第四章曲线拟合和多项式插值 - Hujiawei Bujidao
多项式插值的原理及其应用
多项式插值的原理及其应用在数学领域中，插值是指基于一系列已知的数据点，通过构造一个合适的函数，来推断出在数据点之间的其他未知数值。
在实际应用中，许多问题都可以通过插值来得到解决，比如图像处理、信号处理、金融模型以及物理模拟等。
其中，最常用的插值方法就是多项式插值。
一、多项式插值的原理多项式插值的原理基于拉格朗日插值法，其基本的思想是利用已知的 n 个数据点，构造一个 n 次多项式，使这个多项式经过这 n 个数据点，从而可以通过这个多项式来推算出其他的数据点。
假设我们已知的 n 个数据点为(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，那么一个 n 次多项式的一般表达式可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0, a1, …, an 是多项式的系数。
根据拉格朗日插值公式，我们可以用这 n 个数据点来构造出 n次多项式：f(x) = Σ yi * L(x, i)其中，L(x, i) 是一个基函数，用来表达 f(x) 在 x = xi 处的取值，它可以表示为：L(x, i) = Π (x - xj) / (xi - xj) (j ≠ i)那么，对于多项式插值，我们需要做两个步骤：1. 找到合适的基函数，构造出 n 次多项式。
2. 利用已知的 n 个数据点，求解出多项式的系数。
二、多项式插值的应用1. 图像处理在数字图像处理中，多项式插值可以被用来进行图像重构，比如将缺失或损坏的像素点进行恢复。
另外，多项式插值还可以被用来进行图像缩放和图像旋转。
2. 信号处理在信号处理中，多项式插值可以被用来进行信号重构，比如信号平滑和信号插值。
除此之外，多项式插值还可以被用来进行谱估计以及信号滤波。
3. 金融模型在金融模型中，多项式插值可以被用来进行资产定价，比如期权和债券的定价。
另外，多项式插值还可以被用来进行股票市场预测和金融风险评估。
4. 物理模拟在物理模拟中，多项式插值可以被用来进行轨迹估计，比如弹道计算和航空航天工程。
曲线拟合与插值方法的数学原理
曲线拟合与插值方法的数学原理现代科学技术的发展离不开数学的支持，而在数学领域中，曲线拟合与插值方法是一种常用的数学原理。
本文将从数学角度探讨曲线拟合与插值方法的原理及其应用。
曲线拟合是指利用已知的数据点，通过一定的数学方法找到与这些数据点最为契合的曲线。
在实际应用中，往往通过曲线拟合方法来预测未知数值，从而达到分析数据、优化设计等目的。
而曲线插值则是指通过已知数据点之间的光滑曲线来逼近实际函数的方法。
曲线插值要求插值函数通过所有给定的数据点，从而保证精确度要求。
曲线拟合与插值方法的数学原理主要涉及到数值分析、逼近论、微积分等数学知识。
在曲线拟合中，常用的方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合、最小二乘非线性拟合等。
最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定未知参数的优化方法，能够有效降低数据测量误差对拟合结果的影响。
在曲线插值方法中，常用的技术包括拉格朗日插值、线性插值、样条插值等。
这些方法通过不同的插值基函数来逼近实际函数，其中拉格朗日插值是一种广泛应用的方法，它通过已知数据点构造一个插值多项式，从而达到对函数的逼近效果。
曲线拟合与插值方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在工程领域中，曲线拟合与插值方法能够对大量的实验数据进行处理，从而找到数据背后的规律，为工程设计提供支持。
在金融领域中，曲线插值方法被广泛用于股票市场走势的分析与预测，通过对历史数据的插值拟合，为投资决策提供参考。
此外，在地理信息系统、生物医学和社会科学等领域，曲线拟合与插值方法也有着重要的应用价值。
总之，曲线拟合与插值方法作为一种重要的数学原理，在现代科学技术领域中有着广泛的应用。
通过对曲线拟合与插值方法的深入研究和探讨，我们能够更好地理解数据背后的规律，为科学研究和工程实践提供强大的支持。
希望本文能够对读者对曲线拟合与插值方法有所启发和帮助。
研究生数值分析-第4章 插值与拟合
第四章插值与拟合插值法插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。
刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。
插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。
由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。
§4.1 引言§4.2 拉格朗日插值§4.3 均差与牛顿插值公式§4.4 差分与等距节点插值§4.5 埃尔米特(Hermite)插值与分段插值§4.6 曲线拟合§4.1 引言问题的提出–函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b ]上给出一系列点的函数值y i = f (x i )–或者给出函数表y=f (x )y =p (x )x x 0x 1x 2……x n yy 0y 1y 2……y n插值法的基本原理设函数y =f (x )定义在区间[a,b ]上,是[a,b ]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知,即若存在一个f(x)的近似函数,满足则称为f (x )的一个插值函数, f (x )为被插函数, 点x i 为插值节点, 称(4.1)式为插值条件, 而误差函数R (x )=称为插值余项, 区间[a, b ]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插n x x x ,,,10)(,),(),(10n x f x f x f )(i i x f y )(x ),,2,1()()(n i x f x i i )(x (4.1))()(x x f插值函数在n+1 个互异插值节点(i =0,1,…,n )处与相等,在其它点x 就用的值作为f (x ) 的近似值。
这一过程称为插值，点x 称为插值点。
换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。
曲线拟合和插值
曲线拟合与插值在大量的应用领域中，人们常常面临用一个解析函数描述数据(一般是测量值)的任务。
对那个问题有两种方式。
在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方式描述数据点之间所发生的情形。
这里讨论的方式是曲线拟合或回归。
人们设法找出某条滑腻曲线，它最佳地拟合数据，但没必要要通过任何数据点。
图说明了这两种方式。
标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描画了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个大体问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方式概念最佳拟合，并存在无穷数量的曲线。
所以，从这里开始，咱们走向何方？正如它证明的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如图。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。
最小二乘那个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。
在MATLAB中，函数polyfit求解最小二乘曲线拟合问题。
为了论述那个函数的用法，让咱们以上面图中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];» y=[ ];为了用polyfit，咱们必需给函数给予上面的数据和咱们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
若是咱们选择n=1作为阶次，取得最简单的线性近似。
通常称为线性回归。
相反，若是咱们选择n=2作为阶次，取得一个2阶多项式。
此刻，咱们选择一个2阶多项式。
» n=2; % polynomial order» p=polyfit(x, y, n)p =polyfit的输出是一个多项式系数的行向量。
其解是y = －＋－。
为了将曲线拟合解与数据点比较，让咱们把二者都绘成图。
多项式的曲线拟合
对于实验或统计数据，为了描述不同变量 之间的关系，经常采用拟合曲线的办法。
拟合曲线：就是要根据已知数据找出相应 函数的系数。通常情况下，已知数据往往多于 未知系数的个数，所以曲线拟合实质上是解超 线性方程组。
×
曲线拟合的两个基本问题：最佳拟合意味着什 么？应该用什么样的曲线？
最佳拟合解释：数据点的最小误差平方和，且 所用曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简 捷的。数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
10
8
y=f(x)
6
4
2
0
-2
0
0.2
0.40.6Fra bibliotek0.8
1
x
×
命令格式：
• p=polyfit(x,y,n):在向量p中返回多项式的系数。
其中x和y为已知数据的横坐标和纵坐标向量，n为多项 式的次数；
• [p,s]=polyfit(x,y,n):同时还返回一个误差估计
数组s。
×
• 【例】 • x=(0:0.1:2.5); • y=erf(x); • p=polyfit(x,y,6); • f=polyval(p,x); • plot(x,y,’o’,x,f,’-’);
如果这种描述使你混淆，再研究下图。虚线 和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。 对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来， 就是误差平方和。这条虚线是使误差平方和尽可能 小的曲线，即是最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅 是使误差平方和最小的省略说法。
×
Second Order Curve Fitting 12
×
曲线拟合和插值运算原理和方法
实验10 曲线拟合和插值运算一． 实验目的学会MATLAB 软件中软件拟合与插值运算的方法。
二． 实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。
根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。
（1） 测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2） 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
MATLAB 中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。
1.曲线拟合已知离散点上的数据集[(1x ,1y ),………(n x ,n y )]，求得一解析函数y=f (x),使f(x)在原离散点i x 上尽可能接近给定i y 的值，之一过程叫曲线拟合。
最常用的的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即使求使21|()|n i ii f x y =-∑ 最小的f(x).格式：p=polyfit(x,Y ,n).说明：求出已知数据x,Y 的n 阶拟合多项式f(x)的系数p ，x 必须是单调的。
[例 1.9]>>x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; %给出数据点的x 值>>y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; %给出数据点的y 值>>p=polyfit (x,y,2); %求出二阶拟合多项式f(x)的系数>>x1=0.5:0.05:3.0; %给出x 在0.5~3.0之间的离散值>>y1=polyval(p,1x ); %求出f(x)在1x 的值>>plot(x,y,‟*r ‟, 11,x y ‟-b ‟) %比较拟合曲线效果计算结果为：p=0.5614 0.8287 1.1560即用f(x)=0.56142x +0.8287x+1.1560拟合已知数据，拟合曲线效果如图所示。
第四章插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往
没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一
系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较
复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知
的数据去寻求某个简单的函数φ (x)来逼近f(x),即用φ (x)
作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是
φ (xi) = yi ,
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点: (xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ (x) 代替y=f(x)。如下图所示。 y=f(x) (xn,yn) y= φ (x) y
(x1,y1) (x0,y0) (x2,y2)
(xn-1,yn-1)
三、n次拉格朗日插值
仿照P2 (x)的构造方法，可得出 Pn(x)=L0(x)y0+L1(x)y1+…+Ln(x)yn 其中 L0(x)=[(x-x1)(x-x2)…(x-xn)]/ [(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)] Lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)] /[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)] ( k = 0, 1, …, n ) 这就是n次拉格朗日插值多项式。 也可写为 n n n x x k P ( x ) L ( x ) y y n i i i x x i 0 i 0 k 0 , k i i 或 k
线性插值举例
例 解 或 已知 1001/2 =10，1211/2 =11 求 1151/2 P1(x) = y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) P1(115) = 10+(11-10)/(121-100)*(115-100)
第四章和第五章插值法曲线拟合
第4章 插值法
用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值，其 基本问题是： 已知函数f (x)在区间[a,b]上n+1个不同点x0,x1,…,xn处的 函数值yi = f (xi) (i=0,1,…,n),求一个次数不超过n的多项式： 《
计 算 n 方 n o 1 n 法 与 使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件： 实 习 》n i i i
《 计 算 方 法 与 实 习 》
插值法概述
第4章 插值法
函数常被用来描述客观事物变化的内在规律——数量 关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的 变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中， 《 不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图 计 算 形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用 方 法 广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测 与 得到的一些数据，这些数据只是某些离散点 xi 上的值（ 实 习 包括函数值f (xi)，导数值f (xi)等,i = 0,1,2,…,n),虽然其函 》 数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式， 因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接 得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数 用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。
插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的 基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在 进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也 有广泛的应用价值。
《 计 算 方 法 与 实 习 》
第4章 插值法
插值多项式
• 线性插值 线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 与 实 习 》
第4章 插值法
如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时， 可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i = 1,2,…)观测到行 星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只 是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运 动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再 《 计 去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti)) 算 构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式）， 方 法 用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似 与 实 解析表达式也能求导，讨论其各种性质。
第四章插值与拟合
第四章 插值与拟合插值与拟合是来源于实际，又广泛应用于实际的两种重要的方法。
随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，他们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色。
在测量上观测值不等间隔和后续值的预测及观测值的曲线拟合，都需要插值与拟合来完成。
本节将对插值法中重要的LAGRANGE 插值，分段线性插值，HERMITE 插值及三次洋条插值做介绍，说明利用MATLAB 处理此类问题的方法。
另外还对拟合中最为重要的最小二乘法拟合和快速FURIER 变换加以介绍。
第一节 插值运算（一）LAGRANGE 插值1．方法介绍对给定的N 个插值节点x1，x2，x3……，xn 及对应的函数值y1,y2,y3……,yn,利用(n-1)次LAGRANGE 插值多项式公式,则对插值区间内的任意X 的函数值Y 可通过下式求得.Y(x)=∑=nk Yk 1( ∏≠=nkj j ,1xx x x --)2．MATLAB 的实现 Lagrange.mFunction y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;for j=1;nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end3．题目举例例: 给出F(x)=ln(x)的数值表,用LAGRANGE插值计算ln0.54的近似值解: 在MATLAB命令窗口中输入x=[0.4:0.1:0.8];y=[-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144];lagrange(x,y,0.54)ans=-0.616143说明:同精确解ln(0.54)=-0.616186比较起来,误差还是可以接受的,特别是在工程应用之中.（二）RUNGE现象的产生和分段线性插值1．方法介绍上面根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式ln(x)近似值，一般总认为ln(x)的次数越高逼近f(x)的精度就越好。
数值分析课件第4章
数值分析课件第4章
数值分析课件第4章：插值与拟合。从插值与拟合的概念和区别开始，详细介 绍线性插值、非线性插值、最小二乘法、数据拟合、插值误差和拟合误差等 内容，以及在图像处理和实际问题中的应用。
插值与拟合的概念及区别
插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。插值通过已知数据点之间的 函数曲线拟合，以在未知点上估计函数值。拟合则是找到最适合数据的函数 曲线，可能不通过已知数据点。
最小二乘法：原理与应用
最小二乘法是一种通过最小化数据与拟合函数之间的误差来拟合数据的方法。它可以应用于线性和非线 性拟合问题，适用于存在噪音和不完美数据的情况。
数据拟合：多项式拟合、指数拟合、对 数拟合等
数据拟合是根据数据的特点选择合适的函数形式进行拟合。多项式拟合在一定范围内适用于大多数问题， 而指数拟合和对数拟合则适合呈指数或对数关系的数据。
插值误差与拟合误差
插值误差是指插值函数与真实函数之间的差距，取决于插值方法和数据分布。 拟合误差则是指拟合函数与真实数据之间的偏差，受拟合口卷积法等
数据平滑是通过降低噪音和突变来减少数据中的波动。移动平均法和窗口卷积法是常用的数据平滑方法， 可以平滑曲线并减少噪音的影响。
线性插值：拉格朗日与牛顿法
线性插值可以用拉格朗日或牛顿法实现。拉格朗日插值使用多个已知数据点 构建一个多项式函数，适用于等间距的数据。牛顿插值则通过分段差商构造 一个插值多项式。
非线性插值：样条插值
非线性插值中，样条插值是常用的方法。它使用分段多项式函数拟合数据， 每个区间内都有一个多项式来逼近数据的行为，从而实现更加平滑的插值效 果。
曲线拟合与插值
1、曲线拟合在许多应用领域中，人们经常需要从一系列已知离散点上的数据集[(x1,y1),(x2,y2)],…(x n,y n)］得到一个解析函数y=f （x）。
得到的解析函数f(x)应当在原离散点x i上尽可能接近给定的y i的值,这一过程称为曲线拟合。
最常用的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合。
似合结果可使误差的平方和最小，MATLAB提供的函数polyfit,根据给定的自变量数组x和函数数组y,按照拟合的阶数要求自动求解满足最小二乘意义的一阶或高阶解析函数f（x），使用很方便。
为了说明这个问题，我们取以下函数为例：2-y⨯=25.0xx=0:0.1:1;for i=1:length(x);y(i)=0.5-2*x(i)^2;end将y值进行一定的修改，输入如下的程序y=[0.52 0.45 0.4 0.35 0.18 0.02 -0.25 -0.4 -0.81 -1.1 -1.5]m=1;fxy1=polyfit(x,y,m) %获得拟合的多项式系数，存储在fxy1m=2;fxy2=polyfit(x,y,m)y1=poly val(fxy1,x) %多项式求值，x为输入值，y1为作图使用。
此处为了画出拟合之后的曲线，是运用了离散点的形式绘图，也可以直接使用函数形式来画图，与未拟合的离散点对比。
指令为：fun1=poly2sym(fxy1);ezplot(fun1,[x(1),x(2)]);y2=polyval(fxy2,x)plot(x,y,'o',x,y1,'k:',x,y2,'k')2、插值运算与曲线拟合不同，插值运算不是试图找出适合于所有自变量数组x的全局最优拟合函数Y=f（x〕，而是要找到一个解析函数连接自变量相邻的两个点（xi，xi十1），由此还可以找到两点间的数值。
根据自变量的维数不同，插值方法可以分为一维插值y=f(x)和二维插值z=f（x，y）等。
多项式插值与拟合
多项式插值与拟合多项式插值与拟合技术是数学领域中一种常用的数据处理方法。
它可以有效地根据给定的数据点集，通过构造一个多项式函数，来近似描述数据的整体趋势。
本文将介绍多项式插值与拟合的基本原理、方法和应用。
一、多项式插值的原理和方法多项式插值是一种通过已知数据点集来构造与之完全吻合的多项式函数的方法。
它基于一个重要的数学定理：给定n+1个不同的数据点，存在一个n次多项式可以通过这些数据点。
在多项式插值中，最常用的插值方法是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值使用一个n次多项式来逼近给定的数据点，使得多项式通过所有数据点；而牛顿插值则利用了差商的概念，使用一个n次多项式来逼近数据点，从而构造插值多项式。
二、多项式拟合的原理和方法多项式拟合是一种通过已知数据点集来找到一个次数较低的多项式函数，以最佳拟合数据的方法。
与多项式插值不同，多项式拟合不要求多项式经过所有数据点，而是通过最小化误差函数来找到最优解。
最常见的多项式拟合方法是最小二乘拟合，也称为线性最小二乘拟合。
该方法通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离之和，来得到最优的拟合曲线。
经过最小二乘拟合后，可以得到一个最佳的多项式函数，以最小化误差。
三、多项式插值与拟合的应用多项式插值与拟合广泛应用于各个领域的数据处理和分析中。
以下列举几个典型的应用场景：1. 数据重建：当给定一组具有缺失数据点的数据集时，通过多项式插值可以估计出缺失数据点的数值，从而恢复完整的数据集。
2. 数据平滑：多项式拟合可以通过将原始数据点拟合为平滑的曲线或者曲面，从而更好地展示数据的整体趋势，去除数据的噪声干扰。
3. 数据预测：基于已知的数据点，可以使用多项式拟合方法预测未来或未知的数据点的数值，为决策和规划提供依据。
4. 图像处理：多项式插值和拟合在图像处理中也有广泛应用，例如图像修复、数字图像放大等。
总结：多项式插值与拟合是一种有效的数据处理方法，可以用于数据重建、数据平滑、数据预测和图像处理等领域。
插值法与曲线拟合
故用线性插值求得的近似值为
y
(x , y ) 00
y L2x
(x , y ) 11
y f x
(x , y ) 22
0
x0
x1
x
图2-3
11515 100
121 121
11*115 100 121 100
10.714
15
仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为
例1 已知 100 10, 121 11, 144 12分别用线性插值和抛物插值
求 115 的值。
14
解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有
y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(x)
10
*
x 121 100 121
11*
x 100 121 100
为插值多项式Pn (x) 的余项。
17
关于误差有如下定理2中的估计式。
定理2 设 f (x) 在区间 a,b
上有直到n+1阶导数，x0, x1,, xn
为区间 a,b 上n+1个互异的节点， Pn (x) 为满足条件:
Pn (xi ) f (xi )(i 0,1,, n)
（2.9）
的n次插值多项式，则对于任何 x a,b ，有
的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插 插多项式 l0 (x), l1(x),,ln (x) 。容易看出，这组多项式仅与节点的取
法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值
基函数。
11
2.2 拉格朗日插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值
第4章 插值和拟合
第4章 插值和拟合多项式插值
n x 因此，若以 i i 0 为插值节点，对函数f(x)=1构造插值多项式，
y0=y1==yn=1代入式(4.2.6)，得到插值基函数的另一个性质
lk( n ) ( x ) 1 因此插值基函数(4.2.4)是单位正交基。
插值函数，式(4.1.1)称为插值条件。
第4章 插值和拟合多项式插值 插值函数除代数多项式外，常用的还有三角多项式。插值条 件除(4.1.1)式外，还可以 (如Hermit插值 )加上导数条件。本课 程只介绍代数多项式插值。 函数插值是数值计算的基本工具，如本课程后面的数值微分、 数值积分、微分方程的数值解法等都要用到函数插值。插值 法在工程实际和许多学科的理论分析中有广泛的应用。 函数插值的基本问题有：存在唯一性、构造方法、截断误差 和收敛性，以及数值计算的稳定性等。
( n 1 ) f ( )n x R ( x ) f ( x ) L ( x ) ( x x ) n n i ( n 1 )! i 0
(4.2.9)
第4章 插值和拟合多项式插值 证 如果x是一个插值节点xi，定理命题显然为真，等式(4.2.9)
两边都是0。
如果x xi(i=0,1,,n) ，记 构造以t为自变量的辅助函数
代入式(4.2.6)，得
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 L ( x ) 1 l ( x ) 5 l ( x ) ( 1 ) l ( x ) x 3 x 1 2 0 1 2
第4章 插值和拟合多项式插值
4.2.2 插值的余项(误差分析)
由定义4.1.1定义的插值多项式在插值节点与被插函数严格相等，
第4章-多项式插值方法
f [ x, x0 ,L , xn1] f [ x0 , x1,L , xn ]
f [ x, x0 , x1,L , xn ]( x xn ).
22
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1) L
ln1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x
),
x
[a,
b]
其中 ( x) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
Rn ( x)
Mn1 (n 1)!
n1( x)
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使n1(x)
尽可能小，以减小误差。
若 f ( x) =xk (k n), 那么f (n1)( x) 0,
x( x
1)
13
L2( x) f ( x0 )l0( x) f ( x1)l1( x) f ( x2 )l2( x) 1.25l0( x) 0.75l1( x) 1.25l2( x)
5
5
x( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x( x 1)
8
8
3 1 x2 42
第四章 多项式与插值
0
0.5
1
1.5
2
2 插 值 多 项 式 的 存唯 在一 性 定 理 4 . 1 :在 n 1 个 互 异 节 点处 x 满 足 插 值 条 件 k p ( x x k 0 , 1 ,2 ,. . . ,n ) n k)f( k) ( 的 次 数 不 超 过 n 的 多 项 式 p ( x )存 在 且 唯 一 . n
P=[3,0,4,-5,-7.2,5]; X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 G=poly(X) %求多项式g(x) X0=[5,7.8,9.6,12.3]; f=polyval(P,X0) %求多项式f(x)在给定点的值
注：多项式求值还有一个函数是polyvalm，其调用 格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要 求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。 3. 多项式的四则运算 (1)多项式的加减法
加法：c=poly_add(a,b)
减法: c=poly_add(a,-b)
(2)多项式的乘法
函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。
(3)多项式的除法
函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2
作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，
r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系
二、用幂级数做多项式插值
给定 n+1 个数据点：
x 1 x 2 y 1 y 2 x n 1 y n 1 横 坐 标 纵 坐 标
过 n+1个点的 n 阶多项式可写为幂级数形式：
n n 1 g ( x ) c x c x c x c 1 2 n n 1
实验4多项式、曲线拟合与插值
1
实验要求
• 给出实验报告,形式如下 • 实验题目： • 实验目的 ： • 实验内容： • 实验结果：(无需抄题，指定题目序号)
2
实验内容
• 一.上机操作本讲义（4-5）页的练习1-6 • 二.拟合曲线
– 题目见本讲义第6页和第7页 – 要求：给出代码，并附上拟合曲线对比图
6
ห้องสมุดไป่ตู้
插值
• 在某山区测得一些地点的高程如下表所示。平面区域为 1200<=x <=4000,1200 <=y <=3600. 试做出该山区的地貌图和等高线图，并对 几种插值方法('nearest' 'linear' 'spline' 'cubic‘)进行比较。
7
• 三.插值
– 题目见本讲义第8页 – 要求：给出程序代码，比较结果图以及分析结
果
3
4
5
曲线拟合
• 有一组实测数据如下表,而且已知该数据可 能满足的原型函数为 y(x)=a*x+b*x^2*e^(cx)+d,试求满足下面数据的最小二乘解 a,b,c,d的值 x= 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 与x相对应的y=2.3201 2.6470 2.9707 3.2885 3.6008 3.9090 4.2147 4.5191 4.8232 5.1275
第四讲 拟合插值
0
2
4
6
8
10
pp=spline (x,y) ….返回分段多项式的表示
yi=ppval(pp,xi)
或 yi=spline(x,y,xi)
plot(xi,yi)
[break, coefs,pieces,order]=unmkpp(pp)
……分解分段多项式表示
pp=mkpp(break,coefs)…形成分段多项式表示 其中
fprime = fnder(pp,dorder) 其中 pp:为样条函数的描述 dorder:求导的阶数 fprime:求导后的分段表达形式
fnint样条函数的积分
intgrf = fnint(pp)
intgrf = fnint(f,value)
其中
Pp:为样条函数的描述
fnplt样条函数的绘图
缺省情况： 使用各个端点附近的四个数据计 算斜率
当conds为1*2阶的矩阵时，可使两个边界点 具有不同的边界条件：如conds(i)=j,则给定 端点i处的j阶导数（j=0,1,2).
PP = CSAPE({X,Y}，Z, CONDS,VALCONDS) x=0:20; y=0:10; [xx,yy]=meshgrid(x,y); zz=(sin(xx)).^2+(cos(yy)).^2; pp=csape({x,y},zz'); fnplt(pp)
Break是断点/节点
Coefs是矩阵，其第i行是第i个三次多项式
pieces是分段多项式的数目
order 是每个多项式系数的数目（阶数-1）
i
断点
在每一个区间为多项式
x=0:0.1:3*pi; y=sin(x); pp=spline(x,y)
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数值计算之美SHU ZHI JI SUAN ZHI MEI胡家威http://hujiaweibujidao.github.io/清华大学逸夫图书馆·北京内容简介本书是我对数值计算中的若干常见的重要算法及其应用的总结，内容还算比较完整。
本人才疏学浅，再加上时间和精力有限，所以本书不会详细介绍很多的概念，需要读者有一定的基础或者有其他的参考书籍，这里推荐参考文献中的几本关于数值计算的教材。
本书只会简单介绍下算法的原理，对于每个算法都会附上我阅读过的较好的参考资料以及算法的实现(Matlab或者其他语言)，大部分代码是来源于参考文献[1]或者是经过我改编而成的，肯定都是可以直接使用的，需要注意的是由于Latex对代码的排版问题，导致中文注释中的英文字符经常出现错位，对于这种情况请读者自行分析，不便之处还望谅解。
写下这些内容的目的是让自己理解地更加深刻些，顺便能够作为自己的HandBook，如有错误之处，还请您指正，本人邮箱地址是：hujiawei090807@。
目录第四章曲线拟合和多项式插值14.1曲线拟合 (1)4.1.1使用线性方程进行曲线拟合 (1)4.1.2非线性方程进行曲线拟合 (2)4.1.3使用二次或者高次多项式进行曲线拟合[最小二乘问题].34.2多项式插值 (4)4.2.1拉格朗日插值多项式 (4)4.2.2牛顿插值多项式 (5)4.2.3分段线性插值 (7)4.2.4保形分段三次插值 (8)4.2.5三次样条插值 (10)4.3Matlab函数解析 (13)参考文献14.II.目录第四章曲线拟合和多项式插值曲线拟合(Curve Fitting)是使用一个数学表达式去拟合一些数据点，目的是找到一个最好的能够拟合这些数据点的表达式。
而插值(Interpolation)不同，插值是首先确定一个能够完全通过数据点的多项式表达式，然后对数据点之间的点进行准确值估计的过程。
4.1曲线拟合4.1.1使用线性方程进行曲线拟合使用线性方程(一阶多项式)进行曲线拟合就是使用y=ax+b形式来拟合曲线，只要确定常量a和b即可。
关键是怎么衡量是一个比较好的拟合呢？最常用的是最小二乘法，也就是使得准确值与拟合值之差的平方和达到最小，例如对于一些数据点(x i,y i)，全局误差E为：E=n∑i=1[y i−(ax i+b)]2要保证E最小，那么E对a和b的偏导数为0。
假设有下面四组求和：S(x)=n∑i=1x i,S(y)=n∑i=1y i,S(xy)=n∑i=1x i y i,S(xx)=n∑i=1x2i那么可以得到常数a和b分别为：.2.第四章曲线拟合和多项式插值a=nS xy−S x S ynS xx−(S2x)b=S xx S y−S xy S xnS xx−(S2x)使用线性方程进行曲线拟合的Matlab代码实现：4.1.2非线性方程进行曲线拟合很多情况下，数据点并不能够通过线性方程进行拟合，而是需要使用非线性方程进行拟合。
然而很多的非线性方程的拟合问题可以转换成线性方程拟合的问题求解，常见的有以下几种：(1)y=bx m->ln(y)=mln(x)+ln(b)(2)y=be mx->ln(y)=mx+ln(b)(3)y=1mx+b ->1y=mx+b(4)y=mxb+x ->1y=bm1x+1m4.1曲线拟合.3.4.1.3使用二次或者高次多项式进行曲线拟合[最小二乘问题]对于包含n个数据点的曲线拟合问题，只有阶数为(n−1)的多项式才可以完整通过所有的点，但是对于高阶多项式，虽然它在数据点处得到准确解，在内部或者外部某些点进行插值问题时得到的解也有可能不可靠。
详细的例子可以参考文献[3](P166-P167)。
使用高次多项式进行曲线拟合基本思想是用n个基函数的线性组合来近似y。
这个时候我们得到一个方程组Xβ≈y，其中X为设计矩阵，大小为(m∗n)，m是数据点的个数，n是多项式的阶数，也就是需要确定的参数的个数。
一般情况下，这类问题都是m>n，所以这是一个超定方程组，没有准确解，但是可以求解最小二乘解。
在Matlab中直接使用反斜线符便可以得到超定方程组的最小二乘解。
它使用的是第三章提到的QR分解，注意，此时不需要显式计算Q，只要得到矩阵R即可，然后回代即可得到最小二乘解。
参考文献[1](P127-P129)演示了一个人口预测的例子，建议使用原作者提供的qrsteps程序来运行一次这个例子，最后得到的上三角矩阵可以通过回代得到满足最小二乘的参数。
下面是测试程序(按下任意键进行下一次QR迭代):code/testleastsquares.m.4.第四章曲线拟合和多项式插值4.2多项式插值进行插值操作的多项式常见的有三种：标准形式(standard form)，拉格朗日形式(Lagrange form)和牛顿形式(Newton form)。
标准形式就是常见的高次多项式形式，形如f(x)=a n x n+...+a1x+a0，这个就不用介绍了。
4.2.1拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式可以直接通过数据集得到多项式，不需要任何其他的计算。
它的一般形式如下：f(x)=n∑i=1y i L i(x)=n∑i=1y in∏j=1j=i(x−x j)(x i−x j)下面是它的Matlab代码实现：4.2多项式插值.5.拉格朗日插值多项式的优点是事先不需要进行任何计算便可以直接得到，但是对于任意一个x，整个表达式便要重新计算一次，而且如果增加了新的数据点的话，所有的结果都要重新计算一次。
Matlab中函数polyinterp使用的便是拉格朗日插值多项式。
它的源码和上面的代码略有不同，实质是一样的。
4.2.2牛顿插值多项式牛顿插值多项式可以适应不断增加的数据点，它之前计算结果不需要改变，只需要计算一次新增加的点的系数即可。
它的一般形式如下：f(x)=y1+f[x2,x1](x−x1)+...+f[x n,x n−1,...,x2,x1](x−x1)...(x−x n1)其中f[x k,x k−1...,x2,x1]表示差商(divided difference)，它的计算式为：f[x k,x k−1...,x2,x1]=f[x k,x k−1...,x2]−f[x k−1...,x2,x1]x k−x1例如：a1=y1a2=y2−y1x2−x1a3=y3−y2x3−x2−y2−y1x2−x1x3−x1具体的计算方式可以参考文献[3](P177-P181)。
下面是它的Matlab代码实现：.6.第四章曲线拟合和多项式插值4.2多项式插值.7.4.2.3分段线性插值分段插值就是插值多项式是分段的，常见的有分段线性插值，保形分段三次插值和三次样条插值。
其中分段线性插值是最简单的，也是其他分段插值的基础。
它是将数据点标记在坐标系中，然后用直线将这些点连接起来。
很显然，这类插值结果的一阶导数是不连续的。
Matlab内置函数piecelie便是这类实现。
后面不会介绍分段二次插值，如果需要了解可以参考文献[3](P185-P187)。
code/piecelin.m.8.第四章曲线拟合和多项式插值4.2.4保形分段三次插值保形分段三次插值(piecewise cubic Hermite interpolating polynomial)是分段三次埃米特插值的一种，对于每个子区间都是使用三次多项式进行插值，它分了几种不同的情况对区间中点和左右端点处的斜率d k进行讨论，详情可以参考文献[1](P85-P86)。
pchip插值函数的一阶导数是连续的，但是二阶导数在节点处出现跳变。
下面是原作者编写的pchip程序：4.2多项式插值.9..10.第四章曲线拟合和多项式插值4.2.5三次样条插值三次样条插值(cubic spline)是另一种分段三次埃米特插值，它的插值函数的一阶导数和二阶导数都是连续的。
(1)首先将原区间分成n−1个子区间(区间长度可以不相同)，每个子区间的左右端点都要满足该区间的三次多项式，那么就可以得到2(n−1)=(2n−2)个方程;(2)然后对各个子区间的三次多项式进行求导得到的导函数要保证相邻两个子区间的交点处的导函数值相等，那么就可以得到(n−2)个方程；(3)接着为了保证二阶导数也是连续的，类似上面的操作对每个子区间的三次多项式求二阶导数然后使得子区间交点处导函数值相同，那么又可以得到(n−2)个方程；(4)对于(n-1)个三次多项式共有(4n−4)个参数，需要(4n−4)个方程，现在有了(4n−6)个方程，还差两个，这时候可以自行给定附加条件。
例如：令整个区间的左右端点的二阶导数为0，这个便是自然三次样条插值(natural cubic splines)。
但是Matlab内置函数使用的是“not-a-knot”(非节点)这个条件，它是指在最开始和最后的两个子区间x1≤x≤x3和x n−2≤x≤x n上分别使用一个单独的三次多项式，就相当于认为x2和x n−1都不是节点。
该算法还是比较复杂的，下面是原作者编写的spline程序：4.2多项式插值.11. code/splinetx.m.12.第四章曲线拟合和多项式插值4.3Matlab函数解析.13.4.3Matlab函数解析(1)曲线拟合函数polyfitp=polyfit(x,y,m)(2)多项式插值函数polyinterp使用拉格朗日插值多项式v=polyinerp(x,y,u)(3)插值函数interp1(最后一个字母是数值“1”)yi=interp1(x,y,xi,′method′)向量x中的元素必须是单调的，可选的方法包括：’nearest’返回最接近插值点的数据点的值’linear’使用分段线性插值’spline’使用三次样条插值’pchip’使用三次埃米特插值’cubic’等同于’pchip’对于’nearest’和’linear’方法只能估计定义域x内的插值点的函数值，然后方法’spline’和’pchip’可以估计定义域x外的插值点的函数值参考文献[1]Numerical Computing with Matlab.Cleve B.Moler.中文翻译版本《Matlab数值计算》，喻文健，机械工业出版社，2006，6网站资源：(1)Cleve Moler撰写的教科书(2)数值计算交互演示网站[2]数值分析与算法，喻文健，清华大学出版社，2012，1[3]Numerical Methods:An introduction with Applications Using Matlab.Amos Gi-lat.Vish Subramaniam，2010，10[4]Data Mining Algorithms In R.网站资源:WikiBook：Data Mining Algorithms In R。