⾼的，在数学中它可以被挤到⽆限⾼，但即使它⽆限瘦、⽆限⾼、但它仍然保持⾯积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进⾏积分，积分就是求⾯积嘛！于是”卷积” 这个数学怪物就这样诞⽣了。
卷积物理意义
卷积的物理意义进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。
而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。
因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。
首先，先列出卷积的定义式：()()()r t e h t d τττ+∞−∞=−∫。
从直观上理解这个公式就是r 在t 时刻的取值等于e 在τ时刻的取值乘以它持续的时间d τ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。
在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励）r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应)如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是d τ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)d τ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t 时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t 与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h （t ）传递过去（所以h （t ）也称为传递函数），系统最终得到τ时刻激励e(τ)对状态量r(t)在t 时刻的取值的影响量e(τ)h(t-τ)d τ，将各时刻的影响量累加起来（积分），就得到了卷积的这个公式了。
幽默讲卷积
最幽默的解释卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。
‖冲击函数‖是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：‖说一堆大道理不如举一个好例子‖，冲量这一物理现象很能说明‖冲击函数‖。
在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在用t 做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是‖卷积‖ 这个数学怪物就这样诞生了。
说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。
但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。
最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。
于是，他们为它量身定做了一套运作规律。
于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
例子：有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。
怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？——费话，疼呗！——我问的是：会有什么表现？——看疼到啥程度。
1卷积和褶积的物理意义
1卷积和褶积的物理意义卷积的物理意义进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。
而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。
因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。
首先，先列出卷积的定义式：r(t)=∫e(τ)h(t τ)dτ。
从直观上理解∞+∞这个公式就是r在t时刻的取值等于e在τ时刻的取值乘以它持续的时间dτ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。
在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励）r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应)如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是dτ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)dτ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h（t）传递过去（所以h（t）也称为传递函数），τττ，将，就得到了卷积的这个公式了。
卷积到底是什么？今天让你彻底明白
卷积到底是什么？今天让你彻底明白读本科期间，信号与系统里面经常讲到卷积(convolution)，自动控制原理里面也会经常有提到卷积。
硕士期间又学了线性系统理论与数字信号处理，里面也是各种大把大把卷积的概念。
至于最近大火的深度学习，更有专门的卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)，在图像领域取得了非常好的实际效果，已经把传统的图像处理的方法快干趴下了。
啰啰嗦嗦说了这么多卷积，惭愧的是，好像一直以来对卷积的物理意义并不是那么清晰。
一是上学时候只是简单考试，没有仔细思考过具体前后的来龙去脉。
二是本身天资比较愚钝，理解能力没有到位。
三则工作以后也没有做过强相关的工作，没有机会得以加深理解。
趁着年前稍微有点时间，查阅了一些相关资料，力争将卷积的前世今生能搞明白。
奥本海姆教授的巨作首先选取知乎上对卷积物理意义解答排名最靠前的回答。
不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。
好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。
这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。
直接看图，不信看不懂。
以离散信号为例，连续信号同理。
已知x[0] = a, x[1] = b, x[2]=c已知y[0] = i, y[1] = j, y[2]=k下面通过演示求x[n] * y[n]的过程，揭示卷积的物理意义。
第一步，x[n]乘以y[0]并平移到位置0：第二步，x[n]乘以y[1]并平移到位置1第三步，x[n]乘以y[2]并平移到位置2：最后，把上面三个图叠加，就得到了x[n] * y[n]：简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。
从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。
重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。
对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应加权叠加，就直接得到了输出信号。
卷积物理意义
卷积物理意义
卷积的物理意义主要在于描述系统对输入信号的响应。
对于线性时不变系统，当输入信号f(t)作用于系统后，系统会输出一个响应信号y(t)。
这个响应可以看作是输入信号和系统冲激响应h(t)的卷积积分。
通俗地说，可以把卷积理解为一种“叠加”过程。
具体来说，卷积运算中的每一个输出都是输入信号与系统冲激响应的特定叠加的输出。
这种叠加发生在所有的时间点上，所以卷积的定义式是无限长的。
另外，卷积运算的结果与输入信号和系统冲激响应的顺序无关，即交换输入信号f(t)和系统冲激响应h(t)的顺序并不会改变卷积的结果。
这是卷积满足交换律的表现。
幽默的卷积解释
最幽默的解释卷积的物理意义(2012-04-11 20:28:35)转载▼分类：模拟电路标签：杂谈最幽默的解释卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。
”冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：”说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明”冲击函数”。
在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是”卷积”这个数学怪物就这样诞生了。
说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。
但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。
最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。
于是，他们为它量身定做了一套运作规律。
于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
例子：有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。
怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？——费话，疼呗！——我问的是：会有什么表现？——看疼到啥程度。
最幽默的解释 卷积的物理意义
最幽默的解释卷积的物理意义
谈起卷积分当然要先说说冲击函数----这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。
“冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：“说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明“冲击函数”。
在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是“卷积” 这个数学怪物就这样诞生了。
说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过
来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。
但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。
最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。
于是，他们为它量身定做了一套运作规律。
于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
卷积的物理意义是什么
卷积的物理意义是什么？叽叽拨叽叽丁建辉对于初学者，我推荐用复利的例子来理解卷积可能更直观一些：小明存入100元钱，年利率是5%，按复利计算（即将每一年所获利息加入本金，以计算下一年的利息），那么在五年之后他能拿到的钱数是，如下表所示：将这笔钱存入银行的一年之后，小明又往银行中存入了100元钱，年利率仍为5%，那么这笔钱按复利计算，到了第五年，将收回的钱数是，我们将这一结果作为新的一行加入上面的表格中：以此类推，如果小明每年都往银行中存入新的100元钱，那么这个收益表格将是这样的：可见，最终小明拿到的钱将等于他各年存入的钱分别计算复利之后得到的钱数的总和，即：用求和符号来简化这个公式，可以得到：在上式中，为小明的存钱函数，而为存入银行的每一笔钱的复利计算函数。
在这里，小明最终得到的钱就是他的存钱函数和复利计算函数的卷积。
为了更清晰地看到这一点，我们将这个公式推广到连续的情况，也就是说，小明在从到的这一段时间内，每时每刻都往银行里存钱，他的存钱函数为，而银行也对他存入的每一笔钱按复利公式计算收益：，则小明到时间将得到的总钱数为：这也就是卷积的表达式了，上式可以记为。
相信通过上面这个例子，大家应该能够很清晰地记住卷积公式了。
下面我们再展开说两句：如果我们将小明的存款函数视为一个信号发生（也就是激励）的过程，而将复利函数视为一个系统对信号的响应函数（也就是响应），那么二者的卷积就可以看做是在时刻对系统进行观察，得到的观察结果（也就是输出）将是过去产生的所有信号经过系统的「处理／响应」后得到的结果的叠加，这也就是卷积的物理意义了。
卷积经典例子比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。
下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。
卷积物理意义 卷积最简单解释
卷积物理意义卷积最简单解释《卷积物理意义：卷积最简单解释》嗨，大家好！今天我想跟你们聊聊一个超级有趣的东西，那就是卷积的物理意义。
你们可能一听这个词就觉得好高深啊，脑袋都大了，就像我一开始听到的时候一样。
不过别担心，我会用特别简单的方式给大家讲明白的。
咱们先想象一下，你有一个小盒子，这个小盒子就像是一个函数。
这个函数呢，它不是那种随随便便的东西，它有自己的形状，就像小盒子有自己的长、宽、高一样。
然后呢，你还有另外一个东西，咱们就把它想象成是一把小刷子。
这把小刷子也是一个函数哦。
现在呢，咱们就开始做一件特别好玩的事情。
你拿着这个小刷子，在小盒子上刷来刷去的。
这个过程啊，就有点像卷积啦。
比如说，小刷子每次刷过小盒子的一部分，就会产生一个新的结果，就像你画画的时候，刷子沾上颜料在纸上涂抹，每涂抹一次就会有一个不同的颜色混合效果一样。
卷积就是这样一种混合的过程。
我再给你们举个更实际的例子哈。
咱们就说学校操场吧。
操场就像那个大的函数，也就是咱们之前说的小盒子。
然后呢，有一群小朋友在操场上跑步，每个小朋友跑步的轨迹就像是那把小刷子，也就是另外一个函数。
小朋友们在操场上跑来跑去，他们的轨迹和操场的每个地方都产生了一种互动，这个互动的结果就像是卷积的结果。
我跟我的小伙伴小明也讨论过这个卷积的事儿呢。
我跟他说：“小明啊，你看这个卷积就像咱们在沙堆上玩一样。
沙堆是一个形状，就像那个大函数，咱们的小手在沙堆上划来划去，小手的动作就像是小函数，咱们手划过沙堆的每个地方，沙堆就会有不同的变化，这个变化不就像是卷积产生的结果吗？”小明听了之后，眼睛一下子就亮了，他说：“哇，原来这么好玩啊！”那从数学的角度来说呢，卷积其实就是一种特殊的运算。
比如说，咱们有两个函数，一个是f(x)，一个是g(x)。
卷积就是把这两个函数按照一种特殊的规则进行组合。
就好像是把小盒子和小刷子按照一种特殊的方式混合起来。
再想象一下，假如你有一堆乐高积木，这些积木有不同的形状和颜色。
卷积的本质及物理意义(整理)
卷积的本质及物理意义分三个部分来理解：1．信号的角度2．数学家的理解（外行）3．与多项式的关系卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统的响应为y(0)，若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(n-m)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(n-m)中的m的范围来约束的。
详解卷积公式的物理意义
详解卷积公式的物理意义作者：Uncle Jack日期：2020/03/15分解思维1. 人类科学有一个特点是喜欢使用分解的思维去理解分析很多复杂的事物，比如傅里叶级数把很多奇形怪状的函数分解成无穷多个三角函数，又比如力学分析中把单个力分解成直角坐标系中的的xy分量等等。
如果要研究以时间为自变量的函数x[t]经过系统H后会输出什么这样的问题，也可以用分解的方法去看待2. 从能量的角度看，任何信号都是由一份一份的基本能量所构成的，它们在时间轴上紧密排列，最后形成一条曲线，我们把它叫做x （t），纵轴为x（t），横轴为t，离散化之后叫x[n]，因此信号一定是时间的函数。
和我们平时经验积累起来的函数不同，平时做数学题的函数多为静态函数，也就是一个输入值对应一个输出值，这种函数当前的输出和历史的输入好像没什么关系。
3. 利用分解思维，我们也可以定义出最基本的能量单元，或者取名叫单位1能量，这样一来所有的信号都可以由这个单位1能量组成，这个单位1能量就是冲击函数δ（t），离散世界中叫做δ[n]，这个函数将用来表示单位1的能量，甚至它生成的时间位置都有做归一化处理，即在时刻0（注意这里说的是时刻）上出现单位1的能量，其余任意时刻能量都为0，为了表述方便，这里用离散函数分析通用意义。
用冲击函数表示任意函数x[n]为：因为只有当n=k时，δ[n-k]才为1，其余值都是0，所以等式是成立的。
这个公式的分析：时刻上看：在任意时刻k，信号的能量值x[k]等于x[k]乘以1，看起来像是废话，但这里面透露的深层次信息为：信号x[k]已经被分解，改用单位1能量的倍数来表示总时间上看：用单位1能量描绘了信号x[n]在时间轴上各个时刻的能量值大小现在假设x[n]经过一个线性移不变系统H，输出为y[n]，因为线性，所以下面等式成立：又因为移不变性，所以下面等式成立：其中h[n]是系统H的冲击响应函数，h[n-k]是第n-k时刻对应的冲击响应值第一个关键的东西来了，冲击响应是什么？直观理解就是冲击信号通过系统之后的输出，这个输出函数同输入函数一样，也是带着一个时间自变量的信号。
卷积的含义以及几个重要的性质
卷积的含义以及几个重要的性质
卷积！这个概念曾经困扰了我好长时间，一直似懂非懂。
知道学习了信号与系统这门课程以后才有了比较准确的认识。
卷积是一种积分运算，在信号处理领域其物理意义是输入信号经过线性时不变系统的处理以后得到的输出。
如果一个系统是线性时不变系统的0时刻的冲击响应，那么我们就可以用这个响应与输入做卷积得到系统的输出。
就这么简单！如果光看数学公式，什么反褶、滑动，搞了半天不知道什么用，还有人用什么棒子在头上打包来做比喻，越整越懵！个人觉得数学这个东西其实是非常有意思的，它源于生活而高于生活，但是我们学习的时候往往老师不会讲应用背景就理论而理论，抽象的公式推来推去把人整懵了。
卷积有三个重要的性质一定要知道：
交换律：x*h = h*x，它满足交换律，就是说如果把x看成输入、h做为系统响应的结果，与把h作为输入、x作为系统响应他们的输出是一样的；
结合律：x*h1*h2 = x*(h1*h2)=x*h2*h1，结合律的意思是说如果两个系统如果都满足线性、时不变，输入x经过h1系统和h2系统的处理结果，和把h1*h2当作一个系统处理的结果相同，而且信号先经过哪个系统最后效果都相同。
如果一个大系统有无数个小线性系统组成，我们可以把他们作为一个分析整体。
分配律：x*(h1+h2) = x*h1+x*h2，分配律的意思是说，如果两个系统是并行连的，那么最后的结果可以成为输入分别与两个系统作用的结果再相加，相当于可以把一个大线性系统分解为若干个小的系统然后分别求输出以后再叠加。
从上面三个定理看，卷积并不是特别难理解的概念一样，它与乘法非常相似只不过计算的时候用到了积分求和。
卷积在信号处理里面是非常重要的数学工具，一定要搞懂。
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卷积的物理意义卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的,所以常常带有繁琐的算术推倒,很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了,那么卷积究竟物理意义怎么样呢?卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点,我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理,x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统,就常识来讲,系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关,也跟之前若干时刻的输入有关,因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程(这种过程可以是递减,削弱,或其他)对现在时刻系统输出的影响,那么显然,我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时,此种响应未改变,则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(与序列的和不一样)。
但常常系统中不是这样的,因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化,那么怎么表述这种变化呢,就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述,表述为x(m)×h(m-n),具体表达式不用多管,只要记着有大概这种关系,引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值,再通过累加和运算,才得到真实的系统响应。
再拓展点,某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的,也可能是再加上前前时刻,前前前时刻,前前前前时刻,等等,那么怎么约束这个范围呢,就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m的范围来约束的。
即说白了,就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的ﻪ“残留影响”有关。
当考虑这些因素后,就可以描述成一个系统响应了,而这些因素通过一个表达式(卷积)即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说,只要懂怎么用卷积就可以了,研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。
卷积本身不过就是一种数学运算而已。
就跟“蝶形运算”一样,怎么证明,这是数学系的人的工作。
在信号与系统里,f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t)的卷积积分求解得,即y(t)=f(t)*h(t)。
学过信号与系统的都应该知道,时域的卷积等于频域的乘积,即有ﻪY(s)=F(s)×H(s)。
(s=jw,拉氏变换后等到的函数其实就是信号的频域表达式)有一点你必须明白,在通信系统里,我们关心的以及要研究的是信号的频域,不是时域,原因是因为信号的频率是携带有信息的量。
所以,我们需要的是Y(s)这个表达式,但是实际上,我们往往不能很容易的得到F(s)和H(s)这两个表达式,但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t),所以为了找到Y(s)和y(t)的对应关系,就要用到卷积运算。
复频域s=jw,当中的j是复数单位,所以使用的是复频域。
通俗的解释方法是,因为系统中有电感X=jwL、电容X=1/jwC,物理意义是,系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减,即这种衰减是发生在频域的,所以为了与时域区别,引入复数的运算。
但是在复频域ﻪ计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL、KVL、叠加法。
负的频率之所以会出现负的频率,这只是数学运算的结果,只存在于数学运算中,实际中不会有负的频率。
卷积的过程就是相当于把信号分解为无穷多的冲击信号,然后进行冲击响应的叠加。
以下我们举四个现实生活的例子来理解卷积的物理意义:例1:有一个七品县令,喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖,而且有个惯例:如果没犯大罪,只打一板,释放回家,以示爱民如子。
有一个无赖,想出人头地却没啥指望,心想:既然扬不了善名,出恶名也成啊。
怎么出恶名?炒作呗!怎么炒作?找名人呀!他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下,站在县衙门前撒了一泡尿,后果是可想而知地,自然被请进大堂挨了一板子,然后昂首挺胸回家,躺了一天,嘿!身上啥事也没有!第二天如法炮制,全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面,第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来,还喜气洋洋地,坚持一个月之久!这无赖的名气已ﻪ经和衙门口的臭气一样,传遍八方了!县令大人噤着鼻子,呆呆地盯着案子上的惊堂木,拧着眉头思考一个问题:这三十个大板子怎么不好使捏?......想当初,本老爷金榜题名时,数学可是得了满分,今天好歹要解决这个问题:——人(系统!)挨板子(脉冲!)以后,会有什么表现(输出!)?——费话,疼呗!——我问的是:会有什么表现?——看疼到啥程度。
像这无赖的体格,每天挨一个板子啥事都不会有,连哼一下都不可能,你也看到他那得意洋洋的嘴脸了(输出0);如果一次连揍他十个板子,他可能会皱皱眉头,咬咬牙,硬挺着不哼(输出1);揍到二十个板子,他会疼得脸部扭曲,象猪似地哼哼(输出3);揍到三十个板子,他可能会象驴似地嚎叫,一把鼻涕一把泪地求你饶他一命(输出5);揍到四十个板子,他会大小便失禁,勉强哼出声来(输出1);揍到五十个板子,他连哼一下都不可能(输出0)——死啦!县令铺开坐标纸,以打板子的个数作为X轴,以哼哼的程度(输出)为Y轴,绘制了一条曲线:——呜呼呀!这曲线象一座高山,弄不懂弄不懂。
为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀?——呵呵,你打一次的时间间隔(Δτ=24小时)太长了,所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索,没有叠加,始终是一个常数;如果缩短打板子的时间间隔(建议Δτ=0.5秒),那他的痛苦程度可就迅速叠加了;等到这无赖挨三十个大板(t=30)时,痛苦程度达到了他能喊叫的极限,会收到最好的惩戒效果,ﻪ再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白,时间间隔小,为什么痛苦程度会叠加呢?——这与人(线性时不变系统)对板子(脉冲、输入、激励)的响应有关。
什么是响应?人挨一个板子后,疼痛的感觉会在一天(假设的,因人而异)内慢慢消失(衰减),而不可能突然消失。
这样一来,只要打板子的时间间隔很小,每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减,都会对最终的痛苦程度有不同的贡献:t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)[衰减系数是(t-τ)的函数,仔细品味]数学表达为:y(t)=∫T(τ)H(t-τ)——拿人的痛苦来说卷积的事,太残忍了。
除了人以外,其他事物也符合这条规律吗?——呵呵,县令大人毕竟仁慈。
其实除人之外,很多事情也遵循此道。
好好想一想,铁丝为什么弯曲一次不折,快速弯曲多次却会轻易折掉呢?——恩,一时还弄不清,容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊,将撒尿的那个无赖抓来,狠打40大板!例2:张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员,他没有学过"信号与系统"这门课程。
一天,他拿到了一个产品,开发人员告诉他,产品有一个输入端,有一个输出端,有限的输入信号只会产生有限的输出。
然后,经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器),该产品输出什么样的波形。
张三照做了,花了一个波形图。
"很好!"经理说。
然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号,都用公式说明了,输入信号的持续时间也是确定的。
你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧!"这下张三懵了,他在心理想"上帝,帮帮我把,我怎么画出这些波形图呢?"于是上帝出现了: "张三,你只要做一次测试,就能用数学的方法,画出所有输入波形对应的输出波形"。
上帝接着说:"给产品一个脉冲信号,能量是1焦耳,输出的波形图画出来!"张三照办了,"然后呢?"上帝又说,"对于某个输入波形,你想象把它微分成无数个小的脉冲,输入给产品,叠加出来的结果就是你的输出波形。
你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品,每个产生一个小的输出,你画出时序图的时候,输入信号的波形好像是反过来进入系统的。
"张三领悟了:" 哦,输出的结果就积分出来啦!感谢上帝。
这个方法叫什么名字呢?"上帝说:"叫卷积!"从此,张三的工作轻松多了。
每次经理让他测试一些信号的输出结果,张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了!张三愉快地工作着,直到有一天,平静的生活被打破。
经理拿来了一个小的电子设备,接到示波器上面,对张三说:ﻪ"看,这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明,而且,它连续不断的发出信号!不过幸好,这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。
张三,你来测试以下,连到我们的设备上,会产生什么输出波形!"张三摆摆手:"输入信号是无限时长的,难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的,重复的波形输出吗?"经理怒了:"反正你给我搞定,否则炒鱿鱼!"张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来,一个很混乱的波形;时间又是无限长的,卷积也不行了,怎么办呢?"及时地,上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面,计算完成以后再映射回来""宇宙的每一个原子都在旋转和震荡,你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果,也就是若干个可以确定的,有固定频率特性的东西。
""我给你一个数学函数f,时间域无限的输入信号在f域有限的。
时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。
这样你就可以计算了""同时,时间域的卷积在f域是简单的相乘关系,我可以证明给你看看""计算完有限的程序以后,取f(-1)反变换回时间域,你就得到了一个输出波形,剩下的就是你的数学计算了!"张三谢过了上帝,保住了他的工作。
后来他知道了,f域的变换有一个名字,叫做傅利叶,什么什么... ...再后来,公司开发了一种新的电子产品,输出信号是无限时间长度的。
这次,张三开始学拉普拉斯了......例3:比如说你的老板命令你干活,你却到楼下打台球去了,后来被老板发现,他非常气愤,扇了你一巴掌(注意,这就是输入信号,脉冲),于是你的脸上会渐渐地(贱贱地)鼓起来一个包,你的脸就是一个系统,而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应,好,这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。
下面还需要一些假设来保证论证的严谨:假定你的脸是线性时不变系统,也就是说,无论什么时候老板打你一巴掌,打在你脸的同一位置(这似乎要求你的脸足够光滑,如果你说你长了很多青春痘,甚至整个脸皮处处连续处处不可导,那难度太大了,我就无话可说了哈哈),你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来,并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。