第四章插值和曲线拟合

第四章 插值和曲线拟合
在实际问题和科学实验中所遇到的函数y=f(x),往往 没有解析表达式 , 只能根据试验观察或其它方法提供一 系列点的函数值; 有时尽管可以写出表达式，但是比较 复杂, 直接使用它感到不方便。我们经常需要利用已知 的数据去寻求某个简单的函数φ(x)来逼近f(x),即用φ(x) φ 作为f(x)的近似表达式。本章的插值法和曲线拟合就是 两种用来求 f(x) 的近似函数φ(x) 的重要方法。 的近似函数φ
0
x0
x1
x2
…
Xn-1
xn
x
插值函数φ 的类型 插值函数φ(x)的类型
在插值问题中，插值函数φ(x)的类型可有不同的选择,如代 数多项式、三角多项式、有理函数等，但是最简单而常用的是代 数多项式、三角多项式、 多项式 数多项式，这时就称为代数多项式插值。在本章，我们主要讨论 代数多项式插值 代数多项式插值。 代数多项式插值的任务就是根据 n+1个点 x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn 构造一个次数不超过 n 的多项式 Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn 使满足插值原则 Pn(xi) = yi , i = 0 , 1 , … , n 。 Pn(x)称为 f(x) 的 n次插值多项式。 次插值多项式
Rn (x) = f (ξ ) (n +1 )! wn+1(x)
其中 wn+1(x) = (x-x0)(x-x1) …(x-xn)
第三节 牛顿插值
拉格朗日插值多项式结构对称, 使用方便, 但公式 不具备递推性,当需要增加基点时必须全部重新计算。 因此，我们希望构造具有如下形式的插值多项式 Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1) …(x-xn-1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ这种形式的优点是便于改变基点数，每增加一个基点 只需增加相应的一项即可 (具有递推性) 。为了确定出 a0 、a1、…、an , 我们就需要讨论牛顿均差插值多项式。 下面首先介绍均差的概念。
例 已知函数表 x 1.1275 1.1503 1.1735 y 0.1191 0.13954 0.15932 应用朗格拉日插值公式计算f(1.1300)的近似值。 解 P3(x) = L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x)y2 +L3(x)y3 = …… f(1.1300) ≈ P3(1.1300) = 0.1214 1.972 0.17903
二次插值举例
例 已知函数y=f(x)的观测数据如下表所示，试求其拉格朗 日插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。
x y
0 2
1 -1
2 4
解 P2(x) = y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2) /[(x1-x0)(x1-x2)]+y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] = 2*(x-1)(x-2)/[(0-1)(0-2)] +(-1)*(x-0)(x-2)/[(1-0)(1- 2)]+4*(x-0)(x-1)/[(2-0)(2-1)] = 4x2-7x+2 f(1.5) ≈ P2 (1.5)=4*1.52-7*1.5+2 = 0.5
抛物线插值) 二、二次插值(抛物线插值 二次插值 抛物线插值
二次插值问题：已知f(x)在三个互异点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2 ,要构造次 数不超过二次的多项式P2(x)=a0+a1x+a2x2,使满足 P2(xi)=yi , i = 0, 1, 2 设 P2(x) = L0(x)y0+L1(x)y1+L2(x)y2 , 则 L0(x) = 1, L1(x) = 0, L2(x) = 0 当x = x0 时, P2(x0) = y0 当x = x1时，P2(x1) = y1 L0(x) = 0, L1(x) = 1, L2(x) = 0 当x = x2时，P2(x2) = y2 L0(x) = 0, L1(x) = 0, L2(x) = 1 由上知 L0(x) = 1, x = x0 0, x = x1, x2 令 L0(x)=A0(x-x1)(x-x2) 则 A0=1/[(x0-x1)(x0-x2)] 所以 L0(x)= (x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] 同理可得 L1(x)=(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)] L2(x)=(x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] 综上可得 P2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/[(x0-x1)(x0-x2)] +y1(x-x0)(x-x2)/[(x1-x0)(x1-x2)] +y2 (x-x0)(x-x1)/[(x2-x0)(x2-x1)] 该式称为拉格朗日二次插值多项式。
二、牛顿均差插值多项式 由均差定义有 f(x) = f(x0)+f [x0,x](x-x0) ( f[x0,x]=[f(x)-f(x0)]/(x-x0) ) f [x0, x]= f [x0,x1]+f [x0,x1,x](x-x1) f [x0, x1,x] = f [x0,x1,x2]+ f [x0,x1,x2,x](x-x2) …… f [x0,x1,…,xn-1,x] = f [x0,x1,…,xn]+ f[x0,x1,…,xn,x](x-xn) f(x) = f(x0) + f [x0,x1](x-x0) + f [x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + … + f [x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) + f [x0,x1,…,xn,x](x-x0)(x-x1)…(x-xn) = Pn(x) + Rn(x) Pn(x) = f(x0) + f [x0,x1](x-x0) + f [x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + … + f [x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) Pn(x)由于满足 Pn(xi)=f(xi) 称作 n 次牛顿(均差)插值多项式。 Rn(x) = f(x)-Pn(x) = w(x)*f(n+1)(ζ)/(n+1)! （w(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn) ） 称为n次牛顿插值多项式的余项。
三、n次拉格朗日插值 次拉格朗日插值
仿照P2 (x)的构造方法，可得出 Pn(x)=L0(x)y0+L1(x)y1+…+Ln(x)yn 其中 L0(x)=[(x-x1)(x-x2)…(x-xn)]/ [(x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn)] Lk(x)= [(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)] /[(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)] ( k = 0, 1, …, n ) 这就是n次拉格朗日插值多项式。 也可写为
二、插值多项式的误差
函数 f(x)用n次插值多项式Pn(x)近似代替时，截断 误差记为 Rn(x)=f(x)-Pn(x) ξ ∈(a, b) 称 Rn(x)为n次插值多项式Pn(x)的余项。 定理 设函数f(x)在包含基点x0 , x1 , x2 , … , xn 的 区间[a,b]上具有n+1阶导数, Pn(x)为满足Pn(xi) = yi的n次 插值多项式，则对任一点x∈[a,b],总存在相应的点 ∈ ζ∈( ∈(a,b) ，使 ∈(
线性插值举例
例 解 已知 1001/2 =10，1211/2 =11 求 1151/2 P1(x) = y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) P1(115) = 10+(11-10)/(121-100)*(115-100) 或 P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x ) P1(115) = 10*(115-121)/(100-121) +11*(115-100)/(121-100)
2. 均差表
对于给定的基点及其函数值，我们可按表计算各阶均差， 这样的表就叫均差表。如下: … 四阶均差 x f(x ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差
i i
x0 f(x0) x1 f(x1) f [x0, x1]
x2 f(x2) f [x , x ] f [x , x , x ] 1 2 0 1 2 x3 f(x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3] x4 f(x4) f [x3, x4] f [x2, x3, x4] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0 , x1, x2 , x3 , x4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n次拉格朗日插值计算机实现 次拉格朗日插值计算机实现
按n次拉格朗日插值公式实现 次拉格朗日插值公式实现
分段插值
七、八次以上的高次插值在实际中很少采用。因 为理论研究和实例都表明，插值基点增加并不能保证 Pn(x)在非基点处逼近f(x)的精度得到提高, 某些情况下 附 甚至误差反而变大。所以总是对每个插值点 x选择其附 近的几个插值基点作低次内插(将 x 放在插值基点之间), 近的几个插值基点 或者采用分段低次插值(一次、二次插值 )。 为什么要选择 x 附近的几个插值基点？ 根据 ( n+1)
φ(xi) = yi ,
插值法的几何意义
插值法的几何意义就是通过n+1个点: (xi,yi) (i=0,1,2,…,n) 作一条近似曲线y= φ(x) 代替y=f(x)。如下图所示。 y=f(x) (xn,yn) y= φ(x) y
(x1,y1) (x0,y0) (x2,y2) (xn-1,yn-1)
第一节
一、 插值问题
插值法的基本理论
设函数 y = f(x) 给出了一组函数值 yi = f(xi) , i = 0, 1, …, n ，或 者给出了如下的一张表 x0 , x1 , x2 , … , xn y0 , y1 , y2 , … , yn 构造一个简单的函数φ(x) 作为f(x)的近似表达式，以满足 i=0,1,…, n 我们称这样的问题为插值问题。 其中φ(xi) = yi 称为插值原则;φ(x)称为f(x)的插值函数； f(x)称为被插值函数; x0 , x1 , x2 , … , xn称为插值基点 (或节点)。 根据已知点的函数值求其余点x的函数值φ(x) φ(x)称为插值,x称 φ(x) 为插值点；求f(x)近似函数φ(x) φ(x)的方法称为插值法。 φ(x)
一、均差及均差表
1. 均差定义
在区间[a,b]上，函数f(x)关于两点xi , xj的一阶均差定义为 f [xi, xj] = [f(xj)-f(xi)]/(xj-xi) f(x)关于三点xi, xj, xk的二阶均差定义为 f [xi, xj, xk]=(f[xj, xk] - f[xi, xj])/(xk-xi) f(x)关于k+1个点xi-k, xi-k+1, … , xi 的k阶均差定义为 f [xi-k,xi-k+1,…, xi ] = (f [xi-k+1,…,xi ] – f [xi-k, … , xi-1])/(xi-xi-k) f(x)关于一个点 xi 的零阶均差定义为函数本身，即 f [xi] = f(xi) 不论几阶均差，均差均有对称性（任意改变基点的次序后其值 不变）。即 f [x0,x1,…, xk ] = f [ xj 0, xj1,..., xjk ] 其中 xj 0, xj1,..., xjk 是 0, 1, …, k 的任一种排列。（证略）
Rn (x) = f (n+1) (ξ ) (n +1 )! wn+1(x)
其中 wn+1(x) = (x-x0)(x-x1) …(x-xn)
第二节 拉格朗日插值
为了得到n次的拉格朗日插值多项式，我们从最简单的一次、 二次插值开始。
一、一次插值（线性插值） 一次插值（线性插值）
x0 x1 求 P1(x) y0 y1 因 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 所以 P1(x)=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*(x-x0) （线性插值多项式） 上式可改写为： P1(x)=y0L0(x)+y1L1(x ) （拉格朗日线性插值多项式） L0(x)=(x-x1)/(x0-x1),L1(x)=(x-x0)/(x1-x0) L0(x)、L1(x)特点： L0(x)= 1 , x = x0 L1(x)= 1 , x = x1 0 , x = x1 , 0 , x = x0 已知
或
n x − xk yi Pn(x) = ∑Li (x) yi = ∑ ∏ xi − xk i=0 i=0 k =0,k ≠i
n n
w(x) Pn(x) = ∑ yi ' i =0 ( x − xi )w ( xi )
其中 w(x) = (x-x0) …(x-xn)
n
n次拉格朗日插值举例 次拉格朗日插值举例