第九章振动学基础
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1 定义
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位
移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，
这种运动叫简谐运动. 2 简谐振动的条件 1）在平衡位置附近来回振动.
F弹
x
2）受回复力作用. 3 弹簧振子
ox
一个轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以 自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
4 简谐振动的微分方程
间发生周期性变化，但动能和势能的总合保持为一个常
量，即作简谐运动的系统机械能守恒.
简谐运动能量图
E
1 k A2 2
o T T 3T 42 4
7 振动曲线
x Acos(t )
Ek
Ep
Tt
x
A
o
T
A
2
Tt
二 简谐振动的固有周期
振动往复一次所需时间.
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
例：有一水平弹簧振子，设弹簧劲度系数 k=1.6N.m-1，物体质量m=0.4kg。今把物 体向右拉至距平衡位置0.1m处，并给以一 向左的初速度，大小为0.2m.s-1，然后放手。 试求物体在放手后第3末的运动状态。
v
m 0
ox
x
0
二 相位差
1 相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
o
- A2
t
-A1
两同相振动的振动曲线
x
A1
x1 反相
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
两反相振动的振动曲线
三 简谐振动的旋转矢量表示法
用匀速圆周运动表示简谐运动的位置变化.
设一质点沿圆心在O点而半径A的圆周作匀速运动，其
角速度为 .
规定 A A
设t=0时, 质点的径矢经过
A t x ox
与x轴夹角为 的位置
四 理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律.
9-1 简谐振动的规律
学习要点
1. 注意简谐振动的规律和特点. 知道如何判断一个振 动是否为简谐振动？
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 了解研究谐振子模型的意义何在？
一 简谐振动的定义
开始计时，则在时刻t此径矢与x轴的夹角为 t ,
质点在x轴上的投影式 x Acos(t )
其与简谐运动的定义公式相同.
2π
T
当t 0时
A
o
x0 x
x0 Acos
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
2π
T
t t 时
A
t
o
x x0 x
x Acos(t )
Acos(t T )
周期：T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
,T , 都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
由 2 k 弹簧振子周期 T 2π m
m
k
三 简谐振动的判断（满足其中一条即可）
1）物体回复力作用
F kx 平衡位置 x 0
2）简谐运动的动力学微分描述 d2 x 2 x 0
)
A2
cos(t
)
6 简谐振动的能量
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
由 2 k /m
Ek
1 mv2 2
1 m2 A2 sin2(t )
2
1 kA2 sin2(t )
2
弹簧振子的总的机械能
E
Ek
Ep
1 2
k A2
弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时
1） t x，存在一一对应的关系; 即其决
定质点在时刻的t的位置.
2）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
由 x A cos(t )
v A sin(t )
A xmax
t 0 时,
x0 A cos
v0 A sin
① ②
①2+(②/)2
有
x02
v0
2
A2
A
x02
v0
2
②/①有: 2 相位
tg v0 / A v0
x0 / A
x0
在x Acos(t )中，t 称为振动的相位.
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
旋转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
所以，做匀速圆周运动的质点在某一直径上（x轴） 的投影的运动就是简谐运动.
物理模型与数学模型比较
简谐振动
旋转矢量
A
振幅
dt 2
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t )
9-2 简谐振动的描述
学习要点 1. 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确
定它们的数值？ 2. 了解相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 3. 知道利用旋转矢量来表示及研究谐振动的方法.
一 振幅和相位
1 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值. 由初始条件决定，表征了系统的能量.
F kx ma
a
d 2x dt 2
F
m
k x m
令 2 k
m
d 2x dt 2
k m
x
0
有
d 2x dt 2
2x
0
简谐振动微分方程
解微分方程
x A cos(t )
5 简谐振动速度和加速度
v dx A sin(t ) A cos(t )
dt
2
a
d2x dt2
A2
cos(t
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一 理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. 二 理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素.
三 理解旋转矢量法和相位差的意义, 会用旋转矢量法分析 和解决简谐振动问题, 会做振动曲线.
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2 超前和落后
若 =2-1>0, 则x2比x1较早达到正最大，称x2比
x1超前(或x1比x2落后).
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
2
1
> 0
x
o
超前 落后
t
3 同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相.
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调相
反，称反相.
A1 A2
x2x1 同相 T
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位
移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，
这种运动叫简谐运动. 2 简谐振动的条件 1）在平衡位置附近来回振动.
F弹
x
2）受回复力作用. 3 弹簧振子
ox
一个轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以 自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
4 简谐振动的微分方程
间发生周期性变化，但动能和势能的总合保持为一个常
量，即作简谐运动的系统机械能守恒.
简谐运动能量图
E
1 k A2 2
o T T 3T 42 4
7 振动曲线
x Acos(t )
Ek
Ep
Tt
x
A
o
T
A
2
Tt
二 简谐振动的固有周期
振动往复一次所需时间.
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
例：有一水平弹簧振子，设弹簧劲度系数 k=1.6N.m-1，物体质量m=0.4kg。今把物 体向右拉至距平衡位置0.1m处，并给以一 向左的初速度，大小为0.2m.s-1，然后放手。 试求物体在放手后第3末的运动状态。
v
m 0
ox
x
0
二 相位差
1 相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
o
- A2
t
-A1
两同相振动的振动曲线
x
A1
x1 反相
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
两反相振动的振动曲线
三 简谐振动的旋转矢量表示法
用匀速圆周运动表示简谐运动的位置变化.
设一质点沿圆心在O点而半径A的圆周作匀速运动，其
角速度为 .
规定 A A
设t=0时, 质点的径矢经过
A t x ox
与x轴夹角为 的位置
四 理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律.
9-1 简谐振动的规律
学习要点
1. 注意简谐振动的规律和特点. 知道如何判断一个振 动是否为简谐振动？
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 了解研究谐振子模型的意义何在？
一 简谐振动的定义
开始计时，则在时刻t此径矢与x轴的夹角为 t ,
质点在x轴上的投影式 x Acos(t )
其与简谐运动的定义公式相同.
2π
T
当t 0时
A
o
x0 x
x0 Acos
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
2π
T
t t 时
A
t
o
x x0 x
x Acos(t )
Acos(t T )
周期：T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
,T , 都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
由 2 k 弹簧振子周期 T 2π m
m
k
三 简谐振动的判断（满足其中一条即可）
1）物体回复力作用
F kx 平衡位置 x 0
2）简谐运动的动力学微分描述 d2 x 2 x 0
)
A2
cos(t
)
6 简谐振动的能量
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
由 2 k /m
Ek
1 mv2 2
1 m2 A2 sin2(t )
2
1 kA2 sin2(t )
2
弹簧振子的总的机械能
E
Ek
Ep
1 2
k A2
弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时
1） t x，存在一一对应的关系; 即其决
定质点在时刻的t的位置.
2）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
由 x A cos(t )
v A sin(t )
A xmax
t 0 时,
x0 A cos
v0 A sin
① ②
①2+(②/)2
有
x02
v0
2
A2
A
x02
v0
2
②/①有: 2 相位
tg v0 / A v0
x0 / A
x0
在x Acos(t )中，t 称为振动的相位.
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
旋转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
所以，做匀速圆周运动的质点在某一直径上（x轴） 的投影的运动就是简谐运动.
物理模型与数学模型比较
简谐振动
旋转矢量
A
振幅
dt 2
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t )
9-2 简谐振动的描述
学习要点 1. 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确
定它们的数值？ 2. 了解相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 3. 知道利用旋转矢量来表示及研究谐振动的方法.
一 振幅和相位
1 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值. 由初始条件决定，表征了系统的能量.
F kx ma
a
d 2x dt 2
F
m
k x m
令 2 k
m
d 2x dt 2
k m
x
0
有
d 2x dt 2
2x
0
简谐振动微分方程
解微分方程
x A cos(t )
5 简谐振动速度和加速度
v dx A sin(t ) A cos(t )
dt
2
a
d2x dt2
A2
cos(t
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一 理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. 二 理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素.
三 理解旋转矢量法和相位差的意义, 会用旋转矢量法分析 和解决简谐振动问题, 会做振动曲线.
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2 超前和落后
若 =2-1>0, 则x2比x1较早达到正最大，称x2比
x1超前(或x1比x2落后).
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
2
1
> 0
x
o
超前 落后
t
3 同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相.
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调相
反，称反相.
A1 A2
x2x1 同相 T