数学分析 第二章21-1数列极限的定义、性质

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通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
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xn 1
(1)n1 1 n
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
n 1,2,3,则称 M是数列{xn }的上界,若 m R,
使 xn m n 1,2,,则称 m是数列xn的下界,
一个数列 {xn }既有上界又有下界，则称之为. 有界数列，否则，称之为无界数列.
显然，{xn }有界 X 0,使 xn X ,n 1,2,3
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定理4 收敛数列必有界.
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
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注意：
1.不等具式有x任n 意a性和刻稳划定了性x的n与双a重的意无义限。接近;
n
n
n
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例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证明数列极限存在时,关键是任意 给定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
上的函数xn f (n)，即按1,2,3,顺序依次排
列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn }.
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特殊的数列
１．单调数列：若数列｛ x n ｝满足
x1 x 2
xn ,
则称为单调递增数列,
有
xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
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极限的定义 如果对于任意给定的正数(不论它
若数列｛ x n ｝满足
x1 x 2
xn ,
则称为单调递减数列.
２．有界数列：对于数列｛ xn｝，若存在 M>0， 使︱ xn ︱≤M,则称数列为有界的．否则称数 列为无界的．
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2.数列极限的定义 观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势.
n
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证：
设
lim
n
xn
a,由定义，取
1，
则N ,使得当n N时, 恒有 xn a 1, 即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, xN , a 1, a 1},
则对n N ,有 xn M .
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
例如，(1)n 有界，但发散
推论 无界数列必定发散.
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例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , nln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
故 lim n
xn
a.
xn a xn a
xn a a
1 a
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例5 证明：
设 a 1,证明lim n a 1 . x
令 n a 1 yn , yn 0 (n 1,2,)
应用二项式公式，
a
(1
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例2.证明下列极限
1.证明：lim n2 a2 1
n
n
2.证明：lim n
2n 9n3
1 7
0
3.lim (0.999 99) 1 n n
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例3证明极限
2n 1
2
lim
.
n 3n 2
3
lim 2n 1 2 .
n
n
lim 100n 0 n n!
证明的方法是从分析 |xna|< 出发，找出 Ф(n) 与 的关系：ε > Ф(n) ,解出 N适合不等式。
由于N 不唯一，故可把 |xna| 适当放大，得到一 个新的不等式，再找 N。
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二、数列极限的性质：
1. 保序性：
定理1
设lim n
xn
a,
lim
n
yn
b,且a
b.
则 N ,n N : xn yn .
x
N时,
使点 xn0 落在 (a 0 , a 0 )外,
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例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn 1
n (1)n1 1
n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
应用二项式定理
n
(1
yn )n
1
nyn
n(n 1) 2
y2 n
yn n
1
n(n 2
1)
y2 n
即得到
2 n n 1 yn n
于是， 0, 取
N
2
2
,
当n N
时，成立
2
n n1
n
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例7
n2 1 1
lim
.
n 2n2 7n 2
证： 0,
n2 1 1 7n 2
的任意性刻划了xn与A无限接近，同时 又具有相对稳定性，一经取定，它就 确定了，这样用静态的形式|xnA|< 来
表示xn无限接近于A的动态过程。
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• 2.N用来刻划n的增大程度，定义中n>N表 明了比N大的各项：xN+1，xN+2,...都满足
|xnA|<, xn是否以A为极限，关键是对
,
2n2 7n 2 2n(2n 7)
当n 6时,
7n 2 8n 4
2n(2n 7) 2n2 n
取N
max6,
4
,
当n N时，有
n2 1 1 4
.
2n2 7n 2 n
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用定义证明
lim
n
xn=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的过程就是寻找 N 的过程.
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定义 极限为0的数列称为无穷小量 .
lim
n
xn
a
{ xn
a}
是无穷小量
.
例如：
qn 1时，{qn }是无穷小量 .
注意：不能把无穷小量理解为很小的量。
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例4
设xn
0,且 lim n
xn
a
0,
求证 lim n
xn
a.
证
任给 0,
lim n
xn
a,
当n N2时, 恒有 xn b , 取N maxN1, N2,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2 .
上式仅当 a b 时才能成立.
故收敛数列的极限必唯一
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3、有界性
定义 对数列{xn },若 M R,使 xn M
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注意:在xn yn的情况,可能有a=b成立.
推论2(保号性)
若 lim n
xn
a, 且a
b,则总存在正整数N,
当n N时, 不等式xn b成立.
特别地,若 lim n
xn
a, a
0, 存在正整数N,
当n N时,有xn 0.
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推论3(保号性)
若
lim
n
xn
a, 且a
1 ln | a | ln(1 ) ,
n
n
ln | a |
ln(1
)
,
取N
ln | a |
ln(1
)
,
则当n
N时,
就有n a 1 , lim n a 1 . n
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例 6 求证： 证明 令
lim n n 1
n
n n 1 yn , yn 0 (n 1,2,)
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c, 则总存在正整数N ,
当n N时,不等式xn c成立.
特别地,若 lim n
xn
a, a
0, 存在正整数N ,
当n N时,有xn 0.
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2、唯一性 定理2 收敛数列的极限必唯一.
证：
设
lim
n
xn
a,
又
lim
n
xn
b,
由定义,
0, N1, N2,使得, 当n N1时, 恒有 xn a ;
第二章 极限与连续
一、数列的极限及性质、存在准则 二、函数的极限 三、函数的连续、闭区间上连续函
数的性质
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1
(一)、数列极限的定义和性质
一．概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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播Fra Baidu bibliotek 2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
yn
b,且存在正整数N ,
当n N时,不等式 xn yn成立,则a b.
特别地,若 lim n
xn
a,且存在正整数N ,
当n N时,有xn b,则a b.
证明:(反证法)
反设有a<b,则由定理1,存在N,
当n>N时,不等式xn yn成立, 这与条件矛盾. 特别情况类似可证.
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即 (a b) / 2 xn (3a b) / 2, (3b a) / 2 yn (a b) / 2,
yn (a b) / 2, (a b) / 2 xn ,同时成立
从而,当n N时, 有xn yn 成立,
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推论1(保序性)
若
lim
n
xn
a, lim n
正6 2n1形的面积 An A1 , A2 , A3 ,, An , S
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R
3
２．战国时代庄周:《庄子·天下 篇》中“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。”
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
体现中国古代就有极限的思想方法。
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4
二、数列的极限
1.数列的概念
定义:设变量 x 按一定法则为定义在正整数集
yn )n
1
nyn
n(n 1) 2
y2 n
yn n
1
nyn
a1
a1
0, n a 1 yn n , n ,
取N
a
n
1,当n
N时, 有 n
a
1
a 1
n
.
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例5 求证 lim n a 1(a 0). n
证法二
任给 0,
xn 1 n a 1 ,
n a 1,
多么小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一
切 xn,不等式 xn a 都成立,那末就称常数a
是数列
x
的极限,或者称数列
n
xn收敛于a
,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
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N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
>0，这样的N是否存在。
• 3.一般地，N与任意给定的有关， 取得
越小，相应地N就越大，如果N存在，这 样地N不唯一。
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N定义 :
lim
n
xn
a
0
0, 对N，n0
N,
有|
xn0
a
|
成立
0
几何解释:
a 0
2
a 0
存在某xn00
x1
a x N 2
x2
x3
0，对任意N , 存在n0
1
注：定理1的逆命题不成立，如
xn
n
与
2 yn n
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证 xn a, yn b,(n ) 取 (a b) / 2, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,