数学分析 第二章21-1数列极限的定义、性质
数列极限的概念与性质
数列极限的概念与性质数列是数学中一种非常重要的数学对象，它在许多领域都有广泛的应用。
而数列的极限是数列理论中的一个基本概念，通过对数列的极限的研究，可以揭示数列的性质和规律，进一步拓展数学的应用领域。
一、数列极限的概念数列极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列随着项数增加而趋近的某个确定值。
对于一个数列{an}，当n趋近于无穷大时，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正实数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，有|an - A|< ε成立，那么数A就是数列{an}的极限，记作lim(n→∞) an = A。
二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限如果存在，则唯一。
这意味着一个数列不可能有两个不同的极限。
2. 有界性：如果一个数列存在极限，则它是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。
3. 保号性：如果数列{an}的极限为A，则当n足够大时，数列的每一项与A的关系与A的正负号相同。
4. 极限的四则运算：如果两个数列{an}和{bn}的极限都存在，则它们的和、差、乘积、商的极限也存在，并且有相应的运算规律。
5. 夹逼定理：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且li m(n→∞) an = lim(n→∞) cn = A，那么lim(n→∞) bn = A。
6. 收敛数列的有界性：如果数列{an}的极限存在，则数列{an}是有界的。
7. 子列的极限：如果数列{an}的极限为A，则它的任意一个子列的极限也为A。
三、数列极限的应用1. 无穷级数：通过对数列极限的研究，可以求解各种无穷级数的和，如等比级数、调和级数等。
2. 函数极限：函数极限可以看作是数列极限的推广，通过对数列的极限性质的研究，可以进一步推导函数的极限性质。
3. 微积分：微积分中的导数和积分都与数列的极限密切相关，数列极限的概念和性质对于理解微积分理论非常重要。
4. 计算机科学：数列极限的思想也可以应用到计算机科学中，通过数值计算的方法来逼近数列的极限，解决计算问题。
数列极限的定义 有哪些性质
数列极限的定义有哪些性质
数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。
1数列极限的定义
数列极限用通俗的语言来说就是：对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|<ε。
比如对于这样一个数列
an=n（当n《100时）或an=1/n (当n>100时）
这个数列的极限是0。
当对于任意给定的正数比如1/3，数列下标在1~100时，|an|>ε=1/3，但只要n>N=100，后面的所有项都满足|an|<1/3
从这个意义来说，数列有没有极限，前面的有限项（不管这有限项有多大）不起决定作用。
2数列极限的性质
（1）极限的唯一性
如果数列{xn}收敛，那么数列的极限唯一。
（2）收敛数列的有界性
如果数列{xn}收敛，那么数列一定有界。
（3）收敛数列的保号性
若数列{xn}收敛于a，且a>0, 则存在正整数N，使得当时n>N时，有xn>0。
以上性质中，极限的唯一性和有界性了解即可；极限的保号性用的是最多的,它常与求递推数列的极限、函数的极值点与拐点、连续函数的零点定理等一起应用，也是最容易出错的。
数列极限的定义与性质
数列极限的定义与性质数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，了解数列的极限是非常重要的。
通过研究数列的极限，我们可以揭示数列的性质，并且可以应用到不同的领域中。
本文将探讨数列极限的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用数列。
一、极限的定义数列的极限是指当数列中的项趋近于某个值时，数列的值也趋近于该值。
数列极限可以用以下方式进行定义：设有数列 {a_n}，其中 n 表示数列中的项的索引（在数列中的位置）。
若对于任意给定的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n - A| < ε 成立，则称数列 {a_n} 的极限为 A，记作lim(n→∞) a_n = A。
其中，|a_n - A| 表示 a_n 与 A 之间的差的绝对值。
ε (epsilon) 是一个任意小的正实数，N 是一个正整数。
二、极限的性质数列极限具有以下性质：1. 极限的唯一性：设数列 {a_n} 的极限为 A，则数列的极限是唯一的，即不存在另外的极限值。
2. 极限的有界性：若数列 {a_n} 的极限为 A，则对于任意给定的正实数ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n| < |A|+ε 成立。
换句话说，当 n 足够大时，数列的值都在 A 的某个邻域内。
3. 极限的保号性：若数列 {a_n} 的极限为 A，且 A > 0 (或 A < 0)，则存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 a_n > 0 (或 a_n < 0) 成立。
也就是说，当 n 足够大时，数列的值与其极限符号一致。
4. 极限的四则运算：设数列 {a_n} 和 {b_n} 的极限分别为 A 和 B，则有以下四则运算定理：- 两个数列的和的极限等于两个数列的极限的和，即lim(n→∞) (a_n + b_n) = A + B。
- 两个数列的差的极限等于两个数列的极限的差，即lim(n→∞) (a_n - b_n) = A - B。
数列极限的基本概念与性质
数列极限的基本概念与性质数列是数学中的重要概念之一，它由一系列按特定顺序排列的数所组成。
数列的极限是研究数列性质的基本概念之一，它描述了数列中数值的趋势和变化规律。
本文将介绍数列极限的基本概念和性质，并讨论其在数学和实际问题中的应用。
一、数列极限的基本概念数列极限是指当数列的项数无限增加时，数列中的数值是否会趋于某一个固定的值。
具体而言，对于一个数列{an}，当存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε成立，则称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an = a。
如果数列不存在这样的实数a，则称数列{an}发散。
二、数列极限的性质1. 极限的唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
即如果lim（n→∞）an = a且lim（n→∞）an = b，则a = b。
2. 有界性：收敛的数列是有界的。
即如果lim（n→∞）an = a，则存在正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M成立。
3. 极限的保号性：如果数列{an}收敛于a且a>0，那么从某一项开始，数列{an}的所有后续项都大于0。
类似地，如果a<0，则所有后续项都小于0。
4. 收敛数列的性质：如果数列{an}和{bn}分别收敛于a和b，则数列{an + bn}和{an × bn}也收敛，并且它们的极限分别为a + b和a × b。
三、数列极限的应用数列极限在数学和实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的例子：1. 函数极限：函数极限是数列极限的一种推广。
通过将函数的自变量限制在一组无限逼近的数值上，可以研究函数在特定点的极限值。
2. 近似计算：利用数列极限的性质，可以通过有理逼近法近似计算无理数，如计算π的值等。
3. 经济学模型：经济学中的一些模型可以用数列来表示，通过分析数列的极限，可以研究经济模型的稳定性和变化趋势。
4. 物理学问题：在物理学中，数列的极限可以用于描述粒子的运动趋势和变化规律，如速度、加速度等。
数列的极限知识点归纳总结
数列的极限知识点归纳总结数列的极限是高中数学中重要的概念之一，它在解析几何、微积分等数学领域中起着重要的作用。
本文将对数列的极限进行知识点归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定义和概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数的集合。
数列可以用公式表示，常用的表示方式为{an}或{an}∞n=1。
2. 数列的极限定义：对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε，那么称数列{an}的极限为a。
3. 数列的收敛和发散：如果数列{an}存在极限，称该数列收敛；否则，称该数列发散。
二、极限的性质1. 极限唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：对于收敛数列{an}，存在一个正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M。
3. 夹逼定理：如果{an} ≤ {bn} ≤ {cn}，并且lim an = lim cn = a，那么lim bn = a。
4. 四则运算法则：若数列{an}和{bn}收敛，并且lim an = a，lim bn = b，则有以下运算结果：- lim(an ± bn) = a ± b- lim(an · bn) = a · b- lim(an / bn) = a / b (b ≠ 0)三、重要的数列极限1. 常数数列：对于常数c，数列{an} = c（n为正整数）的极限为c。
2. 等差数列：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，极限为lim an = a1。
3. 等比数列：对于等比数列{an} = a1 · q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比，当|q| < 1时，极限为lim an = 0；当|q| > 1时，极限不存在。
4. 幂函数数列：对于幂函数数列{an} = n^p，其中p为实数，当p >0时，极限为正无穷大；当p < 0时，极限为0。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
高中数学数列极限的概念及相关题目解析
高中数学数列极限的概念及相关题目解析数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限更是数学学科中的基础知识。
在高中数学的学习中，理解和掌握数列极限的概念及相关题目的解析方法是非常重要的。
本文将从数列极限的定义、性质以及常见的数列极限题目出发，详细解析数列极限的相关知识。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项无限接近某个确定的值时，这个确定的值就是数列的极限。
数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个常数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N 时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a。
数列极限具有以下性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么它是唯一的。
2. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么它是有界的，即存在正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立。
3. 夹逼准则：如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a，那么lim(bn)=a。
二、数列极限的题目解析1. 求数列极限的方法：题目：已知数列{an}的通项公式为an=1/n，求lim(an)。
解析：对于这道题目，我们可以通过直接代入数值的方法来求解。
当n取不同的值时，计算出对应的an的值，然后观察an的变化规律。
当n趋于无穷大时，我们可以发现an的值趋近于0。
因此，根据数列极限的定义，lim(an)=0。
2. 判断数列极限是否存在：题目：已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n/n，判断lim(an)是否存在。
解析：对于这道题目，我们可以通过分析数列的变化规律来判断其极限是否存在。
当n取不同的奇数时，an的值为正数，而当n取不同的偶数时，an的值为负数。
因此，数列{an}的值在正数和负数之间不断变化，没有趋于一个确定的值，所以lim(an)不存在。
3. 利用夹逼准则求数列极限：题目：已知数列{an}的通项公式为an=√(n^2+1)-n，求lim(an)。
21-1数列极限的定义、性质讲解
xn0
x1
a x2
x3
x
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1) n1 1. 就有 1 即 lim n n n
x n 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
2018/10/23
8
x n 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000 1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 x n 1 成立.
2018/10/23 9
极限的定义 如果对于任意给定的正数 (不论它 多么小 ), 总存在正数 N , 使得对于 n N 时的一 切 x n ,不等式 x n a 都成立,那末就称常数 a 是数列 x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
2018/10/23 15
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
数列极限概念与性质例题和知识点总结
数列极限概念与性质例题和知识点总结一、数列极限的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，例如：1，1/2，1/3，1/4，······就是一个数列。
而数列极限则是指当数列中的项数无限增大时，数列的取值趋近于某个确定的常数。
用数学语言来描述，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列{an}的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。
为了更好地理解数列极限的概念，我们来看一个简单的例子。
例 1：考虑数列{1 ／ n}，当 n 趋向于无穷大时，这个数列的极限是0 。
证明：对于任意给定的正数ε ，要使|1 ／ n 0| ＜ε ，即 1 ／ n ＜ε ，只要 n ＞ 1 ／ε 。
所以，取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1（表示取整），当 n ＞ N 时，就有|1 ／ n 0| ＜ε ，所以lim(n→∞）（1 ／ n) ＝ 0 。
二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列{an}有极限，那么极限值是唯一的。
2、有界性：如果数列{an}有极限，那么数列{an}是有界的。
3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A ，且 A ＞ 0（或 A ＜ 0），那么存在正整数 N ，当 n ＞ N 时，an ＞ 0（或 an ＜ 0）。
三、数列极限的运算性质1、如果lim(n→∞） an ＝ A ，lim(n→∞） bn ＝ B ，那么lim(n→∞）（an ＋ bn) ＝ A ＋ Blim(n→∞）（an bn) ＝ A Blim(n→∞）（an × bn) ＝ A × B若B ≠ 0 ，lim(n→∞）（an ／ bn) ＝ A ／ B2、数列极限的夹逼准则：如果数列{an}，｛bn}，｛cn}满足：存在正整数 N0 ，当 n ＞ N0 时，an ≤ bn ≤ cn ，且lim(n→∞） an ＝lim(n→∞） cn ＝ A ，那么lim(n→∞） bn ＝ A 。
数列极限的概念及其性质证明
数列极限的概念及其性质证明数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
而数列极限是数列理论中的核心概念之一，它描述了数列在无限项下的趋势和性质。
本文将探讨数列极限的概念及其性质证明。
一、数列极限的概念数列极限是指当数列的项数趋向无穷大时，数列中的数值逐渐趋近于某个固定的值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε成立，那么称数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞)an = a。
二、数列极限的性质证明1. 唯一性性质首先，我们来证明数列极限的唯一性性质。
假设数列{an}的极限既为a又为b，且a ≠ b。
根据极限的定义，我们可以取ε = |a - b|/2，那么存在正整数N1和N2，使得当n > N1时，有|an - a| < ε，当n > N2时，有|an - b| < ε。
考虑n > max(N1, N2)，那么根据三角不等式，有：|a - b| = |(a - an) + (an - b)| ≤ |a - an| + |an - b| < ε + ε = |a - b|。
这与|a - b| < |a - b|矛盾，因此假设不成立，数列极限的唯一性得证。
2. 有界性性质接下来，我们证明数列极限的有界性性质。
假设数列{an}的极限为a，则存在正整数N，使得当n > N时，有|an - a| < 1。
令M = max{|a| + 1, |a1|, |a2|, ..., |aN|}，那么对于任意的n > N，有：|an| = |an - a + a| ≤ |an - a| + |a| < 1 + |a| ≤ |a| + 1 ≤ M。
因此，数列{an}是有界的。
3. 单调性性质最后，我们证明数列极限的单调性性质。
数列极限知识点
数列极限知识点数列极限是高等数学中的重要概念。
在微积分、数学分析等各个领域都有着广泛的应用。
本文将对数列极限的相关概念、性质及其在实际问题中的应用进行详细阐述。
一、数列极限的定义首先，了解数列极限的定义是非常关键的。
一个数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中每一项都趋于某个常数L，这个常数L就是这个数列的极限。
具体的数学表达式如下：lim an = L (n → ∞)其中，an为数列中的第n项，L为这个数列的极限。
二、数列极限的性质了解数列极限的性质，可以更好地理解它在实际问题中的应用。
下面，介绍数列极限的一些性质：1.极限的唯一性当数列极限存在时，它在数轴上的值是唯一的。
也就是说，在数列的所有子数列中，都只存在一个极限值。
2.局部有界性如果一个数列有有限的极限，那么它在数轴上一定是有界的，也就是说，存在一个范围，可以将这个范围内的所有数列项都包含在内。
3.保号性如果一个数列的极限是正数，那么数列中所有的项都是正数。
如果极限是负数，那么数列中所有的项都是负数。
4.夹逼定理对于任意一个数列，如果它的所有项都被夹在两个趋向于同一个极限值的数列之间，那么这个数列的极限也趋向于这个极限值。
5.单调有界定理如果一个数列是单调递增（或递减）且有界的，那么它的极限就存在。
三、数列极限的应用数列极限在实际问题中有着广泛的应用。
其中一些典型应用包括：1.距离、速度、加速度等模型在物理学、工程学等领域，常常需要通过数学模型来描述距离、速度、加速度等概念。
这些数学模型往往可以表示为数列的形式，以此来描述运动、变化等现象。
2.统计学中的统计量在统计学中，常常需要对一组数据进行分析，计算各种统计量（如平均数、标准差等）。
这些统计量也往往可以表示为数列的形式，以此来描述数据的分布情况。
3.经验分布函数经验分布函数是一种描述随机变量分布的函数形式，它的计算也经常涉及到数列极限的概念。
四、结语数列极限是高等数学中的重要概念，掌握了数列极限的相关概念和性质，以及应用范围，可以更好地理解和应用它。
数列极限的概念与性质
数列极限的概念与性质数列是数学中一个重要的概念，其一般形式指的是一个无限序列。
而序列中的每一个元素所组成的数列，其极限是数学中另一个重要的概念。
本文将以此为主题，探讨数列极限的概念与性质。
一、数列极限的概念数列极限的概念通俗来说，就表示的是数列趋于一个确定的值。
特别地，如果一个数列a_n有着极限l，那么我们可以写作：lim_(n→∞)a_n = l其中，lim表示极限，n表示序号。
这一表达式意味着，当数列a_n的序号n趋近于无穷大时，其对应的元素a_n与极限l之间的差异越来越小。
注：∞是一个想象不出的数，在这里表示为极限所在的位置不受限制。
比如，考虑序列1, 2, 3, …，在此数列中，每个元素的值都比它之前的元素值大1。
此时，很容易看出，数列的极限并不存在。
例如，当n接近无穷大时，序列中各个元素之间的差异都是无限大。
这说明，数列的发散是存在的。
而另一方面，如果我们考虑1/2,2/3, 3/4, …，很容易看出，这个数列的极限是1。
因为当n接近无穷大时，序列中各个元素之间的差异都趋向于0。
因此，数列各项的值都在逐渐地接近1，于是数列的极限就是1了。
通常来说，函数的极限也是通过数列的极限来推导的。
不过，这里暂且不做展开。
有兴趣的读者可以寻找相关资料进行拓展。
二、数列极限的性质1、数列极限的唯一性一个数列如果存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果一个数列a_n有两个极限l1和l2，那么lim_(n→∞)a_n应当等于l1和l2。
其证明可以通过“反证法”来进行。
2、数列极限的保号性如果a_n > 0，且a_n的极限为l，那么l > 0。
相反地，如果a_n < 0，且a_n的极限为l，那么l < 0。
举个例子，考虑到每个元素的平方一定是正的，那么如果a_n²的极限存在，并且代表为l，那么l一定大于0。
3、数列极限的有界性如果数列a_n存在极限，那么它是有界的。
通俗来说，就是指数列a_n中的元素不会无限制地变大（或者变小）。
数列极限的定义与性质
数列极限的定义与性质数列是数学中一个非常重要的概念，而数列的极限更是数学分析中的基础知识之一。
数列极限的定义与性质对于理解数学分析、微积分等学科具有重要意义。
本文将从数列极限的定义入手，逐步介绍数列极限的性质，帮助读者更好地理解这一概念。
1. 数列极限的定义数列极限的定义是数学分析中的基础概念之一。
对于数列${a_n}$，当$n$趋于无穷大时，如果数列的项$a_n$可以无限接近某个常数$A$，那么称常数$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to\infty} a_n = A$。
换句话说，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，数列的项$a_n$与极限$A$之间的差的绝对值$|a_n - A|$小于$\varepsilon$。
数学上也可以用$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$来表示数列${a_n}$的极限。
这个定义是数列极限的基础，也是理解数列极限性质的前提。
2. 数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，下面将逐一介绍这些性质：（1）数列极限的唯一性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个极限是唯一的。
也就是说，如果$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = B$，那么$A=B$。
（2）数列极限的有界性：如果数列${a_n}$的极限存在，那么这个数列是有界的。
即存在一个实数$M$，使得对于数列的每一项$a_n$，都有$|a_n| \leq M$。
（3）数列极限的保号性：如果数列${a_n}$的极限存在且大于（小于）零，那么从某项开始，数列的每一项都大于（小于）零。
（4）数列极限的四则运算性质：设$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = B$，则有：- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B$- $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$- 若$B \neq 0$，$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$（5）夹逼准则：如果数列${a_n}$、${b_n}$、${c_n}$满足$a_n\leq b_n \leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n =\lim\limits_{n \to \infty} c_n = A$，那么$\lim\limits_{n \to\infty} b_n = A$。
数列极限及其应用
数列极限及其应用数列是数学中重要的概念之一，数列极限是数学分析中的重要内容。
在本文中，我们将探讨数列极限的定义、性质以及其在数学和现实生活中的应用。
一、数列极限的定义和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列通常表示为{a₁,a₂, a₃, ......, aₙ}，其中a₁、a₂、a₃等是数列中的项。
数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的项趋近于确定的常数L。
这一定义可以表示为：lim{n→∞} aₙ = L数列极限的性质包括：1. 唯一性：数列的极限只有唯一的值。
2. 有界性：若数列存在极限，则数列必定有界，即存在上界和下界。
3. 保号性：若数列存在极限且其极限为正（或负）数，则数列从某项起，总是正（或负）号。
4. 夹挤性：若数列的每项均位于两个收敛数列的中间，则该数列也是收敛的，并有相同的极限。
二、数列极限的应用1. 数学分析中的应用：数列极限在微积分中有着重要的应用。
利用数列极限的概念，我们可以定义导数和积分，并研究函数的连续性和各种变化规律。
数列极限的概念是微积分的基础之一，它为我们理解和深入研究函数的性质提供了便利。
2. 数列极限在无穷级数求和中的应用：无穷级数是由无穷个项按照一定规律排列而成的数列。
利用数列极限的概念，我们可以判断无穷级数是否收敛，以及求出其和。
例如，经典的几何级数可以通过数列极限的方法求和，从而得到其和为有理数的结论。
3. 数列极限在金融投资中的应用：在金融投资中，数列极限可以用于计算投资回报率。
通过考察投资金额随时间增长的趋势，我们可以得到不同投资方案的回报率，并作出合理的投资决策。
4. 数列极限在物理学中的应用：在物理学中，数列极限可以用于描述物体运动的速度和加速度。
例如，通过分析质点在无穷小时间间隔内的位移变化，我们可以定义速度和加速度，并利用数列极限的概念来研究物体的运动轨迹和变化规律。
5. 数列极限在市场预测中的应用：数列极限可以用于分析市场行情和预测未来的趋势。
数列极限的定义与性质分析
数列极限的定义与性质分析数列极限是数学中重要的概念之一，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对数列极限的定义与性质进行分析，并从理论和实际角度探讨其重要性。
首先，我们来介绍数列极限的定义。
给定一个数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，数列中的每一项an到a 的距离都小于ε，那么我们称数列的极限为a，记作lim(an)=a。
从定义可以看出，数列极限是关于数列中的数值与某一特定值的趋近性的刻画。
当数列的极限存在时，我们可以说这个数列是收敛的，反之，如果不存在极限或者极限为无穷大或无穷小，那么这个数列是发散的。
接下来，我们来分析数列极限的性质。
数列极限具有一些重要性质，包括唯一性、局部有界性和保序性。
首先，数列极限的唯一性是指一个数列只能有一个极限。
这个性质可以通过反证法证明。
假设数列{an}的两个极限分别为a和b，且a≠b。
那么对于任意给定的ε，使用定义，我们可以找到两个正整数N1和N2，当n>N1时，|an-a|<ε，当n>N2时，|an-b|<ε。
取N=max(N1,N2)，则当n>N时，同时满足|an-a|<ε和|an-b|<ε，但是这与a≠b矛盾，因此假设不成立，数列的极限是唯一的。
其次，数列极限的局部有界性是指一个收敛的数列在极限附近的有限区间内是有界的。
也就是说，对于有界数列{an}，如果lim(an)=a，那么对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an位于(a-ε,a+ε)之间。
这个性质可以通过定义和三角不等式进行推导。
最后，数列极限的保序性是指如果{an}和{bn}是两个数列，并且对于所有的n，都有an≤bn，那么如果lim(an)=a和lim(bn)=b，则有a≤b。
这个性质是显然的，可以通过使用定义和数学分析中的基本不等式进行证明。
数列极限在实际问题中有着广泛的应用。
极限的定义与性质
极限的定义与性质在数学中，极限是一个基础概念，它在各个数学领域中都有着重要的应用。
极限的定义和性质是我们理解和运用这一概念的关键。
本文将探讨极限的定义以及一些与之相关的性质，帮助读者更好地理解和应用极限。
一、极限的定义极限的定义是通过数列或函数的趋近性来描述的。
对于数列来说，我们可以将其定义为当数列中的元素逐渐接近某个确定的值时，我们就说该数列的极限存在。
具体来说，对于数列{an}来说，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，满足|an-L|<ε，那么我们就说该数列的极限存在，且极限值为L。
对于函数来说，极限的定义稍有不同。
设函数f(x)在x趋近于a的过程中的极限为L，那么对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，满足|f(x)-L|<ε。
这个定义告诉我们，当自变量x无限接近于a时，函数f(x)的值无限接近于L。
二、极限的性质1. 极限的唯一性：如果一个数列或函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，数列或函数不可能同时趋近于两个不同的值。
这个性质在数学证明中经常被使用，可以帮助我们确定极限的存在和确定极限的值。
2. 极限的保序性：如果数列{an}的极限存在且为L，而数列{bn}满足对于所有的n，an≤bn，那么数列{bn}的极限也存在且不大于L。
这个性质告诉我们，如果一个数列的每一项都小于另一个数列的对应项，那么它们的极限也具有相同的大小关系。
3. 极限的四则运算：设数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么有以下四则运算的性质：- 和的极限：{an+bn}的极限为A+B；- 差的极限：{an-bn}的极限为A-B；- 积的极限：{an*bn}的极限为A*B；- 商的极限：如果B≠0，那么{an/bn}的极限为A/B。
4. 极限的夹逼定理：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足对于所有的n，an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为L，那么数列{bn}的极限也存在且为L。
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
数列极限的定义和性质
数列极限的定义和性质数列是指按照一定规律排列的一系列数，而数列极限是数列理论中的重要概念之一。
在本文中，我们将探讨数列极限的定义和性质，并对其应用进行简要介绍。
一、数列极限的定义在数列中，当它的项逐渐趋于某个值时，我们称这个值为该数列的极限。
形式化地说，设有数列{an}，若对于给定的数ϵ（ϵ>0），总存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an与极限值之差的绝对值|an - A|<ϵ都成立，则称极限A为数列{an}的极限，记为lim(an) = A。
要注意的是，数列的极限并不一定要存在，可能是有限的，也可能是无穷的。
二、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它是唯一的，即一个数列只能有一个极限。
2. 数列收敛的必要条件：若数列{an}收敛，那么它是有界的。
即如果一个数列存在极限，那么它必然是有上下界的。
3. 数列极限的保号性：若数列{an}的极限为A，并且A>0（或A<0），那么当n充分大时，数列的每一项an也大于0（或小于0）。
4. 收敛数列的四则运算性质：设有两个收敛数列{an}和{bn}，它们的极限分别为A和B，则：(1) 数列和的极限：lim(an + bn) = A + B(2) 数列差的极限：lim(an - bn) = A - B(3) 数列积的极限：lim(an * bn) = A * B(4) 数列商的极限（假设B≠0）：lim(an / bn) = A / B5. 数列极限与数列项的关系：若数列{an}的极限为A，则对于任意正整数m，都有：lim(an) = Alim(am) = A三、数列极限的应用1. 数列极限在微积分中的应用：数列极限是极限的概念之一，而极限是微积分中的基本概念。
在微积分中，我们经常使用数列极限来定义导数和积分等重要概念。
2. 数列极限在数学分析中的应用：数列极限是数学分析中的重要内容，它也是许多数学定理的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 3.一般地，N与任意给定的有关， 取得
越小，相应地N就越大，如果N存在，这 样地N不唯一。
2021/3/22
13
N定义 :
lim
n
xn
a
0
0, 对N，n0
N,
有|
xn0
a
|
成立
0
几何解释:
a 0
2
a 0
存在某xn00
x1
a x N 2
x2
x3
0，对任意N , 存在n0
2021/3/22
32
例2.证明下列极限
1.证明：lim n2 a2 1
n
n
2.证明：lim n
2n 9n3
1 7
0
3.lim (0.999 99) 1 n n
2021/3/22
33
例3证明极限
2n 1
2
lim
.
n 3n 2
3
lim 2n 1 2 .
n
n
lim 100n 0 n n!
c, 则总存在正整数N ,
当n N时,不等式xn c成立.
特别地,若 lim n
xn
a, a
0, 存在正整数N ,
当n N时,有xn 0.
2021/3/22
29
2、唯一性 定理2 收敛数列的极限必唯一.
证：
设
lim
n
xn
a,
又
lim
n
xn
b,
由定义,
0, N1, N2,使得, 当n N1时, 恒有 xn a ;
证明的方法是从分析 |xna|< 出发，找出 Ф(n) 与 的关系：ε > Ф(n) ,解出 N适合不等式。
由于N 不唯一，故可把 |xna| 适当放大，得到一 个新的不等式，再找 N。
2021/3/22
24
二、数列极限的性质：
1. 保序性：
定理1
设lim n
xn
a,
lim
n
yn
b,且a
b.
则 N ,n N : xn yn .
n 1,2,3,则称 M是数列{xn }的上界,若 m R,
使 xn m n 1,2,,则称 m是数列xn的下界,
一个数列 {xn }既有上界又有下界，则称之为. 有界数列，否则，称之为无界数列.
显然，{xn }有界 X 0,使 xn X ,n 1,2,3
2021/3/22
31
定理4 收敛数列必有界.
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
2021/3/22
11
注意：
1.不等具式有x任n 意a性和刻稳划定了性x的n与双a重的意无义限。接近;
的任意性刻划了xn与A无限接近，同时 又具有相对稳定性，一经取定，它就 确定了，这样用静态的形式|xnA|< 来
表示xn无限接近于A的动态过程。
2021/3/22
12
• 2.N用来刻划n的增大程度，定义中n>N表 明了比N大的各项：xN+1，xN+2,...都满足
|xnA|<, xn是否以A为极限，关键是对
当n N2时, 恒有 xn b , 取N maxN1, N2,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2 .
上式仅当 a b 时才能成立.
故收敛数列的极限必唯一
2021/3/22
30
3、有界性
定义 对数列{xn },若 M R,使 xn M
2021/3/22
34
应用二项式定理
n
(1
yn )n
1
nyn
n(n 1) 2
y2 n
yn n
1
n(n 2
1)
y2 n
即得到
2 n n 1 yn n
于是， 0, 取
N
2
2
,
当n N
时，成立
2
n n1
n
2021/3/22
22
例7
n2 1 1
lim
.
n 2n2 7n 2
证： 0,
n2 1 1 7n 2
即 (a b) / 2 xn (3a b) / 2, (3b a) / 2 yn (a b) / 2,
yn (a b) / 2, (a b) / 2 xn ,同时成立
从而,当n N时, 有xn yn 成立,
2021/3/22
26
推论1(保序性)
若
lim
n
xn
a, lim n
多么小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一
切 xn,不等式 xn a 都成立,那末就称常数a
是数列
x
的极限,或者称数列
n
xn收敛于a
,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
2021/3/22
10
N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
第二章 极限与连续
一、数列的极限及性质、存在准则 二、函数的极限 三、函数的连续、闭区间上连续函
数的性质
2021/3/22
1
(一)、数列极限的定义和性质
一．概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
2021/3/22
播放 2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
播放 7
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
2021/3/22
8
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
x
N时,
使点 xn0 落在 (a 0 , a 0 )外,
2021/3/22
14
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn 1
n (1)n1 1
n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
yn
b,且存在正整数N ,
当n N时,不等式 xn yn成立,则a b.
特别地,若 lim n
xn
a,且存在正整数N ,
当n N时,有xn b,则a b.
证明:(反证法)
反设有a<b,则由定理1,存在N,
当n>N时,不等式xn yn成立, 这与条件矛盾. 特别情况类似可证.
2021/3/22
若数列｛ x n ｝满足
x1 x 2
xn ,
则称为单调递减数列.
２．有界数列：对于数列｛ xn｝，若存在 M>0， 使︱ xn ︱≤M,则称数列为有界的．否则称数 列为无界的．
2021/3/22
6
2.数列极限的定义 观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势.
n
2021/3/22
27
注意:在xn yn的情况,可能有a=b成立.
推论2(保号性)
若 lim n
xn
a, 且a
b,则总存在正整数N,
当n N时, 不等式xn b成立.
特别地,若 lim n
xn
a, a
0, 存在正整数N,
当n N时,有xn 0.
2021/3/22
28
推论3(保号性)
若
lim
n
xn
a, 且a
2021/3/22
17
定义 极限为0的数列称为无穷小量 .
lim
n
xn
a
{ xn
a}
是无穷小量
.
例如：
qn 1时，{qn }是无穷小量 .
注意：不能把无穷小量理解为很小的量。
2021/3/22
18
例4
设xn
0,且 lim n
xn
a
0,
求证 lim n
xn
a.
证
任给 0,
lim n
xn
a,
1
注：定理1的逆命题不成立，如
xn
n
与
2 yn n
2021/3/22
25
证 xn a, yn b,(n ) 取 (a b) / 2, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
故 lim n
xn
a.
xn a xn a
xn a a
1 a
2021/3/22
19
例5 证明：
设 a 1,证明lim n a 1 . x
令 n a 1 yn , yn 0 (n 1,2,)