北京市九年级上学期期中数学试卷
北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中试卷
北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中试卷一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形2．抛物线224y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()1,2-B ．()0,4-C ．()1,2--D ．()2,03．二次函数23y x =-的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）A ．21y x =-B ．25=-y x C ．()223y x =--D ．()223y x =+-4．已知关于x 的一元二次方程230x mx +=+的一个根为1x =，则另一个根为（ ）A ．4x =-B ．3x =C ．4x =D ．3x =-5．若关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．1>-aB ．1a <C ．1>-a 且0a ≠D ．1a <且0a ≠6．如图，抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若0y >，则x 的取值范围是（）A ．41x -<<B ．31x -<<C ．<4x -或1x >D ．3x <-或1x >7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针方向旋转58︒得到11A B C ．若点1A 恰好落在AB 边上，则1B ∠度数为（ ）A ．29︒B ．32︒C ．58︒D ．61︒8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点为()1,0A ，(),0B m 且21m -<<-，有下列结论：①0b <；②a b <；③20a c +<；④若图象上有两点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，当12x x n <<时，总有12y y <，则n 的取值范围为0.50n -<<．其中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3-关于原点的对称点坐标为 ．10．一元二次方程240x -=的根是 ．11．抛物线24y x x =+的对称轴是 ．12．已知，点()12,P y ，()25,Q y 为二次函数()212y x =--的图象上的两个点，则1y2y （填“＞”或“＜”）．13．若抛物线24y x x k =-+与x 轴无交点，则k 的取值范围是 ．14．请写出一个对称轴为直线1x =，且经过点()0,3的抛物线解析式 ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，点B (0,3)，连接AB ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AC ，连接OC ，则线段OC 的长度为 ．16．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x ，则可列方程为 ．三、解答题17．计算：()0π23--18．解方程2420x x --=．19．解方程：21x x -=．20．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：x...1-0123...y 03-4-3-0…画出该二次函数的图象，并求出解析式．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()4,2，连接AB ，BO ，得到OAB △．(1)画出OAB △绕原点O 顺时针旋转90︒得到的11OA B ；(2)直接写出经过点1A ，1B ，A 的二次函数图象的对称轴22．在ACB △中，90C ∠=︒，以点A 为中心，分别将线段AB AC ，逆时针旋转60︒得到线段AD AE ，，连接DE ，延长DE 交CB 于点F ．连接AF ，求CAF ∠的度数．23．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象与函数4y kx =+（0k ≠）的图象交于点(),2A m ．(1)求m 与k 的值；(2)当1x >时，对于x 每一个值，总有函数1y nx =+（0n ≠）的值大于函数4y kx =+（0k ≠）的值，直接写出n 的取值范围．24．今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．(1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？(2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？25．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离y （单位：m ），车速为制动时车速x （单位：m /s ），时间为制动时间t （单位：s ）．为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表：表1制动时车速x（m /s ）0246810⋯⋯制动时间t （s ）00.250.50.751 1.25⋯⋯表2制动时车速x（m /s ）0246810⋯⋯制动距离y （m ）00.251 2.254 6.25⋯⋯为观察y 与x 之间的关系，建立平面直角坐标系，以x 为横坐标，y 为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示y 与x 的关系．根据以上数据与函数图象，解决下列问题：(1)根据表1，当制动时车速x 为20m /s 时，制动时间t = s ；(2)直接写出制动距离y （单位：m ）与制动时车速x （单位：m /s ）之间的函数关系式；(3)有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为42.25m ，则此车制动时车速是 m /s ，已知该公路限速为80km /h ，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()14,A y -，()21,B a y +在抛物线221=-+y x ax 上，抛物线经过点()3,C n y ．(1)当5n =时，若13y y =，则a 的值为 ；(2)若对于任意的46n ≤≤都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27．已知，ABC V 是等腰三角形，60BAC ∠=︒，O 是ABC V 内的任意一点，连接OA ，OB ，OC ．(1)如图1，=90AOC ︒∠，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 顺时针旋转60︒得到ADC △．点D 恰好落在BO 所在的直线上，用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；(2)如图2，设AOC α∠=，BOC β∠=．当α= ︒，β= ︒时，OA OB OC ++有最小值．28．如图，点,B C 在直线l 上，点A 为直线l 外一点，AB AC =，对于点D 给出如下定义：将线段CA 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段CD ，当点D 在直线l 上（不与B 重合）时，称点D 为线段AB 的关联点．(1)如图40ABC ∠=︒，30BAD ∠=︒，点D （填“是”或“不是”）线段AB 的关联点；(2)已知点D 为线段AB 的关联点，ABC x ∠=︒，BAD y ∠=︒，请写出y 与x 的关系式及x 的取值范围（直接写出结果）．。
北京市陈经纶中学2024~2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
北京市陈经纶中学2024~2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．抛物线()212y x =-+的顶点坐标是（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--2．用配方法解方程242x x +=，变形后结果正确的是（）A ．()223x -=B ．()223x +=C ．()226x -=D ．()226x +=3．图中的五角星图案，绕着它的中心O 旋转n ︒后，能与自身重合，则n 的值至少是（）A ．144B ．72C ．60D ．504．若关于x 的一元二次方程240x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A ．4B ．4-C ．4±D ．25．将抛物线231y x =+的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（）A ．()2323y x =+-B ．()2322y x =+-C ．()2323y x =--D ．()2322y x =--6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，其中A 、B 、C 分别和D 、E 、F 对应，则旋转中心的坐标是（）A ．（0，0）B ．(1,0)C ．(1,1)-D ．()0.5,0.57．11(,)2A y -，2(1,)B y ，3(4,)C y 三点都在二次函数2(2)y x k =--+的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<8．四位同学在研究二次函数()260y ax bx a =+-≠时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线1x =；乙同学发现当3x =时，y =-6；丙同学发现函数的最小值为8-；丁同学发现3x =是一元二次方程()2600ax bx a +-=≠的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题9．方程260x x -=的解是．10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点()0,1-的抛物线的表达式．11．如图，将OAB △绕点O 逆时针旋转80︒，得到OCD ，若2100A D ∠=∠=︒，则α∠的度数．12．如图，已知二次函数210y ax bx c a ++≠=（）与一次函数20y kx b k +≠=（）的图象相交于点(24),82A B ﹣，（，），则2ax bx c kx b +++=的解是．13．杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件，设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x ，则可列方程为．14．若关于x 的一元二次方程()221310k x x k -++-=的一个根为0，则k 的值为．15．汽车刹车后行驶的距离y （单位：m ）关于行驶的时间x （单位：s ）的函数解析式是：2156s x x =-，汽车刹车后前进了米才能停下来．16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号A B C D E 修复时间（分钟）15829710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三、解答题17．解方程22730x x -+=．18．若a 是关于x 的一元二次方程2390x x -+=的根，求代数式()()()4431a a a +---的值．19．如图，ABC V 是直角三角形，90C ∠=︒，将ABC V 绕点C 顺时针旋转90︒．(1)试作出旋转后的DCE △，其中B 与D 是对应点；(2)在作出的图形中，已知5,3AB BC ==，求BE 的长．20．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x ...2-1-0123...y (50)3-4-3-0…(1)并画出图象；(2)求此抛物线的解析式；(3)结合图象，直接写出当03x <<时y 的取值范围．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m 的值．22．景区内有一块58⨯米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，求x 的值．23．数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为310dm ，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm ，且不考虑接缝）．某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：(1)设长方体包装盒的底面边长为x dm ，表面积为2dm y 、可以用含x 的代数式表示长方体的高为210dm x ．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积．得到y 与x 的关系式：_________（03x <≤）；(2)列出y 与x 的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位）x /dm …0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.02/dm y …80.542.031.2①28.531.3(3)在下面的平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：(4)结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为_______dm 时，需要的材料最省．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线(²0)y ax bx c a =++>的对称轴为x t =，点(),A t m -，()2,B t n ，()00,C x y 在抛物线上．(1)当2t =时，直接写出m 与n 的大小关系；(2)若对于056x <<都有0m y n >>求t 的取值范围．25．在ABC V 中，AB AC =，090BAC ︒<∠<︒，将线段AC 绕点A 逆时针旋转α得到线段AD ，连接BD ，CD ．(1)如图1，当BAC α∠=时，则ABD ∠=______（用含有α的式子表示）；(2)如图2，当90α=︒时，作BAD ∠的角平分线交BC 的延长线于点F ，交BD 于点E ，连接DF ．①依题意在图2中补全图形，并求DBC ∠的度数；②用等式表示线段AF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．26．对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时针旋转90︒得到点P '，点P '落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关于原点O 的“伴随点”．已知点()()()1,1,3,1,3,2A B C ．(1)在点()()()1232,0,1,1,1,2P P P ---中，点______是线段A 关于原点O 的“伴随点”；(2)如果点(),2D m 是ABC V 关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；(3)已知抛物线()21y x n =--+上存在ABC V 关于原点O 的“伴随点”，求n 的最大值和最小值．。
北京市2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷(无答案)
2024-2025学年度第一学期初三年级数学期中练习学校______ 姓名______ 准考证号______注意事项1．本调研卷共8页，满分100分，时间120分钟.2．在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效.4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．1，3，1B ．，，C ．，，D ．，，2．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．4．用配方法解一元二次方程时，变形后的结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一块含角的三角尺绕点顺时针旋转到的位置，当点，，在一条直线上时，三角尺旋转的角度为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四2310x x +-=031-131-13-1-()12,A y -()21,B y ()34,C y 25y x =-+1y 2y 3y 123y y y <<312y y y <<231y y y <<321y y y <<241x x -=2(2)1x +=2(2)5x +=2(2)5x -=2(2)3x -=-25y x =25(2)3y x =-+25(2)3y x =++25(2)3y x =--25(2)3y x =+-30︒ABC C A B C ''△B C A 'ABC 30︒120︒60︒150︒2(0)y ax bx c a =++≠(0,54)A (20,57.9)B (40,46.2)C个结论中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当时，取最大值57.9C ．该抛物线的对称轴的取值范围是D ．当时，一元二次方程总有两个不相等的实数根8．如图，已知正方形的中心为．将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两个正方形的公共点为，，，，，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②③④第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出有一个根为的一元二次方程______．10．请写出一个开口向上，顶点坐标是的抛物线表达式______．11．已知一元二次方程的两个根为，，则______．12．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么______．13．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为______．20x =y x h =1020h <<54m >2ax bx c m ++=ABCD O ABCD O 60︒A B C D ''''G H I J K L M N GHIJKLMN O O 2-(1,2)2620x x +-=1x 2x ()()1211x x ++=x 2610x x m ++-=m =ABC △65CAB ∠=︒ABC △A AB C ''△CC AB '∥BAB ∠'13题14．如图，是二次函数的部分图象，由图象可知关于的不等式的解集为______．14题15．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到了，则旋转中心可能是点______（填，，，之—）15题16．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值：281点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论：①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则．上述结论中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．解方程：2y ax bx c =++x 22ax bx c ++>ABC △A B C '''△1P 2P 3P 4P 2(0)y ax bx c a =++≠x y x2- ynn()11,P x y ()22,Q x y 122x x <<121y y <<0a <126x x +>25510a b c ++->()218,0y ax bx c x x a =++<<≠G y k =G 123x <<（1）；（2）．18．已知是方程的一个根，求代数式的值．19．如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．（1）求证：；（2）连接，为的中点，连接．若，求的长．20．已知关于的方程（为实数，）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数的值．21．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点与点关于原点对称．（1）点的坐标是______；（2）在图中画出绕着点顺时针旋转后的；（3）在轴上是否存在点，使得的面积等于的面积．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由.22．已知二次函数．（1）将二次函数化成的形式；（2）在平面直角坐标系中画出的图象．25x x =2680x x -+=m 2240x x +-=2(2)(3)(3)m m m +++-ABCD E F AB CD BE DF =EF AC O OE OF =CE G CE OG 2OG =AE x 2(2)20mx m x +--=m 0m ≠m xOy (2,0)A (1,3)B -(1,3)D B C C ABD △A 90︒11AB D △x E ADE △ABC △E 223y x x =+-2()y a x h k =-+223y x x =+-步骤一：列表步骤二：根据表中数值描点，画图.（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围______．23．如图，用一条长60m 的绳子围成矩形，设边的长为x m.（1）边的长为______m ，矩形的面积为______（均用含的代数式表示）；（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．24．二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为.（1）求该二次函数的解析式；（2）直线与抛物线和直线的交点分别为点，点．①当时，______；②结合函数的图象，直接写出时的取值范围______．25．跳水运动是一项以高度、技术和美感为特点的水上运动项目．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落水的过程中，运动员离水面的竖直高度（单位：m ）与离起跳点的水平距离（单位：m ）近似满足函数关系．xy22x -<<y ABCD AB BC ABCD 2m x ABCD 2230m 2(0)y ax bx c a =++≠(3,0)1x =4-x m =2(0)y ax bx c a =++≠3y x =-C D 1m =-CD =4CD ≥m OB y A x 2()y a x h k =-+（1）运动员第一次跳水时水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离00.250.50.75 1.5竖直高度10.0010.7511.0010.757.00①根据上述数据，运动员第一次跳水的竖直高度的最大值为______m ：②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在第一次跳水时在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点的水平距离为1.7米，那么判断他是否会失误?请说明理由.（2）进水角度是指运动员跳入水中时身体与水平面的夹角，如图中所示．通常情况下，跳水运动员努力控制身体与水面的角度接近垂直，是减小水花的关键因素之一．在第二次跳水时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系式：，则此时的水花相比第一次跳水的水花______（填“变大”“不变”或“变小”）．26．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线（1）若，则______；（2）若，比较，的大小，并说明理由；（3）已知点也在该抛物线上，若，都有，求的取值范围．27．已知：在中，，，是内的一点，．（1）如图1，请写出与的大小关系，并证明.（2）如图2，点为的中点，连接，.用等式表示，之间的数量关系并证明．28．在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：图形绕点顺时针旋转得到的图形记为图形，对于图形上任意一点，存在实数满足，则称满足条x y /x m /y mA ∠αy x 28(0.5)12y x =--+xOy (1,)M m (3,)N n 2(0)y ax bx c a =++>x t=m n =t =2t >m n ()0,P x p 010x -<<m p n <<t ABC △AC BC =90ACB ∠=︒E ABC △135AEB ∠=︒ABE ∠CAB ∠F AB EF EC EF EC xOy P P (,)()M a b x a ≠90︒Q Q (,)x y k ||||0k x a y b ---=件的的最大值为图形关于点“旋转最大值”（1）若为原点，，，线段绕点顺时针旋转的图形记为线段．①画出线段；②直接写出线段关于点的“旋转最大值”______；（2）若为原点，，，，直接写出线段关于点的“旋转最大值”______．（3）若点，图形是顺次连接，，，所组成的四边形，图形关于点，则的取值范围是______．k P M M (0,4)B (1,5)C BC M 90︒B C ''B C ''BC M M (,4)B m (1,5)C m +02m ≤≤BC M (,)M t t P (2,1)E t -(2,1)F t --(2,1)G t +-(2,1)H t +P M t。
北京市 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程x2+6x+2=0，配方正确的是（）A. (x+3)2=9B. (x−3)2=9C. (x+3)2=6D. (x+3)2=73.如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（）A. 40∘B. 50∘C. 70∘D. 80∘4.将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位5.在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）A. 点A在圆外B. 点A在圆内C. 点A在圆上D. 无法确定6.若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π7.已知2是关于x的方程x2+ax-3a=0的根，则a的值为（）A. −4B. 4C. 2D. 458.太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）A. 12.75B. 13C. 13.33D. 13.5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.方程x2-x=0的解是______ ．10.请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式______ ．11.若关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．12.CPI指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．CPI的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是______ 月；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是______ ，你的预估理由是______ ．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）13.求抛物线y=x2-2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．14.已知：m2+2m-3=0．求证：关于x的方程x2-2mx-2m=0有两个不相等的实数根．15.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．16.如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A，B两点的距离为18米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．17.2（1）二次函数图象的开口向______ ，顶点坐标是______ ，m的值为______ ；（2）当x＞0时，y的取值范围是______ ；（3）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是______ ．18.如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM=4，BE=6，求AE的长．19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n-1的对称轴为x=2．（1）m的值为______ ；（2）若抛物线与y轴正半轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；（3）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个交点，求n的取值范围．20.在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC 平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为______．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补全图形；②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：______21.点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）=0．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）．（1）如图1，若M（0，2），N（-1，0），则d（M，∠AOB）= ______ ，d（N，∠AOB）= ______ ；（2）在正方形OABC中，点B（4，4）．①如图2，若点P在直线y=3x+4上，且d（P，∠AOB）=22，求点P的坐标；②如图3，若点P在抛物线y=x2-4上，满足d（P，∠AOB）=22的点P有______ 个，请你画出示意图，并标出点P．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．2.【答案】D【解析】解：x2+6x=-2，x2+6x+9=-2+9，（x+3）2=7，故选：D．将常数项移至方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方即可得．本题主要考查配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3.【答案】B【解析】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′=80°，OA=OA′，∴∠OAA'=（180°-80°）=50°．故选：B．根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．4.【答案】C【解析】解：抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2x2+1的步骤是：向上平移1个单位．故选：C．直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．5.【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB＞BC，∴点A在圆外．故选A．根据点与圆的位置关系即可得出结论．本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】解：弧长l==2π．故选B．根据弧长公式进行求解即可．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．7.【答案】B【解析】解：∵2是关于x的方程x2+ax-3a=0的一个根，∴把x=2代入得：22+2a-3a=0，解得：a=4．故选：B．根据题意把x=2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．本题主要考查了对一元一次方程的解及解法的理解和掌握，把2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．8.【答案】C【解析】解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：，解得：，∴l=0.15t2-4t+27，∵0.15＞0，∴l有最小值，当t=-=≈13.33时，该地影子最短；故选C．利用待定系数法求二次函数的解析式，求顶点坐标的横坐标即可．本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，具体思路为：把三个点的坐标代入解析式中，列三元一次方程组，解出方程组的解，写出解析式，最后求最值．9.【答案】0或1【解析】解：原方程变形为：x（x-1）=0，∴x=0或x=1．本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．10.【答案】y=（x-3）2（答案不唯一）【解析】解：依题意取a=1，顶点坐标（3，0），由顶点式得y=（x-3）2．即故答案为y=（x-3）2（答案不唯一）．根据对称轴为x=3可知顶点的横坐标为3，纵坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式．此题主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下．11.【答案】-1【解析】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴（-2）2-4×1×（-m）=0，解得m=-1．根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12.【答案】8；先减后增；2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增【解析】解：由函数图象可知，2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率8月份相差2.6%-1%=1.6%，∴同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是8月；根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增，预估理由是2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率基本保持一致，而2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，∴预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增，故答案为：8，先减后增，2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增．根据前8个月CPI涨跌率的差值确定最大差距即可得，由2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率基本保持一致，而2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，可预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增．本题主要考查函数的图象，理解题意弄懂函数图象是解题的关键．13.【答案】解：y=（x-1）2-1，∴对称轴为x=1，顶点为（1，-1）．其函数图象如图所示．【解析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其对称轴及其顶点坐标，再利用描点法可画出其函数图象．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．14.【答案】解：∵m2+2m-3=0，∴m2+2m=3，∴△=4m2+8m=4（m2+2m）=12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．【解析】求出根的判别式，判断其值大于0，即可得证．此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根．15.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠B=∠ACB=60°．∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ACB，即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE DC=EC∴△BCD≌△ACE，∴∠EAC=∠B=60°，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．【解析】根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠B=∠ACB=60°，根据旋转的性质得出CD=CE，∠DCE=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS推出△BCD≌△ACE，根据全等得出∠EAC=∠B=60°，求出∠EAC=∠ACB，根据平行线的判定得出即可．本题考查了平行线的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16.【答案】解：过点O作OC⊥AB于C点．∵OC⊥AB，AB=18，∴AC=12AB=9，∵OA=OB，∠AOB=360°-240°=120°，∴∠AOC=12∠AOB=60°．在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，OA，又∵OC=12∴r=OA=63．∴S=240πr2=72π（m2）．360【解析】作OC⊥AB，根据垂径定理得出AC=9，继而可得圆的半径OA的值，再根据扇形面积公式可得答案．本题主要考查垂径定理和扇形的面积公式，熟练掌握垂径定理求得圆的半径是解题的关键．17.【答案】上；（1，-2）；2；y≥-2；n＞-3【解析】解：（1）把点（0，-1），（1，-2）和（2，-1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=x2-2x-1=（x-1）2-2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，-2），令x=-1，代入可得m=2，故答案为：上；（1，-2）；2；（2）∵y=（x-1）2-2，∴当x=1时，y有最小值-2，∴当x＞0时，y≥-2，故答案为：y≥-2；（3）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，∴1+n＞-2，解得n＞-3，故答案为：n＞-3．（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的开口方向及顶点坐标，令x=-1代入可求得m的值；（2）由二次函数的解析式可求得其增减性，当x＞0时，可知其有最小值，无最大值，可求得y的取值范围；（3）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．18.【答案】（1）证明：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠BAF=90°．∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°．∴∠1=∠2．∵AB=BC，∴∠ABC=2∠1=2∠2；（2）解：∵∠1=∠2=∠3，∠3=∠4，∴∠2=∠4．∵AB是直径，∴CE⊥AE，∵CM⊥AF，CM=4，∴CE=CM=4，∵BE=6，∴AB=BC=BE+EC=10．在Rt△ABE中，AE=2−BE2=102−62=8．【解析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，然后由等角的余角相等，证得∠1=∠2，继而证得结论；（2）由圆周角定理，易证得∠2=∠4，又由AB为直径，CM⊥AF，可求得CE=CM=4，继而求得AB的长，则可求得答案．此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．19.【答案】-4【解析】解：（1）对称轴：x=-=2，m=-4；（2）把m=-4代入抛物线y=x2+mx+n-1得：y=x2-4x+n-1，当x=0时，y=n-1，∴A（0，n-1），B（2，0），∵△OAB是等腰直角三角形，∴OA=OB，即：n-1=2，n=3；（3）①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，△=0，（-4）2-4×1×（n-1）=0n=5，②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，把（3，0）代入得：32-4×3+n-1=0，n=4，③如图3，当抛物线过原点时，n-1=0，n=1，结合图象可得，1≤n＜4或n=5．（1）根据对称轴公式：x=-代入计算，可求m；（2）把m=-4代入后，令x=0，计算出与y轴交点，写出点A的坐标，点B是对称轴与x轴的交点，所以B（2，0）；（3）分三种情况：①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，与抛物线只有一个交点，则△=0；②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，代入可求n；③如图3，当抛物线过原点时，即过（0，0）代入可求n，发现从过原点时的抛物线向上平移，一直到过图2，都符合条件，所以n的取值为：1≤n＜4或n=5．本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，同时还要熟知：①对称轴公式：直线x=-；②抛物线过原点时，经过（0，0）；③抛物线的顶点在x轴上时，△=0；本题的易错点在：抛物线与线段OC有且只有一个交点，当n在4与5之间时不满足条件，要注意．20.【答案】EB=EF；α+β=180°或α2+β2+γ=180°【解析】解：（1）EB=EF，故答案为：EB=EF；（2）①补全图形如图2所示，②结论依然成立EB=EF；证法1：如图3，过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD为菱形，∴∠CAD=∠CAB．∵EM⊥AF，EN⊥AB．∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，∴∠F+∠ABE=360°-∠BAD-∠BEF=180°．∵∠ABE+∠EBN=180°，∴∠F=∠EBN；在△EFM与△EBN中，∴△EFM≌△EBN．∴EF=EB；证法2：如图4，连接ED∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．又∵AE=AE，∴△ADE≌△ABE．∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．∴∠F+∠ABE=180°．又∵∠ADE+∠FDE=180°，∴∠F=∠FDE．∴EF=ED．∴EF=EB．（3）如图3，由（2）的证法1知，△FEM≌△BEN，∴∠FEM=∠BEN，∴∠BEF=∠MEN，在四边形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，∴∠BAC+∠BEF=180°，∴α+β=180°如图4，由（2）的证法2知，△ADE≌△ABE，∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE=，∠AEB=∠AED=，根据三角形的内角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，∴°．故答案为：α+β=180°或°．（1）直接得出结论；（2）①依题意补全图形如图2所示，②证法1，利用菱形的性质得出，∠DAC=∠BAC，再用角平分线的性质，得出EM=EN，进而判断出△EFM≌△EBN即可；证法2，利用菱形的性质直接判断出△AED≌△AEB，即可得出结论；（3）借助（2）的两种证法，利用全等三角形的性质和四边形和三角形的内角和即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键△ADE≌△ABE．21.【答案】1；1；4【解析】解：（1）∵M（0，2），∠AOB=60°，∴d（M，∠AOB）=OM=1；∵N（-1，0），∴d（N，∠AOB）=ON=1；故答案为：1；1．（2）①如图，当点P在上时，OP=，设P（x，3x+4），则x2+（3x+4）2=8，解得（舍），∴P（-2，-2）；点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为，∵点C到OB的距离为，∴点P与点C重合，∴P（0，4），综上所述，P（-2，-2）或（0，4）．②如图所示，点P有4个．（1）根据M（0，2），∠AOB=60°，得出d（M，∠AOB）=OM=1；再根据N（-1，0），得出d（N，∠AOB）=ON=1；（2）先设P（x，3x+4），当点P在上时，根据勾股定理列出方程x2+（3x+4）2=8，求得x的值即可；当点P在射线FG上时，根据P到射线OB的距离为，得出点C到OB的距离为，最后根据点P与点C重合得出结论；（3）根据点P在抛物线y=x2-4上，满足d（P，∠AOB）=2，画出与OB距离为2的平行线，与x轴距离为2的平行线以及以O为圆心，2长为半径的弧线，与抛物线的交点即为所求．本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握点P到∠AOB的距离定义，解题时注意灵活运用等腰直角三角形的性质以及勾股定理．解题时注意：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．。
北京市第二十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷参考答案
北京市第二十中学九年级第一学期期中练习数学答案及评分标准二、填空题：（每题2分，共计16分）17.∵a ＝1，b ＝﹣6，c ＝﹣16，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣16）＝36+64＝100＞0， ∴x ＝21006±＝3±5， ∴x 1＝8，x 2＝﹣2；（有过程，对一个答案3分，两个5分） 18.解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC ．∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，∴∠DAE ＝60°，AE ＝AD ．..................................................1分 ∴∠BAD +∠EAB ＝∠BAD +∠DAC ．∴∠EAB ＝∠DAC ． .................................................2分 在△EAB 和△DAC 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE DAC EAB AC AB , ∴△EAB ≌△DAC （SAS ）． .................................................3分 （2）∠BED ＝45°． .................................................5分 19.解：∵a 是方程2-210x x −=的一个根，∴2210a a −−=． ................................................1分∴221a a −=． .................................................2分∴a (a -4)＋(a ＋1)(a －1)=a 2-4a +a 2-1=2a 2-4a -1 .................................................3分 =2(a 2-2a )-1 ................................................4分 =1． .................................................5分20.解：（1）∵22y x x =−1)1(11222−−=−+−=x x x .............2分 ∴该二次函数的顶点坐标为（1，−1）； .............3分(2)该二次函数的图象的开口方向向上， .............4分 点P (1，0)不在该抛物线上. .............5分21.解：（1）关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －4＝0中，1,,24a b m c m ==−=−，()()()2222442481640b ac m m m m m ∴∆=−=−−−=−+=−≥ ∴方程总有两个实数根； .................................................2分（2）2240x mx m −+−=∴(2)(2)0x x m −+−=解得122,2x x m ==− .................................................3分 方程有一个实数根为负数，20m ∴−<解得2m < ...............................................4分 m 是正整数1m ∴= .................................................5分22.解：（1）令0y =，则2(1)10x −−=， 解得10x =，22x =，B ∴点坐标为(2,0)， .................................................1分列表得：画图得：.................................................3分（2）如图，由图形可得12x <<时，2(1)1kx b x +>−−． .................................................5分 23.解：（1）111A B C △如下图所示：.................................................3分（其中画平移1分，画旋转2分）由图可知：1(32)B ，； .................................................4分 （2）212A B C 如上图所示：m 的取值范围是：252<<m ..................................................6分 24.解：（1）(4-x )(4+2x )； .................................................1分 (4-x )(4+2x )=16 ............................................2分 解得x 1=0（舍），x 2=2答：此时的x 值为2； .............................................3分 （2）(4-x )(4+2x )=-2x 2+4x +16=-2(x -1)2+18..............................................5分 ∴改造后的面积最大为18，此时x =1. ...............................................6分 25.解：（1）当0x =时，20.2(0 2.5) 2.35 1.1y =−−+=，故击球点的高度为1.1m ； .................................................1分 （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2)， 设抛物线的解析式为：2(3)2y a x =−+， 过点(4,1.9)，21.9(43)2a ∴=−+，解得0.1a =−，∴抛物线的解析式为：20.1(3)2y x =−−+； ...............................4分（3）<． .................................................6分 26.解：（1）22x =，2y c =，42a b c c ∴++=， 2b a ∴=−，12bt a∴=−=， .................................................2分 （2）2(0)y ax bx c a =++<， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x t =，112t x t +<<+，∴点M 在对称轴的右侧，①当点N 在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小．由12y y >，∴12x x <，∴4,24t t ≤⎧⎨+≤⎩， 解得42t t ≤⎧⎨≤⎩，∴2t ≤，②当点N 在对称轴上或对称轴左侧时，设抛物线上的点()22,N x y 关于x t =的对称点为()2,N d y '，2t x d t ∴−=−，解得22d t x =−，∴()222,N t x y '−，245x <<，∴225224t t x t −<−<−，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小， 由12y y >，∴122x t x <−，∴5225t t t ≥⎧⎨+≤−⎩，解得57t t ≥⎧⎨≥⎩，∴7t ≥，综上所述，t 的取值范围是2t ≤或7t ≥．.................................................6分27.解：（1）补全图形，如图所示：.................................................1分（2）根据题意可知AB AD AC ==，BAD ∠=α，∴902aADB ABD ∠=∠=︒−， .................................................2分90BAC ∠=︒，∴90DAC α∠=︒+，∴452ADC ACD α∠=∠=︒−， ∴45CDB ADB ADC =−=︒∠∠∠． .................................................3分 （3）AE BD CD 22+=，证明如下：.................................................4分如图，作AF AE⊥，交CD于点F，∴90EAF∠=︒，∴EAB FAC∠=∠，BE CD⊥，45BDC∠=︒，∴45DBE∠=︒，22BE DE BD∴==，BAD∠=α，452ABE ACDα∴∠=︒−=∠，. ................................................5分在ABE和ACF△中EAB FACAB ACABE ACF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASAABE ACF≌，................................................6分∴AE AF=，BE CF=，2EF AE∴=，∴22CD DE EF CF BD=++=．................................................7分28.解：（1）②③；................................................2分（2）设直线y＝33x+3与x轴和y轴的交点分别为C点和D点，在直线y＝33x+3中，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣3，∴C（0，3），D（﹣3，0），∴OC＝3，OD＝3,∵∠COD=90°∴CD=23在Rt△OCD中，∠ODC＝30°，................................................3分∴∠OCD＝60°，连接AC，如下图，①当点B 在点A 的左侧时 ∵A （1，0）， ∴OA ＝1，在Rt △OCA 中，AC ＝2OA ＝2， ∴∠OCA ＝30°，∵∠ACD ＝∠OCD +∠OCA ＝60°+30°＝90°，故AC ⊥CD ， ∵直线y ＝33x +3是线段AB 的60°﹣联络图形， ∴AB ≥AC ， 即AB ≥2，∴t ≤﹣1； ................................................4分 ②当点B 在点A 的右侧时同理可得t ≥5......................................5分 ∴t ≤﹣1或t ≥5 （3）431m <4． ................................................7分。
北京市第二十五中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(10月)
北京市第二十五中学2024－2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（10月）一、单选题1．若关于x 的方程2210ax ax -+=的一个根是1-，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．13-D ．3-2．围棋起源于中国，距今已有4000多年的历史，2017年5月，柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行了围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A ．B ．C ．D ．3．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64．在同一平面直角坐标系xOy 中，函数1y kx =+与(0)ky k x=≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x ）2=461C ．368（1﹣x ）2=442D ．368（1+x ）2=4426．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为()A ．1B ．2C ．3D ．47．将抛物线221y x =+绕原点O 旋转180︒，则旋转后的抛物线的解析式为（）A ．221y x =-+B ．221y x =--C ．2112y x =-+D ．2112y x =--8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(3)y m x k =-+与x 轴交于(,0),(,0a b ）两点，其中a b <，将此抛物线向上平移，与x 轴交于(,0),(,0)c d 两点，其中c d <，下面结论正确的是（）A ．当0m >时，,a b c d b a d c +=+->-B ．当0m >时，,a b c d b a d c +>+-=-C ．当0m <时，,a b c d b a d c +>+->-D ．当0m <时，,a b c d b a d c+>+-<-二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为．10．把抛物线2112y x =+向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．11．请写出一个常数c 的值，使得关于x 的方程220x x c ++=有两个不相等的实数根，则c 的值可以是．12．在平面直角坐标系xOy 中，若函数(0)ky k x=≠的图象经过点(,2)A a 和(,2)B b -．则a b +的值为．13．已知二次函数2y x =，当12x -≤≤时，函数值y 的取值范围是．14．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图绕中心旋转n 后能与原来的图案里合，那么n 的最小值是．15．以▱ABCD 对角线的交点O 为原点，平行于BC 边的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A 点坐标为（﹣2，1），则C 点坐标为．16．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形,4,2ABCD AB AD ==，中心为O ，在矩形外有一点P ，3OP =，当矩形绕着点O 旋转时，则点P 到矩形的距离d 的取值范围为．三、解答题17．解方程2420x x --=．18．已知1x =是关于x 的方程2223x ax a ++=的一个根，求代数式()215a a a a -++的值．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，()()2420A B --，，，，将OAB △绕原点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△（A B ''，分别是A ，B 的对应点）．(1)在图中画出OA B ''△，点A '的坐标为____________；(2)若点(),2M m 位于OAB △内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90︒的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()()210y k x k =+->的图象与反比例函数()0my m x=≠的图象的一个交点为()2A n -，．(1)求反比例函数my x=的解析式；(2)当1x >时，对于x 的每一个值，一次函数()()210y k x k =+->的值大于反比例函数()0my m x=≠的值，直接写出k 的取值范围．21．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将ABC V 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 落在BC 边上，点B 的对应点为E ，求线段BD ，DE 的长．22．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86889091919191929298b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）：c .评委打分的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为___________，n 的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ___________91（填“>”“=”或“<”）；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中k （k 为整数）的值为____________.23．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x…2-1-012…y…04-4-08…() 1根据上表填空：①抛物线与x 轴的交点坐标是________和________；②抛物线经过点(3-,________)；③在对称轴右侧，y 随x 增大而________；()2试确定抛物线2y ax bx c =++的解析式．24．已知关于x 的一元二次方程()22120x m x m +++-=．(1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解．25．在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．(1)小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/m x 01234竖直高度/my 1.62.12.42.52.4（1）根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为____________m ；(2)①求小刚第一次的投掷距离；②已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次____________（填“大”或“小”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1,,2,n p -在二次函数22y x bx =-++的图象上．(1)当n p =时，求b 的值；(2)当()()20n n p -->，求b 的取值范围．27．已知正方形ABCD ，将线段BA 绕点B 旋转α（090α︒<<︒），得到线段BE ，连接EA ，EC ．(1)如图1，当点E 在正方形ABCD 的内部时，若BE 平分ABC ∠，4AB =，则AEC ∠=______°，四边形ABCE 的面积为______；(2)当点E 在正方形ABCD 的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求AEC ∠的度数；②作EBC ∠的平分线BF 交EC 于点G ．交EA 的延长线于点F ，连接CF ．用等式表示线段AE ，FB ，FC 之间的数量关系，并证明．28．设a 、b 是任意两个实数，定义符号{}min ,a b 的含义为：当a b ≥时，{}min ,a b b =；当a b <时，{}min ,a b a =．例如：{}{}min 1,22,min 1,11-=---=-．参照上面的材料，解答下列问题：(1){}min 5,3-=．(2)若{}min 31,55x x x +-+=-+，求x 的取值范围．(3)①写出函数22y x =-+与y x =的图像的交点坐标．②根据函数22y x =-+和y x =的图像写出当x =时，{}2min ,2x x -+的最大值为．。
北京市第十四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
北京市第十四中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为()A ．B ．C ．D ．2．抛物线()2235y x =--+的顶点坐标是（）A ．()3,5-B ．()3,5-C ．()3,5D ．()3,5--3．如图，在Rt ABC △中，90,30ACB ABC ∠=︒∠=︒，将ABC V 绕点C 顺时针旋转α角()0180a ︒<<︒至A B C ''△，使得点A '恰好落在AB 边上，则α等于（）A ．150︒B ．90︒C ．30︒D ．60︒4．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k ≥B ．1k ≥-C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k -＞且0k ≠5．如图，点A ，B ，C 都在O 上，OC OB ^，点A 在 BC上，且OA AB =，则ABC ∠的度数是（）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30°6．某厂家2024年1—5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．2180(1)442x -=B ．2180(1)461x +=C ．2137(1)461x +=D ．2368(1)442x +=7．如图，抛物线y ＝﹣116x 2+1与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C (0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E 是线段BD 的中点，连接OE ，则线段OE 的最大值是（）A ．2B ．72C ．3D ．528．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x 时，线段MN 的长度记为d （x ）．下列描述正确的是（）A ．()25%1d =B ．当50%x >时，()1d x >C ．当12x x >时，()()12d x d x >D ．当12100%x x +=时，12dx d x =（）（）二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，点()3,4P -关于原点O 的对称点的坐标为．10．若()2223my m x x -=-+是关于x 的二次函数，则m 的值为．11．如图，直线y mx n =+与抛物线2y x bx c =++交于A ，B 两点，其中点()2,3A -，点()5,0B ，不等式2x bx c mx n ++<+的解集为．12．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x 米，可列方程为．13．如图，C ，D 为AB 的三等分点，分别以C ，D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，F ，连接EF ．若9AB =，则EF 的长为．14．已知函数2=23y x x --，当1x a -≤≤时，函数的最小值是-4，实数a 的取值范围是.15．在二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，y 与x 的部分对应值如表：x (1)-0 1.523…y…02mn…则m n ，的大小关系为mn ．（填“>”“=”或“<”）16．如图，已知Rt ACB △，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，AC =D 在CB 所在直线上运动，以AD 为边作等边三角形ADE ，则CB =．在点D 运动过程中，CE 的最小值．三、解答题17．解下列方程：(1)21610x -=(2)249211x x x +-=-(3)2210x -+=18．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3．（（1）用配方法将y ＝x 2－4x ＋3化成y=a （x -h ）2+k 的形式；（2）求抛物线与x 轴交点坐标；（3）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象；（4）结合图象直接写出y＞0时，自变量x的取值范围是______；（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是______．19．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；①在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（填推理依据）．20．已知关于x的一元二次方程22-+=．40x mx m(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；(2)若=2是该方程的根，求代数式()()22223m m ---的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点分别为A （－3，4），B （－5，1），C （－1，2）．（1）画出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；（2）画出△ABC 绕原点逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2，并写出点B 2的坐标．22．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A 、B 两点，设 AB 所在圆的圆心为O ，半径为cm r ．作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，则D 是AB 的中点．其推理的依据是：．经测量，90cm AB =，15cm CD =，则AD =cm ；用含r 的代数式表示OD ，OD =cm ．在Rt OAD △中，由勾股定理可列出关于r 的方程：2r =，解得r =．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．23．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x 轴方向，1m 为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y 轴上的A 点出手，运动路径可看作抛物线，在B 点处达到最高位置，落在x 轴上的点C 处．小明某次试投时的数据如图所示．(1)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；(2)若铅球投掷距离（铅球落地点C 与出手点A 的水平距离OC 的长度）不小于10m ，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BD 为直径，AE 是O 切线，且AE CD ⊥的延长线于点E ．(1)求证：DA 平分BDE ∠；(2)若46AE CD ==，，求O 的半径和AD 的长．25．如图，已知点()()1122,,,M x y N x y 在二次函数2(2)1(0)y a x a =-->的图像上，且213x x -=．(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二次函数的表达式；②若12y y =，求顶点到MN 的距离；(2)当12x x x ≤≤时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧，求a 的取值范围．26．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．（1）如图1，点D 是BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE ．①若∠BAD ＝α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE ．①依题意补全图2；②直接写出线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中的W 上，有弦MN ，取MN 的中点P ，将点P 绕原点O 顺时针旋转90︒得到点Q ，称点Q 为弦MN 的“中点对应点”．设W 是以()3,0W -为圆心，半径为2的圆．(1)已知弦MN 长度为2，点Q 为弦MN 的“中点对应点”．①当MN x ∥轴时，在图1中画出点Q ，并且直接写出线段OQ 的长度；②当MN 在圆上运动时，直接写出线段WQ 的取值范围．(2)已知点()5,0M -，点N 为W 上的一动点，设直线y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，若线段AB 上存在弦MN 的“中点对应点”点Q ，求出b 的取值范围．。
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．下面四个标志中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-，=0D ．=2，=03．若()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 为二次函数()21y x =+图象上的三点，则1y ，23,y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数()()57y x x =-+的图象的对称轴是（）A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为⊙O 直径，点,C D 在⊙O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（）A ．()21.0581 1.167x -=B ．()1.05812 1.167x +=C ．()21.0581 1.167x +=D ．()21.1671 1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，表盘的半径长为（）A ．3BC ．D ．8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A ．B ．C ．D ．二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE 的度数为．11．抛物线y ＝x 2－5x ＋6与y 轴交点的坐标是．12．如图，,PA PB 分別切⊙O 于,A B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作⊙O 的切线分别交,PA PB 于,M N 两点，若PMN 的周长为10，则切线长PA 等于．13．已知22310a a -+=，则代数式()()233a a a -++的值为．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是cm ．15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点()1,0-，对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在()0,1A 和()0,2B 之间（不与A B 、重合）．下列结论：①0abc >；②93a c b +>；③40a b +=；④当0y >时，15x -<<；⑤a 的取值范围为2155a -<<-．其中正确结论有（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，10BD =，AB CD =，则BC 的最大值为．三、解答题17．解下列方程：(1)23610x x -+=；(2)()233x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()3,1B -，()1,4C -．将ABC V 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ．(1)请在图中画出11A BC V ；(2)线段BC 旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE．(1)求证：AEB ADC ≌ ；(2)连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．20．已知关于x 的一元二次方程()22840x k x k +--=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围．21．已知：如图，O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：作法一（如图1）作法二（如图2）①接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ；②以点A 为圆心，以AO 的长为半径作A ，A 交O 于点B ；③作直线PB ，则直线PB 是⊙O 的切线．①连接OP ，交O 于点M ，过点M 作OP 的垂线MN ；②以点O 为圆心，以OP 的长为半径作弧，交直线MN 于点Q ；③连接OQ ，交于点B ；④作直线PB ，则直线PB 是的切线．证明：如图1，连接OB ，PO 为A 直径，∴90PBO ∠=︒．（______）∴PB OB ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．证明：……请仔细阅读，并完成相应的任务：(1)“作法一”中的“依据”是指______；(2)请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过()0,2A -，()2,0B 两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x⋅⋅⋅1-01212⋅⋅⋅y⋅⋅⋅2-0⋅⋅⋅(3)若一次函数y mx n =+的图象也经过,A B 两点，结合图象，直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．(1)求证：AC 是BDE V 的外接圆的切线；(2)若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；25．如图1，线段AB 及一定点,C P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7cm AB =，设,A P 两点间的距离为cm x ，,A Q 两点间的距离为1cm y ，,P Q 两点间的距离为2cm y ．小明根据学习函数的经验，分别对函数12,y y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．/cm x 00.30.50.81 1.52345671/cmy 00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.782/cmy 00.080.090.0600.290.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41第二步：在同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12,y y 的图象．解决问题：(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；(2)结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30︒时，AP 的长度约为______cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y ax a x a =-≠．(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC BE =，连接AE ，过C 作CF AE ⊥于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ．(1)求证：AEB ACF ∠=∠；(2)用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”．已知()1,0B -，()2,0C ，(1)写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标______；(2)已知点()112,02C m m ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2:l y x b =+上，求b 的取值范围；(3)已知点H 是直线1x =上的一点，且点H 的纵坐标小于0，()3,0C ，E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线6x =上的点()6,F h ，以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．。
北京市朝阳区北京中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京市朝阳区北京中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程()10x x -=的解是（）A ．1x =B ．120,1x x ==C ．0x =D ．120,1x x ==-2．关于x 的一元二次方程210x ax ++=有两个实数根，则a 的值可以是（）A ．3B ．1-C ．1D ．03．将抛物线2y x =向右平移3个单位长度得到的抛物线是（）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．()23y x =-D ．()23y x =+4．用配方法解方程x 2＋4x ＝1，变形后结果正确的是（）A ．(x ＋2)2＝5B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝25．关于二次函数y =-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（）A ．当x ＞-2时，y 随x 增大而减小B ．当x ＞-2时，y 随x 增大而增大C ．当x ＞2时，y 随x 增大而减小D ．当x ＞2时，y 随x 增大而增大6．已知m 是方程210x x --=的一个根，那么代数式2m m -的值等于（）A ．1B ．0C ．1-D ．27．如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，图象上有两点分别为A （2.18，﹣0.51）、B （2.68，0.54），则方程ax 2+bx +c =0的一个解只可能是（）A ．2.18B ．2.68C ．﹣0.51D ．2.458．某同学将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数2210y ax ax a =-+<（）的图象，那么她所选择的x 轴和y 轴分别为直线（）A ．14m m ，B ．25m m ，C ．36m m ，D ．24m m ，二、填空题16．一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有元．三、计算题17．（1）228=0x x --，（2）()2121x x -=+．四、作图题18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB 的顶点坐标分别为()0,0O ，()5,0A ，()4,3B -．将OAB 绕点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△，点A 旋转后的对应点为A '．(1)画出旋转后的图形OA B ''△，并写出点A '的坐标：(2)求线段BB '的长．五、证明题19．关于x 的一元二次方程2240x mx m -+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．六、解答题20．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+2x ＋c 的部分图象经过点A (0，－3)，B (1，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出y ＜0时，x 的取值范围．七、作图题22．已知二次函数2=23y x x --．(1)求二次函数2=23y x x --图象的顶点坐标；(2)在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数2=23y x x --的图象；(3)结合图象直接写出自变量03x ≤≤时，函数的最大值和最小值．八、问答题23．小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．九、解答题24．随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）（1）求出w与x的关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．十一、解答题26．已知抛物线242(0)y ax ax a =-+≠过(1,)A m -，(2,)B n ，(3,)C p 三点．(1)求n 的值（用含有a 的代数式表示）；(2)若0mnp <，求a 的取值范围．(1)依题意补全图形；用等式表示(2)若2DG DF =，用等式表示线段十三、解答题28．定义：在平面直角坐标系B ．点P 为平面内任意一点，若中点”．特别地，当PA 物线223y x x =-与（1）若点C 是线段OM。
北京市第八中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷
北京市第八中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷一、单选题1．在平面直角坐标系中，点()3,4A -关于原点对称的点的坐标是（）A ．()3,4B ．()3,4-C ．()3,4--D ．()4,3-2．已知O 的半径为4，如果OP 的长为3，则点P 在（）A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．不确定3．若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有一个根为1，则另一个根的值为（）A ．3B ．3-C ．32-D ．124．如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点E ，74AEC ∠=︒，36ABD ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．148︒D ．140︒5．在圆、正六边形、平行四边形、等腰三角形、正方形这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++如图所示，则关于x 的方程240ax bx c ++-=的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有实数根7．如图，点O 为线段AB 的中点，90ACB ADB ∠=∠=︒，连接OC ，OD ．则下面结论不．一定成立的是（）A ．OC OD=B ．BDC BAC ∠=∠C ．180BCD BAD ∠+∠=︒D ．AC 平分BAD∠8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为()1,P k -，且经过点()3,0A -，其部分图象如图所示，下面四个结论中，①0abc >；②2b a =-；③若点(),N t n 在此抛物线上且n c <，则0t >或2t <-；④对于任意实数t ，都有()()2110a t b t -++≤成立．正确的有（）个A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题9．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x =1的抛物线的表达式y =．10．将抛物线2y x =向左平移1个单位，向下平移3个单位，得到的拋物线表达式是．11．O 的直径为17cm ，若圆心O 与直线l 的距离为7.5cm ，则l 与O 的位置关系是（填“相交”、“相切”或“相离”）．12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m 2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm ，则可列方程为．13．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，点C 为劣弧 AB 上的点，过点C 的切线分别交PA ，PB 于点M ，N ．若8PA =，则PMN 的周长为．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()2310y a x a =-+<的顶点坐标是；若点()12,y ，()26,y 在此抛物线上，则1y ，2y ，1的大小关系是（用“<”号连接）．15．已知二次函数()222y a x a =--，当14x ≤≤时，函数值y 的最大值为4，则a 的值为．16．如图，以()0,1G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，点E 为G 上一动点，CF AE ⊥于F ，则弦AB 的长度为；当点E 在G 的运动过程中，线段FG 的长度的最小值为．三、解答题17．解方程：(1)2410x x --=；(2)2230x x +=．18．已知：如图，ABC V 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C △，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．(1)请通过画图找到旋转中心，将其记作O ；(2)直接写出旋转方向________（填顺时针或逆时针），旋转角度________︒；(3)在图中画出111A B C △．19．如图，AB 是O 的弦，半径OD AB ⊥于点C ，若16AB =，2CD =，求O 的半径的长．20．已知关于x 的一元二次方程220mx x --=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小的正整数时，求方程的根．21．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：x L 1-01234L yL8301-m3L(1)根据表中的信息，则m 值为________；(2)求此二次函数的解析式，并用描点法画出该二次函数的图象；（不用列表）(3)一次函数3y kx =+，当03x <<时，对于x 的每一个值，都有23kx ax bx c +>++，直接写出k 的取值范围．22．如图，ABC V 中，90C ∠=︒．将ABC V 绕点B 逆时针旋转60︒得到A BC ''△．若3BC '=，4AC =，求AA '的长．23．小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．已知：如图，在四边形ABCD 中，180B ADC ∠+∠=︒．求证：点A ，B ，C ，D 在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点A ，B ，C 的O ，再证明第四个顶点D 也在O 上．具体过程如下：步骤一利用直尺与圆规，作出过A ，B ，C 三点的O ，并保留作图痕迹．步骤二用反证法证明点D 也在O 上．假设点D 不在O 上，则点D 在O 内或O 外．（i ）如图2，假设点D 在O 内．延长CD 交O 于点1D ，连接1AD ，∴1180B D ∠+∠=︒（①）．（填推理依据）∵ADC ∠是1ADD 的外角，∴11ADC DAD D ∠=∠+∠．∴1ADC D ∠>∠．∴180B ADC ∠+∠>︒．这与已知条件180B ADC ∠+∠=︒矛盾．∴假设不成立．即点D 不在O 内．（ii ）如图3，假设点D 在O 外．设CD 与O 交于点2D ，连接2AD ，∴②2180AD C +∠=︒．∵2∠AD C 是2AD D △的外角，∴22AD C DAD ∠=∠+③．∴④2AD C <∠．∴⑤180ADC +∠<︒．这与已知条件180B ADC ∠+∠=︒矛盾．∴假设不成立．即点D 不在O 外．综上所述，点D 在O 上．∴点A ，B ，C ，D 在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：(1)根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；(2)填写推理依据：①________________；(3)填空：②________，③________，④________，⑤________．24．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF AB 交CO 的延长线于点F ．(1)求证：直线DF 是O 的切线；(2)若30A ∠=︒，AC =，求DF 的长．25．投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A 处）到落地的过程中，其竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系．小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A 的竖直高度为2m ．记实心球运动路线的最高点为P ，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d （单位：m ）．训练情况如下：第一次训练第二次训练第三次训练训练成绩18.39md =2d 3d 最高点()13,2.9P ()24,3.6P ()33,3.4P 满足的函数关系式()210.13 2.9y x =--+()()220y a x h k a =-+<()230.153 3.4y x =--+根据以上信息，(1)求第二次训练时满足的函数关系式；(2)小石第二次训练的成绩2d 为______m ；(3)直接写出训练成绩1d ，2d ，3d 的大小关系．26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()22220y ax a x a =-+≠的图象与y 轴交于点A ，与直线2x =交于点B ．(1)若AB x ∥轴，求二次函数解析式；(2)记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意一点(),C C C x y ，都有2C y ≤，求a 的取值范围．27．如图，Rt ABC △中，90B Ð=°，()045ACB αα∠=︒<<︒，点E 是线段BC 延长线上一点，点D 为线段EC 的中点，连接EA ．将射线EA 绕点E 顺时针旋转α得到射线EM ，过点A作AF EM ⊥，垂足为点F ，连接FD ．(1)用等式表示线段BD 与DF 之间的数量关系，并证明；(2)求FDB ∠的大小（用含α的代数式表示）；(3)若点D 满足BC CD =，直接写出一个α的值，使得CF BE ⊥．28．在平面直角坐标系xOy 中，将对角线交点为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T e 切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”．(1)如图，正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A -，()4,0B -，()2,2C --．①在点()11,1P -，()21,1P --，()32,1P -中，正方形T 的“伴随切点”是________；②若直线y x b =-+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；(2)已知点(),1T t t -，正方形T 的边长为2．若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN 为等边三角形，直接写出t 的取值范围．。
北京市昌平区回龙观东西学区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷
北京市昌平区回龙观东西学区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷一、单选题1．如果()230m n n =≠，那么下列比例式成立的是（）A ．23m n =B ．32m n =C ．23m n =D ．32m n=2．抛物线()213y m x =--的图象开口向下，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．1m >C ．1m <D ．m 可取一切实数3．如图，在ABC V 中，DE BC ∥，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若4=AD ，2DB =，则:AE EC 的值为（）A ．0.5B ．2C ．23D ．324．ABC DEF ∽△△，若1AB =，2DE =，则ABC V 与DEF 的相似比是（）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．3:25．将函数241y x x =-+化为顶点式()()20y a x h k a =-+≠，结果是（）A ．()22y x =--B ．()225y x =--+C ．()223y x =--D ．()221y x =-+6．如图，线段AD BC ，交于点O ，由下列条件，不能得出AOB DOC ∽△△的是（）A ．OB OAOC OD=B ．OA ODOB OC=C ．OA ABOD CD=D ．AB CD∥7．关于二次函数2(2)y x =--的图象，下列说法正确的是（）A ．开口向上B ．最高点是（2，0）C ．对称轴是直线x ＝﹣2D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小8．抛物线2y ax bx c =++的部分图像如图所示，对称轴为直线1x =-，直线y kx c =+与抛物线都经过点()3,0-．下列说法：①0ab >；②40a c +<；③若()12,y -与21,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两个点，12y y <；④方程20ax bx c ++=的两根为13x =-，21x =；⑤当1x =-时，函数()2y ax b k x =+-有最大值．其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题9．函数21y x =-+的最大值是．10．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，使AB与河岸垂直，在近岸取点C ，E ，使BC AB ⊥，CE BC ⊥，AE 与BC 交于点D ．已测得40m BD =，20m DC =，24m EC =，则河宽AB 为．11．二次函数2y x =的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数图象表达式是．12．写出一个当0x >时，y 随x 增大而增大的二次函数表达式．13．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边A 上，BE 与AC 交于点F ．若4AB =，60ABC ∠=︒，1AF =，则AEAB的值为．14．如图，在边长为1的正方形网格中，ABC V 的顶点均在格点上，点M ，N 分别是AB ，AC 与网格线的交点，则MN =．15．已知二次函数221y ax x =++的图象与x 轴有交点，则a 的取值范围是．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD ，则C 点的坐标是，＋PC 的最小值是．三、解答题17．如图D E ，分别是ABC V 的边AB AC ，上的点，ADE C ∠=∠．求证：ADE ACB △△∽．18．抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 左侧，与y 轴交于C 点．(1)C 点坐标为______，ABC V 的面积为______；(2)请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式2430x x -+>的解集是______．19．已知抛物线与x 轴相交于点()30A -,，()10B ,，且过点()0,1M ．(1)求此函数的表达式；(2)求顶点坐标．20．如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △△∽，6AB =，9AE =，2DE =．(1)求EF 的长．(2)求证：90BEF ∠=︒．21．已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．(1)求这个二次函数的解析式：(2)若C 点坐标为()6,0，抛物线上是否存在点D ，使ACD 的面积为4？若存在，求出D 点坐标；若不存在，请说明理由．22．已知：Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt △OAB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时,分割得到的三角形与Rt △OAB 相似(注：在图上画出所有符合要求的线段PC,并求出相应的点C 的坐标).23．如图90ABC CDB ∠=∠=︒，AC BD ∥．(1)ABC V 与CDB △是否相似？请说明理由．(2)设10AC =，6BC =，求A 的值．24．某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面的高度为h 米，请解决以下问题：d （米）0 1.0 3.0 5.07.0h （米）3.24.25.04.21.8(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．25．佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解．根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解．佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象．x…﹣3﹣52﹣2﹣32﹣1﹣12121322…y…﹣8﹣21858m﹣98﹣2﹣15835812…（1）直接写出m的值，并画出函数图象；（2）根据表格和图象可知，方程的解有个，分别为；（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222y x tx t t =-+-．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；(2)点1,1，2,2在抛物线上，其中112t x t -≤≤+，21x t =-．①若1y 的最小值是2-，求1y 的最大值；②若对于1x ，2x ，都有12y y <，求t 的取值范围．27．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，点M 在AB 上，点N 在DC 上，且MN DE ⊥，垂足为点F ．(1)如图1，当点N 与点C 重合时，求证：MN DE =；(2)将图1中的MN 向上平移，使得F 为DE 的中点，此时MN 与AC 相交于点H ．①依题意补全图2；②用等式表示线段MH HF FN ，，之间的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 中的直线l ：34y x b =+与矩形OABC 给出如下定义：设直线l 与坐标轴交于点M ，N （M ，N 不重合），直线34y x b =-与矩形OABC 的两边交于点P ，Q（P ，Q 不重合），称线段MN ，PQ 的较小值为直线l 的关联距离，记作l d ，特别地，当MN ＝PQ 时，l d MN PQ ==．已知A （6，0），B （6，3），C （0，3）．(1)若3b =，则MN ＝______，PQ ＝______；(2)若53l d =，0b >，则b 的值为______；(3)若0b <，直接写出l d 的最大值及此时以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形的对角线交点坐标．。
北京市朝阳外国语学校2024~2025学年上学期九年级期中数学试卷
北京市朝阳外国语学校2024~2025学年上学期九年级期中数学试卷一、单选题1．抛物线y ＝x 2+1的对称轴是（）A ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝0D ．直线y ＝12．点P （2，﹣1）关于原点对称的点P ′的坐标是（）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣1，2）D ．（1，﹣2）3．下列图案中，点O 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O 对称的是（）A ．B ．C ．D ．4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是（）A ．()213x -=B ．()214x -=C ．()215x -=D ．()213x +=5．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB 的长为（）A ．B ．CD ．26．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．27．已知反比例函数y ＝﹣3x，下列结论：①图象必经过点（﹣3，1）；②图象在第二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞﹣1时，y ＞3．其中错误的结论有（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④8．已知二次函数()220y x ax a a =-+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <9．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x /℃…﹣4﹣20246…植物每天高度的增长量y /mm…41494941251…由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y 是温度x 的二次函数，那么下列三个结论：①该植物在0℃时，每天高度的增长量最大；②该植物在﹣6℃时，每天高度的增长量能保持在25mm 左右；③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长.上述结论中，所有正确结论的序号是A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③10．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的弧AP 与弧BQ 的长都为12π，且与闸机侧立面夹角30PCA BDQ ︒∠=∠=．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A ．72cmB ．10cmC ．10cmD ．82cm二、填空题11．写出一个以0和2-为根的一元二次方程:．12．若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则ac0（填“＞”或“＝”或“＜”）．13．若关于x 的方程2410x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．14．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB 长为8米，轮子的半径AO 为5米，则轮子的吃水深度CD 为米．15．在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为．16．如图，A ，B 两点在反比例函数()40y x x=>的图像上，分别过点A ，B 向坐标轴作垂线段．若四边形OCEF 面积为1，则阴影部分的面积之和为．17．在同一直角坐标系xOy 中，二次函数2y x =与反比例函数()1x 0xy =>的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A （1x ，m ），B （2x ，m ），C （3x ，m ），其中m 为常数，令123x x W x =++，那么W 的值为___________（用含m 的代数式表示）.18．如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，BED α∠=(090)α︒<<︒．在①BOD α∠=，②90OAB α∠=︒-，③12ABC α∠=中，一定成立的是（填序号）．19．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(6,0).P 是第一象限内任意一点，连接PO ，PA ．若POA m ∠=︒，PAO n ∠=︒，则我们把(),P m n 叫做点P 的“角坐标”．（1）点(3,3)的“角坐标”为;（2）若点P 到x 轴的距离为3，则m n +的最小值为．20．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a<0）经过()1,1-，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论：①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c -+-+>；③若1a =-，则关于x 的一元二次方程22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>-，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是（填写序号）．三、解答题21．解方程：()236x x x +=+．22．下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，ABC V ．求作：直线BD ，使得BD AC ∥．作法：如图，①分别作线段AC ，BC 的垂直平分线1l ，2l ，两直线交于点O ；②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；③以点A 为圆心，BC 长为半径作弧，交 AB 于点D ；④作直线BD ．所以直线BD 就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD ，∵点A ，B ，C ，D 在O 上，AD BC =，∴ AD =______．∴DBA CAB ∠=∠（______）（填推理的依据）．∴BD AC ∥．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y kx =+与双曲线6y x=的一个交点是(),3A m ．（1）求m 和k 的值；（2）设点P 是双曲线6y x=上一点，直线AP 与x 轴交于点B ．若3AB PB =，结合图象，直接写出点P 的坐标．24．如图，在ABC V 中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：DE 与O 相切；(2)若CD BF =，3AE =，求DF 的长．25．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =-+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)c 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =．(1)求t 的值；(2)已知()11,M x y ，()22,N x y 是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <，求m 的取值范围．27．如图，在三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为ABC V 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转90︒得到'AP ，连接PP '，CP '．(1)用等式表示CP '与BP 的数量关系，并证明；(2)当135BPC ∠=︒时，①直接写出P CP '∠的度数为________；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，且AOM α∠=，则称线段MN 是点A 的“α-相关线段”．例如，图1中线段MN 是点A 的“30︒-相关线段”．①在图2中画出点A的“30︒-相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α-相关线段”经过点，求α的值；αβαβ≠使得点P的“α-相关线段”和“β-相关线段”都经过点(0,4)，记PO t=，（2）若存在,()直接写出t的取值范围．。
北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．已知点()21,A y -在抛物线上，则12,y y 的大小关系正确的是（）12y y <．12y y =12y y >．不能确定．一元二次方程30=经过配方变形为22)x k -=，则的值是（）3-．7-17．将抛物线()0y ax c a =≠向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的）．开口方向改变．开口大小改变．对称轴不变．顶点位置不变α=︒，则bA．若30α=︒，则b=C．若60二、填空题9．方程240x-=的解是10．在平面直角坐标系xOy是．11．请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式12．若关于x的一元二次方程为．中，13．如图，在ABC⊥，则旋转角的度数是AD BC“”15．如图，二次函数(2y x =则自变量x 的取值范围是三、解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(),m n ，称关于x 的方程20x mx n ++=为点P 的对应方程．如图，点()1,0A -，点()1,1B ，点()2,2C -．给出下面三个结论：①点A的对应方程有两个相等的实数根；②在图示网格中，若点(P△≌△(1)求证：AOE COF(2)记四边形ABFE的面积为关系．19．已知m是方程2x x--y x=-20．已知二次函数2(1)在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；P-____________该函数的图象上（填(2)点()2,7四、证明题21．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m +-+-=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根是正数，求m 的取值范围．五、解答题22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，()()2,4,2,0A B --，将OAB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△（,A B ''分别是A 、B 的对应点）．(1)在图中画出OA B ''△，点A '的坐标为____________；(2)若点(),2M m 位于OAB 内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90︒的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．23．阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____________步；②中间小正方形的面积为____________平方步；③若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为____________；(1)小刚第一次投掷时水平距离x与竖直高度x0123水平距离/m(1)依题意补全图形；(2)求证：FD AB =；(3)DF 交BC 于点G ，用等式表示线段CE 和FG 的数量关系，并证明．六、证明题28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 不与原点重合．对于点P 给出如下定义：点P 关于点M 的对称点为P '，点P '关于直线OM 的对称点为Q ，称点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．(1)如图，已知点()(),0,1,1M t P t +，点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．①当2t =时，在图中画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；②PQ 的长度是否与t 有关?若无关，求PQ 的长；若有关，说明理由；(2)已知点()3,4,A ABC △是边长为2的等边三角形（点,,A B C 按逆时针方向排列），点N 是点B 关于点C 的“转称点”，在ABC 绕点A 旋转的过程中，当BN 最大时，直接写出此时OB 的长．。
北京市重点中学2024届九年级上学期期中检测数学试卷(含答案)
北京市重点中学2023-2024第一学期初三数学期中检测时间：90分钟满分：100分一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．二次函数的最小值是（）A．1B．-1C．2D．-22．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）是由四个图案构成，这四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有一个实数根4．将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A．B．C．D．5．用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点，，将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（）A．B．C．D．7．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在AB边上，则等于（）A．150°B．90°C．30°D．60°8．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．B．C．D．9．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系10．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．12．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是__________．13．写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数的表达式__________．14．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则__________．15．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，则不等式的解集为__________．16．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．17．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行__________秒才能停下来．18．如图，已知，，，，点D在CB所在直线上运动，以AD 为边作等边三角形ADE，则__________．在点D运动过程中，CE的最小值__________．三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．解方程：．20．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC 的延长线上，连接DE，DF，EF．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，则的面积为__________．21．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若是该方程的一个实数根，求代数式的值．22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标：__________；（2）画出将绕点按顺时针方向旋转90°所得的．23．已知：二次函数中的x和y满足下表：x…012345…y…30-10m8…（1）m的值为__________；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当时，则y的取值范围为__________．24．如图，有一块长为21m，宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．（1）如果两块绿地的面积之和为，求人行通道的宽度；（2）能否设计人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由﹒25．下面给出六个函数解析式：，，，，，．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：__________，其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当（m为正数）时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是__________；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为__________．26．在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，其中．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当时，求y的值；②若，求的值（用含a的式子表示）；（3）若对于，都有，求a的取值范围．27．如图，在中，，将BC边绕点C逆时针旋转（）得到线段CD．（1）判断与的数量关系并证明；（2）将AC边绕点C顺时针旋转得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明．②若，，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）28．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）函数①，②，③中存在不变值的是__________(填序号)；（2）函数．①若其不变长度为0，则b的值为__________；②若，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为．函数G的图象由和两部分组成，若其不变长度q满足，则m的取值范围为__________．北京市重点中学2023-2024第一学期初三数学期中检测参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．D2．B3．C4．A5．A6．A7．D8．C9．B10．B二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．11．12．13．答案不唯一，如14．15．16．且17．2018．4；三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．19．解：∴，．20．（1）是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD中，，．∵F落在边BC的延长线上，∴．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴．∴．∴．∵∴，即，∴是等腰直角三角形．（2）的面积为8．21．（1）证明：∵，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把代入方程得，即，∴．22.（1）如图所示（画图2分）；；（2）如图所示．23．解：（1）∵抛物线经过点和，∴抛物线的对称轴为直线，∴当和所对应的函数值相等，∴；故答案为：3；（2）∵抛物线经过点和，∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线解析式为．（或者写成）．（3）当时，，当时，y有最小值-1，当时，，∴当时，则y的取值范围为．故答案为：．24．解：（1）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为（米），宽为（米），根据题意得：，解得：（舍去），，答：人行通道的宽度为2米；（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，根据题意得：，解得：，∵，∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．25．解：（1）①，（a，b，c是常数，）．（2）图象如图1所示．图1（3）①③．（4）如图2，-1，0．图226，解：（1）抛物线的对称轴为直线．（2）①当时，；②．（3）①当时，∵，，∴，只需讨论的情况．若，∵时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意；若，∵，∴．∵，∴．∴．∵时，，时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意．②当时，令，，此时，但，不符合题意．综上所述，a的取值范围是．27．（1）．证明：根据题意，．∴．∵，∴．∴．（2）①．证明：延长CA至点N，使．∵，，∴．∴，．∵，∴∵，∴．∵，∴．∴．②．28．解：（1）①③（2）①∵函数的不变长度为零，∴方程有两个相等的实数根．∴．②解方程，得，．∵，∴．∴函数的不变长度q的取值范围．（3）m的取值范围为或．以上答案仅供参考，如有其它正确方法，请酌情给分！。
北京市第八中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京市第八中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1．将抛物线2y x =向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，就得到抛物线（）A ．()213y x =++B ．()213y x =--C ．()213y x =+-D ．()213y x =-+2．如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于（）A ．68°B ．64°C ．58°D ．32°3．已知⊙O 的半径是8，点P 到圆心O 的距离d 为方程2450x x --=的一个根，则点P 在（）A ．O 的内部B ．O 的外部C ．O 上或O 的内部D ．O 上或O 的外部4．用配方法解一元二次方程x 2-4x-7=0，可变形为（）A ．（x-2）2=7B ．（x-2）2=11C ．（x+2）2=7D ．（x+2）2=115．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(),a bc 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在ABC 中，35C '∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转α至AB C ''△，且B '，B ，C '三点共线．若75CDC '∠=︒，则ABC ∠=（）A ．40︒B ．60︒7．如图，过点A 作O 的切线AB ，交AB ，AC 于点E ，F ．若90A ∠=A ．y 与x 满足一次函数关系，B ．y 与x 满足一次函数关系，C ．y 与x 满足反比例函数关系，D ．y 与x 满足反比例函数关系，二、填空题14．已知二次函数2y ax =+则123,,y y y 的大小关系为三、解答题19．解方程：(1)22240--=x x(2)2++=2410x x20．下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．∥．求作：直线PQ，使得PQ l小于同学的作法：如下，（1）在直线l的下方取一点O；交直线l于点C，D（点C在左侧），连接CP；（2）以点O为圆心，OP长为半径画弧，O于点Q（点Q与点P位于直线l同侧）；（3）以点D为圆心，CP长为半径画弧，交O（4）作直线PQ；所以直线PQ即为所求．请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．(1)使用直尺和圆规，完成作图：（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明：证明：连接DP ，∵CP DQ =，∴ CP DQ =___________（填推理的依据）．∴PDC Ð=___________．∴PQ l ∥___________（填推理的依据）．21．已知关于x 的一元二次方程()()23410m x m x ----=（m 为实数），(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)若m 为整数，且该方程有一个根是负整数，求m 的值．22．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m ，地面入口宽为1m ，求该门洞的半径．23．已知二次函数2=+43y x x --．(1)求证：EH 是O 的切线，(2)若F 为 AC 中点，O 半径为25．第19届杭州亚运会成功举办，中国女篮在最后时刻取得了令人振奋的胜利，黄思静在最后一秒稳稳地抢下后场篮板，最后由王思雨完成绝杀，(1)篮球出手处距离地面的高度是___________米；(2)运动员投篮时站在三分线内还是三分线外，并说明理由（图平距离是6.75米）．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2--在抛物线(1)请选择其中的一个作法，证明它是正确的．①如图3，若45AOB ∠=︒，在图1中，连接CD ，交MN 于点Q ．求证：MQ NQ =；②如图4，若45AOB ∠=︒，在图2中，过点C 作CF OA ⊥，交MN 于点Q ．求证：MQ NQ =．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （不在坐标轴上）给出如下定义：以P 为圆心，PO 为半径的P 与y 轴的另一个交点为Q ，若在线段OQ ，P 上分别存在点M ，N ，使得MNP △为等腰直角三角形，其中90PMN ∠=︒，则称点P 是完美点．如图，若点P 的坐标为点()1,3，则在线段OQ ，P 上分别存在点()0,5M ，()2,6N ，使得MNP △为等腰直角三角形，其中90PMN ∠=︒，所以点()1,3P 是完美点．(1)下列点中是完美点的有___________（填序号）；①()3,1A ；②()2,2B (2)已知(),P m n 为抛物线2y x =上一点，若P 为完美点，求m 的取值范围：(3)已知直线l ：2y x =+，点A 为直线l 上一点，若以()00,A x y 为圆心，半径为l 的A 上无完美点，求0x 的取值范围．。
北京市海淀区北京大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024～2025学年度第一学期期中练习九年级数学学科试卷2024年11月考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名．3．答案一律填涂或书写在答题卡相应位置上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，只交答题卡，并妥善保管试卷．一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q 的坐标为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程的解是（ ）．A ．，B ．C ．，D ．，4．抛物线的顶点坐标是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．北京市2021年人均可支配收入为7.5万元，2023年达到8.18万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ）．A ．B．()3,2P -()3,2-()3,2()2,3-()3,2--20x x +=10x =21x =121x x ==11x =-21x =10x =21x =-()212y x =-+()1,2()1,2-()1,2-()1,2--144︒90︒72︒60︒()28.1817.5x +=()27.518.18x +=C ．D ．7．如图所示，在4×4的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．如图，是边长为4的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线上的一个动点，连接，将线段绕点C 逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（ ）．①；②；③；④点E 的运动过程中，的最小值是1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共16分，每题2分）9．请写出一个图象开口向上，且与y 轴交于点）的二次函数的解析式__________．10．关于x 的一元二次方程有一个根是，则__________．11．若关于x 的方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是__________．12．如图，为的直径，点C 是上的一点，，则__________°．13．点，在抛物线上，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）．14．如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B 为旋转中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C 的坐标为__________．()27.518.18x -=+()28.1817.5x -=MNP △111M N P △ABC △AD EC EC 60︒FC DF 2DC =FCD ECA ∠=∠CE CF =DF ()0,1230x x m -+=1x =m =20x x a -+=AB O e O e 70ABC ∠=︒BAC ∠=()13,A y -()22,B y 22y x =1y 2y xOy ()0,2A ()1,0B BA 90︒BC15．如图，将绕顶点C 逆时针旋转得到，且点B 刚好落在上，若，，则等于__________°．16．已知函数，下列结论：①若该函数图象与x 轴只有一个交点，则；②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a ，使得对任意实数x 都成立．所有正确结论的序号是__________．三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：（1）；（2）．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出时，x 的取值范围．19．已知m 是方程的一个根，求代数式的值．20．已知：如图，为锐角三角形，．求作：一点P ，使得．ABC △A B C ''△A B ''25A ∠=︒45BCA =∠'︒A BA '∠()211y ax a x =-++1a =()2110ax a x -++=11x a<<()211y ax a x =-++()2110ax a x -++≤24250x -=2280x x +-=xOy 22y ax x c =++()0,3A -()1,0B 0y <2220x x --=()()()22111m m m -+-+ABC △AB AC =APC BAC ∠=∠作法：①以点A 为圆心，长为半径画圆；②以点B 为圆心，长为半径画弧，交于点C ，D 两点；③连接并延长交于点P ．点P 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，．∵，∴点C 在上．∵，∴∠______＝∠______．∴．∵点D ，P 在上，∴．（__________）（填推理的依据）∴．21．如图，是等边三角形，点D 在边上，以为边作等边，连接，．求证：．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根差为1，求此时m 的值．23．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙AB BC A e DA A e PC BD AB AC =A e BC BD =12BAC CAD ∠=∠A e 12CPD CAD ∠=∠APC BAC ∠=∠ABC △AC CD CDE △BD AE BD AE =()2320m x x m -+++=垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．24．如图，是直径，是的一条弦，且于点E ，连接、和．（1）求证：；（2）若，，求的半径．25．有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长．在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了A 种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了A 种有机肥对这两种植物增长高度的影响：天数t /天1530456090金叶女贞增长的高度 3.3 6.39.612.615.919.3连翘增长的高度 1.14.09.115.636.2（1）通过分析数据，发现与t 之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于t 的函数的图象；（2）观察图象，补全表格（结果保留小数点后一位）；（3）实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）．26．已知关于x 的二次函数上两个不同的点，．（1）求顶点坐标；（2）若且时，总有，求m 的取值范围．27．已知，点D 是直线上一动点（不含B 点），连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段，连接线段，过点E 作交直线于点F ．AB O e CD O e CD AB ⊥AC BD OC ACO D ∠=∠2BE =CD =O e 1cm h 2cmh 1h 2h 43.6cm 31.2cm 221y mx mx m =-+-()11,A x y ()22,B x y 145x <<221x m =-12y y <60ABC ∠=︒BC AD AD 60︒AE ED EF AB ⊥AB图1备用图（1）如图1，点D 在点B 右侧时，①依题意补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明；③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系．28．在平面直角坐标系中，点，点为定点，对于点P 作如下变换，将点P 绕点M 逆时针旋转得到点，再将点绕点N 逆时针旋转后得到点Q ，则称点Q 为点P 的“双逆转点”．备用图1 备用图2（1）若点P 为线段上的一点，则在点，，中，点P 的“双逆转点”可能为__________；（2）若点P 的“双逆转点”在x 轴上，请写出一个满足条件的点P 的坐标__________；（3）若点P 坐标为，点Q 为点P 的“双逆转点”，①当长度最短时，求m 的值；②已知半径为2，若存在过点Q 的直线被所截得的弦长为2，则m 的取值范围为__________．EAB ∠EDB ∠BF BD AB BC BF BD AB xOy ()0,2M ()1,0N 90︒1P 1P 90︒MN ()1,1A --()1,0B -()2,1C -(),4m m +PQ N e N e初三第一学期期中练习答案和评分标准数学2024.11一、选择题（本题共6分，每小题2分）题号12345678答案CADACBBD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（答案不唯一） 10．2 11．12．2013．＞14．15．40 16．②④（答对一个给1分，多选或错选不得分）三、解答题（共68分，第17题8分，18～25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17．（1）（一个答案2分，如果只会移项给1分）（2），，．（不限方法，不全对的酌情给分）18．（1）由题意知，（2分）解得，解析式为．（3分）（2）．（5分）19．解．原式．（3分）∵，∴，（4分）∴原式．（5分）20．（1）如图所示．（2分）（2），，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．（5分）21．证明：∵，均为等边三角形，∴，，．21y x =+14()3,152x =±2280x x +-=14x =-22x =3230c a =-⎧⎨+-=⎩31c a =-⎧⎨=⎩223y x x =+-31x -<<()()222212123m m m m m =--++=--2220m m --=222m m -=231=-=-BAC BAD ABC △CDE △AC BC =CD CE =60ACB ACE ∠=∠=︒在与中，，∴≌（SAS ），（4分）∴．（5分）22．（1）∵，∴方程总有两个实数根．（2分）（2）解：∵，∴，∴，．∵方程两个根的差为1，∴或0．∴或．（5分）23．解：（1）．（2分）（2）设小路的宽为a 米，根据题意得，．（4分）整理得；，解得：（舍去），．（5分）答：小路的宽为1米．24．（1）证明；∵，∴，∵，∴．（2分）（2）解，设的半轻为r ，则．∵，∴（3分）在中，，解得．（ 5分）25．（1）（2分）（2）23～30之间均可．（4分）（3）78～86之间均可．（5分）26．（1）由题意可知：，∵，∴顶点坐标为．（2分）BCD △ACE △60AC BC ACB ACE CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩BCD △ACE △BD AE =()()()234210m m m ∆=+-+=+≥()2320x m x m -+++=()()210x m x ---=12x m =+21x =22m +=0m =2-10x ≥()()821054a a --=214130a a -+=13a =1a =OA OC =ACO A ∠=∠A D ∠=∠ACO D ∠=∠O e 2OE r =-CD AB ⊥1122CE DE CD ===⨯=Rt OCE △(()2222r r +-=3r =0m ≠()()2222121111y mx mx m m x x m x =-+-=-+-=--()1,1-法2：对称轴，当时，，∴顶点坐标为．（2分）（2）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小．∵，∴点始终在对称轴右侧，若A 、B 在对称轴右侧，，即时，∵，∴，∴，若A 、B 在对称轴异侧，，即时，关于对称轴的对称点是．∵，∴，即，∴（舍） ．综上所述：．（4分）当时，对称轴是直线，当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大．∵，，∴，，关于对称轴的对称点是 ．∵，∴，即，2122b m x a m-=-=-=1x =211y m m m =-+-=-()1,1-0m >1x =1x ≥1x <145x <<()11,A x y 2211x m =->1m >12y y <215m -≥3m ≥2211x m =-<1m <()22,B x y ()222,B x y '-12y y <225x -≥()2215m --≥1m ≤-3m ≥0m <1x =1x ≥1x <221x m =-145x <<2211x m =-<1145x <<<()22,B x y ()222,B x y '-12y y <224x -≤()2214m --≤∴，∴．（6分）综上所述：或．27．（1）①补全图形，如图所示（1分）②，（2分）理由如下：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段，∴，，∴是等边三角形，∴．∵，∴．∵在四边形中，，∴，∴．（3分）③，理由如下：（4分）延长线段至点G 使得，连结，．∵，，∴．∵是等边三角形，∴．在和中，，∴≌（SAS ），（5分），∴．∵，∴．∵，，，∴．（6分）（2）当点D 在点B 右侧时，，当点D 在点B 左侧时，．（7分）12m ≥-102m -≤<102m -≤<3m ≥180EAB BDE ∠+∠=︒AD 60︒AE AE AD =60EAD ∠=︒AED △60AED ∠=︒60ABC ∠=︒180120ABD ABC ∠=︒-∠=︒ABDE 360EAB ABD BDE DEA ∠+∠+∠+∠=︒12060360EAB BDE ∠+︒+∠+︒=︒180EAB BDE ∠+∠=︒2BF AB BD =+BA AG BD =EG EB 180EAG EAB ∠+∠=︒180EAB EDB ∠+∠=︒EAG EDB ∠=∠AED △EA ED =EGA △EBD △EA EDEAG EDB GA BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩EGA △EBD △EG EB =EF BF ⊥GF FB =BG BA GA =+GA BD =2BG BF =2BF BA BD =+2BF AB BD =+2BF AB BD =-28．（1）A ，C ．（2分）（2）答案不唯一，纵坐标为1即可．（3分）（3）①（5分）②或（7分）2m =-m≥m ≤。
北京市第一六一中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷
北京市第一六一中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．抛物线22(1)5y x =-+的顶点坐标为（）A ．(1,5)B ．(0,5)C ．(1,8)D ．(0,8)2．如果23m n =(0n ≠)，那么下列比例式中正确的是A ．32m n =B ．32m n=C ．23m n =D ．23m n=3．将抛物线23y x =-平移，得到抛物线23(2)1y x =-+-，下列平移正确的是（）A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位4．如图，点D 、E 分别在△ABC 的AB 、AC 边上，下列条件中：①∠ADE ＝∠C ；②AE DEAB BC=；③AD AEAC AB=．使△ADE 与△ACB 一定相似的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③5．已知关于x 的方程2340mx x -+=，如果0m <，那么此方程的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定6．如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，那么sin A 的值为（）A ．32B ．34C ．35D ．457．如图，在ABCD 中，点E 在边A 上，AC 与BE 交于点O ，:1:2AE ED =，则AOE 与COB 的面积之比为（）A ．1:3B ．1:9C ．1:2D ．1:48．已知二次函数22(1)y x x x t =--≤≤，当1x =-时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（）A ．11t -<≤B ．13t -<≤C ．1t ≥D ．13t ≤≤二、填空题9．满足tan 3α=的锐角α的度数是．10．如图，在BA 中，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，//,1,2DE BC AD BD AE ===，则EC 的长为.11．将二次函数225y x x =+-用配方法化成2()y a x h k =-+的形式为y =．12．点()()120,,5,A y B y 在二次函数24y x x c =-+的图象上，1y 与2y 的大小关系是．13．南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步?设矩形的长为x 步，则可列出方程为．14．如图，矩形纸片ABCD 中，AB AD >，,E F 分别是,AB DC 的中点，将矩形ABCD 沿EF 所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形ABCD 相似，则用等式表示AB 与AD 的数量关系为．15．函数224y x x m =-+满足以下条件：当23x <<时，它的图象位于x 轴的下方；当2<<1x --时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为．16．如图，已知△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点D 在AC 边上，AD ＝2CD ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，将线段DE 绕D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接AF ，若AF BE ∥，则AF 的长．三、解答题17．计算：sin 60cos30tan 45︒-︒+︒．18．解方程：(1)228x =；(2)2610x x --=．19．若a 是关于x 的一元二次方程2231x x =-的根，求代数式2(21)(25)-+-a a a 的值．20．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ∠=∠，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长．21．已知关于x 的一元二次方程()2430x m x m +-+-=(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程恰有一个实数根为非负数，求m 的取值范围．22．如图，在等腰ABC V 中，AC AB =，90CAB ∠=︒，E 是BC 上一点，将E 点绕A 点逆时针旋转90︒到AD ，连接DE 、CD ．(1)求证：ABE ACD △△≌；(2)若20CDE ∠=︒，求CED ∠的度数．23．已知二次函数22y x x c =--+，它的图象过点(2,5)A -，并且与x 轴负半轴交于点B ．(1)求二次函数的解析式和点B 坐标；(2)当22x -<<时，结合函数图象，直接写出函数值y 的取值范围；(3)若直线y kx b =+经过A ，B 两点，直接写出关于x 的不等式22+>--+kx b x x c 的解集．24．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，延长CB 到点E ，使BE BC =，连接AE ．(1)求证：四边形AEBD 是平行四边形；(2)连接OE ，若1tan 2AEB ∠=，2AC =，求OE 的长．25．圆圆发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy ．通过测量得到球距离台面高度y （单位：dm ）与球距离发球器出口的水平距离x （单位：dm ）的相关数据，如下表所示：表1直发式x （dm ）024********…y （dm ）3.843.9643.96m3.642.561.44…表2间发式x （dm ）024681012141618…y （dm ）3.36n1.680.841.402.4033.203…根据以上信息，回答问题：(1)表格中m =______，n =______；(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为1d ，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为2d ，请你比较1d 和2d 的大小，并说明理由．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,A m -，点()3,B n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)当2t =时，①直接写出b 与a 满足的等量关系；②比较m ，n 的大小，并说明理由；(2)已知点()0,C x p 在该抛物线上，若对于x <<034，都有m p n >>，求t 的取值范围．27．如图，在ABC V 中，AB AC =，120BAC ∠=︒．D 是AB 边上一点，DE AC ⊥交CA 的延长线于点E ．(1)用等式表示AD 与AE 的数量关系，并证明；(2)连接BE ，延长BE 至F ，使EF BE =．连接DC ，CF ，DF ．①依题意补全图形；②判断DCF 的形状，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A ，点B 和直线l ，点A 关于l 的对称点为点A '，点B 是直线l 上一点．将线段A B '绕点A '逆时针旋转90︒得到A C '，如果线段A C '与直线l 有交点，称点C 是点A 关于直线l 和点B 的“旋交点”．(1)若点A 的坐标为()12，，在点1(1,2)C -，2(1,0)C -，3(1,1)C --中，是点A 关于x 轴和点B 的“旋交点”的是；(2)若点B 的坐标是(0,2)-，点A 、C 都在直线2y x =+上，点C 是点A 关于y 轴和点B 的“旋交点”，求点A 的坐标；(3)点A 在以(0,)t 为对角线交点，边长为2的正方形M （正方形的边与坐标轴平行）上，直线:1l y x =-，若正方形M 上存在点C 是点A 关于直线l 和点B 的“旋交点”，直接写出t 的取值范围．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市九年级上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2017八下·嵊州期中) 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知点P1（a，3）与P2（﹣5，﹣3）关于原点对称，则a的值为（）
A . 5
B . 3
C . 4
D . -5
3. （2分）若关于x一元二次方程x2﹣10x+k+1=0有两个相等的实数根，则k的值为（）
A . 8
B . 9
C . 12
D . 24
4. （2分） (2020九上·川汇期末) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x+2）经过平移变换后得到抛物线y ＝（x﹣1）2 ，其变换是（）
A . 右移2个单位，下移1个单位
B . 右移2个单位，上移1个单位
C . 左移2个单位，上移1个单位
D . 左移2个单位，下移1个单位
5. （2分） (2018九上·东莞期中) 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）
A . a=c
B . a=b
C . b=c
D . a=b=c
6. （2分） (2017七下·莒县期末) 在直角坐标系内，将点P（1，﹣2）向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到对应点P1的坐标为（）
A . （﹣1，1）
B . （﹣1，﹣5）
C . （3，1）
D . （3，﹣5）
7. （2分）某化肥厂今年一月份某种化肥的产量为20万吨，通过技术革新，产量逐月上升，第一季度共生产这种化肥95万吨，设二、三月份平均每月增产的百分率为x，则可列方程（）
A . 20（1+x）2=95
B . 20（1+x）+20（1+x）2=95
C . 20+20（1+x）+20（1+x）2=95
D . 20（1+x）2=95-20
8. （2分）若x＝2是关于x的一元二次方程x2－mx＋8＝0的一个解，则m的值是（）
A . 6
B . 5
C . 2
D . －6
9. （2分） (2015九上·罗湖期末) 对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）
A . 抛物线开口向下
B . 对称轴是直线x=2
C . 顶点坐标是（2，1）
D . 抛物线与x轴没有交点
10. （2分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A'BC'的位置，使得点A、B、C'在同一条直线上，那么这个角度等于
（）
A . 30°
B . 60°
C . 90°
D . 120°
二、填空题 (共6题；共8分)
11. （1分）当x=________时，代数式3x2﹣6x的值等于9．
12. （1分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为________．
13. （1分） (2016九上·义马期中) 如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是________．
14. （1分）(2017·宝坻模拟) 如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则HD的长为________．
15. （3分） (2019九上·杭州月考) 的图象开口向________，顶点坐标为________，当
时，值随着值的增大而________．
16. （1分）(2017·石景山模拟) 请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y=________．
三、解答题 (共9题；共78分)
17. （10分） (2018九上·韶关期末) 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0一个根为1 。
（1）求a的值及方程的另一根．
（2）以原点为圆心，｜a｜为半径作圆，判断点P(1，1)与该圆的位置关系。
18. （5分）已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（-1，6）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．
19. （10分） (2015九上·宜昌期中) 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；
（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
20. （7分） (2019九上·海淀期中) 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当时，y的最大值为________，最小值为________.
21. （5分）阅读下面的例题，解方程（x﹣1）2﹣5|x﹣1|﹣6=0
例：解方程x2﹣|x|﹣2=0；解：令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0
解得：y1=2，y2=﹣1
当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时（不合题意，舍去）
∴原方程的解是x1=2，x2=﹣2．
22. （10分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动．
（1）当△ODP是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
（2）求△ODP周长的最小值．（要有适当的图形和说明过程）
23. （6分） (2018九上·黄冈月考) 某汽车销售公司月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出部汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出部，所有售出的汽车的进价均降低万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在部以内（含部），每部返利万元；销售量在部以上，每部返利万元．
（1）若该公司当月售出部汽车，则每部汽车的进价为________万元；
（2）如果汽车的售价为万元/部，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利
销售利润+返利）
24. （10分）(2017·临海模拟) 如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图，点O和△ABC的顶点都在正三角形的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′．
（1）
在网格中画出旋转后的△A′B′C′；
（2）
求AB边旋转时扫过的面积．
25. （15分）(2017·双柏模拟) 已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4．
（1）
求经过A、B、C三点的抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）
在抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）
在平面直角坐标系xOy中是否存在一点Q，使得以点A、B、C、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共9题；共78分)
17-1、17-2、18-1、
19-1、19-2、
20-1、20-2、
21-1、22-1、
22-2、23-1、
23-2、24-1、24-2、
25-1、
25-2、
25-3、。