二元一次方程组的应用(一)鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题-二元一次方程的应用
x7 y 53
所以有7个人，该物品价值53元。
x y 36 C、 2 x 4 y 100
D、
x y 36 2 x 2 y 100
2、以绳测井，若将绳四折测之，绳少一尺。若将绳两折测之，则绳多5 尺。若设绳长x尺，井深y尺，则列出的二元一次方程组为
1 x 1 y 4 1 x 5 y 2
x y 36 x y 36 A、 B、 x 2 y 100 4 x 2 y 100
x y 36 C、 2 x 4 y 100
D、
x y 36 2 x 2 y 100
2、以绳测井，若将绳四折测之，绳少一尺。若将绳两折测之，则绳多5 尺。若设绳长x尺，井深y尺，则列出的二元一次方程组为
.
3.用一根绳子环绕一棵大树。若环绕大树三周，则绳子还多4尺；若环绕 大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？
4.《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七， 不足四。问人数、物价各几何？” 题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元：每人出7元， 少4元。问有多少人？该物品价值多少元？
今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何
解：设鸡有x只，兔有y只，则 x+y=35 ① 2x+4y=94 ②
由①得 x=35-y ③ 把③代入②得2（35-y）+4y=94 解得y=12 把y=12代入①得x=23
所以笼中有鸡23只，有兔12只。
一般用“所以”的形式
练习：
今有牛五、羊二，值金十两。牛二、羊五值金八两。牛羊各值金几何？
4.《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七， 不足四。问人数、物价各几何？” 题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元：每人出7元， 少4元。问有多少人？该物品价值多少元？
应用二元一次方程组鸡兔同笼
应用二元一次方程组——鸡兔同笼1．列方程组解应用题的大体思想 列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方式．它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一样来讲，有几个未知量就必需列出几个方程，所列方程必需知足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等． 列二元一次方程组解应用题必需找出两个等量关系，列出两个方程．【例1】 “甲、乙隔河放牧羊，两人相互问数量，甲说得乙羊九只，我羊是你二倍整．乙说得甲羊八只，两人羊数正相当．”请你帮忙算一算，甲、乙各放多少羊？分析：题中有两个未知数：甲放羊的只数和乙放羊的只数．相等关系：(1)甲放羊的只数＋9＝2(乙放羊的只数－9)；(2)甲放羊的只数－8＝乙放羊的只数＋8.解：设甲放羊x 只，乙放羊y 只．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋9＝2(y －9)，x －8＝y ＋8.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝59，y ＝43. 因此甲放羊59只，乙放羊43只．析规律 建模型、列方程组在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模进程即可完成，因此解决实际问题的建模进程超级重要．2．列二元一次方程组解应用题的一样步骤(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．(2)设：设未知数(一样求什么，就设什么为x ，y )．(3)找：找出能够表示应用题全数意义的两个等量关系．(4)列：依照这两个等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组．(5)解：解所列方程组，得未知数的值．(6)验：查验所求未知数的值是否符合题意，是不是符合实际．(7)答：写出答案(包括单位名称)．北师版中的“答”一样用“因此”代替． 点技术 完善列方程解应用题的步骤(1)“审”和“找”两步在草稿上进行，书面格式中要紧写“设”“列”“解”和“答”四个步骤．(2)解应用题时，切勿漏写“答”，“设”和“答”要写清单位名称．【例2】 一张方桌由1张桌面和4条桌腿做成，已知1 m 3木材能够做桌面50张或桌腿300条．现有5 m 3木材，恰好能做成方桌多少张？分析：这是一个产品配套问题．题中已知数有两个：做桌面的木材的方数和做桌腿的木材的方数．相等关系：(1)做桌面的木材的方数＋做桌腿的木材的方数＝木材的总方数；(2)4×桌面的张数＝桌腿的条数． 解：设用x m 3木材做桌面，y m 3木材做桌腿，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，4×50x ＝300y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2.因为3×50＝150，因此恰好能做成方桌150张．注：读懂题意，找出等量关系式是关键．3．列方程组解决古代问题人们在日常生活中少不了数学运算，在诗歌创作中也时有反映．解决这种问题的关键是读懂题意，将古诗文转化为白话文．【例3－1】 周瑜年华而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个是十位正两倍；哪位学子算得快，多青年华数周瑜？分析：此题有两个等量关系式：十位数字＝个位数字－3；个位数字＝十位数字的2倍．解：设周瑜年龄的个位数字为x ，十位数字为y ，依照题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，x ＝2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝3.因此周瑜只活了36岁．点评：解决这种问题的关键在于从实际问题背景中抽象出数学问题的本质，成立方程(组)模型，并能从多种途径动身，通过列方程(组)去求得其解．【例3－2】 二果问价九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？分析：这首古诗词翻译成白话文，即：九百九十九文钱可买一千个甜果和苦果，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买多少个？买甜果、苦果各需多少文钱？解：设甜果x 个，苦果y 个，依照题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1 000，119x ＋47y ＝999.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝657，y ＝343.因为119x ＝803，47y ＝196，因此甜果657个需803文钱，苦果343个需196文钱． 4．实际问题中的大体数量关系及关键词经常使用的数量关系有：(1)路程＝速度×时刻；(2)工作量＝工作效率×工作时刻；(3)商品的销售额＝商品销售价×商品销售量；(4)商品的总销售利润＝(销售价－本钱价)×销售量；(5)商品售价＝标价×折数；(6)商品的利润率＝商品利润商品成本价×100%等等． 还要正确明白得一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系，如“提早”“超过”“早到”“迟到”“几倍”“增加了”“相向而行”“同向而行”等．【例4】 8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从此刻起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子此刻的年龄．分析：题中有两个未知数：父亲此刻的年龄和儿子此刻的年龄．相等关系：(1)8年前父亲的年龄＝4×8年前儿子的年龄；(2)8年后父亲的年龄＝2×8年后儿子的年龄．解：设父亲此刻的年龄是x 岁，儿子此刻的年龄是y 岁，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －8＝4(y －8)，x ＋8＝2(y ＋8). 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝40，y ＝16.因此父亲此刻40岁，儿子此刻16岁．点评：此题易显现x ＋8＝2y 这种错误．缘故是熟悉到父亲增加了8岁，忘记了儿子也应该增加8岁．遇年龄问题时，注意两人年龄同时增加相同岁数．5．列二元一次方程组的应用题经常使用策略(1)“直接”与“间接”转换：当直接设未知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然．(2)“一元”与“多元”转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未知数求解，反之亦然．(3)“部份”与“整体”转换：当整体设元有困难时，就考虑设其部份，反之亦然，如：数字问题．(4)“一样”与“特殊”转换：当从一样情形入手困难时，就着眼于特殊情形，反之亦然．(5)“文字”与“图表”转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就能够够用表格或图形来分析，如此既直观，也易明白得题意．【例5】学校书法爱好小组预备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方式是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部份每支比零售价低元，其余部份仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部份每支比零售价低元，其余部份仍按零售价销售．若是全组共有20名同窗，假设每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；假设每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A、B两种类型毛笔的零售价各是多少？分析：20名学生每人买1支A型毛笔的钱＋每人买2支B型毛笔的钱＝145元；20名同窗每人买2支A型毛笔的钱＋每人买1支B型毛笔的钱＝129元．解：设该家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，依照题意，得错误!解得错误!因此这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元．。
应用二元一次方程组——鸡兔同笼ppt
03
鸡兔同笼问题简介
鸡兔同笼问题的起源
源自中国古代的数学趣题，鸡兔同笼问题最早出现在《孙子 算经》中，当时是为了解决两个农夫的年龄问题。
随着时间的推移，该问题逐渐传播至世界各地，成为数学教 育中的经典问题之一。
鸡兔同笼问题的应用
鸡兔同笼问题可以应用于现实生活中，例如城市交通管理 、人口管理、物资调配等方面。
3
了解了鸡兔同笼问题的数学模型和求解方法
学习收获及感受
通过学习二元一次方程组，提 高了数学应用能力
学会了如何将实际问题转化为 数学问题，并使用数学方法解
决
掌握了解决鸡兔同笼问题的方 法，并能够解决类似问题
对未来学习的展望
希望进一步深入学习数学建模和算法相关的知识 加强实际应用能力的培养，提高解决实际问题的能力
求解方程
• 将第一个方程乘以2，得到 • 2x + 2y = 2n • 将第二个方程减去第一个方程，得到 • 2y = m - 2n • 解得 • y = (m - 2n) / 2 • 将解得的y的值代入第一个方程，解得 • x = n - y = n - (m - 2n) / 2 = (3n - m) / 2 • · 将第一个方程乘以2，得到 • · ``` • · 2x + 2y = 2n • · ``` • · 将第二个方程减去第一个方程，得到
交流沟通
团队成员之间需要交流沟通，分 享思路和方法，避免重复劳动， 节省时间。
团队协作
通过团队协作，能够更全面地分 析问题，提出更多解决方案，提 高解决问题的质量。同时培养团 队协作能力，增强团队凝聚力。
06
结论与反思
本课程总结
1
理解了二元一次方程组的基本概念和解题方法
北师版八上数学5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼(课件)
（1）每辆汽车可装载柠檬或柚子各多少吨？
（2）据调查，每吨柠檬可获利700元，每吨柚子可获利500元.
计划用20辆汽车运输，若有 x 辆汽车装载柚子，全部销售完
后，总利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式.
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【思路导航】（1）先找等量关系，再列出二元一次方程组，即
的年龄分别是 x 岁、 y 岁.根据题意，可列方程组
6＝，
ቊ
4（ + 10) − 8 = + 10 .
为
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《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一段文字的大
意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，
2
3
那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有
4 + 6＝28，
C. ቊD. ቊ源自＝ − 2＝ − 2返回目录
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【思路导航】根据题目描述，找出等量关系，再将未知数代入
即可列出方程.
4 + 6 = 28.
【解析】根据题意，得ቊ
故选A.
＝ + 2.
【点拨】列方程（组）解决实际问题中，找出等量关系是关
键，其中“共……”“比……少（多）……”都是找等量关系
钱48文.甲、乙两人原来各有多少钱？
【思路导航】根据题意，找出题中的等量关系，列出二元一次
方程组，即可解答.
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解：设甲原来有 x 文钱，乙原来有 y 文钱.
1
＋ = 48，
2
根据题意，得൞2
解得ቊ
《应用二元一次方程组-鸡兔同笼》应用题精选
《应用二元一次方程组---鸡兔同笼》应用题精选一．列方程组：1、一个笼里装有鸡和兔子，它们共有8个头、22只脚。
设笼中有x只鸡，y只兔子，根据题意，可列方程组为2、我市某企业向玉树地震灾区捐助价值26万元的甲、乙两种帐篷共300顶．已知甲种帐篷每顶800元，乙种帐篷每顶1000元。
设甲帐篷有x顶，乙种帐篷有y 顶，根据题意，可列方程组为3、受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有所上涨. 张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元.其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元。
设甲种蔬菜种植了x亩，乙种蔬菜种植了y亩，根据题意可列方程组为4、花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．设甲种花木每株成本为x元，乙种花木每株成本为y元，可列方程组为5、在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．如果改造一所A类学校的校舍需要x万元，改造一所B类学校的校舍需要y万元，根据题意，可列方程组为6、去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．设饮用水有x件，蔬菜有y 件，则可列方程组为7、2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米。
设生产运营用水x亿立方米，生产居民家庭用水y亿立方米，根据题意可列方程组为二．列方程并解答：1、某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株．已知甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元．若购买树苗共用21000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？2、2010年1月1日，全球第三大自贸区——中国——东盟自由贸易区正式成立，标志着该贸易区开始步入“零关税”时代.广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的A、B两地，现用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖.已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各用多少辆；3、为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品．若购进A 种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？4、郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典。
5.3 应用二元一次方程组—鸡兔同笼教案
5．3应用二元一次方程组——鸡兔同笼1．能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．(重点)一、情境导入古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若是每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？二、合作探究探究点一：二元一次方程组在古代问题中的应用列方程组解古算题：“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，看看用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？”解析：题目大意是：一座寺庙内不知有多少僧人，但饭碗和汤碗共有364只．如果3人共用一个饭碗吃饭，4人共用一个汤碗喝汤，都正好用完所有的碗，问寺庙内共有多少僧人？本题如果直接将僧人的人数设为x，则不易列方程组求解，因此需采用间接设法．解：设饭碗有x只，汤碗有y只．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝364，3x＝4y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝208，y＝156.则僧人数量为3×208＝624(人)．所以寺庙内共有僧人624人．方法总结：古诗型问题是应用题中的一个常见类型，这种题型是通过诗歌的形式向大家说明几个量之间的关系，进而提出问题．解决这类问题的关键是要读懂题意，分清各量之间的关系，找出题中隐含的相等的量，列出方程组，从而解决实际问题．探究点二：列二元一次方程组解决实际问题某中学七年级甲、乙两班共有93人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，已知甲班有14的学生，乙班有13的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人．解析：本题的未知数有两个，即甲班的人数和乙班的人数；本题所含的等量关系有：①甲班人数＋乙班人数＝93；②甲班人数×14＋乙班人数×13＝27.解：设甲班的人数为x人，乙班的人数为y人，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝93，14x＋13y＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝48，y＝45.答：甲班的人数为48人，乙班的人数为45人．方法总结：设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．解这类问题的应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义．三、板书设计列方程组,解决问题)⎩⎪⎨⎪⎧一般步骤：审、设、列、解、验、答关键：找等量关系通过“鸡兔同笼”，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”；进一步强调数学与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识．。
《应用二元一次方程组—鸡兔同笼》二元一次方程组PPT课件3
28、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 29、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要 在路上，就没有到不了的地方。
30、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。 31、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 32、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎 接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。
3
3
10x 910 y 9 21a.
解得 {xy==01.09.a8.a,
所以24×10.8a+0.9a×24×18=18×za
z=36
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期.
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已知某电脑公司有A型，B型，C型三种 型号的电脑，其价格分别为A型每台6000 元，B型每台4000元，C型每台2500元，我 市东坡中学计划将100500元钱全部用于从
用绳子测量水井的深度.如果将绳子 折成三等份，一份绳长比井深多5尺； 如果将绳子折成四等份，一份绳长比 井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
题中有哪些等量关系?
关系一
关系二
考考你
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里， 听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个 声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银， 不知人数不知银. 只知每人五两多六两， 每人六两少五两， 问你多少人数多少银？
4y=6x
北师大版八年级数学上册-5.3应用二元一次方程组——鸡兔同笼(共26张PPT)
智力提升
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里， 听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个 声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银， 不知人数不知银. 只知每人五两多六两， 每人六两少五两， 问你多少人数多少银？
3.列出两个方程.
变式训练：
(1)今有鸡兔同笼,鸡比兔多10,下有九十四足,问
鸡兔各多少？
鸡头－兔头＝10
鸡脚＋兔脚＝94
解：设鸡有
x只，兔有
y只,依题意得
x y 10 2x 4y
94
(2)今有鸡兔同笼,鸡是兔的2倍少1,下有九十四足, 问鸡兔各多少？
鸡头＝兔头×2－1
鸡脚＋兔脚＝94
5.3 鸡兔同笼
民谣：
一队兔子一队鸡,两队合并在一起.数头 一共三十五,数脚一共九十四.问你兔 子有多少、有多少？
回顾
1.二元一次方程组的解法：
①加减消元法 ②代入消元法
2.列一元一次方程解应用题的步骤： (1)审 (2)设 (3)列(等量关系) (4)解 (5)验(合理性)、答
一队兔子一队鸡,两队合并在一起.数头 一共三十五,数脚一共九十四.问你兔 子有多少、有多少？
和为15 ，列出方程为 2x+3y=15
.
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛 共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则 列出方程组
X+y=10
为 6x+8y=68 .
3.小刚有5角硬币和一元硬币有8枚，币值共有6元5角， 设5角的有x枚，一元X的+y有=8y枚，
列出的方程组为 0.5x+y=6.5 .
当堂训练
4.甲、乙两人参加植树活动，两人共 植树20棵，已知甲植树数是乙的1.5倍。 如果设甲植树x棵，乙植树y棵，那么可 列方程组为（ C ）
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼北师大版八年级数学上册精品课件
解：设买了绫x尺，罗y尺. 根据题意，得
解得
答：买了绫240尺，罗220尺.
一级基础巩固练
三级检测练
6. 学校八年级师生共468人准备到飞翔教育实践基地 参加研学旅行，现已预备了49座和37座两种客车共10 辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆，根据 题意可列出方程组（ ）
B
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件
7. 某家具生产厂生产某种配套桌椅（一张桌子，两把 椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子4把，现 计划用120块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损 耗），设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，则下 列方程组正确的是（ D ）
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件 二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件
解：设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元， 由题意，得 答：每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元.
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件
（2）840×7+320×3=6 840（名）. ∵6 840>6 500. ∴如果同时开放10 个餐厅，能够供全校的6 500名 学生就餐.
二元一次方程组的应用——鸡兔同笼 北师大 版八年 级数学 上册精 品课件
北师大版八年级数学上册《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》示范课教学设计
第五章二元一次方程组
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
一、教学目标
1.分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，准确找出等量关系.
2.掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
3.在经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程中，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生抽象、概括、分析解决实际问题的能力.
4.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
二、教学重难点
重点：分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，准确找出等量关系.
难点：掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【引例】雉兔同笼题为：
“今有鸡兔同笼,上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何? ”
教师活动：
问题1：题中有哪些等量关系呢？
预设答案：鸡头+兔头＝35，
鸡脚+兔脚＝94.
问题2：你能解决这个有趣的问题吗？
引导：你能根据得到的等量关系，用方程组解决这个问题吗？
预设答案：
列出方程组：
35 2494. x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
问题3：你会计算这个方程组吗？预设答案：
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第116页。
5.3《二元一次方程组的应用-鸡兔同笼》教案
在今天的教学中，我发现学生们对于二元一次方程组的应用——鸡兔同笼问题，表现出了一定的兴趣。在导入新课环节，通过日常生活中的例子，成功引起了学生们的关注，这为后续的教学奠定了良好的基础。
在新课讲授过程中，我注意到大部分学生能够跟上课程的节奏，但对于如何将实际问题转化为方程组这一环节，部分学生还存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加注重这一环节的讲解，通过更多的实例和引导，帮助学生掌握这一关键步骤。
-对于列方程的难点，可以通过以下细节进行讲解：
1.识别题目中的已知量和未知量。
2.根据题目条件建立已知量和未知量之间的关系。
3.将这些关系转化为数学表达式，形成方程组。
4.强调在列方程时要检查方程是否符合题意。
-对于代入法和消元法的难点，可以通过以下细节进行教学：
1.解释代入法的原理和步骤，通过具体例题展示如何代入求解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何将实际问题转化为方程组和代入法、消元法的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和对比分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用代入法或消元法解决实际问题。
3.引导学生运用所学知识，推广到其他类似问题，培养创新意识和知识迁移的核心素养。
4.培养学生合作交流、积极参与的学习态度，提高团队协作能力，增强综合素质。
5.激发学生学习数学的兴趣，树立正确的数学观念，培养数学核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解鸡兔同笼问题的实际背景，并能够将其转化为二元一次方程组。
初中数学教学课例《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》教学设计及总结反思
什么？ 第六环节：布置作业 A 组： 1.用一根绳子环绕一棵大树。若环绕大树三周，则
绳子还多 4 尺；若环绕大树 4 周，则绳子又少了 3 尺。 这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？
2.《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几 个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元。问有多少人？该物品价值多少元？
-y=1.② ①-②，得-=4, =4, x=48, 将 x=48 代入①，得 y=11. 答：绳长 48 尺，井深 11 尺. 第三环节：议一议 从上面的两个问题的解决中，你得到了什么感悟， 有什么收获？请与同学们交流。根据上面几例，总结列 二元一次方程组解应用题的步骤： 1）审清题意，设未知数; 2）弄清各个量之间的关系，找出等量关系; 3）列出方程，联立方程，得二元一次方程组; 4）解二元一次方程组; 5）作答. 并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键 是，找出等量关系列方程. 第四环节：练一练 1、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里， 听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地 听到几个声音，下面有这一古诗为证： 隔壁听到人分银，
问题 2、你能根据问题 1 中的的数量关系列出方程 吗？并能解决这个有趣的问题吗？
1.用一元一次方程求解 解：设有鸡 x 只，则有兔（35-x）只,得 答：鸡有 23 只，兔有 12 只. 2.用二元一次方程求解： 解：设有鸡 x 只，兔 y 只，则 x+y=35,① 2x+4y=94.② ①×2,得 2x+2y=70,③ ②－③,得 2y=24, y=12, 把 y=12 代入①，得 x=23.
B 组： 3.《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹 马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹 小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？
5.3应用二元一次方程组_---鸡兔同笼
x 2 y3
1 x ,而正确的解是 的方程组是什么吗? y 1
,你知道正确
初中二年级（八年级）（下）
第五章
二元一次方程组
“鸡兔同笼”是我国古代数学名著 《孙子算经》中的31题:今有鸡兔同笼,上有 三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何?
设鸡有x只,兔有y只,可以得到关于x,y的二元一次方程组:
x y 35 2x 4 y 94
5.3 应用二元一次方程组1
自学检测
用代入消元法解下列方程组: x-7y=0, y=x , 2. 1. x–9y+8=0 ; 看看你掌 4x+y=15 ;
握了吗？
3x+2y=1, 2x-3y=1 , 3. 4. -x+2y=4 ; 3x + 4y= -7 .
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤:
1.给两个方程编号①、②; 变形. 通常将系数为1或-1的方程变形，用含有一 个未知数的代数式表示另一个未知数，并 编号为③. 2.将③代入没有变形的方程,从而将二元一次 方程组转化为一元一次方程. 3.解这个一元一次方程. 4.将已求出的未知数的值代入方程③,求 出另一个未知数的值. X= 5.下结论. ∴原方程组的解是 y=
学习目标
会用代入消元法
解二元一次方程ห้องสมุดไป่ตู้.
自学指导
认真看P.108-109的内容: 1.看例1时思考是如何消去x的?可以通过 消去y解这个方程组吗? 2.看例2时思考是如何消去x的?可以通 过消去y解这个方程组吗? 3.结合P.109的“议一议”下面一段文字 思考用代入消元法解二元一次方程组的 一般步骤; 5分钟后,比谁能正确地做出与例题 类似的习题.
八年级数学上册应用二元一次方程组—鸡兔同笼“鸡兔同笼”补遗素材 北师大
“鸡兔同笼”补遗北师大版八年级（上）第五章第三节介绍了《应用二元一次方程组-——鸡兔同笼》,本文再介绍与之相关的一些知识,供同学们学习时参考．今有雉兔同笼，上有三十五头．下有九十四足，问雉兔各几何？它出自我国古代数学著作《孙子算经》中著名的“雉兔同笼”问题．书中给出的解法是:“上置头，下置足,半其足,以头除（此处‘除’之意为‘除去’即减去）足，以足除头，即得．”书中先设“金鸡独立”，玉兔双腿（即“半其足”)，这时共有腿数为94÷2 = 47．在这47条腿中,每数一条腿应该有一只鸡，而每数两条腿才有一只兔,所以：兔数为 47－35 = 12，即“以头除足”．鸡数为 35－12 =23．这道题用列二元一次方程组的方法可以很容易求解：设鸡有x 只，兔有y 只，则由题意，可得352494.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得2312x y =⎧⎨=⎩． 我们再把这个解法一般化：在一般情况下，设鸡有x 只,兔有y 只，A 为鸡、兔总共只数，B 为鸡、兔总共足数．则24.x y A x y B +=⎧⎨+=⎩解之，可得22.2B x A B y A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 这就是说，兔数为腿数的二分之一(半其足），与总头数之差（以头除足）．在古代朱世杰《算学启蒙》（1299年）《永乐大典》中的《丁巨算法》（1355年）严恭《通原算法》中,也载有鸡兔同笼问题，朱世杰的解法与《孙子算经》不同,而与现代的算术解法则几乎完全一样．今有鸡兔100,共足272只，只云鸡足二，兔足四，问鸡兔各几何？其解法是：“列一百，以兔足乘之，得数内减共足余一百二十八为实，列鸡、兔足以少减多余二为法而一得鸡，反减一百即兔，合问．”又术曰：“倍一百以减共足余半之即兔也．”此即：鸡数 (100×4－272）÷（4－2） = 64．兔数 100－64 = 36．或兔数 （272－100×2）÷2 = 36．鸡数 100－36 = 64．吴敬《九章算法比类大全》（1450年）卷六也载有几个很有趣味的类似的诗词古体算题，如争强斗胜八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，二相胜负正交加．三十六头齐厮打，一百八手乱相抓．旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？吴敬原书的解法：置列互乘对减得 108×3－36×6 = 108为被除数，3×8－1×6 = 18为除数，故：夜叉数为108÷18 = 6．哪吒数为（36－6）÷3 = 10．此法与现在的方程组解法相类似：设夜叉数为x ，哪吒数为y ，则86108.336x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6.10x y =⎧⎨=⎩“鸡兔同笼”问题，在我国民间流传十分广泛，民间流传有“野鸡兔子四十九,一百条腿地下走．借问英贤能算士,野鸡兔子各多少？（请同学们自己列方程组解答）．下面这道题是流传于我国民间的“板凳木马问题”它同“鸡兔问题”很相似．板凳木马三十三，共足一百单；请问能算者，它们各若干？这道题的意思是:板凳木马的总数是33个,腿的总数是101条．板凳、木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）解：设有板凳x 个，木马y 个,根据题意，得33,43101.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得2,31.x y =⎧⎨=⎩即板凳有2条，木马有31个． 在李汝珍(约公元1763 － 1830）著的古典小说《镜花缘》中有这样一段趣味故事：宗伯府的女主人卞宝云邀请众女才子们到府中的小鳌山观灯．当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂着许多灯球,五彩缤纷，秀丽壮观，宛如列星，高低错落．一时竟难分辨其有灯多少，卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目．她告诉米兰芬：“楼上的灯有两种;一种上做三个大灯球，下缀六个小灯球；另一种上做三个大灯球，下缀18个小灯球．楼下的灯也分两种：一种一个大球下缀两个小球；另一种是一个大球下缀四个小球．”她请米兰芬算一算楼上楼下大小灯球各多少盏?米兰芬想了一想，请宝云命人查一查楼上楼下大小灯球各多少个．查的结果是：楼上大灯球396个，小灯球1440个;楼下大灯球360个，小灯球1200个．米兰芬采用《孙子算经》中雉兔同笼“的解法,先算楼下的:一大四小灯的盏数：1200÷2－360 = 240．一大二小灯的盏数:360－240 = 120．楼上三大十八小的盏数：(1440÷2－396）÷6 = 54．三大六小的盏数：（396－3×54）÷3 = 78．用列二元一次方程组的方法求解如下：解：设楼下一个大球下缀两个小球的灯有x 盏，一个大球下缀四个小球的灯有y 盏，根据题意，得360,241200.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得120,240.x y =⎧⎨=⎩答：（略）．请同学们用同样的方法算一算楼上两种灯的盏数．在我国明朝永乐年间,由翰林学士解缙等人编撰的《永乐大典》中也有类似的题目，请看下面这道题： 钱二十贯,买四百六十尺，绫每尺四十三，罗每尺四十四．问绫、罗几何？这道题的意思是：用20贯钱买了460尺绫和罗，绫的价格是每尺43文,罗的价格是每尺44文．问买了绫、罗各多少尺?（贯：古代货币单位；文：古代货币单位．1贯＝1000文；尺：已经废止使用的市制长度单位．）经过我们仔细地观察、比较，可以发现，此题也可以归为“鸡兔问题”来求解．解：设买绫x 尺，买罗y 尺，根据题意，得460,434420000.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得240,220.x y =⎧⎨=⎩即买绫240尺，买罗220尺． 在《九章算术》中的：“玉石问题”也属于这一类:今有玉方一寸,重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并一十一斤．问玉、石各重几何?（斤、两：都是已经废止使用的重量单位．古代，1斤＝16两；寸：是已经废止使用的市制长度单位．）这道题的意思是：宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两．现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，重量是11斤．在这个正方体中的宝玉和石料各重多少两？解：设这个正方体中宝玉x 寸，石料y 寸，根据题意,得33,76176.x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解得14,13.x y =⎧⎨=⎩则有宝玉：14×7＝98（两），石料：13×6＝78（两)．答：（略）中国的鸡兔问题后来传到了日本．日本江户时代出版社出版的《算法童子问》一书中就有许多类似这样解法的题目．下面这道题就是这本书中比较典型的一道：院子里有狗,厨房的菜墩上有章鱼．狗和章鱼的总头数是14,总足数是96，求狗和章鱼各有多少．（注：章鱼有8只足．）解:设狗有x 条,章鱼有y 尾，根据题意,得14,4896.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得4,10.x y =⎧⎨=⎩即有狗4条，有章鱼10尾．列一次方程组解“鸡兔问题”的方法你学会了吗？下面的题目请你尝试一下:1． 鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露；看来脚有一百只，几多鸡儿几多兔．2． 一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺,请问官兵多少数？答案：1．14只兔，22只鸡．2．200军官，800士兵．。
二元一次方程组鸡兔同笼
鸡兔同笼
“鸡兔同笼”是一类有名 的中国古算题，最早见于 《孙子算经》下卷第31题 “雉兔同笼”，流传广泛， 许许多多数学应用题都可 以转化成这类问题来解决， 或者用解决“鸡兔同笼” 问题的解法来解决。
“雉兔同笼”题：今有雉 （鸡）兔同笼，上有35头， 下有94足，问雉兔各几何？
种邮票各买了多少张？
练 习 一项工程，如果全是晴天，
15天可以完成，倘若下雨， 雨天一天只能完成晴天的
4
的工作5 量。现在知道在 施工期间雨天比晴天多3 天。问这项工程要多少天 才能完成？
练 习 学校买铅笔、圆珠笔和钢笔
共232支，共花了300元。其 中铅笔数量是圆珠笔的4倍。 已知铅笔每支0.60元，圆珠 笔每支2.7元，钢笔每支6.3 元。问三种笔各有多少支？
X+y=8
列出的方程组为 0.5x+y=6.5
。
练
（4）：共植树20棵，已知甲植树数是乙的 1.5倍。如果设甲植树x棵，乙植树y棵，
那么可列方程组为（C ）
x+y=20 (A) x=2.5y
x=20+y (B)
x=1.5y
x+y=20 (C)
x=1.5y
x+y=20 (D)
１“上有35头”的意思是什么 “下有94足”呢？
２你能根据（1）中的数量关 系列出方程吗？
３你能解决这个有趣的问题 吗？
解：设笼中有鸡x只，有兔y只 由题意可得：
x+y=35 2x+4y=94 解此方程组得： X=23
Y=12
答：笼中有鸡23只，兔12只。
例1
以绳测井。若将绳三折测之，绳 多五尺；若将绳四折测之，绳多 一尺。绳长、井深各几何？
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．在解方程组
时，由于粗心，甲看错了方程组中地，而得解为，乙看错了方程组中地，而得解为．
（）甲把看成了什么，乙把看成了什么？
（）求出原方程组地正确解． ．解方程组： ．解方程组：
个馒头个和尚吃,大和尚每人吃个,小和尚人吃一个,则大和尚有多少个？小和尚有多少个？ 鸡、兔共有脚只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚只．问：鸡、兔各有几只？
某运输队为商场运送暖瓶箱，每箱装有个暖瓶.已知每个暖瓶地运费为元，损坏一个地话不但不给运费还要陪成本元，运后结算时，运输队共得元地运费.问、共损坏了多少只暖瓶？个人收集整理 勿做商业用途. 大油瓶一瓶装千克，小油瓶瓶装千克．现有千克油装了共个瓶子．问大、小油瓶各多少个？个人收集整理 勿做商业用途. 某次数学竞赛共道题，评分标准是：每做对一题得分，每做错或不做一题扣分．小华参加了这次竞赛，得了分．问：小华做对几道题？个人收集整理 勿做商业用途、 刘老师带了名同学去北海公园划船，共租了条船．每条大船坐人，每条小船坐人，问大船、小船各租几条？个人收集整理 勿做商业用途. 小红地储钱罐里有面值元和元地人民币共张，总钱数为元，两种面值地人民币各多少张？。