函数极值最值的求法及其应用
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的极值与最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的极值函数的极值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。
寻找函数的极值可以通过以下步骤进行。
1. 确定函数的定义域首先，我们需要确定函数的定义域，即函数所能取值的范围。
函数的定义域可以通过对函数进行分析、画图或进行其他方法来确定。
2. 求函数的导数求出函数的导数后，我们可以通过导数的性质来确定函数的极值点。
导数为0的点可能是函数的极值点，但并不确定它们是否为极值点，还需要进一步的分析。
3. 确定极值点经过分析导数为0的点，我们可以通过二阶导数的符号判断这些点是否为函数的极值点。
若二阶导数为正，则该点为函数的极小值点；若二阶导数为负，则该点为函数的极大值点。
若二阶导数不存在，则需要通过其他方法进行分析。
二、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内的某个点或某些点上取得的最大值或最小值。
寻找函数的最值可以通过以下步骤进行。
1. 确定函数的定义域与寻找函数的极值相同，首先我们需要确定函数的定义域。
2. 分析函数的边界点在定义域的边界上求函数的值，将这些点与极值点进行比较，即可求得函数的最值。
需要注意的是，在闭区间上求最值时，要将区间的两个端点也考虑进去。
3. 比较函数的极值以及边界值对于函数的极值点和边界点所对应的函数值，进行比较，找出其中的最大值和最小值即可得到函数的最值。
三、总结与应用函数的极值和最值的求解方法是数学中重要的内容，对于优化问题、最优化问题等有着广泛的应用。
在实际问题中，可以将函数的极值与最值的求解应用到经济学、物理学、工程学等多个领域中。
需要注意的是，函数的极值与最值可能有多个，所以在求解的过程中需要综合考虑多个情况，并进行分析和比较。
同时，在实际问题中，由于函数形式的多样性，有时可能需要借助数值方法或计算机仿真等手段来求解函数的极值与最值。
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
函数极值与最值问题的解决方法
函数极值与最值问题的解决方法在数学中，函数极值与最值问题一直是学习者们面临的难题。
解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将探讨一些常见的解决方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、导数法导数法是解决函数极值与最值问题的一种常用方法。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到其极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导函数。
2. 解方程f'(x) = 0，找出导函数的零点，即可能的极值点。
3. 利用二阶导数的符号判断这些零点的性质。
若f''(x) > 0，则该点为极小值点；若f''(x) < 0，则该点为极大值点。
4. 将极值点带入原函数，求出函数的极值。
举个例子，考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1。
首先，求导得到f'(x) = 3x^2 -6x + 2。
然后，解方程f'(x) = 0，得到x = 1和x = 2/3。
接着，计算二阶导数f''(x) =6x - 6，发现f''(1) = 0，f''(2/3) = -2。
因此，x = 1是极小值点，x = 2/3是极大值点。
最后，将这两个点带入原函数，求得f(1) = 2和f(2/3) = 4/27，即函数f(x)在x = 1处取得极小值2，在x = 2/3处取得极大值4/27。
二、区间法区间法是一种直观且易于理解的解决函数极值与最值问题的方法。
它通过观察函数在不同区间的变化趋势来确定极值点的位置。
具体步骤如下：1. 找出函数的定义域。
2. 将定义域分成若干个区间。
3. 在每个区间内，计算函数的值，并找出最大值和最小值。
4. 比较各个区间的最大值和最小值，确定函数的最大值和最小值。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
首先，求出函数的定义域为(-∞, +∞)。
然后，将定义域分成三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。
函数的极值与最值求解的方法和步骤
函数的极值与最值求解的方法和步骤在数学中，函数的极值与最值是研究函数性质的重要内容之一。
通过求解函数的极值与最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的特性。
本文将介绍一些常见的方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、函数的极值与最值的定义在开始讨论求解方法之前，我们首先需要明确函数的极值与最值的概念。
对于定义在某个区间上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得在c的邻域内，对于任意的x都有f(x)≤f(c) 或f(x)≥f(c)，那么我们称c为函数f(x)的极值点。
如果函数在整个定义域上的极值点中有一个最大值或最小值，那么我们称之为函数的最值。
二、求解函数极值与最值的方法1. 导数法导数法是求解函数极值与最值的常用方法之一。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求得函数的驻点；（3）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将驻点代入原函数f(x)，求得函数的极值。
2. 区间法区间法是一种直观且易于理解的方法。
通过将函数在给定区间内的所有值进行比较，我们可以找到函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）将定义域分成若干个子区间；（3）在每个子区间内求出函数的值，并进行比较；（4）找出子区间中的最大值和最小值，即为函数的最值。
3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。
当我们需要求解函数在一定条件下的最值时，Lagrange乘数法可以帮助我们进行求解。
具体步骤如下：（1）建立拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)-λg(x,y,...)，其中f(x,y,...)为目标函数，g(x,y,...)为约束条件；（2）对拉格朗日函数求偏导数，得到一组方程；（3）求解方程组，得到函数的驻点；（4）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（5）将驻点代入原函数f(x,y,...)，求得函数的极值。
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。
在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。
本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。
第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。
函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。
函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。
第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。
另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。
求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。
2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。
另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。
还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。
总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。
第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。
1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。
解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。
另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值和最值是数学中一个重要的概念，它们在各个领域的应用中都具有重要的作用。
在本文中，我们将介绍一些常见的函数极值和最值的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、极值的定义和求解方法极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
对于一个单变量函数，要求其极值，可以通过以下步骤进行：1. 求导：首先，我们需要求出函数的导数。
导数就是函数在某一点上的斜率，它可以告诉我们函数的变化趋势。
通过求导，我们可以找到函数的驻点，也就是导数为零的点。
2. 驻点分析：找到导数为零的点后，我们需要对这些点进行分析。
根据驻点的情况，可以得到以下几种可能性：a. 极大值：如果驻点的二阶导数为负，那么这个点就是函数的极大值点。
b. 极小值：如果驻点的二阶导数为正，那么这个点就是函数的极小值点。
c. 无法判断：如果驻点的二阶导数为零或不存在，那么可能是函数的拐点，此时无法确定其极值。
通过上述步骤，我们可以求得函数在给定区间内的极值点和极值值。
二、最值的定义和求解方法最值是函数在整个定义域上的最大值或最小值。
对于一个单变量函数，要求其最值，可以通过以下步骤进行：1. 确定定义域：首先，我们需要确定函数的定义域，也就是函数在哪些区间上有意义。
2. 端点分析：在定义域的首尾，通常会有一些特殊点，如开区间的端点或无穷大。
我们需要对这些点进行分析，看是否有可能成为最值点。
3. 内部分析：在定义域的内部，我们可以借助极值的求解方法来找到函数的最值点。
通过上述步骤，我们可以求得函数的最值点和最值值。
三、扩展部分：多变量函数的极值与最值除了单变量函数外，我们还经常遇到多变量函数的极值和最值的求解问题。
对于一个多变量函数，要求其极值和最值，可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：首先，我们需要对函数进行偏导数的计算。
偏导数是指在求导时将其他变量视为常数，只对某一个变量进行求导。
2. 驻点分析：找到偏导数为零的点，即驻点。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中常见的概念，它们在解决实际问题和优化计算等方面起着重要的作用。
本文将介绍函数的极值与最值的求解方法。
一、函数的极值函数的极值包括极大值和极小值。
要求函数的极值，首先需要找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点。
然后，通过判断驻点的二阶导数来确定驻点是极大值还是极小值。
1. 寻找驻点对于给定的函数f(x)，我们首先需要求导数f'(x)，然后找到导数为零或不存在的点。
这些点就是函数的驻点。
2. 判断驻点的性质驻点的性质可以通过二阶导数f''(x)来判断。
若f''(x)>0，则该驻点为极小值；若f''(x)<0，则该驻点为极大值；若f''(x)=0，则无法判断。
二、函数的最值函数的最值包括最大值和最小值。
要求函数的最值，可以通过以下方法进行求解。
1. 首先，找到函数的定义域。
在定义域内，求出函数的一阶导数f'(x)。
2. 确定导数的零点和边界点。
将导数f'(x)置为零，求解方程f'(x)=0，得到导数的零点。
同时，找到定义域的边界点。
3. 将零点和边界点代入原函数f(x)。
计算这些点对应的函数值，比较大小，即可得到函数的最值。
三、实例分析下面通过一个实例来说明函数的极值与最值的求解方法。
例：求函数f(x)=x^3-3x的极值与最值。
1. 寻找驻点求导得到f'(x)=3x^2-3。
令f'(x)=0，解得x=±1。
所以驻点为x=-1和x=1。
2. 判断驻点的性质求二阶导数f''(x)=6x。
将驻点代入得到f''(-1)=-6<0和f''(1)=6>0。
所以驻点x=-1为极大值点，驻点x=1为极小值点。
3. 求最值由于函数定义域为全体实数，不存在边界点。
代入驻点和边界点得到f(-1)=2和f(1)=-2。
函数的极值和最值及其应用
函数的极值和最值及其应用函数极值的定义设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的一个极大值。
如果附近所有的点，都有()()0f x f x >，则()0f x 是函数()f x 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。
若函数f 在点0x 处可导，且0x 为f 的极值点，则()00f x '=.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是()00f x '=.函数最值的定义设函数()f x 在X 区间上有定义，如果存在一点0x X ∈，使得()0f x 不小于其他所有的()f x ，亦即 ()()0,f x f x x X ≥∈ ，则称()0f x 是在X 上的最大值，又可记为 ()(){}0max f x f x = ；同样使得()0f x 不大于其他所有的()f x ，亦即 ()(),o f x f x x X ≤∈ ，则称()0f x 是在X 上的最小值，又可记为 ()(){}0min f x f x = .注意：函数()f x 在X 上未必一定有最大（小）值。
最值和极值的联系与区别（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；（2）极值未必是最值；（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。
函数极值、最值的求解方法1、降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。
例1：已知2x y +=，求函数z =的极值。
解：由题设得2y x =-z ==()2280x -++≥22x ∴--≤≤-+即函数的定义域为：22⎡---+⎣当2x =-时，max z= 当2x =-+min 0z =2、转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。
求极值与最值的方法
求极值与最值的方法求极值和最值是数学中常见的问题。
当我们面临一个函数或一组数据时，我们希望能够找到它们的最大或最小值，这对于解决各种实际问题非常重要。
在本文中，我们将讨论一些常见的方法来求解极值和最值问题。
一、函数的极值求解方法：1.导数法：对于可导的函数，导数可以告诉我们函数在特定点的变化趋势。
函数在极值点的导数为零，所以我们可以通过求解导数为零的方程来找到极值点。
对于一元函数，我们只需求得导数，并求解方程f'(x)=0即可。
对于多元函数，我们需要求偏导数，并解方程组∂f/∂x=0和∂f/∂y=0等。
2.二阶导数法：通过求得函数的二阶导数，我们可以判断函数在其中一点的曲率和凸凹性质。
如果函数在其中一点的二阶导数大于零，则函数在该点上是凸函数，即函数取得极小值。
反之，如果二阶导数小于零，则函数在该点上是凹函数，即函数取得极大值。
二、数据的最值求解方法：1.遍历法：对于一组有限的数据，我们可以通过遍历整个数据集来找到最大或最小值。
这种方法适用于数据量较小的情况，但若数据量很大时，计算量会非常庞大。
2.排序法：我们可以对数据进行排序，然后找出最大或最小的元素。
对于较大的数据集，排序的时间复杂度可能很高，但一旦排好序，最值就可以很快被找出。
3.分治法：对于一个大规模的数据集，可以将其分成若干部分，然后递归地求解各个部分的最值，最后再从这些最值中选取最大或最小的元素。
这种方法适用于大规模数据集，可以大大降低计算复杂度。
4.动态规划法：对于具有重叠子问题特征的问题，我们可以使用动态规划的方法来求解最值。
通过定义状态、状态转移方程和初始条件等，我们可以使用动态规划算法逐步递推得到最值。
虽然这些方法在解决极值和最值问题时都有自己的优势和适用范围，但在具体问题中选择何种方法求解，需要根据问题的性质和数据的特点来确定。
对于函数的极值问题，导数法和二阶导数法是最常用的求解方法；对于数据的最值问题，遍历法和排序法适用于小数据量，而分治法和动态规划法适用于大数据量。
函数的极值与最值的应用
函数的极值与最值的应用函数是数学中重要的概念之一，在实际问题中经常被用来描述某种关系。
在数学中，我们经常关心函数的极值与最值，因为它们能够帮助我们找到问题的最优解。
本文将探讨函数极值与最值的应用，并介绍如何通过求导数来确定极值点。
一、函数的极值我们先来介绍极值的概念。
对于一个函数f(x)，如果在某一点x处，存在一个邻域，使得在这个邻域内的所有x的函数值都小于（或大于）f(x)，那么我们称f(x)取得了极小值（或极大值）。
极小值和极大值统称为极值。
确定函数的极值实际上是要找到函数的驻点，即在这些点上函数的导数为零或者不存在。
我们可以通过求解函数的导数来找到这些驻点。
举例来说，假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1。
我们可以通过求导数f'(x) = 2x - 2来找到函数的驻点。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 1。
所以函数的极值点就是x = 1。
二、函数的最值函数的最值是指函数的取值范围中的最大值或最小值。
和极值类似，最大值和最小值也可以通过求导数来确定。
对于函数f(x)，如果在一个区间[a, b]上f(x)的值都小于（或大于）其它任何点的函数值，那么我们称f(x)在区间[a, b]上取得了最小值（或最大值）。
我们可以通过求导数来找到函数的驻点，并将驻点和区间的端点进行比较，以确定函数的最值。
举例来说，假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1，并要求在区间[0, 2]上找到函数的最小值。
我们可以通过求导数f'(x) = 2x - 2，并将f'(x) = 0的解带入到区间端点和驻点进行比较。
当x = 0时，f(x) = 1；当x = 1时，f(x) = 0；当x = 2时，f(x) = 1。
所以在区间[0, 2]上，函数的最小值为0，当x = 1时取得。
三、函数极值与最值的应用函数的极值和最值在实际问题中有着广泛的应用。
通过求解函数的极值和最值，我们可以找到问题的最优解。
导数与函数的极值与最值
导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是微积分中的重要概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍导数、函数的极值与最值的基本概念、求解方法及其应用。
一、导数的定义及性质导数是函数的一个基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
在数学中，导数可以用极限的概念来定义。
当函数f(x)在点x处可导时，它的导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗导数具有一些重要的性质，包括可导函数的和、差、积、商的导数运算法则。
这些性质为求解函数的极值和最值提供了数学工具。
二、函数的极值与最值函数的极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
特别地，当函数在某一点上取得最大值或最小值时，称为函数的局部极值。
函数的极大值和极小值统称为极值。
函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与极值不同的是，最值可能发生在函数的端点或无穷远处。
函数的最值是极值的一个特例。
三、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们需要利用导数的概念和性质。
下面介绍一些常用的求解方法。
1. 导数为零的点如果在某一点x处，函数的导数f'(x)为零或不存在，那么该点可能是函数的极值点。
然而，这种方法只是提供了一个可能性，我们还需要进行进一步的验证。
2. 导数的符号变化对于连续函数f(x)，如果在某一点x处，f'(x)由正数变为负数，或由负数变为正数，那么该点可能是函数的极值点。
3. 极值的判别法通过求解函数的导数f'(x)的零点，可以得到函数的驻点，即可能的极值点。
然后，通过极值的判别法判断哪些点是真正的极值点。
四、导数与函数的极值与最值的应用导数与函数的极值与最值在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 经济学中的最大收益问题在经济学中，我们常常需要求解某一产品的最大利润。
利用导数与函数的极值与最值的概念，我们可以优化生产过程，使得利润达到最大化。
函数的极值与最值的判定和求解方法
函数的极值与最值的判定和求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值和最值是函数在某个特定区间内的最大值和最小值。
这些值对于我们理解函数的性质和应用非常重要。
本文将介绍函数的极值与最值的判定和求解方法。
一、极值的定义和判定首先，我们来了解极值的定义。
对于函数f(x)，如果在某个点x0处，存在一个邻域，使得对于该邻域内的任意x值，都有f(x0)≥f(x)（或f(x0)≤f(x)），那么我们称f(x0)是函数f(x)的极大值（或极小值）。
那么如何判定函数的极值呢？一种常用的方法是利用函数的导数。
对于可导函数f(x)，其极值点必然是导数为0的点或导数不存在的点。
因此，我们可以通过求解导数为0的方程或找出导数不存在的点来判定函数的极值。
二、最值的定义和判定接下来，我们来了解最值的定义。
对于函数f(x)，如果在某个区间[a, b]内，对于该区间内的任意x值，都有f(x)≥f(a)（或f(x)≤f(a)），那么我们称f(a)是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值（或最小值）。
如何判定函数的最值呢？一种常用的方法是利用函数的一阶导数和二阶导数。
我们可以通过求解导数为0的方程来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断驻点是极大值还是极小值。
同时，我们还需要比较函数在区间端点处的取值，以确定最值的存在性。
三、求解极值和最值的方法1. 利用导数求解极值和最值对于可导函数f(x)，我们可以通过以下步骤求解极值和最值：（1）求出函数f(x)的导数f'(x)；（2）解方程f'(x) = 0，得到函数的驻点；（3）通过二阶导数f''(x)的符号来判断驻点是极大值还是极小值；（4）比较函数在区间端点处的取值，确定最值的存在性。
2. 利用函数的性质求解极值和最值除了利用导数的方法外，我们还可以利用函数的性质来求解极值和最值。
例如，对于一些特殊函数，我们可以通过观察函数的图像和性质来确定极值和最值的位置。
微积分中的极值问题及最值问题的应用
微积分中的极值问题及最值问题的应用微积分是数学的重要分支，经常被应用于自然科学和工程技术领域。
极值问题及其相关的最值问题也是微积分中的基础概念和重要问题。
在本文中，我们将会介绍极值问题及最值问题的定义、应用和解决方法。
一、极值问题的定义极值问题是指某函数在一定范围内取得的最大值和最小值的问题。
极大值和极小值统称为极值，也称为驻点。
对于一元函数f(x)，在x=a处如果f(x)在x=a左侧单调递减，在右侧单调递增，那么称x=a为f(x)的极大值点；反之则称x=a为f(x)的极小值点。
如果f(x)在x=a的左右两侧都不存在单调性，那么x=a为驻点，但不是极值点。
对于二元函数z=f(x,y)，极值点要满足偏导数为0，即f’x(x,y)=0，f’y(x,y)=0，极值点也被称为驻点。
二、最值问题的定义最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
若指标量与限制条件是形如≤的约束，称这类问题为约束最值问题；若指标量与限制条件是形如=的约束，称这类问题为无约束最值问题。
三、应用举例1.楼体开发问题在楼体开发问题中，我们需要确定楼体的高度、长和宽，使得物业建筑总面积最大，而楼体的高度与长、宽有一定关系，构成了约束条件。
这就是约束最值问题的一个实际应用。
2.生产成本问题在生产成本问题中，我们需要确定生产的数量和生产的价格，使得总利润最大。
这是一个无约束最值问题的例子。
3.投资组合问题在投资组合问题中，我们需要确定资产组合的比例和相应的收益率，使得投资组合的期望收益最大。
这是一个无约束最值问题的例子。
四、解决方法1. 二阶导数法在一元函数的极值问题中，我们可以通过二阶导数的正负性来确定极值点的位置：当f''(x)>0时，x点取极小值；当f''(x)<0时，x点取极大值。
2. 拉格朗日乘数法在约束最值问题中，我们可以使用拉格朗日乘数法，它将带约束的最值问题转化为不带约束的最值问题。
函数的极值与最值的求解
函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要求解函数的极值和最值。
函数的极值指的是函数在某个定义域内取得的最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
本文将介绍如何求解函数的极值和最值的方法。
一、函数的极值求解方法1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常用方法。
根据函数的极值定义，极值点处函数的导数为零或不存在。
因此，我们可以通过以下步骤求解函数的极值：1）求函数的导数；2）令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标；3）将极值点的横坐标代入原函数，求得纵坐标。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 2x - 2；2）令导数等于零：2x - 2 = 0，解得x = 1；3）将x = 1代入原函数：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0，得到极小值0。
2. 二阶导数法在某些情况下，使用二阶导数可以更方便地求解函数的极值。
根据函数的极值定义，当函数的一阶导数为零且二阶导数大于零时，函数取得极小值；当一阶导数为零且二阶导数小于零时，函数取得极大值。
例如，对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9；2）求二阶导数：f''(x) = 6x - 12；3）令一阶导数等于零，解方程得到极值点的横坐标：3x^2 - 12x +9 = 0，解得x = 1；4）将x = 1代入二阶导数：f''(1) = 6 - 12 = -6，表明函数在x = 1处取得极大值。
二、函数的最值求解方法函数的最值即为整个定义域内的最大值或最小值。
求解函数最值的方法有以下几种：1. 导数法和求解极值类似，我们可以通过求解函数在定义域内的导数来找到函数的最值。
例如，对于函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = -2x + 4；2）令导数等于零，解方程得到最值点的横坐标：-2x + 4 = 0，解得x = 2；3）将x = 2代入原函数：f(2) = -(2^2) + 4(2) - 3 = 1，得到函数的最大值1。
大学微积分-函数的极值与最值应用
x0
x0
极值存在的必要条件
定理 设函数 y = f (x) 在极值点 x0 可导, 则
f (x0) = 0.
注1: 如果 f (x) = 0, 那么称 x0 为 f (x) 的驻点.
注2: 驻点不一定是极值点.
M
当 x > 2 时, f (x) < 0
所以 f (2) = 1 为 f (x) 的极大值.
极值存在的第二充分条件
定理 设函数 y = f (x) 在驻点 x0 二阶可导,
(1) 如果 f (x0) > 0, 则 f (x) 在 x0 取极小值; (2) 如果 f (x0) < 0, 则 f (x) 在 x0 取极大值.
+
+
x0
x0
+
x0
+
x0
一阶导数 变号法
例1 求函数 f (x) = x3－ 3x2－ 9x + 5 的极值.
解 f (x) = 3x2 － 6x － 9
= 3(x + 1)(x － 3)
令 f (x) = 0 得: x1 = －1, x2 = 3
x (－∞, －1) －1 (－1, 3) 3 (3, +∞)
称为“二阶导数非零法” 说明：1. 记忆——特例法: y = x2, y= －x2
+
x0
+
x0 y
2. 只适用于驻点, 不能用于判断不可导点
3. f (x0) = 0 时不可使用.
o
x
y = x3
例3 求函数 f (x) = x3 + 3x2－ 24x － 20 的极值. 解 f (x) = 3x2 + 6x－24
函数的极值问题及其实际应用
函数的极值问题及其实际应用随着科技和社会发展的进步，如何将数学知识应用至实际生活中成为一项重要的任务。
其中函数的极值问题便是一个常见而又实用的数学问题。
一、极值的定义首先，我们需要明确极值的定义。
极值是指函数在某一特定区间内的最大值或最小值。
函数的极值可以被用来确定实际问题中的最优解或最劣解。
举个例子，我们可以使用函数的极值来确定某种产品最佳的生产量。
二、求解极值的方法为了确定函数的极值，我们需要求出函数的导数并找到导数为零的点。
这些点称为函数的临界点。
当然，临界点并不一定是函数的极值。
接着，我们需要利用二阶导数来判断这些临界点是否为极值点。
如果二阶导数是正数，那么该点为函数的最小值点。
如果二阶导数是负数，那么该点为函数的最大值点。
三、极值问题的实际应用在实际生活中，函数的极值往往可用于我们解决一些重大的问题。
下面将以两个具体例子来说明函数的极值问题的实际应用。
1、最优化问题最优化问题是指在一定的限制条件下来寻找函数的最大值或最小值。
其中的限制条件例如品质要求、成本限制、时间限制、资源限制等等。
这些限制条件反映在求解过程中，往往被成为约束条件。
在各种工程、科学和经济决策问题中，最优化问题都是比较普遍和重要的。
例如，在生产过程中，如何使总生产成本最小，如何使总过程时间最短，在维护成本、抵御风险等问题中，都是需要考虑最优化问题的。
2、田地划分问题田地划分问题是一个古老而又实用的数学问题。
假设一个农民手中有一块矩形形状的田地，他想利用这个田地来种不同的作物。
为了最大化收益，这位农民需要将这块田地划分成若干个相等的小块，并在每个小块中种植最优作物。
利用函数的极值，我们可以确定最优的划分方式，从而达到最大化收益的目的。
四、总结函数的极值问题及其实际应用是数学学科中的一个重要部分。
通过求解极值问题，我们可以找到最优解或最劣解，从而在实际问题中取得最佳效果。
应用函数的极值问题，在工程、科学和经济等领域都有着广泛的应用。
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数极值最值的求法及其应用
学习目标：会用导数求函数的极值与最值并利用其解决相关的数学问题.
学习重点：利用导数求函数单调区间和极值最值，并能利用他们解决相恒成立问题、方程的根和函数的零点问题.
学习难点：含参函数的分类讨论和数形结合的思想方法. 学习方法：指导学习法.
课前五分钟展示：求函数)0()(>+=a x
a
Inx x f 在区间[]1,e 上的最小值.
基础知识回顾： 1、 单调区间：
在某个区间(a,b)内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调
注意：求参数范围时，若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则
'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
2、 函数的极值与最值：
极大值和极小值：一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有)(x f ＜)(0x f 或)(x f ＞)(0x f ，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值或极小值，记作极大值y =)(0x f ，0x 是极大值点或记作极小值y =)(0x f ，0x 是极小值点.
在定义中，极大值与极小值统称为 取得极值的点称为 极值点是自变量的值，极值指的是
最大值和最小值：观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的
函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在
[]b a ,上必有最大值与最小值．
请注意以下几点：
（1；
（2）函数的极值不是唯一的；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 ；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点取得最大值.最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 思考探究：
在连续函数)(x f 中，0)('= x f 是函数)(x f 在 x x =处取到极值的什么条件（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 典型例题：
题型一：利用导数求函数的极值最值问题：
例1：求函数5224+-=x x y 在区间[]2,3-上的最大值与最小值.
变式练习：已知函数]2,0[,3
34)(2
∈+=
x x x
x f ，]2,0[,31)(3∈+-=x a x x x g .若对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使0)()(21=-x g x f .则实数a 的范围为
归纳总结： 题型二：恒成立问题： 例2：已知x x b ax x f ln 2)(+-=在1,2
1
==x x 处取得极值. 1、求b a ,的值；
2、若对]2,41
[∈x 时，c x f >)(恒成立，求c 的取值范围；
3、若存在]2,41
[∈ x 时，使得c x f >)( 成立，求c 的取值范围.
变式练习：设函数a ax x a x x f 244)1(3
1)(23
+++-=
（a>1），若当x≥0时，f(x)>0恒成立，则a 的取值范围是
归纳总结：
题型三：方程的根和函数的零点、不等式有解问题：
例3：已知函数3()31,0f x x ax a =--≠.若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与
()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.
变式练习：设函数329
()62
f x x x x a =-+-.
1、若方程()0f x =有且只有一个实根，则a 的取值范围是
2、若存在[]3,0∈ x 使得0)(≤ x f 成立，则a 的取值范围是
归纳总结： 课后作业：已知a 为实数，).)(4()(2a x x x f --=
（1）若)(,0)1(x f f 求=-'在[—4，4]上的最大值和最小值； （2）若(][)+∞-∞-,22,)(和在x f 上都是递增的，求a 的取值范围.
课堂小结：(本节课你学到了什么？)。