刚体习题课

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大学物理课件-刚体习题课1共24页

令刚体转动动能为
Ek

1 2
J
2
，则
合外力矩对定轴转动刚体所做的功，等
于刚体转动动能的增量
AEk2Ek1 ——刚体定轴转动的动能定16理
刚体力学总结
质点力学刚体力学比较研究
例 1:如图长为l 的均匀细棒,一端悬于o点,另一端自由下垂, 紧靠o 点有一摆线长为l 的单摆,摆球质量为m ,现将单摆拉到水平位置后,由静止释放,设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞后摆球恰好静止,
回转仪
被中香炉
13
5.6 转动中的功和能力矩做功外力 F 作用在刚体上的 P点，当刚体绕轴
转动角度d 时，P点位移为 dr，力所做元
功为
dAFdr
F cos dr
Fr cos d
外力对轴的力矩
Mz Frcos
14
因此，力的元功等于力矩与角位移的乘积
dAMzd
对于有限角位移，力所做的功为
本章只研究定轴转动问题——最简单的转动
4
定轴转动
转轴
质元
转动平面
刚体角速度 d dt
刚体角加速度
转动平面垂直于转轴的平面。除转轴上的质元之
a d d2
dt dt2
外，刚体各个质元都在转质元线速度 vr
动平面内作圆周运动。应预先规定转轴的正方向
质元加速度
at r
A
2 1
Mzd
由于刚体所受合内力矩为零，所以在刚体
运动过程中合内力矩不做功，因此，Mz 是合外力矩
15
刚体定轴转动的动能定理
在外力矩作用下刚体的角速度由 12
2 M d 1
JdId d t dJ 12d

高二物理竞赛课件：刚体的运动习题课

右作纯滚动时角满足何条件？
解：质心运动方程为
F cos Ff mac
绕质心转动方程为
R1
Ff R1 FR2 J
N
F
R2 O
纯滚动 ac R1
mg
ac
FR1(R1 cos
mR12 J
R2 )
Ff
o
x
ac
讨论：
FR1(R1 cos
mR12 J
R2 )
R1
N
R2 O
F
（1）当ac < 0，大木轴向左作
角绕动自量身定轴理转的动微的分角式动：量d：LLMJ drˆt
dL L sin d J sin d
dL M dt mgr sin dt
进动角速度
M L
d mgr dt J
Ω
Lห้องสมุดไป่ตู้
c
r
M
O mg
Ω
d
L
dL
L dL
O
结论：进动现象是自旋(spin)的物体在外力距作用下,沿外力矩方向不断改变其自旋角动量方向的结果.
转动惯量
J z miri2 J z r2dm i
说明
刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（1）与刚体的体密度有关．
（2）与刚体的几何形状及体密度的分
布有关．（3）与转轴的位置有关．
对于质量连续分布的刚体：
J r2dm
J r 2dm r 2 dV
V
V
J r 2dm r 2dS （面质量分布）
的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上（如图）. 设绳的质量不计，求：(1)圆盘质心速度； (2)绳的张力。
分析：
a. 质心运动定律

刚体力学基础习题课

动量矩与转动惯量的关系
刚体的动量矩
刚体的进动和章动
第五章
进动的定义和计算
进动是指刚体绕自身某定点作角速度矢量沿着垂直于该定点轴的平面内的圆周运动。
进动的角速度矢量可以表示为$omega = omega_0 + alpha times omega_0$，其中$omega_0$是初始角速度矢量，$alpha$是进动角速度矢量。
平动刚体的动能和动量分别为 (E = frac{1}{2}mv^2) 和 (p = mv)，其中 m 为刚体的质量，v 为刚体的速度。
平动刚体的特征
平动刚体的运动规律
平动刚体的动能和动量
刚体的转动
转动刚体上任意两点的连线在运动过程中始终保持长度不变，但可以形成不同的角度。转动刚体的角速度和角加速度是矢量。
进动的角速度矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|omega| = |omega_0| sqrt{1 + alpha^2}$，$tan theta = frac{alpha}{1 + alpha^2}$，其中$theta$是进动角。
章动的定义和计算
章动的角位移矢量的大小和方向可以通过向量的外积运算计算得出，即$|theta| = |theta_0| + frac{1}{2} |beta| t^2$，$tan varphi = frac{beta t}{2 |theta_0|}$，其中$varphi$是章动角。
01
静态平衡是稳定的，只要刚体受到微小的扰动，它就会恢复到原来的平衡状态。
刚体的平衡稳定性
03
刚体在静态平衡状态下，其重心位置保持不变，且各方向上的力矩平衡。
刚体的平衡状态
02
刚体的动态平衡

《刚体运动习题》课件

详细描述
刚体的转动问题涉及到分析刚体的转动惯量、角速度、角加速度等物理量，以及力和扭矩对刚体转动的影响。通过解决刚体的转动问题，可以了解刚体在转动过程中的运动规律和特点。
刚体的复合运动问题涉及到刚体的平动和转动同时发生的情况。
总结词
刚体的复合运动问题需要综合考虑刚体的平动和转动，分析其相互影响和耦合作用。这类问题通常比较复杂，需要运用力学和运动学的知识进行求解。
总结词
在解答进阶习题时，学生需要具备较强的分析能力和计算能力，能够根据题目要求进行正确的分析和计算，并得出正确的结论。
详细描述
总结词：高难度习题是刚体运动中的高级题目类型，主要考察学生对刚体运动理论的深入理解和应用能力。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
刚体的振动问题主要研究刚体在周期性外力作用下的振动现象。
总结词
刚体的振动问题涉及到分析刚体的振动频率、振幅、相位等物理量，以及周期性外力对刚体振动的影响。通过解决刚体的振动问题，可以了解刚体在振动过程中的运动规律和特点，对于工程实践中的振动控制和减振设计具有重要意义。
详细描述
刚体运动的解题方法
03
它基于力学的基本原理和数学工具，如微积分、线性代数和常微分方程等，来推导和求解刚体运动的数学模型。
解析法可以给出精确的解，但有时可能比较复杂，需要较高的数学水平。
解析法是一种通过数学公式和定理来求解刚体运动问题的方法。
几何法是通过图形和几何形状来描述和解决刚体运动问题的方法。
它通过绘制刚体的运动轨迹、速度和加速度等矢量图，以及分析刚体的转动和角速度等来解决问题。
04
建筑结构中的刚体运动是指建筑物在风、地震等外力作用下产生的运动，包括平动、扭转和复合运动等。

高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)

解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量守恒定律, 有碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动速度加速度质量刚体的定轴转动角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度转动惯量

ddt
d dt

d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律动量角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g

t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3

刚体习题

M β = = J
L mg cos θ 2
2 1 mL 3
g cos 3 θ = 2L
ω d ω d d θ β = dt = dθ dt =ω
θ d d 0ω ω = 0 β θ = 0
ω
θ
ω d d θ 3gcos θ d θ 2L
L
ω =
3 g sinθ L
θ
2 L 2
mg
3、如图所示，水平桌面上有有长L=1.0m，质量 m=3.0kg 的匀质细杆，细杆可绕过通过端点O的垂直轴 OO’转动，杆与桌面间的摩擦系数μ=0.20。开始时杆静止，有一子弹质量 m2=20g，速度v=400m· s-1，沿水平方向以与杆成θ=300角射入杆的中点，且留在杆中。求：
m
m1
m2
2、一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：
θ） ω = ω（
解一： M = mg L cosθ
W= =
θ
0
M dθ 1 mg L cos d θ θ
2
L
θ
2
L 2
1 θ = 2 mg L sin
1 ω W= J 2
2
mg
0
ω =
3 g sinθ
L
解二： M = J β
3L 4 m v
θ
L
M
碰撞过程角动量守恒,得：
3 mv 4 L = ( Jm+ JM )ω 2 1 3 2 JM = 3 M L Jm = m ( 4 L )
3L 4 M θ m L
ω
3 mv L 3 mv 4 =9 4 2 1 = 2 9 mL 1 M L m L M L +3 +3 16 16

大学物理习题课(刚体)

J1r1r2 10 2 2 2 J1r2 J 2 r1
11、质量为m，长为 l的均匀棒，如图，若用水平力打击在离轴下 y 处，作用时 Ry 间为t 求：轴反力
解：轴反力设为 Rx Ry d 由转动定律： yF J y dt yF t t 为作用时间 F 得到： J 由质心运动定理： l d l 2 切向： F Rx m 法向： R y mg m 2 dt 2 2 2 2 3y 9 F y (t ) R 于是得到： x (1 ) F R y m g 2l 2l 3 m
10
r1
r2
解：受力分析：无竖直方向上的运动
10
o1
N1
f
r1
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点，计算系统的外力矩：
o2
f
m1 g
m2 g
M ( N2 m2 g )(r1 r2 )
f (r1 r2 ) 0
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。只能用转动定律做此题。
r
at r
在R处：
R
at R
（2）用一根绳连接两个或多个刚体
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1
D
A
m2
m1
• 同一根绳上各点的切向加速度相同；线速度也相同；
a t A a t B a t C a t D
A B C D
• 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
TA TB TD
但 TB TC
B
C
M 2 o2 R 2
o1R1 M1

(10)刚体习题课分解

6.机械能守恒定律
Ek
1 J 2
2
E p mghc
当只有保守力矩作功 Ek Ep 恒量
2
说明：（1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看成一个刚体，不要分开考虑。
它们的和均相同，但不同半径处的和a不同。
如图，在r处：
or
r at r an 2 / r
R
在R处 :
o
为零，称该点为打击中心。试求：
（1）打击中心A与支撑轴o之间的距离RA。 RA
（2）如果用质量为m=M，速度为v的弹
Rc
性球沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对
细杆的作用力将如何？
F
解(1)由转动定律 FRA J
质心运动定理 F Mac
1 ML2
3
ac rc
L 2
联立可得：
RA
2 3
L
Fy
Fx c A
得到： 0
由质心运动定理：
dt
yF J
t
F
y
切向：F Rx
法向：
m
Ry
l 2
d
dt
mg
于是得到：Rx
(1
3y)F 2l
m
l 2
2 Ry
mg
9F

2 y2 (t)2 2l 3m
12
例7、如图所示，以水平力F打击悬
挂着的质量为M、长度为L的均匀细杆。
如果打击点A选择得合适，在打击的过
程中，支撑轴o对细杆的水平切向力Fx
dM 2rf (2rdr) 4kvr2dr
o
4kr3dr
r
M R 4kr3dr kR4 0
dr
由转动定理：J

第7章刚体力学习题课

EP 0
Cm
h
mg 1 2 hm2 v1 2I11 21 2I22 2
不打滑：有 vR1 1R2 2
考虑到： I11 2m 1R1 2 I21 2m 2R2 2
得 v2
mgh
m1 m2 2m
解二：应用牛顿第二定律和转动定律
A： T1R1I11
（1）
m1, R1
A
T O 1
1
T1 m2, R2
解:在剪断的瞬间:
Fix0, FiymgT
acy
mg T m
(质心运动定理)
T
L 2
1 12
mL2
(转动定理)
acy
L
2
解得:
a
cy
3 4
g
F
1 4
mg
例12.如图,知A: m,l,质量均匀,开始时水平静止
B:m , , A竖直时被碰,然后
滑行距离S.
m
A
l
O
求 :碰后A的质心可达高度h.
第7章刚体力学习题课
例2.均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而与棒垂直
的水平固定光滑轴转动,如图所示.今使棒从水
平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位
置的过程中,下列情况哪一种说法是正确的?
（ A）
(A) 角速度从小到大,角加速度从大到小.
(B) 角速度从小到大,角加速度从小到大.
(C) 角速度从大到小,角
aR
I 1 MR2 2
（4）
m2
M,R
T1 m1
m1g T 2
m1
M,R
T1
m2
T2
联立方程，求解得：a Nhomakorabeam1g

刚体转动习题课 32页PPT文档

方法一：应用转动定律
单位面积元所受的摩擦力为： f kkr
圆环上所有面元的力矩方向相同，即均向里，
d M kr r 2 r d 2 r kr 3 dr
dr

r
f
M2d
M 2R2kr3d 0
kR4
由转动定律
dr
r
MJJd d td d Jd d J 1 mR2 2 MkR4
左右两边同时对时间求一次倒数，
m akxR J2ams gi3n 07 0
amg 2J s R i3 m n07 2 R kx2R 2.44x
1 2m 21 2k2x 1 2J R 2 2msgi3n x07 0
当速度为零时，下滑距离最大
1 2km 2 xaxmg maxsxi3 n0 70
它以初角速度ω0转动时，由于上下表面受到空气的摩
擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度大
小，比例常数为k，求它一共能转多少圈？
解此题的关键是求出摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩有什么特点？
1. 因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力大小一样，方向不同，但它们产生的力矩方向相同。 2. 转动过程中，由于角速度ω不断变化，所以同一点处摩擦力的大小也要随时间变化，是一个变力矩的问题。方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。
根据运动学知识， ad d
dt dx
0.6
(2.44x)d
x d
0
0
1.2ms
方法二：应用机械能守恒定律
选质点A，圆盘B，弹簧C和地球作为研究对象，系统

大学物理刚体力学习题课

l 1 1 2 mg sin mgl sin ( ml ml 2 ) 2 2 2 3 9g 3 2 sin g sin / l 4l 2

m m
9 g cos 16l
角加速度对应于该位置的力矩
l 1 2 mg cos mgl cos ( ml ml 2 ) 2 3
12. 一长为l ，质量为 M的均匀木棒，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直下垂，今有一质量m、速率为v的子弹从A点射入棒中，假定A点与O点的距离为3l/4，求：(1)棒开始运动时的角速度； (2)棒的最大偏转角。
解：对题中非弹性碰撞，角动量守恒，
3 3 2 1 mv l J J m( l ) Ml2 4 4 3 36ml (27m 16 M )l
mg T ma
O
Tr J
J m( g a)r 2 / 2
2 gt J mr 2 ( 1) 2s
a r
由已知条件v0 = 0, 得
1 2 s at a 2 s / t 2 2
m
9. 如图所示，滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为m轮，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转。忽略桌面与物体间的摩擦。设m1=50 kg, m2=200 kg, m轮=15 kg, r=0.1 m，计算该系统中物体m1和m1的加速度。
解：细杆由初始位置竖直位置，机械能守恒
1 1 L 2 2 J 0 J1 mg (1 cos ) 2 2 2
0
60
v0
碰撞前后角动量守恒，取为角动量正向 mv0 L J1 (J mL2 )2 系统竖直位置由初始位置
1 L 1 2 ( J mL2 )2 Mg (1 cos ) mgL(1 cos ) ( J mL2 ) 2 2 2 2

刚体转动(习题课)PPT资料20页

平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为JC ，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是
Jz JCmd2
Jz
JCR
m
例3 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。）
解：摆杆转动惯量：
O
J113m2r2
4m2r 3
摆锤转动惯量：
r
J2JCm2 d1 2m 2 rm 3 r21 2m 92 r
1m2u1mv21J2
2 22
v u(m0 3m) m0 3m
6mu
(m0 3m)l
例8 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。
若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
解：角动量守恒：
o
mva13m0l2ma2
机械能守恒：
30°
la v
的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。
求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。
解：由系统角动量守恒
m u J lm v l
O
u
机械能守恒
1m2u1mv21J2
2 22
v u(m0 3m) m0 3m
6mu
(m0 3m)l
设碰撞时间为t
y
Ftmv(m)u
FltJ0
O
u
消去t
m u J lm v l
摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试
求：⑴ 细直杆的质量m0；⑵ 碰撞后细直杆摆动的最
大角度。（忽略一切阻力）
解：⑴ 按角动量守恒定律
Jm mJm0 m0
系统的动能守恒
O

习题课2刚体

可解得 h 1 l 1 l(1 22
6s )2
l
12.质量为m1，长为l旳均匀细棒静止平放在滑动摩擦系数
为旳水平桌面上，它可绕经过其端点O且与桌面垂直旳
固定光滑轴转动。另由一水平运动旳质量为m2旳小滑块，从侧面垂直于棒与棒旳另一端向碰撞。设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后旳速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动旳过程所用时间。
位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并
背离点O 向细杆旳端点A 爬行.设小虫与细杆旳质量均为 m.问:欲使细杆以恒定旳角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
解小虫与细杆旳碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒
mv0
l 4
1 12
ml 2
m(
l 4
)
2
刚体旳定轴转动总结：
一种瞬时作用定律：M z J
两个运动定律：
M
d
1 2
(J
2
)2
1 2
(J 2 )1
合外力矩为零
M Zdt (J)2 (J)1
两个守恒定律：角动量守恒机械能守恒
外力矩作功为零
刚体旳转动动能:
Ek
1 2
J z 2
刚体绕定轴旳角动量: L J
刚体旳重力势能： E p Mghc
O
a b : J00 (J则0 mR 2 )b b a c : J00则 J0c c o
J 0 0
J0 mR 2
Hale Waihona Puke B0 Aa R
b
小球A在b点旳速率为 vb2 R2，b2
c
O
c点旳速率为 vc

力学(刚体力学习题课)

即
v1 v 2
1 R1 2 R 2
J1 M 1R
2 1
3
2
J 2 M 2 R2
解（1）、（2）、（3）得
1
M 1 R 1 1 M 2 R 2 2 R1 M 1 M
2

2
M 1 R 1 1 M 2 R 2 2 R 2 M 1 M
f1 f 2
f1
J 1 1 1 R1
1
1
M1

2
C
R1
M
2

R2

M
2
dt

fR 2 dt J 2 2 2
f dt
J 2 2 2 R2
2
1

f2
2

考虑到稳定后，有
周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？
解：取摆锤、地球和子弹为系统，子弹穿过摆锤过程中，系统对转轴的角动量守恒：
J 1 1 J 1 1 J 2 J 3
m
l, M
v
M
v 2
即
ml
2
v l
ml
2
v 2 l
Ml
2
Ml 3 1
2
刚体力学习题课
如图，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。
假设定滑轮的质量为M 、半径为 R，其转动惯量为
1 2 MR
2
习题一
，
滑轮轴光滑。试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。解：根据牛顿第二定律和刚体定轴转动定律

刚体转动习题课选讲例题

解（1） at a 0.4 m s2
at a
rr
0.4 0.8 (rad s2 )
0.5
刚体的转动习题课选讲例题
求:（2） t = 5 s 时角速度及转过旳圈数；
0.8rad s2 t 4 rad s1
1 t 2 10 rad
2
n 1.6
2π
求（3）t = 1 s 时轮缘上一点旳加速度.
m0 m
R
顺时针方向
2m0 2π
2m0 m
刚体转动
解盘和人为系统, 角动量守恒 .
设：0、分别为人和盘相对地
旳角速度, 顺时针为正向 .
1 2
mR 2
m0 R20
0
1 mR2 2
d
dt
m0 R2
d 0
dt
0
1 mR2d
2
m0R2
2π
0 d0
刚体的转动习题课选讲例题
例一质量为 m' ，半径为 R 旳圆盘，可绕一垂直
FT1
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
FC
C
mC FT2
mB B
FT2
O
解（1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析, 取坐标如图所示, 利用牛顿第二定律、转动定律列方程 .
FT1 mAa
mB g FT2 mBa
PC
FT2
mB
PB y
RFT2 RFT1 J
Mf
FT
mg
y
a1 0.015 6 m/s2 a2 0.006 4 m/s2
m1g FT1 m1a1 m2 g FT2 m2a2
FT1R M f