函数极值最值的求法及其应用

函数极值最值的求法及其应用

学习目标：会用导数求函数的极值与最值并利用其解决相关的数学问题.

学习重点：利用导数求函数单调区间和极值最值，并能利用他们解决相恒成立问题、方程的根和函数的零点问题.

学习难点：含参函数的分类讨论和数形结合的思想方法. 学习方法：指导学习法.

课前五分钟展示：求函数)0()(>+=a x

a

Inx x f 在区间[]1,e 上的最小值.

基础知识回顾： 1、 单调区间：

在某个区间(a,b)内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调

注意：求参数范围时，若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则

'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

2、 函数的极值与最值：

极大值和极小值：一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有)(x f ＜)(0x f 或)(x f ＞)(0x f ，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值或极小值，记作极大值y =)(0x f ，0x 是极大值点或记作极小值y =)(0x f ，0x 是极小值点.

在定义中，极大值与极小值统称为 取得极值的点称为 极值点是自变量的值，极值指的是

最大值和最小值：观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的

函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在

[]b a ,上必有最大值与最小值．

请注意以下几点：

（1；

（2）函数的极值不是唯一的；

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 ；

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点取得最大值.最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 思考探究：

在连续函数)(x f 中，0)('= x f 是函数)(x f 在 x x =处取到极值的什么条件（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 典型例题：

题型一：利用导数求函数的极值最值问题：

例1：求函数5224+-=x x y 在区间[]2,3-上的最大值与最小值.

变式练习：已知函数]2,0[,3

34)(2

∈+=

x x x

x f ，]2,0[,31)(3∈+-=x a x x x g .若对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使0)()(21=-x g x f .则实数a 的范围为

归纳总结： 题型二：恒成立问题： 例2：已知x x b ax x f ln 2)(+-=在1,2

1

==x x 处取得极值. 1、求b a ,的值；

2、若对]2,41

[∈x 时，c x f >)(恒成立，求c 的取值范围；

3、若存在]2,41

[∈ x 时，使得c x f >)( 成立，求c 的取值范围.

变式练习：设函数a ax x a x x f 244)1(3

1)(23

+++-=

（a>1），若当x≥0时，f(x)>0恒成立，则a 的取值范围是

归纳总结：

题型三：方程的根和函数的零点、不等式有解问题：

例3：已知函数3()31,0f x x ax a =--≠.若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与

()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.

变式练习：设函数329

()62

f x x x x a =-+-.

1、若方程()0f x =有且只有一个实根，则a 的取值范围是

2、若存在[]3,0∈ x 使得0)(≤ x f 成立，则a 的取值范围是

归纳总结： 课后作业：已知a 为实数，).)(4()(2a x x x f --=

（1）若)(,0)1(x f f 求=-'在[—4，4]上的最大值和最小值； （2）若(][)+∞-∞-,22,)(和在x f 上都是递增的，求a 的取值范围.

课堂小结：(本节课你学到了什么？)