二元一次方程组的应用鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题-二元一次方程的应用
x7 y 53
所以有7个人，该物品价值53元。
x y 36 C、 2 x 4 y 100
D、
x y 36 2 x 2 y 100
2、以绳测井，若将绳四折测之，绳少一尺。若将绳两折测之，则绳多5 尺。若设绳长x尺，井深y尺，则列出的二元一次方程组为
1 x 1 y 4 1 x 5 y 2
x y 36 x y 36 A、 B、 x 2 y 100 4 x 2 y 100
x y 36 C、 2 x 4 y 100
D、
x y 36 2 x 2 y 100
2、以绳测井，若将绳四折测之，绳少一尺。若将绳两折测之，则绳多5 尺。若设绳长x尺，井深y尺，则列出的二元一次方程组为
.
3.用一根绳子环绕一棵大树。若环绕大树三周，则绳子还多4尺；若环绕 大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？
4.《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七， 不足四。问人数、物价各几何？” 题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元：每人出7元， 少4元。问有多少人？该物品价值多少元？
今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何
解：设鸡有x只，兔有y只，则 x+y=35 ① 2x+4y=94 ②
由①得 x=35-y ③ 把③代入②得2（35-y）+4y=94 解得y=12 把y=12代入①得x=23
所以笼中有鸡23只，有兔12只。
一般用“所以”的形式
练习：
今有牛五、羊二，值金十两。牛二、羊五值金八两。牛羊各值金几何？
4.《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七， 不足四。问人数、物价各几何？” 题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元：每人出7元， 少4元。问有多少人？该物品价值多少元？
应用二元一次方程组——鸡兔同笼ppt
03
鸡兔同笼问题简介
鸡兔同笼问题的起源
源自中国古代的数学趣题，鸡兔同笼问题最早出现在《孙子 算经》中，当时是为了解决两个农夫的年龄问题。
随着时间的推移，该问题逐渐传播至世界各地，成为数学教 育中的经典问题之一。
鸡兔同笼问题的应用
鸡兔同笼问题可以应用于现实生活中，例如城市交通管理 、人口管理、物资调配等方面。
3
了解了鸡兔同笼问题的数学模型和求解方法
学习收获及感受
通过学习二元一次方程组，提 高了数学应用能力
学会了如何将实际问题转化为 数学问题，并使用数学方法解
决
掌握了解决鸡兔同笼问题的方 法，并能够解决类似问题
对未来学习的展望
希望进一步深入学习数学建模和算法相关的知识 加强实际应用能力的培养，提高解决实际问题的能力
求解方程
• 将第一个方程乘以2，得到 • 2x + 2y = 2n • 将第二个方程减去第一个方程，得到 • 2y = m - 2n • 解得 • y = (m - 2n) / 2 • 将解得的y的值代入第一个方程，解得 • x = n - y = n - (m - 2n) / 2 = (3n - m) / 2 • · 将第一个方程乘以2，得到 • · ``` • · 2x + 2y = 2n • · ``` • · 将第二个方程减去第一个方程，得到
交流沟通
团队成员之间需要交流沟通，分 享思路和方法，避免重复劳动， 节省时间。
团队协作
通过团队协作，能够更全面地分 析问题，提出更多解决方案，提 高解决问题的质量。同时培养团 队协作能力，增强团队凝聚力。
06
结论与反思
本课程总结
1
理解了二元一次方程组的基本概念和解题方法
《应用二元一次方程组-鸡兔同笼》参考教案
第五章二元一次方程组3．鸡兔同笼一、教材分析《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》第三节.本节安排1个课时。
借助"鸡兔同笼"这一中国古代名题，让学生经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练，强化方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.，同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体。
当然，在题材的选择上，教科书注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到难的原则，教学中，教师可以根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，此外，在教学过程中，教师应更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.二、学情分析●学生的年龄特点和认知特点初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.●在学习本课之前，应具备的基础知识和基本技能(1)方程的思想;(2)能整体地系统地审清题意，找出等量关系;(3)能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;(4)熟练解二元一次方程组.●学习者对即将学习的内容已经具备的水平(1)本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的，也学过了列一元一次方程解决实际问题，因此，大部分学生学习本课应该没有太大的困难的.(2)初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思维能力，初步的分析问题和解决问题的能力.三、教学目标●知识目标1、通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系。
●能力目标2、通过列二元一次方程组解决实际问题的过程，总结方程组解决实际问题的一般步骤，体会方程（组）是刻画现实世界的有效模型，发展模型思想和应用意识。
二元一次方程解决鸡兔同笼的问题
二元一次方程解决鸡兔同笼的问题
鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，可以通过二元一次方程
来解决。
假设鸡的数量为x，兔的数量为y，根据题意可以得到两个
方程：
1. 鸡和兔的总数量，x + y = 总数。
2. 鸡和兔的腿的总数量，2x + 4y = 总腿数（因为鸡有2条腿，兔有4条腿）。
这样就得到了一个二元一次方程组，通过求解这个方程组，就
可以得到鸡和兔的数量。
首先，我们可以使用第一个方程解出一个变量，比如解出x，
得到x = 总数 y。
然后将这个结果代入第二个方程中，得到一个只
包含y的方程。
解出y之后，再将y的值代入x = 总数 y 中，就
可以得到x的值。
通过这种方法，就可以求解出鸡和兔的数量。
需要注意的是，
解出的结果必须是正整数，因为鸡和兔的数量不能是负数或小数。
除了代数方法，还可以通过列出可能的组合来解决鸡兔同笼问题。
通过列出不同鸡兔数量的组合，计算它们的腿的总数量，然后找到符合题意的组合。
这种方法虽然比较直接，但对于大数量的情况会比较繁琐。
总之，二元一次方程是解决鸡兔同笼问题的有效数学工具，可以通过代数方法或列举法来求解鸡和兔的数量。
希望这个回答能够全面地解释二元一次方程如何解决鸡兔同笼问题。
二元一次方程组的应用第1课时“鸡兔同笼”问题(同步练习)七年级下册
第七章二元一次方程组3 二元一次方程组的应用第1课时“鸡兔同笼”问题夯基础1.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺?可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是 ( )A{y−x=4.5,2x−y=1B{x−y=4.5,2x−y=1C.{x−y=4.5,y2−x=1D.{y−x=4.5, x−y2=12.小慧去花店购买鲜花，若买5枝玫瑰和3枝百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3枝玫瑰和5枝百合，则她所带的钱还缺4元，若只买8枝玫瑰，则她所带的钱还剩下 ( )A.31元B.30元C.25元D.19元3.五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人，则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 ( )A.30B.26C.24D.224. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱.已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元.这两种毛绒玩具的单价各是多少元?练能力1.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个?其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个.问：苦、甜果各有几个?设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 ( )A.{x+y=1000,47x+119y=999B.{x+y=1000,74x+911y=999C.{x+y=1000,7x+9y=999D.{x+y=1000,4x+11y=9992.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子?设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是( )A.{x+y=40,4x+3y=12B.{x+y=12,4x+3y=40C.{x+y=40,3x+4y=12D.{x+y=12,3x+4y=403.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆，据题意可求得中型汽车有辆,小型汽车有辆.4.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两.银子共有两.5.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人，物品的价值是多少?该问题中物品的价值是钱.6.[2022·泰安泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒,B种茶15盒,共花费5100元.求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格.7. “绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克?参考答案夯基础1.D2.A3.B4.解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，依题意，得{x+2y=400,3x+4y=1000,解得{x=200,y=100.答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元. 练能力1.A2.B3.12 184.465.536.解：设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据题意，得{30x+20y=6000,1.2x×20+1.2y×15=5100.解得{x=100,y=150.答:A种茶每盒100元,B种茶每盒150元.7.解：(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg.由题意，得{x+y=62,x=2y−4,解得{x=40,y=22.答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg；(2)50000×40=2000 000(mg)=2kg,答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.。
5.3应用二元一次方程组—鸡兔同笼(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组的基本概念、建立方法和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二元一次方程组的理解和应用。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的，它能够帮助我们解决实际问题。其重要性在于能够将复杂的现实问题转化为简单的数学模型。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例——鸡兔同笼问题。这个案例展示了如何将实际问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组来找到答案。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们共同探讨了应用二元一次方程组解决鸡兔同笼问题。从学生的反馈来看，我发现他们在理解方程组与现实问题之间的联系上还存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生从实际问题中抽象出数学模型，帮助他们理解数学知识的实际意义。
在讲授新课的过程中，我注意到有些学生在消元法运算上还不够熟练，可能会在选择消元方程时犹豫不决。针对这一点，我计划在下一节课前复习一下相关的运算技巧，并给出一些具体的例子，让学生在实际操作中加深理解。
二元一次方程鸡兔同笼解题方法
二元一次方程鸡兔同笼解题方法嘿，朋友们！今天咱来唠唠二元一次方程解鸡兔同笼问题的那些事儿。
你想想啊，一个笼子里既有鸡又有兔，光看外表，咋知道有几只鸡几只兔呢？这可就有点头疼啦！但咱不怕，有了二元一次方程，就像有了一把神奇的钥匙，能轻松打开这个谜题的大门。
咱先假设鸡有 x 只，兔有 y 只。
那鸡的脚就是 2x 只，兔的脚就是4y 只。
题目一般会告诉你头的总数和脚的总数，这不就有了两个条件嘛。
比如说，头一共有 10 个，脚一共有 30 只，那咱就能列出方程组啦。
第一个方程就是 x+y=10，表示鸡和兔的总数是 10 个；第二个方程就是 2x+4y=30，表示脚的总数。
然后呢，就开始解方程啦。
这就好比是走迷宫，找到正确的路就豁然开朗啦。
可以通过消元的方法，把一个未知数消掉，求出另一个未知数的值。
就像解方程的过程就是在一步步探索这个笼子里的秘密。
比如说把第一个方程乘以 2，得到 2x+2y=20，然后用第二个方程减去这个式子，不就把 x 消掉了嘛，就能求出 y 的值啦。
求出了 y，那 x 不也就轻而易举地知道啦！你说这神奇不神奇？这不就像是在玩一个有趣的智力游戏嘛！通过这种方法，再难的鸡兔同笼问题都能迎刃而解。
咱再想想，如果没有二元一次方程，那得多费劲去猜啊，一个一个试，那得试到啥时候呀！有了它，一下子就变得简单明了啦。
生活中不也有很多这样看似复杂的问题嘛，但只要我们找到合适的方法，就像找到了解开谜题的钥匙，一切都会变得清晰起来。
就像鸡兔同笼，只要我们掌握了二元一次方程这个法宝，那都不是事儿！所以啊，大家可千万别小瞧了这个方法，它可真是帮了我们大忙呢！以后再遇到鸡兔同笼问题，咱就可以胸有成竹地说：“这有啥难的，用二元一次方程就能轻松搞定！”怎么样，是不是觉得很有意思呀？赶紧去试试吧！。
5.3.1二元一次方程组的应用-鸡兔同笼(教案)
c.求解技巧：在消元过程中，学生可能会遇到系数不匹配的问题，需要学会如何通过乘以倍数或相互加减来调整方程，以便进行有效的消元。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
3.引导学生主动参与讨论，培养独立思考和解决问题的能力。
4.注重学生表达能力的培养，提高他们的沟通技巧。
同学们，今天我们将要学习的是“5.3.1二元一次方程组的应用-鸡兔同笼”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要分配物品或计算数量的问题？”（如分糖果、计算人数等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二元一次方程组的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个未知数的两个一次方程构成的方程组。它在解决实际问题中有着广泛的应用，如鸡兔同笼问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例——鸡兔同笼问题。通过这个问题，我们学习如何将实际问题转化为方程组，并利用代入法或消元法求解。
5.引导学生将数学知识与其他学科知识相结合，提高跨学科综合运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握二元一次方程组的概念及其应用。-学会使Leabharlann 代入法和消元法求解二元一次方程组。
-能够将鸡兔同笼问题转化为二元一次方程组，并解决实际问题。
举例解释：在解决鸡兔同笼问题时，学生需要理解如何将问题中的数量关系转化为方程组，如设鸡的数量为x，兔的数量为y，则可以根据鸡和兔的腿数建立方程组，如2x + 4y =总腿数。
北师大版数学八年级上册5.3应用二元一次方程组—鸡兔同笼优秀教学案例
四、教学内容与过程
（一）导入新课
我以一个生动有趣的故事导入新课，讲述74条。我引导学生思考：农夫到底养了多少只鸡和兔呢？这个故事引发了学生的好奇心和兴趣，激发了他们主动探索问题的欲望。
（二）讲授新知
在学生对问题产生兴趣的基础上，我讲授二元一次方程组的定义和解法。我通过示例和讲解，让学生理解二元一次方程组的构成和特点，以及如何通过解方程组来求解实际问题。我强调了解题的关键步骤和方法，并给出了一些解题的技巧和提示。
（五）作业小结
在课堂的最后，我布置了一道类似的鸡兔同笼问题作为作业，要求学生在课后独立完成并提交。我提醒学生在解题过程中要注意合理运用所学的知识和方法，并鼓励他们积极思考和探索。同时，我也提醒学生在完成作业后进行自我检查和反思，以确保解题的准确性。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生动有趣的鸡兔同笼故事导入新课，激发了学生的兴趣和好奇心，使他们主动参与到课堂中来。这种生活情境的导入，使学生能够直观地理解二元一次方程组在实际问题中的应用，增强了学生对知识的理解和记忆。
2.利用探究活动，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
3.引导学生运用猜想、验证的方法，探索鸡兔同笼问题的解决策略，锻炼学生的逻辑思维能力。
4.鼓励学生运用多种方法解决同一问题，培养学生的创新思维和发散思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，感受数学的趣味性和实用性，激发学生学习数学的积极性。
5.3应用二元一次方程组鸡兔同笼课件北师大版数学八年级上册
12. 为响应“科教兴国”的战略号召，育才中学计划成立创客实验室，购
买了航拍无人机和编程机器人，已知航拍无人机的数量比编程机器人的数
量少3个，若借出去2个航拍无人机，则编程机器人的数量是剩余的航拍无
人机的数量的2倍，则编程机器人的数量为( C )
A. 8个
B. 9个
C. 10个
D. 11个
13. (一题多变) 13.1 改变长方形数量求拼接图形面积 如图，五个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的面积 为 750 cm2.
《孙子算经》是我国古代一部较为普 及的算书，许多问题浅显有趣，其中 下卷第 31 题“雉兔同笼”流传尤为 广泛，飘洋过海流传到了日本等国.
“雉兔同笼”题如图：
今有雉 (鸡) 兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
方法一： 趣题多解
35×4 = 140 (只) 140 - 94 = 46 (只) 鸡：46 ÷ 2 = 23 (只) 兔：35 - 23 = 12 (只)
随堂练习
2. 小刚有 5 角硬币和一元硬币共有 8 枚，币值共有 6 元 5 角，设 5 角的 有 x 枚，一元的有 y 枚，列出的方程组为
x+ y= 8 __0_.5_x__+__y_=__6_.5__.
3.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群
人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
解此方程组得： x = 45， y = 15.
答：有11个人，61 两银
5.有几个人一起买一件物品，每人出 8 元多 3 元；每人出 7 元，少 4
元.问有多少人？该物品价值多少元？
解:设有 x 人，该物品价值为 y 元，
初中数学解题模型之二元一次方程组的应用(鸡兔同笼问题)
初中数学解题模型之二元一次方程组的应用（鸡兔同笼问题）一．选择题（共10小题）1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，假设鸡有x只，兔有y只，已经列出一个方程x+y＝35，则另一个方程正确的是（）A．x+y＝94B．2x+4y＝94C．4x+2y＝94D．2x+y＝942．鸡兔同笼，头共有20个，脚有56只，笼中鸡、兔的数目分别为（）A．8、12B．10、10C．11、9D．12、83．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（）A．B．C．D．4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（）C．D．5．一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只脚．设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组（）A．B．C．D．6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．7．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中各有鸡和兔（）只．A．笼中各有12只鸡，23只兔B．笼中各有23只鸡，12只兔C．笼中各有13只鸡，22只兔D．笼中各有22只鸡，13只兔8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设兔有x只，鸡有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．9．我国古代数学著作《孙子算经》有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”其大意如下：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡与兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为（）C．D．10．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．通过计算，鸡和兔的数量分别为（）A．23和12B．12和23C．24和12D．12和24二．填空题（共10小题）11．鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有只鸡，只兔．12．“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为．13．我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？”则题中兔有只．14．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为．15．鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》．原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？小雪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目：①今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何？②今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何？③今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何？④今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何？根据小雪编制的四道题目的数据，可以求得鸡兔只数的题目是（填题目前的序号）．16．中国的古代数学著作《孙子算经》中记载了有趣的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这句话的意思是：“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？”设有鸡x只，兔y只，可列方程组为．17．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有20头，下有64足，问鸡兔各几何？”若设鸡兔分别有x只，y只．你列出的关于x，y的二元一次方程组为．18．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有八十足．问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，请将题中数量关系用二元一次方程组列出得．19．《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，如果设鸡有x只，兔有y只，以题意可得二元一次方程组．20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为（列出方程组即可，不求解）．初中数学解题模型之二元一次方程组的应用（鸡兔同笼问题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，假设鸡有x只，兔有y只，已经列出一个方程x+y＝35，则另一个方程正确的是（）A．x+y＝94B．2x+4y＝94C．4x+2y＝94D．2x+y＝94【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设鸡有x只，兔有y只，由下有九十四足，即可得出2x+4y＝94，此题得解．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只．∵下有九十四足，∴2x+4y＝94，∴另一个方程为2x+4y＝94．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．2．鸡兔同笼，头共有20个，脚有56只，笼中鸡、兔的数目分别为（）A．8、12B．10、10C．11、9D．12、8【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据“鸡兔同笼，头共有20个，脚有56只”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，依题意，得：，解得：．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝48文钱，乙的钱+甲所有钱的＝48文钱，据此列方程组可得．【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意，得：，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，问鸡和兔各有几只？设有x只兔子，y只鸡，则可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有94只脚，可以列出相应的方程组．【解答】解：设有x只兔子，y只鸡，由一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，可得方程x+y＝35，由下面数共有94只脚，可得方程4x+2y＝94，故可列方程组，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．5．一只笼子装有鸡和兔共有10个头，34只脚，每只鸡有两只脚，每只兔有四只脚．设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设鸡有x只，兔有y只，等量关系：鸡+兔＝10，鸡脚+兔脚＝34．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，依题意得．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．解题的关键是弄清题意，找准等量关系，列出方程组．6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，可列方程组为，故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．7．“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中各有鸡和兔（）只．A．笼中各有12只鸡，23只兔B．笼中各有23只鸡，12只兔C．笼中各有13只鸡，22只兔D．笼中各有22只鸡，13只兔【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，根据题意得：，解得：．答：笼中有23只鸡，12只兔故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设兔有x只，鸡有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解答】解：设兔有x只，鸡有y只，根据题意，可列方程组为，故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．9．我国古代数学著作《孙子算经》有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”其大意如下：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡与兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组．【解答】解：由题意可得，，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．10．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．通过计算，鸡和兔的数量分别为（）A．23和12B．12和23C．24和12D．12和24【考点】二元一次方程组的应用；数学常识；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“上有三十五头，下有九十四足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，依题意得：，解得：．故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有6只鸡，6只兔．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】方程思想．【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据共有12个头36只腿，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔，根据题意得：，解得：．答：笼中有6只鸡，6只兔．故答案为：6；6．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有四十三头，下有一百零二足，问鸡兔各几何？若设笼中有鸡x只，兔y只，则可列出的二元一次方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据“笼中上有43个头，下有102个脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设笼中有鸡x只，兔y只，∵上有四十三头，∴鸡和兔共有43只，即x+y＝43；∵每只鸡有2足，每只兔有4足，笼中共有一百零二足，∴2x+4y＝102．联立两方程组成方程组．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？”则题中兔有12只．【考点】二元一次方程组的应用；数学常识；一元一次方程的应用．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】设兔有x只，鸡有y只，根据“上有三十五头，下有九十四足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设兔有x只，鸡有y只，依题意，得：，解得：．故答案为：12．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，问鸡兔各有多少只？”设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为．【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．15．鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》．原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？小雪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目：①今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何？②今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何？③今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何？④今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何？根据小雪编制的四道题目的数据，可以求得鸡兔只数的题目是③④（填题目前的序号）．【考点】二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用．【分析】设笼中有x只雉，y只兔，根据各小题中头与足的数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设笼中有x只雉，y只兔，根据题意得，①，解得，不符合题意；②，此方程组无整数解，不符合题意；③，解得，符合题意；④，解得，符合题意；故答案为：③④．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．16．中国的古代数学著作《孙子算经》中记载了有趣的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这句话的意思是：“有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？”设有鸡x只，兔y只，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．【分析】设有鸡x只，兔y只，根据鸡和兔共35只且鸡和兔共有94只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设有鸡x只，兔y只，依题意，得：．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．17．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有20头，下有64足，问鸡兔各几何？”若设鸡兔分别有x只，y只．你列出的关于x，y的二元一次方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】常规题型．【分析】设鸡兔分别有x只，y只，根据等量关系：今有鸡兔同笼，上有20头，下有64足，即可列出方程组．【解答】解：设鸡兔分别有x只，y只，由题意得：．故答案为．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．18．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有八十足．问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，请将题中数量关系用二元一次方程组列出得．．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用．【分析】若设鸡有x只，兔有y只，根据“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有八十足”，即可列出关于x和y的二元一次方程组．【解答】解：根据题意得：，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题找出等量关系列出方程组是解决本题的关键．19．《孙子算经》中有鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，如果设鸡有x只，兔有y只，以题意可得二元一次方程组．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，可列方程组为，故答案是：．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为（列出方程组即可，不求解）．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：．故答案为．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．考点卡片1．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．2．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．3．由实际问题抽象出二元一次方程（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．4．由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．5．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．。
应用二元一次方程组——鸡兔同笼
观察上面的图片，你看到了什么？
情境引入
《孙子算经》是我国 古代一部较为普及的算书, 许多问题浅显有趣.其中 下卷第31题”雉兔同笼” 流传尤为广泛,飘洋过海 流传到了日本等国.
情境引入
“雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三 十五头，下有九十四足.问雉兔各几何？”
（1）“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十 四足”呢？
（2）你能根据（1）中的数量关系列出方程组吗？ （3）你能解决这个有趣的问题吗？与同伴进行交流.
情境引入
设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组
x + y = 35, 2x + 4 y = 94.
解这个方程组，得
x = 23,
y
=
12.
所以笼中有鸡23只、兔12只.
探索新知
例1 以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将 绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折 成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四 等份，一份绳长比井深多1尺.绳长，井深各是多少尺？
探索新知
1.题目中的已知量、未知量分别是什么?哪些语句 给我们重要的提示？
2.根据这些语句我们可以得到怎样的数量关系？
3.你能用字母表示吗?
4.你能根据所列的数量关系得到相等关系吗?
巩固练习
解:设每头牛价值x两“金”,每只羊价值y两“金”.
根据题意，得
5x + 2 y = 10, 2x + 5 y = 8.
解得
x
=
34 , 21
y
=
20 . 21
答:每头牛价值 34 两“金”,每只羊价值 20 两“金”.
应用二元一次方程组鸡兔同笼
应用二元一次方程组——鸡兔同笼1．列方程组解应用题的大体思想 列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方式．它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一样来讲，有几个未知量就必需列出几个方程，所列方程必需知足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等． 列二元一次方程组解应用题必需找出两个等量关系，列出两个方程．【例1】 “甲、乙隔河放牧羊，两人相互问数量，甲说得乙羊九只，我羊是你二倍整．乙说得甲羊八只，两人羊数正相当．”请你帮忙算一算，甲、乙各放多少羊？分析：题中有两个未知数：甲放羊的只数和乙放羊的只数．相等关系：(1)甲放羊的只数＋9＝2(乙放羊的只数－9)；(2)甲放羊的只数－8＝乙放羊的只数＋8.解：设甲放羊x 只，乙放羊y 只．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋9＝2(y －9)，x －8＝y ＋8.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝59，y ＝43. 因此甲放羊59只，乙放羊43只．析规律 建模型、列方程组在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模进程即可完成，因此解决实际问题的建模进程超级重要．2．列二元一次方程组解应用题的一样步骤(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．(2)设：设未知数(一样求什么，就设什么为x ，y )．(3)找：找出能够表示应用题全数意义的两个等量关系．(4)列：依照这两个等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组．(5)解：解所列方程组，得未知数的值．(6)验：查验所求未知数的值是否符合题意，是不是符合实际．(7)答：写出答案(包括单位名称)．北师版中的“答”一样用“因此”代替． 点技术 完善列方程解应用题的步骤(1)“审”和“找”两步在草稿上进行，书面格式中要紧写“设”“列”“解”和“答”四个步骤．(2)解应用题时，切勿漏写“答”，“设”和“答”要写清单位名称．【例2】 一张方桌由1张桌面和4条桌腿做成，已知1 m 3木材能够做桌面50张或桌腿300条．现有5 m 3木材，恰好能做成方桌多少张？分析：这是一个产品配套问题．题中已知数有两个：做桌面的木材的方数和做桌腿的木材的方数．相等关系：(1)做桌面的木材的方数＋做桌腿的木材的方数＝木材的总方数；(2)4×桌面的张数＝桌腿的条数． 解：设用x m 3木材做桌面，y m 3木材做桌腿，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，4×50x ＝300y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2.因为3×50＝150，因此恰好能做成方桌150张．注：读懂题意，找出等量关系式是关键．3．列方程组解决古代问题人们在日常生活中少不了数学运算，在诗歌创作中也时有反映．解决这种问题的关键是读懂题意，将古诗文转化为白话文．【例3－1】 周瑜年华而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个是十位正两倍；哪位学子算得快，多青年华数周瑜？分析：此题有两个等量关系式：十位数字＝个位数字－3；个位数字＝十位数字的2倍．解：设周瑜年龄的个位数字为x ，十位数字为y ，依照题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，x ＝2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝3.因此周瑜只活了36岁．点评：解决这种问题的关键在于从实际问题背景中抽象出数学问题的本质，成立方程(组)模型，并能从多种途径动身，通过列方程(组)去求得其解．【例3－2】 二果问价九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？分析：这首古诗词翻译成白话文，即：九百九十九文钱可买一千个甜果和苦果，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买多少个？买甜果、苦果各需多少文钱？解：设甜果x 个，苦果y 个，依照题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1 000，119x ＋47y ＝999.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝657，y ＝343.因为119x ＝803，47y ＝196，因此甜果657个需803文钱，苦果343个需196文钱． 4．实际问题中的大体数量关系及关键词经常使用的数量关系有：(1)路程＝速度×时刻；(2)工作量＝工作效率×工作时刻；(3)商品的销售额＝商品销售价×商品销售量；(4)商品的总销售利润＝(销售价－本钱价)×销售量；(5)商品售价＝标价×折数；(6)商品的利润率＝商品利润商品成本价×100%等等． 还要正确明白得一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系，如“提早”“超过”“早到”“迟到”“几倍”“增加了”“相向而行”“同向而行”等．【例4】 8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从此刻起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子此刻的年龄．分析：题中有两个未知数：父亲此刻的年龄和儿子此刻的年龄．相等关系：(1)8年前父亲的年龄＝4×8年前儿子的年龄；(2)8年后父亲的年龄＝2×8年后儿子的年龄．解：设父亲此刻的年龄是x 岁，儿子此刻的年龄是y 岁，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －8＝4(y －8)，x ＋8＝2(y ＋8). 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝40，y ＝16.因此父亲此刻40岁，儿子此刻16岁．点评：此题易显现x ＋8＝2y 这种错误．缘故是熟悉到父亲增加了8岁，忘记了儿子也应该增加8岁．遇年龄问题时，注意两人年龄同时增加相同岁数．5．列二元一次方程组的应用题经常使用策略(1)“直接”与“间接”转换：当直接设未知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然．(2)“一元”与“多元”转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未知数求解，反之亦然．(3)“部份”与“整体”转换：当整体设元有困难时，就考虑设其部份，反之亦然，如：数字问题．(4)“一样”与“特殊”转换：当从一样情形入手困难时，就着眼于特殊情形，反之亦然．(5)“文字”与“图表”转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就能够够用表格或图形来分析，如此既直观，也易明白得题意．【例5】学校书法爱好小组预备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方式是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部份每支比零售价低元，其余部份仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部份每支比零售价低元，其余部份仍按零售价销售．若是全组共有20名同窗，假设每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；假设每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A、B两种类型毛笔的零售价各是多少？分析：20名学生每人买1支A型毛笔的钱＋每人买2支B型毛笔的钱＝145元；20名同窗每人买2支A型毛笔的钱＋每人买1支B型毛笔的钱＝129元．解：设该家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，依照题意，得错误!解得错误!因此这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元．。
应用二元一次方程组——鸡兔同笼
解、答.
作
课本P116的3题4题
业
A C
x y 52 3x 2 y 20 x y 20 2 x 3 y 52
D ）
B D
x y 52 2 x 3 y 20 x y 20 3x 2 y 52
2.根据图中提供的信息，求一个杯子和 一个保温瓶的单价分别是多少？
应用二元一次方程组 ——鸡兔同笼
包二中 刘 翠
今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡兔各几何？
请你说一说两种方 法各自的优点？
变式：今有牛五羊二，直金十两，牛 二羊五，直金八两，牛羊各直金几何？
闯关训练 1.20为同学在植树节这天共种了52棵树，其 中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生 有x人，女生有y人，根据题意可列方程组正 确的是（
共43元Biblioteka 共94元以绳测井以绳测井，若将绳 三折测之，绳多五 尺；若将绳四折测 之，绳多一尺.绳 长、井深各几何？
用一根绳子环绕一棵
大树，若环绕大树3
周，则绳子还多4尺；
若环绕大树4周，则
绳子又少了3尺。这
根绳子有多长？环绕
大树一周需要多少尺？
说一说，你今天有怎样的收获？
1.分析题中等量关系，列出二元一次方程组解决 实际问题； 2.列二元一次方程组解应用题的步骤与列一元一 次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、
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§7.3 二元一次方程组的应用
--------鸡兔同笼
知识与技能目标：
1.会用二元一次方程组解决实际问题.
2.在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界. 教学重点
1.让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程.
2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力.
教学难点
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程.
教学方法
自主发现法.
学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解，组织学生自主交流，探索去发现列方程建模的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识.
教学过程
Ⅰ.提出问题，激发兴趣
［我们本章的开头就介绍过“鸡兔同笼”的问题，这节课我们接着用方程来解决此问题，看结果如何？
的只数=35只”.“下有九十四足”是指鸡的腿与兔子的腿的和为94条.即“鸡的腿+兔子的腿=94”.
(2)根据(1)中的数量关系，我们可以设鸡有x只，兔有y只，列方程组，得
和这一章最开始引言中用算术方法和一元一次方程的方法来解“鸡免同笼”的问题来比较，用列二元一次方程组来解决此题会更直观，更容易理解.
.我们学会了解方程组可以解决许多问题.下面我们再来看一下例子.估计大家小学的时候见过.
［例1］以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
题目的大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子三折即折成三等份，则一份绳子的长度比井多五尺；如果将绳子四折即折成四等份，则一份绳子的长度比井深多一尺.绳长、井深各是多少尺？
你能用含文字的等式表示出来吗?
相等关系蕴含在“将绳三折测之，绳多五尺”和“若将绳四折测之，绳多一尺”.这两句话中，用等式表示出来为：
绳长÷3－井深=5 ①
绳长÷4－井深=1 ②
我们现在设出未知数，设绳长为x尺，井深为y尺，根据①、②得方程组为：
［师生共析］我们在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，
建模过程就可完成，因此我们说解决实际问题的建模过程非常重要.
Ⅲ.随堂练习
课本P129.随堂练习1
Ⅳ.课时小结
本节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
Ⅴ.课后作业
1.课本P129习题7.4. 1, 2。