初三数学升中考最后冲刺：应用题训练(含答案)

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中考初三数学冲刺拔高专题训练(含答案)(可编辑修改word版)

1中考数学冲刺拔高专题训练目录专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1)专题提升(二) 代数式的化简与求值 (8)专题提升(三) 数式规律型问题 (12)专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (21)专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (28)专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (37)专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (47)专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (54)专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (60)专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (66)专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (75)专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (83)专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (89)专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (97)专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (104)专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (111)专题提升(一)数形结合与实数的运算类型之一数轴与实数【经典母题】如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．图Z1－1【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．【中考变形】1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(C)图Z1－2A.5＋1B. 5C.5－1 D．1－ 5【解析】∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E 点表示的数为5－1.2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是(D)图Z1－3A．M B．N C．P D．Q3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是(C)图Z1－4A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－bC．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a【解析】∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a. 4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为(B)图Z1－5A．0 B．1 C．2 D．3【解析】根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋x＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1. 5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(A)图Z1－6A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间【解析】∵点P的坐标为(－2，3)，∴OP＝22＋32＝13.∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，∴OA＝OP＝13，∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.∵点A在x轴的负半轴上，∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.6．[2017·成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是．图Z1－7【中考预测】如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是(C)图Z1－8A．a＞b B．|a|＞|b|C．－a＜b D．a＋b＜0【解析】由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C.类型之二实数的混合运算【经典母题】计算：2×(3＋5)＋4－2× 5.解：2×(3＋5)＋4－2×5＝2×3＋2×5＋4－2×5＝6＋4＋2×5－2×5＝10.【中考变形】1．[2016·台州]计算： 4－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋2－1. 解：原式＝2－12＋12＝2.2．[2017·临沂]计算：|1－2|＋2cos45°－8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. 解：|1－2|＋2cos45°－8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2－1＋2×22－22＋2＝2－1＋2－22＋2＝1.3．[2017·泸州]计算：(－3)2＋2 0170－18×sin45°.解：(－3)2＋2 0170－18×sin45°＝9＋1－32×22＝10－3＝7.【中考预测】计算：12－3tan30°＋(π－4)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. 解：12－3tan30°＋(π－4)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝23－3×33＋1－2＝3－1.专题提升(二) 代数式的化简与求值类型之一整式的化简与求值【经典母题】已知x ＋y ＝3，xy ＝1，你能求出x 2＋y 2的值吗？(x －y )2呢？解：x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝32－2×1＝7；(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝32－4×1＝5.【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．完全平方公式的一些主要变形有：(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)，(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ，在四个量a ＋b ，a －b ，ab 和a 2＋b 2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．【中考变形】1．已知(m －n )2＝8，(m ＋n )2＝2，则m 2＋n 2的值为( C ) A ．10 B ．6 C ．5 D ．32．已知实数a 满足a －1a ＝3，则a 2＋1a 2的值为__11__.【解析】将a －1a ＝3两边平方，可得a 2－2＋1a 2＝9，即a 2＋1a 2＝11.3．[2017·重庆B 卷]计算：(x ＋y )2－x (2y －x )．解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2.4．[2016·漳州]先化简(a ＋1)(a －1)＋a (1－a )－a ，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a 的取值有什么关系(不必说明理由)?解：原式＝a 2－1＋a －a 2－a ＝－1.故该代数式的值与a 的取值没有关系．【中考预测】先化简，再求值：(a －b )2＋a (2b －a )，其中a ＝－12，b ＝3.解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab －a 2＝b 2.当a ＝－12，b ＝3时，原式＝32＝9.类型之二分式的化简与求值【经典母题】计算：(1)a b －b a －a 2＋b 2ab ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x －2－x x ＋2·x 2－4x . 解：(1)原式＝a 2－b 2ab －a 2＋b 2ab ＝－2b 2ab ＝－2b a ；(2)原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·x 2－4x ＝2x 2＋8x x 2－4·x 2－4x ＝2x ＋8. 【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．【中考变形】1．[2017·重庆A 卷]计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a －2÷a 2－2a ＋1a ＋2. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a 2－4a ＋2÷（a －1）2a ＋2 ＝（a ＋1）（a －1）a ＋2·a ＋2（a －1）2＝a ＋1a －12．[2017·攀枝花]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1÷x 2－1x 2＋x，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1－2x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x ＋1. 当x ＝2时，原式＝22＋1＝23.【中考预测】先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2＝（x －2）2x －3·x －3x －2＝x －2.当x ＝4时，原式＝x －2＝2. 类型之三二次根式的化简与求值【经典母题】已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求a 2－ab ＋b 2的值．解：∵a ＝3＋2，b ＝3－2，∴a ＋b ＝23，ab ＝1， ∴a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝(23)2－3＝9.【思想方法】在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a ＋b ，a －b ，ab 当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．【中考变形】1．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为 ( C )A ．9B ．±3C ．3D ．52．[2016·仁寿二模]先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1.解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab ＝a －b a ＋b ·ab b －a ＝－aba ＋b ，当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－122＝－24.3．[2017·绵阳]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y x 2－2xy ＋y 2－x x 2－2xy ÷yx －2y ，其中x ＝22，y ＝ 2. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y （x －y ）2－x x （x －2y ）÷yx －2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y －1x －2y ÷y x －2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2y ）－（x －y ）（x －y ）（x －2y ）÷yx －2y＝－y （x －y ）（x －2y ）·x －2y y ＝－1x －y . 当x ＝22，y ＝2时，原式＝－1x －y ＝－12＝－22. 【中考预测】先化简，再求值：1a ＋b ＋1b ＋ba （a ＋b ），其中a ＝5＋12，b ＝5－12. 解：原式＝ab ＋a （a ＋b ）＋b 2ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）2ab （a ＋b ）＝a ＋bab ，∵a ＋b ＝5＋12＋5－12＝5，ab ＝5－12×5＋12＝1，∴原式＝ 5.专题提升(三)数式规律型问题【经典母题】观察下列各式：52＝25；152＝225；252＝625；352＝1 225；…你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．【中考变形】1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2＝1；8＋7－6－5＝4；15＋14＋13－12－11－10＝9；24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；…根据以上规律可知第10行左起第1个数是(C)A．100 B．121 C．120 D．82【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)图Z3－1A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋nC．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的(D)图Z3－2【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2 017÷4＝504……1，∴2 017是第505个循环组的第2个数，∴从 2 017到 2 018再到 2 019，箭头的方向是.故选D.4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走(D)图Z3－3A ．②号棒B ．⑦号棒C ．⑧号棒D ．⑩号棒【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒． 5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：图Z3－4按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为( D )A ．3nB ．6nC ．3n ＋6D.3n ＋3【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n 个图需棋子(3n ＋3)个．6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．【解析】根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1＋2＋3＋…＋n ，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ 2 016，得n （n ＋1）2＝2 016，解得n ＝63(负数舍去)． 7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1，第2位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1，第3位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1，…这样得到的100个数的积为__101__.【解析】 ∵第1位同学报的数为11＋1＝21，第2位同学报的数为12＋1＝32，第3位同学报的数为13＋1＝43，…∴第100位同学报的数为1100＋1＝101100，∴这样得到的100个数的积＝21×32×43×…×101100＝101.8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n ＋3__．图Z3－5【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n ＋3. 9．观察下列等式：第一个等式：a 1＝11＋2＝2－1；第二个等式：a2＝12＋3＝3－2；第三个等式：a3＝13＋2＝2－3；第四个等式：a4＝12＋5＝5－2；…按上述规律，回答以下问题：(1)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n ；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝【解析】a1＋a2＋a3＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．图Z3－6【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n－1)＝4n＋1(个)．11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n 个图案中有__5n ＋1__根小棒．图Z3－7【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒，…∴第n 个图案中有6＋5(n －1)＝5n ＋1根小棒． 12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．由图易得12＋122＋123＋…＋12n ＝__1－12n __.图Z3－813．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：图Z3－9【解析】1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.(2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：图Z3－101＋3＋5＋…＋(2n－1)＋__2n＋1__＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．【解析】观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n ＋1.【中考预测】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？图Z3－11解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4×4＋2＝18(人)；把8张餐桌拼起来能坐4×8＋2＝34(人)；(2)设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90，解得x＝22.答：这样的餐桌需要22张．专题提升(四) 整式方程(组)的应用类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t ，还剩下8 t 未装；若每辆车装4.5 t ，恰好装完．这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x 辆车，依题意，得4x ＋8＝4.5x ，解得x ＝16.答：这个车队有16辆车．【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．【中考变形】1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是( C )A ．25台B ．50台C ．75台D ．100台【解析】设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是(100－x )台，根据题意可得x ＝3(100－x )，解得x ＝75.2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭⎪⎫36－3x 2＝45，解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．【中考预测】[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x ＋5×3x ＝30，解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．类型之二二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4－2解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．根据题意，得⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．【思想方法】利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．【中考变形】1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．①②图Z4－3解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3＋1.4，解得⎩⎨⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得⎩⎨⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩⎨⎧x ＝120，y ＝80.答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【中考预测】随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p ，q 的值；(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.由题意得⎩⎨⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝12； (2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．类型之三一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？解：(1)100－3 600－3 00050＝88(辆)．答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600，解得x 1＝900，x 2＝1 200，∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．【中考变形】1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3.答：此批次蛋糕属第3档次产品．⎝ ⎛⎭⎪⎫或：∵14－102＋1＝3，∴此批蛋糕属第3档次产品. (2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1 080，解得x1＝5，x2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2．[2017·重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.(2)由题意，得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.【中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.解得a＝3或a＝7，为了使顾客得到实惠，∴a＝3.答：每千克应涨价3元．专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用类型之一一次函数的图象的应用【经典母题】如图Z5－1，由图象得⎩⎨⎧5x －2y ＋4＝0，3x ＋2y ＋12＝0的解是 ⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－3．图Z5－1【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标；(2)一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数形结合的思想．【中考变形】1．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便．五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h 后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y (km)与乘车时间t (h)的关系如图Z5－2所示．请结合图象解决下列问题：图Z5－2(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？(3)若乐乐要提前18 min到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？解：(1)v＝2402－1＝240(km/h)，答：高铁的平均速度为240 km/h；(2)设乐乐离开衢州的距离y与时间t的函数关系为y＝kt，则1.5k＝120，k＝80，∴函数表达式为y＝80t，当t＝2时，y＝160，216－160＝56(km)．答：乐乐距离游乐园还有56 km；(3)把y＝216代入y＝80t，得t＝2.7，2．7－1860＝2.4(h)，2162.4＝90(km/h)．答：乐乐要提前18 min到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h. 2．[2017·宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2 min，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1 min到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5－3所示．图Z5－3(1)求点A的纵坐标m的值；(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．解：(1)校车的速度为3÷4＝0.75(km/min)，点A的纵坐标m的值为3＋0.75×(8－6)＝4.5.答：点A的纵坐标m的值为4.5；(2)校车到达学校站点所需时间为9÷0.75＋4＝16(min)，出租车到达学校站点所需时间为16－9－1＝6(min)，出租车的速度为9÷6＝1.5(km/min)，两车相遇时出租车出发时间为0.75×(9－4)÷(1.5－0.75)＝5(min)，相遇地点离学校站点的路程为9－1.5×5＝1.5(km)．答：小刚乘坐出租车出发后经过5 min追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5 km.3．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图Z5－4①所示．方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发1 h；甲出发0.5 h 与乙相遇…请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；(2)当20＜y＜30时，求t的取值范围；(3)分别求出甲，乙行驶的路程s甲，s乙与时间t的函数表达式，并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过43h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？图Z5－4解：(1)设直线BC 的函数表达式为y ＝kt ＋b ，把⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫73，1003分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝32k ＋b ，1003＝73k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝40，b ＝－60，∴直线BC 的表达式为y ＝40t －60. 设直线CD 的函数表达式为y 1＝k 1t ＋b 1，把⎝ ⎛⎭⎪⎫73，1003，(4，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧1003＝73k 1＋b 1，0＝4k 1＋b 1，解得⎩⎨⎧k 1＝－20，b 1＝80，∴直线CD 的函数表达式为y 1＝－20t ＋80；(2)设甲的速度为a km/h ，乙的速度为b km/h ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＝1.5b ，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫73－1＝73b ＋1003，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝20，∴甲的速度为60 km/h ，乙的速度为20 km/h ， ∴OA 的函数表达式为y ＝20t (0≤t ≤1)，∴点A 的纵坐标为20，OA 段，AB 段没有符合条件的t 值；当20＜y ＜30时，即20＜40t －60＜30或20＜－20t ＋80＜30，解得2＜t ＜94或52＜t ＜3；(3)根据题意，得s 甲＝60t －60⎝ ⎛⎭⎪⎫1≤t ≤73，s 乙＝20t (0≤t ≤4)，所画图象如答图所示；中考变形3答图(4)当t ＝43时，s 乙＝803，此时丙距M 地的路程s 丙与时间t 的函数表达式为s 丙＝－40t ＋80(0≤t ≤2)，当－40t ＋80＝60t －60时，解得t ＝75，答：丙出发75 h 与甲相遇．【中考预测】[2017·义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y (件)与时间x (h)的函数图象如图Z5－5所示．图Z5－5(1)直接写出甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式__y ＝60x (0＜x ≤6)__；(2)求乙组加工零件总量a 的值；(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？解：(1)∵图象经过原点及(6，360)，∴设表达式为y＝kx，∴6k＝360，解得k＝60，∴y＝60x(0＜x≤6)；(2)乙2 h加工100件，∴乙的加工速度是每小时50件，∴更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件，a＝100＋100×(4.8－2.8)＝300；(3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y＝100＋100(x－2.8)＝100x－180，当0＜x≤2时，60x＋50x＝300，解得x＝3011(不合题意，舍去)；当2＜x≤2.8时，100＋60x＝300，解得x＝103(不合题意，舍去)；当2.8＜x≤4.8时，60x＋100x－180＝300，解得x＝3，符合题意．答：经过3 h恰好装满第1箱．类型之二一次函数的性质的应用【经典母题】某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1 500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式；(2)在同一直角坐标系中画出它们的图象；(3)根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3 000元用于印刷上述宣传材料，找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？解：(1)甲厂的收费函数表达式为y甲＝x＋1 500，乙厂的收费函数表达式为y乙＝2.5x；(2)图略；。

新人教版九年级数学中考专项复习——函数与实际问题应用题(附答案)

中考专项复习——函数与实际问题1.已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上．下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家．图中x 表示时间（单位是分钟）y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：小明离开家的时间/min 5 10 15 30 45 小明离家的距离/km131（Ⅱ）填空：（i ）小明在文化宫停留了_____________min（ii ）小明从家到体育场的速度为_______________km /min （iii ）小明从文化宫回家的平均速度为_______________km /min（iv ）当小明距家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为_________________min （Ⅲ）当0≤x ≤45时，请直接写出y 关于x 的函数解析式.2.共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3~10km 的出行市场，现有A B 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y 元与骑行时间x min 之间的对应关系，其中A 品牌收费方式对应1y ，B 品牌的收费方式对应2y ．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：骑行时间/min 10 20 25 A 品牌收费/元 8 B 品牌收费/元8（Ⅱ）填空：①B 品牌10分钟后，每分钟收费元；②如果小明每天早上需要骑行A 品牌或B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m /min ，小明家到工厂的距离为9km ，那么小明选择品牌共享电动车更省钱；③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时x 的值是．（Ⅲ）直接写出1y ，2y 关于x 的函数解析式．y /元O 10 20 x /min8 63. 小明的父亲在批发市场按每千克1.5元批发了若干千克的西瓜进城出售,为了方便他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x 与他手中持有的钱数y 元（含备用零钱）的关系如图所示，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：售出西瓜x /kg 0 10 20 30 40 80手中持有的钱数y /元 50______120155190 ______（Ⅱ）填空：①降价前他每千克西瓜出售的价格是________元②随后他按每千克下降1元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450 元，他一共批发了_________千克的西瓜（Ⅲ）当0≤x ≤80 时求y 与x 的函数关系式．4. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间为t （时），甲组加工零件的数量为 y 甲（个），乙组加工零件的数量为y 乙（个），其函数图象如图所示．（I ）根据图象信息填表：（Ⅱ）填空：①甲组工人每小时加工零件个 ②乙组工人每小时加工零件个③甲组加工小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个（Ⅲ）分别求出 y 甲、y 乙与t 之间的函数关系式．加工时间t （时） 3 4 8 甲组加工零件的数量（个）a ＝5. 4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．在甲书店所有书籍按标价总额的8折出售．在乙书店一次购书的标价总额不超过100元的按标价总额计费，超过100元后的部分打6折．设在同一家书店一次购书的标价总额为x （单位：元，0x ）．（Ⅰ）根据题意，填写下表：一次购书的标价总额/元 50150300… 在甲书店应支付金额/元 120 … 在乙书店应支付金额/元130…（Ⅱ）设在甲书店应支付金额1y 元，在乙书店应支付金额2y 元，分别写出1y 、2y 关于x 的函数关系式；（Ⅲ）根据题意填空：① 若在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同，且应支付的金额相同，则在同一个书店一次购书的标价总额元；② 若在同一个书店一次购书应支付金额为280元，则在甲、乙两个书店中的书店购书的标价总额多； ③ 若在同一个书店一次购书的标价总额120元，则在甲、乙两个书店中的书店购书应支付的金额少．6. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小明家、体育场、文具店依次在同一条直线上. 体育场离家3km ，文具店离家1.5km ．周末小明从家出发，匀速跑步15min 到体育场；在体育场锻炼15min 后，匀速走了15min 到文具店；在文具店停留20min 买笔后，匀速走了30min 返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离km y 与离开家的时间min x 之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填表：离开家的时间/min6 12 20 50 70离开家的距离/ km 1.23（II ）填空：① 体育场到文具店的距离为______km ② 小明从家到体育场的速度为______km /min ③ 小明从文具店返回家的速度为______km /min④ 当小明离家的距离为0.6km 时，他离开家的时间为______min （III ）当045x ≤≤时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．7. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：①每分钟进水______升，每分钟出水______升 ②容器中储水量不低于15升的时长是_________分钟（Ⅲ）当0≤x ≤12时，请直接写出y 关于x 的函数解析式.8. 明明的家与书店、学校依次在同一直线上，明明骑自行车从家出发去学校上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的书店，买到书后继续去学校.下面图象反映了明明本次上学离家距离y （单位：m ）与所用时间x （单位：min ）之间的对应关系.请根据相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：①明明家与书店的距离是 m ②明明在书店停留的时间是 min③明明与家距离900m 时，明明离开家的时间是 min （Ⅲ）当6≤t 14≤时，请直接写出y 与x 的函数关系式.时间/min23412容器内水量/L1020离开家的时间/min25811离家的距离/m4006009. 甲，乙两车从A 城出发前往B 城．在整个行程中，甲乙两车都以匀速行驶，汽车离开A 城的距离ykm 与时刻t 的对应关系如下图所示．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填表：（II ）填空：①A ，B 两城的距离为 km②甲车的速度为 km/h 乙车的速度为 km/h ③乙车追上甲车用了 h 此时两车离开A 城的距离是 km ④当9:00时，甲乙两车相距 km① 当甲车离开A 城120km 时甲车行驶了 h ② 当乙车出发行驶 h 时甲乙两车相距20km10.大部分国家都使用摄氏温度，但美国、英国等国家的天气预报仍然使用华氏温度．两种计量之间有如下对应：（Ⅰ）如果两种计量之间的关系是一次函数，设摄氏温度为x （ °C ）时对应的华氏温度为y （ °F ），请你写出华氏温度关于摄氏温度的函数表达式；（Ⅱ）求当华氏温度为0°F 时，摄氏温度是多少°C ？（Ⅲ）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有可能相等吗？若可能求出此值；若不可能请说明理由 .从A 城出发的时刻到达B 城的时刻甲 5:00 乙9:00摄氏温度/°C 0 10 20 30 40 华氏温度/°F3250688610411.甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，甲车离开A城的距离1kmy与甲车离开A城的时间 hx的对应关系如图所示．乙车比甲车晚出发1h2，以60 km/h的速度匀速行驶．（Ⅰ）填空：①A，B两城相距km②当02x≤≤时，甲车的速度为km/h③乙车比甲车晚h到达B城④甲车出发4h时，距离A城km⑤甲、乙两车在行程中相遇时，甲车离开A城的时间为h（Ⅱ）当2053x≤≤时，请直接写出1y关于x的函数解析式．（Ⅲ）当1352x≤≤时，两车所在位置的距离最多相差多少km？y1/ km532312.已知聪聪家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：聪聪从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x 表示过程中聪聪离开家的时间，y 表示聪聪离家的距离．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：（Ⅱ）填空：③ 聪聪家到体育场的距离为______km④ 聪聪从体育场到文具店的速度为______km/min ⑤ 聪聪从文具店散步回家的速度为______ km/min⑥ 当聪聪离家的距离为2 km 时，他离开家的时间为______min （Ⅲ）当10045≤≤x 时，请直接写出y 关于x 的函数解析式．13.同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台3000元.现甲、乙两个电器店优惠促销，甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过5台时，价格为每台3000元，如果一次购买台数超过5台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售.设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x （x 为正整数）. （Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）设在甲电器店购买收费y 1元，在乙电器店购买收费y 2元，分别写出y 1、y 2关于x 的函数关系式；（Ⅲ）当x > 6时，该校在哪家电器店购买更合算？并说明理由.参考答案1. 解：（Ⅰ）231 0.5（Ⅱ）填空：（i ） 25 （ii ）115（iii ）160 （iv ）9或42（ii ）（Ⅲ）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧115x （0≤x ≤15），1（15＜x ≤30）， 130-x ＋2（30＜x ≤ 45）.2.解：（Ⅰ）（Ⅱ）①0.2 ②B ③152或35 （Ⅲ）10.4 (0)y x x =≥ 26 0100.24 10x y x x ⎧=⎨+⎩，≤≤．，，＞3. 解：（Ⅰ）85 330（Ⅱ）3.5 128（Ⅲ）设y 与x 的函数关系式是)0(≠+=k b kx y∵图象过），（500和）（330,80 ∴⎩⎨⎧+==b k b8033050解得⎩⎨⎧==505.3b k∴y 与x 的函数关系式为505.3+=x y )800(≤≤x4. （Ⅰ）（II ） ① 40 ② 120 ③ 7 (III ) （1）当03t 时 t y 40=甲当43≤t ＜时120=甲y 当84≤t ＜时 140b t y +=甲∵图象经过（4 120）则1440120b +⨯= 解得：401-=b∴ 当84≤t ＜时 4040-=t y 甲∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤≤=)84(404043(120)3040t t t t t y ＜）＜（甲（2）设2b kt y +=乙把(5,0) (8,360)分别代入得⎩⎨⎧+=+=22836050b k b k解得⎩⎨⎧-==6001202b k ∴y 乙与时间t 之间的函数关系式为：）乙85(600120≤≤-=t t y5. 解：（Ⅰ）40 240 50 220 （Ⅱ）10.8y x =（0x >）当0100x <≤时 2y x =当100x >时 21000.6100y x =+⨯-（）即20.640y x =+ （Ⅲ）① 200 ② 乙 ③ 甲6. 解：（Ⅰ）2.4 1.5 1.25（Ⅱ）①1.5 ②0.2 ③0.05 ④3或83（Ⅲ）当015≤≤x 时 0.2=y x 当1530<≤x 时 3=y当3045<≤x 时 0.16=-+y x 7. （Ⅰ）填表：（Ⅱ）①5 3.75 ②13 （Ⅲ）当04x ≤<时5y x = 当412x <≤时5154y x =+8. 解：（Ⅰ）1000 600 （Ⅱ）①600 ②4 ③4.5或7或338（Ⅲ）300300068600812450480014x x y x x x -+≤≤⎧⎪=≤⎨⎪-≤⎩（）（＜）（12＜）9. 解：（I ）甲 10:00 乙 6:00（II ）①300 ②60 100 ③1.5 150④60 ⑤2 ⑥ 1或210. 解：（Ⅰ）过程略 ∴华氏温度关于摄氏温度的函数表达式为1832y .x（Ⅱ）令0=y 则0328.1=+x 解得9160-=x ∴当华氏温度为0 °F 时摄氏温度是1609°C （Ⅲ）令x y =则x x =+328.1解得40-=x答：当华氏温度为- 40 °F 时，摄氏温度为-40°C 时，华氏温度的值与对应的摄氏温度的值相等.时间/min 2 3 4 12 容器内水量/L1015203011. 解：（Ⅰ）①360 ②60 ③56④6803 ⑤52或196 （Ⅱ）当0≤x ≤2时 160y x = 当2223x <≤时 1120y = 当222533x <≤时 1280803y x =- （Ⅲ）当1352x ≤≤时由题意，可知甲车在乙车前面，设两车所在位置的距离相差y km 则2801908060302033y x x x =---=-（）（） ∵ 200>∴ y 随x 的增大而增大∴ 当5x =时y 取得最大值1103答：两车所在位置的距离最多相差1103 km 12.解：（Ⅰ） 1.5（Ⅱ）①2.5 ② ③ ④12或（Ⅲ）当时当时 13. 解：（Ⅰ）16800 33000 14400 36000 （Ⅱ）当0＜≤5时当＞5时，即； =⎩⎪⎨⎪⎧3000x （0＜x ≤5且x 为正整数），1800x ＋6000（x ＞5且x 为正整数）. （x ＞0且x 为正整数）（Ⅲ）设与的总费用的差为元.则即. 当时即解得. ∴当时选择甲乙两家电器店购买均可 531153702756545≤≤x 5.1=y 10065≤<x 730703+-=x y x 13000y x x 1300053000605y x％（）118006000y x 1y 23000802400y x x ％1y 2y y 180060002400y x x 6006000y x 0y 60060000x 10x10x∵＜0 ∴随的增大而减小 ∴当6＜x ＜10时1y ＞2y 在乙家电器店购买更合算当x ＞10时＜在甲家电器店购买更合算 600y x 1y 2y。

中考初三数学冲刺拔高专题训练含答案

中考数学冲刺拔高专题训练目录专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1)专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5)专题提升(三) 数式规律型问题 (9)专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (15)专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (22)专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (31)专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (41)专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (48)专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (54)专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (60)专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (69)专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (77)专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (83)专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (92)专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (99)专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (106)专题提升(一)数形结合与实数的运算类型之一数轴与实数【经典母题】如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．图Z1－1【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．【中考变形】1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(C)图Z1－2A.5＋1B. 5C.5－1 D．1－ 5【解析】∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E 点表示的数为5－1.2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是(D)图Z1－3A．M B．N C．P D．Q3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是(C)图Z1－4A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－bC．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a【解析】∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a. 4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为(B)图Z1－5A．0 B．1 C．2 D．3【解析】根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋x ＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1. 5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(A)图Z1－6A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间【解析】∵点P的坐标为(－2，3)，∴OP＝22＋32＝13.∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，∴OA＝OP＝13，∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.∵点A在x轴的负半轴上，∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.6．[2017·成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是．图Z1－7【中考预测】如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是(C)图Z1－8A．a＞b B．|a|＞|b|C．－a＜b D．a＋b＜0【解析】由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C.类型之二实数的混合运算【经典母题】计算：2×(3＋5)＋4－2× 5.解：2×(3＋5)＋4－2×5＝2×3＋2×5＋4－2×5＝6＋4＋2×5－2×5＝10.【中考变形】1．[2016·台州]计算： 4－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋2－1. 解：原式＝2－12＋12＝2.2．[2017·临沂]计算：|1－2|＋2cos45°－8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. 解：|1－2|＋2cos45°－8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2－1＋2×22－22＋2＝2－1＋2－22＋2＝1.3．[2017·泸州]计算：(－3)2＋2 0170－18×sin45°.解：(－3)2＋2 0170－18×sin45°＝9＋1－32×22＝10－3＝7.【中考预测】计算：12－3tan30°＋(π－4)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. 解：12－3tan30°＋(π－4)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝23－3×33＋1－2＝3－1.专题提升(二) 代数式的化简与求值类型之一整式的化简与求值【经典母题】已知x ＋y ＝3，xy ＝1，你能求出x 2＋y 2的值吗？(x －y )2呢？解：x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝32－2×1＝7；(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝32－4×1＝5.【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．完全平方公式的一些主要变形有：(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)，(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ，在四个量a ＋b ，a －b ，ab 和a 2＋b 2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．【中考变形】1．已知(m －n )2＝8，(m ＋n )2＝2，则m 2＋n 2的值为( C ) A ．10 B ．6 C ．5 D ．32．已知实数a 满足a －1a ＝3，则a 2＋1a 2的值为__11__.【解析】将a －1a ＝3两边平方，可得a 2－2＋1a 2＝9，即a 2＋1a 2＝11.3．[2017·重庆B 卷]计算：(x ＋y )2－x (2y －x )．解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2.4．[2016·漳州]先化简(a ＋1)(a －1)＋a (1－a )－a ，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a 的取值有什么关系(不必说明理由)?解：原式＝a 2－1＋a －a 2－a ＝－1.故该代数式的值与a 的取值没有关系．【中考预测】先化简，再求值：(a －b )2＋a (2b －a )，其中a ＝－12，b ＝3.解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab －a 2＝b 2.当a ＝－12，b ＝3时，原式＝32＝9.类型之二分式的化简与求值【经典母题】计算：(1)a b －b a －a 2＋b 2ab ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x －2－x x ＋2·x 2－4x . 解：(1)原式＝a 2－b 2ab －a 2＋b 2ab ＝－2b 2ab ＝－2b a ；(2)原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·x 2－4x ＝2x 2＋8x x 2－4·x 2－4x ＝2x ＋8. 【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．【中考变形】1．[2017·重庆A 卷]计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a －2÷a 2－2a ＋1a ＋2. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a 2－4a ＋2÷（a －1）2a ＋2 ＝（a ＋1）（a －1）a ＋2·a ＋2（a －1）2＝a ＋1a －12．[2017·攀枝花]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1÷x 2－1x 2＋x，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1－2x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x ＋1. 当x ＝2时，原式＝22＋1＝23. 【中考预测】先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2＝（x －2）2x －3·x －3x －2 ＝x －2.当x ＝4时，原式＝x －2＝2.类型之三二次根式的化简与求值【经典母题】已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求a 2－ab ＋b 2的值．解：∵a ＝3＋2，b ＝3－2，∴a ＋b ＝23，ab ＝1，∴a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝(23)2－3＝9.【思想方法】在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a ＋b ，a －b ，ab 当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．【中考变形】1．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C )A ．9B ．±3C ．3D ．5 2．[2016·仁寿二模]先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1.解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab ＝a －b a ＋b ·ab b －a ＝－ab a ＋b，当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－122＝－24.3．[2017·绵阳]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y x 2－2xy ＋y 2－x x 2－2xy ÷y x －2y，其中x ＝22，y ＝ 2. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y （x －y ）2－x x （x －2y ）÷y x －2y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y －1x －2y ÷y x －2y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2y ）－（x －y ）（x －y ）（x －2y ）÷y x －2y＝－y （x －y ）（x －2y ）·x －2y y ＝－1x －y. 当x ＝22，y ＝2时，原式＝－1x －y ＝－12＝－22. 【中考预测】先化简，再求值：1a ＋b ＋1b ＋b a （a ＋b ），其中a ＝5＋12，b ＝5－12. 解：原式＝ab ＋a （a ＋b ）＋b 2ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）2ab （a ＋b ）＝a ＋b ab ， ∵a ＋b ＝5＋12＋5－12＝5，ab ＝5－12×5＋12＝1，∴原式＝ 5.专题提升(三)数式规律型问题【经典母题】观察下列各式：52＝25；152＝225；252＝625；352＝1 225；…你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．【中考变形】1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2＝1；8＋7－6－5＝4；15＋14＋13－12－11－10＝9；24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；…根据以上规律可知第10行左起第1个数是(C)A．100 B．121 C．120 D．82【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)图Z3－1A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋nC．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的(D)图Z3－2【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2 017÷4＝504……1，∴2 017是第505个循环组的第2个数，∴从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是.故选D.4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走(D)图Z3－3 A．②号棒B．⑦号棒C．⑧号棒D．⑩号棒【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：图Z3－4按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为(D)A．3n B．6nC．3n＋6 D.3n＋3【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n 个图需棋子(3n ＋3)个．6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．【解析】根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1＋2＋3＋…＋n ，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n ＝2 016，得n （n ＋1）2＝2 016，解得n ＝63(负数舍去)． 7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1，第2位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1，第3位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1，…这样得到的100个数的积为__101__.【解析】 ∵第1位同学报的数为11＋1＝21，第2位同学报的数为12＋1＝32，第3位同学报的数为13＋1＝43，…∴第100位同学报的数为1100＋1＝101100，∴这样得到的100个数的积＝21×32×43×…×101100＝101.8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n ＋3__．图Z3－5【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n ＋3.9．观察下列等式：第一个等式：a 1＝11＋2＝2－1；第二个等式：a 2＝12＋3＝3－2；第三个等式：a 3＝13＋2＝2－3；第四个等式：a 4＝12＋5＝5－2； …按上述规律，回答以下问题：(1)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝ 1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝【解析】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有__4n ＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示)．图Z3－6【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n －1)＝4n ＋1(个)．11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n 个图案中有__5n ＋1__根小棒．图Z3－7【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒，…∴第n 个图案中有6＋5(n －1)＝5n ＋1根小棒．12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．由图易得12＋122＋123＋…＋12n ＝__1－12n __.图Z3－813．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：图Z3－9【解析】1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.(2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：图Z3－101＋3＋5＋…＋(2n－1)＋__2n＋1__＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．【解析】观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1.【中考预测】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？图Z3－11解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4×4＋2＝18(人)；把8张餐桌拼起来能坐4×8＋2＝34(人)；(2)设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90，解得x＝22.答：这样的餐桌需要22张．专题提升(四) 整式方程(组)的应用类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t ，还剩下8 t 未装；若每辆车装4.5 t ，恰好装完．这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x 辆车，依题意，得4x ＋8＝4.5x ，解得x ＝16.答：这个车队有16辆车．【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．【中考变形】1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是( C )A ．25台B ．50台C ．75台D ．100台【解析】设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是(100－x )台，根据题意可得x ＝3(100－x )，解得x ＝75.2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭⎪⎫36－3x 2＝45，解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．【中考预测】[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x ＋5×3x ＝30，解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．类型之二二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4－2解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．根据题意，得⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝400. 答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．【思想方法】利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．【中考变形】1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．①②图Z4－3解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3＋1.4，解得⎩⎨⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得⎩⎨⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩⎨⎧x ＝120，y ＝80. 答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【中考预测】随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p ，q 的值；(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.由题意得⎩⎨⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝12； (2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．类型之三一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？解：(1)100－3 600－3 00050＝88(辆)．答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600，解得x 1＝900，x 2＝1 200，∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．【中考变形】1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3.答：此批次蛋糕属第3档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1 080，解得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2．[2017·重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.(2)由题意，得3 000×(1－m%)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.【中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.解得a＝3或a＝7，为了使顾客得到实惠，∴a＝3.答：每千克应涨价3元．专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用类型之一一次函数的图象的应用【经典母题】如图Z5－1，由图象得⎩⎨⎧5x －2y ＋4＝0，3x ＋2y ＋12＝0的解是 ⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－3．图Z5－1【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标；(2)一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数形结合的思想．【中考变形】1．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便．五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h 后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y (km)与乘车时间t (h)的关系如图Z5－2所示．请结合图象解决下列问题：图Z5－2(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？(3)若乐乐要提前18 min 到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？解：(1)v ＝2402－1＝240(km/h)，答：高铁的平均速度为240 km/h ；(2)设乐乐离开衢州的距离y 与时间t 的函数关系为y ＝kt ，则1.5k ＝120，k ＝80，∴函数表达式为y ＝80t ，当t ＝2时，y ＝160，216－160＝56(km)．答：乐乐距离游乐园还有56 km ；(3)把y＝216代入y＝80t，得t＝2.7，2．7－1860＝2.4(h)，2162.4＝90(km/h)．答：乐乐要提前18 min到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h. 2．[2017·宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2 min，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1 min到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5－3所示．图Z5－3(1)求点A的纵坐标m的值；(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．解：(1)校车的速度为3÷4＝0.75(km/min)，点A的纵坐标m的值为3＋0.75×(8－6)＝4.5.答：点A的纵坐标m的值为4.5；(2)校车到达学校站点所需时间为9÷0.75＋4＝16(min)，出租车到达学校站点所需时间为16－9－1＝6(min)，出租车的速度为9÷6＝1.5(km/min)，两车相遇时出租车出发时间为0.75×(9－4)÷(1.5－0.75)＝5(min)，相遇地点离学校站点的路程为9－1.5×5＝1.5(km)．答：小刚乘坐出租车出发后经过5 min追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5 km.3．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图Z5－4①所示．方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发1 h；甲出发0.5 h 与乙相遇…请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；(2)当20＜y ＜30时，求t 的取值范围；(3)分别求出甲，乙行驶的路程s 甲，s 乙与时间t 的函数表达式，并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一公路匀速前往M 地，若丙经过43 h 与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？图Z5－4解：(1)设直线BC 的函数表达式为y ＝kt ＋b ，把⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫73，1003分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝32k ＋b ，1003＝73k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝40，b ＝－60， ∴直线BC 的表达式为y ＝40t －60.设直线CD 的函数表达式为y 1＝k 1t ＋b 1，把⎝ ⎛⎭⎪⎫73，1003，(4，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧1003＝73k 1＋b 1，0＝4k 1＋b 1，解得⎩⎨⎧k 1＝－20，b 1＝80，∴直线CD 的函数表达式为y 1＝－20t ＋80； (2)设甲的速度为a km/h ，乙的速度为b km/h ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＝1.5b ，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫73－1＝73b ＋1003，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝20， ∴甲的速度为60 km/h ，乙的速度为20 km/h ，∴OA 的函数表达式为y ＝20t (0≤t ≤1)，∴点A 的纵坐标为20，OA 段，AB 段没有符合条件的t 值；当20＜y ＜30时，即20＜40t －60＜30或20＜－20t ＋80＜30，解得2＜t ＜94或52＜t＜3；(3)根据题意，得s 甲＝60t －60⎝ ⎛⎭⎪⎫1≤t ≤73，s 乙＝20t (0≤t ≤4)，所画图象如答图所示；中考变形3答图(4)当t ＝43时，s 乙＝803，此时丙距M 地的路程s 丙与时间t 的函数表达式为s 丙＝－40t ＋80(0≤t ≤2)，当－40t ＋80＝60t －60时，解得t ＝75，答：丙出发75 h 与甲相遇．【中考预测】[2017·义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y (件)与时间x (h)的函数图象如图Z5－5所示．图Z5－5(1)直接写出甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式__y ＝60x (0＜x ≤6)__；(2)求乙组加工零件总量a 的值；(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？解：(1)∵图象经过原点及(6，360)，∴设表达式为y ＝kx ，∴6k ＝360，解得k ＝60，∴y ＝60x (0＜x ≤6)；(2)乙2 h 加工100件，∴乙的加工速度是每小时50件，∴更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件，a ＝100＋100×(4.8－2.8)＝300；(3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y 与时间x 的函数关系式为y ＝100＋100(x －2.8)＝100x －180，当0＜x ≤2时，60x ＋50x ＝300，解得x ＝3011(不合题意，舍去)；当2＜x ≤2.8时，100＋60x ＝300，解得x＝103(不合题意，舍去)；当2.8＜x≤4.8时，60x＋100x－180＝300，解得x＝3，符合题意．答：经过3 h恰好装满第1箱．类型之二一次函数的性质的应用【经典母题】某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1 500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式；(2)在同一直角坐标系中画出它们的图象；(3)根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3 000元用于印刷上述宣传材料，找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？解：(1)甲厂的收费函数表达式为y甲＝x＋1 500，乙厂的收费函数表达式为y乙＝2.5x；(2)图略；(3)当x＝800时，y甲＝x＋1 500＝800＋1 500＝2 300(元)，y乙＝2.5x＝2.5×800＝2 000(元)；当y＝3 000时，y甲＝x＋1 500＝3 000，解得x＝1 500，y乙＝2.5x＝3 000，解得x＝1 200，答：印制800份材料时，选择乙厂合算；花费3 000元时，甲厂印制的宣传材料多一些．【思想方法】解此类一次函数在实际生活中的应用的问题，需综合运用方程等知识，体现了数形结合思想．【中考变形】1．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：。

人教版九年级中考数学冲刺试卷(含答案)

2020-2021学年人教新版中考数学冲刺试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．的倒数的绝对值是（）A．1B．﹣2C．±2D．22．下列运算正确的是（）A．a+a＝a2B．（ab）2＝ab2C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a5 3．物美超市试销一批新款衬衫，一周内销售情况如下表所示，超市经理想要了解哪种型号最畅销，那么他最关注的统计量应该是（）型号（厘米）383940414243数量（件）132********A．平均数B．众数C．中位数D．方差4．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝0 5．从正面、左面、上面观察一个由小正方体构成的几何体依次得到以下的形状图，那么构成这个几何体的小正方体有（）A．4个B．5个C．6个D．7个6．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝9317．小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，并作了如下的思考：请你说明小华得到两个三角形全等的根据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，﹣2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（）A．2B．3C．4D．59．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC沿BD折叠，使点C落在AB边上的点E处，过点E作EH∥AD，交BD于点H，过点H作HF⊥AB于点F，则＝（）A．B．C．D．10．如图，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）11．数据0.000000407用科学记数法表示为．12．一个袋中有3个白球和2个红球，它们除颜色不同外都相同．任意摸出一个球后放回，再任意摸出一球，则两次都摸到红球的概率为．13．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是．14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．15．若关于x的不等式组．只有4个整数解，则a的取值范围是．16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A．若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点A n的横坐标为a n，若a1＝2，则a2021＝．三．解答题（共9小题，满分69分）18．计算：+（）﹣1﹣|﹣5|+sin45°．19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．20．在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红球的概率；（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．21．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．（≈1.732）22．某校想了解学生疫情期间每天宅家学习时间情况，随机抽查了部分学生，对学生每天的学习时间x（单位：h）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）求扇形统计图中m的值和“E“组对应的圆心角度数；（3）请估计该校600名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．23．（8分）2020年5月，全国两会召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，雅苑社区拟建A，B两类摊位以激活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为50元，建B类摊位每平方米的费用为40元，用120平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的4倍，求建造这100个摊位的最大费用．24．如图，▱A BCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD 长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点．（1）求证：四边形ABEO为菱形；（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长．25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．26．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：∵﹣的倒数是﹣2，∴|﹣2|＝2，则﹣的倒数的绝对值是2．故选：D．2．解：A、a+a＝2a，故本选项不合题意；B、（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；C、a2•a3＝a5，故本选项符合题意；D、（a2）3＝a6，故本选项不合题意．故选：C．3．解：要了解哪种型号最畅销，那么就看哪种型号买的最多，因此关注众数，故选：B．4．解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴该方程没有实数根；B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相同的实数根；D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴该方程有两个相等的实数根．故选：A．5．解：由从上面看到的图形易得最底层有4个正方体，第二层有1个正方体，那么共有4+1＝5（个）正方体．故选：B．6．解：由题意，得n2+n+1＝931，故选：C．7．解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，在△OCD≌△O′C′D′中，,∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠DOC＝∠D′O′C′（全等三角形的对应角相等），∴判定△OCD≌△O′C′D′的依据是“SSS”定理，故选：A．8．解：∵点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，∴联立方程得：，解得：或，∵点B在第一象限，∴B（2，2），∵点C的坐标为（6，﹣2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（2，2），C（6，﹣2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，∵直线BC交x轴于点D，∴令y＝0，即﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴点D横坐标是4，故选：C．9．解：∵EH∥AD，∴∠HEF＝∠A，∵HF⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠HFE＝90°，∴△EHF∽△ABC，∴＝，∴＝，∵AB＝5，BC＝4，∴＝，故选：B．10．解：如图，当点P在AD边上运动时，△PBC的面积保持不变，当点P在BD边上运动时，过点P作PE⊥BC于点E，所以S＝•PE△PBC因为BC的长不变，PE的长随着时间x增大而减小，所以y的值随x的增大而减小．所以符合条件的图象为A．故选：A．二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）11．解：0.000000407＝4.07×10﹣7．故答案为：4.07×10﹣7．12．解：画树状图如图：共有25个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，∴两次都摸到红球的概率为，故答案为：．13．解：∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝α，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，∴∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∴∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．故答案为：180°﹣3α．14．解：设共有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程组为，故答案为：．15．解：，解①得x＜2，解②得1x＞2﹣3a，所以不等式组的解集为2﹣3a＜x＜21，因为不等式组只有4个整数解，所以16≤2﹣3a＜17，所以﹣5＜a≤﹣．故答案为：﹣5＜a≤﹣．16．解：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BCM＝2∠A，∴∠BOC＝∠BCM＝60°，∴∠AOC＝120°，在Rt△BCO中，OC＝OA＝4，∠BCO＝30°，∴BO＝OC＝2，BC＝2，∴S阴＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣＝，故答案为．17．解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═﹣，A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，…由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，∵2021÷3＝673…2，∴a2021＝a2＝﹣，故答案为：﹣．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：原式＝﹣2+2﹣5+×＝﹣2+2﹣5+1＝﹣4．19．解：原式＝•＝＝＝，当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，当a＝﹣2时，原式＝﹣．20．解：（1）画树状图如下：共有16个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，∴两次都摸到红球的概率为＝；（2）画树状图如下：共有12个等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2个，∴“一次同时摸出两个红球”的概率为＝．21．解：有触礁危险．理由：过点P作PD⊥AC于D，由题意知∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝12海里，设PD＝x海里，在Rt△PBD中，∵∠BPD＝90°﹣45°＝45°，∴∠PBD＝∠BPD，∴BD＝PD＝x，在Rt△PAD中，∵tan∠PAD＝＝，∴AD＝x，∵AD＝AB+BD，∴x＝12+x，∴x＝＝6（+1）≈16.392，∵PD≈16.392海里＜18海里，∴有触礁危险，答：如果渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．22．解：（1）10÷10%＝100（人），100×25%＝25（人），补全频率分布直方图如图所示：（2）40÷100×100%＝40%，因此m＝40，360°×＝14.4°，答：m的值为40，“E“组对应的圆心角度数为14.4°；（3）600×＝174（人），答：该校600名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数约为174人．23．解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，依题意得：＝×，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝4+2＝6．答：每个A类摊位占地面积为6平方米，每个B类摊位的占地面积为4平方米．（2）设建A类摊位a个，建造这100个摊位的费用为y元，则建B类摊位（100﹣a）个，依题意得：y＝6a×50+4×40（100﹣a）＝140a+16000，∵140＞0，∴y随a的增大而增大．∵100﹣a≥4a，解得：a≤20，∴当a取20时，费用最大，最大费用为140×20+16000＝18800（元）．答：建造这100个摊位的最大费用是18800元．24．解：（1）证明：∵G为的中点，∴∠MOG＝∠MDN．∵四边形ABCD是平行四边形．∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，∴∠MOG+∠A＝180°，∴AB∥OE，∴四边形ABEO是平行四边形．∵BO平分∠ABE，∴∠ABO＝∠OBE，又∵∠OBE＝∠AOB，∴∠ABO＝∠AOB，∴AB＝AO，∴四边形ABEO为菱形；（2）如图，过点O作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，过点O作OQ⊥BC于点Q，设AE交OB于点F，则∠PAO＝∠ABC，设AB＝AO＝OE＝x，则∵cos∠ABC＝，∴cos∠PAO＝，∴＝，∴PA＝x，∴OP＝OQ＝x当AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，∴在Rt△OBQ中，由勾股定理得：+＝82，解得：x＝2（舍负）．∴AB的长为2．25．解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，Rt△A'BC中，A'C＝＝4，∴AA'＝AC+A'C＝8；（2）过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，∴∠A'BC＝∠ABC，BC'＝BC＝3，∵CE∥A'B，∴∠A'BC＝∠CEB，∴∠CEB＝∠ABC，∴CE＝BC＝3，Rt△ABC中，S＝AC•BC＝AB•CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5，△ABC∴CD＝＝，Rt△CED中，DE＝＝＝，同理BD＝，∴BE＝DE+BD＝，C'E＝BC'+BE＝3+＝，∵CE∥A'B，∴＝，∴＝，∴BM＝；（3）DE存在最小值1，理由如下：过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，∴∠BCC'＝∠BC'C，而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，∴∠ACP＝∠A'C'D，∵AP∥A'C'，∴∠P＝∠A'C'D，∴∠P＝∠ACP，∴AP＝AC，∴AP＝A'C'，在△APD和△A'C'D中，，∴△APD≌△A'C'D（AAS），∴AD＝A'D，即D是AA'中点，∵点E为AC的中点，∴DE是△AA'C的中位线，∴DE＝A'C，要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC ＝2，∴DE最小为A'C＝1．26．解：（1）在直线y＝﹣2x+4中，令x＝0时，y＝4，∴点B坐标（0，4），令y＝0时，得：﹣2x+4＝0，解得：x＝2，∴点A（2，0），∵抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），将E（5，3）代入，得：3＝a（5﹣2）（5﹣6），解得：a＝﹣1，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x﹣6）＝﹣x2+8x﹣12；（2）①∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，∴顶点D（4，4），∵点B坐标（0，4），∴BD∥OC，BD＝4，∵y＝﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A，点C，∴点C（6，0），点A（2，0），∴AC＝4，∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0），∴AD＝CD＝2，∴∠DAC＝∠DCA，∵BD∥AC，∴∠DPH＝∠PQA，且∠DPH＝∠DAC，∴∠PQA＝∠DAC，∴PQ∥DC，且BD∥AC，∴四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝QC，∴4﹣2t＝3t，∴t＝；②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时t＝1﹣．如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1，∵BD∥OC，∴∠DBA＝∠OAB，∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4），∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4，∴∠ABD＝∠ADB，∴tan∠OAB＝＝＝tan∠DBA＝，∴PN＝2BP＝4t，∴MH＝PN＝4t，∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2，∴MD＝2t，∴DH＝＝2t，∴AH＝AD﹣DH＝2﹣2t，∵BD∥OC，∴＝，∴＝，∴5t2﹣10t+4＝0，∴t1＝1+（舍去），t2＝1﹣；若点N在AD上，即1＜t≤，∵PN＝MH，∴点E、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1﹣．。

初三数学升中考最后冲刺应用题训练(含答案)

初三数学升中考最后冲刺应用题训练(含答案)应用题训练1.(2022山西省太原市)某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w（万元）满足：1150＜w＜1200，相关数据如下表．为此，公司应怎样设计这两种产品的生产方案．产品名称每件产品的产值（万元）甲45乙752.(2022新疆乌鲁木齐)有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？3.(2022福建省福州市)郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？（2）郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案？4.(2022云南省楚雄州市)今年四月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨；一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨．（1）李大叔安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，请帮李大叔算一算应选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少元？5.(2022广东省茂名市)已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（3分）（2）假设向纸箱中再放进红色球某个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为0.5，试求某的值．（4分）6.(2022山东省济南市)如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．16米AD草坪BC7.(2022河南省)为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和∶2，单价和为80元．排球的单价比为3（1）篮球和排球的单价分别是多少元？（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？8.(2022山东省莱芜市)为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？9.(2022江苏省南京市)某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低某元．（1）填表（不需化简）：（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那时间第一个月第二个月清仓时么第二个月的单价应是多少元？单价（元）8040销售量（件）20010.(2022山东省临沂市)为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2022年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2022年投资18.59万元.（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；（2）从2022年到2022年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？11.(2022山东省青岛市)某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．12.(2022山东省泰安市)某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元．（1）求该种纪念品4月份的销售价格；（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？13.(2022山东省威海市)某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．14.(2022广西贺州市)“玉树”地震后，某工厂一号车间接到紧急任务，急需为地震灾区生产15000顶帐篷，如果按照一号车间现有的人数和每个工人的生产速度（每个工人的生产速度一样），15天才能完成任务．生产两天后，由于情况紧急，厂领导决定从二号车间调来60名工人一起加入生产，调整后每个工人的生产工作效率都提高了40%．结果提前8天完成任务．求原来一号车间有多少名工人？15.(2022江苏省宿迁市)某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．（1）求甲、乙两和种花木每株成本分别为多少元；（2）据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？16.(2022广西梧州市)2022年的世界杯足球赛在南非举行.为了满足球迷的需要，某体育服装店老板计划到服装批发市场选购A、B两种品牌的服装.据市场调查得知，销售一件A品牌服装可获利润25元，销售一件B品牌服装可获利润32元.根据市场需要，该店老板购进A种品牌服装的数量比购进B种品牌服装的数量的2倍还多4件，且A种品牌服装最多可购进48件.若服装全部售出后，老板可获得的利润不少于1740元.请你分析这位老板可能有哪些选购方案？17.(2022广西桂林市)某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元.（1）该校初三年级共有多少人参加春游？（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．．．．18.(2022浙江省绍兴市)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？19.(2022湖北省咸宁市)随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2022年为5万只，预计2022年将达到7.2万只．求该商场2022年到2022年高效节能灯年销售量的平均增长率．20.(2022湖北省襄樊市)如图，是上海世博园内一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草.已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？第1题答案.解：设计划生产甲产品某件，则生产乙产品20某件，根据题意，得解得10某45某7520某1150，45某7520某1200．35．3此时，20某9（件）．某为整数，∴某11．答：公司应安排生产甲产品11件，乙产品9件．第2题答案.解：（1）在甲公司购买6台图形计算器需要用6(800206)4080（元）；在乙公司购买需要用．应去乙公司购买；75%80063600（元）4080（元）（2）设该单位买某台，若在甲公司购买则需要花费某(80020某)元；若在乙公司购买则需要花费75%800某600某元；①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，则有某(80020某)7500，解之得某15，某25．当某15时，每台单价为8002015500440，符合题意，当某25时，每台单价为8002025300440，不符合题意，舍去．②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，则有600某7500，解之得某12.5，不符合题意，舍去．故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．第3题答案.（1）解：设每个书包的价格为某元，则每本词典的价格为(某8)元.根据题意得：3某2(某8)124解得：某280∴某82．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．（2）解：设购买书包y个，则购买词典(40y)本.根据题意得:100028y20(40y)≥100，100028y20(40y)≤120.解得10≤y≤12.5．因为y取整数，所以y的值为10或11或12．所以有三种购买方案分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．第4题答案.解：（1）设李大叔安排某辆甲种货车，乙种货车有（10－某）辆，则有4某2(10某)30某2(10某)13解之得：5≤某≤7因为某应取正整数.所以某取5，6，7方案如下：①安排5辆甲种货车，5辆乙种货车；②安排6辆甲种货车，4辆乙种货车；③安排7辆甲种货车，3辆乙种货车．（2）方案①：5某2000+5某1300=16500（元）方案②：6某2000+4某1300=17200（元）方案③：7某2000+3某1300=17900（元）所以，李大叔应选择方案①才能使运费最少，最少运费是16500元．第5题答案.解：(1)由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100(10.20.3)50（个）(2)方法一：根据题意得：20某0.5，100某解得：某60．检验某60，100某0，∴某60为原方程的解．答略．方法二：由已知得红色球20个、黄色球30个，蓝色球50个，为使任意取出一个球是红色球的概率为0.5，所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得：某+20=30+50，解得：某60．答略．第6题答案.解：设BC边的长为某米，根据题意得某32某120，2解得：某112，某220，∵20＞16，∴某220不合题意，舍去，答：该矩形草坪BC边的长为12米.第7题答案.（1）设篮球的单价为某元，则排球的单价为8分2某元．依题意得3某2某80．32某32.3解得某48．即篮球和排球的单价分别是48元、32元．（2）设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为(36n)个．n25，（36n）≤1600．48n32解得25n≤28．9，8．所以共有三种购买方案．而n为整数，所以其取值为26，27，28，对应的36n的值为10，方案一：购买篮球26个，排球10个；方案二：购买篮球27个，排球9个；方案三：购买篮球28个，排球8个．第8题答案.解：（1）设组建中型图书角某个，则组建小型图书角为（30-某）个．由题意得（30某）190080某30（30某）162050某60解这个不等式组得18≤某≤20．由于某只能取整数，∴某的取值是18，19，20．当某=18时，30-某=12；当某=19时，30-某=11；当某=20时，30-某=10．故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．（2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，最低费用是860某18+570某12=22320（元）．方法二：①方案一的费用是：860某18+570某12=22320（元）；②方案二的费用是：860某19+570某11=22610（元）；③方案三的费用是：860某20+570某10=22900（元）．故方案一费用最低，最低费用是22320元．第9题答案.解：（1）80－某200＋10某800－200－(200＋10某)（2）根据题意，得80某200＋(80－某)(200＋10某)＋40[800－200－(200＋10某)]－50某800＝9000．整理，得某2－20某＋100＝0．解这个方程，得某1＝某2＝10．当某＝10时，80－某＝70＞50．答：第二个月的单价应是70元．第10题答案.解：（1）设该校为新增电脑投资的年平均增长率为某根据题意，得一元二次方程111某18.59.解这个方程，得某10.3,某22.3（不合题意，舍去）.答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为30%.（2）111110.318.5943.89（万元）.答：从2022年到2022年，该中学三年为新增电脑共投资43.89万元.第11题答案.解：（1）设单独租用35座客车需某辆，由题意得：35某55(某1)45,解得：某5.∴35某355175（人）.答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4y）辆，由题意得：35y55(4y)≥175，320y400(4y)≤1500211解这个不等式组，得1≤y≤2．44∵y取正整数，∴y=2.∴4－y=4－2=2.∴320某2＋400某2=1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．第12题答案.解：（1）设该种纪念品4月份的销售价格为某元，根据题意得2000200070020某0.9某解之得某50．经检验某50是所得方程的解．∴该种纪念品4月份的销售价格是50元．（2）由（1）知4月份销售件数为∴4月份每件盈利200040件，5080020元．405月份销售件数为402060件，且每件售价为500.945，每件比4月份少盈利5元，为15元，所以5月份销售这种纪念品获利6015900元．第13题答案.解：设该市去年居民用气的价格为某元/m3，则今年的价格为(1+25%)某元/m3．969010．根据题意，得某(125%)某解这个方程，得某＝2.4．经检验，某＝2.4是所列方程的根．2.4某(1+25%)＝3(元)．所以，该市今年居民用气的价格为3元/m3．第14题答案.解：设原来一号车间有某名工人，依题意得：1500021500015(140%)15某(1528)(某60)15000化简得150001.41300015某5(某60)解之得：某=70经检验：某=70是原方程的根．答：原来一号车间有70名工人．(注：用其它方法解答正确的均给予相应的分值．)第15题答案.（1）解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为某元和y元．由题意得：2某3y17003某y1500某400解得：y300（2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株．则有：解得：400a300(3a10)30000(760400)a(540300)(3a10)21600160270a913由于a为整数，∴a可取18或19或20，所以有三种具体方案：①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株；②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株；③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株.第16题答案.解:设选购B种服装某件，则选购A种服装为（2某+4）件，由题意得25(2某4)32某17402某448某22某20解之得∴20≤某≤22∵某为正整数∴某1＝20，某2＝21，某3＝22.∴当某1＝20时，2某4＝2某20+4＝44，当某2＝21时，2某4＝2某21+4＝46，当某3＝22时，2某4＝2某22+4＝48.∴老板有三种选购方案：购进B种品牌服装20件，购进A种品牌服装44件；购进B种品牌服装21件，购进A种品牌服装46件；购进B种品牌服装22件，购进A种品牌服装48件…10分第17题答案.解：(1)设租36座的车某辆.据题意得:36某42(某1)36某42(某2)30解得:某7某9由题意某应取8则春游人数为:368=288(人).(2)方案①：租36座车8辆的费用:8400=3200元,方案②：租42座车7辆的费用:74403080元方案③：因为426361288，租42座车6辆和36座车1辆的总费用:644014003040元所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱.（说明：只要给出方案③就可得满分2分）第18题答案.解：（1）∵30000÷5000＝6,∴能租出24间.（2）设每间商铺的年租金增加某万元,则（30－某某某）某（10＋某）－（30－）某1－某0.5＝275，0.50.50.52某2－11某＋5＝0，∴某＝5或0.5，∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.第19题答案.解：设年销售量的平均增长率为某，依题意得：5(1某)27.2．解这个方程，得某10.2，某22.2．因为某为正数，所以某0.220%．答：该商场2022年到2022年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%．第20题答案.解：设正方形观光休息亭的边长为某米.依题意，有(1002某)(502某)3600.整理，得某75某3500.解得某15，某270.2某7050，不合题意，舍去，某5.答：矩形花园各角处的正方形观点休息亭的边长为5米.7分∴老板有三种选购方案：购进B种品牌服装20件，购进A种品牌服装44件；购进B种品牌服装21件，购进A种品牌服装46件；购进B种品牌服装22件，购进A种品牌服装48件…10分第17题答案.解：(1)设租36座的车某辆.据题意得:36某42(某1)36某42(某2)30解得:某7某9由题意某应取8则春游人数为:368=288(人).(2)方案①：租36座车8辆的费用:8400=3200元,方案②：租42座车7辆的费用:74403080元方案③：因为426361288，租42座车6辆和36座车1辆的总费用:644014003040元所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱.（说明：只要给出方案③就可得满分2分）第18题答案.解：（1）∵30000÷5000＝6,∴能租出24间.（2）设每间商铺的年租金增加某万元,则（30－某某某）某（10＋某）－（30－）某1－某0.5＝275，0.50.50.52某2－11某＋5＝0，∴某＝5或0.5，∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.第19题答案.解：设年销售量的平均增长率为某，依题意得：5(1某)27.2．解这个方程，得某10.2，某22.2．因为某为正数，所以某0.220%．答：该商场2022年到2022年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%．第20题答案.解：设正方形观光休息亭的边长为某米.依题意，有(1002某)(502某)3600.整理，得某75某3500.解得某15，某270.2某7050，不合题意，舍去，某5.答：矩形花园各角处的正方形观点休息亭的边长为5米.7分。

中考初三数学冲刺拔高专题训练(含答案)

2021-2022学年人教版九年级数学冲刺试卷含答案

2021-2022学年人教新版中考数学冲刺试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．的相反数是（）A．3B．C．﹣3D．2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．b3•b3＝2b3B．x16÷x4＝x4C．2a2+3a2＝6a4D．（a5）2＝a104．某班期末进行定点投篮测试，规定每人投5次，下面是该班30名男同学的投篮统计：进球数（个）012345人数（人）587442则下列有关测试成绩的结论正确的是（）A．平均数是2B．中位数是3C．众数是8D．以上都不对5．不等式4x＜3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°．若BC＝，则的长为（）A ．πB ．πC ．2πD ．2π7．某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务 8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（）①AE ⊥BF ；②S △BCF ＝5S △BGE ；③QB ＝QF ； ④tan ∠BQP ＝．A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV ），2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现新型冠状病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示为． 10．在实数范围内分解因式：2x ﹣6＝．11．如图，点D 在△ABC 的BC 边上，且CD ＝2BD ，点E 是AC 边的中点，连接AD ，DE ，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．12．如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A、B，小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D②分别以C，D为圆心，以大于，CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F，若∠ABP＝70°，则∠AFB＝．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．14．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB的值为．15．已知关于x的一次函数y＝kx+2k﹣7，当﹣1≤x≤3时函数图象与x轴有交点，则k的取值范围是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t ＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x是不等式组的整数解．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O 作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．四．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）19．某校为了解七年级学生体育测试情况，在七年级各班随机抽取了部分学生的体育测试成绩，按A、B、C、D四个等级进行统计（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）．并将统计结果绘制成两个如图所示的不完整的统计图，请你结合统计图中所给信息解答下列问题：（1）学校在七年级各班共随机调查了名学生；（2）在扇形统计图中，A级所在的扇形圆心角是；（3）请把条形统计图补充完整；（4）若该校七年级有800名学生，请根据统计结果估计全校七年级体育测试中B级和C 级学生各约有多少名．20．小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至3/层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率．（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？并说明理由．3层2层1层车库21．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，直线BC⊥x轴，垂足为D，连接OB，OC．（1）若OB＝4、∠BOD＝60°，求k的值；（2）若tan∠ABC＝2，求直线OC的解析式．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE＝6，求的值．24．龙华区某学校组织400名师生春游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表．甲种客车乙种客车载客量（座/辆）7045租金（元/辆）600480（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；（不要求写出x的取值范围）（2）如何租车能保证所有的师生可以参加春游且租车费用最少，最少费用是多少元？六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）25．（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC ＝90°，求证：∠ADB＝45°；（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，①∠ADB的度数；②DA，DB，DC之间的关系．七．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）26．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．（1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有；（2）如图1，“完美四边形”A BCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC 为直径，AP＝1，PC＝5，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD的四个顶点A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，直线BD的解析式为y ＝x，且四边形ABCD的面积为15，若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：依据只有符号不同的两个数互为相反数得：的相反数是．故选：D．2．解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：A．3．解：A、b3•b3＝b6，故本选项不合题意；B、x16÷x4＝x12，故本选项不合题意；C、2a2+3a2＝5a2，故本选项不合题意；D、（a5）2＝a10，故本选项符合题意；故选：D．4．解：由表知，平均数为×（0×5+1×8+2×7+3×4+4×4+5×2）＝，故A选项错误；中位数为＝2，故B选项错误；众数为1，故C选项错误；故选：D．5．解：4x＜3x+1，移项得：4x﹣3x＜1，合并同类项得：x＜1，在数轴上表示为：故选：C．6．解：连接OB、OC，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝2，∴OB＝OC＝2，∴的长为＝π，故选：A．7．解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，∵所列分式方程为﹣＝30，∴为实际工作时间，为原计划工作时间，∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．故选：C．8．解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故①正确；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S△BCF ＝5S△BGE，故②正确．根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故③正确；∵QF＝QB，PF＝1，则PB＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+4，∴x＝，∴QB＝，PQ＝＝＝，∴tan∠BQP＝＝，故④错误；故选：C．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．解：数据0.000000125用科学记数法表示为1.25×10﹣7．故答案为：1.25×10﹣7．10．解：2x﹣6＝2（x﹣3）．故答案为：2（x﹣3）．11．解：设阴影部分的面积是x，∵点E是AC边的中点，＝2x，∴S△ACD∵CD＝2BD，∴S＝3x，△ACD则这个点取在阴影部分的概率是＝．故答案为：．12．解：∵MN∥PQ，∴∠NAF＝∠BFA，由题意得：AF平分∠NAB，∴∠NAF＝∠BAF，∴∠BFA＝∠BAF，∵∠ABP＝∠BFA+∠BAF，∴∠ABP＝2∠BFA＝70°，∴∠AFB＝70°÷2＝35°，故答案为：35°．13．解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4．故答案为4．14．解：∵DE＝CE∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，∵∠B＝60°，∴△ABC及△DCE是等边三角形，∵D为BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AE：AB＝1：2．故答案为：1：2．15．解：当x＝﹣1时，y＝﹣k+2k﹣7＝k﹣7；当x＝3时，y＝3k+2k﹣7＝5k﹣7．当k＞0时，，解得：≤k≤7；当k＜0时，，不等式组无解，舍去．∴k的取值范围是≤k≤7．故答案为：≤k≤7．16．解：如图，连接AP，∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴AP＝BC＝AB＝t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上，∵A（0，1），D（3，3），∴AD＝＝，∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝﹣1，故答案为﹣1．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．解：（﹣1）÷＝[]＝（）＝﹣＝﹣，由得，﹣1≤x＜2.5，∵x是不等式组的整数解，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝2，当x＝2时，原式＝﹣＝﹣2．18．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∵EF⊥BD，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，∴100°+x+2x+2x＝180°，解得：x＝16°，即∠ABE＝16°．四．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）19．解：（1）学校在七年级各班共随机调查了23÷46%＝50名学生，故答案为：50；（2）360°×（1﹣46%﹣24%﹣10%）＝360°×20%＝72°，即在扇形统计图中，A级所在的扇形圆心角是72°，故答案为：72°；（3）A等级的学生有：50×（1﹣46%﹣24%﹣10%）＝50×20%＝10（人），补充完整的条形统计图如右图所示；（4）B级学生有：800×46%＝368（名），C级学生有：800×24%＝192（名），即估计全校七年级体育测试中B级和C级学生各约有368名、192名．20．解：（1）根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中甲、乙二人在同一层楼出电梯的有3种，则甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率是＝．（2）∵两人在相邻楼层出电梯的概率是，∴小亮获胜的概率为，∴小芳获胜的概率为，∵＞，∴该游戏不公平．21．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则CD＝BC＝60海里，∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，即＝，∴AC＝40（海里），答：此时点A到军港C的距离为40海里；（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，∵A'E∥CD，∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，∴∠BA′A＝45°，∵∠BA'E＝75°，∴∠ABA'＝15°，∴∠2＝15°＝∠ABA'，即A′B平分∠CBA，∴A'E＝A'N，设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，∴A'C＝2A'N＝x，∵A'C+AA'＝AC，∴x+x＝40，解得：x＝60﹣20，∴AA'＝（60﹣20）海里，答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．22．解：（1）在Rt△BOD中，BD＝OB sin∠BOD＝4×＝2，OD＝OB＝2，故点B的坐标为（﹣2，2），将点B的坐标代入函数表达式得：2＝，解得k＝﹣4；（2）∵tan∠ABC＝2，故设AC＝2t，则BC＝t，设点B的坐标为（m，n），则点A的坐标为（m﹣2t，n﹣t）、点C（m，n﹣t），将点A、B的坐标代入函数表达式得：（m﹣2t）（n﹣t）＝mn，解得t＝m+n，则点C的坐标为（m，﹣m），设直线OC的表达式为y＝rx，将点C的坐标代入上式并解得：﹣m＝rm，解得r＝﹣，故直线OC的表达式为y＝﹣x．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．证明：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，AD，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE＝6，∴AB＝3AE＝6，AE＝2，∴CE＝4AE＝8，∴BE＝，∴．24．解：（1）由题意，得y＝600x+480（7﹣x），化简，得y＝120x+3360，即y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y＝120x+3360；（2）由题意，得70x+45（7﹣x）≥400，解得，x≥．∵y＝120x+3360，x为整数，∴x＝4时，租车费用最少，最少为：y＝120×4+3360＝3840（元），即租甲种客车4辆，乙种客车3辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3840元．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）25．（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ACD+∠CFD＝90°，∴∠BDC＝90°；（2）如图2，过A作AE⊥AD交BD于E，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°；（3）①如图3，在形内作∠DAE＝60°，AE交BD于E点，与（2）同理△ABE≌△ACD，∴AE＝DA，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°；②∵BE＝DC，∴DB＝BE+DE＝DA+DC．七．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）26．解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直，∴菱形、正方形不是“完美四边形”．故答案为：菱形、正方形；（2）过点O作OH⊥BD于点H，连接OD，如图1：∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝BD，∵AP＝1，PC＝5，∴⊙O直径AC＝AP+PC＝6，∴OA＝OC＝OD＝3，∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2，∵四边形ABCD 是“完美四边形”，∴∠OPH ＝60°，在Rt △OPH 中，sin ∠OPH ＝＝， ∴OH ＝OP ＝，在Rt △ODH 中，由勾股定理得：DH ＝＝＝， ∴BD ＝2DH ＝2．（3）过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ，如图2：∴∠BMO ＝∠DNO ＝90°，∵四边形ABCD 是“完美四边形”，∴∠COD ＝60°，∴直线BD 解析式为y ＝x ，∵二次函数的图象过点A （﹣3，0）、C （2，0），即与x 轴交点为A 、C ， ∴设二次函数解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣2），联立，整理得：ax 2+（a ﹣）x ﹣6a ＝0，∴x B +x D ＝﹣，x B •x D ＝﹣6，∴（x B ﹣x D ）2＝（x B +x D ）2﹣4x B •x D ＝（﹣）2+24， ∵S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝AC •BM +AC •DN ＝AC （BM +DN ）＝AC （y D ﹣y B ）＝AC （x D ﹣x B）＝（x D﹣x B），∵四边形ABCD的面积为15，∴（x D﹣x B）＝15，∴x D﹣x B＝6，∴（﹣）2+24＝36，解得：a1＝，a2＝，∴a 的值为或．21。

2019-2020学年九年级数学中考实际应用题综合强化训练（含答案）

2019-2020学年九年级数学中考实际应用题综合强化训练（含答案）1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？2．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．3．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152530千克数404020（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？4．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？5．为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．（1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；（2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a 万元，请求出a的取值范围．6．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．7．某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．8．某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙每个商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？9．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？10．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）11．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？12．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？13．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg,售价是1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg,售价是2元/kg．（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？14．某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？15．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？16．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B 两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？17．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．2019-2020学年九年级数学中考实际应用题综合强化训练（含答案）1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元．，解得：，答：每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元．（2）当0≤x≤14时，y=2x；当x＞14时，y=14×2+（x﹣14）×3.5=3.5x﹣21，故所求函数关系式为：y=；（3）∵26＞14，∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21=69元，答：小英家5月份水费69吨．2．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．【解答】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，解得：．答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：220a+190（8﹣a）≥1565，解得：a≥1.5，∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，∴A型污水处理设备买越少，越省钱，∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．3．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．甲种糖果乙种糖果丙种糖果单价（元/千克）152530千克数404020（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？【解答】解：（1）根据题意得：=22（元/千克）．答：该什锦糖的单价是22元/千克；（2）设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果千克，根据题意得：≤20，解得：x≤20．答：加入丙种糖果20千克．4．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．（1）试求出y与x之间的一个函数关系式；（2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？【解答】解：（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b，则，解得．故函数关系式为y=﹣2x+112；（2）依题意有w=（x﹣20）（﹣2x+112）=﹣2（x﹣38）2+324，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润；（3）由题意可得，售价越低，销量越大，即能最多的进货，设一次进货最多m千克，则≤30﹣5，解得：m≤1300．故一次进货最多只能是1300千克．5．为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．（1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；（2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a 万元，请求出a的取值范围．【解答】解：（1）设2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为x，根据题意，得：500（1+x）2=720，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍），答：2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为20%．（2）根据题意，得：×100%≤15%，解得：a≤828，又∵该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加故a的取值范围为720＜a≤828．少是226万元．6．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），整理得：5y2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；答：a的值为20．7．某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．【解答】解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5=8（万份）；答：品牌产销线2018年的销售量为8万份；（2）设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份；根据题意得：，解得：，或（不合题意，舍去），∴，∴2x=10%；答：B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%．8．某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．（1）求甲、乙每个商品的进货单价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元．根据题意得：，解得：，答：甲商品的单价是每件100元，乙每件80元；（2）设甲进货x件，乙进货（100﹣x）件．根据题意得：，解得：48≤x≤50．又∵x是正整数，则x的正整数值是48或49或50，则有3种进货方案；（3）销售的利润w=100×10%x+80（100﹣x）×25%，即w=2000﹣10x，则当x取得最小值48时，w取得最大值，是2000﹣10×48=1520（元）．此时，乙进的件数是100﹣48=52（件）．答：当甲进48件，乙进52件时，最大的利润是1520元．9．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．依题意得：60m+24×=36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．∴m≥23．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．10．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本128销售单价1812生产提成10.8（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）【解答】解：（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．11．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；（2）设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y=50x﹣1100，1随x的增大而增大，∵y1的最大值为50×100﹣1100=3900；∴当x=100时，y1当x＞100时，y=（50﹣）x﹣11002=﹣x2+70x﹣1100=﹣（x﹣175）2+5025，的最大值为5025，当x=175时，y25025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．12．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得=，解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a）辆，获利y 元，由题意，得y=a+（60﹣a），y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y 随a 的增大而减小．∴a=20时，y 最大=30000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．13．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？解：（1）设采摘黄瓜x 千克，采摘茄子y 千克，根据题意，得黄瓜的种植成本是1元/kg,售价是1.5元/kg ；茄子的种植成本是1.2元/kg,售价是2元/kg ．＋y＝40＋1.2y＝42．＝30＝10．答：采摘黄瓜30千克，采摘茄子10千克．（2）30×(1.5－1)＋10×(2－1.2)＝23（元）．答：采摘的黄瓜和茄子可赚23元．14．某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4000元，从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？【解答】解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成需要（x+5）天．依据题意可列方程：+=，解得：x1=10，x2=﹣3（舍去）．经检验：x=10是原方程的解．设甲队每天的工程费为y元．依据题意可列方程：6y+6（y﹣4000）=385200，解得：y=34100．甲队完成此项工程费用为34100×10=341000元．乙队完成此项工程费用为30100×15=451500元．答：从节省资金的角度考虑，应该选择甲工程队．15．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，由题意，得，解得：，答：购买甲种树苗500棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，由题意，得100a≥200（600﹣a），解得：a≥400．答：至少应购买甲种树苗400棵16．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B 两种型号健身器材各购买多少套？（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？【解答】解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据题意，得：，解得：，答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．（3）设购买A型号健身器材m套，根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，解得：m≥33，∵m为整数，∴m的最小值为34，答：A种型号健身器材至少要购买34套．17．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解答】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意，得：，解得：，答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，根据题意，得：W=5m+7（50﹣m）=﹣2m+350，∵﹣2＜0，。

2020年中考数学复习冲刺提分训练：《方程类应用题》(解析版)

冲刺提分训练：《方程类应用题》1．巴南区认真落实“精准扶贫”．某“建卡贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个鱼塘，经过一年多的精心养殖，今年10月份从鱼塘里捕捞了草鱼和花鲢共2500千克，在市场上草鱼以每千克16元的价格出售，花鲢以每千克24元的价格出售，这样该贫困户10月份收入52000元，（1）今年10月份从鱼塘里捕捞草鱼和花鲢各多少千克？（2）该贫困户今年12月份再次从鱼塘里捕捞．捕捞数量和销售价格上，草鱼数量比10月份减少了2a千克，销售价格不变；花鲢数量比10月份减少了a%，销售价格比10月份减少了，该贫困户在10月份和12月份两次捕捞中共收入了94040元，真正达到了脱贫致富，求a的值．2．春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？3．李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知．该户型商品房的单价是5000元/m2，面积如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm），售房部为李老师提供了以下两种优惠方案：方案一：整套房的单价为5000元/m2，其中厨房可免费赠送一半的面积；方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售．（1）用含x的代数式表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额；（2）当x＝2时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少元？（3）李老师因现金不够，于2019年10月在建行借了18万元住房贷款，贷款期限为10年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.5%，每月应还的贷款本金数额为1500元（每月还款数额＝每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息＝上月所剩贷款本金数额×月利率），假设贷款月利率不变，请求出李老师在借款后第n（1≤n≤120，n 是正整数）个月的还款数额．（用n的代数式表示）4．万州区某民营企业生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3件甲商品的出厂总价比2件乙商品的出厂总价多150元．（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少元？（2）为促进万州经济持续健康发展，为商家搭建展示平台，为行业创造交流机会，2019年万州区举办了多场商品展销会．外地一经销商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍，恰逢展销会期间该企业正在对甲商品进行降价促销活动，甲商品的出厂单价降低了a%，该经销商购进甲的数量比原计划增加了2a%，乙的出厂单价没有改变，该经销商购进乙的数量比原计划减少了，结果该经销商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求a的值（a＞0）．5．列方程解应用题：港珠澳大桥是中国中央政府支持香港、澳门和珠三角地区城市快速发展的一项重大举措，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门，止于珠海洪湾，总长55千米，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程．某天，甲乙两辆巴士均从香港口岸人工岛出发沿港珠澳大桥开往珠海洪湾，甲巴士平均每小时比乙巴士多行驶10千米，其行驶时间是乙巴士行驶时间的．求乘坐甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要多长时间．6．甲、乙两家体有用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动．甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠盒乒乓球：乙店的优惠办法是：按定价的9折出售某班需购买兵乓球拍4副，乒乓球若干（不少于4盒）．（1）用代数式表示（所填代数式需化简）：当购买兵乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元：（2）若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由：（3）若只能选择到一家商店购买，当购买乒乓球多少盒时，到两家商店所花费用一样多？（4）若只能选择到一家商店购买，结合（2）（3）的结论，请你回答当购买兵乓球的盒数在什么范围时，到乙商店购买合算．7．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见表）．月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一58 150 0.25 免费方式二88 350 0.19 免费设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：t≤150 150＜t＜350 t＝350 t＞350方式一计费/元58108方式二计费/元88 88 88（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？（Ⅲ）请根据（Ⅰ）和（Ⅱ）的计算及生活经验，直接写出不同时间段，选用哪种计费方式省钱．8．十一期间，各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示：商场优惠活动甲全场按标价的6折销售乙实行“满100元送100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金（如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券）丙实行“满100元减50元的优惠”（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元）根据以上活动信息，解决以下问题：（1）三个商场同时出售一件标价290元的上衣和一条标价270元的裤子，王阿姨想买这一套衣服，她应该选择哪家商场？（2）黄先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款额也一样，请问这条裤子的标价是多少元？（3）丙商场又推出“先打折”，“再满100减50元”的活动．张先生买了一件标价为630元的上衣，张先生发现竟然比没打折前多付了18.5元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动？9．某校学生会为积极响应武汉市文明创建活动，组织有关方面的知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了3个参赛者的得分情况．（1）设答对一题记a分，答错一题记b分，则a＝b＝；（2）参赛者E说他得了80分，你认为可能吗，为什么？参赛者答对题数答错题数得分A20 0 100B19 1 94C18 2 8810．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．A，B两种型号车的进货和销售价格表：A型车B型车进货价格（元/辆）1100 1400销售价格（元/辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？11．在“元旦”期间，七（1）班小明，小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票省钱？请说明理由．（3）正要购票时，小明发现七（2）班的小张等10名同学和他们的7名家长共17人也来购票，为了节省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的费用．12．目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型25 30乙型45 60 （1）如何进货，进货款恰好为46000元？（2）为确保乙型节能灯顺利畅销，在（1）的条件下，商家决定对乙型节能灯进行打折出售，且全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？13．为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？（2）若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；（3）在（2）的条件下，若a＝60，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？14．某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动．在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得以下信息：信息1：乙队单独完成这项工程需要60天；信息2：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成；信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．根据以上信息，解答下列问题：（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？15．如图1，某小区的平面图是一个占地长500米，宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的19%，南北空地等宽，东西空地等宽．（1）求该小区四周的空地的宽度；（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米，绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度．16．为弘扬中华优秀文化传统，某中学在2014年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为元．参考答案1．解：（1）设今年10月份从鱼塘里捕捞草鱼x千克，则捕捞的花鲢是（2500﹣x）千克，由题意，得16x+（2500﹣x）×24＝52000解得x＝1000所以2500﹣1000＝1500（千克）答：今年10月份从鱼塘里捕捞草鱼1000千克，则捕捞的花鲢是1500千克；（2）由题意，得16（1000﹣2a）+1500（1﹣a%）×24×（1﹣）＝94040﹣52000 解得a＝30．答：a的值是30．2．解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．3．解：（1）该户型商品房的面积为：4×7+3×4+2×4+2x＝48+2x（平方米）．方案一购买一套该户型商品房的总金额为：（4×7+3×4+×2×4+2x）×5000＝220000+10000x（元）．方案二购买一套该户型商品房的总金额为：（4×7+3×4+2×4+2x）×5000×95%＝228000+9500x（元）．（2）当x＝2时，方案一总金额为：220000+10000x＝240000（元）方案二总金额为：228000+9500x＝247000（元）方案一比方案二优惠7000元．（3）根据题意得：李老师在借款后第n（1≤n≤120，n是正整数）个月的还款数额为：1500+[180000﹣1500（n﹣1）]×0.5%＝2407.5﹣7.5n（元）．4．解：（1）设甲商品的出厂单价是x元/件，则乙商品的出厂单价是x元/件，根据题意得：3x﹣2×x＝150，解得：x＝90，∴x＝60．答：甲、乙商品的出厂单价分别是90、60元．（2）由题意得：，解得：a1＝0（舍去），a2＝15．答：a的值为15．5．解：设甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾的行驶时间需要x小时，则乙巴士的行驶时间需要小时，根据题意得：解得：经检验，是原分式方程的解且符合题意答：甲巴士从香港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要小时．6．解：（1）甲：20×4+5（x﹣4）＝60+5x（x≥4）；乙：4.5x+72（x≥4）．故答案是：（60+5x）（x≥4）；（4.5x+72）（x≥4）；（2）当x＝10时，甲：60+5x＝60+50＝110（元）乙：4.5x+72＝4.5×10+72＝117（元）由于110＜117，所以，在甲店合适；（3）由题意知，60+5x＝4.5x+72，解得x＝24，即当x＝24时，到两店一样合算；（4）由题意知，60+5x＞4.5x+72，解得x＞24，即当x＞24时，到乙店合算．7．解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（t﹣150）＝0.25t+20.5；②当t＞350时，方式一收费：108+0.25（t﹣350）＝0.25t+20.5；③方式二当t＞350时收费：88+0.19（t﹣350）＝0.19t+21.5．故答案是：0.25t+20.5；0.25t+20.5；0.19t+21.5；（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）﹣（0.19t+21.5）＝0.06t﹣1＞0，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．∴列方程0.25t+20.5＝88，解得t＝270．即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．（Ⅲ）当t＜270时，选择方式一省钱；当t＝270时，两种方式收费一样多；当t＞270时，选择方式二省钱．8．解：（1）选甲商城需付费用为（290+270）×0.6＝336（元）；选乙商城需付费用为290+（270﹣200）＝360（元）；选丙商城需付费用为290+270﹣5×50＝310（元）．∵310＜336＜360，∴选择丙商城最实惠．（2）设这条裤子的标价为x元，根据题意得：（380+x）×0.6＝380+x﹣100×3，解得：x＝370，答：这条裤子的标价为370元．（3）设丙商场先打了x折后再参加活动，折后减50n（0≤n＜6且n为整数），根据题意得：（630×﹣50n）﹣（630﹣6×50）＝18.5，整理得63x﹣50n＝348.5，当n＝0时，63x＝348.5，可再优惠3×50＝150元，与n＝0矛盾，舍去当n＝1时，63x＝398.5，可再优惠3×50＝150元，与n＝1矛盾，舍去当n＝2时，63x＝448.5，可再优惠4×50＝200元，与n＝2矛盾，舍去当n＝3时，63x＝498.5，可再优惠4×50＝200元，与n＝3矛盾，舍去当n＝4时，63x＝548.5，可再优惠5×50＝250元，与n＝4矛盾，舍去当n＝5时，63x＝598.5，满足题意，此时x＝9.5答：丙商场先打了9.5折后再参加活动．9．解：（1）由题意，得，答对一题的得分是：100÷20＝5分，答错一题的扣分为：19×5﹣94＝1分，故答案为：5，﹣1；（2）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，由题意，得，5y﹣（20﹣y）＝80，解得：y＝，∵y为整数，∴参赛者说他得80分，是不可能的．10．解：（1）设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售（x+400）元，根据题意得＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是方程的解．x＝1600时，x+400═2000．答：今年6月份A型车每辆销售价2000元．（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，根据题意得50﹣m≤2m，解得：m≥16，∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，∴y随m的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润．答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．11．解：（1）设小明他们一共去了x个成人，则去了（12﹣x）个学生，根据题意得：40x+40×0.5（12﹣x）＝400，解得：x＝8，∴12﹣x＝4．答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．（2）40×0.6×16＝384（元），384元＜400元．答：购买16张团体票省钱．（3）①（8+7）×40+（4+10）×20＝880（元），②（17+12）×40×0.6＝696（元），③（8+7+1）×40×0.6+（4+10﹣1）×40×0.5＝644（元）．答：15个大人加上一个学生购买16张团体票，剩下的13名学生购买13张学生票，此时共需644元．12．解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得25x+45（1200﹣x）＝46000解得：x＝400购进乙型节能灯1200﹣x＝1200﹣400＝800只．答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元．（2）设乙型节能灯需打a折，0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．13．解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得2（x+50）＝3x，解得x＝100，x+50＝150．答：每套队服150元，每个足球100元；（2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a﹣）＝100a+14000（元），到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a＝80a+15000（元）；（3）在乙商场购买比较合算，理由如下：将a＝60代入，得100a+14000＝100×60+14000＝20000（元）．80a+15000＝80×60+15000＝19800（元），因为20000＞19800，所以在乙商场购买比较合算．14．解：（1）设：甲队单独完成这项工程需要x天．由题意可列：解得：x ＝40经检验，x ＝40是原方程的解．答：甲队单独完成这项工程需要40天；（2）因为：全程用甲、乙两队合做需要：（3.5+2）×24＝132万元单独用甲队完成这项工程需要：40×3.5＝140万元单独用乙队完成这项工程需要：60×2＝120万元，但60＞50．所以，全程用甲、乙两队合做该工程最省钱．15．解：（1）建筑区的面积是500×400×（1﹣19%）＝162000（平方米）．设建筑区的长度为5x 米，则宽为4x 米．根据题意得：5x •4x ＝162000，整理得 x 2＝8100，解得 x 1＝90，x 2＝﹣90（不合题意），则东西两侧道宽：（500﹣5x ）÷2＝25（米），南北两侧道宽：（400﹣4x ）÷2＝20（米）．答：小区的东西两侧道宽为25米，南北两侧道宽为20米；（2）设小区道路的宽度为z 米，则（20﹣z ）×300+2×（25﹣z ）×200＝5500，解得z ＝15．答：小区道路的宽度是15米．16．解：（1）设钢笔的单价为x 元，则毛笔的单价为（x +6）元，由题意得：30x +20（x +6）＝1070，解得：x ＝19，则x +6＝25，答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；（2）①设单价为19元的钢笔y 支，则单价为25元的毛笔为（60﹣y ）支，根据题意得：19y +25（60﹣y ）＝1322，解得：y＝，不合题意，即张老师肯定搞错了；②设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，根据题意得：19z+25（60﹣z）＝1322﹣a，即6z＝178+a，由a，z都是整数，且178+a应被6整除，经验算当a＝2时，6z＝180，即z＝30，符合题意；当a＝8时，6z＝186，即z＝31，符合题意，则签字笔的单价为2元或8元．故答案为：2或8．。

2021年九年级中考数学复习冲刺卷(有答案)

2020-2021学年人教新版中考数学复习冲刺卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．下列各数中，负数是（）A．（﹣2）﹣2B．33C．（﹣1）2021D．（﹣1）02．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2＝30°，则∠1的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．下列运算正确的是（）A．a+a＝a2B．（ab）2＝ab2C．a2•a3＝a5D．（a2）3＝a5 4．已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，则的值是（）A．﹣5B．5C．﹣D．5．一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，则这个正多边形外接圆的半径可以表示为（）A．sin15°B．tan15°C．D．6．在平面直角坐标系内存在⊙A，A（b，0），⊙A交x轴于O（0，0）、B（2b，0），在y轴上存在一动点C（C不与原点O重合），直线l始终过A、C，直线l交⊙A于E、F，的最大值为（）在半圆EF上存在一点动点D且D不与E、F重合，则S△DEAA．B．C．D．无法判断7．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：锻炼时间（时）34567人数（人）6131452这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（）A．14，5B．14，6C．5，5D．5，68．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（）A．B．C．D．9．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2 10．下列命题是真命题的是（）A．三角形的外角大于它的任何一个内角B．n边形（n≥3）的外角和为360°C．矩形的对角线互相垂直且平分D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（）A．3B．2C．5D．12．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH 的值最小，此时＝（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分40分，每小题5分）13．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD＝20°，连接DE，则∠CED的大小＝（度）．14．已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，则点E的对应点E1的坐标为．15．分式方程+＝1的解为．16．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为．17．2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为5000元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了7200元．则该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为．18．一个袋中有3个白球和2个红球，它们除颜色不同外都相同．任意摸出一个球后放回，再任意摸出一球，则两次都摸到红球的概率为．19．已知一组单项式：﹣2x，4x3，﹣8x5，16x7，…则按此规律排列的第2020个单项式是．20．已知：如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A，与x轴交于点B，AC⊥x轴于点C，连接OA．（1）若a ＝，b ＝2，且OA 平分∠BAC 时，k ＝；（2）当a ＝1，b ＝2，k ＝8时，点P （t ，0）是x 轴上的一个动点，如果∠APO ≤∠BAO ，则t 的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分74分） 21．（1）解不等式组：，并求出其整数解的和；（2）先化简，再求值：，其中a ＝|﹣2|+（π﹣3.14）0+tan60°．22．如图，一次函数y 1＝ax +b 与反比例函数y 2＝的图象相交于A （2，8），B （8，2）两点，连接AO ，BO ，延长AO 交反比例函数图象于点C ．（1）求一次函数y 1的表达式与反比例函数y 2的表达式；（2）当y 1＜y 2，时，直接写出自变量x 的取值范围为；（3）点P 是x 轴上一点，当S △PAC ＝S △AOB 时，请直接写出点P 的坐标为．23．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ．（1）求证：△AEH ≌△CGF ；（2）若EG平分∠HEF，求证：四边形EFGH是菱形．24．为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入18万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入17万元．（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？（2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.4万元，种植B种蔬菜每亩可获利0.6万元，村里把50万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元，设种植A种蔬菜m亩，求w关于m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．25．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求⊙O的直径．26．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．解：A、（﹣2）﹣2＝，故此选项不合题意；B、33＝27，故此选项不合题意；C、（﹣1）2021＝﹣1，故此选项符合题意；D、（﹣1）0＝1，故此选项不合题意；故选：C．2．解：∵FE⊥DB，∴∠FED＝90°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠EDF＝30°，∴∠1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．3．解：A、a+a＝2a，故本选项不合题意；B、（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；C、a2•a3＝a5，故本选项符合题意；D、（a2）3＝a6，故本选项不合题意．故选：C．4．解：∵点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于y轴对称，∴a＝2，b＝3，∴＝＝﹣5，故选：A．5．解：如图所示：，∵一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，∴此正多边形的边数为＝12，即多边形为12边形，连接OA、OB，过O作ON⊥AB，边AB对的圆心角AOB的度数为＝30°，∵OA＝OB，ON⊥AB，∴∠NOB＝∠AOB＝15°，AN＝BN＝AB＝1，∴OB＝＝，即这个正多边形的半径是，故选：C．6．解：∵在△DEA中，当D运动于DA⊥AE时，此时DA作为高是最大的，DA＝|b|∵EA＝|b|，的最大值为：×|b|×|b|＝．∴S△DEA故选：A．7．解：一周锻炼5小时出现的次数最多，是14人次，因此众数是5小时；将这40人的锻炼时间从小到大排列后，处在第20、21位的两个数都是5小时，因此中位数是5小时；故选：C．8．解：若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是，故选：C．9．解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣1）2+2，故选：A．10．解：A、三角形的外角大于它的任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、n边形（n≥3）的外角和为360°，正确，是真命题，符合题意；C、矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意．故选：B．11．解：如图，连接AI，AC，∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，在Rt△AGI和Rt△ADI中，，∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），∴∠GAI＝∠DAI，∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，∴∠IAH＝∠AID，∴IH＝AH，又∵IH＝HC，∴IH＝HC＝AH，∴∠IAC＝90°，∴∠DAI+∠DAC＝90°，又∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAI＝∠DCA，又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，∴△ADI∽△CDA，∴，∴，∴DI＝1，∴CI＝ID+CD＝5，∴IH＝IC＝，故选：D．12．解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分，每小题5分）13．解：延长CB到F，∵在△ABC中，∠ABC＝100°，∠CBD＝20°，∴∠ABF＝80°，∠ABD＝80°，又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，∴点E在∠ADB的平分线上，即DE平分∠ADB，∵∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB，∠DBC＝20°，∴，∴10°＝，∵∠DEC＝∠ADE﹣∠ACE＝，∴∠DEC＝10°，故答案为：10．14．解：∵以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，E（﹣6，2），∴点E的对应点E1的坐标为（6×，﹣2×），即（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）．15．解：方程两边都乘以x﹣2，得：3﹣2x﹣2＝x﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2＝1﹣2＝﹣1≠0，所以分式方程的解为x＝1，故答案为：x＝1．16．解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE＝AC＝，AD＝AB＝，∴sin∠AOE＝＝，sin∠AOD＝＝，∴∠AOE＝45°，∠AOD＝30°，∴∠BAO＝60°，∠CAO＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAC＝45°+60°＝105°，或∠BAC′＝60°﹣45°＝15°．∴∠BAC＝15°或105°．故答案是：15°或105°．17．解：设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．18．解：画树状图如图：共有25个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，∴两次都摸到红球的概率为，故答案为：．19．解：∵一组单项式：﹣2x，4x3，﹣8x5，16x7，…∴第n的单项式是：（﹣1）n•2n x2n﹣1，∴按此规律排列的第2020个单项式是：（﹣1）2020•22020x2×2020﹣1＝22020x4039，故答案为：22020x4039．20．解：（1）∵一次函数的解析式为y＝x+2，∴∠ABC＝30°，点B的坐标为（﹣2，0）又∵AC⊥x轴，∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．∵OA平分∠BAC，∴∠BAO＝∠OAC＝∠BAC＝30°＝∠ABO，∴OA＝OB＝2．在Rt△AOC中，∠ACO＝90°，∠OAC＝30°，∴OC＝OA＝，AC＝＝3，∴点A的坐标为（，3）．∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝×3＝3．故答案为：3．（2）∵点A在直线y＝x+2上，∴设点A的坐标为（m，m+2）．又∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝m（m+2）＝8，∴m1＝2，m2＝﹣4（舍去），∴点A的坐标为（2，4）．当点P在点C的左侧时，作∠PAO＝45°，边PA交x轴于点P，过点O作OE⊥AB于点E，过点B作BF⊥AP于点F，如图所示．∵∠PAB+∠BAO＝45°，∠BAO+∠OAC＝45°，∴∠PAB＝∠OAC，又∵∠ABC＝∠APO+∠PAB＝45°，∴∠APO＝45°﹣∠PAO＝∠BAO．∵直线AB的解析式为y＝x+2，∴点B的坐标为（﹣2，0），∴OB＝2，OE＝．∵点A的坐标为（2，4），∴OC＝2，AO＝＝2，AB＝AC＝4．∵∠PAB＝∠OAC，∴＝，即＝，∴BF＝．∵∠APO＝∠BAO，∴＝，即＝，∴BP＝8，∴t＝﹣2﹣8＝﹣10，∴当t≤﹣10时，∠APO≤∠BAO；当点P在点C的右侧，且∠APO＝∠BAO时，由对称性可知：CP＝2﹣（﹣10）＝12，∴OP＝OC+CP＝14，∴当t≥14时，∠APO≤∠BAO．综上所述：如果∠APO≤∠BAO，则t的取值范围是t≤﹣10或t≥14．故答案为：t≤﹣10或t≥14．三．解答题（共6小题，满分74分）21．解：（1）解不等式﹣≥，得：x≤1，解不等式2x﹣7＜3（x﹣1），得：x＞﹣4，则不等式组的解集为﹣4＜x≤1，满足条件的整数解有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，∴不等式组的的整数解的和为：﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1＝﹣5；（2）原式＝[+]÷＝（+）•＝•＝a2，∵a＝|﹣2|+（π﹣3.14）0+tan60°＝2﹣+1+＝3，∴原式＝32＝9．22．解：（1）将A （2，8），B （8，2）代入y ＝ax +b 得，解得， ∴一次函数为y ＝﹣x +10，将A （2，8）代入y 2＝得8＝，解得k ＝16，∴反比例函数的解析式为y ＝；（2）由图象可知，当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围为：x ＞8或0＜x ＜2，故答案为x ＞8或0＜x ＜2；（3）由题意可知OA ＝OC ，∴S △APC ＝2S △AOP ，把y ＝0代入y 1＝﹣x +10得，0＝﹣x +10，解得x ＝10，∴D （10，0），∴S △AOB ＝S △AOD ﹣S △BOD ＝﹣＝30，∵S △PAC ＝S △AOB ＝×30＝24，∴2S △AOP ＝24，∴2××y A ＝24，即2×OP ×8＝24， ∴OP ＝3，∴P （3，0）或P （﹣3，0），故答案为P （3，0）或P （﹣3，0）．23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH．∴EF＝HG．又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴EFGH是菱形．24．解：（1）设种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入x，y万元，根据题意得，解得，答：种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.3，0.4万元；（2）由题意得：w＝0.4m+0.6×＝﹣0.05m+75（0≤m≤）；（3）由（2）m≥2×，解得m≥100，∵w＝﹣0.05m+75，k＝﹣0.05＜0，∴w随m的增大而减小＝70．∴当m＝100时，w最大＝＝50（亩），∴当A种蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为70万元．25．（1）证明：连接OA．∴OA＝OD．∴∠D＝∠DAO．∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO．∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO．∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，即∠DAO+∠BAO＝90°．∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°．∴AE⊥OA．又∵OA为⊙O的半径，∴AE与⊙O相切于点A．（2）解：连接OC，连接AO交BC于点H，∵AE∥BC，OA⊥AE，∴OA⊥BC，∴CH＝BH＝BC＝，在Rt△ABH中，AH＝＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，∵OH2+BH2＝OB2，∴（r﹣1）2+（）2＝r2，解得：r＝2，∴DB＝2r＝4．即⊙O的直径为4．26．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），∴，解得，故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则点C的坐标为（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点E坐标为（1，﹣4），设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12，∵DC＝DE，∴m2+9＝m2+8m+16+1，解得m＝﹣1，∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1，根据勾股定理，CD＝＝＝，在△COD和△DFE中，∵，∴△COD≌△DFE（SAS），∴∠EDF＝∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠EDF+∠CDO＝90°，∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°，∴CD⊥DE，①分OC与CD是对应边时，∵△DOC∽△PDC，∴＝，即＝，解得DP＝，过点P作PG⊥y轴于点G，则＝＝，即＝＝，解得DG＝1，PG＝，当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0，所以点P（﹣，0），当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2，所以，点P（，﹣2）；②OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，∴＝，即＝，解得DP＝3，过点P作PG⊥y轴于点G，则＝＝，即＝＝，解得DG＝9，PG＝3，当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8，所以，点P的坐标是（﹣3，8），当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10，所以，点P的坐标是（3，﹣10），综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．。

中考数学冲刺专题训练(附答案)：应用题

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学冲刺专题训练（附答案）：应用题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( ) A ．160元 B ．180元 C ．200元 D ．220元【答案】C 【解析】设这种衬衫的原价是x 元，依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，解得：x=200．故选：C ．2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C 【解析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=，解得： 17x =-（舍去），26x =．故选：C ．3．学校计划购买A 和B 两种品牌的足球，已知一个A 品牌足球60元，一个B 品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【答案】B 【解析】设购买A 品牌足球x 个，购买B 品牌足球y 个，依题意，得：60751500x y +=，∴4205y x =-．x ，y 均为正整数，∴11516x y =⎧⎨=⎩，221012x y =⎧⎨=⎩，33158x y =⎧⎨=⎩，44204x y =⎧⎨=⎩，∴该学校共有4种购买方案．故选：B ．4．为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批A 型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B 型单车，B 型单车的投放数量与A 型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B 型单车的单价比购买A 型单车的单价少50元，则A 型单车每辆车的价格是多少元？设A 型单车每辆车的价格为x 元，根据题意，列方程正确的是（）A ．200000200000(120%)50x x -=- B ．200000200000(120)50x x x +=- C ．200000200000(120%)50x x -=+ D ．200000200000(120)50x x x +=+ 【答案】A 【解析】设A 型单车每辆车的价格为x 元，则B 型单车每辆车的价格为(50)x -元，根据题意，得200000200000(120)50x x x -=- 故选A ．5．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（）A ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【答案】A【解析】设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ；由甲得乙半而钱五十，可得：1x y 502+= 由甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50；可得：2503x y += 故答案为:A6．红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有( ) A ．3种 B ．4种C ．5种D ．6种【答案】C 【解析】设该店购进甲种商品x 件，则购进乙种商品()50x -件，根据题意，得：()()60100504200102050750x x x x ⎧+-≤⎪⎨+->⎪⎩，解得：2025x ≤<， ∵x 为整数，∴20x、21、22、23、24，∴该店进货方案有5种，故选：C ．7．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（） A ．1201508x x =- B ．1201508x x=+ C ．1201508x x=- D ．1201508x x =+ 【答案】D 【解析】∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x =+，故选D.8．为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只． A ．55 B ．72C ．83D ．89【答案】C 【解析】设该村共有x 户，则母羊共有()517x +只，由题意知，()()517710517713x x x x ⎧+-->⎪⎨+--<⎪⎩解得：21122x <<， ∵x 为整数， ∴11x =，则这批种羊共有115111783+⨯+=（只），故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为_____．【答案】 4.5112x yx y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩【解析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，依题意，得： 4.5112x yx y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩10．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________. 【答案】20%.【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x ，由题意得： 5(1+x )2＝7.2，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2(不合题意舍去). 答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%. 故答案是：20%.11．一艘轮船在静水中的最大航速为30/km h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相同，则江水的流速为______/km h ．【答案】10 【解析】设江水的流速为/x km h ，根据题意可得：120603030x x=+-，解得：10x =，经检验：10x =是原方程的根，答：江水的流速为10/km h ．故答案为：10．12．有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度. 图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD=α. 若AO=85cm ，BO=DO=65cm. 问: 当74α=︒，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为_____cm .(参考数据:sin 370.6,≈cos30.8≈，sin530.8,cos530.6≈≈.)【答案】120. 【解析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，∵BO=DO ， ∴OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE=12∠BOD=12×74°=37°，∴∠FAB=∠BOE=37°，在Rt △ABF 中，AB=85+65=150cm ， ∴h=AF=AB•cos ∠FAB=150×0.8=120cm ，故答案为：120三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P 处测得古塔顶端M 的仰角为60︒，沿山坡向上走25m 到达D 处，测得古塔顶端M 的仰角为30︒．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助小明计算古塔的高度ME ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.732≈）【答案】古塔的高度ME 约为39.8m ．【解析】解：作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，则DC PH FE ==，DH CP =，HF PE =，设3DC x =，∵3tan 4θ=，∴4CP x =，由勾股定理得，222PD DC CP =+，即22225(3)(4)x x =+，解得，5x =，则315DC x ==，420CP x ==， ∴20DH CP ==，15FE DC ==，设MF y =，则15ME y =+，在Rt MDF 中，tan MF MDF DF∠=，则3tan 30MFDF y ==，在Rt MPE 中，tan ME MPE PE ∠=，则3(15)tan 603ME PE y ==+， ∵DH DF HF =-， ∴33(15)203y y -+=，解得，7.5103y =+， ∴7.51031539.8ME MF FE =+=++≈. 答：古塔的高度ME 约为39.8m ．14．某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？【答案】（1）改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元；（2）共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚；方案3投入资金最少，最少资金是114万元．【解析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，依题意，得：26248 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得：1218 xy=⎧⎨=⎩．答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元．（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，依题意，得：53(8)35 1218(8)128 m mm m+-⎧⎨+-⎩，解得：83≤m≤112．∵m为整数，∴m＝3，4，5，∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚．方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）．∵114＜120＜126，∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元．15．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．（1）请写出y与x之间的函数表达式；（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？【答案】（1）1502y x=-+（2）当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当x为20时w 最大，最大值是2400元【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+；（2）根据题意得，()1405022502x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；（3）根据题意得，()211405030200022w x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭()213024502x =--+，∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．。

2020年九年级数学中考三轮冲刺《一次函数》同步练习(解析版)

2020年中考三轮冲刺复习同步练习：《一次函数》1．阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B 向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．解：（1）理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB；（2）如图，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴NF⊥x轴，由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴点N（﹣，3），∵设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当∠CDP＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线，∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝3，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝3，当∠CPD＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB＝∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDH，∴，∴∴x＝∵点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，△DPC为直角三角形．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC如图放置，点C（0，4），点A，B 在x轴上，且OB＝4OA，tan∠CBO＝．（1）求过点A、C直线解析式；（2）如图2，点M为线段BC上任意一点，点D在OC上，且CD＝DM，设M的横坐标为t，△CDM的面积为S，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，如图3，在OB上取点N，过N作NF⊥DM，垂足为点F，连接CF，AF，∠DCF+∠AFN＝60°，NF＝BO时，求点D的坐标．解：（1）∵点C（0，4），∴OC＝4，∵tan∠CBO＝＝，∴OB＝4，∵OB＝4OA，∴OA＝1，∴点A（﹣1，0）设过点A、C直线解析式为：y＝kx+4，∴0＝﹣k+4，∴k＝4，∴过点A、C直线解析式为：y＝4x+4；（2）如图2，过点M作MH⊥OC于H，∵M的横坐标为t，∴MH＝t，∵tan∠BCO＝＝＝，∴∠BCO＝30°，∵CD＝DM，∴∠DCM＝∠CMD＝30°，∴∠MDH＝60°，且MH⊥OC，∴DH＝t，DM＝2DH＝t＝CD，∴△CDM的面积为S＝×t×t＝t2，（0＜t≤4）（3）作FE⊥OB于E，CP⊥EF于P，FK⊥OC于K．则四边形CPEO是矩形，∴CP＝OE，CO＝PE＝4，设PC＝OE＝m．∵∠DON+∠DFN+∠ODF+∠ONF＝360°，∴∠FNO＝120°，∴∠FNE＝60°，且EF⊥BO，FN＝OB＝4，∴EF＝2，∴PF＝2∵∠DCF+∠AFN＝60°，∠DCF+∠DFC＝60°，∴∠DFC＝∠AFN，∴∠CFA＝∠DFN＝90°，∴∠FCP+∠PFC＝90°，∠PFC+∠AFE＝90°，∴∠PCF＝∠AFE，且∠P＝∠AEF＝90°，∴△PCF∽△EFA，∴，∴∴m＝3或﹣4（舍弃），∴F（3，2），在Rt△DEK中，∵∠DFK＝30°，FK＝3，∴DK＝，∴OD＝3，∴D（0，3）．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b与直线y＝﹣x+b分别交x轴于A、C两点，与y轴交于点B，AC＝5．（1）求b的值；（2）点P在线段BC上，连接OP交AB于M，设点P的横坐标为t，＝m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点O作OT⊥BC于T，点Q在MT的延长线上，点D在TM的延长线上，且TQ＝MD，连接PQ，过点M作ME⊥PQ于E，ME交BC于N，连接ND，若∠NDM+∠BOP＝90°，tan∠TOM＝m，求点D的坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b与直线y＝﹣x+b分别交x轴于A、C两点，∴A（b，0）、C（2b，0），∴AC＝2b﹣b＝5，解得：b＝4；（2）过点P作PD⊥OC于D，过点M作ME⊥OC于E，MH⊥PD于H，如图1所示：则ME∥PD，∠MHP＝∠OEM＝90°，∴∠MPH＝∠OME，∴△MHP∽△OEM，∴＝＝＝m，∵点P在线段BC上，点P的横坐标为t，∴P（t，﹣+4），设M（x m，y m），则＝m，＝m，∴x m＝，y m＝，∵y m＝﹣x m+4，∴＝﹣×+4，解得：t＝m；（3）∵b＝4，∴OC＝8，OB＝4，∴BC＝＝＝4，∵OT⊥BC，OB⊥OC，∴∠BTO＝∠BOC＝90°，∵∠CBO＝∠OBT，∴△OBT∽△CBO，∴＝，即＝，解得：OT＝，设T（x t，﹣+4），则x t2+（﹣+4）2＝（）2，解得：x t＝，﹣+4＝，∴T（，），P（m，4﹣m），∴PT＝＝，∵tan∠TOM＝＝＝m，解得：m＝1，∴△OTP是等腰直角三角形，∵＝m，∴M为OP的中点，P（，），M（，），设MT的解析式为：y＝kx+c，∴，解得：，∴y＝﹣3x+8，∵∠POC+∠BOP＝90°，∠NDM+∠BOP＝90°，∴∠POC＝∠NDM，∴tan∠NDM＝tan∠POC＝＝，过点N作NH⊥TM于H，如图2所示：设QT＝MD＝a，HM＝d，TM＝PM＝f，∵△OTP是等腰直角三角形，M为OP的中点，∴TM＝PM，TM＝OT＝×＝，△TNH是等腰直角三角形，TM⊥OP，∴NH∥OP，∠PME＝∠PQM，∴∠HNM＝∠PME＝∠PQM，∴tan∠HNM＝tan∠PME＝tan∠PQM＝，∵△TNH是等腰直角三角形，∴NH＝TH＝f﹣d，∴tan∠NDM＝＝＝，tan∠HNM＝＝＝＝，∴，解得：a＝2f或a＝﹣f（不合题意舍去），∴DM＝2×TM＝2×＝，设D（x D，y D），则（）2＝（x D﹣x m）2+（y D﹣y m）2，即（）2＝（x D﹣）2+（+3x D﹣8）2，解得：x D＝4，或x D＝，∵点D在TM的延长线上，∴D点的坐标为（4，﹣4）．4．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，若点P的速度为1个单位/s，点Q的速度为2个单位/s，设运动时间为ts（1）①若点P运动时间t为3s，直接写出直线PQ的函数关系式；②若点P运动时间t为2s，直接写出直线PQ的函数关系式；（2）小明通过以上计算发现，虽然时间在变化，但直线PQ始终经过一定点．①小明发现的定点坐标为（3，2）；②请用两种不同的方法（几何法和函数法）求该定点坐标．方法一：方法二：解：（1）①当点P运动时间t为3s时，则OP＝3，BQ＝9﹣2×3＝3，故点P的坐标为（3，0），点Q的坐标为（3，6），∴直线PQ的函数关系式为x＝3；②若点P运动时间t为2s时，则OP＝2，BQ＝9﹣2×2＝5，故点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（5，6），设直线PQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，解得，，∴直线PQ的解析式为y＝2x﹣4；（2）①线段PQ始终经过点（3，2），故答案为：（3，2）；②解：方法一（几何法）：当OP＝t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6），当点P运动时间t为3s时，此时Q运动到M时，点P运动到点N，MN⊥AB，设MN与PQ交于点D，∵AB∥OP，MN⊥AB，∴∠DNP∽△DQM，∴，设DN＝a，则DM＝6﹣a，PN＝3﹣t，QM＝9﹣2t﹣3＝6﹣2t，∴，化简，得9a﹣18＝（3a﹣6）t，则当3a﹣6＝0时，此时a＝2，9a﹣18＝0，不论t为何值，等式都成立，∴点D（3，2），故直线PQ始终经过（3，2）；方法二（函数法）：当OP＝t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6），设直线PQ的解析式为y＝mx+n（k≠0），将P（t，0）、Q（9﹣2t，6）代入y＝kx+b，得，解得，，∴直线PQ的解析式为y＝x+，两边乘3﹣t得到：（3﹣t）y＝2x﹣2t，∴（y﹣2）t＝3y﹣2x，当y﹣2＝0时，x＝3，∴直线PQ始终经过（3，2）．5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，若点M是平面内的一点，在直线AB上是否存在点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出符合条件的点N坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）y＝x+3中，当x＝0，y＝3；当y＝0，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，3），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C代入解析式可得：，∴，∴y＝﹣x+3；（2）如图：过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥OB于点F，∵OA＝OC＝4，OB＝3，∴AC＝8，AB＝BC＝5，∴sin∠ACD＝＝，∴＝，∴AD＝，∵点P在直线y＝x+3上，设P（t，t+3），∴PF＝﹣t，cos∠BPF＝cos∠BAO，即＝＝，∴BP＝﹣t，∵sin∠ABD＝＝＝＝，∴PE＝PB＝×（﹣t）＝﹣t，∵AP＝BQ，∴BQ＝AB﹣PB＝5+t，∴S＝BQ•PE＝×（5+t）×（﹣t）＝﹣t2﹣3t；（3）∵S＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+2）2+3，∴当t＝﹣2时，S有最大值，∴P（﹣2，），∵Q点在y＝﹣x+3上，设Q（a，﹣a+3），BQ＝，∴＝，∴a＝±2，∵Q在线段BC上，0≤a≤4，∴Q（2，），∴PQ＝4，如图1：当N点在PQ上方时，过N点作NH⊥PQ交于点H，∵PQ∥x轴，∴tan∠NPH＝，∴sin∠NPH＝＝，∵PN＝PQ＝4，∴NH＝，∴N点纵坐标为+＝，∴N（，）；同理，当N点在PQ下方时，N点纵坐标为﹣＝﹣，∴N（﹣，﹣）；∵P、Q关于y轴对称，当PQ为菱形对角线时，∴N（0，3）时，NPMQ是菱形；如图2：当PN为菱形对角线时，Q点关于直线y＝x+3对称的点为M，设Q与PN的交点为G，过G点作LK⊥PQ交PQ于点K，交MN于点L，∵MQ⊥PN，cos∠GPQ＝，∴＝＝，∴GP＝，∴sin∠GPK＝＝，∴GK＝，∵LG＝GK，∴KL＝，∴N点的纵坐标为+＝，∴N（，）；综上所述：点P，Q，M，N为顶点的四边形是菱形时，N点坐标为（，）；或（﹣，﹣）或（0，3）或（，）．6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+6m与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴负半轴上，且OB＝2OC．（1）求tan∠ACB的值；（2）把△ABC沿y轴翻折，使点A落在x轴的点D处，点P为线段AC上一点，连接PD 交y轴于点E，设点P横坐标为n，△PCD的面积为S，求S与m、n的函数解析式（用含m、n的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，若PD＝BD，点E的纵坐标为﹣1，求直线PD的解析式．解：（1）在y＝x+6m中，令y＝0，则x+6m＝0，解得：x＝﹣3m，令x＝0，则y＝6m，∴点A（﹣3m，0），B（0，6m），∴AO＝3m，OB＝6m，∵OB＝2OC，∴OC＝OB＝3m，在Rt△AOC中，tan∠ACB＝；（2）由（1）知，tan∠ACB＝，∴∠ACB＝60°，∴∠OAC＝30°，如图2，过P作PH⊥y轴于H，过点D作DN⊥AC于N，∵点P横坐标为n，∴PH＝﹣n，∵PH∥OA，∴∠HPC＝∠OAC＝30°，∴cos∠HPC＝＝，∴PC＝﹣，在Rt△AND中，DN＝AD•sin∠DAN，∵把△ABC沿y轴翻折，使点A落在x轴的点D处，∴AD＝2AO＝6m，∴DN＝6m×＝3m，∴S＝PC•DN＝m，∴S＝﹣3mn；（3）如图3，延长AC到Q，使CQ＝CB，连接BP，过D作DK∥y轴交CQ于K，∵∠ACB＝∠BCD＝60°，∴∠DCN＝60°，∴∠BCD＝∠DCQ，∵CD＝CD，∴△CBD≌△CQD（SAS），∴∠CBD＝∠Q，BD＝DQ，∵BD＝PD，∴PD＝DQ，∴∠DPQ＝∠Q，∴∠DPQ＝∠DBC，∴点B，P，C，D四点共圆，∴∠PCB＝∠BDP＝60°，∵BD＝PD，∴△PBD为等边三角形，∵DK∥y轴，∴∠DKC＝∠ACB＝60°，∵∠DCK＝60°，∴△DCK是等边三角形，∴DK＝CK＝CD＝6m，∵∠BDP＝∠CDK＝60°，∴∠BDC＝∠PDK，∵BD＝PD，CD＝DK，∴△BDC≌△PDK（SAS），∴PK＝BC＝9m，∴PC＝3m，∵点E的纵坐标为﹣1，∴OE＝1，∴CE＝3m﹣1，∵CE∥DK，∴，∴，∴m＝1，∴D（3，0），E（0，﹣1），设直线PD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PD的解析式为y＝x﹣1．7．如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．（1）求出点A，点B的坐标．（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线m，在直线m上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．解：（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，设x＝0，则y＝2，∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；（2）∵点C（﹣2，0），点B（0，2），∴OC＝2，OB＝2，∵P是直线AB上一动点，∴设P（m，m+2），∵△BOP和△COP的面积相等，∴×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m ＝±4，当m ＝﹣4时，点P 与点A 重合，∴点P 坐标为（4，4）；（3）存在；理由：如图1，①当点B 1是直角顶点时，∴B 1Q ＝B 1A 1，∵∠A 1B 1O +∠QB 1H ＝90°，∠A 1B 1O +∠OA 1B 1＝90°，∴∠OA 1B 1＝∠QB 1H ，在△A 1OB 1和△B 1HQ 中，，∴△A 1OB 1≌△B 1HQ （AAS ），∴B 1H ＝A 1O ，OB 1＝HQ ＝2，∴B 1（0，﹣2）或（0，2），当点B 1（0，﹣2）时，Q （﹣2，2），当点B 1（0，2）时，∵B （0，2），∴点B 1（0，2）（不合题意舍去），∴直线AB 向下平移4个单位，∴点Q 也向上平移4个单位，∴Q （﹣2，2），②当点A 1是直角顶点时，A 1B 1＝A 1Q ，∵直线AB的解析式为y＝x+2，由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+b，∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，∵A1B1⊥A1Q，∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4b∴Q（﹣2，4﹣4b），∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，∴20b2﹣40b+20＝5b2，∴b＝2或b＝，∴Q （﹣2，﹣4）或（﹣2，）；③当Q 是直角顶点时，过Q 作QH ⊥y 轴于H ，∴A 1Q ＝B 1Q ，∵∠QA 1C 1+∠A 1QC ＝90°，∠A 1QC +∠CQB 1＝90°，∴∠QA 1C ＝∠CQB 1，∵m ∥y 轴，∴∠CQB 1＝∠QB 1H ，∴∠QA 1C ＝∠QB 1H在△A 1QC 与△B 1QH 中，，∴△A 1QC ≌△B 1QH （AAS ），∴CQ ＝QH ＝2，B 1H ＝A 1C ，∴Q （﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：满足条件的点Q 为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．8．如图，已知直线y ＝x ﹣4分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，直线OG ：y ＝kx （k ＜0）交AB 于点D ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，点E 是线段OB 的中点，连结AE ，点F 是射线OG 上一点，当OG ⊥AE ，且OF ＝AE 时，求EF 的长；（3）如图2，若k ＝﹣，过B 点作BC ∥OG ，交x 轴于点C ，此时在x 轴上是否存在点M ，使∠ABM +∠CBO ＝45°，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令y＝0，则x﹣4＝0，∴x＝4，令x＝0，则y＝﹣4，∴A（4，0），B（0，﹣4）；（2）∵A（4，0），B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，∵点E是线段OB的中点，∴OE＝2，过F作FB′⊥y轴于B′，∴∠AOE＝∠OB′F＝90°，∵OG⊥AE，∴∠OAE+∠AOF＝∠B′OG+∠AOF＝90°，∴∠OAE＝∠B′OF，∵OF＝AE，∴△AOE≌△OB′F（AAS），∴FB＝OE＝2，OB′＝OA＝4，∵OB＝4，∴点B与点B′重合，∴EF＝＝＝2；（3）存在，∵k＝﹣，∴直线OG：y＝﹣x（k＜0），∵BC∥OG，∴设直线BC的解析式为y＝﹣x﹣4，当y＝0时，即﹣x﹣4＝0，∴x＝﹣3，∴C（﹣3，0），如图，当点M在点A的左侧，∵∠ABO＝45°，∠ABM+∠CBO＝45°，∴∠MBO＝∠CBO，∵∠COB＝∠NOB＝90°，OB＝OB，∴△BCO≌△BMO（ASA），∴OM＝OC＝3，∴M（3，0）；当点M在点A的右侧时，∵∠OAB＝∠AM′B+∠ABM′＝45°，∠ABM+∠CBO＝45°，∴∠AM′B＝∠OBC，∵∠CBO＝∠M′OB，∴∠COB+∠OBM′＝90°，设OM′＝a，∴BM′＝，＝OB×CM′＝BC•BM′，∵S△CBM′∴4×（3+a）＝×，解得：a＝，∴M′（，0），综上所述，点M的坐标为：（3，0），（，0）．9．如图1，对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”．（1）△PAQ是等腰直角三角形；（2）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q．①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为（0，﹣2）；②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）如图2，已知点D的坐标为（3，0），点C在直线y＝2x上，若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标．解：（1）∵将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，∴∠PAQ＝90°，PA＝QA，∴△PAQ是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角；（2）A的坐标为（0，0），即点A是原点，根据旋转的性质得：①∵点P的坐标为（2，0），∴点Q（0，﹣2），②∵若点Q的坐标为（﹣2，1），∴点P的坐标为：（﹣1，﹣2），故答案为：（0，﹣2），（﹣1，﹣2），；（3）①当点C在第一象限时，则点C关于点D的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，故点C（3，6）；②当点C在第三象限时，如下图：设点C（m，2m），点C′（0，n），点C的“垂链点”C′在y轴上，过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠CDH+∠HCD＝90°，∠OC′D+∠CDH＝90°，∴∠HDC＝∠OC′D，∵∠DHC＝∠DOC′＝90°，DC＝C′D，∴△CDH≌△DC′O（AAS），则CH＝DO，即：﹣2m＝3，解得：m＝﹣，故点C（﹣，﹣3），综上，点C坐标（3，6）或（﹣，﹣3）．10．如图，已知A（8，m）为正比例函数的图象上一点，AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求m的值；（2）点P从O出发，以每秒2个单位的速度，沿射线OA方向运动．设运动时间为t（s）．①过点P作PQ⊥OA交直线AB于点Q，若△APQ≌△ABO，求t的值；②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得△POB为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（8，m）在正比例函数的图象上，∴当x＝8时，y＝6，∴m的值为6；（2）∵A（8，6），∴OA＝10，①若△APQ≌△ABO，则AP＝AB＝6．当点P在线段OA上时，得OP＝4，即2t＝4，解得t＝2；当点P在线段OA的延长线上时，得OP＝16，即2t＝16，解得t＝8；②若PO＝PB，则点P在OB的垂直平分线上，此时OP＝5，即2t＝5，∴t＝2.5；若OP＝OB，则OP＝8，即2t＝8，∴t＝4；若BP＝BO，则可得OP＝12.8，即2t＝12.8，∴t＝6.4．综上可得当t的值为2.5或4或6.4时，△POB为等腰三角形．11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣3k与x轴交于A，与y轴交B．（1）求点A的坐标；（2）点D是第一象限内一点，连接AD，∠OAD＝45°，连接BD，将线段BD绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作EC⊥y轴于点C，求线段OC的长；（3）在（2）的条件下，点C和点B关于x轴对称，过点C作CF∥DE交x轴干点F，点G在x轴负半轴上，OG＝AF，BD交OA于点H，点M为BH的中点，连接OM并延长交AB 于点N，连接GN，若GN＝ON，求点D的坐标．解：（1）∵直线y＝kx﹣3k与x轴交于A，令y＝0，则kx﹣3k＝0，∴x＝3，∴点A的坐标为（3，0）；（2）如图1，由（1）知，A（3，0），∴OA＝3，∵∠OAD＝45°，∴直线AD与y轴相交于C'，∴OC'＝3，设直线AD的解析式为y＝﹣x+3，设点D（a，﹣a+3），∴DQ＝a，OQ＝﹣a+3，由旋转知，BD＝ED，∠BDE＝90°，过点D作DQ⊥y轴于Q，过点E作EP⊥DQ交DQ的延长线于P，∴∠EDP+∠BDQ＝90°，∴∠DBQ+∠BDQ＝90°，∴∠EDP＝∠DBQ，∴△DEP≌△BDQ（AAS），∴PE＝DQ＝a，∴EC⊥y轴，∴四边形EPQC是矩形，∴PE＝CQ，∴OC＝CQ+OQ＝DQ+OQ＝a+（﹣a）+3＝3；（3）如图2，由（2）知，OC＝3，∵点C和点B关于x轴对称，∴OB＝3，∴B（0，﹣3），即直线AB的解析式为y＝x﹣3，由（2）知，∠PDE＝∠QBD，∵DP∥CE，∴∠CED＝∠PDE，∴∠QBD＝∠CED，∵DE∥CF，∴∠CED＝∠FCT，∴∠QBD＝∠FCT，∵CE∥x轴，∴∠FCT＝∠OFC，∴∠QBD＝∠OFC，过点N作NK⊥x轴于K，∴NK∥BO，∴∠BOM＝∠ONK，∵点M是BH的中点，∴BM＝OM，∴∠BOM＝∠QBD，∴∠ONK＝∠QBD＝∠OFC，设点N（n，n﹣3），∴OK＝n，NK＝3﹣n，∵∠ONK＝∠OFC，∠COF＝∠OKN＝90°，∴△ONK∽△CFO，∴，∴，∴OF＝，∵AF＝OG，∴AG＝OF＝，AK＝NK＝3﹣n，∴GK＝AG﹣AK＝﹣（3﹣n）＝，∴，＝，∴，∵∠OKN＝∠NKG＝90°，∴△ONK∽△NGK，∴，∵GN＝ON，∴，∴n＝，设点D（m，3﹣m），∴DQ＝m，BQ＝OB+OQ＝3+（3﹣m）＝6﹣m，∵∠QBD＝∠KNO，∠BQD＝∠NKO＝90°，∴△BQD∽△NKO，∴，∴，∴m＝2n＝，∴D（，）．12．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA．（1）求B点坐标为（0，4）；线段OA的长为 3 ；（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积．解：（1）∵直线y＝﹣x+4交坐标轴于A、B两点，∴当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝4，∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），∴OA＝3；故答案为：（0，4），3；（2）∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA，∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，∵点A（3，0），∴OA＝3，∴OE＝3，∴点E的坐标为（0，3），设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，，得，∴直线CE的解析式为y＝x+3，即直线CD的解析式为y＝x+3，由，得，即点D的坐标为（，）；（3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，证明：∵△COE≌△BOA，∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，∴∠MON＝∠BOA＝90°，∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，∴∠MOE＝∠NOA，在△MOE和△NOA中，，∴△MOE≌△NOA（SAS），∴OM＝ON，即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；②由①知OM＝ON，∵OM⊥ON，∴△OMN面积是：＝，∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，∴CE＝5，∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，∴，∴，解得，OM＝，∴△OMN面积取得最小值是：＝，当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为（a，a+3），∴＝，解得，a＝﹣，∴a+3＝，∴点M的坐标为（，），由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（，）和△OMN面积是13．如图，平面直角坐标系中，点A在第四象限，点B在x轴正半轴上，在△OAB中，∠OAB ＝90°，AB＝AO＝6，点P为线段OA上一动点（点P不与点A和点O重合），过点P 作OA的垂线交x轴于点C，以点C为正方形的一个顶点作正方形CDEF，使得点D在线段CB上，点E在线段AB上．（1）①求直线AB的函数表达式．②直接写出直线AO的函数表达式y＝﹣x；（2）连接PF，在Rt△CPF中，∠CFP＝90°时，请直接写出点P的坐标为（3，﹣3）；（3）在（2）的前提下，直线DP交y轴于点H，交CF于点K，在直线OA上存在点Q．使得△OHQ的面积与△PKE的面积相等，请直接写出点Q的坐标（2，﹣2）或（﹣2，2）．解：（1）①∵在△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝AO＝6，∴△AOB是等腰直角三角形，OB＝12，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴点A的坐标为（6，﹣6），点B的坐标为（12，0），设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，，得，即直线AB的函数表达式是y＝x﹣12；②设直线AO的函数表达式为y＝ax，6a＝﹣6，得a＝﹣1，即直线AO的函数表达式为y＝﹣x，故答案为：y＝﹣x；（2）点P的坐标为（3，﹣3），理由：∵在Rt△CPF中，∠CFP＝90°，∠CFE＝90°，∴点P、F、E三点共线，∴PE∥OB，∵四边形CDEF是正方形，∠OPC＝90°，∠COA＝45°，∴CF＝PF＝AF＝EF，∴PE是△OAB的中位线，∴点P为OA的中点，∴点P的坐标为（3，﹣3），故答案为：（3，﹣3）；（3）由（2）可知，PE＝6，FK＝1.5，∴△PKE的面积是＝4.5，∵△OHQ的面积与△PKE的面积相等，∴△OHQ的面积是4.5，设直线PD的函数解析式为y＝mx+n∵点P（3，﹣3），点D（9，0）在直线PD上，∴，得，∴直线PD的函数解析式为y＝，当x＝0时，y＝﹣，即点H的坐标为（0，﹣），∴OH＝设点Q的横坐标为q，则，解得，q＝±2，∵点Q在直线OA上，直线OA的表达式为y＝﹣x，∴当x＝2时，y＝﹣2，当x＝﹣2时，x＝2，即点Q的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2），故答案为：（2，﹣2）或（﹣2，2）．14．如图1，直线y＝kx+b（k≠0，k、b为常数）交x轴的正半轴于点A（4，0），交y 轴正半轴于点B，tan∠ABO＝．（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB中点，点P是x轴负半轴上一点，连接PC，设点P的横坐标为t，△APC的面积为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．（3）在（2）的条件下，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线1∥PM，过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线1于点F，连接PF、OM，2∠PFO+∠AFE＝180°，△PMO的面积为m，求t值．解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0，k、b为常数）交x轴的正半轴于点A（4，0），交y 轴正半轴于点B，tan∠ABO＝，∴OA＝4，＝，∴OB＝8，∴点B的坐标为（0，8），∴，解得，即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8；（2）∵点C是线段AB中点，点P是x轴负半轴上一点，点A（4，0），点B的坐标为（0，8），∴点C的坐标为（2，4），∵点P的横坐标为t，△APC的面积为m，∴AP＝4﹣t，∴m＝＝﹣2t+8，即m与t之间的函数关系式是m＝﹣2t+8；（3）∵△AMP是等腰三角形，NP＝MA，∴∠MAP＝∠MPA，设∠MAP＝α，∵直线l∥MP，∴∠FAP＝∠MPA＝α，∴∠FAE＝2α，∵FE⊥AM，∴∠FEA＝90°，∴∠AFE＝90°﹣2α，又∵∠NFP+∠PFO+∠AFE＝180°，2∠PFO+∠AFE＝180°，∴∠NFP＝∠PFO＝（180°﹣∠AFE）＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，又∵∠NFP＝∠FPA+∠FAP，∴45°+α＝∠FPA+α，得∠FPA＝45°，过点P作PN⊥x轴于点P，交直线l于点N，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交直线l于点T，如图2所示，∴∠NPA＝90°，∴∠FPF＝45°，在△BFP和△OFP中∴△BFP≌△OFP（ASA）∴NP＝OP，∵PN∥MT，MP∥直线l，∴四边形NPMT是平行四边形，∴NP＝MT，又∵∠TAQ＝∠MAQ，AQ＝AQ，∠AQT＝∠AQM，∴PN＝MT＝2MQ＝2QT，∵点P的横坐标为t，点P是x轴负半轴上一点，∴QM＝﹣t，OP＝﹣t，∴△PMO的面积是：，∵PMO的面积为m，m＝﹣2t+8，∴＝（﹣2t+8），解得，t1＝﹣8，t2＝（舍去），即t的值是﹣8．15．已知直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，四边形OBCD的面积为36．（1）求直线AB的解析式；（2）点P为线段OD上一点，连接CP，点H为CP上一点，连接BH，且BH＝BC，过点H 作CP的垂线交CD、OB于E、F，连接AE、AC，设点P的横坐标为t，△ACE的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，连接OH，过点F作FK⊥OH交x轴于点K，若PD＝PK，求点P 的坐标．解：（1）∵将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，∴OB＝BC，∠OBC＝90°，∵CD⊥x轴于点D，∴∠CDO＝90°，∵∠BOD＝90°，∴四边形OBCD为正方形，∵四边形OBCD的面积为36．∴OB＝6，∴B（0，6），∵直线y＝2x+b与y轴交于点B，∴b＝6，∴直线AB的解析式为y＝2x+6；（2）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，∴A（﹣3，0），如图1，过点B作BL⊥CP，垂足为L，交CD于点M，∵BH＝BC，∴CL＝HL，∵BL⊥CP，EF⊥CP，∴BM∥EF，∴CM＝ME，∵∠CBM+∠BMC＝∠BMC+∠MCL＝90°∴∠CBM＝∠PCD，∵∠BCM＝∠PDC，BC＝CD，∴△BCM≌△CDP（ASA），∴CM＝PD，∴PD＝CM＝ME＝6﹣t，∴CE＝2CM＝2（6﹣t），∵AD＝OA+OD＝9，∴S＝＝＝﹣9t+54（0≤t≤6）；（3）设PD＝a，如图2，∵BF∥CD，BM∥EF，∴四边形BFEM是平行四边形，∴BF＝EM＝PD＝a，∴OF＝OP，连接FP，设FK与OH交于A'，∴∠OFP＝45°，∵∠FOP+∠FHP＝180°，∴F、O、P、H四点共圆，∴∠OFP＝∠OHP＝45°，∴∠OHF＝45°，∵FK⊥OH，∴∠FA'H＝90°，∴∠EFK＝45°，如图3，过点E作ER⊥EF交射线FK于点R，∴△EFR为等腰直角三角形，∴EF＝ER，过点F作FG⊥CD于点G，过点R作x轴的平行线交y轴于点Q，交CD的延长线于点N，连接KE、∴∠RNE＝∠FGE＝90°，∠FEG＝∠ERN，∴△EFG≌△REN（AAS），∴EN＝FG，EG＝RN＝PD＝a，∵CG＝BF＝a，GE＝a，设ED＝b，∴DN＝CE＝2a＝OQ，OF＝a+b，∵PD＝PK＝a，OD＝CD＝2a+b，∴OK＝b，∵OK∥QR，∴，即，∴b（3a+b）＝（a+b）2，∴a＝b，∴3a＝6，∴a＝2，∴P（4，0）．16．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B 运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A 同时出发，设运动时间为t秒．（1）如果点Q的速度为每秒个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标．解：（1）根据题意，得当t＝5时，AP＝5，AQ＝3，∴B（8，0），A（0，6），∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，∴＝＝，∠PAQ＝∠BAO，∴△APQ∽△ABO；（2）如图：过点Q作QE⊥OA于点E，在Rt△AOB和Rt△AQE中，sin∠BAO＝＝，sin∠QAE＝＝，∴＝，∴QE＝t，∴S＝AP•QE＝16，△APQ即×t×t＝16∴t＝2．答：那么2秒时，△APQ的面积为16．（3）如图：设点Q的速度为每秒x个单位长度，当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，∴PQ∥OB，∴＝，即＝，∴PQ＝，∴H（，6）．设点Q的速度为每秒x个单位长度，当t＝4时，AP＝4，AQ＝4x，∵以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，当AP为矩形对角线时，如备用图所示：当AQ⊥PQ时，过点H作HE⊥AP于点E，此时四边形AHPQ是矩形，则∠AQP＝∠AOB＝90°，∵∠PAQ＝∠BAO，∴△APQ∽△ABO，∴＝，∴PQ＝＝，则AH＝PQ＝，∵∠AEH＝∠AOB＝90°，∵∠HAE+∠PAQ＝∠PAQ+∠ABO＝90°，∴∠HAE＝ABO，∴△HAE∽△BAO，∴＝＝，∴HE＝×＝，AE＝×＝，则OE＝AO﹣AE＝6﹣＝，所以此时点H的坐标为：（﹣，）．综上所述：若t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，则点H的坐标为：（，6）．（﹣，）．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）点P从B点出发，沿射线BO方向运动，速度为每秒一个单位，当t为何值时，△ABP为直角三角形？（直接写出答案）（3）点E（5，0）过点E作直线l⊥x轴，点C在直线l上，点D在x轴上，以A、B、C、D四个点组成的四边形是平行四边形，请直接写出点D坐标．解：（1）∵直线y＝x+4，∴当y＝0时，x＝﹣3，当x＝0时，y＝4，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为：（0，4）；（2）当t为4或时，△ABP为直角三角形，理由：当∠BPA＝90°时，此时点P与点O重合，此时t＝OB＝4，当∠BAP＝90°时，△BAO∽△BPA，则，∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为：（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵∠BOA ＝90°，∴AB ＝5，∴，解得，BP ＝，由上可得，当t 为4或时，△ABP 为直角三角形；（3）点D 坐标是（2，0）或（8，0），理由：当四边形ABC 1D 1是平行四边形时，∵点A 的坐标为（﹣3，0），点B 的坐标为：（0，4），点E 的坐标为（5，0）， ∴BC 1＝5，∵四边形ABC 1D 1是平行四边形，∴BC 1＝AD 1，∴AD 1＝5，∵点A 的坐标为（﹣3，0），∴点D 1的坐标为（2，0）；当四边形ABD 2C 2是平行四边形时，则ED 2＝OA ，∵点A 的坐标为（﹣3，0），点E 的坐标为（5，0），∴OA ＝3，∴OD 2＝8，∴D 2的坐标为（8，0）；由上可得，点D 坐标是（2，0）或（8，0）．18．已知直线l 1：y ＝﹣x ﹣1分别与x 、y 轴交于点A 、B ．将直线l 1平移后过点C （4，0）得到直线l 2，l 2交直线AD 于点E ，交y 轴于点F ，且EA ＝EC ．（1）求直线l 2的解析式；（2）若点P 为x 轴上任一点，是否存在点P ，使△DEP 的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P 的坐标；（3）已知M 为第二象限内直线l 2上任一点，过点M 作MN 平行于y 轴，交直线l 1于点N ，点H 为直线AE 上任一点．是否存在点M ，使得△MNH 是以H 点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线l 1平移后过点C （4，0）得到直线l 2，∴设直线l 2解析式为y ＝﹣x +b ，∵点C （4，0）在直线l 2上，∴0＝﹣×4+b ，∴b ＝2，∴直线l解析式为y＝﹣x+2，2（2）如图，∵直线l：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．1∴A（﹣2，0），B（0，﹣1），∵C（4，0），当x＝＝1时，y＝﹣×1+2＝，∴E（1，），∵A（﹣2，0），∴直线AE解析式为y＝x+1，∴D（0，1），∴点B，D关于x轴对称，∴连接BE与x轴的交点就是P，∵B（0，﹣1），E（1，），∴直线BE的解析式为y＝x﹣1，∴P（，0），∴△DEP的周长最小值＝DE+BE＝+＝+，（3）存在，理由：如图1，过点H作HG⊥MN，解析式为y＝﹣x+2，∴直线l2∴设M（m，﹣m+2）（m＜0），于点N，∵MN平行于y轴，交直线l1∴N（m，﹣m﹣1），∴MN＝﹣m+2﹣（﹣m﹣1）＝3，G（m，﹣m+），∵点H在直线AE上，∴H（﹣m﹣1，﹣m+），∴HG＝|﹣m﹣1﹣m|＝|﹣2m﹣1|，∵△MNH是以H点为直角顶点的等腰直角三角形，∴HG＝MN＝，∴|﹣2m﹣1|＝，∴m＝（舍）或m＝﹣，∴M（﹣，）．19．如图1，在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB＝4，AD＝3．点Q从B 点出发以每秒1个单位长度的速度沿B→C→D运动，当点Q到达点D时，点Q停止运动，设点Q运动的时间为t秒．（1）请直接写出图1中，点C的坐标，并求出直线OC的表达式；（2）求△ACQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图2，当点Q开始运动时，点P从C点出发以每秒2个单位长度的速度运动向点A运动，当点P到达A点时点Q和点P同时停止运动，当△QCP与△ABC相似时，求出相应的t值．解：（1）∵在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB＝4，AD＝3，∴点C的坐标为（4，﹣3），设直线OC的函数解析式为y＝kx，﹣3＝4k，得k＝﹣，即直线OC的表达式为y＝﹣x；（2）当0≤t＜3时，S＝＝﹣2t+6，当3＜t≤7时，S＝＝，由上可得，S＝；（3）∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴AC＝5，当△ABC∽△QPC时，则，∵AC＝5，QC＝3﹣t，CB＝3，CP＝2t，∴，解得，t＝；当△ABC∽△PQC时，，∵AC＝5，PC＝2t，BC＝3，QC＝3﹣t，∴，解得，t＝；。

中考初三数学冲刺拔高专题训练(含答案)(可编辑修改word版)

1中考数学冲刺拔高专题训练目录专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1)专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5)专题提升(三) 数式规律型问题 (9)专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (15)专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (22)专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (31)专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (41)专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (48)专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (54)专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (60)专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (69)专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (77)专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (83)专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (91)专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (98)专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (105)专题提升(一)数形结合与实数的运算类型之一数轴与实数【经典母题】如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．图Z1－1【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．【中考变形】1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(C)图Z1－2A.5＋1B. 5C.5－1 D．1－ 5【解析】∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E 点表示的数为5－1.2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是(D)图Z1－3A．M B．N C．P D．Q3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是(C)图Z1－4A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－bC．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a【解析】∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a. 4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为(B)图Z1－5A．0 B．1 C．2 D．3【解析】根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋x ＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1. 5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(A)图Z1－6A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间【解析】∵点P的坐标为(－2，3)，∴OP＝22＋32＝13.∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，∴OA＝OP＝13，∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.∵点A在x轴的负半轴上，∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.6．[2017·成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是__－2__．图Z1－7【中考预测】如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是(C)图Z1－8A．a＞b B．|a|＞|b|C．－a＜b D．a＋b＜0【解析】由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C.类型之二实数的混合运算【经典母题】计算：2×(3＋5)＋4－2× 5.解：2×(3＋5)＋4－2×5＝2×3＋2×5＋4－2×5＝6＋4＋2×5－2×5＝10.【中考变形】1．[2016·台州]计算： 4－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋2－1.解：原式＝2－12＋12＝2.2．[2017·临沂]计算：|1－2|＋2cos45°－8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.解：|1－2|＋2cos45°－8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2－1＋2×22－22＋2＝2－1＋2－22＋2＝1.3．[2017·泸州]计算：(－3)2＋2 0170－18×sin45°. 解：(－3)2＋2 0170－18×sin45°＝9＋1－32×22＝10－3＝7. 【中考预测】计算：12－3tan30°＋(π－4)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.解：12－3tan30°＋(π－4)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝23－3×33＋1－2＝3－1.专题提升(二) 代数式的化简与求值类型之一整式的化简与求值【经典母题】已知x ＋y ＝3，xy ＝1，你能求出x 2＋y 2的值吗？(x －y )2呢？解：x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝32－2×1＝7； (x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝32－4×1＝5.【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．完全平方公式的一些主要变形有：(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)，(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ，在四个量a ＋b ，a －b ，ab 和a 2＋b 2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．【中考变形】1．已知(m －n )2＝8，(m ＋n )2＝2，则m 2＋n 2的值为( C )A ．10B ．6C ．5D ．32．已知实数a 满足a －1a ＝3，则a 2＋1a 2的值为__11__.【解析】将a －1a ＝3两边平方，可得a 2－2＋1a 2＝9，即a 2＋1a 2＝11. 3．[2017·重庆B 卷]计算：(x ＋y )2－x (2y －x )．解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2.4．[2016·漳州]先化简(a ＋1)(a －1)＋a (1－a )－a ，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a 的取值有什么关系(不必说明理由)? 解：原式＝a 2－1＋a －a 2－a ＝－1. 故该代数式的值与a 的取值没有关系．【中考预测】先化简，再求值：(a －b )2＋a (2b －a )，其中a ＝－12， b ＝3.解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab －a 2＝b 2.当a ＝－12，b ＝3时，原式＝32＝9. 类型之二分式的化简与求值【经典母题】计算：(1)a b －b a －a 2＋b 2ab ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3xx －2－x x ＋2·x 2－4x . 解：(1)原式＝a 2－b 2ab －a 2＋b 2ab ＝－2b 2ab ＝－2ba ；(2)原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·x 2－4x ＝2x 2＋8x x 2－4·x 2－4x ＝2x ＋8.【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．【中考变形】1．[2017·重庆A 卷]计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a －2÷a 2－2a ＋1a ＋2.解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a 2－4a ＋2÷（a －1）2a ＋2＝（a ＋1）（a －1）a ＋2·a ＋2（a －1）2＝a ＋1a －12．[2017·攀枝花]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1÷x 2－1x 2＋x ，其中x ＝2.解：原式＝x ＋1－2x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝xx ＋1. 当x ＝2时，原式＝22＋1＝23.【中考预测】先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2＝（x －2）2x －3·x －3x －2＝x －2.当x ＝4时，原式＝x －2＝2. 类型之三二次根式的化简与求值【经典母题】已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求a 2－ab ＋b 2的值．解：∵a ＝3＋2，b ＝3－2，∴a ＋b ＝23，ab ＝1， ∴a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝(23)2－3＝9.【思想方法】在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a ＋b ，a －b ，ab 当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．【中考变形】1．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为 ( C )A ．9B ．±3C ．3D ．52．[2016·仁寿二模]先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1.解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab ＝a －b a ＋b ·ab b －a ＝－aba ＋b ，当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－122＝－24.3．[2017·绵阳]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y x 2－2xy ＋y 2－x x 2－2xy ÷yx －2y ，其中x ＝22，y ＝ 2. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y （x －y ）2－x x （x －2y ）÷yx －2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y －1x －2y ÷y x －2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2y ）－（x －y ）（x －y ）（x －2y ）÷yx －2y＝－y （x －y ）（x －2y ）·x －2y y ＝－1x －y . 当x ＝22，y ＝2时，原式＝－1x －y ＝－12＝－22. 【中考预测】先化简，再求值：1a ＋b ＋1b ＋ba （a ＋b ），其中a ＝5＋12，b ＝5－12. 解：原式＝ab ＋a （a ＋b ）＋b 2ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）2ab （a ＋b ）＝a ＋bab ，∵a ＋b ＝5＋12＋5－12＝5，ab ＝5－12×5＋12＝1，∴原式＝ 5.专题提升(三)数式规律型问题【经典母题】观察下列各式：52＝25；152＝225；252＝625；352＝1 225；…你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．【中考变形】1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2＝1；8＋7－6－5＝4；15＋14＋13－12－11－10＝9；24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；…根据以上规律可知第10行左起第1个数是(C)A．100 B．121 C．120 D．82【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)图Z3－1A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋nC．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的(D)图Z3－2【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2 017÷4＝504……1，∴2 017是第505个循环组的第2个数，∴从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是.故选D.4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走(D)A．②号棒B．⑦号棒图Z3－3C ．⑧号棒D ．⑩号棒【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：图Z3－4按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为( D )A ．3nB ．6nC ．3n ＋6 D.3n ＋3 【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n 个图需棋子(3n ＋3)个．6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．【解析】根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1＋2＋3＋…＋n ，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n ＝2 016，得n （n ＋1）2＝2 016，解得n ＝63(负数舍去)． 7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1，第2位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1，第3位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1，…这样得到的100个数的积为__101__.【解析】 ∵第1位同学报的数为11＋1＝21，第2位同学报的数为12＋1＝32，第3位同学报的数为13＋1＝43，…∴第100位同学报的数为1100＋1＝101100，∴这样得到的100个数的积＝21×32×43×…×101100＝101.8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n＋3__．图Z3－5【解析】∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3.9．观察下列等式：第一个等式：a1＝11＋2＝2－1；第二个等式：a2＝12＋3＝3－2；第三个等式：a3＝13＋2＝2－3；第四个等式：a4＝12＋5＝5－2；…按上述规律，回答以下问题：(1)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n ；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝__n＋1－1__【解析】a1＋a2＋a3＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示)．图Z3－6【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n －1)＝4n ＋1(个)．11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n 个图案中有__5n ＋1__根小棒．图Z3－7【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒，…∴第n 个图案中有6＋5(n －1)＝5n ＋1根小棒．12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．由图易得12＋122＋123＋…＋12n ＝__1－12n __.图Z3－813．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：图Z3－9【解析】 1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.(2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：图Z3－101＋3＋5＋…＋(2n－1)＋__2n＋1__＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．【解析】观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n ＋1.【中考预测】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？图Z3－11解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4×4＋2＝18(人)；把8张餐桌拼起来能坐4×8＋2＝34(人)；(2)设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90，解得x＝22.答：这样的餐桌需要22张．专题提升(四) 整式方程(组)的应用类型之一一元一次方程的应用【经典母题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t ，还剩下8 t 未装；若每辆车装4.5 t ，恰好装完．这个车队有多少辆车？解：设这个车队有x 辆车，依题意，得4x ＋8＝4.5x ，解得x ＝16.答：这个车队有16辆车．【思想方法】利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．【中考变形】1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是( C )A ．25台B ．50台C ．75台D ．100台【解析】设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是(100－x )台，根据题意可得x ＝3(100－x )，解得x ＝75.2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭⎪⎫36－3x 2＝45，解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．【中考预测】[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．图Z4－1解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，由题意，得10x ＋5×3x ＝30，解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．类型之二二元一次方程组的应用【经典母题】用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？图Z4－2解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．根据题意，得⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝400.答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．【思想方法】利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．【中考变形】1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．①②图Z4－3解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3＋1.4，解得⎩⎨⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得⎩⎨⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩⎨⎧x ＝120，y ＝80.答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．【中考预测】随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：(1)求p ，q 的值；(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.由题意得⎩⎨⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝12； (2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．类型之三一元二次方程的应用【经典母题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？解：(1)100－3 600－3 00050＝88(辆)．答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600，解得x 1＝900，x 2＝1 200，∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．【中考变形】1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3.答：此批次蛋糕属第3档次产品．⎝ ⎛⎭⎪⎫或：∵14－102＋1＝3，∴此批蛋糕属第3档次产品. (2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1 080，解得x1＝5，x2＝11(舍去)．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2．[2017·重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.(2)由题意，得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5.【中考预测】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．则y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.解得a＝3或a＝7，为了使顾客得到实惠，∴a＝3.答：每千克应涨价3元．专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用类型之一一次函数的图象的应用【经典母题】如图Z5－1，由图象得⎩⎨⎧5x －2y ＋4＝0，3x ＋2y ＋12＝0的解是 ⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－3．图Z5－1【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标；(2)一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数形结合的思想．【中考变形】1．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便．五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h 后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y (km)与乘车时间t (h)的关系如图Z5－2所示．请结合图象解决下列问题：图Z5－2(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？(3)若乐乐要提前18 min到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？解：(1)v＝2402－1＝240(km/h)，答：高铁的平均速度为240 km/h；(2)设乐乐离开衢州的距离y与时间t的函数关系为y＝kt，则1.5k＝120，k＝80，∴函数表达式为y＝80t，当t＝2时，y＝160，216－160＝56(km)．答：乐乐距离游乐园还有56 km；(3)把y＝216代入y＝80t，得t＝2.7，2．7－1860＝2.4(h)，2162.4＝90(km/h)．答：乐乐要提前18 min到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h. 2．[2017·宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2 min，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1 min到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5－3所示．图Z5－3(1)求点A的纵坐标m的值；(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．解：(1)校车的速度为3÷4＝0.75(km/min)，点A的纵坐标m的值为3＋0.75×(8－6)＝4.5.答：点A的纵坐标m的值为4.5；(2)校车到达学校站点所需时间为9÷0.75＋4＝16(min)，出租车到达学校站点所需时间为16－9－1＝6(min)，出租车的速度为9÷6＝1.5(km/min)，两车相遇时出租车出发时间为0.75×(9－4)÷(1.5－0.75)＝5(min)，相遇地点离学校站点的路程为9－1.5×5＝1.5(km)．答：小刚乘坐出租车出发后经过5 min追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5 km.3．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图Z5－4①所示．方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发1 h；甲出发0.5 h 与乙相遇…请你帮助方成同学解决以下问题：(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；(2)当20＜y＜30时，求t的取值范围；(3)分别求出甲，乙行驶的路程s甲，s乙与时间t的函数表达式，并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过43h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？图Z5－4解：(1)设直线BC 的函数表达式为y ＝kt ＋b ，把⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫73，1003分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝32k ＋b ，1003＝73k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝40，b ＝－60，∴直线BC 的表达式为y ＝40t －60. 设直线CD 的函数表达式为y 1＝k 1t ＋b 1，把⎝ ⎛⎭⎪⎫73，1003，(4，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧1003＝73k 1＋b 1，0＝4k 1＋b 1，解得⎩⎨⎧k 1＝－20，b 1＝80，∴直线CD 的函数表达式为y 1＝－20t ＋80；(2)设甲的速度为a km/h ，乙的速度为b km/h ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＝1.5b ，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫73－1＝73b ＋1003，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝20，∴甲的速度为60 km/h ，乙的速度为20 km/h ， ∴OA 的函数表达式为y ＝20t (0≤t ≤1)，∴点A 的纵坐标为20，OA 段，AB 段没有符合条件的t 值；当20＜y ＜30时，即20＜40t －60＜30或20＜－20t ＋80＜30，解得2＜t ＜94或52＜t ＜3；(3)根据题意，得s 甲＝60t －60⎝ ⎛⎭⎪⎫1≤t ≤73，s 乙＝20t (0≤t ≤4)，所画图象如答图所示；中考变形3答图(4)当t ＝43时，s 乙＝803，此时丙距M 地的路程s 丙与时间t 的函数表达式为s 丙＝－40t ＋80(0≤t ≤2)，当－40t ＋80＝60t －60时，解得t ＝75，答：丙出发75 h 与甲相遇．【中考预测】[2017·义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y (件)与时间x (h)的函数图象如图Z5－5所示．图Z5－5(1)直接写出甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式__y ＝60x (0＜x ≤6)__；(2)求乙组加工零件总量a 的值；(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？解：(1)∵图象经过原点及(6，360)，∴设表达式为y＝kx，∴6k＝360，解得k＝60，∴y＝60x(0＜x≤6)；(2)乙2 h加工100件，∴乙的加工速度是每小时50件，∴更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件，a＝100＋100×(4.8－2.8)＝300；(3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y＝100＋100(x－2.8)＝100x－180，当0＜x≤2时，60x＋50x＝300，解得x＝3011(不合题意，舍去)；当2＜x≤2.8时，100＋60x＝300，解得x＝103(不合题意，舍去)；当2.8＜x≤4.8时，60x＋100x－180＝300，解得x＝3，符合题意．答：经过3 h恰好装满第1箱．类型之二一次函数的性质的应用【经典母题】某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1 500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式；(2)在同一直角坐标系中画出它们的图象；(3)根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3 000元用于印刷上述宣传材料，找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？解：(1)甲厂的收费函数表达式为y甲＝x＋1 500，乙厂的收费函数表达式为y乙＝2.5x；(2)图略；。

2021年中考冲刺数学复习题及答案含详细解析(精华)

2021年中考冲刺数学复习题及答案含详细解析（精华）一、单选题1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2、已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．3、某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③ D．②→④→③→①【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D．【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤．4、如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（）A．4B．4C．10 D．8【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AE，如图：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝5，∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，∴AB＝＝＝4，∴AC＝＝＝4；故选：A．【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．5、对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【分析】平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．6、据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年【分析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．【解答】解：2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年，故选：B．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则、正确列出算式是解题的关键．7、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【解答】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝x tan65°，∴BD＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9、甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲45 94 93 5.3乙45 94 95 4.8A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C 不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．10、实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D．＜0【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，故A错误；|a|＞|b|，故B错误；a+b＜0，故C错误；＜0，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．二、填空题1、勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为20 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D 间的距离为13 km．【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的值．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）＝20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：（1）20；（2）13；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．2、如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是①④．（填写所有正确结论的序号）【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题．④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，故答案为①④．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3、现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是．【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案．【解答】解：∵现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，∴将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握计算公式是解题关键．4、武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是23℃．【分析】根据中位数的概念求解可得．【解答】解：将数据重新排列为18、20、23、25、27，所以这组数据的中位数为23℃，故答案为：23℃．【点评】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5、勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为20 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D 间的距离为13 km．【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的值．【解答】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）＝20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：（1）20；（2）13；【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．三、解答题(难度：中等)1、先化简（1﹣）÷，再将x＝﹣1代入求值．【分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．【解答】解：原式＝×＝x+2，将x＝﹣1代入得：原式＝x+2＝1．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．2、如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．由图象可得：kx+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n∴n＝﹣1∴B（4，﹣1）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A，点B∴，解得：k＝﹣1，b＝3∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣；（3）设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），∵S△AOC＝×3×1＝，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×4＝，∵S△AOP：S△BOP＝1：2，∴S△AOP＝×＝，∴S△COP＝﹣＝1，∴×3•x P＝1，∴x P＝，∵点P在线段AB上，∴y＝﹣+3＝，∴P（，）．【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．3、中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．4、如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．5、计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，解得：m＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），解得：n＝1，∴反比例函数解析式为y＝﹣．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，解得：，，∴点A的坐标为（1，﹣2）．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．∵AB⊥x轴，∴∠AEO＝∠CPD＝90°，∴△CPD∽△AEO．（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP＝∠AOE，∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，n的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD ＝90°；（3）利用相似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．7、某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？【分析】（1）设购买篮球x个，购买足球y个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个\购买这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可；（2）设购买了a个篮球，则购买（60﹣a）个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出x的最大整数解即可．【解答】解：（1）设购买篮球x个，购买足球y个，依题意得：．解得．答：购买篮球20个，购买足球40个；（2）设购买了a个篮球，依题意得：70a≤80（60﹣a）解得a≤32．答：最多可购买32个篮球．【点评】此题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．8、已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，则c＝4a；（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点；①c＝1，顶点A（1，0），抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，②，x2﹣（2+k）x+k＝0，x＝（2+k±），x D＝x B＝（2+k﹣），y D＝﹣1；则D，y C＝（2+k2+k，C，A（1，0），∴直线AD表达式中的k值为：k AD＝＝，直线AC表达式中的k值为：k AC＝，∴k AD＝k AC，点A、C、D三点共线．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大．。

2020年中考数学复习《分式方程应用题》中考常见题型练习题(附解析)

《分式方程应用题》中考常见题型练习1．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高某公司根据市场需求代理A，B 两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多300元，用4万元购进A 型净水器与用3.4万元购进B型净水器的数量相等（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A、B两种型号的净水器共50台进行试销，购买资金不超过9.85万元，其中A型净水器为x台试销时A型净水器每台售价2499元，B型净水器每台售价2099元．公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元（80＜a＜100）作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W （元），求W的最大值．2．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，改造总费用不超过220万元，至少安排甲队工作多少天？3．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．（1）这两次各购进这种衬衫多少件？（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2100元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？4．在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2：3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成．已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？5．某书店在图书批发中心选购A、B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多25元，若用2000元购进A种科普书的数量是用750元购进B种科普书数量的2倍．（1）求A、B两种科普书每本进价各是多少元；（2）该书店计划A种科普书每本售价为130元，B种科普书每本售价为95元，购进A 种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还少4本，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1240元，则至少购进B种科普书多少本？6．哈市某段地铁工程由甲、乙两工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队比乙工程队多用45天．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1.5万元，乙工程队施工每天需付施工费2.4万元，甲工程队最多要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过127万元？7．某超市准备购进A，B两种品牌台灯，其中A每盏进价比B每盏进价贵30元，A每盏售价120元，B每盏售价80元．已知用1040元购进A的数量与用650元购进B的数量相同．（1）求台灯A、B每盏的进价是多少元；（2）超市打算购进A，B台灯共100盏，要求售出A，B的总利润不少于3400元，问至少需购进A台灯多少台？8．某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价为多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于5400元，那么销售单价至少为多少元？9．某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？10．2018年“清明节”前夕，宜宾某花店用1000元购进若干菊花，很快售完，接着又用2500元购进第二批花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花数的2倍，且每朵花的进价比第一批的进价多0.5元．（1）第一批花每束的进价是多少元．（2）若第一批菊花按3元的售价销售，要使总利润不低于1500元（不考虑其他因素），第二批每朵菊花的售价至少是多少元？11．某修理厂需要购进甲、乙两种配件，经调查，每个甲种配件的价格比每个乙种配件的价格少0.4万元，且用16万元购买的甲种配件的数量与用24万元购买的乙种配件的数量相同．（1）求每个甲种配件、每个乙种配件的价格分别为多少万元；（2）现投入资金80万元，根据维修需要预测，甲种配件要比乙种配件至少要多22件，问乙种配件最多可购买多少件．12．安排甲、乙两队绿化面积为1800m2的区域．已知甲队每天可绿化面积为乙队的一半，且在独立绿化面积为400m2的区域时比乙队多用4天．（1）求甲、乙两队每天可绿化面积；（2）若每天需付甲队0.25万元，乙队0.4万元，要使总费用不超过8万元，至少应安排乙队绿化多少天？13．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？14．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备价格（万元/台）月处理污水量（吨/台）（1）求m 的值；（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过156万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．15．在石家庄地铁3号线的建设中，某路段需要甲乙两个工程队合作完成．已知甲队修600米和乙队修路450米所用的天数相同，且甲队比乙队每天多修50米．（1）求甲队每天修路多少米？（2）地铁3号线全长45千米，若甲队施工的时间不超过120天，则乙队至少需要多少天才能完工？A 型m 220B 型m ﹣318016．小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？17．有一项工程，乙队单独完成所需的时间是甲队单独完成所需时间的2倍，若两队合作4天后，剩下的工作甲单独做还需要6天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天；（2）若甲队每天的报酬是1万元，乙队每天的报酬是0.3万元，要使完成这项工程时的总报酬不超过9.6万元，甲队最多可以工作多少天？18．时代天街某商场经营的某品牌书包，6月份的销售额为20000元，7月份因为厂家提高了出厂价，商场把该品牌书包售价上涨20%，结果销量减少50个，使得销售额减少了2000元．（1）求6月份该品牌书包的销售单价；（2）若6月份销售该品牌书包获利8000元，8月份商场为迎接中小学开学做促销活动，该书包在6月售价的基础上一律打八折销售，若成本上涨5%，则销量至少为多少个，才能保证8月份的利润比6月份的利润至少增长6.25%？19．荔枝上市后，某水果店的老板用500元购进第一批荔枝，销售完后，又用800元购进第二批荔枝，所购件数是第一批购进件数的2倍，但每件进价比第一批进价少5元．（1）求第一批荔枝每件的进价；（2）若第二批荔枝以30元/件的价格销售，在售出所购件数的50%后，为了尽快售完，决定降价销售，要使第二批荔枝的销售利润不少于300元，剩余的荔枝每件售价至少多少元？20．为落实“美丽城区”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造480米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过66万元，至少安排甲队工作多少天？参考答案1．解：（1）设每台B型净水器的进价为x元，则每台A型净水器的进价为（x+300）元，依题意，得：解得：x＝1700，经检验，x＝1700是原方程的解，且符合题意，∴x+300＝2000．答：每台A型净水器的进价为2000元，每台B型净水器的进价为1700元．（2）∵购进x台A型净水器，∴购进（50﹣x）台B型净水器，依题意，得：W＝（2499﹣2000﹣a）x+（2099﹣1700）（50﹣x）＝（100﹣a）x+19950．∵购买资金不超过9.85万元，∴2000x+1700（50﹣x）≤98500，解得：x≤45．∵80＜a＜100，∴100﹣a＞0，∴W随x值的增大而增大，∴当x＝45时，W取得最大值，最大值为（24450﹣45a）元．2．解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据题意得：解得：x＝40，经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作根据题意得：7m+5×解得：m≥10．≤220，天，﹣＝2，＝，答：至少安排甲队工作10天．3．解：（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，依题意，得：经检验，x＝15，经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，∴2x＝30．答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．（2）由（1）可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，设第二批衬衫的售价为y元/件，依题意，得：（200﹣150）×30+（y﹣140）×15≥2100，解得：y≥180．答：第二批衬衫每件至少要售180元．4．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要2x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，依题意，得：解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴2x＝60，3x＝90．答：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天．（2）由题意，得：∴n＝90﹣m．设施工总费用为w万元，则w＝15m+8n＝15m+8×（90﹣m）＝3m+720．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴∴20≤m≤40．∵15＞0，，+＝1，+＝1，﹣＝10，∴w 值随m 值的增大而增大，∴当m ＝20时，完成此项工程总费用最少，此时n ＝90﹣m ＝60，w ＝780万元．答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元．5．解：（1）设B 种科普书每本的进价为x 元，则A 种科普书每本的进价为（x +25）元，根据题意得：解得：x ＝75，经检验，x ＝75是所列分式方程的解，∴x +25＝100．答：A 种科普书每本的进价为100元，B 种科普书每本的进价为75元．（2）设购进B 种科普书m 本，则购进A 种科普书（m ﹣4）本，根据题意得：（130﹣100）（m ﹣4）+（95﹣75）m ＞1240，解得：m ＞45，∵m 为正整数，且m ﹣4为正整数，∴m 为3的倍数，∴m 的最小值为48．答：至少购进B 种科普书48本．6．解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需要x 天，则甲工程队单独完成此项工程需要（x +45）天，依题意，得：+＝，＝2×，整理，得：x 2﹣15x ﹣1350＝0，解得：x 1＝45，x 2＝﹣30，经检验，x 1＝45，x 2＝﹣30是原方程的解，x 1＝45符合题意，x 2＝﹣30不符合题意，舍去，∴x ＝45，x +45＝90．答：甲工程队单独完成此项工程需要90天，乙工程队单独完成此项工程需要45天．（2）设甲工程队单独施工m 天后，则甲、乙两工程队需合作施工天才能完成任务，依题意，得：1.5×（m +）+2.4×≤127，解得：m ≤50．答：甲工程队最多要单独施工50天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过127万元．7．解：（1）设B 台灯每盏的进价为x 元，则A 台灯每盏的进价为（x +30）元，依题意，得：解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意，∴x +30＝80．答：A 台灯每盏的进价为80元，B 台灯每盏的进价为50元．（2）设购进A 台灯m 台，则购进B 台灯（100﹣m ）台，依题意，得：（120﹣80）m +（80﹣50）（100﹣m ）≥3400，解得：m ≥40．答：至少需购进A 台灯40台．8．解：（1）设第一批饮料进货单价为x 元，则第一批饮料进货单价为（x +2）元，依题意，得：解得：x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价为4元．（2）第一批饮料进货数量为1200÷4＝300（瓶），第二批饮料进货数量为5400÷（4+2）＝900（瓶）．设销售单价为y 元，依题意，得：（300+900）y ﹣（1200+5400）≥5400，解得：y ≥10．＝3×，＝，答：销售单价至少为10元．9．解：（1）设B 种原料每千克的价格为x 元，则A 种原料每千克的价格为（x +10）元，依题意，得：1.2（x +10）+x ≤34，解得：x ≤10．答：购入的B 种原料每千克的价格最高不超过10元．（2）设这种产品的批发价为a 元，则零售价为（a +30）元，依题意，得：解得：a ＝50，经检验，a ＝50是原方程的解，且符合题意．答：这种产品的批发价为50元．10．解：（1）设第一批花每束的进价是x 元，则第二批花每束的进价是（x +0.5）元，根据题意得：解得：x ＝2，经检验：x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：第一批花每束的进价是2元．（2）由（1）可知第二批菊花的进价为2.5元．设第二批菊花的售价为m 元，根据题意得：解得：m ≥3.5．答：第二批花的售价至少为3.5元．11．解：（1）设每个乙种配件的价格为x 万元，则每个甲种配件的价格为（x ﹣0.4）万元，根据题意得：解得：x ＝1.2，经检验，x ＝1.2是原分式方程的解，∴x ﹣0.4＝1.2﹣0.4＝0.8．答：每个甲种配件的价格为0.8万元、每个乙种配件的价格为1.2万元．（2）设购买甲种配件m 件，购买乙种配件n 件，根据题意得：0.8m +1.2n ＝80，＝，×（3﹣2）+×（m ﹣2.5）≥1500，×2＝，＝，∴m ＝100﹣1.5n ．∵甲种配件要比乙种配件至少要多22件，∴m ﹣n ≥22，即100﹣1.5n ﹣n ≥22，解得：n ≤31.2，∵m ，n 均为非负整数，∴n 的最大值为30．答：乙种配件最多可购买30件．12．解：（1）设甲队每天可绿化面积为xm 2，则乙队每天可绿化面积为2xm 2，根据题意得：解得：x ＝50，经检验，x ＝50是所列分式方程的解，∴2x ＝100．答：甲队每天可绿化面积为50m 2，乙队每天可绿化面积为100m 2．（2）设应安排乙队绿化m 天，则安排甲队绿化根据题意得：0.25×解得：m ≥10．答：至少应安排乙队绿化10天．13．解：（1）设乙工程队每天完成x 米，则甲工程队每天完成2x 米，依题意，得：解得：x ＝300，经检验，x ＝300是原方程的解，且符合题意，∴2x ＝600．答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．（2）设甲队先单独工作y 天，则甲乙两工程队还需合作依题意，得：7000（y +解得：y ≥1，∴﹣y ≤﹣＝6．﹣y ）+5000（﹣y ）≤79000，＝（﹣y ）天，﹣＝10，+0.4m ≤8，天，﹣＝4，答：两工程队最多可以合作施工6天．14．解：（1）依题意，得：解得：m ＝18，经检验，m ＝18是原方程的解，且符合题意．∴m ＝值为18．（2）设购买A 型污水处理设备x 台，则购买B 型污水处理设备（10﹣x ）台，依题意得：18x +15（10﹣x ）≤156，解得：x ≤2，∵x 是整数，∴有3种方案．当x ＝0时，y ＝10，月处理污水量为180×10＝1800吨，当x ＝1时，y ＝9，月处理污水量为220+180×9＝1840吨，当x ＝2时，y ＝8，月处理污水量为220×2+180×8＝1880吨，答：有3种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为1880吨．15．解：（1）设甲队每天修路x 米，则乙队每天修路（x ﹣50）米，依题意，得：解得：x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的解，且符合题意．答：甲队每天修路200米．（2）设乙队需要y 天才能完工，依题意，得：45000﹣（200﹣50）y ≥200×120，解得：y ≤140．答：乙队至少需要140天才能完工．16．解：（1）设小本作业本每本x 元，则大本作业本每本（x +0.3）元，依题意，得：解得：x ＝0.5，经检验，x ＝0.5是原方程的解，且符合题意，∴x +0.3＝0.8．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．＝，＝，＝，（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，解得：m≤．∵m为正整数，∴m的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．17．解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天，+＝1，依题意，得：解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴2x＝24．答：甲队单独完成这项工程需要12天，乙队单独完成这项工程需要24天．（2）设甲队工作m天，则乙队工作天，依题意，得：m+0.3×≤9.6，整理，得：0.4m≤2.4，解得：m≤6．答：甲队最多可以工作6天．18．解：（1）设6月份该品牌书包的销售单价为x元，则7月份该品牌书包的销售单价为（1+20%）x元，﹣＝50，依题意，得：解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．答：6月份该品牌书包的销售单价为100元．（2）6月份该品牌书包的销售数量为20000÷100＝200（个），6月份该品牌书包的进价为（20000﹣8000）÷200＝60（元）．设8月份该品牌书包的销售数量为y个，依题意，得：[100×0.8﹣（1+5%）×60]y≥8000×（1+6.25%），解得：y≥500．答：销量至少为500个时，才能保证8月份的利润比6月份的利润至少增长6.25%．19．解：（1）设第一批荔枝每件的进价为x元，则第二批荔枝每件的进价为（x﹣5）元，依题意，得：2×解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意．答：第一批荔枝每件的进价为25元．（2）第二批购进荔枝的件数为800÷（25﹣5）＝40（件）．设剩余的荔枝每件售价为y元，依题意，得：[30﹣（25﹣5）]×40×50%+[y﹣（25﹣5）]×40×50%≥300，解得：y≥25．答：剩余的荔枝每件售价至少为25元．20．解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米，＝，依题意，得：解得：x＝40，﹣＝4，经检验，x＝40是分式方程的解，且符合题意，∴x＝60．答：甲工程队每天能改造道路60米，乙工程队每天能改造道路40米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作依题意，得：3m+2.4×解得：m≥10．答：至少安排甲队工作10天．≤66，天，。

2020-2021学年人教版九年级中考数学复习冲刺卷(有答案)

2020-2021学年人教新版中考数学复习冲刺卷一．选择题1．计算（﹣）2018×（1.5）2019的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣2．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（）A．﹣4B．2C．﹣2D．﹣63．下列立体图形中，主视图为矩形的是（）A．B．C．D．4．若点A（a+b，1）与点B（﹣5，a﹣b）关于原点对称，则点P（a，b）的坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）5．若一组数据﹣3，﹣2，0，1，x，6，9，12的平均数为3，这组数据的中位数是（）A．0B．1C．1.5D．26．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（）A．180°﹣α﹣βB．α+βC．α+2βD．2α+β7．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；下面有四个结论：①CD+EF＝AB；②；③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；④∠CDO2+∠EFO3＝∠P，所有正确结论的序号是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形个数是（）A．4B．5C．6D．7二．填空题9．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝．10．数据1，4，6，9，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是．11．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为．12．将抛物线y＝3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是．13．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣2），将线段AB平移得到线段CD，当＝时，点C、D同时落在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k的值为．15．如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM＝∠EFM，则∠AFM＝°．16．已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC，直线EC交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为．三．解答题17．（1）计算+|1﹣|+（π+2020）0+（）﹣2（2）解不等式组18．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．19．某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？20．如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了表面颜色不同外，其它构造完全相同，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么红色和蓝色在一起能配成紫色．请你用列表法或树状图法，求游戏者不能配成紫色的概率．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O 作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．22．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值．23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，△DPQ的面积为cm2；（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围．25．已知：直线y＝﹣x+12交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的直线y＝x+m交y 轴于点C．（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，点D为线段AB上的一点，点E在线段AC上，连接DE，延长DE交y轴于点F，且DE＝EF，设点D的横坐标为t，线段OF的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AG⊥AC，AG交ED的延长线于点G，DE 交OA于点H，若DG＝EH，求d的值．26．如图，O是所在圆的圆心，C是上一动点，连接OC交弦AB于点D．已知AB＝9.35cm，设A，D两点间的距离为xcm，O，D两点间的距离为y1cm，C，D两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.007.108.009.35 y1/cm 4.93 3.99m 2.28 1.70 1.59 2.04 2.88 3.67 4.93 y2/cm0.000.94 1.83 2.65 3.23 3.34 2.89 2.05 1.260.00（2）①在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出（1）中所确定的函数y1，y2的图象；②观察函数y1的图象，可得m＝cm（结果保留一位小数）；（3）结合函数图象，解决问题：当OD＝CD时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．参考答案与试题解析一．选择题1．解：（﹣）2018×（1.5）2019＝（）2018×（1.5）2018×1.5＝＝．故选：B．2．解：∵abc＞0，a+b+c＝0，∴a、b、c中有两个负数，一个正数，∵＝++，∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m＝﹣1﹣2+3＝0；当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，即m＝1﹣2﹣3＝﹣4，∴x+y＝0+（﹣4）＝﹣4．故选：A．3．解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，故选：C．4．解：∵点A（a+b，1）与点B（﹣5，a﹣b）关于原点对称，∴，解得：，故点P（a，b）的坐标是（2，3）．故选：A．5．解：∵数据﹣3，﹣2，0，1，x，6，9，12的平均数为3，∴（﹣3﹣2+0+1+x+6+9+12）＝3，解得：x＝1．将这组数据从小到大重新排列后为﹣3，﹣2，0，1，1，6，9，12；这组数据的中位数是＝1．故选：B．6．解：在四边形ABCD中，∠ADC＝360°﹣α﹣（∠DCB+∠DAB）＝360°﹣α﹣（360°﹣2∠PCD﹣2∠PAD）＝2（∠PCD+∠PA D）﹣α＝2（∠ADC﹣β）﹣α，∴∠ADC＝α+2β，故选：C．7．解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，∵AP+BP＞AB，∴CD+EF＞AB，故①错误；∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，∴＝，＝，∵+＝，∴+＝，故②正确；∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，∴正确结论的序号是②③④，故选：C．8．解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形，∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；故选：C．二．填空题9．解：原式＝3x（x﹣2xy+y2），故答案为：3x（x﹣2xy+y2）10．解：∵1，4，6，9，a的中位数是整数a，∴a＝4或5或6，当a＝4时，这组数据的平均数为（1+4+6+9+4）＝当a＝5时，这组数据的平均数为（1+4+6+9+5）＝5，当a＝6时，这组数据的平均数为（1+4+6+9+6）＝，故答案为：或5或．11．解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104，故答案为：3.6×104．12．解：∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，∴抛物线y＝3x2﹣6x+4的顶点坐标为（1，1），∴把点（1，1）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为（4，3），即新抛物线的顶点坐标为（4，3）．故答案为（4，3）．13．解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．14．解：过C作CF⊥y轴于点F，则CFF∥OA，∴△EOA∽△EFC，∴，∵＝，∴，∵OA＝1，∴，∴FC＝2，∴，∵A（1，0），B（0，﹣2），线段AB平移得到线段CD，∴D（﹣3，），把D（﹣3，）代入y＝中，得﹣3（）＝k，解得，k＝﹣12，故答案为：﹣12．15．解：设∠AFM＝x°，则∠EFM＝∠BFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠AFM＝36°．故答案为：36．16．解：△ACF为等腰三角形有四种情况：①如图①，当AF＝CF时，点E与点O重合，由题意得OB＝8，BC＝6，∴由勾股定理得OC＝10，∵四边形AOBC为矩形，∴EF＝5；②如图②，当AF＝AC＝8时，由①可知OC＝10，∵四边形AOBC为矩形，∴AB＝OC＝10，AC∥OB，∴△AFC∽△BFE，∴＝＝，∴BE＝BF＝10﹣8＝2，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝2，∴＝＝4，∴EF＝CE＝；③如图③，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥AF于点D，∴AD＝DF，∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝＝，∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DF＝AD＝，AF＝，BF＝DF﹣BD＝，∵AC∥OE，∴△AFC∽△BFE，∴＝，∴＝，∴BE＝，∵CF＝AC，∴EF＝BE，∴EF＝．④如图④，当点F在BA延长线上时，当AF＝AC＝8，AB＝10时，△AFC∽△BFE，∴＝，∴＝，解得，BE＝18，在Rt△CBE中，由勾股定理得：EC＝＝＝6，∵△AFC∽△BFE，∴＝＝，解得：CF＝，∴EF＝CF+CE＝+6＝．综上所述，EF的长为5或或或．故答案为：5或或或．三．解答题17．解：（1）原式＝3+﹣1+1+4＝4+4；（2），由①得：x＜3，由②得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．18．解：原式＝•＝＝＝，当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，当a＝﹣2时，原式＝﹣．19．解：（1）学生会调查的学生人数为10÷20%＝50（人），故答案为：50；（2）∵1.5≤x＜2的人数为50×40%＝20人，∴1≤x＜1.5的人数为50﹣（3+20+10+4）＝13人，补全图形如下：（3）900×＝72（人），答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有72人．20．解：A转盘红色区域是蓝色区域的2倍，B转盘蓝色区域是红色区域的2倍，画树状图如图：共有9个等可能的结果，游戏者不能配成紫色的结果有4个，∴游戏者不能配成紫色的概率＝．21．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∵EF⊥BD，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，∴100°+x+2x+2x＝180°，解得：x＝16°，即∠ABE＝16°．22．解：由题意可将x+y＝5与2x﹣y＝1组成方程组，解得：，把代入4ax+5by＝﹣22，得8a+15b＝﹣22①，把代入ax﹣by﹣8＝0，得2a﹣3b﹣8＝0②，①与②组成方程组，得，解得：．23．解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM＝BN＝60米，CD＝100米，∠ACF＝45°，∠BDF＝60°，∴CM＝米，DN＝米，∴AB＝CD+DN﹣CM＝100+20﹣60＝（40+20）米，即A、B两点的距离是（40+20）米．24．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，由题意得：AP＝t，BQ＝2t，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣t，CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2t，当t＝2时，AP＝2，BQ＝4，BP＝AB﹣AP＝4，CQ＝BC﹣BQ＝8，∴△DPQ的面积＝12×6﹣×12×2﹣×4×4﹣×6×8＝28（cm2），故答案为：28；（2）不能；理由如下：根据题意得：△DPQ的面积＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程无实数根，∴△DPQ的面积不可能为26cm2；（3）∵∠A＝90°，∴A、P、D三点在以DP为直径的圆上，若点Q也在圆上，则∠PQD＝90°，∵PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2，DQ2＝62+（12﹣2t）2，DP2＝t2+122，PQ2+DQ2＝DP2，∴（6﹣t）2+（2t）2+62+（12﹣2t）2＝t2+122；解得t1＝6，t2＝，∴t＝6或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．（4）如图1，⊙Q与边AD相切时，过点Q作QE⊥AD，∵⊙Q与边AD相切，∴QE＝QP，由勾股定理得：62＝（6﹣t）2+（2t）2；解得t1＝0（舍去），t2＝，如图2，⊙Q过点D时，则QD＝QP，由勾股定理得：（6﹣t）2+（2t）2＝62+（12﹣2t）2；解得：t1＝6﹣18，t2＝﹣6﹣18（舍去），∴当＜t＜6﹣18时，⊙Q与矩形ABCD的边共有四个交点．25．解：（1）∵直线y＝﹣x+12交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（9，0），B（0，12），∵直线y＝x+m经过点A（9，0），∴×9+m＝0，解得m＝﹣3，∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，∴C（0，﹣3）．（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，分别交x轴，AC于点L，M，过点D作DN⊥y轴于点N，∴DM∥y轴，∵点D在直线y＝﹣x+12上，点D的横坐标为t，∴D（t，﹣t+12），∴M（t，t﹣3），∵∠DNO＝∠NOL＝∠DLO＝90°∴四边形OLDN为矩形，∴ON＝DL＝﹣t+12，∴LM＝3﹣t，∴DM＝DL+LM＝﹣t+12+3﹣t＝﹣t+15，∵DM∥BO，∴∠EDM＝∠EFC，∠EMD＝∠ECF，又∵DE＝EF，∴△DEM≌△FEC（AAS），∴CF＝DM＝﹣t+15，∴OF＝OC+CF＝3﹣t+15＝﹣t+18，∴d＝﹣t+18．（3）如图2，过点H作HP⊥AC于点P，过点D分别作DQ⊥AG于点Q，DR⊥AC于点R，在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，由勾股定理可得，AC＝＝3，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，由勾股定理可得，AB＝，∵BC＝OB+OC＝12+3＝15，∴AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∵DM∥BO，∴∠DMA＝∠BCA＝∠BAC，∴AD＝DM，∴AR＝MR，∵∠DQA＝∠QAR＝∠ARD＝90°，∴四边形DRAQ为矩形，∴DQ＝AR＝MR，∵∠PEH+∠EHP＝90°，∠PEH+∠G＝90°，∴∠EHP＝∠G，又∵EPH＝∠DQG＝90°，EH＝DG，∴△EPH≌△DQG（AAS），∴EP＝DQ，∴EP＝AR＝MR＝AM，由（2）得，△DEM≌△FEC，∴CE＝EM＝CM．∴PC＝CE+EP＝CM+AM＝AC＝，∴AP＝AC﹣PC＝，∵cos∠OAC＝，∴，∴AH＝5，∴OH＝OA﹣AH＝4，∵∠FHO＝∠DHL，∴tan∠FHO＝tan∠DHL，∴，∴OF•HL＝OH•DL，∴（﹣t+18）（t﹣4）＝4（﹣t+12），解得t＝6，（t＝12舍去），∴d＝﹣×6+18＝8．26．解：（2）①如下图：②观察图象可得：x＝2时，y1＝3.1cm，∴m＝3.1，故答案为：3.1cm．（3）观察图象可知：当OD＝CD时，即当y1＝y2时，x＝6.6或2.8，故答案为：6.6或2.8．。

数学冲刺中考试卷初中答案

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2.5B. -3C. √2D. 0答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，即分数。

√2是无理数，不能表示为两个整数的比。

2. 若x=2，则方程2x-3=0的解为（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B解析：将x=2代入方程，得22-3=0，即4-3=0，方程成立，故x=2是方程的解。

3. 已知函数f(x)=3x-2，若f(2)=8，则函数f(x)的图象与x轴的交点坐标为（）A. (2,0)B. (3,0)C. (1,0)D. (0,1)答案：A解析：将x=2代入函数f(x)，得f(2)=32-2=6-2=4，故f(x)的图象与x轴的交点坐标为(2,0)。

4. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：根据勾股定理，BC²=AB²+AC²=3²+4²=9+16=25，故BC=√25=5。

5. 若等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=20，则a3的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，将a1+a5=20代入得a1+a1+4d=20，即2a1+8=20，解得a1=6，再代入an=a1+(n-1)d得a3=a1+2d=6+22=10。

6. 下列各图中，符合函数图象的是（）A.B.C.D.答案：A解析：函数图象是直线，A选项是直线图象。

7. 已知函数f(x)=x²-4x+4，则f(x)的最小值为（）A. -1B. 0C. 1D. 4答案：B解析：函数f(x)是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2,0)，故f(x)的最小值为0。

8. 若sinα=1/2，则cosα的值为（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2答案：A解析：根据sin²α+cos²α=1，代入sinα=1/2得cos²α=1-(1/2)²=1-1/4=3/4，故cosα=√3/2。

2020年九年级数学中考三轮冲刺复习同步练习：《二次函数》(含答案)

2020年中考三轮冲刺复习同步练习：《二次函数》1．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于B，C两点，交y轴于点A，直线y＝﹣x+3经点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，设点P的横坐标为m，若PF＝3PE，求m的值．（3）N是第一象限对称轴右侧抛物线上的一点，连接BN，AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△BMN与△AOC相似，且∠BMN为直角，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．4．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当＝时，求点M的坐标；（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．5．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4），过C作CD∥x轴交抛物线于D，连接BC、AD，两个动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒1个单位长度的速度运动，其中，点P沿着线段AB向B点运动，点Q沿着折线B→C→D的路线向D点运动，设这个两个动点运动的时间为t（秒）（0＜t＜7），△PQB 的面积记为S．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（3）是否存在这样的t值，使得△PQB是直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在，请说明理由．6．如图，线段OA，OB的长是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且OA＜OB，抛物线y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点A，B．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH 分成面积之比为1：4的两部分，请直接写出点P的坐标．7．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴负半轴交于点C ，若AB ＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E 是第三象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ∥AC 交抛物线于点F ，过E 作EG ⊥x 轴交AC 于点M ，过F 作FH ⊥x 轴交AC 于点N ，当四边形EMNF 的周长最大值时，求点E 的横坐标；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点Q ，使得以Q 、C 、B 、O 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y ＝ax 2+x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y ＝﹣x +3经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点O 出发以每秒2个单位的速度沿OB 向点B 匀速运动，同时点E 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿BO 向终点O 匀速运动，当点E 到达终点O 时，点P 停止运动，设点P 运动的时间为t 秒，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点H ，交抛物线于点Q ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ．①当PQ ＝5EF 时，求出t 值；②连接CQ ，当S △CBQ ：S △BHQ ＝5：2时，请直接写出点Q 的坐标．10．抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与y 轴交于B ，与x 轴交于点D 、A ，点A 在点D 的右边，顶点为F ，C （0，1）（1）直接写出点B 、A 、F 的坐标；（2）设Q 在该抛物线上，且S △BAF ＝S △BAQ ，求点Q 的坐标；（3）对大于1常数m ，在x 轴上是否存在点M ，使得sin ∠BMC ＝？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由？11．如图1，抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求B ，C ，D 三点的坐标；（2）如图2，分别过点B ，D 作x 轴、y 轴的垂线BE ，DF ，BE 与DF 相交于点E ，点G 在线段OF 上，现将△BOG 沿BG 折叠使得点O 落在四边形BEFO 的对角线上，求点G 的坐标；（3）如图3，设M 是y 轴左侧抛物线上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线交x 轴于点E ，交直线BC 于点N ．连接BM ，当△BMN 为等腰三角形时，直接写出点M 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；（2）求点P的坐标；（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点Q的坐标．13．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当NA：NM＝2：3时，求点M的坐标；（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使得∠PAB＝2∠OBA，如果存在这样的点P，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点，过定点F（0，2）的直线l：y ＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D（a，0）在x轴上运动，连接FD，作FD的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点I，判断点I是否在抛物线y＝ax2+c，并证明你的判断；（3）若k＝1，设AB的中点为M，抛物线上是否存在点P，使得△PMF周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由；（4）若，在抛物线上是否存在点Q，使得△QAB的面积为，若存在求出点Q的坐标，若不存在说明理由．15．如图1，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4x与x轴交于O、A两点．直线y ＝kx+m经过抛物线的顶点B及另一点D（D与A不重合），交y轴于点C．（1）当OA＝4，∠ABC＝90°时．①求该抛物线解析式；②求BC的解析式；（2）如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，当a为任意负数时，试探究CO与OE的数量关系？16．如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．18．如图，二次函数y＝﹣x2﹣x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A（1，m），B（﹣2，n）（1）求点A，B的坐标；（2）在第三象限存在点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点C的坐标；（3）在（2）的条件下，能否将抛物线y＝﹣x2﹣x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的拋物线的表达式，并写出平移过程．若不能，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）求二次函数的解析式及点A的坐标．（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM的长关于m的函数解析式，并求线段DM 的最大值．20．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接OP 交BC 于点D ，当S △CPD ：S △BPD ＝1：2时，请求出点D 的坐标；（4）如图3，点E 的坐标为（0，﹣1），点G 为x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝15°，连接PE ，若∠PEG ＝2∠OGE ，请求出点P 的坐标．参考答案1．解：（1）∵直线y＝﹣x+3经过点A，B，∴A（0，3），B（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，则，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设：点P的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点F的坐标为（m，﹣m+3）．①当点P在x轴上方时，∵PF＝3PE，∴﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝3（m2﹣4m+3），＝3（与点B重合，舍去），解得：，m2∴；②当点P在x轴下方时，同理可得：﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣3（m2﹣4m+3），＝3（与点B重合，舍去）．解得：，m4综上所述，m的值为或．（3）存在，点M的坐标为（2，）或（2，）．设点M（2，m），点N（n，s），则s＝n2﹣4n+3．设抛物线的对称轴交x轴于点H，过点N作NG⊥MH交函数对称轴于点G，∵∠BMN为直角，∴∠HMB+∠GMN＝90°，而∠HMB+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠GMN，而∠NGM＝∠MHB＝90°，∴△NGM∽△MHB，∴＝，∵△BMN与△AOC相似，∴，即＝＝3或，而HB＝1，GN＝n﹣2，GM＝s﹣m，MH＝m，故，且s＝n2﹣4n+3，解得：m＝或（不合题意值已舍去），故点M的坐标为（2，）或（2，）．2．解：（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）存在，理由：作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P 为所求，将点B、D′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线BD′的函数表达式为：y＝﹣x+，抛物线的对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，故点P（，）；（3）设点N（m，0），则点M、Q的坐标分别为：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），则QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，3MN＝3（m+1），∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），解得：m＝﹣2或﹣1或5（舍去﹣2），故点（﹣1，2）或（5，﹣7）．3．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．4．解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①；（2）设点M（m，m2﹣m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（m﹣）x﹣2，则点N（，0），当＝时，则＝，即：＝，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H＝，即：，解得：x＝，则点H（﹣，0），则直线AH的表达式为：y＝﹣x﹣2…③，联立①③并解得：x＝，故点P（，﹣）；③当∠PAB＝OBA时，当点P在AB上方时，则AH＝BH，设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝，故点H（，0），则直线AH的表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝0或（舍去0），故点P（，）；当点P在AB下方时，同理可得：点P（3，﹣2）；综上，点P的坐标为：（﹣1，0）或（，﹣）或（，）或（3，﹣2）．5．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝5或﹣3，故点B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4），则AB＝8，BC＝5，抛物线的对称轴直线为：x＝1，故点D（2，4），①当0＜t≤5时，如图1，过点Q作EF∥y轴交x轴于点F，则QF∥OC，故，，则QF＝，S＝PB•QF＝（8﹣t）（）＝﹣（t﹣4）2+；当t＝4时，S的最大值为；②5＜t＜7时，如图2，S＝PB×CO＝（8﹣t）＝16﹣2t；故S＝；故S的最大值为；（3）当0＜t≤5时，点P（5﹣t，0），点Q（，t），BQ＝t，BP＝8﹣t，PQ2＝（﹣8）2+（t）2，当BP为斜边时，BP2＝BQ2+PQ2，即：（8﹣t）2＝t2+（﹣8）2+（t）2，解得：t＝3（不合题意值已舍去）；当PQ为斜边时，（8﹣t）2+t2＝（﹣8）2+（t）2，解得：t＝5；当5＜t＜7时，点P在OB段，∠BQP为锐角，∠QPB为钝角，而∠QBP为锐角，故△PQB不可能是直角三角形，故此时没有符合条件的t存在，综上，t＝3或5．6．解：（1）x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或5，故点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，5），抛物线过点B（0，5），则c＝5，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1+b+5，解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣4x+5；（2）对于y＝﹣x2﹣4x+5，令y＝0，则x＝1或﹣5，故点C（﹣5，0），抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝9，故点D（﹣2，9）；设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x2﹣4x+5；过点D作DG∥y轴交BC于点G，x＝﹣2时，y＝x+5＝3，故点G（﹣2，3），则DG＝9﹣3＝6，∴△BCD的面积＝S△GDC +S△GDB＝×DG（x B﹣x C）＝6×5＝15；（3）设PH交BC于点N，设点P（m，0），则点N（m，m+5），点H（m，﹣m2﹣4m+5），则HN＝﹣m2﹣4m+5﹣m﹣5＝﹣m2﹣5m，NP＝m+5，直线BC把△PCH分成面积之比为1：4的两部分，则，即＝或4，解得：m＝﹣或﹣4，故点P的坐标为：（﹣，0）或（﹣4，0）．7．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC ＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．8．解：（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，则x1+x2＝a+1，x1x2＝a，则AB＝＝（a﹣1）2＝16，解得：a＝5或﹣3，抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；（2）由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），设点E（m，m2+2m﹣3），OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②，联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m+3），则EF＝（x F﹣x E）＝（﹣2m﹣3）＝MN，四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣（6+4）m﹣6，∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝﹣，故点E的横坐标为：﹣；（3）①当点Q在第三象限时，﹣﹣﹣﹣当QC平分四边形面积时，则|x Q|＝x B＝1，故点Q（﹣1，﹣4）；﹣﹣﹣﹣当BQ平分四边形面积时，则S△OBQ ＝×1×|y Q|，S四边形QCBO＝1×3+×3×|x Q|，则2（×1×|y Q|）＝1×3+×3×|x Q|，解得：x Q＝﹣，故点Q（﹣，﹣）；②当点Q在第四象限时，同理可得：点Q（，）；综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣4）或（﹣，﹣）或（，）．9．解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝1，则x＝4，故点B、C的坐标分别：（4，0）、（0，3），则BC＝5，将点B、C的坐标代入抛物线函数表达式并解得：a＝﹣，b＝，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）①设点P[2t，﹣（2t）2+（2t）+3]，则BE＝t，tan∠ABC＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，EF＝EB sinα＝，∵PQ＝5EF，∴|﹣（2t）2+（2t）+3|＝5×＝3t，解得：t＝或（不合题意的值已舍去）；②当点Q在BC上方时，∵S△CBQ ：S△BHQ＝5：2，则BH＝BC＝2，则NB＝BH cosα＝，则点N（，0），则点Q（，）；当点Q在BC下方时，同理可得：点Q（，﹣）；故点Q（，）或（，﹣）．10．解：（1）y＝﹣x2+2x+3…①，令y＝0，解得：x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点B（0，3），同理点F（1，4）；（2）连接AB，过点F作直线m平行于直线AB交抛物线与点Q，在BA下方作直线n，使直线m、n与直线AB等距离，过点F作x轴的垂线交AB于点H、交直线n与点F′，直线n与抛物线交于点Q′、Q″，直线BA的表达式为：y＝﹣x+3，则直线m的表达式为：y＝﹣x+b，将点F坐标代入上式并解得：直线m的表达式为：y＝﹣x+5…②，联立①②并解得：x＝1或2（舍去1），故点Q（2，3）；则点H（1，2），则FH＝4﹣2＝2，故直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣2＝﹣x+1…③，联立①③并解得：x＝，故点Q坐标为（，）或（，），综上，点Q（2，3）或（，）或（，）；（3）过点C作CH⊥MB于点H，设：OM＝a，则MB＝，CM＝，S＝×BC×OM＝×CH×MB，则CH＝＝，△BCMsin∠BMC＝＝＝，整理得：a4+（10﹣4m2）a2+9＝0，∴a2＝＝m2﹣4±2+（m2﹣1）＝（±）2，∵a＞0，∴当1＜m＜2时，不存在满足条件的点M，当m≥2时，存在．∴a＝+或a＝﹣，∴M（+，0）或（﹣﹣，0）或（﹣，0）或﹣，0）．11．解：（1）y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），函数的对称轴为：x＝1，故点D（1，4）；（2）①当点O落在OE上时（左侧图），则OO′⊥BG，设∠EOB＝α，则tanα＝＝，则sin，cosOH＝OB cosα，而∠BGO＝∠HOB＝α，则OG＝＝＝，故点G（0，）；②当点O落在BF上时（右侧图），设OG＝OG′＝a，则FG＝4﹣a，FO′＝5﹣BO′＝5﹣3＝2，故（4﹣a）2＝4+a2，解得：a＝，故点G（0，）；综上，点G的坐标为：（0，）或（0，）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点M（m，﹣m2+2m+3），则点N（m，﹣m+3），点B（3，0）．①当MN＝BN时，即：﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝BN＝BE＝（3﹣m），解得：m＝3或﹣（舍去3），故点M（﹣，1﹣2）；②当MN＝BN时，则点M在BN的中垂线上，BN的中点坐标为：（，），则BN的中垂线的表达式为：y＝x﹣m，将点M的坐标代入上式得：﹣m2+2m+3＝m﹣m，解得：m＝﹣1或3（舍去3），故点M的坐标为：（﹣1，0）；③当BN＝BM时，同理可得：点M（﹣2，﹣5）；综上点M的坐标为：（﹣，1﹣2）或（﹣1，0）或M（﹣2，﹣5）．12．解：（1）将点A、B坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3①；函数的对称轴为：x＝1；（2）设点C（m，n），则n＝﹣m2+2m+3，点P（1，s），如图1，设抛物线对称轴交x轴于点N，过点C作CM⊥PN交抛物线对称轴于点M，∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠BPN+∠MPC＝90°，∴∠MPC＝∠PBN，∵∠PMC＝∠BNP＝90°，PB＝PC，∴△PMC≌△BNP（AAS），∴PM＝BN，MC＝PN，∴，解得：，故点C（2，3），点P（1，1）；故点P的坐标为（1，1）；（3）设直线AC交y轴于点G，直线AQ交y轴于点H，由（2）知，点C（2，3），而点A（﹣1，0），过点C作CK⊥x轴于点K，则CK＝AK＝3，故直线AC的倾斜角为45°，故∠AGO＝∠GAO＝45°，∴tan∠ABC＝＝3∵∠QAC＝∠ABC，∴tan∠QAC＝3；在△AGH中，过点H作HM⊥AG于点M，设MH＝3x，∵∠AGO＝45°，则GO＝AO＝1，∴MG＝MH＝3x，∵tan∠QAC＝3，则AM＝x，AG＝AM+GM＝x+3x＝＝，解得：x＝，在△AHM中，AH＝＝x＝，在△AOH中，OH＝＝，故点H（0，﹣），由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝﹣x﹣②，联立①②并解得：x＝﹣1（舍去）或，故点Q的坐标为：（，﹣）．13．解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），抛物线过点A，则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：16a﹣×4﹣2＝0，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2①；（2）设点M（m，m2﹣m﹣2）、而点A（0，﹣2），设直线MA的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线MA的表达式为：y＝（m﹣）x﹣2，令y＝0，则x＝，∴点N（，0），过点M作MH⊥x轴于点H，∵MH∥OA，∴，当＝时，则＝，即：＝，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）存在，理由：由（1）知，点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则tan∠OBA＝＝＝，过点A作AH∥x轴交抛物线于点H，∵AH∥x轴，∴∠BAH＝∠OBA，而∠PAB＝2∠OBA，∴∠HAP＝∠OBA，tan∠HAP＝tan∠OBA＝，即直线AP水平线AH夹角的正切值为，故设直线AP的表达式为：y＝﹣x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：b′＝﹣2，故直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣2②，联立①②并解得：x＝0或2（舍去0），当x＝2时，y＝﹣x﹣2＝﹣3，故点P的坐标为：（2，﹣3）．14．解：（1）由题意得：，解得：；∴抛物线解析式为；（2）设I（a，y），过I作IH⊥y轴于点H，则IH＝a，FH＝y﹣2，IF＝ID＝y，在Rt△IHF中∴IF2＝IH2+FH2，∴y2＝a2+（y﹣2）2，，故点I在抛物线y＝x2+c；（3）若k＝1，设AB的中点为M，则，解得中点M的坐标为：（2，4），由（2）可知，抛物线上的点到点F的距离等于它到x轴的距离．设抛物线上存在点P，使得△PMF周长最小，过点P作PP'⊥x轴于点P′，∵FM+PM+PF＝FM+PM+PP′，∵FM是定值，PM+PP'≥MP'．故当MP⊥x轴时，PM+PP′＝MP′，此时P、M、P′共线，△PMF周长最小，故点P（2，2），∴MP′＝4，MF＝2，故△PMF周长最小的最小值为：4+2；（4）设R（x R，y R）、Q（x Q，y Q），A（x A，y A），B（x B，y B），把点B的坐标代入y＝kx+2并解得：k＝2，故点A（2﹣2，4﹣2），故x B﹣x A＝4，S△QAB ＝S△AQR+S△BQR＝QR•（x R﹣x A）+（x B﹣x R）＝（x B﹣x A）＝4×QR＝4，解得：QR＝2，QR＝|yR﹣y Q|＝|x+2﹣（x2+1）|＝|﹣（x﹣2）2+2|＝2，当﹣（x﹣2）2+2＝2时，解得：x＝2，故点Q（2，2）；﹣（x﹣2）2+2＝﹣2时，解得：x＝﹣2或6，故点Q（﹣2，2）或（6，10）；综上，点Q（2，2）或（﹣2，2）或（6，10）．15．解：（1）①点A（4，0），则抛物线的表达式为：y＝ax（x﹣4），则顶点B的坐标为：（﹣，﹣），而函数的对称轴为：x＝2，即﹣＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；②函数的对称轴为x＝2，故：B（2，4），设C（0，t），∵∠ABC＝∠AOC＝90°，∴AC2＝BC2+AB2＝OC2+AO2，∴42+t2＝（2﹣4）2+（4﹣0）2+22+（4﹣t）2，∴t＝3，∴OC＝3，C（0，3），∴BC的解析式为y＝x+3；（2）由y＝ax2+4x＝0得x1＝0，x2＝﹣，则A（﹣，0），又y＝ax2+4x＝a（x+）2﹣，∴顶点B的坐标为（﹣，﹣），将B（﹣，﹣）代入y＝kx+m，得：﹣+m＝﹣，解得m＝，∴点C（0，），即OC＝，由得x ＝﹣或x ＝，∴E （，0）， ∴OE ＝，∴OC ：OE ＝＝2，∴OC ＝2OE ．16．解：（1）设抛物线为y ＝a （x ﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A （0，3），∴3＝a （0﹣4）2﹣1，a ＝；∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x +3；（2）相交．证明：连接CE ，则CE ⊥BD ，（x ﹣4）2﹣1＝0时，x 1＝2，x 2＝6．A （0，3），B （2，0），C （6，0），对称轴x ＝4，∴OB ＝2，AB ＝，BC ＝4，∵AB ⊥BD ，∴∠OAB +∠OBA ＝90°，∠OBA +∠EBC ＝90°，∴△AOB ∽△BEC ，∴，即＝，解得CE＝，∵＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．17．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），函数的对称轴为：x＝﹣1，故点D（﹣1，﹣4a）；（2）无关，理由：由抛物线的表达式得，点C（0，﹣3a），将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a，令y＝0，则x＝3，故点E（3，0），即OE＝3，OE的长与a值无关；（3）tanβ＝＝＝﹣a，故﹣≤a≤﹣1；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE，则PD＝PE，∠DPE＝90°，而点D（﹣1，﹣4a），点E（3，0），过点P作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点M，交x轴于点N，∵∠PDM+∠MPD＝90°，∠MPD+∠EPN＝90°，∴∠MPD＝∠EPN，∠PMD＝∠ENP＝90°，PD＝PE，∴△PMD≌△ENP（AAS），∴MD ＝PN ，MP ＝NE ，即n ＝﹣1﹣m ，﹣4a ﹣n ＝3﹣m ，解得：n ＝﹣1﹣m ，m ＝2a +1，∵a ＜0，故m ＝2a +1＜1，故n ＝﹣m ﹣1（m ＜1）．18．解：（1）∵的图象过点A （1，m ）， ∴，同理：， ∴A （1，﹣1），B （﹣2，﹣2）；（2）如图，分别过△AOB 的三个顶点作对边的平行线，三条平行线两两相交于点C 1，C 2，C 3．因此，四边形AOC 1B ，四边形AOBC 2，四边形OBAC 3为平行四边形．∵O （0，0），A （1，﹣1），B （﹣2，﹣2），∴C 1（﹣3，﹣1），C 2（﹣1，﹣3），C 3（3，1），因此，满足条件的点C 坐标为（﹣3，﹣1），（﹣1，﹣3）．（3）能．①∵A （1，﹣1），C 1（﹣3，﹣1），设经过A ，C 1两点的抛物线的表达式为，依题意，得，解得，∴经过A，C1两点的抛物线的表达式为，∴该抛物线的顶点坐标为，而原抛物线顶点坐标为，∴将原抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位即可获得符合条件的抛物线；②当平移后的抛物线经过A，C2两点时，∵OA∥BC2，OA＝BC2，O（0，0），A（1，﹣1），∴将O点向右平移1个单位再向下平移1个单位使点O移到A点，这时点B随着原抛物线平移到C2点．∴经过A，C2两点的抛物线的表达式为．即．∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位即可获得符合条件的抛物线．19．解：（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B，C的坐标分别为（4，0），（0，﹣2）．将点B，C的坐标代入二次函数的解析式并解得．故二次函数的解析式为当y＝0时，解得x＝﹣1或4∴点A的坐标为（﹣1，0）；（2）如图，过点D作y轴的平行线交BC于点H，设点，点设∠MDH＝∠OBC＝a，则，∴． ∴＝＝． ∵，∴DM 有最大值． 20．解：（1）函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x +3）＝a （x 2+2x ﹣3），即：﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1．故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3．顶点坐标为（﹣1，4）；故答案是：y ＝﹣x 2﹣2x +3；（﹣1，4）；（2）不存在，理由：如答图1，连接BC ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，直线BC 的表达式为：y ＝x +3，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），点H （x ，x +3），则S 四边形BOCP ＝S △OBC +S △PBC ＝×3×3+（﹣x 2﹣2x +3﹣x ﹣3）×3＝8，整理得：3x 2+9x +7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P ；（3）∵OB ＝OC ，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD ：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×3＝2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（4）如答图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1，联立方程，得解得：x＝（舍去正值），故点P（，）．。

2021年中考冲刺数学经典真题及答案含详细解析(最新)

2021年中考冲刺数学经典真题及答案含详细解析（最新）一、单选题1、如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（）A．4B．4C．10 D．8【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AE，如图：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝5，∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，∴AB＝＝＝4，∴AC＝＝＝4；故选：A．【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．2、下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.3、图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（）A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，故选：A．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．4、将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．【解答】解：如图：∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵HF∥BC，∴∠1＝∠2＝75°，故选：C．【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．本题容易，解法很灵活．5、海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工，该项目总投资3710000000元．数据3710000000用科学记数法表示为（）A．371×107B．37.1×108C．3.71×108D．3.71×109【分析】根据科学记数法的表示方法a×10n（1≤a＜9）即可求解；【解答】解：由科学记数法可得3710000000＝3.17×109，故选：D．【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．6、若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，∴x1•x2＝＝﹣5．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．7、已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①△REC≌△AFC（SAS），正确；②由△BEC≌△AFC，得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，由∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，得∠ACF+∠ECA＝60，所以△CEF是等边三角形，正确；③因为∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG，∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，所以∠AGE＝∠AFC，故③正确；④过点E作EM∥BC交AC下点M点，易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，由AF∥EM，则＝＝．故④正确，【解答】解：①△REC≌△AFC（SAS），正确；②∵△BEC≌△AFC，∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ACF+∠ECA＝60，∴△CEF是等边三角形，故②正确；③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，∴∠AGE＝∠AFC，故③正确正确；④过点E作EM∥BC交AC下点M点，易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，∵AF∥EM，∴则＝＝．故④正确，故①②③④都正确．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．8、若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．9、如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．10、在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．二、填空题1、如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1 ．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．2、现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是．【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案．【解答】解：∵现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，∴将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握计算公式是解题关键．3、因式分解：ab﹣a＝a（b﹣1）．【分析】提公因式a即可．【解答】解：ab﹣a＝a（b﹣1）．故答案为：a（b﹣1）．【点评】本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．4、命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为如果a，b互为相反数，那么a+b＝0 ．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．5、﹣x2y是 3 次单项式．【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．【解答】解：∵单项式﹣x2y中所有字母指数的和＝2+1＝3，∴此单项式的次数是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键三、解答题(难度：中等)1、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．【分析】（1）根据勾股定理即可求得；（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF即可求得．【解答】解：（1）AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝4；（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接AD，AD＝＝2，∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB•AC﹣π•AD2＝20﹣5π．【点评】本题考查了勾股定理和扇形面积的计算，证得△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．2、解方程组：．【分析】运用加减消元解答即可．【解答】解：，②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，故原方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；（2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∴DE＝＝＝3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB•DH＝BD•AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题．4、如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【分析】（1）由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c，求得y2＝﹣+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）不符合题意；（3）由y1≤y2，得﹣2≤x≤2，设M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S1＝，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝2﹣，所以S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．【解答】解：由抛物线C1：y1＝x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c得，解得，∴y2＝﹣+x+2，∴B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，①若B为直角顶点，BE⊥AB，k BE•k AB＝﹣1，∴k BE＝﹣1，直线BE解析式为y＝﹣x+5联立，解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，∴E（6，﹣1）；②若A为直角顶点，AE⊥AB，同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，联立，解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，∴E（10，﹣13）；③若E为直角顶点，设E（m，﹣m2+m+2）由AE⊥BE得k BE•k AE＝﹣1，即，解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），∴点E的坐标∴E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；（3）∵y1≤y2，∴﹣2≤x≤2，设M（t，），N（t，），且﹣2≤t≤2，易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，则Q（），S1＝QM•|y F﹣y A|＝设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2＝PN•|x A﹣x B|＝2﹣S＝S1+S2＝4t+8，当t＝2时，S的最大值为16．【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键．5、关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．6、已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，则c＝4a；（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点；①c＝1，顶点A（1，0），抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，②，x2﹣（2+k）x+k＝0，x＝（2+k±），x D＝x B＝（2+k﹣），y D＝﹣1；则D，y C＝（2+k2+k，C，A（1，0），∴直线AD表达式中的k值为：k AD＝＝，直线AC表达式中的k值为：k AC＝，∴k AD＝k AC，点A、C、D三点共线．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大．7、某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，∴m＜35．依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20吨．（2）设一天产生工业废水x吨，当0＜x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，解得：20＜x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．8、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣1 2n B勾股数组Ⅰ/ 8 17勾股数组Ⅱ35 / 37【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：17；37【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．。

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