机械优化设计试卷及答案.doc

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《机械优化设计》复习题及答案

一、填空题

、用最速下降法求 2 2 2 2 的最优解时，设X （0）T ，第一步迭代

1 1 ＝[,]

1 f(X)=100(x - x ) +(1- x )

的搜索方向为 [-47;-50] 。

2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。

3、当优化问题是 __凸规划 ______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和

终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。

5、包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。

、函数

1

X T

HX B

T

X C

的梯度为HX+B 。

6 2

7、设 G 为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量0，d1，满足 (d0

T1

，d ) Gd =0

则 d0、d1之间存在 _共轭_____关系。

8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。

9、对于无约束二元函数 f (x1 , x2 ) ，若在 x 0 ( x10 , x20 ) 点处取得极小值，其必要条件是梯

度为零，充分条件是海塞矩阵正定。

10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作

用的各约束函数梯度的非负线性组合。

11 、用黄金分割法求一元函数 f ( x) x2 10 x 36的极小点，初始搜索区间

[ a,b] [ 10,10] ，经第一次区间消去后得到的新区间为[,] 。

12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、

13、牛顿法的搜索方向 d k= ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。

14、将函数f(X)=x 2 2

表示成

1

X

T

HX

T

X C 的形

1

+x2 -x1x2-10x1-4x2+60 2 B

式。

15、存在矩阵 H，向量 d ，向量 d ，当满足(d1)TGd2=0 ，向量 d 和向量 d

1 2 1 2 是关于 H 共轭。

16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因

子 r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。

17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即

二、选择题

1、下面

方法需要求海赛矩阵。

A 、最速下降法

B 、共轭梯度法

C 、牛顿型法

D 、DFP 法

2、对于约束问题

min f X

x 12 x 22 4x 2 4 g 1 X x 1 x 22 1 0

g 2 X 3 x 1 0 g 3 X

x 2 0

根据目标函数等值线和约束曲线，判断

1

， X

[ 5

, 1 ]T

X [1,1]T 为

2

2 2

为

。

A ．内点；内点

B. 外点；外点

C. 内点；外点

D. 外点；内点

3、内点惩罚函数法可用于求解 __________优化问题。

A 无约束优化问题

B 只含有不等式约束的优化问题

C 只含有等式的优化问题

D 含有不等式和等式约束的优化问题

4、对于一维搜索， 搜索区间为 [a ，b]，中间插入两个点 a 1、b 1，a 1

1)，则缩短后的搜索区间为 ___________。

A [a 1，b 1]

B [ b 1， b]

C [a 1，b]

D [a ， b 1]

5、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A 设计变量

B约束条件

C目标函数

D最佳步长

6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽ f(x k) ，下列不属于H k必须满足的条件的是

________。

A.H k之间有简单的迭代形式

B.拟牛顿条件

C.与海塞矩阵正交

D.对称正定

7、函数f ( X )在某点的梯度方向为函数在该点的。

A、最速上升方向

B、上升方向

C、最速下降方向

D、下降方向

8、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的

一阶或二阶导数。

A梯度法

B牛顿法

C变尺度法

D坐标轮换法

9、设f ( X )为定义在凸集 R 上且具有连续二阶导数的函数，则 f ( X ) 在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X) 在 R 上处处。

A正定

B半正定

C负定

D半负定

10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，

假设要求在区间 [a，b]插入两点α1、α2，且α1α2。

<

A 、其缩短率为

B、α1=b-λ（b-a）

C、α1=a+λ（b-a）

D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

11、与梯度成锐角的方向为函数值上升方向，与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。

A 、上升

B、下降

C、不变

D、为零

12、二维目标函数的无约束极小点就是。

A 、等值线族的一个共同中心

B、梯度为 0 的点

C、全局最优解

D、海塞矩阵正定的点

13、最速下降法相邻两搜索方向d k和 d k+1必为向量。

A相切

B正交

C成锐角

D共轭

14、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是。

A可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。

B惩罚因子是不断递减的正值

C初始点应选择一个离约束边界较远的点。

D初始点必须在可行域内

15、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是

A 牛顿法

B 梯度法

C 共轭梯度法

D 变尺度法

16、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速

度A、慢 B、快 C、一样 D、不确定

17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是。A需要求海赛矩阵

B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度

C 共轭梯度法具有二次收敛性

D第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度

三、问答题

1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区

答：搜索的原理是：区间消去法原理

区别：（ 1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区

间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法

（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函

数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方

法称为插值法，又叫函数逼近法。

2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？

答，基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数

结合形成新的目标函数——惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解

3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。

答主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值

4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。

答：最速下降法此法优点是直接、简单，头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢，

越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每

次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。

5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意

义，并说明迭代公式的意义。

四、解答题

1、试用梯度法求目标函数 f(X)=+ x 1x2-2x1的最优解，设初始点 x(0) =[-2，4]T ,选代精度ε=（迭代一步）。

、试用牛顿法求

f( X )=(x 1

-2)

2 1 2 2

的最优解，设初始点 x(0)

=[2,1]

T。

2 +(x -2x )

3、设有函数

2 2

-2x1x2 -4x1，试利用极值条件求其极值点和极值。f(X)=x 1 +2x2

4、求目标函数 f( X )=x 12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10 的极值和极值点。

5、试证明函数f( X )=2x

2 2 2

+2x3x2+2x3x1 -6x2+3 在点 [1 ，1， -2]

T

处具有极小值。

1 +5x

2 +x3

6、给定约束优化问题

min f(X)=(x 1-3)2+(x2-2)2

.g1(X)= －x 12－x22＋5≥0

g2(X)= －x1－ 2x2＋ 4≥ 0

g3(X)= x 1≥ 0

g4(X)=x 2≥0

验证在点 X[ 2，１]T Kuhn-Tucker条件成立。

7、设非线性规划问题

min f ( X ) ( x12)2x22

s.t. g1 ( X ) x10

g2 ( X ) x20

g3 ( X ) x12x2210

用 K-T 条件验证X*1,0 T为其约束最优点。

10、如图，有一块边长为 6m 的正方形铝板，四角截去相等的边长为 x 的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（ x 取何值）才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序。

11、某厂生产一个容积为 8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序。

12、一根长l 的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序。

13、求表面积为 300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序。

14、薄铁板宽 20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型，并用 matlab 软件的优化工具箱求解（写出

M文件和求解命令）。

判断题

1,二元函数等值线密集的区域函数值变化慢x

2 海塞矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式大于零x 3; 当迭代点接近极小点时 ,步长变得很小 , 越走越慢v 4二元函数等值线疏密程度变化

5变尺度法不需海塞矩阵 v

6梯度法两次的梯度相互垂直 v