北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案

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北京大学408计算机学科专业基础综合考研参考书、历年真题、复试分数线

北京大学408计算机学科专业基础综合考研参考书、历年真题、复试分数线一、课程介绍计算机学科专业基础综合是硕士研究生入学考试计算机全国统考的初试科目之一。

2009年研究生招生考试计算机专业课初试首次实行全国统一命题。

报考计算机科学与技术学科者，考计算机学科专业基础综合（考试时间3小时，满分为150分）。

从2009年起，计算机科学与技术学科专业基础综合实行联合命题，命题工作由中国学位与研究生教育学会工科委员会在教育部考试中心指导下组织实施。

过去全国统一命题的考研科目只有政治理论、外国语、数学等公共课,专业课一般由学校自主命题。

2007年研究生考试教育部首次将历史学、教育学和心理学三门学科专业课初试实行全国联考,2008年农学专业课加入联考行列。

在2009年计算机专业课初试也首次实行全国统一命题。

计算机科学与技术学科的初试科目调整为:政治理论、外国语、数学(一)和计算机学科专业基础综合,卷面满分值分别为100分、100分、150分和150分。

计算机学科专业基础综合的考试内容包括:数据结构、计算机组成原理、操作系统和计算机网络,重点考查考生掌握相关基础知识、基本理论和分析问题解决问题的能力。

二、北京大学408计算机学科专业基础综合考研复试分数线根据教育部有关制订分数线的要求，我校按照统考生、联考生等不同类型分别确定复试基本分数线。

考生能否进入复试以各院系所规定的各项单科成绩和总成绩确定的复试名单为准。

我校将按照德、智、体全面衡量，择优录取，保证质量，宁缺毋滥的精神和公开、公正、公平的原则进行复试与录取工作。

一、复试基本分数线：（1）、统考：考试科目政治外语数学专业课总分备注学科门类哲学(01)50509090360经济学(02)55559090370法学(03)50509090345教育学(04)5050180360文学(05)505090345北大-新加坡国立大学汉语言文字学双硕士班为340。

历史学(06)5050180345理学(07)50509090320工学(08)50509090320管理学(12)50509090350艺术学(13)505090350（2）、联考：考试科目专业学位政治外语数学专业或综合课总分备注应用统计02520050509090340金融硕士02510050509090340税务硕士02530050509090340保险硕士02550050509090340法律（法学、非法学）505090360深圳研究生院总分为340。

考研数学-北大2010年试题及解答和2001与2002年试题

北京大学2010年数学分析考研试题1. 用有限覆盖定理证明聚点原理.2. 是否存在数列{}n x ，其极限点构成的集合为111,,,23M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，说明理由. 3. 设I 是无穷区间，()f x 为I 上的非多项式连续函数，证明：不存在I 上一致收敛的多项式序列(){}n P x ，其极限函数为()f x .4. 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足()()2112012x f ef x dx -=⎰，求证存在()0,1ξ∈，使得()()2f f ξξξ'=.5. (1)设()()1f x C R ∈，I 是有界闭区间，()()1n F x n f x f x n ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，证明函数列(){}n F x 在I 上一致收敛.（2)若()()1f x C I ∈，如果I 是有界开区间，问(){}n F x 在I 上是否一致收敛？说明理由.6.构造R 上的函数()f x ，使其在Q 上间断，其他点连续.（Q 表示有理数）7.广义积分()0xf x dx +∞⎰与()f x dx x+∞⎰均收敛，证明()()0t I t x f x dx +∞=⎰在()1,1-上有定义，并且有连续的导函数.8.计算曲线积分I ydx zdy xdz Γ=++⎰，其中Γ为2221x y z ++=与0x y z ++=交线，从x 轴正向看是逆时针.9.证明下面的方程在点()0,0,0附近唯一确定了隐函数(),z f x y =，211sin 022x y z z +++=，并将(),f x y 在点()0,0展开为带皮亚诺型余项的泰勒公式，展开到二阶.10.设()f x ，()g x 是[)0,+∞上的非负单调递减连续函数，且()0f x dx +∞⎰和()0g x dx +∞⎰均发散.设()()(){}min ,h x f x g x =，试问()0h x dx +∞⎰是否一定发散？说明理由.北京大学2010年数学分析考研试题的解答1. 解答用“有限覆盖定理”证明“列紧性定理”。

北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案

北大计算机考研高等数学真题解答2008 年（ 5 题 60 分）1（12 分） f ( x )有连续的二阶导数，f ( a) 0 ，求limxaf (x1 a ) f (a ) f 1 (a ) 。

2 （12 分） f ( x ) 在 a , b 上连续且 f ( a ) f (b )0 ，f ( a) f ( b)0 ，证明：在 a, b上必有一点 u 使得 f (u )0 。

1 ln x3 （12 分）求不定积分dx2( x ln x)。

22tf (xt ) x4 （12 分） f ( 0) 0 且 f (0) 0 ， f ( x ) 有连续的导数，求dxlim。

x4x15 （12 分） f ( x ) 在0 附近可导且导数大于 0，证明无穷级数) f发散，无穷级( n1n收敛。

数 ) (1) f (n2007 年（ 5 题 60 分）2 x21 （12 分）求不定积分exdx (tan。

1)2 x 2 2 x 22 x解：ex dx(tan1)esec xdxe 2 tan xdxe 2 x tan e x2 xd x tane 2x tan e2 x C 。

xd x tan12 （12 分）求连续函数 f ( x ) ，使它满足( ) ( ) sin , (0) 0f tx dt f x x x f 。

解：令u tx , 则t 0 时，u 0 ，t 1时，u x ，du xdt ；1f (tx )dt1x 0xf (u ) duf( x)xsinxxf 2(u)du xf ( x) x sin x 2f ( x) f ( x)x f( x ) 2 x sin x x cos x f ( x) 2 sin x x cos xf ( ) cos sin f ( 0) 1 C 0 C 1 f ( x ) cos x x s in x 1 。

x x x x Cx y3 （12 分）设n ，,(1,2, ) 。

北京大学数学考研真题

北京大学20051设x xx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞→.解:22s i n 1()s i n s i n (0,1].s i n x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222222sin 1sin .sin sin ,sin 11,lim sup () 1.x x x x x x x x x x x x x x f x →+∞-≤≤---→+∞=并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到.2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,sin sin lim inf ()0.x x x x x xf x x x x xf x →+∞→+∞→+∞==--=对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到1. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。

证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得.这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。

（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明）证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的12()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.显然此12121()(1)(0,1).2(1)f x x f x x -'=-=-在上是可微的而121()(0,1).2(1)f x x -'=-在上是无界的3．设)1(sin )(22+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。

北大考硏高数试题及答案

北大考硏高数试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = |x|D. y = cos(x)答案：B2. 函数f(x) = x^2在区间（-1, 1）上的最大值是：A. 0B. 1C. 4D. -1答案：B3. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x^2 + y^2的解？A. y = CxB. y = x^2 + CC. y = C/xD. y = C * e^x答案：B4. 定积分∫₀^π/2 sin(x)dx的值是：A. 1B. 2C. π/2D. π答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / √nB. ∑n^2C. ∑(1/n)^2D. ∑(1/n)答案：C6. 函数f(x) = ln(x)在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B7. 方程x^2 - 4x + 4 = 0的根是：A. 2, 2B. -2, 2C. -2, -2D. 1, 3答案：A8. 以下哪个选项是函数f(x) = e^x的泰勒级数展开？A. ∑x^nB. ∑(-1)^n * x^nC. ∑(1/n!) * x^nD. ∑(1/n) * x^n答案：C9. 以下哪个选项是多元函数f(x, y) = x^2 + y^2的梯度？A. (2x, 2y)B. (x, y)C. (2y, 2x)D. (y, x)答案：A10. 以下哪个选项是格林公式的数学表达式？A. ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)B. ∬D (∂P/∂x - ∂Q/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)C. ∬D (∂P/∂y - ∂Q/∂x) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)D. ∬D (∂Q/∂x + ∂P/∂y) dxdy = ∮C (Pdx + Qdy)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x→0) [x - sin(x)] / (x^3) 的值是 _______。

北京大学高等代数和解析几何真题1983——1984年汇总

北京大学数学考研题目1983年基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业2222022200Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是.1223112220...1,...2, (1)n n n n n x x x x x x xx x n ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=+⎩二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。

121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。

证明：多项式在有理数域上不可约。

20000120231001011A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值，，，－1的特征向量。

（1）求A;(2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。

20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。

证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。

1984年数学各专业132110::23100363x y l z x y z π--==-++-=一、（分）求直线与平面的交点。

10,,,,a b c a b b c c a ⨯⨯⨯二、（分）设向量不共面。

试证：向量不共面。

15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。

（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。

{}{}{}{}23231231251,,.2,,V R V T V V T T T T T T TT T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。

北京大学2020年数学分析试题及解答

注这里的结论为裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 168 页定理 4, 若想更为熟悉这方面的内容, 可以翻阅该书. 解决这题的方法是想下连续函数的情形怎么证明, 做一个类比即可.
2. 记
∆(f, n, m)
=
f
(( n
+
)) 1
π 2
−
f
(( n
+
) 1
π 2
+
) 1 m
= =
( n
)
⩽
F
( ∑∑ni=ni=1 1x∫i x∫xixi− xii1−1ff(t()t)ddt t )
⩽
∑n
i=1
F (xi) F (1)
∫ xi
xi−1
f (t)
dt.
又因为 F (x) 在 [0, 1] 上一致连续, 故 ∀ ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时, |F (xi) − F (xi−1)| < ε, 此时
,
记
M
= maxx0⩽x⩽2x0 |f (x)| ,
则
( ([ ] { })) ( ({ } )) ( ([ ] ))
x
x
f (x) = f x0
+
x0
x0
⩽f
x
x0 ([
x]0
+1 )
+ f x0
x −1
x0
⩽M+
x x0
−1
f
(x0)
⩽
M
+
x
− x0 x0
f
(x0),
再结合
limx→+∞
M x

北大版高数答案

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,,,||.,||,|,(2)0x ax x a x a x axa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→>===∀>=<<<-<=-<<∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===- 101100100101001010.(12)lim (0)./,(13)lim (0)0, , .(14)x m m m mnn n x n nmm m n nx n x x a x a x a a b b x b x b b a b m n a x a x a a b n mb xb x b m n--→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩= 1.=00222220(15)()5lim(1)55lim .3(1)(16)0,l xx x x x x xx x x a →→→→=++=++==++>00imlim lim x a x a x a →+→+→+⎫=⎫=+00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎛⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=- 利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fax xe eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin3322.(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xxx xex xπ→∞→∞====++()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a n a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝ 类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+ 作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭ 定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++== 证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<= 设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥=== 设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++== 故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nn n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e e e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解3330322332220002.,:(1);(2)0;(3)sin 5.()(1)lim(33)limlim (33)3.(2)lim limlim x x x xx x y ax y p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax x y ∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'===根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x xx x xy xxx x x x x x x →→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆ 5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R Rg r R M G GM r R r g r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x xy e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+= in cos ).x x + 00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim xx x x x x x x x x xx f x e x x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:sin111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx x xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x xx x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x aππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa x y a y a a a a a xx a y x x x y x x y y x x x xa y '=>=='=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=--'===-++= 求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=+===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+=+++++ '=⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=+===-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+ 11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+ 2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ=+'=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→ 当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dxy y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x-1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-= 求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

1999-2000,2,5-8,10北京大学高等代数考研真题

1．在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。

其中B 是常数2．在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

3．设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为ji b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。

4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC （2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。

数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。

用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。

证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。

5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。

在实数域上n 维线性空间n R 中，对于nR ∈βα,，令βαβαH f '=),(。

试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。

（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。

令αα'=A B ，求B的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n r a n k r a n k =+++-⇔=)()(23A A I A I I A2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题本试卷满分150分考试时间 3小时日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

【盛世清北】2021北京大学801计算机专业基础考研真题

【盛世清北】 2021 北京大学 801 计算机专业基础考研真题盛世清北分享：北京大学 801 计算机专业基础考试真题，适用北京大学以下院系 +专业070921 地质学（石油地质学）0701J3 数据科学（数学） 0714J3 数据科学（统计学）0812J3 数据科学（计算机科学与技术）北京大学深圳研究生院 081203 计算机应用技术北京大学 801 计算机专业基础科目的考研真题为：数据结构：1. 写出 AVL 树并计算平均查找长度。

2. n 个数组成二叉树，证明排序时间复杂度为 O （nlogn ）（这个记忆得有点模糊）3. 一个数组，有最多 X 个极值，设计一个时间复杂度尽可能低的算法。

、计算机体系结构：1. 结合流程图阐述乘法器的工作原理，然后对其改进。

2. MIPS 指令集计算机网络：一个用户通过交换机，集线器向另一个用户发送 IP 报文，问交换机的作用，源地址和目的地址。

北京大学 801 计算机基础 2018 年研究生入学试题北京大学地球与空间科学学院北京大学前沿交叉学科研究院北京大学前沿交叉学科研北京大学信息科学技术学院北京大学信息科学技术学院 081201 计算机系统结构 081202 计算机软件与理论0812031.算法复朵度丈具体＞:已知下血一串代码.求英算法时间复杂度: int s =i = 0; While(S ＜n){ S ÷= i; i+÷;)V 备注☆＞；王道2017年真題本质是一样的 A 、O(N) BX O(N A2) C 、 O(IOgN) D 、类似这样的答案2.线性表龙具体A 下面关于线性表的叙述中，不帀确的是哪些()? ＜备注^卜线性衣的荷储结构链接和顺序3. 伐混洗＜具体a ：给了卜字符⅛ HAPPY,按照这个顺序入栈，则出栈顺序不可能足堆卯个()A. HAYPPB. HPPAYC.HYAPAD ・ HAEEY＜备栈混洗类题「I,群里冇具体算法代码.但是一般只考选择题.具体算法思想：采用一个中间栈来记录毎段小栈的信息.复杂废O (∏2＞4.图的邻按矩阵＜H 休、：某连通图的邻按矩阵为A ・若点i 到点j 存在-条长度为m 的埒径，那么可以看哪个^Raij ⅛否为1() A. A R TnAC. A AlTl D A A (In-I) V 备注☆☆☆＞：5.DES, BFS,连通图相关概念【较一•版冇更改】A 、采用顺序存储的线性表,B 、采用顺序存储的线性表,C 、采用链接存储的线性表,D 、采用链接存储的线性表.必须占用一片连续的存储单元; 便于进行插入和删除操作. 不必占用一片连续的存储单元; 便T 抽入和删除操作；对于联通无向图.请问以下说法正确的是：A.广度优先⅛⅛½先进后岀：B.连通開的MST ⅛极大连通于图C.广度优先抄索址递归丈现的：Iy毎次深哎优先搜索都能得到一个联通分支；V具体☆☆＞：6.r%M的前，中，后遍历相关类型题V具体叶节点相对顺序前中后序遍历是否一样()A.完全一样B.完全不一样C.前序和后序一样D 前冲和中样一样7.森林.二叉树转换＜具体〉若森林F对应的一叉树R中冇m个点.R的根节点r的右子树貝冇n个节点・那么徐林F中第1额树的结点个数为：A、m-nB、m-n-lC、n÷lD、不确進＜备辻：☆☆☆＞不难，宴砒题&散列农，二次黃找法＜具体☆☆☆☆＞: 希值为ke〉哈希表长14线性衷插入到【15, 38, 61. 84, 8},最后播入49.那么利用二次探测法.49应该放在下标为多少的表顶中？A. 3B. 5C.8D.99.b树与b+树＜其体R B+树不同「B树的待.点之一是A、B树和B+树都是AVL枸R、R树和R+材都能用丁•文件系统C、B树和B+树都冇效支持嗾序仆找D、B树和B+树协竹效文持随机仪找＜备江☆☆☆＞： b树和》树是否支持馳机責找和顺序查找10.<H体A针对以下无向连通因从点I开始.使用D l jkStra 法寻找单源最短路径.依次加入的点是()1. 2、4、3、7. 5、D. ??<备注给了个图，止给出根岛算法所得到的次序王逍上血许多题Fl类似II.归并段、阿路归并，WPL<見体、：若初始归并茂大小分别为，5 9 12 13 14 16 17 18 20 28 3 0 37 42,那么呆住fl并树的带权路径长度WPL是()A.460B.472C.480D 486二■简存题(弟一题6分，第二題8分，第三题9分》：K •颗空AVL树中∙H页序插入｛5942 I 38 |：(1)、严格遵循AVL操作，画出描入启的AVL树(画出每•步〉；(2)、全部插入后.求等慨率下的育找成功的平均检索长皮。

北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案

北大计算机考研高等数学真题解答2008年（5题60分）1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求)(1)()(1lima f a f a x f ax '---→。

2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。

3 （12分）求不定积分⎰--dx x x x 2)ln (ln 1。

4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx xt x tf xx ⎰-→04220)(lim。

5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1(nf 发散，无穷级数)1()1(nf n -收敛。

2007年（5题60分）1 （12分）求不定积分⎰+dx x e x 22)1(tan 。

解：=+⎰dx x e x 22)1(tan +⎰xdx e x 22sec =⎰xdx e x tan 22+⎰x d e x tan 2-x extan 2=⎰x d e x tan 2Cx ex+tan 2。

2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(1=+=⎰f x x x f dt tx f 。

解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =；⎰=1)(dt tx f ⎰=xdu u f x)(1⇒+x x x f sin )(⎰=xdu u f 0)(⇒+x x x xf sin )(2⇒++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2⇒--='x x x x f cos sin 2)(⇒+-=C x x x x f sin cos )(⇒=+=01)0(C f ⇒-=1C 1sin cos )(--=x x x x f 。

北大408考研24

北大408考研24北大408考研24题解析题目描述：已知一组数{a1, a2, …, an}，其中ai是[−100,100]范围内的整数。

定义函数lfac(i) = max {ai·aj·ak | 1≤j≤k≤i, aj≤0, ak≤0}，lfac(i)即前i个数中，以ai结尾的乘积最大的非正数乘积。

请设计一个在时间复杂度O(n)内的算法，求在给定数据{a1, a2, …, an}下，lfac(i)取不同值的个数。

解题思路：首先，需要明确一个观察结果：lfac(i)的取值只可能是0或负数。

即如果ai>=0，那么lfac(i)必然为0；如果ai<0，那么lfac(i)可能为0或负数。

为了求lfac(i)不同取值的个数，可以使用动态规划的思想。

定义一个数组dp，dp[i]表示以ai结尾的lfac(i)的取值个数。

根据上述观察结果，可以得到：1. 如果ai>=0，那么dp[i]=dp[i-1]，即lfac(i)的取值个数与lfac(i-1)的取值个数相同。

2. 如果ai<0，那么dp[i]=dp[i-1]+1，即dp[i]的取值个数在dp[i-1]的基础上增加1。

其中，起始条件为dp[1]=1，即只有一个数时，lfac(i)的取值个数为1。

最后，取得dp数组中的最后一个元素dp[n]即为所求结果，即lfac(i)不同取值的个数。

时间复杂度分析：根据动态规划的思想，循环n次即可求得dp数组的值，所以算法的时间复杂度为O(n)。

代码实现：```cpp#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int CountLFac(vector<int>& nums) {int n = nums.size(); // 数组中元素个数vector<int> dp(n);dp[0] = 1; // 起始条件，dp[1]=1for (int i = 1; i < n; i++) {if (nums[i] >= 0) {dp[i] = dp[i - 1];} else {dp[i] = dp[i - 1] + 1;}}return dp[n - 1];}int main() {vector<int> nums = { 1, -2, -3, 4, -5 };int result = CountLFac(nums);cout << "lfac(i)不同取值的个数为：" << result << endl; return 0;}```运行结果：```lfac(i)不同取值的个数为：3```通过上述代码实现，可以得到在给定数据下，lfac(i)不同取值的个数为3。

计算机考研数学二试题及答案

计算机考研数学二试题及答案### 计算机考研数学二试题及答案一、单项选择题1. 题目：函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(-∞,+∞)内的最大值点是： - A. x=0- B. x=1- C. x=2- D. x=3答案： C2. 题目：已知函数g(x)=\(\frac{1}{x}\)在区间(0,+∞)内，其导数g'(x)的符号是：- A. 始终为正- B. 始终为负- C. 先正后负- D. 先负后正答案： B二、计算题1. 题目：计算定积分∫_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx。

答案：\[\begin{aligned}\int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx &= \left[ \frac{x^3}{3} -x^2 + x \right]_{0}^{1} \\&= \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - \left( 0 \right)\\&= \frac{1}{3}\end{aligned}\]2. 题目：求极限lim_{x→0} (sin(x)/x)。

答案：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\]三、证明题1. 题目：证明不等式e^x ≥ x + 1。

答案：设函数h(x) = e^x - x - 1，求导得h'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，h'(x) < 0，h(x)递减；当x > 0时，h'(x) > 0，h(x)递增。

因此，h(x)的最小值出现在x = 0处，即h(0) = e^0 - 0 - 1 = 0。

所以，对于所有的x，有e^x ≥ x + 1。

四、应用题1. 题目：某公司计划投资x万元，预计每年收益为y万元，其中y与x的关系为y = 0.05x^2 - 0.2x + 100。

北京大学1996-2009历年数学分析_考研真题试题

∫
b
a
f ( x) d x]2 ≤ (b − a ) ∫ f 2 ( x) d x 。
a
b
π −x
2
。
2.证明它的 Fourier 级数在 (0, 2π ) 内每一点上收敛于 f ( x) 。
北京大学 2001 年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析一、（10 分）求极限： lim
a 2n 。 n →∞ 1 + a 2 n
f ( n ) ( x) 在 [ a, b ] 上一致收敛于 φ ( x)(n → +∞) ，求证： φ ( x) = ce x ， c 为常数。
四、（15 分）设 xn > 0(= n 1, 2 ⋅⋅⋅) 及 lim xn = a ，用 ε − N 语言证明： lim
n →+∞
n →+∞
xn = a 。
北京大学 2002 年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析一、（10 分）求极限： lim(
x →0 1 sin x 1−cos ) x。 x
二、（10 分）设 α ≥ 0 ， = x1 并求极限值。
2 + a ， xn= +1
2 + xn ，= n 1, 2, ⋅⋅⋅ ，证明极限 lim xn 存在
五、（15 分）求第二型曲面积分
∫∫ ( x d y d z + cos y d z d x + d x d y) ，其中 3; z 2 = 1 的外侧。
六、（20 分）设 x = f (u , v) ， y = g (u , v) ，w = w( x, y ) 有二阶连续偏导数，满足
x→a + x →b −

北大版高等数学答案

[7]若已知a=10, b=20,则表达式!a<b&& b的值为____0____________________（填0或者1）。
[8]若从键盘输入47,则以下程序输出的结果是_____47_______________。
#include<stdio.h>
main(){
int a;
scanf("%d",&a);
[11]下面四个选项中，均是c语பைடு நூலகம்关键字的选项【D】
A)define if scanf B)getc char printf
C)include math case D)while goto int
[12]若变量已正确定义为int型，要通过语句scanf("%d,%d,%d",&a,&b,&c);给a赋值1,给b赋值2,给c赋值3,以下输入形式中错误的是【D】
main(){
int while;
float printF;
printf("请输入2个数:\n");
scanf("%d %f",&while,&printF);
printf("%d %f\n",while,printF);
}
该程序编译时产生错误，其出错原因是【A】
A)定义语句出错，while是关键字，不能用作用户自定义标识符
A)2 3 4 B)1 2 3 4 5 6 C)2 3 3 4 4 5 D)4 5 3 4 2 3
三、阅读题（共20分，每题5分）
根据给出的程序，写出程序的运行结果.
[1]有以下程序
#include <stdio.h>

北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案

北大计算机考研高等数学真题解答2008年（5题60分）1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求)(1)()(1lima f a f a x f ax '---→。

2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。

3 （12分）求不定积分⎰--dx x x x2)ln (ln 1。

4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf xx ⎰-→04220)(lim 。

5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1(nf 发散，无穷级数)1()1(nf n -收敛。

2007年（5题60分）1 （12分）求不定积分⎰+dx x e x 22)1(tan 。

解：=+⎰dx x e x 22)1(tan +⎰xdx e x 22sec =⎰xdx e x tan 22+⎰x d e x tan 2-x e x tan 2=⎰x d e x tan 2C x e x +tan 2。

2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(10=+=⎰f x x x f dt tx f 。

解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =；⎰=1)(dt tx f ⎰=xdu u f x 0)(1⇒+x x x f sin )(⎰=xdu u f 0)(⇒+x x x xf sin )(2⇒++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2⇒--='x x x x f cos sin 2)(⇒+-=C x x x x f sin cos )(⇒=+=01)0(C f ⇒-=1C 1sin cos )(--=x x x x f 。

北大计算机考研_高等数学真题解答

北大计算机考研高等数学真题解答2008年（5题60分）1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求)(1)()(1lim a f a f a x f ax '---→。

2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。

3 （12分）求不定积分⎰--dx x x x 2)ln (ln 1。

4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx xt x tf xx ⎰-→04220)(lim 。

5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1(n f 发散，无穷级数)1()1(nf n -收敛。

2007年（5题60分）1 （12分）求不定积分⎰+dx x e x 22)1(tan 。

解：=+⎰dx x e x 22)1(tan +⎰xdx e x 22sec =⎰xdx e x tan 22+⎰x d e x tan 2-x extan 2=⎰x d e x tan 2Cx ex+tan 2。

2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(1=+=⎰f x x x f dt tx f 。

北京大学1991-2000高等数学真题参考答案

由夹逼定理知lim∫xn(1+x)=0
1992年
1、 f(x)的值域为[12,1].
2、 13(换元令x=sint)
5、幂级数的收敛区间为（－1，1），收敛域为[-1,1]
当－１＜ｘ≤１时，和函数＝（1+x）ln(1+x)-x
当x=-1时,和函数=1
1993年
1、当x≠0时,f’=[2x2-(1+ x2)ln(1+ x2)]x2(1+ x2)
2、面积S=∫√ydy(从0到a2)+∫(x2-a2)dx(从a到1)=43a3-a2+13 0≤a≤1
S在a=12时取最小值14，A点坐标为（12，14）
3、由Un+1Un≥Vn+1Vn及Un,Vn0有Vn≤(Vn-1Un-1)Un
(Vn-1Un-1) ≤(Vn-2Un-2)……≤U1V1
lim xn=0
4、x-x222+x332-……(-1)n-1xnn2…… (-1≤x≤1)
收敛区间（-1，1），收敛域[-1，1]
1998年
1、12 （分子有理化）
2、∏4-ln22
3、和函数=x(x-1)2，收敛域（-∞，-1）∪（1，+∞） (换元t=1x)
1999年
由0≤ε＜1及0≤cosy≤1知dxdy=1-εcosy0.
因此函数x=y-εsiny单调递增,即对每个x,都有唯一确定的y与之对应.
由上可知单值函数y=f(x)存在.
2) dydx=1(1-εcosy).
二、
1、查利用幂级数的系数求收敛半径和收敛区间.
1991-2000高等数学真题参考答案

北京大学数学考研真题

北京大学数学考研真题北京大学数学考研真题数学考研一直是备受关注的热门话题，而北京大学作为中国顶尖的高校之一，其数学考研真题更是备受瞩目。

本文将从历年的北京大学数学考研真题中挑选几道典型题目进行解析，帮助考生更好地了解考试内容和备考要点。

第一道题目是2018年北京大学数学考研真题中的一道选择题。

题目如下：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)=0，f(x)在(0,1)内有两个不同的驻点x1和x2，且满足0<x1<x2<1。

则下列说法正确的是：A. f(x)在(0,1)内至少有一个最大值和一个最小值。

B. f(x)在(0,1)内至少有两个最大值和两个最小值。

C. f(x)在(0,1)内至少有一个最大值或一个最小值。

D. f(x)在(0,1)内至少有两个最大值或两个最小值。

这是一道考察函数极值的题目。

根据题干中给出的条件，可以得知函数f(x)在(0,1)内有两个驻点，即导数为零的点。

同时，由于f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)=0，可以推断出函数图像在[0,1]上至少有一个最大值和一个最小值。

因此，正确答案是A。

接下来，我们来看一道2019年北京大学数学考研真题中的一道填空题。

题目如下：设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)=0。

若对任意的x∈[0,1]，有f''(x)≥2，则f(x)在[0,1]上的最小值为____。

这是一道考察函数极值的题目。

根据题干中给出的条件，可以得知函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)=0。

同时，题干中还给出了f''(x)≥2的条件，即函数的二阶导数大于等于2。

根据函数的极值定理，当函数的二阶导数大于0时，函数在该区间上的最小值出现在驻点处。

因此，f(x)在[0,1]上的最小值出现在x=0或x=1处。

由于题干中给出了f(0)=f(1)=0，可以得知f(x)在[0,1]上的最小值为0。

北大考研数学类

北大考研数学类
北大考研数学试题解析
考研数学是很多考生心中的一块“拦路虎”，对于北大考研数学相关试题，我们需要做好充分的准备和解析。

下面，我们将针对北大数学类试题进行分析和解读。

首先，我们来看一道典型的北大考研数学试题。

试题：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，其中a,b,c均为实数。

若f(x)的图象在点(-1,0)处的切线方程为x+y=0，且f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[-2,4]，求常数a,b,c的值。

解析：我们需要利用题目所给的条件来解答这道题目。

首先，根据题目中所给的切线方程和函数f(x)，我们可以得到f(-1)=-1-a+b-c=0。

同时，根据切线方程，我们还可以得到a-b=1。

其次，根据题目中给出的f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[-2,4]，我们可以得到f(1)=1+a+b+c=4，f(-1)=-1-a+b-c=-2。

通过解这个方程组，我们可以得到a=0，b=1，c=0。

综上所述，常数a,b,c的值分别为0,1,0。

通过这道题目的解析，我们可以看到在北大考研数学类的试题中，需要我们运用数学的基本原理和方法来解题，同时需要我们灵活运用所学知识。

总结：北大考研数学类试题是对考生数学能力的一项全面考查，我们需要充分准备，勤于练习，灵活运用所学知识和方法，才能更好地应对考试挑战。

希望考生们能够通过努力取得优异的成绩！。