天津中考数学二轮 相似 专项培优 易错 难题

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；

（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．

【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，

在中，

分别是的中点，

（2）解：如图1，过点作于，

（舍）或秒

（3）解：四边形为矩形时,如图所示：

解得：

（4）解：当点在上时，如图2，

当点在上时，如图3，

时，如图4，

时，如图5，

综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。

（3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

2．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）．

（1）当α=0°时，连接DE，则∠CDE=________°，CD=________；

（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）若m=10，n=8，当旋转的角度α恰为∠ACB的大小时，求线段BD的长；

（4）若m=6，n= ，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．

【答案】（1）90；

（2）解：如图3中，

∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．∵，∴△ACE∽△BCD，∴

．

（3）解：如图4中，

当α=∠ACB时．在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB= =6．在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，∴AE= = =3 ，由（2）可知

△ACE∽△BCD，∴，∴ = ，∴BD= ．故答案为：

（4）解：∵m=6，n= ，∴CE=3，CD=2 ，AB= =2，①如图5

中，

当α=90°时，半圆与AC相切．在Rt△DBC中，BD= =

=2 ．

②如图6中，

当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴四边形BCEM是矩形，∴，∴AM=5，AE= = ，由

（2）可知 = ，∴BD= ．

故答案为：2 或．

【解析】【解答】（1）①如图1中，

当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴ =

．∵BC=n，∴CD= ．故答案为：90°， n．

【分析】（1）连接DE，当α=0时，由直径所对的圆周角时直角可得∠CDE=90°，判断DE∥AB，从而可得比例式进而求解。

（2）旋转过程中 B D： A E 的大小有无变化，可以看 B D， A E 所在的三角形相似，从而可的△ACE∽△BCD，进而得出结论。

（3）根据勾股定理求得AB和AE，即可求出BD。

（4）由题意分两种情况：当α=90°时，半圆与AC相切。当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切。

3．如图1，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.

（1）请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系________；

（2）现将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H.请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系________；

（3）若图2中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图3，写出

PM与PN的数量关系，并加以证明.

【答案】（1）PM⊥PN，PM＝PN

（2）PM＝PN，PM⊥PN

（3）解：PM＝kPN，

∵△ACB和△ECD是直角三角形，

∴∠ACB＝∠ECD＝90°.

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE.

∴∠ACE＝∠BCD.

∵BC＝kAC，CD＝kCE，

∴＝k.

∴△BCD∽△ACE.

∴BD＝kAE，

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PM＝ BD，PN＝ AE.

∴PM＝kPN.

【解析】【解答】解：（1）PM＝PN，PM⊥PN，

理由如下：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.

在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，

∵∠BCD＝90°，

∴∠CBD+∠BDC＝90°，

∴∠EAC+∠BDC＝90°

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

∴PM＝ BD，PN＝ AE，

∴PM＝PN，

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM∥BC，PN∥AE，

∴∠NPD＝∠EAC，∠MPN＝∠BDC，

∵∠EAC+∠BDC＝90°，

∴∠MPA+∠NPC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

即PM⊥PN，