建模培训6-思考题

思考题

1、请大家在暑假里思考以下几个题目；

2、有条件地话．．．．．（不强求）．．．．．把解答的电子版发给我：mror@ 或 sdcdmcm@ ；

3、模型求解要求用软件或编程完成；

4、祝大家假期愉快！

1、广告策略

一家公司拟在电视、广播和杂志上做广告，以尽可能多地招徕顾客。下表是市场调查结果：

50万元；白天电视广告至少播出3次，夜间电视广告至少播出2次；广播广告和杂志广告要重复5到10次。试为该公司制定最佳的广告策略。 2、生产计划

某工厂生产3种产品，需要使用3种资源：技术服务、劳动力和行政管理。下表列出了3种单位产品对每种资源的需要量：

（1）若产品III 值得生产，那么它的利润是多少？若将产品III 的单位利润变为

3

25

，求获利最大时的生产计划。（2）确定3种资源的影子价格。（3）如果生产一种新产品，该单位新产品需要技术服务1小时、劳动力4小时和行政管理4小时，预期单位利润为8，试重新制定生产计划。（4）若产品III 的产量至少为10，试重新制定生产计划。 3、加工排序

4、护士雇佣

最少需雇佣多少护士？

现在准备在海岛上建立一个服务中心，以便为居民提供各种服务，问：服务中心应该建在何处为最佳？

6、投资组合

年共12年间的年增长情况的数据：

1943年初的价格的1.300倍，即年收益率为0.3（30%）。其余依此类推。某投资者在1955年初有一笔资金准备用于投资者三种股票，期望年收益率不低于15%。问：该投资者应如何投资，才能使投资风险最小？

7、新产品的研发决策

某电子有限公司是一家集设计、开发、生产、销售一条龙服务的电子礼品专业公司。在刚刚过去的一年中，公司销量明显少于历年平均水平，且管理费用及产品开发费用较以往大幅增加，导致总收入下降，净利润为负一百多万。直接后果是公司目前可用于开发新产品的资金没有往年充足，更严重的是会影响到公司的生存与发展。若销售量不能很快改善，管理层将会考虑削减公司的生产规模来降低生产总成本。

根据以往经验，一种新产品投放市场后，利润较高且销售量也比较好。公司通过对市场调查分析后，决定在今年主要生产刚开发的三种新产品I、II、III(新产品还未上市，产品名称保密)。管理层希望能够通过这一措施改变目前的现状，使经营有一线转机。

根据市场调研，单位产品I、II、III每天的利润分别是7元、5元、15元，而且分别在2年、2.5年、1年后退出市场，生产期间产品都能买出。管理层认为，在历经了过去一年的销量下降后，必须提高公司

的利润，这三种新产品在淘汰之前必须创造出至少450万元的毛利润。

生产新产品将需要投入大量资金。财务部门依据惯常方法计算出新产品的最小投资为66万，其中生产新产品的固定成本20万，三种新产品每天的单位可变成本分别为1元、0.5元、3.6元。若过度扩展市场规模，则会导致存货大幅增加，从而减慢了资金的流动。因此，投资最好限制在此范围之内。 生产部门认为在过去的几年中，除去年外，公司的收益还是很好的，其中最重要的资产就是公司的员工，这也是公司成功的主要原因。若继续保持员工队伍的稳定，并尽可能地发挥他们的能力，开发生产新产品，将会得到长期收益。因此，保持现有大约100名员工的水平是最佳的。根据实验预测，单位产品I 、II 、III 将分别耗用0.06人、0.04人、0.1人。

公司是利润导向型，管理层认为必须将保持稳定利润的目标放在第一位，并给其分配以权重5；投资资金限制的目标放在第二位，权重分配为4；保持员工队伍稳定的目标放在第三位，分成两部分，一是避免裁员，二是避免增员。鉴于前者的危害性比后者要严重，二者的权重分别取为3和2。 目前有竞争企业也在筹划开发生产类似的新产品，因此公司管理层必须尽快做出决策。 8、降落伞的选购

为空投救灾物资2000kg ，需选购一些降落伞。空投高度为500m ，降落伞落地时的速度不能超过20m/s 。 降落伞伞面是半径为r m 的半球面，通过每根长l m 的16根绳索连接的载重m 位于球心正下方的球面处，如下图所示：

每个降落伞的价格由三部分组成：伞面费用1C 由伞的半径r 决定，见附表1；绳索费用2C 由绳索总长度及单价4$/m 决定；固定费用3C 为200$。

降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定比例系数，用半径为3=r m ，载重为300=m kg 的降落伞从500m 高度处做降落试验，测得各时刻t 的高度h ，见附表2.

试确定降落伞的最佳选购方案，即选购多少，每个降落伞的半径多大（在附表1中选取）。 附表1：

附表2：

9、航班线路

某航空公司在六个城市621,,,c c c 设有分公司，各城市之间的单程直达的票价如下面的矩阵所示：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛∞∞∞∞∞∞

055252510550102025251001020402010015252015050102540500

其中∞表示对应两个城市之间无直达线路。试求任两城市之间的旅费最省的线路（要求编写LINGO 和

MATLAB 程序）。

10、购车方案的设计

在经过多年商场的打拼后，王先生打算购买一辆小轿车，轿车的售价是12万元人民币。购车后，每年花在车上的维护费与车龄（使用年数）有关，如下表1所示：

表1

表2

11、汽车租赁公司的运营

一家汽车租赁公司在3个相邻的城市A 、B 、C 运营。为方便顾客起见，公司承诺：在某一个城市租赁的汽车可以在三个城市中的任意一个归还。根据经验估计和市场调查，在一个租赁期内，在城市A 租赁的汽车在城市A 、B 、C 归还的比例分别为0.6、0.3、0.1；在城市B 租赁的汽车在城市A 、B 、C 归还的比例分别为0.2、0.7、0.1；在城市C 租赁的汽车在城市A 、B 、C 归还的比例分别为0.1、0.3、0.6。公司开业时，将600辆汽车平均分配给3个城市。试建立运营过程中汽车的数量在3个城市之间转移的模型，讨论时间充分长时的变化趋势，并分析这一变化趋势是否与600辆汽车的最初分配方案有关。 12、路灯照明

在一条宽20m 的道路两侧，分别安装有两只功率为2kW 和3kW 的路灯，其距离地面的高度分别为5m 和6m 。问：（1）在漆黑的夜里，当两只路灯都开启时，其连线的路面上最亮点和最暗点分别在哪里？（2）若3kW 的路灯的离地高度可以在3m 到9m 之间调节，结果如何？（3）若两只路灯的离地高度都可以在3m 到9m 之间调节，结果又如何？ 13、路灯更换策略

路政处负责一条街道上的路灯的维护。在进行维护时，首先要向有关部门提出电力使用和道路管制申请，再使用云梯车进行线路检查以便确定是否更换灯泡， 最后向维护人员支付报酬等。显然，这些维护费用往往比灯泡本身的成本要高出很多，因此，灯泡坏一个就马上换一个的做法是不可取的。有鉴于此，路政处一般采取整批更换的策略，即到一定时间（称为更换周期）时，所有灯泡无论好坏全部更换。

市政管理局通过检查灯泡是否正常工作对路政处进行日常监督和管理，一旦发现灯泡不亮，即对路政处按照折合计时进行罚款。然而，路政处面临的难题是：如果灯泡更换过早，则因许多灯泡尚未损坏即被换掉而造成浪费；如果更换过晚，则会受到罚款.试为路政处确定一个最佳的路灯更换周期。 14、慢跑者与狗