极坐标与参数方程 题型总结归纳 附答案

《极坐标与参数方程》高考高频题型

除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及

（一）有关圆的题型

题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <

用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2

2

00B

A C By Ax d +++=

，算出d ，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）

思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2

2

00B

A C By Ax d +++=

第二步：判断直线与圆的位置关系

第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =

题型三：直线与圆的弦长问题

弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离

延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”

（二）距离的最值： ---用“参数法”

1.曲线上的点到直线距离的最值问题

2.点与点的最值问题

“参数法”：设点---套公式--三角辅助角

①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式

①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一

例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，

以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标

的直角坐标方程为.

这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边

（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，

xOy 1C ()sin x y α

αα⎧=⎪⎨

=⎪⎩

为参数x 2C sin()4

ρθπ

+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α

.

（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）

当时）（13

sin =+πα即当时，

，此时的直角坐标为.

（三）直线参数方程的几何意义

1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）

t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα

若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 2

2； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 2

2； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|

（5）⎪⎩⎪⎨

⎧>+<-+=-=+=+0,0

,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当

（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.

直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路

第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程

()sin()2|3d π

αα=

=+-2()6k k Z π

απ=+∈()d αP 31

(,)22

第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at

第三步：韦达定理：a c

t t a b t t =

-=+2121,

第四步：选择公式代入计算。 例如：已知直线l ：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝5＋3

2t ，

y ＝3＋1

2t

(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①

将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.① (2)将⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝5＋3

2t ，y ＝3＋1

2t

代入①式，得t 2＋53t ＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.

（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离

思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。

例如：（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参

数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （①）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （①）若射线θ=

（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．