万有引力与航天题型总结

第六章行星运动题型总结考点一物理学史1.在物理学发展过程中，很多科学家做出了巨大贡献，下列说法中符合事实的是( ) A．卡文迪许用扭秤实验测出了万有引力常量B．开普勒利用他精湛的数学知识经过长期计算分析，最后终于发现了万有引力定律C．牛顿运用万有引力定律预测并发现了海王星D．伽利略通过测试，分析计算发现了行星的运动规律答案A2.在物理学发展的过程中，对以下几位物理学家所作科学贡献的叙述正确的是A．开普勒根据哥白尼对行星运动观察记录的数据，应用严密的数学运算和椭圆轨道假说，得出了开普勒行星运动定律B．由于牛顿在万有引力定律方面的杰出成就，所以被称为能“称量地球质量”的人C．卡文迪许使用了微小形变放大的方法测出了万有引力常量D．天王星是利用万有引力计算出轨道的，故其被称为“笔尖下发现的行星”答案C3.牛顿提出太阳和行星间的引力F＝G后，为证明地球表面的重力和地球对月球的引力是同种力，也遵循这个规律，他进行了“月－地检验”．“月－地检验”所运用的知识是A．开普勒三定律和牛顿第二定律B．开普勒三定律和圆周运动知识C．开普勒三定律和牛顿第三定律D．牛顿第二定律和和圆周运动知识答案D4.在物理学的发展过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步．下列表述符合物理学史实的是( )A．开普勒认为只有在一定的条件下，弹簧的弹力才与弹簧的形变量成正比B．伽利略用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性C．牛顿利用实验较为准确地测出了引力常量G的数值D．卡文迪许利用实验较为准确地测出了引力常量G的数值解析：胡克认为只有在一定的条件下，弹簧的弹力才与弹簧的形变量成正比，故选项A错误；牛顿用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性，故选项B 错误；卡文迪许利用实验较为准确地测出了引力常量G 的数值，故选项C 错误，选项D 正确． 答案：D考点二 万有引力和重力的关系1.地球赤道上的重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原来转速的( )．A. 倍B.倍C.倍D.倍答案B2.一宇宙飞船绕地心做半径为r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m 的人站在可称体重的台秤上．用R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g ′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，F N 表示人对秤的压力，下面说法中正确的是( )A ．g ′＝0B ．g ′＝C ．F N ＝0D ．F N ＝m g答案C3.如图所示，一个质量均匀分布的星球，绕其中心轴PQ 自转，AB 是与PQ 互相垂直的直径．星球在A 点的重力加速度是P 点的90%，星球自转的周期为T ，万有引力常量为G ，则星球的密度为( ) A ． B ． C ． D ．答案D4.已知一质量为m 的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN ，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R .则地球的自转周期为( )A ．T ＝2π mR ΔNB ．T ＝2π ΔN mRC ．T ＝2π m ΔN RD ．T ＝2π R m ΔN解析：在北极F N 1＝GMm R 2① 在赤道：GMm R 2＝m 4π2T2R ＋F N 2② 根据题意，有F N 1－F N 2＝ΔN ③ 联立解得：T ＝2πmR ΔN，故A 正确，BCD 错误． 答案：A考点三一个特殊的推论1.设地球是一质量分布均匀的球体，O 为地心．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．在下列四个图中，能正确描述x 轴上各点的重力加速度g 的分布情况的是( )A ．B ．C ．D ． 答案A2.如图所示，有一个质量为M ，半径为R ，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()A ．GB ．GC ． 4GD ． 0答案B考点四 割补思想和等效思想的应用1.如图所示，地球半径为R ，O 为球心，A 为地球表面上的点，B 为O 、A 连线间的中点．设想在地球内部挖掉一以B 为圆心，半径为的球，忽略地球自转影响，将地球视为质量分布均匀的球体．则挖出球体后A 点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为( )A ．B ．C ．D ．答案A2. 如图6－2、3－4所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F .如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且r ＝R 2，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为( )A F 2 B.F 8 C.7F 8 D.F 4答案C 考点五 中心天体质量和密度的估算1. 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GNB.mv 4GNC.Nv 2GmD.Nv 4Gm答案B2. (多选)2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥五号”的“探路尖兵”载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥五号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础．已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G ，则( )A ．航天器的轨道半径为θs B ．航天器的环绕周期为2πt θC ．月球的质量为s 3Gt 2θD ．月球的密度为3θ24Gt 2答案BC 3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A ．110B ．1C ．5D ．10 解析：行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2可得M ＝4π2r 3GT 2，该中心恒星的质量与太阳的质量之比M M 日＝r 3r 3日·T 2日T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×365242＝1.04，答案：B4.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7.已知该行星质量约为地球质量的7倍，地球的半径为R ，由此可知，该行星的半径约为( )A.12RB.72RC.2RD.72R 解析 物体平抛时水平方向满足x ＝v 0t ，所以t 1t 2＝x 1x 2＝27；竖直方向由h ＝12gt 2得g ＝2h t 2，因此g 1g 2＝t 2 2t 1 2＝74.在星球表面物体所受的重力等于万有引力，由g ＝GM R 2得R 1R 2＝M 1g 2M 2g 1＝2，又因为R 2＝R ，所以R 1＝2R ，故选C.答案 C考点六赤道上的物体、近地、同步卫星的比较1.如图所示，a 为地球赤道上的物体；b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星；c 为地球同步卫星．关于a 、b 、c 做匀速圆周运动的说法中正确的是( )A ．角速度的大小关系为ωa ＝ωc ＞ωbB ．向心加速度的大小关系为aa ＞ab ＞acC ．线速度的大小关系为v a ＝v b ＞v cD ．周期关系为Ta ＝Tc ＞Tb答案D2. 我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a 2，近地卫星做圆周运动的速率为v 2，向心加速度为a 3，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( ) A.a 1a 2＝r RB.a 2a 3＝R 3r 3C.v 1v 2＝r RD.a 1a 2＝R 2r2 答案A 3.我国建立在北纬43°的内蒙古赤峰草原天文观测站在金鸽牧场揭牌并投入使用，该天文观测站应用了先进的天文望远镜．现有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，一位观测员在对该卫星的天文观测时发现：每天晚上相同时刻总能出现在天空正上方同一位置，则卫星的轨道必须满足下列哪些条件(已知地球质量为M ，地球自转的周期为T ，地球半径为R ，引力常量为G )( )A ．该卫星一定在同步卫星轨道上B ．卫星轨道平面与地球北纬43°线所确定的平面共面C ．满足轨道半径r ＝3GMT 24π2n 2(n ＝1、2、3…)的全部轨道都可以 D ．满足轨道半径r ＝3GMT 24π2n 2(n ＝1、2、3…)的部分轨道 解析：该卫星一定不是同步卫星，因为同步地球卫星只能定点于赤道的正上方，故A 错误．卫星的轨道平面必须过地心，不可能与地球北纬43°线所确定的平面共面，故B错误．卫星的周期可能为：T ′＝T n ，n ＝1、2、3…，根据G Mm r 2＝m 4π2T ′2r 解得：r ＝ 3GMT 24π2n 2(n ＝1、2、3…)，满足这个表达式的部分轨道即可，故C 错误，D 正确．答案：D考点七 围绕同一颗中心天体不同高度的卫星参数的比较1. 我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km ，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则A ．“天宫一号”比“神舟八号”速度大B ．“天宫一号”比“神舟八号”周期长C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D ．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大答案B2. 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小为原来的一半，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的( )．A ．向心加速度大小之比为4∶1B ．角速度之比为2∶1C ．周期之比为1∶8D ．轨道半径之比为1∶2答案C3.当卫星绕地球运动的轨道半径为R 时，线速度为v ，周期为T .下列情形符合物理规律的是( )A ．若卫星轨道半径从R 变为2R ，则卫星运动周期从T 变为2TB ．若卫星轨道半径从R 变为2R ，则卫星运行线速度从v 变为v2C ．若卫星运行周期从T 变为8T ，则卫星轨道半径从R 变为4RD ．若卫星运行线速度从v 变为v 2，则卫星运行周期从T 变为4T 答案C4.如图所示为“高分一号”卫星与北斗导航系统中的卫星“G 1”，在空中某一平面内绕地心O 做匀速圆周运动的示意图．已知卫星“G 1”的轨道半径为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G .则( )A ．“高分一号”的加速度大于卫星“G 1”的加速度B ．“高分一号”的运行速度大于第一宇宙速度C ．地球的质量为gr 2GD ．卫星“G 1”的周期为2πr R r g解析：解本题的关键是知道万有引力提供向心力．由牛顿第二定律得GMm r 2＝ma ，解得a ＝GM r 2，由题图可知，“高分一号”的半径小于卫星“G 1”的半径，则“高分一号”的加速度大于卫星“G 1”的加速度，故选项A 正确；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m v 2r ，解得v ＝GM r ，“高分一号”的轨道半径大于地球半径，则“高分一号”的线速度小于第一宇宙速度，故选项B 错误；地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即G Mm R 2＝mg ，解得地球的质量M ＝gR 2G，故选项C 错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得GMm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，解得T ＝2πr R r g，故选项D 正确 . 答案：AD 考点八 对宇宙速度的理解1. 我国首个目标飞行器“天宫一号”于北京时间2011年9月29日21时16分从甘肃酒泉卫星发射中心发射升空.9月30日16时09分，在北京航天飞行控制中心精确控制下，“天宫一号”成功实施第2次轨道控制，近地点高度由200公里抬升至约362公里，顺利进入在轨测试轨道．这次轨道控制是在“天宫一号”飞行第13圈实施的．此前，在30日1时58分，“天宫一号”飞行至第4圈时，北京飞控中心对其成功实施了第一次轨道控制，使其远地点高度由346公里抬升至355公里．经过两次轨道控制，“天宫一号”已从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道，为后续进入交会对接轨道奠定了基础．下列关于“天宫一号”的说法正确的是( )A ． 发射“天宫一号”的速度至少要达到11.2 km/sB ． 两次变轨后，天宫一号在近圆轨道上运行的速率大于7.9 km/sC ． 天宫一号两次变轨后在近圆轨道上运行的速率仍小于同步卫星在轨运行的速率D ． 在两次变轨过程中都需要对天宫一号提供动力，从而使其速度增大才能成功变轨 答案D2.(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23答案CD 考点九 卫星的变轨问题1. (多选)继“天宫一号”空间站之后，我国又发射了“神舟八号”无人飞船，它们的运动轨迹如图3所示．假设“天宫一号”绕地球做圆周运动的轨道半径为r ，周期为T ，万有引力常量为G .则下列说法正确的是( )A ．在远地点P 处，“神舟八号”的加速度比“天宫一号”大B ．根据题中条件可以计算出地球的质量C ．根据题中条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小D ．要实现“神舟八号”与“天宫一号”在远地点P 处对接，“神舟八号”需在靠近P 处点火加速答案BD2.如图所示，将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，M 、N 为椭圆轨道短半轴的端点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )A ．在三条轨道中周期从大到小的顺序是3轨道、1轨道、2轨道B ．在三条轨道中速率最大的时刻为经过2轨道的Q 点，速率最小的时刻为经过2轨道上P 点C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度D ．卫星在轨道2上从M —P —N 运动所需的时间等于从N —Q —M 的时间 答案B3.如图是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是( )A ．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B ．在绕月圆轨道上，卫星运行周期与卫星质量有关C ．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D ．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力解析：若发射速度达到第三宇宙速度，“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚，故选项A 错误；在绕月球运动时，月球对卫星的万有引力完全提供向心力，则G Mm r 2＝m 4π2r T2，T ＝2πr 3GM ，即卫星运行周期与卫星的质量无关，故选项B 错误；卫星所受月球的引力F ＝G Mm r 2，故选项C 正确；在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力小于受月球的引力，故选项D 错误． 答案：C考点十 多星问题1.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图所示，这两颗行星m 1、m 2各以一定速率绕它们连线上某一中心O 匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L ，且它们做匀速圆周运动的半径r 1与r 2之比为3∶2，则( )A ． 它们的角速度大小之比为2∶3B ． 它们的线速度大小之比为3∶2C． 它们的质量之比为3∶2 D ． 它们的周期之比为2∶3答案B2. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A ．TB ．TC ．TD ．T 答案B3..(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R .忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G .则( )A ． 每颗星做圆周运动的线速度为B ． 每颗星做圆周运动的角速度为C ． 每颗星做圆周运动的周期为2πD ． 每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关答案ABC4.如图4所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )A.地球对一颗卫星的引力大小为GMm r －R 2B.一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2C.两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r 2D.三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm r 2解析 地球对一颗卫星的引力等于一颗卫星对地球的引力，由万有引力定律得其大小为GMmr 2，故A 错误，B 正确；任意两颗卫星之间的距离L ＝3r ，则两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r2，C 正确；三颗卫星对地球的引力大小相等且三个引力互成120°，其合力为0，故D 错误. 答案 BC5有一星球X 的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的3倍，则该星球的质量与地球质量的比值为( ) A ．3 B ．27 C ．13D ．9解析：在不考虑星球自转的时候，星球表面物体的重力等于万有引力，即GMmR 2＝mg ，故X 星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值g X g ＝M X R 2地M 地R 2X ，又M ＝43πR 3ρ，所以g X g ＝R X R 地＝3，M XM 地＝27.故选项B 正确． 答案：B考点十一 卫星的追击和相遇问题1. 北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星1和2均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径均为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，如图5所示．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．以下判断正确的是( )．图5A ．两颗卫星的向心加速度大小相等，均为R 2g r2B ．两颗卫星所受的向心力大小一定相等C ．卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间可能为7πr 3Rr gD．如果要使卫星1追上卫星2，一定要使卫星1加速答案A2. 如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地球表面的高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O 为地球中心．(1)求卫星B的运行周期．(2)如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A，B两卫星相距最近(O、A，B在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？【答案】(1) 2π(2)考点十二天体运动和其他运动的结合题1.宇航员在某星球表面的某一高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t落到星球表面，测出抛出点与落地点距离为L，若抛出的初速度变为原来的2倍，测出抛出点与落地点间距离为L，已知两落地点在同一平面，该星球半径为R，引力常量为G，求星球质量．【答案】2.如图所示，火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度) 【答案】3.有一探测卫星在地球赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，探测卫星绕地球运动的周期为T.求：(1)探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径；(2)探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；(3)在距地球表面高度恰好等于地球半径时，探测卫星上的观测仪器某一时刻能观测到赤道的最大弧长．(此探测器观测不受日照影响，不考虑空气对光的折射)解析：(1)设探测卫星质量为m ，探测卫星绕地球运动的轨道半径为r ，根据万有引力定律和牛顿运动定律得G Mm r 2＝m 4π2rT2解得r ＝3GMT 24π2.(2)设探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小为v ，则v ＝2πrT＝32πGMT.(3)设探测卫星在地球赤道上方A 点处，距离地球中心为2R ，探测卫星上的观测仪器能观测到地球赤道上的B 点和C 点，能观测到赤道上的弧长是L BC ，如图所示，cos α＝R 2R ＝12则α＝60°，能观测到地球表面赤道的最大长度L BC ＝2πR3.答案：(1)3GMT 24π2(2)32πGM T (3)2πR34.如图所示，A 是地球静止卫星，另一个卫星B 的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h .已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．(1)卫星B 的运行周期是多少？(2)如果卫星B 的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？解析：(1)由万有引力定律和向心力公式得GMmR ＋h2＝m4π2T 2B(R ＋h )① GMmR 2＝mg ② 联立①②式解得T B ＝2πR ＋h 3R 2g③(2)由题意得(ωB －ω0)t ＝2π④由③式得ωB ＝gR 2R＋h3代入④式得t＝2πR2gR＋h3－ω0.答案：(1)2πR＋h3R2g(2)2πR2gR＋h3－ω0。