52奈氏判据
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54奈奎斯特稳定判据解析
j?1
Im S平面
?? ??
Байду номын сангаас
?
Re
??
Im
?
F(s)
? (s)
F(s)平面 Re
当S 平面上动点 s从s1经过某曲线 CS到达s2，映射到 F(s)平面上也将是一段
曲线CF ，该曲线完全由 F(s)表达式和 s平面上的曲线 CS决定。若只考虑动点 s
从s1到达s2相角的变化量，则有
?? F (s) ? ? F (s2 ) ? ? F (s1)
于是，映射到 F(s)平面上，当变点 F(s)沿CF 绕行一周后的幅角变化也应等于 0°。这表 明，围线CF此时不包围原点。
s平面
A BC
? ?H
?2 ?1 a
1
2
D
3
bG F E
CS顺时针
?
2
1.5
F (s)平面
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1 A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
函数F(s)是复变量s的单值函数， s可以在整个 s平面上变化，对于其 上的每一点，除有限 (n) 个极点外，函数 F(s)都有唯一的一个值与之对应。
s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系
F (s) ? K (s ? z1)(s ? z2 ) (s ? zm ) (s ? p1 )(s ? p2 ) (s ? pn )
s平面
F(s)平面
F(s) 的零点
原点
F(s) 的极点
无限远点
s平面上的其他点
原点外的有限点
注意，虽然函数 F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过
5-4 频域：奈氏 判据
2. 奈氏判据 设： F (S ) = 1 + G (s )H (s ) ——闭环系统特征多项式 闭环系统特征多项式 的零点就是闭环系统的极点。 显然： 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 ＋ 平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈 根据幅角定理， 沿着奈氏路径绕一圈， 假如 沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 平 面上绘制的F(s)曲线 F逆时针方向绕原点的圈数 则为 曲线Γ 方向绕原点的圈数N则为 面上绘制的 曲线 逆时针方向绕原点的圈数 F(s)在s右半开平面内极点个数 与的零点个数 之差： 右半开平面内极点个数P与的零点个数 之差： 在 右半开平面内极点个数 与的零点个数Z之差 N= P - Z 说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 当 Z=0 时，说明系统闭环传递函数无极点在 右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
8
某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有 个开环极点分 轨迹如下， 例: 某系统 轨迹如下 已知有2个开环极点分 布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 布在 的右半平面，试判别系统的稳定性。 的右半平面 系统有2个开环极点分布在 的右半平面（ 个开环极点分布在s的右半平面 解：系统有 个开环极点分布在 的右半平面（P=2）， ）， G(jω)H(jω)轨迹在点 轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有 次正穿越，1次 以左的负实轴有2次正穿越 轨迹在点 以左的负实轴有 次正穿越， 次 负穿越，因为： 负穿越，因为：N= N + N = 2 ,1 = 1 求得： 所以系统是稳定系统。 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
Im
8
某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有 个开环极点分 轨迹如下， 例: 某系统 轨迹如下 已知有2个开环极点分 布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 布在 的右半平面，试判别系统的稳定性。 的右半平面 系统有2个开环极点分布在 的右半平面（ 个开环极点分布在s的右半平面 解：系统有 个开环极点分布在 的右半平面（P=2）， ）， G(jω)H(jω)轨迹在点 轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有 次正穿越，1次 以左的负实轴有2次正穿越 轨迹在点 以左的负实轴有 次正穿越， 次 负穿越，因为： 负穿越，因为：N= N + N = 2 ,1 = 1 求得： 所以系统是稳定系统。 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
Im
(完整版)自动控制原理简答题
47、传递函数：传递函数是指在零初始条件下，系统输出量的拉式变换与系统输入量的拉式变换之比。
48、系统校正：为了使系统达到我们的要求，给系统加入特定的环节，使系统达到我们的要求，这个过程叫系统校正。
49、主导极点：如果系统闭环极点中有一个极点或一对复数极点据虚轴最近且附近没有其他闭环零点，则它在响应中起主导作用称为主导极点。
51、状态转移矩阵：()Att e φ=，描述系统从某一初始时刻向任一时刻的转移。
52、峰值时间：系统输出超过稳态值达到第一个峰值所需的时间为峰值时间。
53、动态结构图：把系统中所有环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入输出信号分别以拉氏变换来表示从而得到的传递函数方块图就称为动态结构图。
54、根轨迹的渐近线：当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，系统有n-m 条根轨迹终止于 S 平面的无穷远处，且它们交于实轴上的一点，这 n-m 条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线。
55、脉冲传递函数：零初始条件下，输出离散时间信号的z 变换()C z 与输入离散信号的变换()R z 之比，即()()()C z G z R z =。
56、Nyquist 判据（或奈氏判据）：当ω由-∞变化到+∞时， Nyquist 曲线（极坐标图）逆时针包围（-1，j0）点的圈数N ，等于系统G(s)H(s)位于s 右半平面的极点数P ，即N=P ，则闭环系统稳定；否则（N ≠P ）闭环系统不稳定，且闭环系统位于s 右半平面的极点数Z 为：Z=∣P-N ∣57、程序控制系统: 输入信号是一个已知的函数，系统的控制过程按预定的程序进行，要求被控量能迅速准确地复现输入，这样的自动控制系统称为程序控制系统。
58、稳态误差：对单位负反馈系统，当时间t 趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实际值与期望值（即输入量）之差的极限值，称为稳态误差，它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。
59、尼柯尔斯图（Nichocls 图）：将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以（度）为线性分度的横轴，以 l(ω)=20lgA(ω)（db ）为线性分度的纵轴，以ω为参变量绘制的φ(ω) 曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols 图）60、零阶保持器：零阶保持器是将离散信号恢复到相应的连续信号的环节，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。
自动控制理论_5-4_频域：奈氏_判据
1 Kg
( )
负增益裕量
G( j )
90 180 270 负相位裕量
相位裕量： 当γ<0时，相位裕量 为负，系统不稳定。
g
0
= γ ωc 1800 180 (c )
24
2、增益裕量
1800 时的频率ωg 在开环频率特性的相角
8
例5: 一系统开环传递函数为：
G( s) H ( s)
K s1 T1s 1 T2 s
( T1, 2 0, K 0)
试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性
G( j ) H ( j )
j 1 T1 j 1 T2 j
K
j j 0 j 0 j
4
例2: 一系统开环传递函数为：
G (s) H (s) K , ( K 0) Ts 1
-K2
Im
试判断系统的稳定性的K和T值范围。 解：本系统的开环频率特性
G( j ) H ( j ) K Tj 1
W=0W=0+
1
0
Re
0 0 当 变化时， 系统的奈氏曲线如图所示。 当T >0系统有一个开环极点位于s的右半平面，即： 当T <0系统有0个开环极点位于s的右半平面， P=1。 即：P=0。 根据奈氏判据, 闭环系统稳定Z=N+P=0, N=-1,即图中 奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，则K >1。 根据奈氏判据, 闭环系统稳定Z=N+P=0, N=0,即 W=0
Im
L ( )
dB
(1, j 0)
填空整理
4. 控制系统的基本控制方式为 开环控制系统 和 闭环控制系统 。
5. 能表达控制系统各变量之间关系的数学表达式或表示方法，叫系统的 数学模型 .6. 反馈控制原理是 检测偏差并纠正偏差 原理。
7. 闭环控制系统中，真正对输出信号起控制作用的是 偏差信号 。
8. 对单位反馈系统来讲，偏差信号和误差信号 相同 。
9. 传递函数是指在 0 初始条件下、线常制统的 输出拉氏变换 与 输入拉氏变换 之比。
10.一阶系统传函标准形式是 G （s ）=1/Ts+1 ，二阶系统传函标准形式是11.线性系统的传递函数取决于系统本身的 结构和参数 。
12某单位负反馈系统的前向传递函数为()G s ，该系统的开环传递函数为 G （s ） 。
13.写出控制系统的三种典型输入信号： r （t ）=1（t ） 、 r （t ）=t 、 r （t ）=t ²/2 。
14. 某典型环节的传递函数是21)(+=s s G ，则系统的时间常数是 0.5 。
16．时域动态指标主要有上升时间、峰值时间、最大超调量和___调节时间___。
17．响应曲线达到过调量的__第一峰值___ ___所需的时间，称为峰值时间tp 。
18. 二阶系统的传递函数G(s)=4/(s 2+2s+4) ，其固有频率ωn ＝ 2 。
19. 二阶系统当共轭复数极点位于±45︒线上时，对应的阻尼比为 0.707 。
20．二阶系统两个重要参数是 阻尼比 、 自然频率 ，系统性完个参数来描21、两个二阶系统阶跃响应的超调量相等，则此两个系统具有相同的 阻尼参数 。
22．二阶系统其中MP%和ts 是系统的 指标，C(∞)是系统的 静态性能 指标。
23. 二阶系统，等于1时，是 单调衰减 过程，大于零小于1 时是 衰减的振荡 过程25．二阶系统的阻尼比ξ在___≥1___范围时，响应曲线为非周期过程。
26. 线性连续控制系统稳定的条件是所有特征根均位于S 平面的 左 半部。
耐氏【判据
按照幅角定理的规定，在s平 面的奈氏曲线不能通过F(s)的奇异 点。 重新定义乃氏曲线如下： Ⅰ. 正虚轴s=jω，ω从0+变化到+∞； Ⅱ. 半径为无限大的右半圆，s= R ejθ， R→∞，θ由π/2变化到-π/2。 Ⅲ. 负虚轴s=jω，ω从-∞变化到0-； IV．半径为无穷小的右半圆，s= εejθ，ε→0，θ由-π/2变化到π/2。
0
K jv jv lim v e e 0
ω从0-→0+时，θ从-π/2 → π/2。
G(S)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆 弧按顺时针方向从vπ/2 → -vπ/2。
Im
Im
Im
s平面 ω=0+ e
d c -a b ω=0 ε→0 Re
复变函数的相角可以表示为：
F (s) (s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
若在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，其它 的零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封 闭曲线顺时针方向移动一周时，相量(s+z1)的相角变化 －2π，其它各相量的相角变化为零，即
N=0，P=0，Z=P-N=0
没有闭环不稳定极点。闭环稳定。
若频率特只画出ω从0+→∞部分，则有
N 1 N (P Z ) 2 2 1 若闭环系统稳定，则Z=0，从而有 N P 2
正负穿越
随着ω的增大，若频率特性曲线 GH (jω)以逆时针方向包围(-1，j0) 点一圈，则GH(jω)曲线的正半段 必然从上至下穿过G(s)平面负实 轴的(-∞，-1)区段一次。这种穿 越伴随着相角的增加而穿越的， 故称为正穿越。反之叫负穿越。
0
K jv jv lim v e e 0
ω从0-→0+时，θ从-π/2 → π/2。
G(S)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆 弧按顺时针方向从vπ/2 → -vπ/2。
Im
Im
Im
s平面 ω=0+ e
d c -a b ω=0 ε→0 Re
复变函数的相角可以表示为：
F (s) (s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
若在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，其它 的零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封 闭曲线顺时针方向移动一周时，相量(s+z1)的相角变化 －2π，其它各相量的相角变化为零，即
N=0，P=0，Z=P-N=0
没有闭环不稳定极点。闭环稳定。
若频率特只画出ω从0+→∞部分，则有
N 1 N (P Z ) 2 2 1 若闭环系统稳定，则Z=0，从而有 N P 2
正负穿越
随着ω的增大，若频率特性曲线 GH (jω)以逆时针方向包围(-1，j0) 点一圈，则GH(jω)曲线的正半段 必然从上至下穿过G(s)平面负实 轴的(-∞，-1)区段一次。这种穿 越伴随着相角的增加而穿越的， 故称为正穿越。反之叫负穿越。
5-2奈氏判据
Γs σ
s平面Γs → 映射 → G(s)H(s) 平面 →∞) G(jω)H(jω)( ω: 0→∞ →∞) 正虚轴 jω (ω:0→∞ →∞ →∞ ∞→0) 负虚轴 jω (ω: −∞→ 半径∞ 半径∞的半圆 G(jω)H(jω)( ω: −∞→ ∞→0) ( 0, 0)点 点
8
奈氏判据：已知开环系统特征方程式在 奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根 的个数为P 开环奈氏曲线（ 包围(− ， 的个数为 ，开环奈氏曲线（ ω: −∞ → 0 → ∞）包围 −1， j0)点的圈数为 ，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根 点的圈数为R 点的圈数为 的个数为Z 的个数为 ，且有 Z=P− R 若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z≠0，闭环系统是不稳 ，闭环系统是稳定的。 ≠ ， 定的。 定的。 当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围( ， 或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围 −1，j0) 点时，则闭环系统是稳定的。 点时，则闭环系统是稳定的。 当开环系统不稳定时， 当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围 (−1，j0)点 − ， 点 P圈时，闭环系统是稳定的。 圈时， 圈时 闭环系统是稳定的。
1 令虚部=0， 令虚部 ，得，ω = TT 1 2
2 x
kTT R ωx ) = − 1 2 e( T +T 1 2
16
系统的开环极坐标图如图示： 系统的开环极坐标图如图示：
所作的增补线如虚线所示。 所作的增补线如虚线所示。 增补线如虚线所示
Im
kTT 当 − 1 2 < −1 T +T 1 2
jω 0+
σ
0
ω= 0+顺时针旋转 • 180° 的大圆弧。如此处理之后， 顺时针旋转N 的大圆弧。如此处理之后，
s平面Γs → 映射 → G(s)H(s) 平面 →∞) G(jω)H(jω)( ω: 0→∞ →∞) 正虚轴 jω (ω:0→∞ →∞ →∞ ∞→0) 负虚轴 jω (ω: −∞→ 半径∞ 半径∞的半圆 G(jω)H(jω)( ω: −∞→ ∞→0) ( 0, 0)点 点
8
奈氏判据：已知开环系统特征方程式在 奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根 的个数为P 开环奈氏曲线（ 包围(− ， 的个数为 ，开环奈氏曲线（ ω: −∞ → 0 → ∞）包围 −1， j0)点的圈数为 ，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根 点的圈数为R 点的圈数为 的个数为Z 的个数为 ，且有 Z=P− R 若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z≠0，闭环系统是不稳 ，闭环系统是稳定的。 ≠ ， 定的。 定的。 当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围( ， 或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围 −1，j0) 点时，则闭环系统是稳定的。 点时，则闭环系统是稳定的。 当开环系统不稳定时， 当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围 (−1，j0)点 − ， 点 P圈时，闭环系统是稳定的。 圈时， 圈时 闭环系统是稳定的。
1 令虚部=0， 令虚部 ，得，ω = TT 1 2
2 x
kTT R ωx ) = − 1 2 e( T +T 1 2
16
系统的开环极坐标图如图示： 系统的开环极坐标图如图示：
所作的增补线如虚线所示。 所作的增补线如虚线所示。 增补线如虚线所示
Im
kTT 当 − 1 2 < −1 T +T 1 2
jω 0+
σ
0
ω= 0+顺时针旋转 • 180° 的大圆弧。如此处理之后， 顺时针旋转N 的大圆弧。如此处理之后，
乃氏判据
已知反馈控制系统的开环传递函数为
G( j ) H ( j ) 1800 arctgT arctg 当 T 时， arctgT arctg , 当ω由0变至+∞时， G( j ) H ( j )由∞变
至0， G( j ) H ( j )由-180o在第III象限内变化为-180o，其对应的奈氏曲线如图 （a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平 (1, j ) 面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围 点 （R=0），系统无S平面右半部的开环极点（P=0），由奈氏判据知，当 T 时，该系统是稳定的。
以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆， 使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保满足 柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右 半平面。映射情况，由于较复杂，略。
0 0
2、如果开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，说明闭环系统处于临 界稳定状态，闭环系统在虚轴上有极点。
例:
s s
A
Im F (s)
F ( s)
F (s)
B
F
Re F (s)
zi
0
F ( s)
0
设s平面闭合曲线 包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿 一周时，在F(s)平面上， F(s)闭合曲线 F 包围原点的圈数 R=Z-P
顺时针运动
R>0表示 F 逆时针包围F(s) 平面的原点
[解]：首先画出完整的奈氏 曲线的映射曲线。如右图：
从图上可以看出：映射曲线顺时 针包围(-1,j0)两圈。因 P 0 ，所 0 以Z k P R 2 ，闭环系统是不 稳定的。
自动控制原理5-2奈氏判据
F(s) =
∑(s − z ) ∑(s − p )
i =1 i i =1 n i
n
式中， 分别为F(s)的零点和极点。 的零点和极点。 式中， zi和pi分别为 的零点和极点 F(s)具有如下特征： 具有如下特征： 具有如下特征 1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根； 分别是闭环 特征根； ） 零点和极点分别是闭环和开环特征根 2）零点和极点个数相同； ）零点和极点个数相同； 3） F(s)和G(s)H(s)只相差常数 。 只相差常数1。 ） 和 只相差常数
jω A zi 0
Γs σ
Im
B F(s) ΓF Re
0
∆∠F(s) = ∆∑∠s − zi − ∆∑∠s − pj = −2π
i =1 j=1
m
n
F(s)曲线从 点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。 曲线从B点开始 绕原点顺时针方向转了一圈。 曲线从 点开始，
4
幅角原理：如果封闭曲线内有 个 的零点， 个 幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个 的零点 F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线Γs 顺时针方向转一圈时，在 顺时针方向转一圈时， 的极点 F(s)平面上，曲线 平面上， 绕其原点逆时针转过的圈数R为 和 平面上 曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数 为P和 绕其原点逆时针转过的圈数 jω Z之差，即 之差， 之差 R=P−Z N若为负，顺时针。 若为负， 若为负 顺时针。 +∞ ∞ 5. 4 . 3 奈氏判据 σ （1）0型系统 ） 型系统 0 Γs为包围虚轴和整个右半平面。 为包围虚轴和整个右半平面。 Γ s平面Γs → 映射 → F(s) 平面 →∞) F(jω) ( ω: 0→∞ →∞) 正虚轴 jω (ω:0→∞ →∞ →∞ ∞→0) 负虚轴 jω (ω: −∞→ 半径∞ 半径∞的半圆
∑(s − z ) ∑(s − p )
i =1 i i =1 n i
n
式中， 分别为F(s)的零点和极点。 的零点和极点。 式中， zi和pi分别为 的零点和极点 F(s)具有如下特征： 具有如下特征： 具有如下特征 1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根； 分别是闭环 特征根； ） 零点和极点分别是闭环和开环特征根 2）零点和极点个数相同； ）零点和极点个数相同； 3） F(s)和G(s)H(s)只相差常数 。 只相差常数1。 ） 和 只相差常数
jω A zi 0
Γs σ
Im
B F(s) ΓF Re
0
∆∠F(s) = ∆∑∠s − zi − ∆∑∠s − pj = −2π
i =1 j=1
m
n
F(s)曲线从 点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。 曲线从B点开始 绕原点顺时针方向转了一圈。 曲线从 点开始，
4
幅角原理：如果封闭曲线内有 个 的零点， 个 幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个 的零点 F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线Γs 顺时针方向转一圈时，在 顺时针方向转一圈时， 的极点 F(s)平面上，曲线 平面上， 绕其原点逆时针转过的圈数R为 和 平面上 曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数 为P和 绕其原点逆时针转过的圈数 jω Z之差，即 之差， 之差 R=P−Z N若为负，顺时针。 若为负， 若为负 顺时针。 +∞ ∞ 5. 4 . 3 奈氏判据 σ （1）0型系统 ） 型系统 0 Γs为包围虚轴和整个右半平面。 为包围虚轴和整个右半平面。 Γ s平面Γs → 映射 → F(s) 平面 →∞) F(jω) ( ω: 0→∞ →∞) 正虚轴 jω (ω:0→∞ →∞ →∞ ∞→0) 负虚轴 jω (ω: −∞→ 半径∞ 半径∞的半圆
奈奎斯特-判据
：0
Gk
(
j)
0
当 p 0时，开环极坐标的轨线围绕 ( 1，j0点) 的角度增量为 2 p，π 即
：0
Gk
(
j)
2
pπ
1.3奈奎斯特判据在伯德图中的应用
在应用奈奎斯特判据判断系统的稳定性时，首先要在 G( j) 平面上作出开 环系统的幅相频率特性曲线，即 Gk ( j轨)线（也称奈奎斯特图，简称奈氏图）；
（2）当 p 0时，系统的开环极点全部位于s左半平面上，则上式变为
F ( j) 0
或
：0
：0
[1
Gk
(
j
)]
0
即角度增量为0，或者说 F ( j) 的轨线不包围原点。
不稳定系统与稳定系统的 F ( j) 轨线与角度增量如下图所示。 不稳定系统与稳定系统的轨线与角度增量
F( j平) 面就是 1 Gk ( j)平面，因此， F( j平) 面的原点就等于 G( j平) 面的
点。(开1环，j频0)率特性
的幅G相k频( j率)特性曲线（极坐标图）是画在
G( j) 平面上的，所以可以利用系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。
此时，相对于 G( j)平面上 (1，j0) 点的角度增量，奈奎斯特判据的描述修 改为
当 p 0时，开环极坐标的轨线围绕 (1，j0点) 的角度增量为零，即
2．对数频率特性图上的正负穿越
开环系统的幅相频率特性与对数频率特性的对应关系如下。 （1）幅相频率特性图上的单位圆对应于对数频率特性图上的0 dB线。
（2）幅相频率特性图上的负实轴对应于对数频率特性图上的 180相位线。
由此可知，对数频率特性图上的正负穿越为：在对数频率特性图上 L() 的0
自动控制理论 5-4 频域：奈氏 判据
L( )P20 ( )
Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即
Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即
奈氏判据半包围和对数判据判断系统稳定性
− 360
o
ωc < ωc1时
系统稳定
− 540 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
50 G(s)H(s) = s(s − 1)(s + 2)
ωc
0dB
ω
− 180o
1 z=1- 2× − ) =2 不稳定 （ 2
ω
−270
G(j0.816) = −j0.525k
−k 7
k − > −1 7
k > −1 2
− 2 < k < 7时系统稳定
k 2
−k 7
对数判据
j 0dB A D 0
L(ω)
-1
B C
ωb
φ(ω)
ωc ωd
ω
ω 0o ω
z= p
2N
-90 -180
-270
的频段， 穿越(2k+1)π线的次数。 线的次数。 在L(ω)>0dB的频段，看φ(ω)穿越 的频段 穿越 线的次数
自下向上为负穿越， 表示； -1 自下向上为负穿越，用N－表示； G(jω)H (jω)起于－1之左实轴，为半次穿越 起于－ 之左实轴， 半次穿越 之左实轴
-1
N+ = 1 2
-1
N− =
1 2
N=N＋-N－
例题
已知单位反馈系统 开环幅相曲线 -1 (K=10,P=0,ν=0)如图所 如图所 -2 -0.2K 示，试确定闭环稳定 的取值范围。 时K的取值范围。 的取值范围 解：G(s)=kG0(s) G(jω)=kG0(jω)
3
用奈氏判据判稳
1 G (s ) = Ts − 2
j
2 G (s ) = Ts − 1
自动控制理论5-4频域：奈氏判据
自动控制理论5-4频 域：奈氏判据
目录
• 引言 • 奈氏判据的基本原理 • 奈氏判据的应用 • 实例分析 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
理解并掌握奈氏判据在自动控制理论中的应用，掌握如何使用奈氏判据判断系统 的稳定性。
背景
随着工业自动化水平的提高，自动控制系统在各个领域得到广泛应用。为了确保 系统的稳定运行，需要借助自动控制理论对系统进行分析。频域分析是自动控制 理论的重要分支，而奈氏判据则是频域分析中的一种重要方法。
05
结论
奈氏判据的重要性和意义
1 2 3
确定系统的稳定性
通过奈氏判据，可以确定一个线性时不变系统的 稳定性，这对于控制系统的设计和分析至关重要。
预测系统行为
奈氏判据提供了一种方法，用于预测系统在不同 频率下的行为，这对于理解系统的动态特性和性 能至关重要。
优化系统设计
通过使用奈氏判据，可以在设计阶段优化控制系 统的性能，从而提高系统的可靠性和稳定性。
复杂系统
在实际的工程应用中，控制系统往往比较复杂，由多个环节和元件组成，其传递函数也较为复杂。
奈氏判据应用
对于复杂系统，需要先进行简化或分解，然后对每个子系统分别应用奈氏判据进行稳定性分析。如果 所有子系统都稳定，则整个系统稳定；否则，整个系统不稳定。
实际应用中的奈氏判据
实际应用
在工业控制、航空航天、交通运输等领域，控制系统发挥着至关重要的作用。
基于奈氏曲线的几何特性，通过观察曲线在实轴上的投影，可以判断系统的稳定性。具体 来说，如果曲线没有穿越实轴，则系统是稳定的；如果曲线穿越实轴且在穿越点附近存在 无穷大的斜率，则系统是不稳定的。
应用范围
奈氏判据适用于线性时不变系统的频域分析，对于具有开环极点的系统尤为适用。
目录
• 引言 • 奈氏判据的基本原理 • 奈氏判据的应用 • 实例分析 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
理解并掌握奈氏判据在自动控制理论中的应用，掌握如何使用奈氏判据判断系统 的稳定性。
背景
随着工业自动化水平的提高，自动控制系统在各个领域得到广泛应用。为了确保 系统的稳定运行，需要借助自动控制理论对系统进行分析。频域分析是自动控制 理论的重要分支，而奈氏判据则是频域分析中的一种重要方法。
05
结论
奈氏判据的重要性和意义
1 2 3
确定系统的稳定性
通过奈氏判据，可以确定一个线性时不变系统的 稳定性，这对于控制系统的设计和分析至关重要。
预测系统行为
奈氏判据提供了一种方法，用于预测系统在不同 频率下的行为，这对于理解系统的动态特性和性 能至关重要。
优化系统设计
通过使用奈氏判据，可以在设计阶段优化控制系 统的性能，从而提高系统的可靠性和稳定性。
复杂系统
在实际的工程应用中，控制系统往往比较复杂，由多个环节和元件组成，其传递函数也较为复杂。
奈氏判据应用
对于复杂系统，需要先进行简化或分解，然后对每个子系统分别应用奈氏判据进行稳定性分析。如果 所有子系统都稳定，则整个系统稳定；否则，整个系统不稳定。
实际应用中的奈氏判据
实际应用
在工业控制、航空航天、交通运输等领域，控制系统发挥着至关重要的作用。
基于奈氏曲线的几何特性，通过观察曲线在实轴上的投影，可以判断系统的稳定性。具体 来说，如果曲线没有穿越实轴，则系统是稳定的；如果曲线穿越实轴且在穿越点附近存在 无穷大的斜率，则系统是不稳定的。
应用范围
奈氏判据适用于线性时不变系统的频域分析，对于具有开环极点的系统尤为适用。
奈氏判据
P 2
S2
Z2
P 1
0
0
F (S1 )ຫໍສະໝຸດ ReS3Ls
(a )
(b)
LF
图4-36
S 和 F(s) 的映射关系
8
设 F (s) 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函 数，若在S平面上任选一封闭曲线 Ls ，并使 Ls不通过 F (s) 的奇点，则S平面上的封闭曲线 Ls映射到F(s)平面 上也是一条封闭曲线 LF 。当解析点s按顺时针方向沿 Ls 变化一周时，则在 F (s) 平面上，LF 曲线按逆时针方 向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或 LF 按逆 时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线 Ls 内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即
Im
GH
0 0
Im
1 0
GH
0
Im
GH
0 0
1
0
Re
Re 0
1
0
Re
T
(b)
T
(c )
T
稳定
图4-42 系统的奈氏曲线
1
0
(1)
F ( j)
LGH
G( j ) H ( j )
Ls
LF
（a）s平面的Nyquist轨迹 （b）［F］平面的奈氏曲线 （c）［GH］平面的奈氏曲线
图4-37
12
奈氏轨迹 Ls在GH平面上的映射LGH称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线.
三、奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的奈奎斯
第四节
第4讲_5.5奈奎斯特稳定判据
2014-12-22 第五章 频率响应 16
GH
K 1 (T2 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
2014-12-22
第五章 频率响应
13
例4
K
K GH 2 ，K 0，T 0 S (1 TS )
解 : G ( j )
2 1 T 2 2
() 180 arctanT
因为 p 0， N 2 P Z， 所以 z 2 闭环系统不稳定。
Z = P -2（ N’+ - N’- ）
由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联 比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要 选择合适的参数。
2014-12-22 第五章 频率响应 20
三、奈氏判据在对数坐标图上的应用
由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈 奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来 进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以 回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳 定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参 数对系统稳定性的影响。
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）； 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
2014-12-22
第五章 频率响应
2
一、幅角原理
令F (S )
K ( s z1 )(s z2 ) (s zn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则
GH
K 1 (T2 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
2014-12-22
第五章 频率响应
13
例4
K
K GH 2 ，K 0，T 0 S (1 TS )
解 : G ( j )
2 1 T 2 2
() 180 arctanT
因为 p 0， N 2 P Z， 所以 z 2 闭环系统不稳定。
Z = P -2（ N’+ - N’- ）
由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联 比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要 选择合适的参数。
2014-12-22 第五章 频率响应 20
三、奈氏判据在对数坐标图上的应用
由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈 奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来 进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以 回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳 定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参 数对系统稳定性的影响。
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）； 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
2014-12-22
第五章 频率响应
2
一、幅角原理
令F (S )
K ( s z1 )(s z2 ) (s zn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则
自动控制原理--奈奎斯特稳定判据及应用
Ⅱ
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
自动控制理论奈氏判据
ω = 3.16
{ 1− 0.1ω2 = 0
− K0
1.1ω 2
=
−1
K0 = 11 K0 < 11 29
小结
映射定理
奈氏判据
闭环系统稳定的充分必要条件是:
当ω 从 −∞ 到 +∞ 变化时,开环极坐标 图 G( jω)H ( jω) 在GH平面上逆钟向包围
(−1, j0) 点的次数等于系统的开环右极 点数。
5.4.1 映射定理
s ¨ F(s)
s平面 ¨ Cs曲线
F平面 ¨ CF曲线
5
5.4 用频率法分析系统稳定性
映射定理(应用)
F (s) = K (s + Z1 )(s + Z 2 ) (s + P1 )(s + P2 )(s + P3 )
Im
F (s)平面
F (s)
0
Re
注意:幅角的方向
CF
修改后的奈氏轨迹
开环传函（右极点），映射，极坐标图，
映射定理 →→→ 奈氏判据
30
7
5.4 用频率法分析系统稳定性
5.4.2 奈氏(Nyquist)判据 闭环系统稳定的充分必要条件是:
当ω 从−∞ 到 +∞ 变化时,开环极坐标 图 G( jω)H ( jω) 在GH平面上逆钟向包围
(−1, j0) 点的次数等于系统的开环右极 点数。
简单、精炼，一句话！
8
5.4 用频率法分析系统稳定性
自动控制理论
Automatic Control Theory
1
上节课要点复习
系统开环对数频率特性的绘制要点 系统开环极坐标图的绘制要点 系统开环对数频率特性→系统开环极坐标图 最小相位系统与非最小相位系统
奈奎斯特稳定判据
由此推论，若s平面上的闭合曲线 以顺时针方向包围
的z个零点，则在
平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转z周。
如果s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着
的一个极点
旋转一
周，则向量
的相角变化了
。由式（5－42）可知，
的相角
变化了
。这表示
平面上的映射曲线 按逆时针方向围绕其坐标原点
一周。由此推广到一般，若s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着
（1）首先要确定开环系统是否稳定，若不稳定，则P为多少？
（2）作出奈氏曲线 曲线，然后以实轴为对称轴，画出 氏曲线。
。具体作图时可先画出 从0到
的一段
从0到
的另一段曲线，从而得到完整的奈
（3）计算奈氏曲线
对点（－1，j0）按顺时针方向的包围圈数N。
（4）根据辐角原理确定Z是否为零。如果Z＝0，表示.闭环系统稳定；反之， ，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面
11.01.2011
控制理论
Seite 8 von 15
把上述 和 了。
部分在GH平面上的映射曲线和
的奈氏曲线在
处相连接，就组成了一条封闭曲线。此时，又可应用奈奎斯特稳定判据
例5－6 试判别该系统的稳定性。
反馈控制系统开环传函数为
试判别该系统的稳定性。
解：由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，因而在s上所取的奈氏
的具体形状，而是它是否包围
平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数，
因为它与系统的稳定性有着密切的关系。
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
奈氏判据半包围和对数判据判断系统稳定性
-1 -1
-1.5 -0.15K
j
--0.5 0 0.05K
ω
、－0.15、－ 、－0.05 、－ 、－ 当K=1时，三个交点参数为： －0.2、－ 时 三个交点参数为： K没确定时，三个交点参数为： 0.2K、－ 没确定时， 没确定时 三个交点参数为： 、－0.15K、－ 、－0.05K － 、－ 、－ 0.15K>1同时 同时0.05K<1系统稳定 同时 系统稳定 20 0.2K<1时系统也稳定 答案： 0 < k < 5和 < k < 20 时系统也稳定 答案：
− 180o
− 270o
− 360 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 试确定系统闭环稳定时截止频率ω 的范围。 试确定系统闭环稳定时截止频率 c的范围。
ϕ(ω) ω
360 o
180o
0o
ωc1
ωc
ω
− 180o
5(s + 1) 已知单位反馈系统开环传递函数 G (s ) = 2 s(s + 2s − a )
试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 的取值范围
5 + G ( j0 ) = − = ∞∠ − 270o as
j
5 G ( j∞) = 2 = 0∠ − 180o s
5-5 频率域稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数 闭环特征根在 右半平面的个数
z=0
系统稳定
z = p _2N
开环极点在s右半平面的个数 开环极点在 右半平面的个数 开环幅相曲线穿越－ 之左实轴的次数 开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1.5 -0.15K
j
--0.5 0 0.05K
ω
、－0.15、－ 、－0.05 、－ 、－ 当K=1时，三个交点参数为： －0.2、－ 时 三个交点参数为： K没确定时，三个交点参数为： 0.2K、－ 没确定时， 没确定时 三个交点参数为： 、－0.15K、－ 、－0.05K － 、－ 、－ 0.15K>1同时 同时0.05K<1系统稳定 同时 系统稳定 20 0.2K<1时系统也稳定 答案： 0 < k < 5和 < k < 20 时系统也稳定 答案：
− 180o
− 270o
− 360 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 试确定系统闭环稳定时截止频率ω 的范围。 试确定系统闭环稳定时截止频率 c的范围。
ϕ(ω) ω
360 o
180o
0o
ωc1
ωc
ω
− 180o
5(s + 1) 已知单位反馈系统开环传递函数 G (s ) = 2 s(s + 2s − a )
试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 的取值范围
5 + G ( j0 ) = − = ∞∠ − 270o as
j
5 G ( j∞) = 2 = 0∠ − 180o s
5-5 频率域稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数 闭环特征根在 右半平面的个数
z=0
系统稳定
z = p _2N
开环极点在s右半平面的个数 开环极点在 右半平面的个数 开环幅相曲线穿越－ 之左实轴的次数 开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
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10
例5-10 判断系统稳定性 解：由图知 （1）p = 0 且 R = 0 闭环系统是稳定的。
Im
Im
0
= 0 Re
p=0
1 0
Re
= 0
（2） p = 0 ，R 2
z p R 2 0 闭环系统不稳定的。
p=0
11
Im
1
0
= 0
Re
p=0
（3） p = 0 ，R 0 闭环系统是稳定的。
Gk (
j )
(1
k
(T1 )2 )(1
(T2 )2 ) [(T1
T2 )
j
1 2T1T2
]
令虚部=0，得，
2 x
1 T1T2
Re(
x
)
kT1T2 T1 T2
17
系统的开环极坐标图如图示：
所作的增补线如虚线所示。
=0-
当 kT1T2 1 T1 T2
R=2 z = p R = 2
面，开环系统临界稳定。在这种情 0
况下，不能直接应用奈氏判据。
0
如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，
在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无
穷小的半圆，绕过原点。
相应地，在GH平面上开环极坐标图在 =0时，小
半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从= 0到
= 0+顺时针旋转N • 180° 的大圆弧。如此处理之后，
(s) G(s)
M1(s)N2(s)
1 G(s)H(s) N1(s)N2(s) M1(s)M2(s)
把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅 助函数， 记作F(s)， F(s)仍是复变量s的函数。
F(s)
DB (s) Dk (s)
N1(s)N2(s) M1(s)M2(s) N1(s)N2(s)
24
L()/dB
对数频率稳定判据：
一个反馈控制系统，
其闭环特征方程正实部根
()/(°)
0
(+)
-180
()
个数Z，可以根据开环传 递函数s 右半平面极点数 P 和开环对数幅频特性为 正值的所有频率范围内， 对数相频特性曲线与
1802k 线的正负穿越
次数之差R = N N确定 Z = P 2R
kT1T2
T1 T2
1
∴ 闭环系统是不稳定的 。
当 kT1T2 > 1 T1 T2
R=0
z = p R= 0
=0+
∴ 闭环系统是稳定的 。
Im
0
Re
增补线
18
(3) 由奈氏判据判稳的实际方法
用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从
0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0 )点的圈数
R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s 右半
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和
Z之差，即
j
R=PZ
N若为负，顺时针。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
21
例5-13 已知系统的开环传函为
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1) 用奈氏判据判断稳定性。 解：（1）从开环传递函数知
p=1 （2）作开环极坐标图 起点： Gk(j0) = 270 -10 终点： Gk(j) = 090
与坐标轴交点： x =101/2 Re(x) = 0.1k
)( )(
s s
zm pn
) )
在s平面上封闭曲线C 域内共有P= n个极点和Z= m个零 点，且 封闭曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。
当s顺时针沿 封闭曲线C变化一周时，函数F(s)在F平面上 的轨迹将按逆时针包围原点 R = P – Z 次。
(零点个数考虑重根数，R > 0 逆时针，R < 0 顺时针。)
1
Re
j
(-1,j0)
Nyquist图
99
奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根
的个数为P，开环奈氏曲线（ : 0 ）包围(1， j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根 的个数为Z，且有
Z=P R 若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳 定的。 或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围( 1，j0) 点时，则闭环系统是稳定的。 当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围 (1，j0)点 P圈时，闭环系统是稳定的。
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270arctan(T 1T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。
15
Im
j
=0-
+
0
s
0
Re
k Gk (s) sv G0(s)
=0+
增补线
16
例5-12 已知系统的开环传函为
Gk (s)
s(T1s
k 1)(T2s
1)
用奈氏判据判断稳定性。
解：（1）从开环传递函数，知 p = 0
（2）作开环极坐标图
起点：Gk (j0) = 90 终点：Gk (j) = 0270 与坐标轴交点：
断系统的稳定性。
19
重新做例5-10 判断系统稳定性。
Im
0
解：由图知
= 0
Re
（1）p = 0 且 R= 0
闭环系统是稳定的。
p=0
Im
1 0
Re
= 0
（2） p = 0 ，R 1
z p 2R 2 0 闭环系统不稳定的。
p=0
20
Im
1 = 0 Re
0
p=0
（3） p = 0 ，R 0 闭环系统是稳定的 。
当 k < 1时 ， k > 1 ，R= 1 z = p R = 0
∴闭环系统是稳定的 。 当k > 1 ， k < 1 ，N = 0 ，z = p R = 1 闭环系统是不稳定的。
14
（2）开环有积分环节的系统
Gk (s)
k sN
G0 ( s)
j
0+
由于开环极点因子1/ s ，既不 在的s 左半平面，也不在的s 右半平
稳定性。 5.4.1 辅助函数F(s)
R(s)
+﹣
C(s) G(s)
如图示的控制系统，G(s) 和H(s)是两个多项式之比
H(s)
1
G(s) M1(s) 开环传递函数为 N1(s)
H(s) M2(s) N2(s)
Gk (s) 闭环传递函数为
G(s)H(s)
M1(s)M2(s) N1(s)N2(s)
3
数学基础
复变函数映射概念
例：
F(s ) s 2
s3
－3 －2
j S平面
Im F平面 原点 Re
无穷远点
若在S平面上，任取一封闭轨迹 s，且使其不通过F(s)的奇 点，则在F平面上就有一封闭轨迹 与之F 对应。
44
柯西幅角原理 对于复变函数
F
(
s
)
k( (s
s z1 )( s z2 p1 )( s p2
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
开环极坐标图如图
j
01
22
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
23
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
12
例5-11 一单位反馈系统，其开环传函
k Gk (s) Ts 1 试用奈氏判据判断系统的稳定性。
解：已知 p = 1
频率特性
Gk ( j )
k
jT 1
kT
j 1 / T
当 = 0，Gk (j0) = k180
当 ，Gk (j) = 090
Im
k
=0
0
Re
13
=0 k
Im
1
Re
0
F平面( 1, j0)点就是GH平面的坐标原点。
8
已知F(s)=1+ G(S)H(s)，s平面上的D形围线在F平面上映射 的有向闭曲线称为在F平面的奈奎斯特图。
F(s)平面上的原点即G(S)H(s)平面上的(－1，j0)点
j
j
S平面
F平面 Im'
D形围线
F(s)= 1+ G(S)H(s)
Im G0平面
5.4 奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)是根据开环频率 特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。
例5-10 判断系统稳定性 解：由图知 （1）p = 0 且 R = 0 闭环系统是稳定的。
Im
Im
0
= 0 Re
p=0
1 0
Re
= 0
（2） p = 0 ，R 2
z p R 2 0 闭环系统不稳定的。
p=0
11
Im
1
0
= 0
Re
p=0
（3） p = 0 ，R 0 闭环系统是稳定的。
Gk (
j )
(1
k
(T1 )2 )(1
(T2 )2 ) [(T1
T2 )
j
1 2T1T2
]
令虚部=0，得，
2 x
1 T1T2
Re(
x
)
kT1T2 T1 T2
17
系统的开环极坐标图如图示：
所作的增补线如虚线所示。
=0-
当 kT1T2 1 T1 T2
R=2 z = p R = 2
面，开环系统临界稳定。在这种情 0
况下，不能直接应用奈氏判据。
0
如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，
在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无
穷小的半圆，绕过原点。
相应地，在GH平面上开环极坐标图在 =0时，小
半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从= 0到
= 0+顺时针旋转N • 180° 的大圆弧。如此处理之后，
(s) G(s)
M1(s)N2(s)
1 G(s)H(s) N1(s)N2(s) M1(s)M2(s)
把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅 助函数， 记作F(s)， F(s)仍是复变量s的函数。
F(s)
DB (s) Dk (s)
N1(s)N2(s) M1(s)M2(s) N1(s)N2(s)
24
L()/dB
对数频率稳定判据：
一个反馈控制系统，
其闭环特征方程正实部根
()/(°)
0
(+)
-180
()
个数Z，可以根据开环传 递函数s 右半平面极点数 P 和开环对数幅频特性为 正值的所有频率范围内， 对数相频特性曲线与
1802k 线的正负穿越
次数之差R = N N确定 Z = P 2R
kT1T2
T1 T2
1
∴ 闭环系统是不稳定的 。
当 kT1T2 > 1 T1 T2
R=0
z = p R= 0
=0+
∴ 闭环系统是稳定的 。
Im
0
Re
增补线
18
(3) 由奈氏判据判稳的实际方法
用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从
0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0 )点的圈数
R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s 右半
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和
Z之差，即
j
R=PZ
N若为负，顺时针。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
21
例5-13 已知系统的开环传函为
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1) 用奈氏判据判断稳定性。 解：（1）从开环传递函数知
p=1 （2）作开环极坐标图 起点： Gk(j0) = 270 -10 终点： Gk(j) = 090
与坐标轴交点： x =101/2 Re(x) = 0.1k
)( )(
s s
zm pn
) )
在s平面上封闭曲线C 域内共有P= n个极点和Z= m个零 点，且 封闭曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。
当s顺时针沿 封闭曲线C变化一周时，函数F(s)在F平面上 的轨迹将按逆时针包围原点 R = P – Z 次。
(零点个数考虑重根数，R > 0 逆时针，R < 0 顺时针。)
1
Re
j
(-1,j0)
Nyquist图
99
奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根
的个数为P，开环奈氏曲线（ : 0 ）包围(1， j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根 的个数为Z，且有
Z=P R 若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳 定的。 或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围( 1，j0) 点时，则闭环系统是稳定的。 当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围 (1，j0)点 P圈时，闭环系统是稳定的。
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270arctan(T 1T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。
15
Im
j
=0-
+
0
s
0
Re
k Gk (s) sv G0(s)
=0+
增补线
16
例5-12 已知系统的开环传函为
Gk (s)
s(T1s
k 1)(T2s
1)
用奈氏判据判断稳定性。
解：（1）从开环传递函数，知 p = 0
（2）作开环极坐标图
起点：Gk (j0) = 90 终点：Gk (j) = 0270 与坐标轴交点：
断系统的稳定性。
19
重新做例5-10 判断系统稳定性。
Im
0
解：由图知
= 0
Re
（1）p = 0 且 R= 0
闭环系统是稳定的。
p=0
Im
1 0
Re
= 0
（2） p = 0 ，R 1
z p 2R 2 0 闭环系统不稳定的。
p=0
20
Im
1 = 0 Re
0
p=0
（3） p = 0 ，R 0 闭环系统是稳定的 。
当 k < 1时 ， k > 1 ，R= 1 z = p R = 0
∴闭环系统是稳定的 。 当k > 1 ， k < 1 ，N = 0 ，z = p R = 1 闭环系统是不稳定的。
14
（2）开环有积分环节的系统
Gk (s)
k sN
G0 ( s)
j
0+
由于开环极点因子1/ s ，既不 在的s 左半平面，也不在的s 右半平
稳定性。 5.4.1 辅助函数F(s)
R(s)
+﹣
C(s) G(s)
如图示的控制系统，G(s) 和H(s)是两个多项式之比
H(s)
1
G(s) M1(s) 开环传递函数为 N1(s)
H(s) M2(s) N2(s)
Gk (s) 闭环传递函数为
G(s)H(s)
M1(s)M2(s) N1(s)N2(s)
3
数学基础
复变函数映射概念
例：
F(s ) s 2
s3
－3 －2
j S平面
Im F平面 原点 Re
无穷远点
若在S平面上，任取一封闭轨迹 s，且使其不通过F(s)的奇 点，则在F平面上就有一封闭轨迹 与之F 对应。
44
柯西幅角原理 对于复变函数
F
(
s
)
k( (s
s z1 )( s z2 p1 )( s p2
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
开环极坐标图如图
j
01
22
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
23
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
12
例5-11 一单位反馈系统，其开环传函
k Gk (s) Ts 1 试用奈氏判据判断系统的稳定性。
解：已知 p = 1
频率特性
Gk ( j )
k
jT 1
kT
j 1 / T
当 = 0，Gk (j0) = k180
当 ，Gk (j) = 090
Im
k
=0
0
Re
13
=0 k
Im
1
Re
0
F平面( 1, j0)点就是GH平面的坐标原点。
8
已知F(s)=1+ G(S)H(s)，s平面上的D形围线在F平面上映射 的有向闭曲线称为在F平面的奈奎斯特图。
F(s)平面上的原点即G(S)H(s)平面上的(－1，j0)点
j
j
S平面
F平面 Im'
D形围线
F(s)= 1+ G(S)H(s)
Im G0平面
5.4 奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)是根据开环频率 特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。