胡不归问题解法通法
胡不归问题解题方法和口诀
胡不归问题解题方法和口诀
胡不归问题是一种常见的计数问题，通常涉及到等差数列和等比数列的求和问题。
下面是胡不归问题的解题方法和口诀。
解题方法:
1. 对于等差数列的胡不归问题，可以通过求和公式求解。
设第 n 个数为 a_n，公差为 d，则前 n-1 个数的和为:
S(n-1) = n*(a_1 + a_2 + ... + a_n) = n*(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) - n*a_n
当 n 趋近于无穷大时，S(n-1) 趋近于正无穷大，因此胡不归的时间点一定是在等差数列的最后一个数 a_n 取最大值或最小值的时候。
2. 对于等比数列的胡不归问题，可以通过乘法公式求解。
设第 n 个数为 a_n，公比为 q，则前 n-1 个数的和为:
S(n-1) = (a_1 + a_2 + ... + a_n)/n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + n*q^(n-1) - n*q^n
当 n 趋近于无穷大时，S(n-1) 趋近于正无穷大，因此胡不归的时间点一定是在等比数列的最后一个数 a_n 取最大值或最小值的时候。
口诀:
1. 胡不归问题，数列求解;等差数列求和，等比数列乘积;
2. 首项加末项，求和公式运用;数列趋近于正无穷大，胡不归时间确定;
3. 掌握等差数列和等比数列的特点，运用极限思想求解。
拓展:
胡不归问题不仅可以应用于计数问题，还可以应用于其他数学领域。
例如，在概率论中，胡不归问题可以应用于判断一个事件是否会发生;在组合数学中，胡不归问题可以应用于求解组合数的总和。
几何模型胡不归
几何模型胡不归一、“胡不归”问题的提出有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人还在不断喃喃的叨念：“胡不归？胡不归？……”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线（见图1）。
A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。
但是他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么这应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以在AC上选定一点D，小伙子从A走到D，然后从D折往B，可望最早到达B。
用现代的科学语言表达就是：“已知在驿道和砂地上行走的速度分别为v驿道和v砂地，在AC上求一个定点D，使得A→D→B的行走时间最短。
”于是问题在于如何去找出D点。
这个古老的“胡不归”问题风靡了一千多年，一直到十七世纪中叶，才由法国科学家费尔马揭开它的面纱。
不过，费尔马的答案不是直接获得的，而是由一件意外的事情得到的帮助。
感兴趣的可以自己查阅资料！现在我们一起用初中数学知识探讨一下“胡不归”问题的解决方法。
二、“胡不归”问题的解决首先，我们将“胡不归”问题转化为一道简介的数学题。
题目如下：如图，在直线AC上找点D，使按A-D-B的路径所用时间最小，其中在AD上的时间为V1，在DB上的时间为V2，且V1＞V2.三、解决“胡不归”问题得到的相关结论1、根据前面的解法，总结几个特殊的速度比：2、“胡不归”问题的解决通法第一步：首先描出所走的路径线路图，其次分别标出速度较快的线段和速度较慢的线段，最后找到起点和终点；第二步：过速度较快线段的端点（起点或终点）往所走路径的外侧作一条射线，使之与速度较快的线段构成的角满足：；第三步：过速度较慢线段的端点（终点或起点）做该射线的垂线；第四步：该垂线与速度较快路径所在直线的交点即为所求点D。
中考数学压轴题复习之胡不归
胡不归整理基本解法：构造直角三角形胡不归问题解法通法：第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧，过终点作一射线，使之与该线段构成的角满足：1 sinVα=；第二步：过起点作该射线的垂线；第三步：该垂线与线段的交点即为所求．例题解析：例1、（2016•宜兴市一模）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C （0，4），设直线BE 的解析式为y=kx +b ，把B （3，0），C （0，4）代入得，解得，∴直线BE 的解析式为y=﹣x +4， 解方程组得或，则E 点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间==（s ），即蚂蚁从A 到E 的最短时间为s ． 故答案为．例2、（2014成都）如图，已知抛物线)4)(2(8-+=x x k y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。
胡不归模型问题归类及解法
胡不归模型问题归类及解法
胡不归模型问题是指在使用黑盒机器学习模型时，出现了模型的预测结果与实际情况相差较大或出现错误的情况。
这可能是由于模型的输入数据质量不好，特征选择不当，模型训练不充分等原因导致的。
胡不归模型问题可以分为以下几类：
1. 数据质量问题：输入数据质量差、缺失值过多、异常值等。
解决方法包括数据清洗、特征工程等，通过处理数据以提高模型的准确性。
2. 特征选择问题：特征选择不当或缺乏重要特征。
解决方法包括使用特征选择算法(如卡方检验、信息增益等)、领域知识的引入等，以选择和提取对模型预测有价值的特征。
3. 模型选择问题：选择的模型不适合解决该问题。
解决方法包括尝试不同模型、调整模型超参数以提高模型的预测性能。
4. 数据不平衡问题：样本中不同类别的样本数量不平衡。
解决方法包括过采样、欠采样、集成学习方法等，以平衡不同类别的样本。
5. 模型训练不充分问题：训练数据集太小，模型没有充分地学习到数据的分布。
解决方法包括增加训练数据、使用数据增强技术、使用迁移学习等方法，以提高模型的泛化能力。
6. 模型过拟合问题：模型过于复杂，过拟合了训练数据。
解决方法包括增加正则化项、提前停止训练、使用更简单的模型等，以降低模型的复杂度。
7. 模型欠拟合问题：模型过于简单，无法充分拟合数据。
解决方法包括增加模型的复杂度、引入更多特征等，以提高模型的拟合能力。
解决胡不归模型问题的方法需要具体问题具体分析，可以结合数据分析、模型评估和调参等技术手段。
胡不归问题
胡不归问题1．胡不归问题求形如“P A ＋kPB ”的最小值问题．常见的有P A ＋12PB ，P APB ，P APB ，P APB ，P APB ．2．方法：先构造定角，利用三角函数得到kPB 的等线段，再运用“点到直线之间，垂线段最短”解题．3．步骤：（如图所示）第一步，化成模型P A ＋kPB （0＜k ＜1）；第二步，在系数不为1的线段的定端点处作一个角α（即在PB 的一侧，AB 的另一侧），使得sin α＝k ，得到一条射线BD ，过点P 作PM ⊥BD 于点M ，则在Rt △BPM 中，PM ＝kPB ；第三步，过点B 作AN ⊥BD 于点N ，则线段AN 即为所求．4．常见的系数k 与对应的直角三角形k，构造45°角k ＝12，构造30°角 k，构造60°角ABCPαNMPCBDA45°c230°c 12c2c60°类型1：常见三角函数【例题1】（1）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝6，动点P在AC上，连接PBAP＋PB的最小值为_____________．【答案】CAD＝45°，则∠BAD＝60°）（2）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AB上的动点，则PC＋12AP的最小值为__________．【答案】（3）如图，矩形ABCD中，BD＝6，∠ABD＝60°，将矩形沿对角线BD对折，得到△BDE，F是线段BD上的动点，则EF＋12BF的最小值为____________．【答案】4.5．（提示：∠EBN＝2∠DBC＝2×30°＝60°，BC＝EF＋12BF＝EF＋FN≥EN＝3＝4.5）CPABFE DBAPCCC（4）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，P 为x 轴上的动点，当AP ＋12OP 取得最小值时，求点P 的坐标和AP ＋12OP 的最小值．【答案】点P 的坐标为(2，0)；最小值是3．（提示：令∠QOP ＝30°，∵∠AOB ＝30°，∴∠AOQ ＝60°，OA ＝AN ＝＝3）（5）如图，已知二次函数yx 2xx 轴于A 、C 两点，交y 轴于点B ，对称轴与x 轴相交于点D ，P 为y 轴上的动点，连接PD ，则PD ＋12PB 的最小值为__________．．（提示：A (－1，0)，C (2，0)，B (0，D (12，0)，∠ABO ＝30°，AD ＝32，最小值DN ＝AD ×sin60°＝32）【例题2】（1）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝6，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 在OA 上，且AM＝2，动点Q 在线段BD 上，则2MQ的最小值为______．【答案】10．（提示：∵AC 与BD 互相垂直平分，作∠PBC ＝30°，则∠QBP ＝60°，∵MC ＝GC ＝4，BG ＝2，∴MG ＝4，GF ＝1，∴最小值＝2×(4＋1)＝10）xxA BC DOQM M QPG FEODCBA（2）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，P是线段AB上的动点，连接PC，则2PC的最小值是_____________．【答案】．（提示：2PC＝2(PCPB)，作∠ABD＝45°，sin75，BC＝PC PB＝PC＋PM≥CN＝（3）如图，已知二次函数y＝ax2－2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，点C(3，0)，与y轴交于点B(0，－3) ．①a＝________，c＝__________；②P是x轴上一动点，点D(0，2)在y轴上，连接PD＋PC的最小值．【答案】（1）a＝1，c＝－3；（2）5．（提示：（1）y＝x2－2x－3，（2）∠OCB＝∠OBC＝45°，DN ＝DB×sin45°＝5）【例题3】如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，弧AC＝120°，D是线段AC上的动点，则OD＋12CD的最小值是____________．CE∥AB，则∠ECA＝30°，∴∠NOC＝60°÷2＝30°）xxBE类型2：特殊三角形函数【例题4】（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝P是AC上的动点，则AP＋3BP的最小值为___________．【答案】．（提示：AB＝6，∴sin∠BAC＝13，过点P作PM⊥AB于M，则PM＝13AP，作点B关于直线AC的对称点D，则DP＝BP，∴AP＋3BP＝3(13A P＋BP)＝3(PM＋BP)＝3(PM＋DP)≥3DN，∵sin∠ABC，BD＝2BC＝4，∴DN（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，动点D在AC上，则5BD＋3DA的最小值为_____________．【答案】36．（提示：5BD＋3DA＝5(BD＋35DA)，作∠CAE，使得sin∠CAE＝35，由8字模型可知sin∠FBC＝35，∴BF＝203，CF＝163，∴AF＝23，∴FN＝815，∴BD＋45DA≥BN＝BF＋FN＝365）（3）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD＝43．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点，连接PB，求35PC＋PB的最小值．Dx x【答案】（1）y ＝－49x 2＋169x ＋209；（2）①32；②245．（提示：y ＝－49(x －2)2＋4（2）tan ∠ACD ＝tan ∠CBD ＝34，AB ＝6，∴BN ＝6×45＝245）【例题5】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是BE 上的动点，则CD＋的最小值是____________．【答案】．（提示：∵tan A ＝2，∴sin ∠ABE，∴sin ∠ACN，∴sin A，∵AC ＝10，∴CN ＝10＝）EACBDDB CAMN E。
二次函数动点最小值问题—胡不归
最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA PB +最值，除此之外我们还可能 会遇上形如“PA kPB +”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问 题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之 间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当 赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不 断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为1V ，在直线MN 上运动的速度为 2V ，且12V V <，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．【问题分析】121121V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC kAC =的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin ,,CHDAN k k CH kAC AC∠===．将问题转化为求BC CH +最小值，过B 点作BH AD ⊥交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC CH +取到最小值，即BC kAC +最小．【模型总结】在求形如“PA kPB +”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA kPB +”型问 题转化为“PA PC +”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【2019 长沙中考】如图，ABC ∆中，10AB AC ==tan 2A =，BE AC ⊥于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +的最小值是_______．【2019 南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，6AB =，2BC =，P 为边CD 上的一动点，则PB +的最小值等于________．【2014成都中考】如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y b =+与抛物线的另一交点D ． （1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点 A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速 度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【2018重庆中考A 】抛物线2y x =+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边）， 与y 轴交于点C ．点D 是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将△OBC 沿直线CH 翻折至△O 2B 2C 的位置，再将△O 2B 2C 绕点B 2旋转一周，在旋转过程中，点O 2，C 的对应点分别是点O 3，C 1，直线O 3C 1分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△O 2B 2C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN 是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O 2M 的长；若不存在，请说明理由． 【第三问与本次课基本无关，可不讲】【2018重庆中考B】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线24y x x=-+上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1,1)．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求12PH FH FO++的最小值；（3）在（2）中，12PH FH FO++取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．【第三问与本次课基本无关，可不讲】如图，二次函数213662y x x =-++与x 轴相交A ，B 两点，与y 轴相交于点C ．（1）若点E 为线段BC 上一动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点P ，垂足为F ，当2PE EF -取得最大值时,在抛物线y 的对称轴上找点M ，在x 轴上找点N ，使得PM MN NB ++的和最小，若存在，求出该最小值及点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在（1）的条件下，若点P ′为点P 关于x 轴的对称点，将抛物线y 沿射线BP ′的方向平移得到新的抛物线y ′，当y ′经过点A 时停止平移，将△BCN 沿CN 边翻折，点B 的对应点为点B ′，B ′C 与x 轴交于点K ，若抛物线y ′的对称轴上有点R ，在平画内有点S ，是否存在点R 、S 使得以K 、B ′、R 、S 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S 的坐标；若不存在，请说明理由．【第二问与本次课基本无关，可不讲】如图，抛物线22y ax ax c=-+的图象经过点(0,2)C-，顶点D的坐标为8(1,)3-，与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y BF+的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H BF+取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【第四问与本次课基本无关，可不讲】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：12AQ QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【第二、三问与本次课基本无关，可不讲】【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数2y ax=(0)a>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），1OA=，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求35PE PA+的最小值．如图所示，已知抛物线(3)(1)=+-(0)a≠，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，y a x x与y轴相交于点C，经过点A的直线y b=+与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【第二问与本次课基本无关，可不讲】如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过点B 的直线与抛物线在第二象限交于点C ，且4tan 3CBA ∠=，点D 为线段BC 上一点（不含端点），现有一个动点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度运动到D 点，再沿线段DC 以每秒54个单位长度的速度运动到C 点，则动点P 运动到C 点的最短时间需________秒。
中考数学最值—胡不归问题(解析+例题)
中考数学最值——胡不归问题（点在直线上运动）（PA+k·PB型最值）【历史典故】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为射线AC上一动点。
②问题：P在何处时，BP+nm AP最短（nm＜1）。
③方法：第一步在AC的一侧，PB的异侧构造∠CAE=α，使得sinα=nm 第二步做BH⊥AE，交AC于P，点P就是所求位置，BH就是其最小值。
【模型分析】【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D 选在何处时，所用时间最短?个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标。
【巩固训练】练习1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上BM的最小值为_____。
任意一点，则AM＋12练习2：如图，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为A0，点D为射线A0上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当 AD= 时，运动时间最短为秒。
胡不归数学模型初中解法
胡不归数学模型初中解法
胡不归数学模型是一个初中数学问题，我们可以通过以下步骤来解决它。
1. 首先，我们要了解胡不归数学模型的定义。
胡不归是一种数学游戏，规则如下：从任意一个正整数开始，按照一定的规则进行操作，直到最终得到数字胡不归。
操作规则为：如果当前数字是奇数，则将其乘以3再加1；如果当前数字是偶数，则将其除以2。
重复这个操作直到得到胡不归。
2. 给定一个初始数字，我们可以利用循环来进行操作，直到得到胡不归。
我们使用一个变量来保存当前数字的值，并根据当前数字的奇偶性进行不同的操作。
3. 我们可以使用一个while循环来进行操作，直到得到胡不归。
循环的结束条件可以是当前数字等于胡不归，即我们找到了胡不归。
4. 在循环中，我们可以使用if-else语句来判断当前数字的奇偶性，并根据结果进行相应的操作。
如果当前数字是奇数，我们将它乘以3再加1；如果当前数字是偶数，我们将它除以2。
5. 在每次操作后，我们更新当前数字的值，并继续循环直到最终得到胡不归。
总结起来，胡不归数学模型的解题步骤是：给定一个初始数字，使用循环和条件判断来进行操作，直到得到胡不归为止。
通过这种方法，我们可以解决胡不归数学模型问题。
初中数学胡不归问题
问题探究
【建立模型】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为v1，在直线MN上运动的
速度为v2，且v1＞v2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置
使 BC AC 的值最小。
求最值。
C
M Aα
N
注意：这里的AC必须是一条方向不变的直线，且0＜k＜1，方
能构造定角利用三角函数得到和kAC相等的线段。
H D
类题演练
【2019 长沙中考】如图，△ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD 5 BD 的最小值是_______．
C，交AD于点H，此时BH+CH最小，即BC+kAC最小。
M M A Aα α
CH sinα= =k
AC
CH=kAC
C
C
H
H
BB
NN
D
D
【模型总结】
在求形如“BC+kAC”的式子的最值问题中，关 B
键是构造与kAC相等的线段，将“BC+kAC”型的问
题，转化为“BC+CH”型，然后根据“垂线段最短”
【小结】本题简单在于题目已经将 BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线 DH ，即可解决问题，若稍 作改变，将图形改造如下：
E D
B
C
则需自行构造α ，如下图，这一步正是 解决“ 胡不归” 问题关键所在．
A
E D
H
E
D
B
C
α
5
2020中考专题9——最值问题之胡不归
2020中考专题9——最值问题之胡不归班级姓名.【模型解析】◆条件：A、B 为定点，P 为射线AC 上一个动点◆问题：点P 在何处，AP m n BP +（1<mn）最短。
◆方法：第一步.在AC 的一侧，PB 的异侧，构造∠CAE=α,使得mn=αsin ;第二步.作BH ⊥AE 于点E，交AC 于点P,此时点P 就是所求位置，BH 就是AP mnBP +的最小值.【例题分析】例1.【问题提出】如图①，已知海岛A 到海岸公路BD 的距离为AB ，C 为公路BD 上的酒店，从海岛A 到酒店C ，先乘船到登陆点D ，船速为a ，再乘汽车，车速为船速的n 倍，点D 选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n ＝2，则时间t ＝aCDa AD 2+，当a 为定值时，问题转化为：在BC 上确定一点D ，使得2CDAD +的值最小．如图②，过点C 做射线CM ，使得∠BCM ＝30°．（1）过点D 作DE ⊥CM ，垂足为E ，试说明：2CDDE =；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D ′，并说明理由．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．【模型运用】（4）如图③，海面上一标志A 到海岸BC 的距离AB ＝300m ，BC ＝300m ．救生员在C 点处发现标志A 处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m /s ，在海中游泳的速度都是2m /s ，求救生员从C 点出发到达A 处的最短时间．2.（2019•南通）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +23PD 的最小值等于．例2图例3图例3.（2019•长沙）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值是（）A ．2B ．4C ．5D ．10【巩固训练】1.(2018台州仙居县一模）如图1，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°,边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则PC BP +21的最小值是（）A.3B.233 C.3 D.23433+图1图2图32.（2015无锡二模）如图2，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则求PA+PB+PD的最小值为.3.如图3,△ABC 在直角坐标系中,AB=AC,A(0,22),C(1,0),D 为射线AO 上一点,一动点P 从A 出发,运动路径为A →D →C,点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D 的坐标应为()A.(0,22)B.(0,22) C.(0,32) D.(0,42)图4图55.（2015内江）如图5，在△ACE 中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当AB=8时，则21CD+OD 的最小值．中，BC=2,∠B=30°，求c bx ++的图象经过点A(-1,0)、图78.（2015日照）如图8，抛物线y=21x 2+mx+n 与直线y=-21x+3交于A，B 两点，交x 轴与D，C 两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠BAC 的值；（3）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？图82020中考专题9——最值问题之胡不归答案例1.解：（1）如图①，∵DE ⊥CM ，∴∠DEC ＝90°，∴在Rt △BCM 中，DE ＝CD •sin30°，∴DE ＝．（2）如图①过点A 作AE ⊥CM 交CB 于点D '，则D '点即为所用时间最短的登陆点．理由如下：由第（1）问可知，D 'E '＝．AD '+最短，即为AD '+D 'E ′最短．由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短．可知此时D '点即为所求．（3）如图②，过点C 做射线CM ，使得sin ∠BCM ＝n1，过点A 作AE ⊥CM ，垂足为E ，交CB 于点D ，则D 即为所用时间最短的登陆点．（4）∵救生员在岸上跑的速度都是6m /s ，在海中游泳的速度都是2m /s ，∴此时sin ∠BCM ＝，可得sin ∠DAB ＝，∴在Rt △ADB 中，AB ＝300，AD ＝225，DB ＝75，CD ＝300﹣75．∴时间为+＝（50+100）s ．例2.解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD ∴∠EDP ＝∠DAB ＝60°，∴sin ∠EDP ＝∴EP ＝PD∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3故答案为3例3.解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．【巩固训练】答案1.解：如图作PM⊥AB于M，CH⊥AB于H．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠PBM ＝∠ABC ＝30°，∴PM ＝PB ，∴PB +PC ＝PC +PM ，根据垂线段最短可知，CP +PM 的最小值为CH 的长，在Rt △CBH 中，CH ＝BC •sin60°＝，∴PB +PC 的最小值为，故选：B ．2.26 3.D4.964 5.32 6.327.【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ﹣，∵y ＝x 2﹣x ﹣＝（x ﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时PB +PD 最小．理由：∵OA ＝1，OB ＝，∴tan ∠ABO ＝＝，∴∠ABO ＝30°，∴PH ＝PB ，∴PB +PD ＝PH +PD ＝DH ，∴此时PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt △ADH 中，∵∠AHD ＝90°，AD ＝，∠HAD ＝60°，∴sin60°＝，∴DH ＝，∴PB +PD 的最小值为．故答案为．8.解：（Ⅰ）把A （0，3），C （3，0）代入y ＝x 2+mx +n ，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（2）如图,过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．9.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．∴OD＝OB＝OC＝OA，∵△EDC和△ODC关于CD对称，∴DE＝DO，CE＝CO，∴DE＝EC＝CO＝OD，∴四边形CODE是菱形．（2）①设AE交CD于K．∵四边形CODE是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，∴＝＝∵AB＝CD＝6，∴DK＝2，CK＝4，在Rt△ADK中，AK＝＝＝3，∴sin∠DAE＝＝，②作PF⊥AD于F．易知PF＝AP•sin∠DAE＝AP，∵点Q的运动时间t＝+＝OP+AP＝OP+PF，∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，∴OF＝CD＝3．AF＝AD＝，PF＝DK＝1，∴AP＝＝，∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s．。
初三中考一轮复习(25)胡不归问题 题型分类 含答案(全面 非常好)
教学主题胡不归问题教学目标重要知识点1.2.3.易错点教学过程点 P 在直线上运动----“胡不归”问题如图1-1-1 所示，已知s in∠MBN=k,点P为角∠MBN 其中一边B M 上的一个动点，点A在射线BM、BN 的同侧，连接A P,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定图1-1-1 图1-1-2 图1-1-31、问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；2、法则：首先判断是否为胡不归问题，①系数不为 1 的线段的和②动点在直线上运动。
第一步：整理系数，使得系数小于 1；（大于 1 时提取系数）第二步：确定两定点，一动点，转化系数不为 1 的线段；第三步：过要转化线段的固定顶点作角，使得这个角的正弦值为系数第四步：从另一个定点出发向构造的角的一边作垂线段，垂线段的值即为最小值。
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，） C．（0，） D．（0，）过点D 作DE垂直于AC于点E，AD=3DE，运动时间为DE+CD，根据对称性最小时，直接由点C向AB做垂线，交Y轴点即为D3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）【答案】8分之34、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6, ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为。
胡不归最值问题(解析版)
胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．ACV 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC ，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【练习】1.如图，AC 是圆O 的直径，AC =4，弧BA =120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么OD +12BD 的最小值为( )A.32B.3C.1+32D.1+3【解答】解：∵BA 的度数为120°，∴∠C =60°，∵AC 是直径，∴∠ABC =90°，∴∠A =30°，作BK ⎳CA ，DE ⊥BK 于E ，OM ⊥BK 于M ，连接OB ．∵BK ⎳AC ，∴∠DBE =∠BAC =30°，在Rt ΔDBE 中，DE =12BD ，∴OD +12BD =OD +DE ，根据垂线段最短可知，当点E 与M 重合时，OD +12BD 的值最小，最小值为OM ，∵∠BAO =∠ABO =30°，∴∠OBM =60°，在Rt ΔOBM 中，∵OB =2，∠OBM =60°，∴OM =OB ⋅sin60°=3，∴12DB +OD 的最小值为3，故选：B ．2.如图，在ΔABC 中，∠A =15°，AB =10，P 为AC 边上的一个动点(不与A 、C 重合)，连接BP ，则22AP +PB 的最小值是( )A.52 B.53 C.1033 D.8【解答】解：如图，以AP 为斜边在AC 下方作等腰Rt ΔADP ，过B 作BE ⊥AD 于E ，∵∠PAD =45°，∴sin ∠PAD =DP AP =22，∴DP =22AP ，∴22AP+PB=DP+PB≥BE，∵∠BAC=15°，∴∠BAD=60°，∴BE=AB sin60°=53，∴22AP+PB的最小值为53．故选：B．3.ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为( )A.4B.3+3C.6D.23+3【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在RtΔDFC中，∠DCF=30°，∴DF=12DC，∵2AD+DC=2AD+12DC=2(AD+DF)，∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B=∠ADB=60°，∴ΔABD是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，在RtΔABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，∴BC=4，∴DC=2，∴DF=12DC=1，∴AF=AD+DF=2+1=3，∴2(AD+DF)=2AF=6，∴2AD+DC的最小值为6，故选：C．4.如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为( )A.4B.5C.25D.35【解答】解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ=JB=25，CJ=OC2-OJ2=52-(25)2=5，∴AC=2CJ=25，∵AH⊥OC，∴OC⋅AH=12⋅OB⋅AC，∴AH=12×45×255=4，∴sin∠POF=PFOP=CJOC=55，∴PF=55OP，∴AP+55OP=AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴AP+55OP≥4，∴AP+55OP的最小值为4，故选：A．5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=16，∠ABC=60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点(不与端点A、C重合)，连接DM，则12CM+DM的最小值是( )A.43B.33C.23D.4【解答】解：过点M作ME⊥OC于E，过点D作DF⊥OC于F，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=30°，∴ME=12MC，∴12CM+DM=ME+DM，∴ME +DM 的最小值为DF 的长，∵D 为弧AC 的中点，∴∠AOD =∠COD =60°，在Rt ΔODF 中，sin ∠DOF =sin60°=DF OD =32，∴DF =32OD =43，∴12CM +DM 的最小值为：43，故选：A ．6.在ΔABC 中，∠ACB =90°，P 为AC 上一动点，若BC =4，AC =6，则2BP +AP 的最小值为( )A.5B.10C.52D.102【解答】解：以A 为顶点，AC 为一边在下方作∠CAM =45°，过P 作PF ⊥AM 于F ，过B 作BD ⊥AM 于D ，交AC 于E ，如图：2BP +AP =2BP +22AP ，要使2BP +AP 最小，只需BP +22AP 最小，∵∠CAM =45°，PF ⊥AM ，∴ΔAFP 是等腰直角三角形，∴FP =22AP ，∴BP +22AP 最小即是BP +FP 最小，此时P 与E 重合，F 与D 重合，即BP +22AP 最小值是线段BD 的长度，∵∠CAM =45°，BD ⊥AM ，∴∠AED =∠BEC =45°，∵∠ACB =90°，∴sin ∠BEC =sin45°=BC BE ，tan ∠BEC =BC CE，又BC =4，∴BE =42，CE =4，∵AC =6，∴AE =2，而sin ∠CAM =sin45°=DE AE ，∴DE=2，∴BD=BE+DE=52，∴2BP+AP的最小值是2BD=10，故选：B．7.【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2．(1)如图1．E为AD的中点，则点E到AB的距离为 34 ；(2)如图2，M为AD上一动点．则12AM+MC的最小值为 ；【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地 km处．【解答】解：(1)∵ΔABC是等边三角形，∴AB=BC=2，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，BD=1，∴AD=3，过E作EM⊥AB，垂足为M，∵E为AD的中点，∴AE=32，∴EM=12AE=34，故答案为：3 4；(2)如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时12AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2，CN⊥AB，∴∠ACN=∠BCN=30°，∴AN=12AC=1，由勾股定理得，CN=AC2-AN2=22-12=3，由(1)知，MN=12AM，∴MN+CM=12AM+MC=CN=3，即12AM+MC的最小值为3，故答案为：3；【问题解决】如图，作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于M，则点M即为所求，在RtΔABD中，AB=600km，BD=360km，∴AD=6002-3602=480，易知∠MB D=∠MAF=30°，在RtΔMBD中，∠MB D=30°，BD=360km，则MB=2MD，由勾股定理得MD=1203km，∴AM=AD-MD=(480-1203)km．故答案为(480-1203)．8.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM= 3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 732 ．【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB=AC=10，∴AB=BC=AC=10，∠ABD=∠CBD，∴ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠CBD=30°，∵PE⊥BC，∴PE=12PB，∴MP+12PB=PM+PE，∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM=3，∴MC=7，∵sin∠ACB=MEMC=3 2，∴ME=732，∴MP+12PB的最小值为732，故答案为73 2．9.如图，直角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，AC=3，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+12BP的最小值 32 ．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠A=30°，BC=1，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2，∠ABC=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵PE⊥AB，∴PE=12PB，∴CP+12PB=CP+PE，∴当点P，点C，点E三点共线，且CE⊥AB时，CP+12PB有最小值为CE，∴CE=AC×BCAB=1×32=32，故答案为：3 2．10.如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC至D使CD=BC，连接AD，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为 43 ．【解答】解：如图中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．∵∠PAF=30°，∠PFA=90°，∴PF=12PA，∴2BP+AP=2PB+12PA=2(PB+PF)，∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，在Rt△DF′B中，∵∠D=60°，DB=4，∴BF′=DB∙sin60°=23，∴2BP+AP的最小值为43，故答案为：43．11.如图，▱ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB +32PD 的最小值等于 33 ．【解答】解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ⎳CD∴∠EDP =∠DAB =60°，∴sin ∠EDP =EP DP =32∴EP =32PD∴PB +32PD =PB +PE ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ，∵sin ∠A =BE AB=32∴BE =33故答案为：3312.如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +4的图象分别与y 轴和x 轴交于点A 和点B ．若定点P 的坐标为(0，63)，点Q 是y 轴上任意一点，则12PQ +QB 的最小值为 53 ．【解答】解：过点P 作直线PD 与y 轴的夹角∠OPD =30°，作B 点关于y 轴的对称点B ，过B 点作B E ⊥PD 交于点E 、交y 轴于点Q ，∵B E ⊥PD ，∠OPE =30°，∴QE =12PQ ，∵BQ =B Q ，∴12PQ +QB =QE +B Q =B E ，此时12PQ +QB 取最小值，∵∠OPD =30°，∠POD =90°，∴PD =2OD ，∠ODP =60°，∵P 的坐标为(0，63)，∴PO =63，∴OD 2+(63)2=(2OD )2，∴OD =6，∵直线y =-x +4的图象分别与y 轴和x 轴交于点A 和点B ，∴A (0,4)，B (4,0)，∴OB =4，∴OB =4，∴B D =10，∵B E ⊥PD ，∠ODP =60°，∴∠EB D =30°，∴DE =12B D =5，∴B E =B D 2-DE 2=102-52=53，∴12PQ +QB 取最小值为53，故答案为：53．13.如图，在ΔABC 中，AB =5，AC =4，sin A =45，BD ⊥AC 交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则PC +35PB 的最小值为 165 ．【解答】解：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB =90°，∵sin A =BD AB=45，AB =5，∴BD =4，由勾股定理得AD =AB 2-BD 2=52-42=3，∴sin ∠ABD =AD AB =PE BP =35，∴EP =35BP ，∴PC +35PB =PC +PE ，即点C 、P 、E 三点共线时，PC +35PB 最小，∴PC +35PB 的最小值为CH 的长，∵S ΔABC =12×AC ×BD =12×AB ×CH ，∴4×4=5×CH ，∴CH =165．∴PC +35PB 的最小值为165．故答案为：165．14.如图，在ΔABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：(1)AE = 25 ；(2)CD +55BD 的最小值是 ．【解答】解：(1)∵tan A =2，BE ⊥AC ，∴BE AE=2，∴设BE =2x ，AE =x ，∴x 2+(2x )2=102，∴x =25(负值舍去)，∴AE =25，故答案为25；(2)作DF ⊥AB 于F ，CH ⊥AB 于H ，∵AE =25，AB =10，∴AE AB=2510=55，∴sin ∠ABD =DF BD =55，∴DF =55BD ，∴CD +55BD =CD +DF ，要想CD +DF 最小，只要C 、D 、F 三点共线，即最小值为CH ，∵AB =AC ，根据等积法可知：CH =BE ，由(1)知：BE =2AE =45，∴CD +55BD 的最小值是45，故答案为：45．15.如图，在ΔABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =2，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值为 6 ．【解答】解：如图所示，作点A 关于BC 的对称点A ，连接AA ，A D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，∵ΔABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AB =2，∴BH =1，AH =3，AA =23，∠C =30°，∴Rt ΔCDE 中，DE =12CD ，即2DE =CD ，∵A 与A 关于BC 对称，∴AD =A D ，∴AD +DE =A D +DE ，∴当A ，D ，E 在同一直线上时，AD +DE 的最小值等于A E 的长，此时，Rt △AA E 中，A E =sin60°×AA =32×23=3，∴AD +DE 的最小值为3，即2AD +CD 的最小值为6，故答案为：6．16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知A (-2,0)、C (0,-23)，且抛物线的对称轴是直线x =1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB ，则12PC +PB 的最小值是 33 ；【解答】解：(1)将A ，C 点坐标代入函数解析式，及对称轴，得4a -2b +c =0c =-23-b 2a =1，解得a =34b =-32c =-23，抛物线的解析式为y =34x 2-32x -23，(2)连接AC ，作BH ⊥AC 于H ，交OC 于P ，如图1，此时12PC +PB 最小．理由：当y =0时，34x 2-32x -23=0，解得x =-2(舍)x =4，即B (4,0)，AB =4-(-2)=6．∵OA =2，OC =23，∴tan ∠ACO =OA OC=33，∴∠ACO =30°，∴PH =12PC ，∴12PC +PB =PH +PB =BH ，∴此时12PB +PD 最短(垂线段最短)．在Rt ΔABH 中，∵∠AHB =90°，AB =4-(-2)=6，∠HAB =60°，∴sin60°=BHAB=3 2，∴BH=6×32=33，∴12PC+PB的最小值为33，故答案为：33．17.已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,-6)，直线y=-13x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在线段OB上有一动点P，直接写出10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．【解答】解：(1)∵直线y=-13x+2过点B，C，令y=0，则-13x+2=0，∴x=6，令x=0，则y=2，∴B(6,0)，C(0,2)，∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(6,0)和D(0,-6)，∴36+6b+c=0 c=-6，∴b=-5 c=-6 ，∴抛物线的解析式为y=x2-5x-6；(2)如图，以点D为直角顶点作RtΔPDM，使DM=3DP，在RtΔPDM中，根据勾股定理，PM=DM2+DP2=10DP，要使10DP+BP最小，则有点B，P，M在同一条线上，而点B，P在x轴上，所以，点M在x轴上时，10DP+BP最小，此时，点M记作M ，点P记作P ，设P (m,0)，∵∠DOP =∠M DP =90°，∠OP D=∠DP M ，∴ΔDOP ∽△M DP ，∴DP P M =OP DP ，∴m DP =DP10DP ，∴DP =10m，在RtΔDOP 中，OD=6，根据勾股定理得，(10m)2-m2=36，∴m=2或m=-2(舍)，∴P(2,0)，∴10DP+BP=10×210+(6-2)=24，即10DP+BP的最小值为24，此时点P的坐标为(2,0)．18.如图，已知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-33x+b与抛物线的另一交点为D．(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：(1)将点B(4,0)代入y=-33x+b，得-33×4+b=0，∴b=433，∴BD:y=-33x+433，当x=-5时，y=-33×(-5)+433=33，∴D(-5，33)，将点D代入y=k8(x+2)(x-4)，得：k8×(-5+2)×(-5-4)=33，∴k=839，∴抛物线的表达式为：y=39(x+2)(x-4)=39x2-239x-839，(2)由题意得：点M的运动时间为AF+12DF，过点D作DE⊥x轴于点E，∵D(-5，33)，B(4,0)，∴DE=33，EB=9，BD=63，∴∠DBE=30°，过点D和点F分别作x轴的平行线和y轴的平行线，交于点N，∴∠DBE =∠FDN =30°，∴NF =12DF ，∴AF +12DF =AF +NF ，过点A 作AH ⊥DN 于点H ，此时(AF +NF )min =AH ，∴AH 与直线BD 的交点即为所求点F ，∵A (-2,0)，∴当x =-2时，y =-33×(-2)+433=23，∴点F 的坐标为(-2，23)时，点M 在整个运动过程中用时最少．19.抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且B (-1,0)，C (0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且DD =2CD ，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，MN ⎳y 轴交直线OD 于点N ，连结CN ．当55D N +CN 的值最小时，求MN 的长．【解答】解：(1)∵y =-x 2+bx +c 经过B (-1,0)，C (0,3)，∴c =3-1-b +c =0 ，解得b =2c =3，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3．(2)如图，连接AD ′，过点N 作NJ ⊥AD ′于J ，过点C 作CT ⊥AD ′于T ．∵抛物线y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴顶点D (1,4)，∵C (0,3)，∴直线CD 的解析式为y =x +3，CD =2，∵DD ′=2CD ，∵DD ′=22，CD ′=32，∴D ′(3,6)，∵A (3,0)，∴AD ′⊥x 轴，∴OD ′=OA 2+D ′A 2=32+62=35，∴sin∠OD′A=OAOD′=5 5，∵CT⊥AD′，∴CT=3，∵NJ⊥AD′，∴NJ=ND′⋅sin∠OD′A=55D′N，∴55D N+CN=CN+NJ，∵CN+NJ≥CT，∴55D N+CN≥3，∴55D N+CN的最小值为3，此时N为OD 与CT的交点，∴N(1.5,3)，∵平移后抛物线的解析式为y=-(x-3)2+6，MN平行y轴，将x=1.5代入抛物线解析式，∴M(1.5,3.75)，∴MN=0.7520.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形．∴OD=OB=OC=OA，∵ΔEDC和ΔODC关于CD对称，∴DE=DO，CE=CO，∴DE=EC=CO=OD，∴四边形CODE是菱形．(2)①设AE交CD于K．∵四边形CODE是菱形，∴DE⎳AC，DE=OC=OA，∴DK KC=DEAC=12∵AB =CD =6，∴DK =2，CK =4，在Rt ΔADK 中，AK =AD 2+DK 2=(5)2+22=3，∴sin ∠DAE =DK AK=23，②作PF ⊥AD 于F ．易知PF =AP ⋅sin ∠DAE =23AP ，∵点Q 的运动时间t =OP 1+AP 32=OP +23AP =OP +PF ，∴当O 、P 、F 共线时，OP +PF 的值最小，此时OF 是ΔACD 的中位线，∴OF =12CD =3．AF =12AD =52，PF =12DK =1，∴AP =52 2+12=32，∴当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，AP 的长为32cm ，点Q 走完全程所需的时间为3s ．。
中考数学复习之胡不归问题
中考数学复习之胡不归问题中考数学复习之胡不归问题中考数学复习是一个关键的阶段，学生需要将过去几年的数学知识进行梳理和复习，以便在中考中取得好成绩。
在复习过程中，有一种问题被称为“胡不归问题”，这类问题通常涉及了速度、时间和距离等概念，需要学生掌握一定的解题技巧和方法。
“胡不归问题”是一种经典的数学问题，通常涉及到运动学中的速度、时间和距离等概念。
这类问题的基本思路是通过已知的速度、时间和距离等量之间的关系，来求解未知量。
在求解过程中，需要学生掌握一定的代数知识和方程构建能力。
针对“胡不归问题”，学生需要掌握以下解题步骤和方法：1、仔细审题，理解题意。
在理解题意的过程中，需要明确已知量和未知量，以及它们之间的关系。
2、根据题意构建方程。
通过分析题意，确定方程的形式和内容，并列出方程。
3、解方程。
通过代数方法或计算工具，解出未知量。
4、验证答案。
根据题意和已知条件，验证所得答案是否合理。
在复习过程中，学生可以通过做一些相关的练习题来加深对“胡不归问题”的理解和掌握。
也可以通过向老师或同学请教，解决自己在解题过程中遇到的问题和困难。
总之，“胡不归问题”是中考数学复习中的一个重要问题，学生需要认真掌握其解题技巧和方法。
在解题过程中，需要审题仔细、构建方程准确、解方程无误、验证答案严谨。
通过不断的练习和思考，相信学生一定可以在中考数学中取得好成绩。
中考数学最值—胡不归问题中考数学最值问题一直是同学们关注的焦点，而胡不归问题又是其中的一种常见类型。
本文将结合实例，详细解析胡不归问题的解决方法，帮助大家更好地掌握这一难点。
首先，需要明确胡不归问题的基本形式。
一般情况下，胡不归问题可以转化为以下形式：在一条直线上有若干个点，求这些点关于某一点对称的点中最远（或最近）的点的距离。
解决这类问题的关键在于如何找到对称点，以及如何运用勾股定理等数学知识进行计算。
下面，我们通过具体例子来解析胡不归问题的解决方法。
例如，在中考数学最值问题中，经常会出现求正六边形内一点到六边形的六条边的距离之和的最小值。
胡不归经典例题及解法
胡不归经典例题及解法
胡不归问题，是初中数学几何题的难点，与阿氏圆类似，在动点运动过程中求某线段的最值。
胡不归问题的典型特质是求AP+k·BP的形式，这里一般考虑将k·BP
进行转化，构造出一个角α，令sinα=k，再做垂线，构造出直角三角形，角α的对边即为k·BP，进而求解最值。
来看例题，我们边做边理解。
【例题】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值。
(本题视频讲解在文末)
先分析一下，AP＋BP＋CP中，AP=CP；
所以，AP＋BP＋CP=2(AP+1/2BP)；
只需要求出AP+1/2BP的最小值即可。
做辅助线，将1/2BP进行转化。
以点B为顶点，作∠DBF=30°，交AC于点F；过点P作PE⊥BF于点E；
连接AC，交BD于点O
在直角三角形PBE中，∠PBE=30°
PE=1/2PB
因此，AP+1/2BP=AP+PE，
只有当A、P、E三点共线时，AP+1/2BP取得最小，即为下图中AE 长。
AE长该怎么求？
有很多种方法，可以用三角函数，AE=AB·sin∠ABE，AE=2sin75°。
也可以直接算出AE的长度，利用等面积法。
在三角形ABF中，AE·BF=BO·AF
BO=√2
BF=2√6/3
AF=AO+OF=√2+√6/3
可以求出，AE=(√2+√6)/2
所以，AP＋BP＋CP的最小值即为2AE=√2+√6 。
二次函数与胡不归问题知识解读
二次函数与胡不归问题知识解读【专题说明】“PA+k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
(1)其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；前面几何模型中我们已经学习了“胡不归”解题方法。
本章节继续学习二次函数与胡不归综合应用。
【方法技巧】胡不归问题识别条件：动点P 的运动轨迹是直线（或线段）方法：1、将所求线段和改为k AP BP +的形式（k 1<）2、作CAD θ∠=，使sin k θ=3、过点B 作BE AD ⊥交AC 于点P4、k AP BP +的最小值转化为垂线段的长1k k()AP BP AP BP k+=+按常规模型算即可注意：当k ＞1时， 【典例分析】【典例1】如图1，抛物线y ＝x 2+（m ﹣2）x ﹣2m （m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左边），与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．且△ABC 的面积为8．（1）求m 的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T ，T 的横坐标为t ，使∠ATC ＝60°．求（t ﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，∵m＞0，∴﹣m＜0，∴A（﹣m，0），B（2，0），∴AB＝2+m，令x＝0，则y＝﹣2m，∴C（0，﹣2m），∵△ABC的面积为8，∴×（2+m）×（2m）＝8，解得m＝2或m＝﹣4（舍）；（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，∵的横坐标为t，∴T（t，t2﹣4），过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，∵∠DCT＝90°，∴∠DCE+∠TCF＝90°，∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠TCF＝∠CDE，∴△CED∽△TFC，∴＝＝，∵∠ATC＝60°，∴＝，∵C（0，﹣4），∴CF＝t，TF＝t2，∴DE＝t，CE＝t2，∴D（﹣t2，t﹣4），设直线AT的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，∴（t﹣1）2＝；（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，∵A、B关于y轴对称，∴AP＝BP，∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠ABG＝∠ACO，∵AO＝2，CO＝4，∴AC＝2，∴sin∠ACO＝，∴＝，∴CP＝GP，∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，∵cos∠ACO＝＝＝，∴BG＝，∴CP+AP的最小值为8，∵tan∠ACO＝＝＝，∴OP＝1，∴P（0，﹣1）．【典例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．故答案为．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为．【解答】解：过点P作直线PD与y轴的夹角∠OPD＝30°，作B点关于y 轴的对称点B'，过B'点作B'E⊥PD交于点E、交y轴于点Q，∵B'E⊥PD，∠OPE＝30°，∴QE＝PQ，∵BQ＝B'Q，∴PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此时PQ+QB取最小值，∵∠OPD＝30°，∠POD＝90°，∴PD＝2OD，∠ODP＝60°，∵P的坐标为（0，6），∴PO＝6，∴OD2+（6）2＝（2OD）2，∴OD＝6，∵直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，∴A（0，4），B（4，0），∴OB＝4，∴OB'＝4，∴B'D＝10，∵B'E⊥PD，∠ODP＝60°，∴∠EB'D＝30°，∴DE＝B'D＝5，∴B'E＝＝＝5，∴PQ+QB取最小值为5，故答案为：5．【变式2】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．（1）a＝，c＝；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC 的最小值；【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c得到，，解得．故答案为1，﹣3．（2）如图1中，作PH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，在Rt△PCH中，PH＝PC．∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，∴DH′＝BD＝2，∴DP+PC的最小值为•2＝4．【变式3】如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ最小值．【解答】解：在第二象限内作∠OCD＝30°，CD与y轴交于点D，过点Q作QP⊥CD于点P，连接AP，则∠ODC＝60°，令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（0，3），令y＝0，得y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OC＝3，∴OD＝OC•tan30°＝，∴AD＝+1，∵∠OCD＝30°，∴PQ＝，∴AQ+CQ＝AQ+PQ≥AP，当A、Q、P三点依次在同一直线上，且AP⊥CD时，AQ+CQ＝AQ+PQ＝AP的值最小，此时AP＝AD•sin60°＝，∴AQ+CQ的最小值为．。
初中数学胡不归问题
初中数学胡不归问题胡不归问题，也称为“两位数相乘问题”,是初中数学中一个经典的问题，其解法涉及到乘法原理和除法原理。
问题描述如下：假设有两位数的两位数，例如 54 和 78，将它们相乘，求出结果。
例如，54 × 78 = 3996。
现在的问题是，如何将这个结果再次分解为两个两位数的乘积，并且这两个两位数不超过100 ?胡不归问题的解法涉及到乘法原理和除法原理。
具体来说，可以将结果分解成两个两位数的乘积，其中一个乘积的个位数与另一个乘积的十位数相同，而另一个乘积的十位数与另一个乘积的个位数相反。
例如，对于上一个问题，结果为 3996，可以将其分解成:3 × 9 = 27 (个位数与十位数相反)2 × 7 = 14 (个位数与十位数相同)因此，3996 可以分解为 27 和 14 两个两位数的乘积。
胡不归问题的解法中，涉及到乘法原理和除法原理的应用，需要认真思考，并且需要将结果分解成两个两位数的乘积。
在初中数学中，胡不归问题是一个有趣的问题，可以锻炼学生的思维能力和数学素养。
拓展:除了胡不归问题，乘法原理和除法原理还可以在其他领域中得到应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以表示为 F = ma，其中 F 表示物体所受的合外力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
这个公式中的乘法，表示物体所受的合外力与物体的质量之间的乘积，即 F × m。
这个公式中的除法，表示物体的加速度与物体的质量之间的除法，即 a ÷ m。
在计算机科学中，乘法和除法也是常用的操作。
例如，在编程中，使用乘法和除法可以实现一些复杂的数学运算，例如求和、求平方根、求模等。
在机器学习中，乘法和除法也是常用的操作，例如在神经网络中，使用乘法和加法可以实现层与层之间的传递和计算。
胡不归类型的顺口溜
胡不归类型的顺口溜
胡不归问题是初等数学中常见的问题类型，其顺口溜如下：
胡不归，往复回；
时间最短，距离最省；
线段对折，垂直平分；
找点对点，最小路径。
在胡不归问题中，通常需要找到某个点到两个固定点的最短路径，这需要考虑时间和距离的因素。
在解决此类问题时，可以使用线段对折、垂直平分的方法，找到对应的点对点路径，以达到最小路径的目的。
胡不归问题的解决方法需要灵活运用数学知识和思维技巧，不断练习和总结经验，才能快速找到最优解。
专题：一次函数最值-胡不归问题
专题：一次函数最值--胡不归问题方法点拨：一、胡不归求最值一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC最小．在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．例题演练例1．1．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．（1）求直线l2的解析式；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF 最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值；练1.1．【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），k即为该函数图象（直线）的斜率．当直线过点（x1，y1）、（x2，y2）时，斜率k＝，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2＝﹣1．反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2＝﹣1，则直线l1⊥l2．【运用】请根据以上材料解答下列问题：（1）已知平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（m，﹣5）、C（3，n）在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值；（2）在（1）的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中另有两点D（3，2）、E（﹣1，﹣6），连接DA并延长至点G，使DA＝AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM+MF的最小值．练1.2．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P （0，10）．（1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标．练1.3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF 最小时，点F的坐标，并求出此时PF+OP的最小值；练1.4．如图，已知直线l1：y1＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣1，0），与另一条直线l2：y2＝nx﹣6n （n≠0）交于点B（2，3），直线l2与x轴交于点C．（1）求直线l1的解析式，并写出y1＞y2＞0时，x的取值范围．（2）若点D在直线AB上，且D的横坐标为﹣，过D作直线DQ，直线DQ交y轴于Q点，且△DQB的面积为12，求Q点的坐标．（3）点P为x轴上一个动点，连接BP，求CP+BP的最小值．练1.5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点B，且过点D（1，4），点E是线段BD上一个动点（不与点B和点D重合），EF⊥x轴于点F，点P是线段OC上的一点，连接OE，EP．（1）求点A和点B的坐标；（2）当△OEF的面积为2时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，当EP+PC最小时，请直接写出OP的长．练1.6．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），过点B（3，0）作直线AB⊥x轴，直线AB与直线y＝x交于点A．直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与直线AB交于点D，∠DCO＝60°．（1）点C的坐标为，点D的坐标为；（2）在直线AB上有一点M，使△PBM是直角三角形，求点M的坐标；（3）在直线y＝﹣x+3上有一点N，使PN+ND最小，求此时点N坐标，及PN+ND的最小值．例2．1．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：y＝x+1分别交x轴，y轴于点D，E，且直线l1⊥l2于点C．（1）如图1，在y轴上有一长为的线段PQ（点P在点Q上方），当线段PQ在y轴正半轴移动时，求CP+PQ+OQ的最小值．练2.1．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A和顶点C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，CB∥OA，CB＝6，OA＝12，AB＝6．（1）如图2，点P是四边形OABC内一个动点，当PO+PC+PA最小时，请直接写出点P的坐标．。
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基本解法：构造直角三角形
胡不归问题解法通法：
第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧，过终点作一射线，使之与该线段构成的角
满足：
1 sin
V
α=；
第二步：过起点作该射线的垂线；
第三步：该垂线与线段的交点即为所求．
例题解析：
例1、（2016•宜兴市一模）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE
上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．
【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，
∴∠HEB=∠ABE，
∴tan∠HED=tan∠EBA==，
设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，
∴AD+DH的最小值为AQ的长，
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，
∴OC=4，则C（0，4），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
把B （3，0），C （0，4）代入得，解得，
∴直线BE 的解析式为y=﹣x +4， 解方程组得或，则E 点坐标为（﹣，），
∴AQ=，
∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间==（s ），
即蚂蚁从A 到E 的最短时间为
s ． 故答案为．
例2、（2014成都）如图，已知抛物线)4)(2(8-+=x x k y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-
=33与抛物线的另一交点为D ．
（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为
顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；
（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），
连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单
位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运
动到D 后停止。
当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动
过程中用时最少？
【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），
令y=0，解得x=﹣2或x=4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），
∴﹣×4+b=0，解得b=，
∴直线BD解析式为：y=﹣x+．
当x=﹣5时，y=3，
∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，
∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，
∴k=．
∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．
（2）方法一：
由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，
∴C（0，﹣k），OC=k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：，
∴y=x+k．
∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），
得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，
解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，
解得：k=．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．
与①同理，可求得：k=．
综上所述，k=或k=．
方法二：
∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角，
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，
∴K AP+K AC=0，
∵C（0，﹣k），A（﹣2，0），
∴K AC=﹣，
∴K AP=，
∵A（﹣2，0），∴l AP：y=x+k，
∵抛物线：y=（x+2）（x﹣4），
∴x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（舍）
∴P（8，5k），
∵△ABC∽△APB，∴，
∴，
∴k=，
②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k=；
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan ∠DBA===，
∴∠DBA=30°．
过点D 作DK ∥x 轴，则∠KDF=∠DBA=30°．
过点F 作FG ⊥DK 于点G ，则FG=DF ．
由题意，动点M 运动的路径为折线AF +DF ，运动时间：t=AF +DF ，
∴t=AF +FG ，即运动的时间值等于折线AF +FG 的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF +FG 的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段． 过点A 作AH ⊥DK 于点H ，则t 最小=AH ，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点． ∵A 点横坐标为﹣2，直线BD 解析式为：y=﹣
x +，
∴y=﹣×（﹣2）+=2， ∴F （﹣2，2）．
综上所述，当点F 坐标为（﹣2，2）时，点M 在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK ∥AB ，AH ⊥DK ，AH 交直线BD 于点F ，
∵∠DBA=30°，
∴∠BDH=30°，
∴FH=DF ×sin30°=，
∴当且仅当AH ⊥DK 时，AF +FH 最小，
点M 在整个运动中用时为：t=
，
∵l BD ：y=﹣x +， ∴F X =A X =﹣2，
∴F （﹣2，）．
巩固练习：
1、已知在平面直角坐标系中，(2,0)A 、(0,3)B 、(3,0)C ，设D 是线段BC 上一点（不含
端点），连接AD ，一动点M 从点A 出发，沿线段AD 以每秒一个单位速度运动到D 点，再沿线段DB 以每秒2个单位的速度运动到B 后停止，当点D 的坐标是多少时，当M 在整个运动过程中用时最少？
2、已知在平面直角坐标系中，(2,0)A -、(5,33)B -、(4,0)C ，设D 为线段BC 上一点（不含端点），连接AD ，一动点M 从点A 出发，沿线段AD 以每秒一个单位长度运动到D 点，再沿线段DB 以每秒2个单位的速度运动到B 后停止，当点D 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？
3、在平面直角坐标系中，已知1(,0)2
A 、(0,4)
B 、(2,0)
C ，设
D 为线段BC 上一点（不含端点），连接AD ，一动点M 从点A 出发，沿线段AD 以每秒一个单位速度运动到D 点，再沿线段DB 以每秒5个单位的速度运动到B 后停止，当点D 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？。