第三章最短路问题
最短路问题
最短路问题基本内容：（1）问题的提法——寻求网络中两点间的最短路就是寻求连接这两个点的边的总权数最小的通路。
（注意：在有向图中，通路——开的初等链中所有的弧应是首尾相连的。
）（2）应用背景——管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等。
D氏标号法（Dijkstra）（1）求解思路——从始点出发，逐步顺序地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最短的。
（3）选用符号的意义：①P 标号（Permanent固定/永久性标号），从始点到该标号点的最短路权。
1、一辆送货车从配送中心所在地V1 给V6，V7 两地客户实现共同配送。
已知车辆自身成本消耗0.2 元/ 公里。
各站点间的距离（单位：公里）数如下图所示。
在V6，V7两地的线路间有一收费站，每次每台车辆通过均收费15 元。
问题：（1）用标号法求出送货车的最优送货路线（2）此次送货,车辆总的花费是多少解：把收费站的收费折算成路线后，如下图：用用标号法解出各站点距V1的最短路径用标号法解出最短路线：V1－V2－V4－V5－V6－V7按上述路线的走法花费最少，TC=95×0.2＋15=34 元若避开收费站走：V1－V2－V4－V5－V6－V5－V7TC=（85＋20＋45）×0.2＝30 元因此，最优送货路线：V1－V2－V4－V5－V6－V5－V7；此次送货，车辆总的花费是30 元。
2、下图为某地区的交通运输道路示意图。
其中V1为配送中心位置，V8为要货客户位置，现V8客户向配送中心提出了4吨订货要求，并且要越快越好。
配送中心物流计划人员已做出了用一台4吨东风卡车配送的计划安排。
但要以最快的速度将货物送达，就必须确定最短的配送路线，而该计划人员不知如何确定。
（1）请您帮该物流计划人员优化出最佳的送货路线？（2）已知车辆的平均行驶速度为50公里/小时，如早晨8：00发车，货物什么时间可以送达客户？解：用T 标号法求解得最短路线为：V1－Ｖ２－Ｖ３－Ｖ６－Ｖ７－Ｖ８。
[管理学]最短路问题
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最短路的子路也是最短路。
思想：将D=（V，A，W）中vs到所有其它顶点的最短
路按其路长从小到大排列为： u0≤ u1 ≤ u2 ≤…≤ un
u0表示vs到自身的长度，相应最短路记为： P0，P1，P2，…，Pn，P1一定只有一条弧。 记X 0 v s , X 0 V \ X 0 , 则
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
v2
6
1 2 6
v5
4 3 10 2
2
v9
6
4
3
v1
1
3
v3
2
v8
v4
10
v6
v7
解：u1=0，u2=6，u3=3，u4=1，u5=u6=u7=u8=u9=+ ，
j=1 （j=2，3，…，9）
X0={v1} ，X0={v2，v3，…，v9}
。设
步骤2 若m+1=n-1，结束。若m+1<n-1，置m=m+1，转步骤1
v2
1
2 5 3 -4
v3
2 3 l(v1)=0, l(vj)=1 (j=2,3,4,5)
v4
u1
(1)
v1
u2 u3
( 2) (1) ( 2) (1)
v5
u 2 w22 1, u 2 w23 3, u5 w54 6, u3 w35 1, u 2 w22 1, u3
uj(m) =
算法步骤：
步骤0 令 l(v1)=0,l(vj)=1(2 j n); m=1,u1(m)=0，uj(m)=w1j (2 j n)。
uk (m) + wkj 步骤1 对于一切2 j n，计算 min 1 k n
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路问题数学模型
最短路问题数学模型
最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。
为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。
数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。
对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。
在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。
这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。
在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。
可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。
通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。
总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。
- 1 -。
最短路问题
最短路问题何谓最短路？最短路问题考虑的是有向网络N=（V，A，W），其中弧（i,j）∈A 对应的权又称为弧长或费用。
对于其中的两个顶点s，t∈V,以s 为起点，t 为终点的有向路称为s-t 有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）。
所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。
ij w 如何得到最短路？最短路问题的线性规划描述如下：(,)m i ni j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,..1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=⎧⎪t −=−=⎨⎪≠⎩∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧（i,j）是否位于s-t 路上：当=1时，表示弧（i,j）位于s-t 路上，当=0时，表示弧（i,j）不在s-t 路上。
本来，应当是0-1变量，但由于约束（2）的约束矩阵就是网络的关联矩阵，它是全幺模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0，1]中的实数（当用单纯形法求解时，将得到0-1整数解）。
ij x ij x ij x ij x 值得注意的是，我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。
实际上，如果可以取0-1以外的整数，则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构（记为P）一定是一条路，因为这一结构可能含有圈。
进一步分析，我们总是假设网络本身不含有负圈，而任何正圈不可能使目标函数最小，因此上面的约束条件（2），（3）可以保证当达到最优解时，P 如果包含圈，该圈一定是零圈，我们从P 中去掉所有的零圈，就可以得到最短路。
ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。
Bellman 方程（最短路方程）将约束条件（2）两边同时乘以-1，得到其对偶问题为：m ax()t s u u − （4）..,(,)j i ij s t u u w i j A −≤∀∈ （5）根据互补松弛条件，当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时：()0,(,i j j i i j )x u u w i j −−=∀∈A （6） 因此,当某弧（i，j）位于最短路上时，即对应的变量＞0时，一定有ij x j i i u u w −=j 。
第三节 最短路问题PPT课件
定义: 给定一个赋权有向图，即给了一个有向图
G=（V，A，W） ，对每一个弧aij =(vi,vj)∈A ， 相应地有权w（aij ） =wij ∈V1 ，又给定 G中的 两个顶点vs ,vt 。设 P是G 中从vs 到 vt的一条路，
定义路 P的权是 P中所有弧的权之和，记为W(P)
。最短路问题就是要在所有从vs 到vt 的路中，求 一条权最小的路，即求一条从vs 到vt 的路P* ，
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
则resent= vk,
， 。 Sk Sk1 vk
Tk Tk1 vk
若k=n，则结束，否则转第二步。
6
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
v2 1
6 2
v5
2
v9
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
7
图上标号法:
v2 v1,6 1
v5
v1, ∞ 2
转步骤二。
29
用逐次逼近算法求从V1到V6的最短路
v2
5
4
v1
-3
5
7
v3
v6 v4 6
2
v5
30
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
3第三章 最短路问题
在这一章中，我们假设遇到的图G都是简单图.这 样假设是合理的，因为如果G有平行弧或平行边，例 如有好几条从vi到vj的弧，那么很显然，可以把这些 弧中最短的一条留下，其余的都去掉，然后在剩下的 简单图上再来求从vs到vt的最短有向路.因为G是简单 图，所以每一条弧ak被它的起点vi与终点vj唯一决定， 因此，下面我们就用<vi,vj>或<i,j>来表示一条弧， 用(vi,vj)或(i,j)来表示边，而用l(i,j)来表示弧或 边的长度.
大家也许会认为，这两个例子本来就不很难，把 它转化成图论问题，倒相当麻烦，有什么好处呢？其 实这种做法还是很有好处的.因为在转化前，想解决 这些问题，只能用凑的办法，或者最多是凭经验.而 转化成图论问题以后，就可以用一种系统的方法解决 了.
最后，还要指出一下，求最短有向路和求最短无 向路这两个问题是密切关联的.下面将看到，求最短有 向路的计算方法也可以用来求最短无向路.
例1 渡河问题：一个人带了一只狼、一只羊和一 棵白菜想要过河,河上有一只独木船,每次除了人以外, 只能带一样东西.另外,如果人不在旁时,狼就要吃羊, 羊就要吃白菜.问应该怎样安排渡河,才能做到把所有 东西都带过河去,而且在河上来回的次数又最少.
当然，这个问题不用图论也能解决．大家一眼就 能看出，第一次应该带着羊过河，让狼和白菜留下, 以下怎么渡法呢？ 下面就来讲一下怎样把这个问题转化成最短路问 题． 我们用M代表人，W代表狼，S代表羊，V代表白菜. 开始时，设人和其他三样东西都在河的左岸，这种情 况，我们用MWSV来表示.又例如人带了羊渡到河的右 岸去了，这时左岸留下了狼和白菜，这种情况就用WV 来表示.例如MWS表示人(M)狼(W)羊(S)在左岸而白菜 (V)在右岸这种情况.那么总共可能有几种允许的情况 呢
第三节 最短路问题
作业
195页
习题8
8.4题
( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ) ,(V5 ,V9 )} 1、 2、K14 K 24 8 K54 5 3 8 K59 1 3 4
3、 (V5 ,V9 ) V9 ( 4 ,
5)
第五轮： V1 (0,0) V2 (2,1) V5 (3,2) V9 (4,5) V7 (7,9) 1、 ( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ),(V9 ,V6 ),(V9 ,V7 ),(V9 ,V8 )} 2、 K14 K24 K54 8 3、 (V9 ,V7 ) V7 ( 7 ,
V1
(i , i )
V2
5
7
1
V4
6
2 2
V3
1
V5
第三步： 找出第二步中 K ij 最小的那条弧，给它的终 点以标号
(V1 ,V3 ) V3 (2,1)
8
如果有几个 K ij 都取最小值，就同时标号
以后每一轮都重复第二轮的三个步骤， 从而使某个顶点获得标号； 当终点获得标号后，计算结束； 然后逆向追踪获得最短路．
( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ) ,(V5 ,V9 )} 1、 2、K14 K 24 8 K54 3 5 8 K59 3 1 4
3、 (V5 ,V9 ) V9 ( 4 ,
5)
第三轮： V1 (0,0) V2 (2,1) V5 (3,2)
9)
1)
V4 (8,1) V1 V2 (2,1) V5 (3,2) V9 (4,5) V7 (7,9) V6 (10,9)
网络最短路的解集结构及有关问题
郑州大学硕士学位论文网络最短路的解集结构及有关问题姓名：张振坤申请学位级别：硕士专业：运筹学与控制论指导教师：罗来兴;林诒勋2002.5.1中文摘要网络最短路问题是一个基本的离散最优化问题，一般的有限状态多阶段决策过程都可以转化为它。
因此，最短路问题有着很广泛的应用意义。
ｆ其定义如下㈨：给定一个有向或无向图（网络）Ｎ＝（Ｖ，Ａ）和每一个弧ｅｊ∈Ａ上的非负权。
；＞／ｏ，其中ｙ为点集，Ａ为弧集。
最短路问题就是求从一个始点ｓ到另一个终点ｔ的一条路，使得路上弧的总权和最／ｊ，Ｊ本文所研究的问题是对网络最短路问题的进一步讨论，由以下３个部分组成：１．网络最短路的最优镌．０瞄；２．网络最短路的曩垡童掺结构；３．多端最短路的缝蕉攥型。
（１．网络最短路的最优解邻域＼文［６，９］介绍了第ｋ条最短路的概念和算法。
在此基础上，第二章讨论了最短路的最优解邻域的求解问题，得到了求解一个网络Ｎ的等势网络Ｎ。
的算法思想、求解网络Ｎ的所有最短路的算法２．１以及求解所有处于最优解邻域中的非最短路的算法２．２。
定理１网络Ｎ的等势网络Ｎ。
包含Ｎ中所有的（ｓ。
ｔ）最短路，并且Ｎ。
可以在多项式时间内找到，算法复杂性为Ｏ（ｍ），其中ｍ＝ＩＡＩ。
定理２在网络Ｎ的任意一条长度小于或等于￡‘＋ｅ的（５，ｔ）路中，任意中间顶点｛的位势嘶必小于或等于ｚ。
＋ｅ。
定理３在网络Ⅳ中，对任意一条通过顶点ｉ∈Ｖ＼“的路Ｐ，若路Ｐ的路长ｚ≤￡。
＋ｅ，则必有”ｆ＋？ｔｉ７≤Ｚ’＋￡２网络最短路的最优解集结构本文在第三章中研究了网络最短路的最优解集结构：首先讨论了一个网络Ｎ具有唯一一条最短路的充要条件；其次，借助于２一变换的定义，着重探讨了网络最短路的２一变换图的结构性质。
定理４对等势予网络Ｎ。
中一个（ｓ，ｔ）有向路Ｐ，它是Ｎ中唯一一条最短路的充分必要条件是：在Ｎ。
中不存在起点和终点都在Ｐ上的等长２一重路。
定理５网络Ｎ的最短路２一变换图为平凡图，当且仅当网络Ｎ只有一条最短路。
最短路问题
v6
9
7
4
1 1 1
1 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
3
10 8
8 6
9
7
5 3 4
0 4 3
4 0 1
3
1
0
1 11
2 2 2
3 3 3
4 4 4
4 5 5
4
5 6
由于D(2) =D(3)，故D(3)中的元素就是vi到vj的 最短距离,D(3)称为最短距离矩阵。
1 1 2 2 3
到其他不直接邻接的节点的最短 距离不会发ห้องสมุดไป่ตู้变化。
②在v1到所有其他节点的最短距离中选择最小的距 离，找到节点 vk，使下式满足：
求 min{T (v j )}
vk
满足
T (vk
)
min{T
v jS
(v
j
)}
令：P(vk ) T (vk )
比较v1到所有其它节点的最短距离，找到 节点vk,并将最小的距离记录在P(vk)中。
的最短路。
（1）使用条件—没有负回路
（2）步骤：
①
令
d 1 j
w1 j，j
2,3,, N，其中
w1 j为起点v1
到 v j 的弧（v1, v j ）的权；
②用下列递推公式进行迭代：
d d k min
j
i
k 1
j
wij
j 2,3,, N
其中，
d k j
表示从起点 v1 到点 v j 走k步
的最短距离；
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 应是首尾相连的。）
第3节 最短路问题__运筹学__胡运权__清华大学出版社
0000
v2 6 0
2
-1 -5 -5 -5
v3
-3 0 -5
1
-2 -2 -2 -2
v4 8
0
2
3 -7 -7 -7
v5
-1
0
1 -3 -3
v6
1017
-1 -1 -1
v7
-1
0
5 -5 -5
v8
-3
-5 0
66
最短路算法—Warshall-Flod方法
v2
-1
-5
6
2
-1 -3
0 v1
-2
v3
2 [3, v1]
3
v3 6
12
v4
10
[1, v1]
[6, v2]
v5 2 v9
6 4 10 3
3
v8
v6 2
[10, v5]
4
v7
[9, v5]
[5, v3]
[6, v2]
[0, v1]
v1
16 v22 [3 v1]3v3 6
12
v5 2 v9
6 4 10 3
3 [12, v5]
v8
4
v4
10
v[34,v2/
v4]
5
[8,v5]
v6 5
[0,v1] 3
13
1
7
v4
5
[3,v1]
v5[7,v3]
[13,v6]
v7
[课堂练习] 无向图情形
答案（2）：
v2 [2,v1]
v1
2
2
5
7
v[34,v2/
v4]
5
[8,v5]
3最短路问题
)
T
(v4
)
1,
S1 S0 {v4} {v1, v4}, k 4
v1
v2
62 3 v3
1
v5 2
v9
6
6
10
3
3
v1
2
4 v8
4
v4
10
v6 2 v7
1 v4
i 1 : continued
(2) (v4 , v6 ) A且v6 S1
T (v6 ) T (v6 )
M p(v4 ) w46 110 11,
S0 {v1}, P(v1) 0, (v1) 0;T (vi ) ,
(vi ) M (i 2,3,...,9),k 1.
v2
(2)(v1, v2 ) A且v2 S0 6 2
T (v2 ) p(v1) w12 , v1
3 v3 2
同 T理(v2，) P(v1) w12 6,(v2 ) 1; v4
个顶点是vm; ＊ λ(v) =M表示D中不含从vs到v的路; ＊ λ(v) =0 表示v=vs.
2、最短路算法(Dijkstra算法)
（０）初始化:i=0,令S0={vs},P(vs)=0, λ(vs) =0,对 每一个v≠vs,令T(v)=+∞,λ(v) =M;k=s(当前点).
（１）判断：如果Si=V,算法终止。此时,对每个 v∈Si，d(vs,v)=P(v)；否则转入(2)．
1
v5 2
6
6
10 4 3
4
10
v6 2 v7
T (v3 ) p(v1) w13 T (v3 ) p(v1) w13 3,(v3 ) 1;
T(v4) p(v1) w14 T(v4) p(v1) w14 1,(v4) 1;
最短路问题(课堂PPT)
5
0
5
V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
6
(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
3 2 4 1
时间
2 3 3 2
25
0
5
V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
0
5
V2
3
6 5 5 V6
5
0
5
V2
3
6 6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
6
8
V5 4
V3
V7
4
7
(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
图论第3章-树与最短路
② ③ 先证G中无回路。若G中存在某个结点 v上的 自回路， uV ，由条件知 u 到 v 存在一条路 L1 ： u…v ，因为 v 上有自回路，所以 u 到 v 存在另一条 路L2：u…vv，这与G中每一对结点之间存在惟一 的路矛盾。若G中存在长度大于等于2的一条回路， 则回路上两个结点之间存在不同的路。这与条件 是矛盾的。所以G中无回路。 以下用归纳法证明m=n–1。 当 n=1 时， G 为平凡图， m=0=1–1=n–1 。结 论成立。 设 n≤k 时，结论成立。下证 n=k+1 时，结论 也成立。
最小生成树 设无向连通带权图G=<V,E,W>,T是G的一 棵生成树，T的各边权之和称为T的权，记作 W(T)。G的所有生成树中权最小的生成树称为 G的最小生成树。 求最小生成树的算法很多，我们只介绍避圈 法（克鲁斯克尔Kruskal算法）。
Kruskal算法 — 一种求最小生成树的算法
设n阶无向连通带权图G=<V,E,W>有m条 边,不妨设G中无环(否则可先删去)，算法为： (1) 将m条边按权从小到大顺序排列，设为 e1,e2, … ,em。 (2) 取e1在T中，然后依次检查e2, … ,em ，若ej (j=2,3, …,m)与T中的边不能构成回路，则取ej在T 中，否则放弃ej，考虑下一条边，直至j>m。 (3) 算法停止时得到的T为G的最小生成树。
例: 下图(1)为一棵根树。V0为树根, v1,v4, v3, v6, v7为树
叶, v2, v5为内点, v0, v2, v5为均为分支点, 由于在根树中
③④只须证明 G 是连通的。若不然，设 G 有 t(t≥2) 个连通分支 G1 ， G2 ， … ， Gt ， Gi 中均无 回路，都是树。由① ② ③可知， mi=ni–1 ， i=1,…,t 。于是 m=m1 ＋ m2 ＋ … ＋ mt =n1-1 ＋ n2-1 ＋ … ＋ nt-1=n1 ＋ n2 ＋ … ＋ nt-t=n–t ，由于 t≥2 ，这 与m=n–1矛盾。所以G是连通图。 ④ ⑤只须证明 G 的每一条边均为桥。设 e 是 G 的 任意 边 ，删 除 e 得子 图 G1 ， G1 中 的 边数 m1=m-1，G1中的结点数n1=n，m1=m–1=n-1-1=n2=n1-2＜n1-1，所以G1不是连通图，所以e是桥。
最短路问题
17.
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18.
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19. }
20.}
二、Floyd算法及求解最小环
• Floyd算法可以求出每对点之间的最短距离，它对于图的要求是，可以是无向图和有
向图，边权可正可负，唯一的要求是不能有负环。
• 设d[i][j][k]表示路径中间只允许经过节点1…k的情况下，i到j的最短路距离。它
有两种情况：
• 最短路经过点k，d[i][j][k]=d[i][k][k-1]+d[k][j][k-1]
13.
d[y] = d[x] + z;
//更新
14.
if (!v[y]) q.push(y), v[y] = 1; //把新的二元组插入队列
15.
}
16.
}
17. }
18.}
【例题2】拯救大兵瑞恩(Hdu4845) 1944年，特种兵麦克接到国防部的命令，要求立即赶赴太平洋上的一个孤岛，营救
被敌军俘虏的大兵瑞恩。瑞恩被关押在一个迷宫里，迷宫地形复杂，但幸好麦克得到了 迷宫的地形图。迷宫的外形是一个长方形，其南北方向被划分为N 行，东西方向被划分 为M列，于是整个迷宫被划分为 N×M 个单元。每一个单元的位置可用一个有序数对(单 元的行号，单元的列号)来表示。南北或东西方向相邻的 2 个单元之间可能互通，也可 能有一扇锁着的门，或者是一堵不可逾越的墙。迷宫中有一些单元存放着钥匙，并且所 有的门被分成 P类，打开同一类的门的钥匙相同，不同类门的钥匙不同。
(u,v)是否满足关系式d[v]> d[u]+ w(u,v)来判断是否存在负权回路。
1.bool bellman(int v0)
2.{ int i,j;
3. for(i=1;i<=nv;i++)d[i]=maxx;
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每种组合用一个点表示，若点u能通过倒酒的方式变 换为v,则 u向v 连有向边，并将各边赋权1，得一个有向 赋权图.
于是问题转化为在该图中求 (8,0,0)到(4,4,0)的一条最 短路(求最短路的算法在有向图中仍适用).结果如下：
(8, 0, 0) (3,5, 0) (3, 2,3) (6, 2, 0) (6, 0, 2) (1,5, 2) (1, 4,3) (4, 4, 0).
在这一章中，我们假设遇到的图G都是简单图.这
样假设是合理的，因为如果G有平行弧或平行边，例
如有好几条从vi到vj的弧，那么很显然，可以把这些 弧中最短的一条留下，其余的都去掉，然后在剩下的
简单图上再来求从vs到vt的最短有向路.因为G是简单 图，所以每一条弧ak被它的起点vi与终点vj唯一决定， 因此，下面我们就用<vi,vj>或<i,j>来表示一条弧， 用(vi,vj)或(i,j)来表示边，而用l(i,j)来表示弧或 边的长度.
解 设x1,x2,x3分别表示8,5,3升酒壶中的酒量.则
x1 x2 x3 8, x1 8, x2 5, x3 3.
容易算出(x1,x2,x3) 的组合形式共24种.
(0,5,3);(1,5,2);(1,4,3);(2,5,1);(2,4,2);(2,3,3); (3,5,0);(3,4,1);(3,3,2);(3,2,3);(4,4,0);(4,3,1); (4,2,2);(4,1,3);(5,3,0);(5,2,1);(5,1,2);(5,0,3); (6,2,0);(6,1,1);(6,0,2);(7,1,0);(7,0,1);(8,0,0);
回到我们要解决的最短有向路问题上来.为确定
起见，我们设vs=v1，vt=vn,也就是说我们要找的是从 v1到vn的最短有向路.下面介绍的方法可以把从v1到G 的每一个顶点vj的最短有向路都求出来(或者指出不 存在从v1到vj的有向路，即v1不可达vj)．
我们把整个计算分成若干“轮”来进行(一个
“轮”就是一个大步)，每一轮中，将求出v1到某一 个顶点vj的最短路以及这条最短路的长度b(j).我们 把b(j)就叫做顶点vj的标号.再强调一下，顶点vj的 标号代表的是从v1到vj的最短路的长度.另外，如果 说“顶点vj已经有标号了”或“vj是已标号点”，就 意味着从v1到vj的最短路以及这条最短路的长度都已 经求出来了.
§3.2 求最短有向路的标号法
这一节介绍一种求有向图上最短有向路的方法 ，叫做标号法。
所谓标号,我们是指与图的每一个顶点对应的一个 数(或几个数)．例如设G=(V,A)的顶点集合是V={v1,v2, …,vn}，如果我们能使v1对应一个数b(1)，v2对应数 b(2)，…，vn对应数b(n)，那么，这些数b(i)就称为vi的 标号，当然，在不同的问题中，标号b(i)一般代表不同 的意义.
大家也许会认为，这两个例子本来就不很难，把 它转化成图论问题，倒相当麻烦，有什么好处呢？其 实这种做法还是很有好处的.因为在转化前，想解决 这些问题，只能用凑的办法，或者最多是凭经验.而 转化成图论问题以后，就可以用一种系统的方法解决 了.
最后，还要指出一下，求最短有向路和求最短无 向路这两个问题是密切关联的.下面将看到，求最短有 向路的计算方法也可以用来求最短无向路.
现在我们就来构造一个图G，它的顶点就是这10 种情况，G中的边是按照下述原则来连的；如果情况 甲经过一次渡河可以变成情况乙，那么就在情况甲与 乙之间连一条边.
MWSV MWS MWV WSV MSWVW来自SVØ
例如，MWSV经过一次渡河可以变成WV(人带着羊 过河，左岸留下狼和白菜)，又例如MWV经过一次渡河 可以变为W(人带着白菜过河，留下狼)，或变为V.当 然反过来，W也可以变为MWV(人带着白菜从右岸返回 左岸).
作出了图G以后，渡河问题就归结为下述问题了： “在图G中找一条连接顶点MWSV与Ø，并且包含边 数最少的路”.如果我们设G的每条边的长度都是1，那 么也可以把渡河问题归结为：“找一条连接MWSV与 Ø的最短路”.
例2: 某两人有一只8升的酒壶装满了酒，还有两 只空壶，分别为5升和3升.现要将酒平分，求最少 的操作次数.
下面就来讲一下怎样把这个问题转化成最短路问 题．
我们用M代表人，W代表狼，S代表羊，V代表白菜. 开始时，设人和其他三样东西都在河的左岸，这种情 况，我们用MWSV来表示.又例如人带了羊渡到河的右 岸去了，这时左岸留下了狼和白菜，这种情况就用WV 来表示.例如MWS表示人(M)狼(W)羊(S)在左岸而白菜 (V)在右岸这种情况.那么总共可能有几种允许的情况 呢
上面两个问题都可以称为最短路问题．很容易看出， 这两个问题都有着大量的生产实际背景.事实上，大至 海、陆、空各种运输，小至一个人每天上班，都会遇到 最短路问题.正因为它用处大，所以近二、三十年来国 内外对这个问题进行了不少研究，也找到了许多比较好 的计算方法.
有趣的是，有些问题，从表面上看与最短路问题没 有什么关系，却可以归结为最短路问题.下面就来举两 个这样的例子：
例1 渡河问题：一个人带了一只狼、一只羊和一 棵白菜想要过河,河上有一只独木船,每次除了人以外, 只能带一样东西.另外,如果人不在旁时,狼就要吃羊, 羊就要吃白菜.问应该怎样安排渡河,才能做到把所有 东西都带过河去,而且在河上来回的次数又最少.
当然，这个问题不用图论也能解决．大家一眼就 能看出，第一次应该带着羊过河，让狼和白菜留下, 以下怎么渡法呢？
如果不管狼是否吃羊、羊是否吃白菜，那么总共 有16中情况，它们分别是：
MWSV, MWS, MWV, MSV, WSV, MW, MS, MV , WS, WV, SV, M, W, S, V, Ø(空集)
例如MS表示人和羊在左岸，而狼和白菜在右岸；Ø表 示左岸是空集，即人、狼、羊、白菜都已渡到右岸去 了.检查一下就可以知道，这16种情况中有6种情况是 不允许出现的.分别是：WSV, MW, MV, WS, SV, M. 例如WSV表示狼、羊、白菜都在左岸而人在右岸，因 为人不在旁边看着,狼就要吃羊，羊也要吃白菜；又如 MV表示人和白菜在左岸，而狼和羊在右岸，当然也是 不行的.因此，允许出现的情况只有10种.