广东省惠州市高考数学一轮专题：第4讲 函数及其表示
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题04 函数及其表示 含解析
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).基础知识融会贯通1．函数与映射于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 2.(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .重点难点突破【题型一】函数的概念【典型例题】若函数y ＝f （x ）的定义域为M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B ．【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．B ．y ＝arcsin （sin x ）和y ＝sin （arcsin x ）C ．y ＝x 和y ＝arccos （cos x ）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，y x，函数的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsin x）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sin x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cos x）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D．思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（）A．（﹣1，2] B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B．【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2）B．（1，4）C．R D．（，﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D．命题点2已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：函数的定义域为R，∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，k＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．【题型三】求函数解析式【典型例题】 已知函数f （2）＝x +45，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝x 2+1 B ．f （x ）＝x 2+1（x ≥2） C ．f （x ）＝x 2 D ．f （x ）＝x 2（x ≥2）【解答】解：；∴f （x ）＝x 2+1（x ≥2）． 故选：B ．【再练一题】若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1，则f （x ）等于（ ） A ．x +1B ．x ﹣1C ．2x +1D ．3x +3【解答】解：函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1， 令x ＝﹣x ，则：f （﹣x ）﹣2f （x ）＝3（﹣x ）﹣1． 则：，解方程组得：f （x ）＝x +1． 故选：A ．思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式； (4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【题型四】分段函数命题点1 求分段函数的函数值 【典型例题】已知函数，则的值是（）A．﹣1 B．3 C．D．【解答】解：由题意可得，f（） 1∴f（f（））＝f（﹣1）＝3﹣1故选：C．【再练一题】设f（x）则使得f（m）＝1成立的m值是（）A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，11 【解答】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1∴m＝﹣2或m＝0当m≥1时，f（m）＝4 1∴m＝10综上：m的取值为：﹣2，0，10故选：C．命题点2分段函数与方程、不等式问题【典型例题】已知f（x）则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（）A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C．D．【解答】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【再练一题】函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．基础知识训练1．下列图象中可作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x＝c（c∈P）只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线x＝c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选：C．2．下列四个图象中，不能作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x＝a至多有一个交点，图C中，当﹣2＜a＜2时，x＝a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故C不是函数的图象.故选：C．3．函数的定义域为A．B．C．D．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则：；解得，且；该函数的定义域为：．故选：D．4．已知函数,则的定义域为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．故选：B．5．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选：C．6．已知函数，则( )A．1 B．C．D．【答案】D【解析】依题意，故，解得.故，所以.故选D. 7．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，将x换为，代入上式得：f（x），故选：D．8．设f（x）=，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，=f（x），A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，=f（x），D正确；故选：A．9．已知函数，则满足的t的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，可得时，递增；时，递增，且，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．10．已知函数，则函数的零点个数为A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到，故方程的解：，则原问题转化为求方程时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.12．设函数，若，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．13．若函数的值域是，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，即，故选：D．14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C．D．【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。
高考数学总复习第二单元函数第4讲函数及其表示市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
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2．函数的表示 列表法：用___表__格____的形式表示两个变量之间函数 关系的方法，称为列表法． 图象法：用____图_象____把两个变量间的函数关系表示 出来的方法，称为图象法． 解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的 ___解_析__式___表示出来，这种方法称为解析法．
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点评：求函数解析式的常用方法： (1)待定系数法：若已知函数类型(如一次函数、二次函 数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系 数法； (2)换元法：已知复合函数 f[g(x)]的解析式，可用换元 法，此时要注意新元的取值范围．
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【变式探究】
2. (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x＋1)＝
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解： (1)先利用函数解析式将 f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2 的 左边表示出来,再化简右边,然后利用多项式相等的条件求解 即可.
因为 f(x)＝x3＋3x2＋1,则 f(a)＝a3＋3a2＋1, 所以 f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2) ＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b ＝x3＋3x2－a3－3a2.
答案：A,B,C
高三数学第一轮复习课时作业(4)函数及其表示
课时作业(四) 第4讲 函数及其表示时间：45分钟 分值：100分基础热身1．下列各组函数中表示相同函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2B ．y ＝lne x 与y ＝e ln xC ．y ＝(x －1)(x ＋3)x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x2．已知f ：x →sin x 是集合A (A ⊆0,2π)到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．已知f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝( ) A ．3 B.72 C ．4 D.924．2011·惠州三调( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)能力提升5．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝512－xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 6．2011·广州调研 函数y ＝log 12(3x －2)的定义域是( )A ．1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫23，＋∞C.⎣⎡⎦⎤23，1D.⎝⎛⎦⎤23，1 7．2011·莆田模拟 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式恒成立的是( )A ．f (x 1)－f (x 2)>0B ．f (x 1)－f (x 2)<0C ．f (x 1)＋f (x 2)<0D ．f (x 1)＋f (x 2)>08．2011·郑州一中模拟 定义在实数集上的函数f (x )，如果存在函数g (x )＝Ax ＋B (A ，B 为常数)，使得f (x )≥g (x )对于一切实数x 都成立，那么称g (x )为函数f (x )的一个承托函数．给出如下命题：①对给定的函数f (x )，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R 的函数f (x )不存在承托函数；③g (x )＝2x 为函数f (x )＝e x的一个承托函数；④g (x )＝12x 为函数f (x )＝x 2的一个承托函数．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．图K4－1中的图像所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)10．2011·三明质检 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x(0≤x ≤1)，x 2－4x ＋4(x >1)，则不等式1<f (x )<4的解集为________．11．2011·青岛期末 在计算机的算法语言中有一种函数x 叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x的最大整数，例如2＝2，3.3＝3，－2.4＝－3，设函数f (x )＝2x 1＋2x－12，则函数y ＝f (x )＋f (－x )的值域为________．12．2011·长春二模 设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件，则称f (x )为闭函数． ①f (x )在D 内是单调函数；②存在a ，b ⊆D ，使f (x )在a ，b 上的值域为a ，b ． 如果f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，那么k 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若fg (x )＝4x 2－20x ＋25，则函数g (x )＝________.14．(10分)设f (x )＝ax 2＋bx ，则是否存在实数a ，使得至少有一个正实数b ，使函数f (x )的定义域和值域相同？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．15．(13分)解答下列问题：(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )；(2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )；(3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，且方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )．难点突破16．(12分)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，向量c 满足a ·c ＝0且|a |＝|c |，b ·c >0.(1)求向量c；(2)映射f：(x，y)→(x′，y′)＝x·a＋y·c，若将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线l，使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．课时作业(四)【基础热身】1．D 解析 对于A ，两函数的对应法则不同； 对于B ，两函数的定义域不同； 对于C ，两函数的定义域不同；对于D ，两函数的定义域都为{x |x ∈R ，x ≠0}，对应法则都可化为y ＝1(x ≠0)． 2．B 解析 当sin x ＝0时，x ＝0，π，2π；当sin x ＝12时，x ＝π6，5π6.所以，集合A 中的元素最多有5个．3．B 解析 由f (x )＝x 21＋x 2可得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝11＋x2， 所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，又∵f (1)＝12，f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，∴f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝72.4．D 解析 直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y＝log 2x 的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中，基本符合要求．【能力提升】5．B 解析 对于A ：y >0，且y ≠1；对于B ：y >0；对于C ：y ≥2；对于D ：0≤y ≤1.6．D 解析 由题知log 12(3x －2)≥0＝log 121，又知对数函数的真数大于零，所以0<3x －2≤1，解得23<x ≤1.7．B 解析 f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，为偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)－f (x 2)<0.8．C 解析 ①正确，②错误；③正确；④错误．9．B 解析 从图像上看出x ＝0时y ＝0，代入各个选项就可以排除A 、C ，x ＝1时y ＝32，代入选项，D 就可以排除．10．(0,1∪(3,4) 解析 由题意⎩⎨⎧0≤x ≤1，1<3x<4或⎩⎨⎧x >1，1<x 2－4x ＋4<4，解得0<x ≤1或3<x <4.11．{－1,0} 解析 f (x )＝2x＋1－11＋2－12＝12－11＋2，f (－x )＝12－11＋2－x ，当x >0时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫0，12， f (－x )∈⎝⎛⎭⎫－12，0，此时f (x )＋f (－x )的值为－1；当x <0时，同理f (x )＋f (－x )的值为－1；当x ＝0时，f (x )＋f (－x )的值为0，故值域为{－1,0}．12．－1<k ≤－12 解析 f (x )＝2x ＋1＋k 为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上的增函数，又f (x )在a ，b 上的值域为a ，b ，∴⎩⎨⎧f (a )＝a ，f (b )＝b ，即f (x )＝x 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不等实根，即2x ＋1＝x －k 在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不等实根．方法一：问题可化为y ＝2x ＋1和y ＝x －k 的图像在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上有两个不同交点．对于临界直线m ，应有－k ≥12，即k ≤－12.对于临界直线n ，y ′＝(2x ＋1)′＝12x ＋112x ＋1＝1，得切点P 横坐标为0，∴P (0,1)．∴直线n ：y ＝x ＋1，令x ＝0，得y ＝1，∴－k ＜1，即k >－1.综上，－1<k ≤－12.方法二：化简方程2x ＋1＝x －k ，得x 2－(2k ＋2)x ＋k 2－1＝0.令g (x )＝x 2－(2k ＋2)x ＋k 2－1，则由根的分布可得⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫－12≥0，k ＋1>－12，Δ>0，即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫k ＋122≥0，k >－32，k >－1，解得k >－1.又2x ＋1＝x －k ，∴x ≥k ，∴k ≤－12.综上，－1<k ≤－1213．2x －5 解析 由g (x )为一次函数，设g (x )＝ax ＋b (a >0)．因为fg (x )＝4x 2－20x ＋25，所以(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，解得a ＝2，b ＝－5， 故g (x )＝2x －5.14．解答 要使解析式f (x )＝ax 2＋bx 有意义，则ax 2＋bx ＝x (ax ＋b )≥0.当a >0时，函数的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，－b a ∪0，＋∞)，由于函数的值域为非负数，因此a >0不符合题意； 当a ＝0时，f (x )＝bx ，此时函数的定义域为0，＋∞)，函数的值域也为0，＋∞)，符合题意； 当a <0时，函数的定义域为⎣⎡⎦⎤0，－b a ， 又f (x )＝ax 2＋bx ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a， ∵0<－b 2a <－b a ，∴当x ＝－b2a f (x )有最大值－b 24a ，由题意有－b 24a ⎝⎛⎭⎫－b a 2，即a 2＝－4a ，解得a ＝－4.综上，存在符合题意的实数a ，a 的值为0或－4.15．解答 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3.所以f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)因为2f (x )－f (－x )＝x ＋1， 用－x 去替换等式中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎨⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2.由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得：x ＝0或x ＝1－ba .又因为方程有唯一解，所以1－ba＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以所求解析式为f (x )＝2xx ＋2. 【难点突破】16．解答 (1)设c ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＝2，x >0⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，∴c ＝(1，－1)．(2)假设直线l 存在，∴x a ＋y c ＝(x ＋y ，x －y )， ∵点(x ＋y ，x －y )在直线l 上， 因此直线l 的斜率存在且不为零， 设其方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∴x －y ＝k (x ＋y )＋b ，即(1＋k )y ＝(1－k )x －b ，与y ＝kx ＋b 表示同一直线， ∴b ＝0，k ＝－1± 2.∴直线l 存在，其方程为y ＝(－1±2)x .。
高考一轮数学文科：第4讲-函数的概念及其表示ppt课件
课前双基巩固
对点演练
7．若一系列函数的解析式相同、值域相 同，但其定义域不同，则称这些函数为“同 族函数”，那么函数解析式为 y＝x2，值域 为{1，4}的“同族函数”共有________ 个．
[答案] 9
[解析] 设函数 y＝x2 的定义域为 D， 其值域为{1，4}，易知 D 的所有情形 的个数，即是同族函数的个数．D 的 所有情形为{－1，2}，{－1，－2}， {1，2}，{1，－2}，{－1，1，2}，{－ 1，1，－2}，{－1，2，－2}，{1，2， －2}，{－1，1，2，－2}，共 9 个， 故答案为 9.
[思路点拨] (1)由 x∈[－2， 3]，得 x＋1 的范围 M，再由 2x－1∈M，解得 x 的范围， 即为所求定义域； (2) 由－ 1≤x≤2，求得 3－2x 的范围， 即为所求函数的定义域．
课堂考点探究
[答案] (1)D (2)[－1，5]
[解析] (1)由 x∈[－2，3]，得 x＋1∈[－1，4]，由 2x－1∈[－1，4]，得 x∈0，52，故选 D. (2)因为函数 f(3－2x)的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，－4≤－2x≤2，所以－1≤3 －2x≤5，所以 f(x)的定义域为[－1，5]．
课前双基巩固
对点演练
2．[教材改编] 已知函数 f(x)＝lxn＋xa－，2x，≤x0>，0，若 f[f(e)]＝2a，则实数 a＝________．
[答案] －1
[解析] 因为 f(e)＝ln e－2＝ －1，所以 f[f(e)]＝f(－1)＝－ 1＋a＝2a，解得 a＝－1.
课前双基巩固
对点演练
【人教版】2020届高考数学一轮复习 第4讲 函数及其表示学案(无答案)文
C．4D．5
〖概括小结〗映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余．
常用结论记心中，快速解题特轻松：
1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！
2．函数问题定义域优先！
3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！
4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．
本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素，分段函数，函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)，一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面，也要教给学生把握复习的尺度，教学大纲是高考命题的依据，而教材是贯彻大纲的载体，研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．
(3)函数f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．
(4)y＝2x(x∈{1，2})的值域是2，4.
(5)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．
(6)f(x)＝ 则f(－x)＝
2．已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)＝________．
3.函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中 只与x的一个值对应的y值的范围是________．
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
高考数学一轮复习-第4讲函数及其表示精品-理-新人教课标A版PPT课件
叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的______，
显值然域，{f(x)|x∈A}⊆B.
(2)构成函数的三要素是：__定__义__域__、__对__应__关__系__、__值__域__. (3)函数的表示方法：__解__析__法__、__列__表__法__、__图__象__法__.
第4讲 │ 函数及其表示
第4讲 函数及其表示
.
1
第4讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．函数
(1)函数的定义：设A、B都是非空的数集，如果按照某种确
定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有___唯__一__确__定____的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A
到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数f(x)的______定__义，域与x的值相对应的y值
((67))三如k角果π＋函 函π2数数，中是k∈的__Z正__切__函__数__y_＝_确ta定nx的，解x∈析R式，，且应x≠依_据__自__变__量__的__实_；
际意义确定其取值实范际围意；义
(8)对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的范围；
(9)对于复合函数y＝f[g(x)]，若已知f(x)的定义域为[a，b]，
B．f(x)＝ x2x－4，x∈－∞，－2∪2，＋∞
C．f(x)＝－ 4－x x2，x∈－2，0∪0，2
D．f(x)＝ 4－x x2，x∈－2，0∪0，2
.
10
第4讲 │ 要点探究
(3)[2010·合肥模拟] 已知函数 f(2x)定义域是[1,2]，则函数
f(log2x)的定义域为________．
3．分段函数
2013届高考一轮数学复习课件(人教版)第4讲---函数及其表示概要
第二章 函数与基本初等函数
第1课时 函数及其表示
·考纲下载
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和 值域；了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要 选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．了 解简单的分段函数，并能简单应用．
请注意！
①本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要 素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热 点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．
所以函数的定义域为{x|x≤－1 或 x≥1 且 x≠±2}．
(2)由25－x2≥0 cosx>0
－5≤x≤5 得2kπ－π2<x<2kπ＋π2k∈Z
所以函数的定义域为[－5，－32π)∪(－π2，π2)∪(32π，5]．
探究 1 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，
如分式的分母不等于零， 偶次根式的被开方数为非负数， 零指数幂的底数不为零， 对数的真数大于零且底数为不等于 1 的正数 三角函数的定义等． (2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题． 在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴， 并且要注意端点值或边界值．
【解析】 (1)由1≤3x－1≤2得：23≤x≤1， ∴y＝f(3x－1)的定义域为[23，1]． (2)由1 ≤x≤2得：0≤log2x≤1， ∴y＝f(x)的定义域为[0,1]．
【答案】 (1)[23，1] (2)[0,1]
探究2 ①若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝ f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．
这两个函数才相同．
函数定义： 设集合A是一个非空的 数集 ,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x , 在集合 B中都 有 唯一确定 的数f(x)和它对应,那么就称f : A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A .
函数的概念及其表示 课件-2025届高考数学一轮复习
如：= ≥ 与= .
2.分段函数
不同
若函数在其定义域的④______子集上,因对应关系不同而分别用几个
不同的式子
⑤____________来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段
定义域的并集,值域是各段值域的并集.
1.直线 = 与函数 = 的图象至多有1个交点.
若
+ , ≥ ,
−
=____.
解析：由题意得，
所以
= × + = ，
= = + = −,
所以 = −, = − × = −.
−
= −,则实数 =____，
关于分段函数求值问题的解题思路
B.3
C.1
)
D.−
+ + ≥ ,
+ + ≥ ,
解析：选A.由
得
由题知不等式组的解
+ > ,
> −,
集为[, +∞)，所以 = 为方程 + + = 的一个根，即
+ + = ,解得 = −.经检验 = −符合题意，故选A.
+
= + ，则 =______.
解析：设 = + ≠ ，则
= + + = + + = + ，
= ,
= ,
故
解得
故 = + .
高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念课件 文 新人教A版
比较两端的系数，
9a＝9
a＝1
得6a＋3b＝－6 ，解得b＝－4 .
a＋b＋c＝5
c＝8
所以 f(x)＝x2－4x＋8.
第二十九页，共46页。
方法 2：换元法． 令 t＝3x＋1，则 x＝t－3 1， 代入 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5 中， 得 f(t)＝9(t－3 1)2－6·t－3 1＋5＝t2－4t＋8， 所以 f(x)＝x2－4x＋8.
3．函数的表示法
⑧
．
4．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应
关系f ，使对于集合A中的⑨ ______________，在集
合B中都有⑩ __________的元素y与之对应，那么就
称对应f ：A B为从集合A到集合B的一个映射．
第六页，共46页。
【要点指南】 ①任意一个数x；②唯一确定；③定义域；
第三十六页，共46页。
【解析】(1)当a>0时，2－2a＋a＝－1－a－2a， 解得a＝－32，无解； 当a<0时，－1＋a－2a＋2＋2a＋a，解得a＝－34，故选A. (2)由f(12)＝f(6＋6)＝2f(6)－1＝2[2f(3)－1]－1＝5，f(3)＝2.
第三十七页，共46页。
素材 (sùcái)
(x
∈
N*)的图象是曲线；
④f(x)＝ x2与g(x)＝x是同一个函数．其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
第十一页，共46页。
【解析】只有①正确，②③④错误，故选 A.
第十二页，共46页。
3.已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)的定 义域是 [－3,0]∪[1,3] ，值域是 [1,5] .
高考数学一轮复习 专题04 函数及其表示教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题04 函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．高频考点一 函数的概念 例1、有以下判断：①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x≥0－1x<0表示同一函数；②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 答案 ②③综上可知，正确的判断是②③.【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．【变式探究】(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －1 2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx2D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应关系不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x>0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B.高频考点二 函数的定义域 例2、(1)函数f (x )＝lnxx －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________．解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 017]，∴g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}． 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 【方法规律】求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【变式探究】(1)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪ (3，6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4]．(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立．因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案 (1)C (2)[－1，0]高频考点三、已知定义域求参数范围例3、若函数f(x)＝2221＋－－x ax a的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f(x)的定义域为R ，所以222＋－x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即222＋－x ax a≥20，x2＋2ax －a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.【感悟提升】简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围． 【变式探究】(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x ＋12)＋f(x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝lnx ＋1－x2－3x ＋4的定义域为___________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f(x ＋12)＋f(x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得：12≤x≤32，所以函数g(x)的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x2－3x ＋4>0，得－1<x<1.高频考点四 求函数解析式例4、(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________． (2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________．(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________． 解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中， 将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )．(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．【变式探究】(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________． 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1)．答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 高频考点五、分段函数(多维探究)例5、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解之得b ＝78，不合题意舍去．若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12. (2)当x <1时，ex －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8.综上可知x 的取值范围是(－∞，8]． 答案 (1)D (2)(－∞，8]【方法规律】(1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【特别提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【训练3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________． 解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2016高考江苏卷】函数y =232x x --的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D.（2014·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【答案】A【解析】由已知可得，f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 5π6＝12.（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． （2014·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】C【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0. （2014·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2013·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．【解析】(1)证明：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝a(1－2|x|)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝a(1－2|x|)， 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ， 所以函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称．(2)当0<a<12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ，x ≤12，4a 2（1－x ），x>12.所以f(f(x))＝x 只有一个解x ＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶周期点． 当a ＝12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤12，1－x ，x>12.所以中的所有点都不是二阶周期点． 当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x ≤14a，2a －4a 2x ，14a <x ≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x ≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.所以f(f(x))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f(0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f(x)的二阶周期点． 综上所述，所求a 的取值范围为a>12.(3)由(2)得x 1＝2a 1＋4a 2，x 2＝4a21＋4a2，因为x 3为函数f(f(x))的最大值点，所以x 3＝14a ，或x 3＝4a －14a.当x 3＝14a 时，S(a)＝2a －14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－22（1＋4a 2）2. 所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋22时，S(a)单调递增，当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞时S(a)单调递减；当x 3＝4a －14a 时，S(a)＝8a 2－6a ＋14（1＋4a 2），求导得：S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2；因a>12，从而有S′(a)＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2>0，所以当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时S(a)单调递增．（2013·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f′(1)＝________． 【答案】2【解析】f(e x )＝x ＋e x，利用换元法可得f(x)＝ln x ＋x ，f′(x)＝1x ＋1，所以f′(1)＝2.（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4 【答案】D【解析】设l ，l 2距离为t ，cos x ＝2t 2－1，得t ＝cos x ＋12.△ABC 的边长为23，BE23＝1－t 1，得BE ＝23(1－t)，则y ＝2BE ＋BC ＝2×23(1－t)＋23＝23－433cos x ＋12，当x∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A ，B ，求证x ＝π2的情况可知选D.（2013·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1] 【答案】B【解析】x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B.（2013·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －16 【答案】B【解析】由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8， 整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，所以H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≤a－2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≥a＋2），H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≤a－2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（a －2<x<a ＋2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≥a＋2）.由图形(图形略)可知，A ＝H 1(x)min ＝－4a －4，B ＝H 2(x)max ＝12－4a ，则A －B ＝－16. 故选B.（2013·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】B【解析】对于f(2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. （2013·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 【答案】A（2013·四川卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )图1－5 【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B ；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C 中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．图1－4【解析】(1)当X∈[100，130)时， T ＝500X －300(130－X)＝800X －39 000. 当X∈[130，150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X<130，65 000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.1．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3，1]B ．(－3，1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 使函数f (x )有意义需满足x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3， 所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 答案 D2．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)等于( ) A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2.答案 D3．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1 D ．x ＋1或－x－1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 A4． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x（x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案 C5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案 B6．设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x－1C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x解析 对于A 项，当x ＝1，f (1)＝0，此时02≥12不成立．对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立．在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立．∴A ，B ，D 均不正确．选C.事实上，在C 项中，对∀x 0∈R ， y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0，有y 20≥x 20成立．答案 C7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)8．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1]．答案 (0，1]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1. ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －210．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________． 解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2 x11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22。
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广东省惠州市高考数学一轮专题：第4讲函数及其表示
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高一上·拉萨期中) 下列图象中表示函数图象的是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）如果且，则（）
A .
B .
C . 6
D . 8
3. （2分）已知映射,其中，对应法则若对实数，在集合A中不存在元素x使得，则k的取值范围是（）
A .
B . k>0
C .
D . k<0
4. （2分）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）
A . 甲比乙先出发
B . 乙比甲跑的路程多
C . 甲、乙两人的速度相同
D . 甲比乙先到达终点
5. （2分）(2019高一上·兰州期中) 对于映射，且
，则与中的元素对应的中的元素为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一上·兴国期中) 己知集合M={﹣1，1，2，4}N={0，1，2}给出下列四个对应法则，其中能构成从M到N的函数是（）
A . y=x2
B . y=x+1
C . y=2x
D . y=log2|x|
7. （2分） (2019高一上·嘉兴期中) 下列各组表示同一函数的是（）
A .
B . ,
C .
D .
8. （2分） (2016高一上·越秀期中) 已知函数f（x）= 的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）
A . 0＜m≤4
B . 0≤m≤1
C . m≥4
D . 0≤m≤4
9. （2分）函数的值域是（）
A . （0，4）
B . （﹣∞，4）
C . （4，+∞）
D . [0，4）
10. （2分）下列关系中，y不是x的函数的是（）
A . y=5x
B . y=x2
C . y2=4x
D .
11. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 下列各组函数是同一函数的是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）已知函数在上有两个零点，则m的取值范围是（）
A . （1,2）
B . [1,2）
C . （1,2]
D . [1,2]
二、填空题 (共6题；共7分)
13. （1分） (2016高一上·邹平期中) 设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，从M到N有四种对应如图所示：
其中能表示为M到N的映射关系的有________ （请填写符合条件的序号）
14. （1分） (2016高一上·青海期中) 关于下列命题：
①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
②若函数y= 的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤ }；
③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；
④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．
其中不正确的命题的序号是________．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）
15. （2分）已知函数f（x）的定义域为[a，b]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为________．
16. （1分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y=x2 ，值域为{1，9}的“同族函数”共有________个．
17. （1分） (2016高二下·珠海期中) 有13名医生，其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式：
①C135﹣C71C64；②C72C63+C73C62+C74C61+C75；③C135﹣C71C64﹣C65；④C72C113；
其中能成为N的算式是________．
18. （1分）(2012·上海理) 已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=________．
三、解答题 (共2题；共20分)
19. （5分）已知A={1，2，3，k}，B={4，7，a4 ， a2+3a}，a∈N* ，x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值．
20. （15分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2 ．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共2题；共20分) 19-1、
20-1、。