五年级奥数不定方程与不定方程组教师版
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
奥数讲义-不定方程-(4)
第四讲 不定方程不定方程是方程中较难的内容，因此也是考试的难点。
一、基础知识回顾不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们一般求解两类问题：一是，未知数的组合；二是，限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x二、典型例题A ）不定方程（组）求解例1 已知：25415x y z ++=，7314x y z ++=，求42x y z ++的值。
解：待定系数法。
9。
例2（同步，P94）（1997，重庆市）若4x 3y-6z=0,x+2y-7z=0,-求2222225x 2y z 2x 3y 10z +---的值。
例3（同步，P90）（全国通讯赛）已知：2221998(x y)1999(y z)2000(z x)01998(x y)1999(y z)2000(z x)1999-+-+-=⎧⎨-+-+-=⎩求z y -的值 注：方程组求值例4（同步，P103）（2000，全国联赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元，C 水果每千克10元。
某天该商店销售这三种水果搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，问C 水果的销售额为多少元？注：应用题；整体求值B ）设而不求例5 若求x+y+z 的值．分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比． 解 令则有x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+Z=0．说明本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数．易错题回顾：已知x y zy z x z x y==+++，则xy z+的值为________；1/2或-1例6.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有由上述四式可知比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．说明此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．例7.我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)=99×a-99×c=100×a-100×c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．因k是三位数，所以2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7．所以2≤10-a+c≤8．差对调后为k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)=1089．故所求为1089．说明本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．例8 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．解法1设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．解法2 设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x 千克中含铜n千克(m≠n)，则这两个合金含整理得 5x(n-m)=24(n-m)．因为m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．说明在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．C）整数解例9求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得：4341433343-+=-=-=yyyxyyx，则∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=32138235，，，，，取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0所以方程的整数解为⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-===1121yxyxyx，，评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。
《不定方程》专题教师版
不定方程精选题型（第一课时）一．例题精析：例1．一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开40分钟．【分析】设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，再根据进水量=出水量列出方程求解即可．解：例2．某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为2：3．【分析】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．解：例3．某班有若干人参加一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a、题b、题c满分分别为20分、30分、40分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，只答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，则这个班参赛同学的平均成绩是51分．【分析】设答对a的人数为x，答对b的人数为y，答对c 的人数为z，根据题意可得三元一次方程组，解出可得出x、y、z的值，进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩．解：例4．山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A型抽水机1小时刚好抽完，若两台A型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A型抽水机同时抽12分钟可以抽完．【分析】设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A 型抽水机每小时抽水量是x．根据一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解解：二．课堂精练：1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了朵．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了件．三．课后巩固：1．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为．2．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多元．3．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是．不定方程精选题型（第二课时）一．例题精析：例 1. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 1.05元．【分析】等量关系为：3×铅笔的单价+7×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=3.15；4×铅笔的单价+10×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=4.2，把两个方程相减后乘3，再让第2个方程减去得到的方程可得购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需的钱数．例2．晨光文具店有一套体育用品：1个篮球，1个排球和1个足球，一套售价300元，也可以单独出售，小攀同学共有50元、20元、10元三种面额钞票各若干张．如果单独出售，每个球只能用到同一种面额的钞票去购买．若小面额的钱的张数恰等于另两种面额钱张数的乘积，那么所有可能中单独购买三个球中所用到的钱最少的一个球是60元．【分析】设50元、20元、10元的钞票分别有x、y、z张，然后根据总售价列出一个方程，再根据三者之间的关系列出一个方程组成三元一次方程组，整理消掉z，再根据x、y都是整数讨论求解即可．例3.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t=15．【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了10分钟，小轿车追上了客车可以列出方程10（a﹣b）=s，由又过了5分钟，小轿车追上了货车列出方程15（a﹣c）=2s，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程（t+10+5）（b﹣c）=s，联立所有方程求解即可求出t的值．例4.一次数学比赛，有两种给分方法：一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分，用这两种方法评分，某考生都得81分，这张试卷共有22题．【分析】此题可以设答对a题，未答b题，答错c题未知数，列出方程组，进行推理可得：5a+2b=81①，40+3a﹣c=81②，由①②推出a的取值范围，并确定处a 的值，从而推出b、c的值，解决问题．二．课堂精练：1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有盒．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运次（每辆车每次都满载重量）．3．今年是天猫双十一创立以来的第11年，现在，已经彻底改变了中国人这一天的生活．某商家为迎接双十一活动准备购进一批服装，清理库存有A，B，C三种服装，其中服装C的数量为总库存数的，根据市场预测再购进A，B，C三种服装的数量之比为5：4：7，则购进后A的总数量为购进后三种服装总量的，B的新购数量与购进后三种服装总数量之比为2：17，则购进后B的总数量与购进后C的总数量之比为．三．课后巩固：1．春节即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、两三种糖果，已知销售甲糖果的利润率为10%，乙糖果的利润率为20%，丙糖果的利润率为30%，当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为3：2：1时，商人得到的总利率为20%．那么当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为5：1：1时，这个商人得到的总利润率为．2．育德文具厂生产的一种文具套装深受学生喜爱，已知该文具套装一套包含有1个笔袋，2只笔，3个笔记本，巅峰文具超市向该厂订购了一批文具套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．育德文具厂将员工分为A、B、C三个组，分别生产笔袋、笔、笔记本，他们于某天零点开始工作，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点A组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点B组完成低务，再过几天（不少于一天）后的6时C组完成任务．已知A、B、C三个组每天完成的任务数分别是270个、360个、360个，则巅峰文具超市一共订购了套文具套装．3．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为450kg，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为．不定方程精选题型（第三课时）一．例题精析：例1．购买甲7件，乙3件，丙4件商品共需25元．若购买甲5件，乙1件，丙商品2件共需13元．那么购买甲乙丙商品各一件需6元．【分析】先设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据题意列出方程，再解方程即可．例2．2015年5月18日华中旅游博览会在汉召开．开幕式上用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由3朵红花、2朵黄花和1朵紫花搭配而成，乙种花束由2朵红花和2朵黄花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了580朵红花，150朵紫花，则黄花一共用了430朵．【分析】题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=580朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=150朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．例3．重庆修建园博园期间，需要A、B、C三种不同的植物，如果购买A种植物3盆、B种植物7盆、C种植物1盆，需付人民币315元；如果购买A种植物4盆、B种植物10盆、C种植物1盆，需付人民币420元；某人想购买A、B、C各1盆，需付人民币105元．【分析】设A种植物x元一盆、B种植物y元一盆、C种植物z元一盆，就可以得出3x+7y+z=315，4x+10y+z=420，再由这两个方程构成方程组，再解这个不定方程组求出其解即可．例4．一家小吃店原有三个品种的馄饨，其中菜馅馄饨售价为3元/碗，鸡蛋馅馄饨售价为4元/碗，肉馅馄饨售价为5元/碗，现该店新增了由上述三个品种搭配而成的混合馄饨，每碗都有10个馄饨．那么共有3种搭配得到定价是3.8元的混合馄饨（每种馄饨至少有一个）．【分析】设菜馅馄饨x个，鸡蛋馅馄饨y个，鸡蛋馅馄饨z 个，根据题意列出方程组，解方程组即可．二．课堂精练：1．过年了，甲、乙、丙三人相约去买坚果，甲买了3袋A 坚果、3袋B坚果和1袋C坚果，乙买了4袋A坚果、1袋B坚果和1袋C坚果，丙买了3袋B坚果和7袋C坚果．三人结账时发现：甲和乙总共消费200元，丙比乙多消费100元，如果A、B、C三种坚果各3袋组合成坚果礼盒出售，每种坚果均可在原价的基础上打九折，则每盒坚果礼盒的售价是元．2. 甲、乙、丙三人到商店去买东西，每人都花了整数元，他们一共花了32元．甲、乙两人花费的差额（即两人所花钱的差的绝对值，下同）是19元，乙、丙两人花费的差额是7元，甲、丙两人花费的差额是12元，则甲花费了21元．【分析】由于19=7+12，则分两种情况：1、甲比乙少19，则乙比丙多7元，甲比丙少12元，2、甲比乙多19，则乙比丙少7元，甲比丙多12元，进而得出答案．3．现有甲、乙、丙三种含铜比例不同的合金．若从甲、乙、丙三种合金中各切下一块重量相等的合金，并将切下来的三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金；若从甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．那么若从甲、乙两种合金中按重量之比为2：3各切取一块将其熔炼后的合金的含铜百分比是18%．【分析】设甲合金含铜量为x%、乙合金含铜量为y%、丙合金含铜量为z%．则依据“三块合金放在一起熔炼后就成为含铜量为12%的合金、甲、乙、丙三种合金中按3：2：5的重量之比各切取一块，将其熔炼后就成为含铜量为9%的合金．”列出方程组并解答．三．课后巩固：1．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需630元；若购甲4件，乙10件，丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需210元．【分析】假设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．列方程组得：，然后求得x+y+z的值．2．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需150元钱．【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．3．某商店将录音机、钢笔、书包三种物品降价促销．若购买录音机3台，钢笔6支，书包2个，共需302元；若买录音机5台，钢笔11支，书包3个，共需508元．则购买录音机1台、钢笔1支、书包1个共需96元．【分析】设收录机、钢笔和书包三种物品的单价分别为x、y 和z元，继而根据购买收录机3台，钢笔6支，书包2个共需302元，购买收录机5台，钢笔11支，书包3个共需508元，列出方程组，进而求解即可．第一课时参考答案与试题解析1．古人对付秋燥的饮食良方：“朝朝淡盐水，晚晚蜂蜜水”．秋天即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，这个商人得到的总利润率为19%．【分析】设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，则当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为ax、3bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为3ax、2bx；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，甲、乙蜂蜜售出瓶数分别为5ax、6bx；列出方程，解方程求出，即可得出结果．【解答】解：设甲、乙、丙三种蜂蜜的进价分别为a、b、c，丙蜂蜜售出瓶数为cx，由题意得：，解得：，∴＝＝＝19%，故答案为：19%．2．我校创造节插花艺术比赛中同学们制作了若干个甲、乙、丙三种造型的花篮．甲种花篮由9朵玫瑰花、16朵水仙花和10朵百合花搭配而成，乙种花篮由6朵玫瑰花、8朵水仙花搭配而成．丙种花篮由6朵玫瑰花、12朵水仙花和10朵百合搭配而成．这些花篮一共用了240朵玫瑰花，300朵百合花，则水仙花一共用了440朵．【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，然后变形，即可求得水仙花一共用了多少朵．【解答】解：设甲种花篮a个，乙种花篮b个，丙种花篮c个，，化简，得，（①+②）×4，得16a+8b+12c＝440，∵水仙花一共用了：16a+8b+12c，∴水仙花一共用了440朵，故答案为：440．3．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了14600件．【分析】根据题意，可以先设A类组合x个，B类组合y 个，C类组合z个，然后根据题意可以列出三元一次方程组，从而可以得到x、z与y的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决．【解答】解：设A类组合x个，B类组合y个，C类组合z 个，，化简，得，∴需要的防寒服为：80x+40y+60z＝80（280﹣2y）+40y+60（2y﹣130）＝22400﹣160y+40y+120y﹣7800＝14600，故答案为：14600．4．某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中ABC三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计．甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg．甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后，打八折销售获利为每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，则销售的总利润率为23.6%．【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每箱成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每箱成本和利润用x表示出来即可求解．【解答】解：设每千克A、B、C三种水果的成本分别为x、y、z，依题意得：6x+3y+z＝12.5x，∴3y+z＝6.5x，∴每箱甲的销售利润＝12.5x•20%＝2.5x乙种方式每箱成本＝2x+6y+2z＝2x+13x＝15x，乙种方式每箱售价＝12.5x•（1+20%）÷（1﹣25%）＝20x，∴每箱乙的销售利润＝20x﹣15x＝5x，设丙每箱成本为m，依题意得：m（1+40%）•0.8﹣m＝1.2x，解得m＝10x．∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：3：3时，总成本为：12.5x•2+15x•3+10x•3＝100x，总利润为：2.5x•2+5x•3+1.2x•3＝23.6x，销售的总利润率为＝23.6%，故答案为：23.6%．5．2018年9月，为鼓励学生努力学习，将来为国家作出更大贡献，重庆二外设立了“力宏奖学金”其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，后来经校长会研究决定，在奖项总奖金不变的情况下，各顶级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元．调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多370元．【分析】设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．构建方程组，求出x﹣y即可解决问题．【解答】解：设原来一等奖为x元，二等奖为y元，三等奖为z元，则调整后一等奖为（x﹣80）元，二等奖为（y ﹣50）元，三等奖为（z﹣30）元．由题意：，整理得，∴x﹣y＝400，∴调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多：（x﹣80）﹣（y﹣50）＝x﹣y﹣30＝370（元），故答案为370．6．A，B，C三种大米的售价分别为40元/kg、50元/kg、70元/kg，其中B，C两种大米的进价为40元/kg、50元/kg，经核算，三种大米的总利润相同，且A，B两种大米的销售量之和是C种大米之和的6倍，则A种大米的进价是35．【分析】可设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，根据三种大米的总利润相同，列出方程．先解方程得出x ＝3y，从而求出m的值．【解答】解：设A种大米的进件是m元/kg，且A种大米销售了xkg，B大米销售了ykg，则C大米销售了（x+y）kg，三种大米每千克的利润分别是（40﹣m）元、10元、20元，根据题意知：10y＝（40﹣m）x＝20×（x+y），即由10y＝（x+y），解得x＝2y，代入10y＝（40﹣m）x中，解得m＝35．故答案为：35．第二课时1．某超市分两次购进一批月饼礼盒．第一次购买了A、B 两种月饼礼盒，用去17670元；第二次购买了C、D两种月饼礼盒，用去11310元，其中A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，且A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同．若A、B两种礼盒的进价之和为315元，则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．【分析】根据A、B两种礼盒的进价之和为315元，设A 种月饼礼盒的进价为x元/盒，可以表示B种月饼礼盒的进价，因为A种月饼礼盒与D种礼盒的进价相同，B种月饼礼盒与C种礼盒的进价相同，可以表示C和D礼盒的进价，根据A、B两种月饼礼盒的数量分别与C、D两种礼盒的数量相等，再设两个未知数表示A种月饼礼盒和B种月饼礼盒，列方程组，根据题意可知：只要知道2y+2z的值就可以，因此将方程组相加可得结论．【解答】解：设A种月饼礼盒的进价为x元，则B种月饼礼盒与C种礼盒的进价都是（315﹣x）元，D种月饼礼盒的进价为x元，设购进y盒A种月饼礼盒，z盒B种月饼礼盒，则购进y 盒C种月饼礼盒，z盒D种月饼礼盒，根据题意得：，化简得：，①+②得：315z+315y＝28980，y+z＝92，∴2y+2z＝184，答：则该超市购进的这批礼盒一共有184盒．故答案为：184．2．我国的经济总量已居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量，现有一批货物，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运8次（每辆车每次都满载重量）．【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．【解答】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C 型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，。
不定方程(5年级培优)教师版
方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。
不定方程（或方程组）的解是不定的，一般地说，如果没有给不定方程某种制约的条件，那么它就有无限多个解。
求下列方程的正整数解。
（1）89311=+y x （2）14105=+y x【分析】知识点：根据题目的要求求出不定方程的解。
难度：A 出处：网络修改【解答】（1）若1=x ，则26=y ；若4=x ，则15=y ；若7=x ，则4=y ；所以共有4组正整数解⎩⎨⎧==261y x ，⎩⎨⎧==154y x ，⎩⎨⎧==47y x 。
（2）无整数解。
求不定方程1181711=+y x 的自然数解。
【解答】经试验，有1组自然数解⎩⎨⎧==53y x 。
邮局买了电动车和自行车，共付出11700元，已知每辆电动车2500元，每辆自行车350元。
邮局买这两种车各多少辆？【分析】知识点：利用不定方程解鸡兔同笼问题。
难度：A 出处：网络【解答】设买电动车x 辆，自行车y 辆，117003502500=+y x解得⎩⎨⎧==123y x ，所以，邮局买电动车3辆，自行车12辆。
有一根长5.8米的木料，现在要把它分割成每根长0.9米和0.4米的两种规格，恰好没有剩余的所有分割法有几种？（损耗不计）【解答】设0.9米的x 根，0.4米的y 根，8.54.09.0=+y x解得⎩⎨⎧==102y x 或⎩⎨⎧==16y x ， 所以，一共有2种分法。
设A 和B 都是自然数，并且满足3317311=+B A ，那么B A +等于多少? 【分析】知识点：分数不定方程。
难度：B 出处：网络【解答】3317331133311333311=+=+=+B A B A B A ， 则17113=+B A ，解得⎩⎨⎧==12B A ， 所以，312=+=+B A 。
在所有的两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4，这样的两位数有多少个？请你写出来。
苏科版五(下)奥数教案第1讲~不定方程(拔尖)
1、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？
2、一张纸上写有25个1.21和25个1.3，现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和是20.08，那
么应该划去几个1.3？
3、乐乐问静静：“你养了几只鸡和兔？”静静说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只鸡和兔？”
4、苹果、梨、橘子共有60个，苹果x个，橘子y个，请问梨有多少个？
温故而知新
1、方程5x+11y=99一共有（ ）组自然解。
2、一支圆珠笔5元钱，一支钢笔7元钱。小高买了圆珠笔和钢笔若干支，花了31元。那么小高一共买了（ ）支笔。
3、在一次植树节活动中，参加活动的男生，诶个人种11棵树，女生种7棵树，最后所有人一共种了100棵树，那么参加活动的一共有（ ）人。
练2、静静带6元钱到花店买花。如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱刚好用完。
问能买月季花和茉莉花各多少盆？
例3、采购员去超市买鸡蛋。每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋。采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒?
练3、点心店里卖大、小两种蛋糕。一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有 100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费?
热身：
(x和y都是自然数）
不定方程：
它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数的本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数，形如ax+by=c（a、b、c为整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式，解这种方程最基本的方法就是枚举，那怎样才能枚举出所有的解呢？我们结合下面的例子来进行解答。
定义：方程个数小于未知数的个数的方程（组）叫不定方程（组）。
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个 方程。
当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种 情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。
特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。
五年级奥数春季班第5讲 不定方程
不定方程模块一、解不定方程例1．（1）自然数x、y满足4x+3y=38的解为；（2）自然数x、y满足12x+34y=572的解为；（3）自然数x、y满足3751155x y+=的解为；解：（1）方法1：0<4x<38，所以0<x<10，y=3843x-=2123xx--+，2−x是3的倍数，所以x=2、5或8，当x=2时，y=10；当x=5时，y=6；当x=8时，y=2；方法2：0<4x<38，所以0<x<10，对方程4x+3y=38，两边求模3的同余，得x≡2 (mod 3)，所以得x=2、5或8，当x=2时，y=10；当x=5时，y=6；当x=8时，y=2；所以方程的解是210xy=⎧⎨=⎩，56xy=⎧⎨=⎩，82xy=⎧⎨=⎩。
（2）12x+34y=572，余6x+17y=286，0<17y<286，所以0<y<17，两边求模6的同余得5y≡4 (mod 6)，得y=2、8、14，当y=2时，解得x=42；当y=8时，解得x=25；当y=14时，解得x=8；方程的解是422xy=⎧⎨=⎩，258xy=⎧⎨=⎩，814xy=⎧⎨=⎩.（3）3751155x y+=，去分母得11x+5y=37，0<11x<37，所以0<x<4，两边求模5的同余，得x≡2，所以x=2，代入求得y=3，所以方程的解是23 xy=⎧⎨=⎩。
例2．（1）自然数x、y满足5x−3y=23的解为；（2）自然数x、y满足18x−51y=858的解为；解：（1）方程5x−3y=23，5x>23，x≥5，方程两边求模3的同余得2x≡2，x=1、4、7、10，……，因为x≥5，所以取x=7，10，13，……，x=4+3k，k≥1，k是正整数，代入求得3y=5×(4+3k)−23=15k−3，y=5k−1，所以方程的解是3451x ky k=+⎧⎨=-⎩，k≥1，k是整数。
小学奥数-不定方程(教师版)
小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。
当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。
不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。
在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。
因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。
不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。
但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。
题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。
然而，这种情况下的解不止一种。
不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。
解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。
因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。
因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。
因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。
代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。
问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。
设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。
y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。
又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。
不定方程及不定方程组
第二十七讲 不定方程、方程组不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题：(1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；(2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数）t aty y bt x x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)．解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．举例【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ．(新加坡数学竞赛题)思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值．注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。
通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解．分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )．A ．32千米B ．37千米C ．55千米D ．90千米(河南省竞赛题)思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解．【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解．(2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解．(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程65111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于(2)易想到完全平方公式，从配方人手，对于(2)易知x 、y 、z 都大于1，不妨设l<x ≤y ≤z ，则zy x 111≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．【例4】 一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子（2002年重庆市竞赛题）思路点拨 无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．【例5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100z y x z y x 通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．【例6】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a+30b+31c=365，怎样解三元一次不定方程运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手．注： 解不定方程组基本方法有：(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；(2)通过消元，将问题转化为不定方程求解；(3)运用整体思想方法求解．【例7】 不定方程4x+7y=2001有 组正整数解．思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 是其一组特解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 46677667，z t ∈，∵⎩⎨⎧≥-≥+-1466717667t t ，解之得96≤t ≤166∴ t 可取整数值共71个．∴ 4x+7y=2001有71组正整数解．学力训练1．已知z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9，则x+2y+3z= ．(2002年山东省竞赛题)2．已知4x 一3y 一6z=0，x+2y 一7c=0(xyz ≠0)，那么22222275632zy x z y x ++++的值为 ． 3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有 种不同的买法．4．购买5种数学用品A 1、A 2、A 3、A 4、A 5的件数和用钱总数列成下表：品名A1A2A3A4A5总钱数件数第一次购件数l34561992(元)第二次购件数1579112984(元)则5种数学用品各买一件共需元．(北京市竞赛题)5．希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个．(温州市中考题)6．方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( )．A．1组B．2组C．4组D．无数组7．二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )．A．个B．个C．2001000个D．2001999个( “希望杯”邀请赛试题)8．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数(不一定相同)，则a+b+c+d+e+f=( )．A．27 B．24 C．30 D．无法确定(“五羊杯”邀请赛试题)9．求下列方程的整数解：(1)1lx+5y=7；(2)4x+y=3xy．10．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口(广州市中考题)11．下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．(1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次(2)如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表．“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数．．“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”12．满足19982十m 2＝19972+n 2(0<rn<n<1998)的整数对(m ，n)共有 对．13．有理数x ，y ，z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x yx ，则22y+z 的值为 ．14．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是 岁．15．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机 台．16．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元，若购甲4件、乙l0件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需 元．17．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过 个．18．(1)求满足y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对(x ，y)；(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)＝4xyz 的正整数解．(新加坡奥林匹克试题)19．兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取l0元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱(北京市竞赛题)20．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码．(武汉市选拔赛试题)所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7．28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题)22．一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天 (四川省竞赛题)参考答案。
(小学奥数)不定方程与不定方程组
不定方程與不定方程組教學目標1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的試值技巧3.學會解不定方程的經典例題知識精講一、知識點說明歷史概述不定方程是數論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在西元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國是研究不定方程最早的國家，西元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，西元5世紀的《張丘建算經》中的百雞問題標誌著中國對不定方程理論有了系統研究．宋代數學家秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來．考點說明在各類競賽考試中，不定方程經常以應用題的形式出現，除此以外，不定方程還經常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數論問題等壓軸大題之中．在以後初高中數學的進一步學習中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學生學會利用不定方程這個工具，並能夠在以後的學習中使用這個工具解題。
二、不定方程基本定義1、定義：不定方程（組）是指未知數的個數多於方程個數的方程（組）。
2、不定方程的解：使不定方程等號兩端相等的未知數的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解；②有解時確定解的個數；③求出所有的解三、不定方程的試值技巧1、奇偶性2、整除的特點（能被2、3、5等數字整除的特性）3、餘數性質的應用（和、差、積的性質及同餘的性質）例題精講模組一、利用整除性質解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整數解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整數解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整數解【巩固】求方程3x＋5y＝12的整數解【巩固】解不定方程：2940+=（其中x,y均為正整數）x y模組二、利用餘數性質解不定方程【例 3】求不定方程7111288+=的正整數解有多少組？x y【例 4】求方程3x＋5y＝31的整數解【巩固】解方程7489x y+=，（其中x、y均為正整數）模組三、解不定方程組【例 5】解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均為正整數）【例 6】解不定方程1531003100x y zx y z⎧++=⎪⎨⎪++=⎩(其中x、y、z均為正整數)。
小学奥数——不定方程-教师版
第6讲 不定方程【知识要点】一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A 、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B 、消元技巧：消掉范围大的未知数；【例题】例1、已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= . 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.例2、不定方程172112=+y x 的整数解是 .没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.例3如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b 的最小值等于 . 24。
依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )，即12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24。
例4、甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.32。
五年级奥数之不定方程
【今日讲题】例2，例4，例5 【讲题心得】 _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________. 【家长评价】 _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________.
不定方程
本讲主线 1. 解不定方程. 解不定方程组 程 . 2. 解不定
知识要点屋 1. 不定方程：未知数的个数多于方程的个数. 特点，⑴ 它的解不唯一. ⑵ 一般都是整数解 般都是整数解. 2. 三个问题： ⑴ 何时有解 ⑵ 解的个数 ⑶ 求出所有解 3. 解不定方程的： 首先估算 首 算x、y的取值范围，然后，整除分析 取值 围， ， 除 析 （通过拆数处理）
【例5】(★★★★) 如果一个三位数正好等于各个数位上的数字之和的13倍，则这样 的 位数是多少 的三位数是多少？
知识大总结 1. 关于方程 ⑴ 去括号、移项、合并同类项 ⑵ 方程组，消元→代入消元、加减消元. 加减消元→扩倍 2. 不定方程 ⑴ 一般都是整数解，估算取值范围 般都是整数解 估算取值范围. ⑵ 关于方程，x＋4y＝21. ⑶ 整除关系、枚举法、进 整除关系、枚举法、进一步缩减范围 步缩减范围.
【例2】(★★★) 求方程7x＋4y＝89的正整数解.
【例3】(★★★)
五年级奥数.应用题.不定方程与不定方程组的解法(ABC级).教师版
（1）利用整除及奇偶性解不定方程
（2）不定方程的试值技巧
（3）学会解不定方程的经典例题
一、利用整除性质解不定方程
【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解
【考点】不定方程
1【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋ y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为： ，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．
【答案】
【巩固】解方程 ，（其中x、y均为正整数）
【考点】不定方程
2【解析】方法一： ，4y是4的倍数，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）
x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）
x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）
【答案】
【例 7】解不定方程 (其中x、y、z均为正整数)
【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答
1【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得 ，根据消元思想与第二个式子相减得 ，根据等式的性质两边同时除以2得： ，根据等式性质 为4的倍数，100为4的倍数，所以 为4的倍数，所以 为4的倍数试值如下
方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，
当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解
【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解
【考点】不定方程
2【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但2 9，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．
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不定方程与不定方程组教学目标五年级奥数不定方程与不定方程组教师版2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：由原方程,易得2x＝8＋3y,x＝4＋32y,因此,对y的任意一个值,都有一个x与之对应,并且,此时x与y的值必定满足原方程,故这样的x与y是原方程的一组解,即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩,其中k为任意数．说明由y取值的任意性,可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数,8为偶数,所以若想2x－3y＝8成立,y必为偶数, 当y＝0,x＝4；当y＝2,x＝7；当y＝4,x＝10……,本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y),所以,不论x和y取何整数,都有2|2x＋6y,但29,因此,不论x和y取什么整数,2x＋6y都不可能等于9,即原方程无整数解．说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。
【答案】无整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34,两边约去2后,得2x＋5y＝17,5y的个位是0或5两种情况,2x是偶数,要想和为17,5y的个位只能是5,y为奇数即可；2x的个位为2,所以x的取值为1、6、11、16……x＝1时,17－2x＝15,y＝3,x＝6时,17－2x＝5,y＝1,x＝11时,17－2x＝17 －22,无解所以方程有两组整数解为：16,31 x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】16,31 x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】由3x＋5y＝12,3x是3的倍数,要想和为12（3的倍数）,5y也为3的倍数,所以y为3的倍数即可,所以y的取值为0、3、6、9、12……y＝0时,12－5y＝12,x＝4,x＝3时,12－5y＝12－15,无解所以方程的解为：40 xy=⎧⎨=⎩【答案】4xy=⎧⎨=⎩例题精讲【巩固】 解不定方程：2940x y +=（其中x,y 均为正整数）【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答【解析】方法一：2x 是偶数,要想和为40（偶数）,9y 也为偶数,即y 为偶数,也可以化简方程2940x y +=,40920522x y x y -==-+知道y 为偶数,所以方程解为：112,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】112,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩模块二、利用余数性质解不定方程【例 3】求不定方程7111288x y +=的正整数解有多少组?【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答【解析】本题无论x 或是y ,情况都较多,故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数,所以11y 也是7的倍数,则y 是7的倍数．设7y z =,原方程可变为11184x z +=,z 可以为1,2,3,……16．由于每一个z 的值都确定了原方程的一组正整数解,所以原方程共有16组正整数解．【答案】16组【例 4】求方程3x ＋5y ＝31的整数解【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答【解析】方法一：利用欧拉分离法,由原方程,得 x ＝3153y -,即 x ＝10－2y ＋13y +,要使方程有整数解13y +必须为整数． 取y ＝2,得x ＝10－2y ＋13y +＝10－4＋1＝7,故x ＝7,y ＝2 当y ＝5,得x ＝10－2y ＋13y +＝10－10＋2＝2,故x ＝2,y ＝5 当y ＝8,得x ＝10－2y ＋13y +＝10－16＋3无解 所以方程的解为：72,25x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩方法二：利用余数的性质3x 是3的倍数,和31除以3余1,所以5y 除以3余1（2y 除以3余1）,根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：取y ＝1,2y ＝2,2÷3＝0……2（舍）y ＝2,2y ＝4,4÷3＝1……1（符合题意）y ＝3,2y ＝6,6÷3＝2（舍）y ＝4,2y ＝8,8÷3＝2……2（舍）y ＝5,2y ＝10,10÷3＝3……1（符合题意）y ＝6,2y ＝12,12÷3＝4（舍）当y ＞6时,结果超过31,不符合题意。
所以方程的解为：72,25x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】72,25x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【巩固】 解方程7489x y +=,（其中x 、y 均为正整数）【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答【解析】方法一：7489x y +=,4y 是4的倍数,和89除以4余1,所以7x 除以4余1（7÷4≡3）,可以看成3x 除以4余1,根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x ＜13）x ＝1,3x ＝3,3÷4≡3（舍）x ＝2,3x ＝6,6÷4≡2（舍）x ＝3,3x ＝9,9÷4≡1（符合题意）x ＝4,3x ＝12,12÷4≡0（舍）x ＝5,3x ＝15,15÷4≡3（舍）x ＝6,3x ＝18,18÷4≡2（舍）x ＝7,3x ＝21,21÷4≡1（符合题意）x ＝8,3x ＝24,24÷4≡0（舍）x ＝9,3x ＝27,27÷4≡3（舍）x ＝10,3x ＝30,30÷4≡2（舍）x ＝11,3x ＝33,33÷4≡1（符合题意）x ＝12,3x ＝36,36÷4≡0（舍）所以方程的解为：3711,,17103x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩方法二：利用欧拉分离法,由原方程,897122244x x y x -+==-+,()1x +的取值为4的倍数即可,所以方程的解为：3711,,17103x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 【答案】3711,,17103x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩模块三、解不定方程组【例 5】解方程180012008001600015a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩（ 其中a 、b 、c 均为正整数 ） 【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得9648015a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩,根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：(964)4()80415a b c a b c ++-++=-⨯,整理后得5220a b +=,根据等式性质,2b 为偶数,20为偶数,所以5a 为偶数,所以a 为偶数,当2a =时,52220b ⨯+=,5b =,所以8c =,当4a =时,54220b ⨯+=,5b =,所以无解。
所以方程解为258a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】258a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩【例 6】解不定方程1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ (其中x 、y 、z 均为正整数) 【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得159300100x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,根据消元思想与第二个式子相减得148200x y +=,根据等式的性质两边同时除以2得：74100x y +=,根据等式性质4y 为4的倍数,100为4的倍数,所以7y 为4的倍数,所以y 为4的倍数试值如下481218,11,4788184x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩【答案】481218,11,4788184x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩。