利用法向量解立体几何题

利用法向量解立体几何题

一、运用法向量求空间角

向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量

''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ=

''''

AA BB AA BB ⋅⋅, 不需

要用法向量。

1、运用法向量求直线和平面所成角

设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为

sin θ= cos(

2

π

-θ) = |cos| = AB AB n n

••

2、运用法向量求二面角

设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n >是所求角。

二、运用法向量求空间距离

1、求两条异面直线间的距离

设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离 d =AB ·cos ∠BAA ＇

=

||

||

AB n n • 略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇为过F 与a 平行的直线，

在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA ＇//

EF ，交a ＇于A ＇

，

A

则¡¯

//AA n ，所以∠BAA ＇

=<,BA n >（或其补角）

∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇

=

||

||

AB n n • * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得

0n a n a n b n b ⎧⎧⊥•=⎪⎪⇒⎨⎨⊥•=⎪⎪⎩

⎩ ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离

求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A

点到平面α的距离为 d =

||

||

AB n n •，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设

(1,,0)n y =，下同）。

3、求直线到与直线平行的平面的距离

求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ，

在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d =

||

||

AB n n • 4、求两平行平面的距离

设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、

B ，则平面α到平面β的距离 d =

||

||

AB n n • 三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则

1a//a n α⇔⊥ 1a a//n α⊥⇔

12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥

四、应用举例：

例1：（04年高考广东18）如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1.

(1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.

解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，

11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==-

设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有

1330

1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=⇒⇒==-++=⊥⎫⎫

⎪

⎬⎬⎭

⎪⎭

11111(1,1,2),

(0,0,2),

cos 3

||||1tan 2

n AA CDE n AA C DE C

n AA n AA θθθ∴=--=∴--•==

=

⨯∴=

向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则

1111cos 14

||||

1EC FD EC FD β•=

==

⨯例2：（04年高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600

，PD ⊥平面ABCD

，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。

（1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600，

∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，

连结BD

∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，

如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=1

2

，

ED=

2

，

∴P（0，0，1），E

（

2，0，0），B

（

2

，

1

2

，0）∴PB=

（

2

，

1

2

，-1），PE=

0，-1），

平面PED的一个法向量为DC=（0，1，0），设平面PAB的法向量为n=（x, y, 1)

由

11

(,,1)(,,1)010

2222

(,,1)(,0,1)010

22

x y x y x

n PB

n PE y

x y x

⎧

⎧

•-=--=

⎪

⎧=

⊥

⎪⎪⎪⎪

⇒⇒⇒

⎨⎨⎨

⊥

⎪⎪⎪

⎩=

•-=-=⎩

⎪⎩⎩

∴n=

∵DC·n=0 即DC⊥n∴平面PED⊥平面PAB （2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为n=

, 0, 1), 设平面FAB的法向量为n1=（x, y, -1)，

由（1）知：F（0，0，

1

2

），FB=

1

2

，-

1

2

），FE=

0，-

1

2

），

由1

1

1111

(,,1),)00

2222

110

(,,1))00

22

x y x y x n FB

n FE y

x y x

⎧

⎧

-•-=-+=

⎪

⎧=⊥

⎪⎪⎪

⇒⇒⇒

⎨⎨⎨

⊥

⎪⎪⎪

⎩=

-•-=+=⎩

⎪⎩

∴n1=（

-1)

∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ= |cos| =1

1

n57

n

n

n

•

=

•

例3：（04江苏高考18)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.