数学笔记排列组合
高中数学培优笔记
高中数学培优笔记全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学一向是学生们比较头疼的学科之一，尤其是对于那些想要在数学方面有所突破的学生来说。
为了帮助高中生提高数学成绩，很多学生会选择参加数学培优班。
在数学培优笔记中记录了许多的知识点和解题技巧，对于学生们的学习起着非常重要的作用。
在高中数学学习中，很多学生会遇到困难和挫折，而数学培优笔记会帮助他们解决这些问题。
数学培优笔记主要包括数学基础知识、解题技巧以及题目讲解等内容。
通过阅读数学培优笔记，学生们可以更好地理解数学知识，掌握数学解题方法，提高解题能力。
数学培优笔记的内容丰富多样，既有简单的基础知识，也有复杂的解题技巧。
数学培优笔记主要包括以下几个方面：1. 数学基础知识。
数学基础知识是学习数学的基石，是其他数学知识的基础。
数学培优笔记中会包括数学基础知识的相关内容，比如数学公式、数学定理等。
通过掌握数学基础知识，学生们可以更好地理解数学知识，提高解题能力。
2. 解题技巧。
解题技巧是学生们必须掌握的内容。
在数学培优笔记中会介绍一些解题技巧，比如化简、化整、逆向思维等。
通过学习这些解题技巧，学生们可以更快更准确地解决数学问题。
3. 题目讲解。
数学培优笔记中会包括许多经典数学题目的讲解，这些题目通常是高考、竞赛等比较常见的题目。
通过阅读这些题目的讲解，学生们可以更好地理解题目的解题思路，提高解题能力。
数学培优笔记是学生们学习数学的好帮手，通过阅读数学培优笔记，学生们可以更好地掌握数学知识，提高数学解题能力。
建议学生们在平时学习中多加利用数学培优笔记，不断提高自己的数学水平。
【高中数学培优笔记】是学生们学习的有效工具，相信通过不懈的努力和坚持，高中生们一定可以在数学方面取得更好的成绩。
第二篇示例：高中数学一直被认为是让学生头疼的一门学科，但对于那些喜欢数学和有志于在数学领域有所成就的学生来说，高中数学也是一门非常有趣和挑战性的学科。
为了帮助学生更好地掌握高中数学知识，提高数学水平，下面我们就来分享一份关于高中数学培优笔记。
数学高中排列组合讲解
数学高中排列组合讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是基于高中数学课程，针对排列组合的知识点进行深入讲解。
排列组合是组合数学的基础，对于培养学生的逻辑思维、抽象思维和问题解决能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将掌握排列组合的基本原理，学会运用排列组合知识解决实际问题，为后续学习概率论打下坚实基础。
2、教学对象本次教学的对象为高中一年级学生，他们在之前的学习中已经掌握了基本的数学知识，如数学运算、方程、不等式等，具备一定的逻辑思维和抽象思维能力。
然而，排列组合作为一门新的知识点，对学生来说可能存在一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，因材施教，使学生在轻松愉快的氛围中掌握排列组合知识。
同时，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养和应用能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解排列组合的概念，掌握排列、组合的计算公式。
（2）能够运用排列组合知识解决实际问题，如计数问题、概率问题等。
（3）培养运用数学符号和术语进行表达、推理的能力。
（4）提高数学思维能力，尤其是逻辑思维和抽象思维能力。
2、过程与方法（1）通过实例引入排列组合的概念，引导学生发现规律，总结计算方法。
（2）采用问题驱动的教学方法，让学生在解决实际问题的过程中，掌握排列组合知识。
（3）运用小组讨论、合作探究等方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（4）设计不同难度的练习题，使学生在梯度训练中提高解题技巧和思维能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养良好的学习态度。
（2）引导学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，提高学生的数学素养。
（3）培养学生勇于探索、善于思考的品质，增强克服困难的信心和勇气。
（4）通过小组合作，培养学生的团队精神，学会尊重他人、倾听他人意见。
（5）培养学生严谨、踏实的学术态度，树立正确的价值观，认识到知识的力量。
在教学过程中，教师应关注学生的全面发展，将知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观三者有机结合，以提高学生的数学素养和综合能力。
数学高二选修一笔记知识点
数学高二选修一笔记知识点在高二数学选修一中，我们将学习一些数学的深入知识和技巧，帮助我们更好地理解和应用数学。
以下是我整理的一些重要知识点，希望对你有所帮助。
1. 多项式函数多项式函数是由常数和变量的幂次方的和组成的函数。
我们通常用最高次项的幂次来表示多项式的次数。
例如，f(x) = 3x^2 + 2x + 1是一个二次多项式函数，其中2是最高次项的系数，2和1是次高次项和常数项的系数。
2. 反函数如果一个函数f(x)的定义域和值域可以互相对应，那么它的反函数存在。
记作f^{-1}(x)。
反函数的特点是它们将原函数的输入和输出进行交换。
例如，如果f(x) = 2x+3，那么它的反函数是f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}。
3. 三角函数三角函数是描述角度和三角形边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们分别定义为三角形的边长之比，例如在一个直角三角形中，sinθ等于对边与斜边的比值。
4. 导数导数是描述函数变化率的工具，可以衡量函数在某一点的斜率。
对于函数f(x)，它的导数可以记为f'(x)或\frac{{df(x)}}{{dx}}。
导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率。
5. 积分积分是导数的逆运算，描述函数曲线下的面积。
对于函数f(x)，其在区间[a, b]上的积分可以表示为\int_a^b {f(x) \, dx}。
积分的几何意义是曲线下方与x轴之间的面积。
6. 概率概率是描述随机事件发生可能性的数值，用介于0和1之间的数表示。
常见的概率模型有随机变量、事件和概率分布等。
概率的计算可以通过频率或数学模型等方法进行。
7. 矩阵与线性方程组矩阵是由数按照矩形排列而成的二维数组。
在线性代数中，我们学习如何用矩阵和向量来表示和求解线性方程组。
矩阵的运算包括加法、乘法和求逆等。
8. 排列组合排列组合是描述对象排列和选择方式的数学工具。
为知笔记 数学公式(一)
为知笔记是一款功能强大的笔记软件，不仅可以记录文字、图片、链接等内容，还可以支持数学公式的输入和展示。
下面我们来列举一些常见的数学公式，并举例说明在为知笔记中如何使用。
1. 一元二次方程一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / (2a)。
在为知笔记中，我们可以使用LaTeX语法输入一元二次方程的公式，并且通过预览功能查看效果。
例如，我们可以输入以下公式：\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]2. 求和公式求和公式是数学中常用的公式之一，表示对一组数进行求和操作。
常见的求和公式包括等差数列求和公式、等比数列求和公式等。
在为知笔记中，我们可以使用LaTeX语法输入求和公式，并且通过预览功能查看效果。
例如，我们可以输入以下公式：\[ S_n = \frac{{n(a_1 + a_n)}}{2} \]3. 求导公式求导是微积分中的重要内容，求导公式包括常数求导、幂函数求导、指数函数求导、三角函数求导等。
在为知笔记中，我们可以使用LaTeX语法输入求导公式，并且通过预览功能查看效果。
例如，我们可以输入以下公式：\[ \frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1} \]4. 泰勒展开公式泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，泰勒展开公式可以用来计算函数在某一点的近似值。
在为知笔记中，我们可以使用LaTeX语法输入泰勒展开公式，并且通过预览功能查看效果。
例如，我们可以输入以下泰勒展开公式：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 +\cdots \]5. 概率公式概率是数学中的重要分支，常见的概率公式包括排列组合公式、贝叶斯定理、期望和方差公式等。
数学运算笔记
数字推理数学运算第一点：你在开始做数学运算部分的题目的时候，前两道题如果是整数的性质的题目，你要注意使用整除性。
被2整除的特点：偶数被3整除的特点：每位数字相加的和是3的倍数被4和25整除的特点：末两位所构成的数字能够被4整除被5整除的特点：末位数字是0或5被6整除的特点：兼被2和3整除，即是偶数，且每位数字相加的和是3被7整除的特点：数字的最后一位乘以2与前面剩下的数字所组成的数做差，差能被7整除；或将原数字的后三位与前面的数字分成两部分，作差，差能被7整除被8和125整除的特点：末三位所构成的数字能够被8整除被9整除的特点：每位数字相加的和是9的倍数被10整除的特点：不解释（囧）被11整除的特点：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之间的差是11的倍数。
（2010年9.18联考第一题）36、在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是( )?A 237B 258C 279D 290设被除数、除数、商、余数分别是a、b、c、d,你很容易知道a+b+c+d=319,a=21b+6,c=21,d=6b=3k+1 a=63k+27（北京社招2005-11）两个整数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？( )A.2353B.2896C.3015D.34569的倍数之后奇偶性（2010年4.25联考第二题）n为100以内的自然数，那么能令2^n－1被7整除的n 有多少个？A.32B. 33C.34D.35循环的即三的倍数第二点，在后面的应用题中，你碰到题目少条件的要考虑整除性。
例如：（2009年国考）109、甲乙共有图书260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有多少本?A.75B.87C.174D.67甲的书只能是100或200本之后分析只能是100本（2008国考）小华在练习自然数求和。
从1开始，数着数着他发现自己重复数了一个数，在此情况下他将所数的全部数求平均数得7.4。
数字的排列组合
数字的排列组合数字的排列组合是数学中非常重要的一个概念。
在许多领域中，排列组合都扮演着重要的角色，例如概率论、统计学、密码学等。
通过对数字的排列和组合，我们可以得到更多的可能性和变化。
一、排列排列是指对给定的元素按照一定的顺序进行组合。
在排列中，元素之间的顺序是重要的。
对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行排列的方式有P(n, k)种，其中P表示排列数。
排列数的计算公式如下：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
而k!表示k的阶乘。
二、组合组合是指对给定的元素进行选择但无需考虑元素之间的顺序。
在组合中，元素之间的顺序是无关紧要的。
对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行组合的方式有C(n, k)种，其中C表示组合数。
组合数的计算公式如下：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)三、应用案例1. 抽奖活动假设有10个人参加抽奖活动，其中只有3个奖品可供选择。
那么计算中奖的可能性就是一个排列问题。
根据排列数的计算公式，可以得知这个活动中中奖的可能性为P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720种。
2. 密码破解在密码学中，如果一个密码由n个字符组成，每个字符有k种选择，则密码的可能性为k的n次方。
例如，一个有6位数字组成的密码，而每一位数字有10种选择（0-9），那么密码的可能性就是10的6次方，即1000000种。
这个例子中，我们考虑的是排列问题。
3. 组合投资假设你有1000元的资金可以用于投资，那么你可以选择将资金分配到不同的投资项目上。
假设有5个投资项目可供选择，而你最多只能选择3个项目进行投资。
这个例子中，我们考虑的是组合问题。
根据组合数的计算公式，可以得知你有C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种不同的组合方式。
总结：数字的排列组合在数学中具有重要的意义，它们在实际生活中有着广泛的应用。
排列组合(讲义部分)
1、排列组合定义：题干当中给出两组或两组以上的对象或信息，在答案中需要考生对排列组合结果进行判断。
历年国考“排列组合”题量解题原则：1、最大信息优先2、确定信息优先3、顺藤摸瓜解题方法：一、带入排除法1.甲、乙、丙、丁是四位天资极高的艺才家，他们分别是舞蹈家、画家、歌唱家和作家，尚不能确定其中每个人所从事的专业领域，已知：（1）有一天晚上，甲和丙出席了歌唱家的首次演出。
（2）画家曾为乙和作家两个人画过肖像。
（3）作家正准备写一本甲的传记，他所写的丁传记是畅销书。
（4）甲从来没有见过丙。
下面哪一选项正确地描述了每个人的身份？（）A.甲是歌唱家，乙是作家，丙是画家，丁是舞蹈家B.甲是舞蹈家，乙是歌唱家，丙是作家，丁是画家排列组合（讲义部分）C.甲是画家，乙是作家，丙是歌唱家，丁是作家D.甲是作家，乙是画家，丙是舞蹈家，丁是歌唱家2.李老师、王老师、张老师在同一所大学教语文、数学和外语，按规定每人只担任其中一门课。
而且①李老师上课全部用汉语。
②外语老师是该校一个学生的舅舅。
③张老师是女教师，她的女儿考大学之前，经常向数学老师请教。
请判定他们各自上的课程是：A.李老师上语文，王老师上外语，张老师上数学B.王老师上语文，李老师上外语，张老师上数学C.张老师上语文，王老师上外语，李老师上数学D.王老师上语文，张老师上外语，李老师上数学解题方法：二、列表法3.小红、小兰和小慧三姐妹，分别住在丰台区、通州区、朝阳区。
小红与住在通州的姐妹年龄不一样大，小慧比住在朝阳区的姐妹年龄小，而住在通州的姐妹比小兰年龄大。
那么按照年龄从大到小，这三姐妹的排序是（）。
A.小红、小慧、小兰B.小红、小兰、小慧C.小兰、小慧、小红D.小慧、小红、小兰4.某办公室有三位工作人员：刘明、庄嫣和文虎。
他们三人中，一人是博士，一人是硕士，还有一人是本科毕业生。
已知博士比刘明大两岁；庄嫣与本科毕业生同岁，但是月份稍大；本科毕业生的年龄最小。
高考数学复习：排列与组合
【解析】(1)选C.至少要甲型和乙型电视机各一台可分 两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的 取法有 C52C14 C15C24 =70种.
【一题多解微课】解决本题(1)还可以采用以下方法: 选C.至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另 一种型号的电视机,故不同的取法共有 C39 C34=7C035 种.
【解析】方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前
排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人
坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类
情况下,划分“乙丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”
三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下
算法:
A24
A12
A55
A
2 4
A14
A55
=8
640(种).
捆绑法
插空法 除法
间接法
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻几个元素看 作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆 绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元 素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排 列的空中
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后, 再除以已定元素的全排列
对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化 的方法
1
Cm n1
【常用结论】 1.排列与组合的区别
排列
排列与顺序有关
两个排列相同,当且仅当 这两个排列的元素及其排 列顺序完全相同
组合
组合与顺序无关
两个组合相同,当且仅当 这两个组合的元素完全相 同
2.巧记组合数的性质
性质
Cmn
Cnm n
记忆策略
从n个不同元素中取出m个元素的方法 数等于取出剩余n-m个元素的方法数.
排列组合学习笔记
排列组合学习笔记
排列组合学习笔记
⼀.定义
P (m ,n )表⽰在n 个数中选取m 个数，所有排列的总数。
例如我找n 个⼈来，任意选m 个⼈来排队，总共有多少种不同的排法。
PS :P (m ,n )=A (m ,n )
C (m ,n )表⽰在n 个数中选出m 个数，总共有多少种组合⽅式。
⼆.计算公式
P (m ,n )=n (n −1)(n −2)...(n −m +1) 这个没有什么好讲的了，⽤乘法原理就可以了C (m ,n )=P (m ,n )P (m ,m )=n !
(n −m )!m ! 这个解释起来也很简单，我们先算出P (m ,n ) ，下⼀步要去重，我们k 个数有P (k ,k )个排列，但是在组合中，我们只算⼀次，所以我们要除以⼀个P (k ,k )，这样就得出来了它的计算公式。
三.组合公式的变式
C (m ,n )=C (n −m ,n ) (1)
这个公式还算好理解，想象⼀下，我们有n 个同学，我们要选出m 个同学打扫卫⽣。
换⼀种思路来说就是让(n −m )个同学不⽤打扫卫⽣，⽤数学公式来表达就是公式(1)了。
剩下的有点难，到时候再说吧。
四.没了！
Processing math: 100%。
二年级上册数学重点知识点总结笔记
二年级上册数学重点知识点总结笔记一、数的认识1.熟练掌握100以内数的读法和写法，理解个位、十位上的数表示的意义。
2.掌握100以内数的顺序，会比较大小，能正确描述100以内数的大小关系。
3.熟练掌握100以内数的加减法，理解加减法的含义，能正确进行计算。
4.掌握连加、连减和加减混合运算的顺序，能正确进行计算。
二、图形的认识1.认识长方形、正方形、三角形和圆，了解它们的基本特征。
2.会用简单的图形拼图，培养空间想象能力。
3.能正确辨认从不同位置观察到的简单物体的形状。
三、长度单位的认识1.认识厘米和米，知道1米=100厘米。
2.会用刻度尺测量物体的长度，会进行简单的长度单位换算。
3.了解线段，会画线段，能比较线段的长短。
四、重量单位的认识1.认识克和千克，知道1千克=1000克。
— 1 —2.会用天平称物体的重量，会进行简单的重量单位换算。
3.了解生活中的常见物品的重量，培养实际应用能力。
五、时间的认识1.认识钟表，会读整时和半时的时间。
2.了解时、分、秒的关系，会进行简单的时间单位换算。
3.养成良好的生活习惯，珍惜时间。
六、统计与概率的认识1.了解简单的统计图表，会看图表中的数据。
2.了解概率的基本概念，会用“可能”、“一定”、“不可能”描述事件发生的可能性。
3.培养数据分析观念，能用数据解决实际问题。
七、数学广角1.了解简单的排列组合知识，会进行简单的推理。
2.了解简单的逻辑推理方法，能用排除法解决问题。
3.培养逻辑思维能力，能用数学方法解决实际问题。
以上是二年级上册数学的重点知识点总结笔记，希望能帮助学生更好地掌握数学知识并提高应用能力。
八、解决问题1.熟练掌握解决问题的基本步骤：理解题意、分析数量关系、选择算法、进行计算、检验结果。
2.学会用画图、列表等方法帮助理解题意和分析数量关系。
— 2 —3.能解决简单的实际问题，培养应用意识和解决问题的能力。
九、数的估算1.了解估算的意义，能进行简单的估算。
高考数学复习“应试笔记”(排列组合二项式定理概率统计矩阵与变换)
江苏高考数学复习“应试笔记”江苏高考·数学解题·高分策略——难点突破与培优提高第I卷160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A1．集合1．知识点（1）集合的表示方法．3种．列举法．（2）元素与集合的关系．2种．∈，/∈．（3）集合与集合的关系．重点：A⊆B，A≠⊂B，A＝B．（4）集合的交、并、补运算．（5）常用数集的符号．①任何一个集合是它本身的子集，记为A⊆A；2．方法（1）利用数轴进行集合运算．（2）分清集合中的元素是什么，选择适当的方法进行运算．3．主要结论及其得出方法．若A＝{a1，a2，…，a n}，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．4．注意点（1）空集是任何集合的子集，记为∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集．（2）A⊆B需分两种情况：①A＝∅，②A≠∅．（3）集合运算的结果需用集合表示，定义域、值域都要用集合表示．A2．基本初等函数1．知识点（1）函数的概念．非空数集间的一种特殊的对应关系．（2）函数值的求法，需要在定义域内，注意分段函数值．（3）定义域的几种类型．①分母；②对数；③偶次方根；④正切；⑤实际问题．本质上是解不等式或不等式组．（4）函数单调性的定义．注意区间内的任意性．（5）函数奇偶性的定义及其图象特征．（6）函数周期性的定义及其图象特征．（7）基本初等函数的图象及其分布、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性．（8）指数、对数的意义及其运算法则．（9）方程的近似解的判断．计算端点处的函数值．（10）导数①导数的概念及其几何意义．②常见函数的导数． ③导数的运算法则．④导数与函数单调性的关系． 2．方法（1）画函数图象的方法①已知基本初等函数，直接画出． ②利用区间的两个端点，简易画出． ③利用导数，求出拐点，精确画出． ④分段函数分开画出，并合并． ⑤含参数的函数分类讨论． （2）函数单调性的求法①基本初等函数，直接写出．②复合函数的单调性，特别要注意定义域．如：y ＝log 2(x 2－2x －3)． ③迭加函数．如y ＝x ＋ln x (x ＞0)． ④复杂函数．利用导数． （3）函数最值的求法①研究函数的单调性，从而得出函数的图象．②换元或变形转化为基本初等函数．但要注意换元或变形后的字母的取值．如：y ＝x ＋1－x ． ③利用基本不等式．一个最明显的形式是：分式有倒数．或有两个变量．（4）方程问题、不等式问题、存在性问题、恒成立问题常用分离参数转化为函数问题．如： ①若关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0在区间[－1，4]上有解，求实数a 的取值范围． 此问题可以转化为a ＝－x 2＋2x 在区间[－1，4]上有解，即： 函数y ＝a 与函数y ＝－x 2＋2x (x ∈[－1，4])的图象有交点．②若关于x 的不等式2－x 2＞|x －a |至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．此问题可以转化为在轴的左边函数f (x )＝2－x 2的图象有在函数g (x )＝|x －a |的图象的上方部分． ③已知f (x )＝ax 3－3x ＋1，当x ∈[－1，1]时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的值． 此问题可以转化为：1)x ∈(0，1]，a ≥(3x －1x3)max ，且2)x ＝0，a ∈R ，且3)x ∈[－1，0)，a ≤(3x －1x3)min ．（5）求函数的解析式 ①待定系数法． ②比较法．（6）分类讨论，研究函数图象的局部形状． 4．常用结论（1）函数f (x )在x ＝0时有意义，则f (x )为奇函数的必要条件是f (0)＝0． （2）增函数＋增函数是增函数；增函数－减函数是增函数；减函数＋减函数是减函数；减函数－增函数是减函数． （3）偶函数±偶函数是偶函数；奇函数±奇函数是奇函数；偶函数×(÷)偶函数是偶函数；偶函数×(÷)奇函数是奇函数； 奇函数×(÷)奇函数是偶函数． （4）函数图像的对称性①对于函数y ＝f (x )，若存在常数a ，b ，使得函数定义域内的任意x ，都有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称． 当a ＝b 时，f (x )的图像关于直线x ＝a 对称. f (x )＝f (2a －x )．.对于函数y ＝f (x )，若存在常数a ，b ，使得函数定义域内的任意x ，都有f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于点(a ＋b2，0)对称． 当a ＝b 时，f (x )的图像关于点(a ，0)对称．f (x )＝－f (2a－x )．②函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图像关于直线y ＝0对称； 函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于直线x ＝0对称； 函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点(0，0)对称．（5）奇函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上也是递增的；偶函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上是递减的． A4．逻辑1．命题的否定与否命题命题p ⇒q 的否定与它的否命题的区别：命题p ⇒q 的否定是p ⇒﹁q ，否命题是﹁p ⇒﹁q .命题“p 或q ”的否定是“﹁p 且﹁q ”，“p 且q ”的否定是“﹁p 或﹁q ”． 2．全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )；全称命题p 的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )． 存在性命题p ：∃x ∈M ，p (x )；特称命题p 的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )． 3．充要条件的判断．4．互为逆否的两个命题是等价的． 5．“p 或q ”、“p 且q ”的真假性及解题规范．A5.排列、组合和二项式定理（附加题部分） 1．知识点（1）两个计数原理①加法原理：完成一件事是分类的．总方法数用加法． ②乘法原理：完成一件事是分步的．总方法数用乘法． （2）两个计数模型①排列模型：从n 个不同元素中选出m 个不同元素排成一列．与顺序有关． ②组合模型：从n 个不同元素中选出m 个不同元素放在一起．与顺序无关． 主要计算公式： A m n ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·(n －m ＋1)．(n ，m ∈N *，并且m ≤n )． A nn ＝n ·(n －1)·(n －1)·(n －2)·…·2·1＝n ！．A m n ＝n !(n －m )!．0！＝1． C mn ＋1＝C m n－1＋C mn ．C mn ＝A m n A m m ＝n !m !(n －m )!(n ，m ∈N *，且m ≤n )．C m n ＝C n n－m． （3）二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n其中，n ∈N *． 二项式系数、系数，通项公式．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n． C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1． 2．方法（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：①直接法：用加法原理（分类）用乘法原理（发步）⎩⎨⎧位置分析法，元素分析法，插入法（不相邻问题），捆绑法（相邻问题）．②间接法：即排除不符合要求的情形 ③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）．②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）．③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）．④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）．⑤先选后排法．⑥至多至少问题间接法，分类法．⑦相同元素分组可采用隔板法．如：方程x ＋y ＋z ＝100的正整数解的个数． ⑧涂色问题先分步考虑至某一步时再分类．⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组，别忘除以n ！． ⑩最原始的方法：逐个列举，往往是最好的方法．（3）解决二项式问题的基本方法是从通项入手．T k ＋1＝C k n a n －k b k． （4）有关系数和的问题用赋值法，对组合恒等式的证明常用到：①求导后赋值；②赋值；③k C k n ＝n C k －1n －1A6．概率、统计 【必修部分】 1．知识点（1）概率的计算公式①古典概型：P (A )＝A 包含的基本事件数基本事件的总数＝mn ．②几何概型：P (A )＝d 的测度D 的测度．【注意】测度可以是长度、面积、体积等．③互斥事件A ，B 至少有一个发生的概率计算公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． ④对立事件的概率计算公式是：P (－A )＝1－P (A )．（2）统计中的抽样方法①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取．②分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）．③系统抽样．即分组，只需要用简单随机抽样抽取第一组的一个，然后在其它组的同样位置抽取样本．（3）统计中的样本特征数①一组数据x 1，x 2，…，x n 的样本平均数：－x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝1n i =1∑nx i②一组数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n [(x 1－－x )2＋(x 2－－x )2＋…＋(x n －－x )2]＝1n i =1∑n (x i －－x )2＝1n (i =1∑n x i 2)－(1n i =1∑nx i )2；标准差＝s 2．【注意】两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝ax i ＋b 的平均数、方差、标准差的关系．（4）统计中的表、图①频率分布表(分组、频数、频率、累积频率)②频率分布直方图（横坐标：样本分组；纵坐标：频率组距）a ．频率＝频数样本容量；b ．小长方形面积＝组距×频率组距＝频率；c ．所有小长方形面积的和＝1．③茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图． 2．方法（1）概率计算中，计数常用方法：列举法、树状图等，一般情况下不需要用到排列、组合知识，有初中的知识就足够了． （2）平均数、方差的计算． 【附加题部分】 1．知识点（1）概率分布（概率分布列、概率分布表） （2）随机变量X ．（3）数学期望：若离散型随机变量X 的概率分布为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望，简称为期望． （4）几个分布①两点分布：随机变量X 只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1，“读成X 服从两点分布”．②超几何分布：随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C M r C N －Mn －rC Nn， 其中r ＝0，1，2，3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C M r C N －Mn －r C Nn记为H (r ；n ，M ，N )． 超几何分布的数学期望：E (X )＝nMN．③二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的概率均为p ，那么在这n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，3，…，n ．即P n (k )＝C k n p k q n －k是二项式(q ＋p )n 展开式中的通项，故称X 服从参数n ，p 的二项分布，记为X ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，n 表示重复的次数，p 指在一次试验中事件A 发生的概率． 二项分布的数学期望E (X )＝np ．（5）独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A •B )＝P (A )•P (B )；独立事件重复试验的概率计算公式是：P n (k )＝C kn p k (1－p )n －k ．条件概率：称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．A7．矩阵与变换（附加题部分） 1．知识点（1）二阶矩阵与列向量的乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y ．（2）常见的6个变换恒等变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，也叫单位矩阵；伸压变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ＞0)；投影变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0；反射变换⎣⎡⎦⎤0 11 0；旋转变换⎣⎡⎦⎤cos θ－sin θsin θ cos θ(逆时针方向)；切变变换⎣⎡⎦⎤1 k 0 1，⎣⎡⎦⎤1 0k 1．（3）二阶矩阵的乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 12b 21b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21a 21b 12＋a 22b 22． （4）复合变换：AB (先B 后A ，不得交换)（5）矩阵的逆矩阵：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，A 也是B 的逆矩阵．二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ab cd (ad －bc ≠0)的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc (可直接使用，但须写上公式)． （6）特征向量、特征值、特征多项式二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．几何解释：特征向量的方向经过矩阵A 对应的变换作用后，保持在同一直线上．当λ＞0时，方向不变；当λ＜0时，方向相反；当λ＝0时，特征向量就被变换成向量0．对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征多项式．（7）行列式：⎪⎪⎪⎪abcd ＝ad －bc ．2．方法（1）二阶矩阵将点变换成点．（2）一般情况下，二阶矩阵将直线变换成直线．（3）求曲线C 在二阶矩阵对应的变换作用得到的曲线C 1的方程．如： 求出曲线y ＝ln x 在矩阵⎣⎡⎦⎤0 11 0作用下变换得到的曲线．第一步：在曲线y ＝ln x 上任取一个点P'(x'，y')，在矩阵⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下变为点P (x ，y )．第二步： 由⎣⎡⎦⎤0 11 0⎣⎡⎦⎤x'y'＝⎣⎡⎦⎤x y ，所以有y'＝x ，x'＝y ． 第三步： 因为y'＝ln x'，所以x ＝ln y ，即y ＝e x ．所以，曲线y ＝ln x 在⎣⎡⎦⎤0 11 0作用下变为曲线y ＝e x ．附：写给忙于20XX 年江苏高考备考师生的信。
高三数学知识点总结笔记
高三数学知识点总结笔记一、函数与极限1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的取值与对应的因变量值相联系。
2. 函数的表示方法：可以用公式、图形、表格等方式表示函数。
3. 函数的性质：包括定义域、值域、奇偶性、单调性、对称轴等性质。
4. 极限的概念：极限是函数在某一点或无限趋近于某一点时的取值趋势，可以用数列极限和函数极限来表示。
5. 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数、三角函数等运算法则。
二、导数与微分1. 导数的定义：导数表示函数在某一点的变化率，是函数值关于自变量的变化率的极限。
2. 导数的计算方法：包括基本函数的导数、求导法则、高阶导数等计算方法。
3. 导数的应用：包括切线方程、极值问题、凹凸性、曲线图像等应用。
4. 微分的概念：微分是导数的基本应用，表示函数在某一点附近的近似线性变化。
5. 微分的计算方法：使用微分公式进行计算，可得到近似值。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义：不定积分是求导运算的逆运算，表示对函数求原函数。
2. 不定积分的基本性质：包括线性性、区间可加性、换元法等性质。
3. 基本积分公式：包括常用函数的原函数公式，如幂函数、三角函数、指数与对数函数等。
4. 定积分的定义：区间上函数值的加总，表示物理问题中的面积、体积、质量等。
5. 定积分的计算方法：包括定积分的性质、积分换元法、分部积分法等计算方法。
四、数列与数学归纳法1. 数列的概念：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以是等差数列、等比数列等。
2. 数列的性质：包括通项公式、前n项和、数列的极限等性质。
3. 数学归纳法：数学归纳法用于证明数学命题在自然数范围内的正确性，包括基本步骤和归纳假设。
五、排列与组合1. 排列的概念：排列是从n个不同元素中选取m个元素进行排列，包括有放回排列和不放回排列。
2. 组合的概念：组合是从n个不同元素中选取m个元素进行组合，次序不重要，包括有放回组合和不放回组合。
高考数学一轮总复习课件：排列与组合
其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600(种)．
方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个 人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进 行全排列，有 A55种方法，共有 A26×A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全 排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法， 故共有 A44×A44＝576(种)．
再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法
思考题 1 (1)(2019·上海春季高考题)某校组队参加辩 论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其 中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ___1_8_0___(结果用数值表示)．
【解析】 先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A35种情况，
∴共有 3A35＝180 种方法．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，
其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时
必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( C )
A．34 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
【解析】 程序 A 有 A12＝2(种)，将程序 B 和 C 看作一个整体 与除 A 外的元素排列，有 A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理， 实验顺序的编排方法共有 2×48＝96(种)．故选 C.
(5)分三步进行： 第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15种； 第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种； 第三步：为这 3 人安排工作有 A33种． 由分步乘法计数原理共有 C17C15C26C14A33＝12 600 种选法． 【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600
高中数学排列组合讲解
高中数学排列组合讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向高中学生讲解数学中的排列组合知识。
排列组合是数学中的重要组成部分，也是高中阶段数学学习的重点和难点。
通过本节课的学习，学生应能理解排列组合的基本概念，掌握排列组合的计算方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2、教学对象本节课的教学对象是高中学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的数学运算和逻辑思维能力。
然而，由于排列组合的概念较为抽象，学生在学习过程中可能会遇到一定的困难。
因此，作为教师，我们需要关注学生的学习情况，针对不同学生的特点和需求，采用适当的教学策略，帮助他们理解和掌握这一部分内容。
此外，考虑到高中生的认知水平和思维能力，我们将注重培养学生的逻辑推理、问题解决和团队合作能力，使他们在学习排列组合的过程中，提高自身的数学素养。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解排列组合的基本概念，掌握排列、组合的定义及其区别；（2）掌握排列组合的计算公式，并能运用这些公式解决实际问题；（3）掌握排列组合在实际问题中的应用，例如：分配问题、分组问题等；（4）培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力，提高他们解决排列组合问题的效率。
2、过程与方法（1）通过实例引入排列组合的概念，让学生在实际问题中发现排列组合的规律；（2）采用启发式教学，引导学生主动探究排列组合的计算方法，培养他们的自主学习能力；（3）组织小组讨论和合作学习，让学生在交流中碰撞思维火花，提高解决问题的能力；（4）设计丰富的课堂练习，巩固所学知识，并及时给予学生反馈，帮助他们查漏补缺；（5）运用信息技术手段，如多媒体教学、网络资源等，丰富教学形式，提高教学效果。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学习的兴趣和热情，使他们认识到排列组合在现实生活中的重要作用；（2）引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识对社会发展的贡献，增强社会责任感；（3）培养学生严谨、勤奋的学术态度，让他们在解决问题的过程中，体验数学的严密性和美感；（4）鼓励学生面对困难时保持积极的心态，培养他们克服困难的勇气和毅力；（5）通过小组合作学习，培养学生团结协作的精神，提高他们的团队意识和沟通能力。
数学笔记
数学笔记20131.速算简算①从1到N连续自然数的和是：N(N+1)÷2 （高斯求和）如：1+2+3…+100=（1+100）×100÷2即（上底+下底）×高÷2 适用于所有等差数列如：2+5+8+11+14+17+20=（2+20）×7÷2=77②从1开始的连续奇数的和是：项数的平方如：1+3+5+7+9+11+13+15=8×8=64③从2开始的连续偶数的和是：个数×（个数+1）如：2+4+6+8+10+12+14=7×（7+1）=56④从1开始连续加到N再顺次加到1的和是：N的平方如：1+2+3+…+50+49+48+47+…+3+2+1=50²=2500⑤分数裂项6. 1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+/⑥平方差：(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方：(a+b) ²=a²+2ab+b²(a-b) ²=a²-2ab+b²平方和：1²+2²+3²+…+N²=N×(N+1) ×(2N+1) ÷6整数裂项：1×2+2×3+3×4+4×5+…（n-1）×N=（n-1）×N×(N+1) ÷3 立方和: a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)2.N根射线组成的角的个数是：N(N-1)÷2 （N个人两两握手、两两比赛）3.整除（1）一个数的末尾两个数可以被4或25整除，这个数就能被4或25整除。
（2）一个数的末尾三个数可以被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
六年级上册数学笔记学霸笔记
六年级上册数学笔记学霸笔记一、加减法1.加法加法是数学中最基本的运算之一，要求掌握以下几个要点：-加法满足交换律，即a + b = b + a。
-加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
-加法满足加0不变，即a + 0 = a。
-加法满足加法逆元，即a + (-a) = 0。
2.减法减法是加法的逆运算，要求掌握以下几个要点：- a - b = a + (-b)。
-减去一个正数，相当于加上它的相反数。
-减去一个负数，相当于加上它的相反数的相反数。
例如：5 - 3 = 5 + (-3) = 2二、乘除法1.乘法乘法是数学中另一个重要的运算，要求掌握以下几个要点：-乘法满足交换律，即a × b = b × a。
-乘法满足结合律，即(a × b) × c = a × (b × c)。
-乘法满足乘1不变，即a × 1 = a。
-乘法满足乘0为0，即a × 0 = 0。
2.除法除法是乘法的逆运算，要求掌握以下几个要点：- a ÷ b = a × (1/b)。
-除以一个正数，相当于乘以它的倒数。
-除以一个负数，相当于乘以它的倒数的相反数。
例如：8 ÷ 4 = 8 × (1/4) = 2三、小数与分数的转换1.小数与分数的转换-小数转换为分数：将小数的数值写在分子上，分母为10的幂次方（根据小数点的位数决定）。
例如：0.5 = 5/10 = 1/2；0.25 = 25/100 = 1/4。
-分数转换为小数：将分子÷分母，除法的整数部分写在小数点前面，余数作为分子，分母为10的幂次方。
例如：3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75；1/6 = 1 ÷ 6 = 0.16666...(循环小数)。
2.小数的加减乘除小数的加减乘除运算与整数的运算类似，要注意小数点的位置和对齐。
理论攻坚-数学运算讲义 笔记公共科目含答案
理论攻坚-数学运算2（讲义）第四节经济利润问题一、基础经济【例1】某服装店老板卖出一件皮衣可赚10%的利润，但如果他用比原来进价低10%的价格买进，而以赚20%的利润卖出，那么他就少卖25元。
那么这件皮衣的现价为（）元。
A.1665B.1550C.1375D.1250【例2】小张收购一台手机，然后转手卖出，赚取了30%的利润。
一星期后，客户要求退货，小张和客户达成协议，以当时交易价格的90%回收了这台手机，后来小张又以最初的收购价格将其卖出。
小张在这台手机交易中的利润率是（）。
A.27%B.20%C.17%D.13%【例3】某水果店销售一批水果，按原价出售，利润率为25%。
后来按原价的九折销售，结果每天的销售量比降价前增加了1.5倍。
则打折后每天销售这批水果的利润比打折前增加了（）。
A.15%B.20%C.25%D.30%二、分段计费【例4】某城市居民用水价格为：每户每月不超过5吨的部分按4元/吨收取；超过5吨不超过10吨的部分按6元/吨收取；超过10吨的部分按8元/吨收取。
某户居民两个月共交水费108元，则该户居民这两个月用水总量最多为（）吨。
A.21B.24C.17.25D.21.33三、函数最值【例5】某电脑商城出售10种价格档位的电脑。
最低价格档位的电脑每月可售出120台，每台可获利160元。
每提升一个价格档位，则月销量就会减少10台，但单台利润可增加40元。
若某月该电脑商城只出售某一价格档位的电脑，则当月可获得的最大利润是（）元。
A.24000B.25600C.27040D.28000第五节排列组合与概率问题一、排列组合【例1】随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。
某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五位的要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（字母O、I不参与组牌），那么用这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为（）。
数学笔记排列组合
排列组合题型总结一． 直接法1． 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个）三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ）2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）五．阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
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排列组合题型总结一．直接法1．特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复得四位数,试求满足下列条件得四位数各有多少个(1)数字1不排在个位与千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位。
分析:(1)个位与千位有5个数字可供选择,其余2位有四个可供选择,由乘法原理:=2402.特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有=60,1不在千位时,千位有种选法,个位有种,余下得有,共有=192所以总共有192+60=252二．间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。
如上例中(2)可用间接法=252 例2 有五张卡片,它得正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同得三维书？分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同得三位数个,其中0在百位得有个,这就是不合题意得。
故共可组成不同得三位数-=432(个)三．插空法当需排元素中有不能相邻得元素时,宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目得节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法？分析:原有得8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有=100中插入方法。
四．捆绑法当需排元素中有必须相邻得元素时,宜用捆绑法。
例4 4名男生与3名女生共坐一排,男生必须排在一起得坐法有多少种？分析:先将男生捆绑在一起瞧成一个大元素与女生全排列有种排法,而男生之间又有种排法,又乘法原理满足条件得排法有:×=576练习1.四个不同得小球全部放入三个不同得盒子中,若使每个盒子不空,则不同得放法有种() 2．某市植物园要在30天内接待20所学校得学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同得安排方法有()(注意连续参观2天,即需把30天种得连续两天捆绑瞧成一天作为一个整体来选有其余得就就是19所学校选28天进行排列) 五．阁板法名额分配或相同物品得分配问题,适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班得学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种。
分析:此例得实质就是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种得11个空当中插入7块闸板,一种插法对应一种名额得分配方式,故有种练习1、(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时,有种(即a、b、c、d而指数只有15故。
当项中有2个字母时,有而指数与为15,即将15分配给2个字母时,如何分,闸板法一分为2,即当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种4个字母都在时四者都相加即可.练习2.有20个不加区别得小球放入编号为1,2,3得三个盒子里,要求每个盒子内得球数不少编号数,问有多少种不同得方法？()3.不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同得整数解有()六．平均分堆问题例6 6本不同得书平均分成三堆,有多少种不同得方法？分析:分出三堆书(a1,a2),(a3,a4),(a5,a6)由顺序不同可以有=6种,而这6种分法只算一种分堆方式,故6本不同得书平均分成三堆方式有=15种练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本,则有不同分法？2.某年级6个班得数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分派方法得种数。
七．合并单元格解决染色问题例7 (全国卷(文、理))如图1,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同得着色方法共有种(以数字作答)。
分析:颜色相同得区域可能就是2、3、4、5.下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此时不同得着色方法相当于4个元素①③⑤得全排列数(ⅱ)当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得种着色法.(ⅲ)当2、4与3、5分别同色时,将2、4;3、5分别合并,这样仅有三个单元格①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有种方法.由加法原理知:不同着色方法共有2=48+24=72(种)练习1(天津卷(文))将3种作物种植在如图得5块试验田里,每快种植一种作物且相邻得试验田不能种植同一作物 , 不同得种植方法共种(以数字作答) (72)2.(江苏、辽宁、天津卷(理))某城市中心广场建造一个花圃,花圃6分为个部分(如图3),现要栽种4种颜色得花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色得话,不同得栽种方法有种(以数字作答).(120)图3 图43.如图4,用不同得5种颜色分别为ABCDE五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求得不同着色种数.(540)4.如图5:四个区域坐定4个单位得人,有四种不同颜色得服装,每个单位得观众必须穿同种颜色得服装,且相邻两区域得颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同得着色方法就是种(84)图5 图65.将一四棱锥(图6)得每个顶点染一种颜色,并使同一条棱得两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同得染色方法共种(420)八．递推法例八一楼梯共10级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这10级楼梯,共有多少种不同得走法？分析:设上n级楼梯得走法为a n种,易知a1=1,a2=2,当n≥2时,上n级楼梯得走法可分两类:第一类:就是最后一步跨一级,有a n-1种走法,第二类就是最后一步跨两级,有a n-2种走法,由加法原理知:a n=a n-1+ a n-2,据此,a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89、故走上10级楼梯共有89种不同得方法。
九、几何问题1.四面体得一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点,使它们与点A在同一平面上,不同得取法有种(3+3=33)2、四面体得棱中点与顶点共10个点(1)从中任取3个点确定一个平面,共能确定多少个平面？(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)(2)以这10个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥？三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同得选派方法有( )A、1260种B、2025种C、2520种D、5054种分析:先从10人中选出2人十一.用转换法解排列组合问题例10.某人连续射击8次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同得结果有多少种.解把问题转化为四个相同得黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻得排列问题.=20种例11．个人参加秋游带10瓶饮料,每人至少带1瓶,一共有多少钟不同得带法.解把问题转化为5个相同得白球不相邻地插入已经排好得10个相同得黑球之间得9个空隙种得排列问题.=126种例12 从1,2,3,…,1000个自然数中任取10个不连续得自然数,有多少种不同得去法.解把稳体转化为10个相同得黑球与990个相同白球,其其中黑球不相邻得排列问题。
例13 某城市街道呈棋盘形,南北向大街5条,东西向大街4条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短得走法有多少种.解无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为3个相同得白球与四个相同得黑球得排列问题.=35(种)例14 一个楼梯共18个台阶12步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同得走法.解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶,因此,把问题转化为6个相同得黑球与6个相同得白球得排列问题.=924(种).例15 求(a+b+c)10得展开式得项数.解展开使得项为aαbβcγ,且α+β+γ=10,因此,把问题转化为2个相同得黑球与10个相同得白球得排列问题.=66(种)例16 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有5名队员,按事先排好得顺序参加擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现得比赛过程有多少种？解设亚洲队队员为a1,a2,…,a5,欧洲队队员为b1,b2,…,b5,下标表示事先排列得出场顺序,若以依次被淘汰得队员为顺序.比赛过程转化为这10个字母互相穿插得一个排列,最后师胜队种步被淘汰得队员与可能未参加参赛得队员,所以比赛过程可表示为5个相同得白球与5个相同黑球排列问题,比赛过程得总数为=252(种)十二.转化命题法例17 圆周上共有15个不同得点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内得交点最多有多少各？分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦得四端点为顶点得圆内接四边形,则问题化为圆周上得15个不同得点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内得交点最多有=1365(个)十三.概率法例18 一天得课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前,那么该天得课程表有多少种排法？分析:在六节课得排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前得概率相等,均为,故本例所求得排法种数就就是所有排法得,即A=360种十四.除序法例19 用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字得七位数中,(1)若偶数2,4,6次序一定,有多少个？(2)若偶数2,4,6次序一定,奇数1,3,5,7得次序也一定得有多少个？解(1)(2)十五.错位排列例20 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出得卡片,则不同得分配方法有种(9)公式 1) n=4时a4=3(a3+a2)=9种即三个人有两种错排,两个人有一种错排.2)=n!(1-+-+…+练习有五位客人参加宴会,她们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,她们得妻子都发现她们戴了别人得帽子,问5位客人都不戴自己帽子得戴法有多少种？(44)。