高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义

一、基础知识【理解去记】

1．椭圆的定义，第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离)的点的轨迹，即|P Ｆ1|+｜P Ｆ2|=2a （2ａ＞|F 1F 2|＝2ｃ）.

第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e （0<ｅ＜１)的点的轨迹(其中定点不在定直线上),即

e d

PF =|

|（0＜e<１). 2.椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程,若焦点在x 轴上，列标准方程为

若焦点在y 轴上，列标准方程为

3．椭圆中的相关概念,对于中心在原点，焦点在x ａ称半长轴长，ｂ称半短轴长，c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a ， ０), (0， ±ｂ),

4．椭圆的焦半径公式:对于椭圆=+22

22b

y a x １(a>b>0)， F １(-c, ０), F ２(c, 0)是它的两焦点。若Ｐ(x, y ）是椭圆上的

任意一点，则|PF １|＝a+ex, |PF ２|=a －ex.

5.补充知识点: 几个常用结论：

１)过椭圆上一点P(x 0, y 0）的切线方程为:

12020=+b

y

y a x x ; 2)斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=;3)过焦点F 2（c, 0)倾斜角为θ的弦的长为

θ

2

222

cos 2c a ab l -=。 6.双曲线的定义,第一定义:

满足｜｜PF 1｜-|ＰＦ２||=2a （2a ＜２ｃ=|F １F 2|, a ＞0）的点P 的轨迹； 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数e （>1）的点的轨迹。 7．双曲线的方程:中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线方程为

参数方程为⎩⎨

⎧==ϕ

ϕ

tan sec b y a x （ϕ为参数)。

焦点在ｙ轴上的双曲线的标准方程为

8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, ０)， （ａ， 0). 左、右焦点为F 1(－ｃ,０), F 2(c,

为等轴双曲线。 ９．补充知识点： 双曲线的常用结论，

1）焦半径公式，对于双曲线122

22=-b

y a x ，Ｆ１(-c,0）， F ２(c, 0)是它的两个焦点。设Ｐ（x ，ｙ）是双曲线上的任

一点,若P 在右支上，则｜PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex －a ；若Ｐ(x ，y)在左支上,则|PF 1|＝-e ｘ-a,｜PF 2|＝-ex+a.

２） 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ

2

222

cos 2c a ab -。

抛物线常用结论：若P(x 0， y 0)为抛物线上任一点, 1）焦半径|P Ｆ|＝2

p x +

; 2)过点P 的切线方程为y 0y ＝p(ｘ＋x 0）;3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

θ

2

cos 12-p

。 二、直线与圆锥曲线的位置关系

一、知识整理：

1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。

多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。 2.解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：

设线、设点, 联立、消元， 韦达、代入、化简。

第一步：讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为y=ｋx+b （或斜率不为零时,设x ＝my ＋a ）； 第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x １,y 1)B(ｘ２,y 2）;

第三步:联立方程组⎩

⎨⎧=+=0)y ,x (f b

kx y ,消去y 得关于x 的一元二次方程;

第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩

⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=

+2121x x x x

第五步:把所要解决的问题转化为x 1+x ２ 、ｘ1x 2 ,然后代入、化简。

３.弦中点问题的特殊解法----－点差法:即若已知弦AB 的中点为M(x o ，y o ），先设两个交点为Ａ(ｘ1，y １）,B(x 2,y 2）；

分别代入圆锥曲线的方程,得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。 ４.弦长公式：]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=

-+=（ k 为弦A Ｂ所在直线的斜率）

高考真题:

1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32

a x =上一点,1

2PF F ∆是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为( )

()

A 12 ()

B 23 ()

C 34 4

5

()D ﻩ 【答案】C

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.

【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， 322

c a =

,∴e =3

4,故选

∴0

260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF ＝c ，∴C ．

2．【2０12高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162

=的准线交于,A B 两点,43AB =;则C 的实轴长为( ） ﻩ()

A 2 ()

B 22 ()

C 4 ()

D 8

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题．

【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为:2

2

2

x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB ＝43,∴2216a -=43,解得a =２， ∴C 的实轴长为4，故选C.

3.【2012高考山东文１1】已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点

到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (Ｂ） 2163

x y = (Ｃ)28x y = (D)216x y = 【答案】D