第九章振动学基础
第9章振动学基础习题
第9章振动学基础习题9.1 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1cos（8πt＋2π/3）（SI）的规律振动，求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度与加速度的最大值；（2）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（3）t＝1、2、5、10s等各时刻的相位；（4）分别画出振动的x-t图线，v-t图线和a-t图线；（5）画出这些振动的转动矢量图示，并在图中指明t＝1、2、5、10s时矢量的位置。
9.2 一个弹簧振子m=0.5kg，k=50N／m，振幅A=0.04m，求：（1）振动的圆频率，最大速度和最大加速度；（2）当振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力；（3）以速度具有正的最大值时为计时起点，写出振动的表达式。
9.3 一质点在x=0附近沿x轴作简谐振动。
在t=0时位置为x=0.37cm，速度为零，振动频率为0.25Hz。
试求：（1）周期、圆频率、振幅；（2）在时刻t的位置和速度；（3）最大速度和最大加速度的值；（4）在t=3.0s时的位置和速率。
9.4 作简谐振动的小球，速度最大值为v m=3cm/s，振幅A=2cm，若从速度为正的最大值时开始计算时间，求：（1）振动的周期；（2）加速度的最大值；（3）振动表达式。
9.5 如图，两轻弹簧与小球串联在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A、B之间，整个系统放在水平面上。
设弹簧的原长为l1、l2，倔强系数为k1、k1，A、B间距离为L，小球的质量为m。
（1）试确定小球的平衡位置。
（2）使小球沿弹簧长度的方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否是简谐振动？振动的周期为多少？9.6 一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量为m的盘子。
现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，盘子开始振动起来。
（1）此时振动周期与空盘振动的周期各为多少？（2）此时振动的振幅。
9-振动学基础
，初位相2=___________.
答案：4cm 2π/3 提示：运用旋转矢量法，如图。
y
A
A2
A1
O
x
解答 12 题
-7-
二、选择题
1、下列说法正确的是： (A) 简谐振动的运动周期与初始条件无关；(B) 一个质点在返回平衡位置的力作用下，一定做简谐振 动；(C) 已知一个谐振子在 t =0 时刻处在平衡位置，则其振动初相为π/2；(D) 因为简谐振动机械能守恒， 所以机械能守恒的运动一定是简谐振动。
周期 T；2）当速度是 12cm/s 时的位移。
9-S 简谐振动的运动规律
4、如图，一质点在一直线上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A 点时作为计时起点（t=0），经
2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过 2 秒后第 2 次经过 B 点，若己知该质点在 A，B 两点具有相同的速率，
AB=10cm，求：1）质点的振动方程；2）质点在 A 点（或 B 点）处的速率。
计算 5 题
mF
7、有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为
x1
10 cos(2t
)
cm，
x2
10 cos(2t
)
2
cm，
O
计算 6 题
1) 求它们的合振动方程；
2) 另有一同方向的简谐振动 x3 2 cos(2t 3 ) cm，问当3 为何值时， x1 x3 的振幅为最大值？
8、一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A，周期为 T，其振动方程用余弦
(A) Asin ;
(B) Asin ; (C) A cos ; (D) A cos
y
Hale Waihona Puke 4、如图所示质点的简谐振动曲线所对应的振动方程是：
振动学基础---练习题
振动学基础---练习题一、选择1、物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是 [ ]（A ）在平衡位置加速度最大； （B ）在平衡位置速度最小； （C ）在运动路径两端加速度最大； （D ）在运动路径两端加速度最小。
2、作简谐运动的单摆，在最大角位移向平衡位置运动过程中 [ ]（A ）动能减少，势能增加； (B) 动能增加，势能减少；（C ）动能增加，势能增加； (D) 动能减少，势能减少。
3、弹簧振子沿直线作简谐振动，当振子连续两次经过相同位置时，以下说法正确的是（A ）加速度不同，动能相同； [ ] （B ）动能相同，动量相同； （C ）回复力相同，弹性势能相同； （D ）位移、速度和加速度都相同。
4、一弹簧振子，当0t =时，物体处在/2x A =（A 为振幅）处且向负方向运动，则它的初相为[ ]（A ）π3； （B ）π6； （C ）-π3； （D ）-π6。
5、把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。
若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 [ ](A) π ； (B) π/2 ； (C) 0 ； (D) θ 。
6、一质点作简谐振动，周期为T 。
当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 [ ](A) T /12 ； (B) T /8 ； (C) T /6 ； (D) T /4 7、一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 10.04cos(2)3x t ππ=+（SI ），从t = 0时刻起，到质点位置在x = -0.02 m 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 [ ](A)s 81； (B) s 61； (C) s 41； (D) s 21。
8、一弹簧振子，物体的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。
当物体通过平衡位置且向规定的正方向运动时开始计时。
机械振动学基础知识振动的相位与相位差的意义
机械振动学基础知识振动的相位与相位差的意义机械振动是物体在受到外力作用下产生的周期性运动。
在振动的过程中，相位和相位差是两个重要的概念，对于理解振动的特性和特征至关重要。
本文将介绍振动的相位和相位差的概念及其在机械振动学中的意义。
相位是描述振动状态的一个重要参数，它表示一个振动物体在一个周期内所处的位置。
在正弦振动中，我们通常用角度来表示相位，其范围为0到360度。
当物体从最大位移向负方向移动时，其相位逐渐增加，当再次到达最大位移时，相位为360度，即一个完整的周期。
相位的改变反映了振动物体在不同时间点的位置，可以帮助我们更清晰地了解振动的状态。
相位差是指振动系统中不同振动物体之间的相位关系。
当两个振动物体的相位差为0时，它们的振动状态完全一致，即两者的振动状态完全相同；当相位差为180度时，它们的振动状态完全相反，即一个在正向振动，另一个在负向振动；当相位差为90度或270度时，它们的振动状态存在一定的偏差，但仍然存在一定的关联性。
通过对相位差的分析，我们可以判断不同振动物体之间的运动状态，帮助我们进一步理解振动系统的特性。
在机械振动学中，相位和相位差的意义不仅在于描述振动的状态，更重要的是帮助我们分析振动系统的动态特性。
通过对振动的相位和相位差进行精确的测量和分析，我们可以确定振动系统的固有频率、共振频率以及其它重要的动态参数，为后续的振动控制和优化提供重要的参考依据。
因此，在研究机械振动时，我们需要充分理解振动的相位和相位差的概念，善于运用它们来分析和解决振动系统中的实际问题。
总之，相位和相位差是机械振动学中非常重要的概念，它们不仅帮助我们描述振动的状态，更重要的是帮助我们分析振动系统的动态特性。
只有深入理解和熟练运用相位和相位差的概念，我们才能更好地理解和控制振动系统的运动规律，为工程实践和科学研究提供更可靠的支持。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，激发大家对机械振动学的兴趣，促进振动领域的进一步发展与应用。
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
振动的基本知识
振动筛分具有筛分效率高、处 理能力大、结构紧凑、易于维 护等优点，广泛应用于煤炭、 选矿、化工、建材等行业的固
体物料筛分。
振动筛分的原理是利用激振器 使筛面产生一定频率和振幅的 振动，使物料在筛面上跳跃和 滚动，从而实现不同粒度物料 的分离。
振动筛分的主要参数包括筛面 材质、筛孔尺寸、振动参数等 ，这些参数的选择直接影响着 筛分效率和筛分质量。
01
03
振动输送的主要参数包括振幅、频率、倾斜角度等， 这些参数的选择直接影响着输送效率和物料特性。
04
振动输送的原理是利用激振器使输送带产生周期性振 动，使物料在输送带上受到周期性挤压和推动，从而 沿输送带向前移动。
振动筛分
振动筛分是利用振动原理，使 物料在筛面上产生周期性振动 ，从而使不同粒度的物料通过 筛孔进行分离的一种筛分方式
互易法
通过测量输入和输出信号，利用互易原理计算系统的动态特性。
模态分析法
通过对系统施加激励，测量系统的响应，利用模态分析技术识别系统 的模态参数。
振动监测的设备
振动传感器
用于测量结构的振动位移、速度和加速度等 参数。
信号分析仪
用于对采集到的振动数据进行频谱分析、时 域分析和相关分析等。
数据采集器
用于采集振动传感器的数据，并进行处理和 分析。
振动破碎
振动破碎是利用振动原理，使物料在 振动过程中产生周期性应力变化，从 而使大块物料破碎成小块的一种破碎 方式。
振动破碎的原理是利用激振器使破碎 机产生一定频率和振幅的振动，使物 料在破碎腔内受到周期性挤压和碰撞 ，从而逐渐破碎成小块。
振动破碎具有破碎效率高、能耗低、 易于维护等优点，广泛应用于采矿、 冶金、建筑等行业的硬物料破碎。
高二物理 (人教大纲版)第二册 第九章 机械振动 二、振幅、周期和频率(第一课时)
二、振幅、周期和频率从容说课本节课讲述描述简谐运动的振幅、周期和频率等几个物理量.它是上节课对简谐运动研究的延续,在上节课的基础上引进振幅用来直接反映简谐运动中的最大位移,间接反映简谐运动的能量,引进周期和频率用来反映简谐振动重复运动的快慢.只有切实理解了本节所学的几个物理量,才能更好地、更全面地反映出简谐运动的运动特征.尤其对以后的学习会起到很重要的作用.例如：对交变电流、电磁振荡等知识的学习.结合本节内容的特点,对本节教学的目标定位于：1.知道周期、振幅、频率三个物理量的定义,并理解其物理意义.2.理解周期与频率的关系，并能对二者进行换算．3.知道物体振动固有周期和固有频率．本节课的教学重点在于对周期、频率、振幅的认识和理解．本节课的教学难点是理解振幅与简谐运动能量的定性关系.以及振幅与位移的区别.为了突出重点、突破难点。
使学生能更好地接受知识，本节课采用先学后教、实验演示、讨论总结等方法。
以加深学生的理解,同时采用多媒体辅助教学,以激发学生的学习兴趣，达到圆满完成教学任务的目的．本节课的教学顺序确定如下：复习提问→新课导人→指导自学→归纳总结→强化练习→小结．一、知识目标 _1.知道描述简谐运动的周期、振幅、频率三个物理量．2.理解周期与频率的关系,并能进行两者间的换算．3.了解物体振动的固有周期和固有频率．二、能力目标1.培养学生对知识的归纳、总结能力.2.提高学生对实验的观察、分析能力.三、德育目标通过对简谐运动周期性的学习,使学生理解社会新旧更替.螺旋前进的道理。
教学重点对简谐运动周期、频率、振幅的认识和理解．教学难点1.理解振幅间接反映振动能量的理论依据．2.区分振幅与位移两个物理量．教学方法指导性自学、实验演示、多媒体辅助相结合的综合教学法．教学用具投影片、弹簧振子、秒表、CAI课件课时安排l课时教学过程一、新课导入1.复习提问①什么叫机械振动?②什么叫简谐运动?2.导人通过上节的学习,我们知道了什么是简谐运动,但如何对简谐运动来进行定性的描述和定量的计算呢?这就需要我们引进一些能反映简谐运动特性的物理量——周期、频率和振幅，本节我们就共同来学习这些物理量．二、新课教学(一)振幅、周期和频率．基础知识请学生阅读课文第一部分，同时思考下列问题：[投影片出示]1.什么叫振幅?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?2.什么叫周期?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?3.什么叫频率?其物理意义是什么?单位又是什么?用什么符号表示?学生阅读后,得出以上问题的结论：1.a.振动物体离开平衡位置的最大位移叫振幅．b.振幅用来反映振动物体振动的强弱．c.振幅的单位是：米(m)．d.振幅的符号是：A．2.a.做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期．b.周期是用来反映物体振动快慢的物理量．c.周期的单位是：秒(s)．d.周期常用符号：T．3.a.做简谐运动的物体，在单位时间内完成全振动的次数叫频率．b.频率是用来反映物体振动快慢的物理量．c.频率的单位是：赫兹(Hz)．d.频率的常用符号：f．深入探究请同学们结合前面所学，考虑以下问题：[投影出示]1.振幅与位移有何区别，有何联系?2.周期与频率有何区别，有何联系?3.试以弹簧振子为例描述一次全振动．学生经过思考、讨论、归纳总结后得出上述问题的结论：1.振幅与位移的区别：a.物理意义不同．振幅是用来反映振动强弱的物理量；位移是用来反映位置变化的物理量．b.矢量性不同.振幅是一标量,只有大小,没有方向；位移是一矢量,既有大小又有方向．振幅与位移的相同点：a.都是反映长度的物理量.振幅是偏离平衡位置的最大距离；位移是偏离平衡位置的距离．其单位都是长度单位．b.位移的最大值就是振幅．2.周期与频率的区别：a.物理意义不同.周期是完成一次全振动所需要的时间；频率是单位时间内完成的全振动的次数．b.单位不同.周期的国际单位是秒；频率的国际单位是赫兹．周期与频率的联系：a.都是用来反映振动快慢的物理量.周期越大,振动得越慢；频率越大,振动得越快.b.周期与频率互成倒数关系．即：T=1．f①O→A→O→A′→O②A→O→ A′→O→A③A′→O→A→O→A′④O→A′→O→A→O教师总结通过上面的学习，我们对描述简谐运动的三个物理量：振幅、周期、频率，已有了一定的认识.下面我们简单应用一下．基础知识应用1.弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，B→C运动时间为1 s，如图所示.则 ( )A．从O→C→O振子做了一次全振动B.振动周期为1s,振幅是10cmC.经过两次全振动．通过的路程是 20cmD.从B开始经3s，振子通过路程是30cm2.一个弹簧振子.第一次把弹簧压缩x后开始振动.第二次把弹簧压缩2x后开始振动,则两次振动的周期之比和最大加速度的大小之比为（）A.1：2，1：2B.1:1,1:1C.1:2,1:2D.1:2,1:13.一个做简谐运动的质点,先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s.如图所示,经过B点后再经过t=0.5 s 质点以方向相反、大小相同的速一次通过B点．则质点振动的周期是( )A.0.5 s，B.10sC.2.O sD.4.0s[参考答案]1.解析：振子从0→C→0时位移虽然相同,但速度的方向不同,振动只是半次全振动故A错.振子从B→c是半次全振动，故周期T=2 s，振幅A=OB=BC =52cm．故B错．由全振动的定义知：振子由B→C→B为一次全振动,振子路程s=4 A＝4× 5＝20 cm,所以两个全振动的路程中2×20cm=40cm,故C错。
第9章 振动学基础
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
2.弹簧振子振动的微分方程 弹簧振子偏离平衡位置
上式可求得 在 0,2π 区间内两个解，应进一步
由 x0,v0 的符号判定 cos 和 sin 的符号后选定其中
的一个解.
二、相位差
1.相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
O为平衡位置做简谐振动.
x Acos(t )
可见，旋转矢量的长度
A、角速度 和t=0时与x轴 的夹角 分别代表投影点简
M
A t x
OP
谐振动的三个特征量：振幅、
角频率和初相位.
振动的任相一位时.刻规旋定转矢A 量沿逆与时x轴针的方夹向角转动t ，则为相投位影点t 简谐
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2.超前和落后
若 2 1 0，则x2比x1较早达到正最大，
称x2比x1超前(或x1比x2落后).
3.同相和反相
当 =2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，称
间发生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常
量，即系统的机械能守恒.
E
1 k A2 2
Ek
Ep
o t T T 3T T 42 4
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
大学物理参考答案(白少民)第9章 振动学基础
+ x 所以有振动方程
1 k1 k 2 ( ) x = 0 ，则 ω = m k1 + k 2
9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式. 解：对于单摆系统中的物体 m，其振动动能 系统的势能（重力势能） 而系统的总能量 所以 1 2
Ek =
1 1 2 mυ 2 = ml 2θ 2 2
动能与势能相等，即 E k = E p
( n = 0, 1, 2, ) ，由此得在下式 4 2 nπ / 2 ± π / 4 t= = ( 2n + 1)T / 8 表示的时刻动能和势能相等： ω 9.14 质量为 10g 的物体作简谐振动 ,其振幅为 24cm,周期为 1.0s,当 t=0 时,位移为+24cm,求： （1） t =1/ 8 s 时物体的位置以及所受力的大小和方向；（ 2）由起始位置运动到 x=12cm 处 所需要的最少时间；（3）在 x=12cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。 解：A=24cm=0.24m， ω = 2πν = 2π / T = 2π rad / s x = 0.24 cos 2π t 由 t=0 时 x=0.24m 得初相 ϕ = 0 . 所以简谐振动为 （1） t =1 / 8 s 时，位移为 x = 0.24 cos 2π ×1 / 8 = 0.24 × 2 / 2 = 0.17 m = −0.01 × ( 2π ) 2 × 0.24 cos 2π / 8 = −6.7 ×10 −2 N . 负号代表方向与位 x 所受力 f = m 移的方向相反。 1 （2）由 0.12 = 0.24 cos 2π t 得最少时间 t = s 6 （3）在 x =12cm处（即t =1 / 6 s) = −2π × 0.24 sin 2πt = −2π × 0.24 sin π / 3 = −1.31m/s 物体的速度 υ = x 1 1 E k = mυ 2 = × 0.01 × ( −1.31) 2 = 8.6 ×10 −3 J 动能 2 2 势 能 1 1 π 1 1 E p = kx 2 = mω 2 A 2 cos 2 = × 0.01 × (2π ) 2 × (0.24) 2 × = 2.8 ×10 −3 J 2 2 3 2 4
理学振动学基础
E pmax , E pmin , E p
情况同动能。
(3) 机械能
E
Ek
Ep
1 2
kA2
简谐振动系统机械能守恒，与 振幅平方成正比。
25
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Ep
1 kA2 2
cos2 t
1 kA2 1 cos2t
4
Ek
1 kA2 sin 2 t
2
1 kA2 1 cos2t
4
解：由题意，T = 2 s
A t=0
方法一：由图， = /3，
x
=
4cos(t
+
3
) cm
方法二：由
t= 1s
时矢量位置
x
t 1, x 4 cos( ) 2 =± /3
4 sin( ) 0 = /3
22
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例4-3 一物体沿X 轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期 T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向 X 轴正向运动。 求:(1)简谐振动表达式;(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速 度;(3)物体从x =-0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡 位置所需时间。
解：（1）
x 0.12 cost
3
（2）
v
0.12
sint
3
a 0.12 2 cost
3
x 0.104m v 0.188m s1 a 1.03m s2
（3） x
0.06向X轴负方向运动时，1
2
3
第一次回平衡位置，2
3
2
所需时间为：t 3 2 2 3 5 s
6
23
A
第9章 物理,振动学基础 问答题
第9章 振动学基础9.1 试说明下列物体的运动是不是简谐振动？（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动．（2）曲线连杆机构使活塞作往复运动．（3）小磁针在地磁的南北方向附近摆动．答：简谐振动的特点是物体运动始终受一个弹性力或准弹性力的作用，使其离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化． （1）不是．因为小球和地面发生接触时，力瞬时发生巨大变化，且kx F -≠∑ ，小球所受的力不是一个弹性力或准弹性力．（2）不是．（3）不是．9.2 一个质点在一个使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐运动？ 答：否．当质点在一个使它返回平衡位置的弹性力（或准弹性力）的作用下，它一定作简谐运动．9.3 如果用物体所受的力来定义简谐振动，该怎样定义？答：简谐振动是质量为m 的质点在与质点的位移成正比而符号相反的力作用下的运动.9.4 试举出生活中按简谐振动规律变化的几个物理量．答：LC 振荡回路中电容器上的电荷、交流电的电流和电压都是按简谐振动规律变化的．9.5 作简谐振动物体的位置物理量x 满足微分方程0222=+x dtx d ω，从此方程判断作简谐振动物体的加速度和位移的关系． 答：从0222=+x dt x d ω可知x dtx d a 222ω-==，所以加速度与位移的大小成正比，但方向相反．9.6 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？答：()0cos ϕω+=t A x ，()0sin ϕωω+-=t A v ，()02cos ϕωω+-=t A a从正负最大位移处向平衡位置运动时速度和加速度是同号的．从平衡位置向正负最大位移处运动时速度和加速度是同异的．9.7 简谐振动的过程能量是守恒的，试问凡是能量守恒的过程就是简谐振动？ 答：简谐振动的过程221kA E =能量是守恒的，但是能量是守恒的过程不一定是简谐振动．例如，自由落体运动．9.8 三个完全相同的单摆，一个放在教室里，一个放在匀速运动的火车上，另一个放在匀加速上升的电梯中，试问它们的周期相同不？大小如何？ 答：它们的周期分别为：gl T π21=，g l T π22=，a g l T +=π23．所以放在教室里和放在匀速运动的火车上的单摆的周期相等，放在匀加速上升的电梯中的单摆的周期减小了．9.9 在单摆实验中，如把摆球从平衡位置拉开，使悬线与竖直方向成一小角)5(0≤ϕϕ，然后放手任其自由摆动，若以放手之时为记时起点，问此ϕ角是否为初相位0ϕ？答：根据已知，当开始记时时，摆球处在正的最大位移或负的最大位移处，对应的初相位应该是00=ϕ或πϕ=0，所以ϕ角不是初相位0ϕ．9.10 简谐振动的周期由什么确定？与初始条件有关吗？ 答：简谐振动的周期由振动系统本身的特性确定，例如弹簧振子的周期为k m T π2=（由弹簧的倔强系数和振子的质量决定），单摆的周期为gl T π2=（由摆长和当地的重力加速度决定），与初始条件无关．9.11 两个同方向同频率的简谐振动合成后合振动的振幅由哪些因素决定？答：合振动的振幅为()12212221cos 2ϕϕ-++=A A A A A ，由分振动的振幅和初相位决定．9.12 两个同方向不同频率的简谐振动合成后合振动是否为简谐振动？答：不是简谐振动．当两个简谐振动的频率不相同时，它们的相位差为)()()(1122t f t t =+-+=ϕωϕωϕ∆，相位差随时间变化，因此和振幅、圆频率也都将随时间变化，合振动不再是简谐振动．9.13 两个相互垂直的同频率的简谐振动满足什么条件时，它们的合振动仍然是简谐振动？答：当两个分振动的初相位差为πϕϕϕ∆或0=-=x y 时，它们的合振动仍然是简谐振动．9.14 五个振幅为A 的同方向同频率的简谐振动合成后仍为简谐振动，其合振幅为A ，这种情况可能吗？答：完全可能．9.15 两个相互垂直的分振动的频率不同，但频率之间成整数比，其合运动的轨迹是什么图形？答：合运动的轨迹是规则的稳定的闭合曲线（李萨如图形），而且闭合曲线的形状和分振动频率之比紧密相关．。
大学振动学基础教案
课程名称：振动学授课班级：XX年级XX班授课教师：XXX教学目标：1. 理解振动学的基本概念和原理。
2. 掌握简谐振动、阻尼振动、受迫振动等基本振动类型及其特性。
3. 能够运用振动学知识分析和解决实际问题。
教学重点：1. 简谐振动的描述及其动力学特征。
2. 阻尼振动和受迫振动的特性及共振现象。
3. 振动学在实际工程中的应用。
教学难点：1. 复杂振动问题的数学建模和分析。
2. 振动学在实际工程中的应用案例分析。
教学内容：一、简谐振动1. 简谐振动的定义和描述2. 简谐振动的运动学特征：位移、速度、加速度3. 简谐振动的动力学特征：回复力、能量、频率、周期二、阻尼振动1. 阻尼振动的定义和分类2. 阻尼振动方程及其解3. 阻尼曲线和临界阻尼三、受迫振动与共振1. 受迫振动的定义和特性2. 共振现象及其影响因素3. 共振现象的应用和危害四、振动学在实际工程中的应用1. 机械振动控制2. 建筑抗震设计3. 振动测量与监测教学过程：一、导入1. 介绍振动学在日常生活和工程中的应用背景。
2. 引导学生思考振动现象对人类生活的影响。
二、教学内容讲解1. 讲解简谐振动的定义、描述、运动学特征和动力学特征。
2. 讲解阻尼振动的定义、分类、方程及其解。
3. 讲解受迫振动的定义、特性、共振现象及其影响因素。
4. 讲解振动学在实际工程中的应用案例。
三、案例分析1. 分析机械振动控制的应用案例。
2. 分析建筑抗震设计的应用案例。
3. 分析振动测量与监测的应用案例。
四、课堂练习1. 学生独立完成相关习题，巩固所学知识。
2. 教师解答学生疑问，讲解解题思路。
五、总结与拓展1. 总结振动学的基本概念、原理和应用。
2. 拓展振动学在实际工程中的应用领域。
教学评价：1. 课堂练习和作业完成情况。
2. 学生对振动学知识的掌握程度。
3. 学生对振动学在实际工程中的应用案例分析能力。
大学物理下册目录
2021/4/9
9
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2021/4/9
10
2021/4/9
2
ห้องสมุดไป่ตู้
第十章 波动
10 - 1 机械波的几个概念 10 - 2 平面简谐波的波函数 10 - 3 波的能量 能流密度 10 - 4 惠更斯原理 波的衍射和干涉 10 - 5 驻波 10 - 6 多普勒效应 10 - 7 平面电磁波
2021/4/9
3
第十一章 光学
11 - 1 相干光 11 - 2 杨氏双缝干涉 劳埃德镜 11 - 3 光程 薄膜干涉 11 - 4 劈尖 牛顿环 11 - 5 迈克尔孙干涉仪 时间相干性
物理学（第五版） 下 册目录
第 九 章 振动
第 十 章 波动
第十一章 光学
第十二章 气体动理论 第十三章 热力学基础
第十四章 相对论
第十五章 量子物理
2021/4/9
1
第九章 振动
9 - 1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位 9 - 2 旋转矢量 9 - 3 单摆和复摆 9 - 4 简谐运动的能量 9 - 5 简谐运动的合成 9 – 7 电磁振荡
2021/4/9
6
第十三章 热力学基础
13-1 准静态过程 功 热量
13-2 热力学第一定律 内能
13-3 理想气体的四种典型过程 摩尔热容
13-5 循环过程 卡诺循环
13-6 热力学第二定律的表述 卡诺定理
13-7 熵 熵增加原理
13-8 热力学第二定律的统计意义
2021/4/9
7
第十四章 相对论
14 - 1 伽利略变换式 牛顿的绝对时空观 14 - 2 迈克尔孙－莫雷实验 14 - 3 狭义相对论和基本原理 洛伦兹变换式 14 - 4 狭义相对论的时空观 14 - 6 相对论性动量和能量
振动学知识点总结归纳
振动学知识点总结归纳一、振动学基础知识1.1 振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近来回作周期性运动的现象。
当物体在平衡位置周围出现微小偏离时，物体受到恢复力的作用，使其朝着平衡位置运动，从而形成振动。
1.2 振动的分类振动可分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下的振动，而受迫振动是指物体受到外力作用下的振动。
1.3 振动的描述振动可以通过振幅、周期、频率等指标进行描述。
振幅是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，频率是指单位时间内振动的次数。
1.4 振动的动力学方程物体在振动过程中受到恢复力和阻尼力的作用，可以通过动力学方程进行描述。
动力学方程可以用来描述物体的振动规律，求解物体的振动响应。
二、单自由度系统2.1 单自由度系统的基本模型单自由度系统是指只有一个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的基本模型之一。
单自由度系统的受力分析和振动方程可以通过牛顿定律和动能定理进行推导。
2.2 单自由度系统的自由振动单自由度系统在没有外力作用下的振动是自由振动，它可以通过解振动方程得到振动的时间变化规律。
自由振动的特点是振幅不变，频率固定。
2.3 单自由度系统的受迫振动单自由度系统受到外力作用时会发生受迫振动，外力的作用使得系统产生特定的振动响应。
受迫振动可以通过傅立叶分析和频谱分析进行研究，得到系统的振动响应特性。
2.4 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统在振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼振动是指系统在振动过程中能量不断减少的现象。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，频率不变。
2.5 单自由度系统的参数对振动的影响单自由度系统的质量、刚度和阻尼等参数对振动的影响是振动学研究的重要内容。
通过改变系统的参数，可以调控系统的振动特性，实现对系统振动的控制和优化。
三、多自由度系统3.1 多自由度系统的基本概念多自由度系统是指具有多个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的扩展和深化。
《振动分析基础》课件
主动控制和被动控制的应用实例
主动控制应用实例
在桥梁、高层建筑等大型结构中，采用主动控制技术抑制地震、风等引起的振动；在精 密仪器中，采用主动控制技术抑制微小振动，提高测量精度。
被动控制应用实例
在汽车和航空器中，采用被动控制技术降低振动和噪音；在电子设备中，采用被动控制 技术吸收电磁干扰，提高设备性能。
REPORTING
振动分析的基本概念和原理
频率
单位时间内振动的次数。
阻尼
振动系统内部或外部阻力使振 幅逐渐减小的性质。
振幅
振动物体离开平衡位置的最大 距离。
周期
完成一次振动所需的时间。
共振
当策动力的频率与物体的固有 频率相等时，振幅急剧增大的 现象。
PART 02
振动分析的基本理论
单自由度系统的振动分析
自由振动分析
环境工程中的振动分析应用
总结词
环境保护、噪声控制
详细描述
在环境工程中，振动分析被应用于环境保护和噪声控制等领域。通过分析环境中的振动信号，工程师可以了解噪 声的来源和传播途径，制定有效的噪声控制措施，从而改善环境质量，保护人们的健康和生活质量。
2023-2026
END
THANKS
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PART 05
振动分析的工程应用
机械工程中的振动分析应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
广泛应用、提高效率和性能
在机械工程中，振动分析被广泛应用于各种设备和机器的 设计、优化和故障诊断。通过分析振动数据，工程师可以 了解设备的运行状态，预测潜在的故障，从而提高设备的 效率和性能，延长使用寿命。
航空航天工程中的振动分析应用
阻尼振动
大学物理振动学基础第9讲阻尼振动
阻尼振动的情况和什么因素有关?
阻尼振动
讨论振动系统如弹簧振子在阻力作用下发生的减幅振动,
即阻尼振动.设物体所受阻力为
v
γ−=r f γ阻力系数
一、阻尼振动及微分方程
kx
f −=v
γ−=r f
弹簧振子的微分方程为
t
x kx t x m d d d d 22
γ−−=即
0d d d d 22
=++x m
k t x m t x γm
k =2
0 ω令
m γ
β=2β为阻尼系数
ω0为固有频率
二、阻尼振动的三种情况
小阻尼过阻尼临界阻尼
(
)
ϕ
βωβ+−=−t A x t
2
20
cos e
结论: 阻尼较小时, 振动为减幅振动, 振幅随时间按指数规律迅速减少.
(1) 小阻尼情况: 阻力很小0
ωβ<
结论:阻尼较大时, 振动从最大位移缓慢回到平衡位置,
不作往复运动.
(2) 过阻尼情况: 阻力很大0
ωβ>t t A A x ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−+−+=202202e
e
21ωββωββ
(3) 临界阻尼情况:
ωβ=t
t A A y β−+=e
)(21 结论: “临界阻尼”是质点不作往复运动的一个极限. 为准周期性运动转变为非周期性运动的临界状态.
减振阻尼钢板
钢板
三、应用举例
阻尼钢板用于汽车的油底
壳(下曲轴箱 ，位于发动机的下部)等部分，能有效地衰减振动、有效地减少噪声，给予人们舒适的感觉。
振动学基础(复习)
第十五章振动学基础§15-1简谐振动【基本内容】一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。
kxf-=, k为比例系数。
2、简谐振动的微分方程222=+xdtxdωmk=ω3、简谐振动的判据判据一kxf-=动力学判据判据二运动学判据判据三)cos(φω+=tAx运动方程4、简谐振动实例单摆小角度摆动、复摆、扭摆二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。
)cos(φω+=tAx)cos()sin(2φωωφωω+-=+-=tAatAv2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。
角频率：mk=ω周期：ωπ2=T频率：T1=ν振幅A ——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅A 和初相ϕ由初始条件决定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-)(0012202x v tg v x A ωϕω 度ω（1（2（3（4123、谐振动的机械能：2222121ωmA kA E E E p K ==+=弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。
【典型例题】【例15-1】半径为R 的木球静止浮于水面上时，其体积的一半浸于水中，求： （1）木球振动的微分方程；22222)31(dtxd m g R x x R =--ρπ平衡位置时：ρπ33421R m ⋅=，故 0)31(232222=-+Rx x R g dt x d 此即木球的运动微分方程。
当R x <<时，0322→R x02322=+x R gdtx d 木球作简谐振动g R T R g 3222,23πωπω===【例15-2】 弹簧下挂g m 1000=的法码时，弹簧伸长cm 8。
9-2简谐振动的规律
简谐振动的规律
2
第九章 振动学基础
1 E = kA 2
简谐运动能量守恒， 简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
−A
B
Ek
Ep
O
x
+A
x
9 – 2
简谐振动的规律
第九章 振动学基础
作简谐运动， 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m ⋅ s −2 ，求： （1）振动的周期； ）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； ）通过平衡位置的动能； （3）总能量； ）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？ 解 （1） ）
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定. 振幅和初相由初始条件决定
9 – 2
简谐振动的规律
第九章 振动学基础
讨论
已知 t
= 0, x = 0, v < 0 求 ϕ
0 = A cos ϕ
π ϕ =± 2 ∵ v0 = − Aω sin ϕ < 0
−3
−3
E = Ek ,max= 2.0 × 10 J
= Ep 时， Ep = 1.0 ×10 J 1 2 1 由 Ep = kx = mω 2 x 2 2 2 2 Ep −4 2 2 x = = 0.5 × 10 m 2 mω x = ±0.707cm
（4） Ek ）
9 – 2
简谐振动的规律
第九章 振动学基础
= 解 A＇
= > 0 ，由旋转矢量图可知 ϕ＇ − π 4 π −1 x = A cos(ωt + ϕ ) = (0.0707 m ) cos[( 6.0s )t − ]
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间发生周期性变化，但动能和势能的总合保持为一个常
量，即作简谐运动的系统机械能守恒.
简谐运动能量图
E
1 k A2 2
o T T 3T 42 4
7 振动曲线
x Acos(t )
Ek
Ep
Tt
x
A
o
T
A
2
Tt
二 简谐振动的固有周期
振动往复一次所需时间.
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
0
2
1
> 0
x
o
超前 落后
t
3 同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相.
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调相
反，称反相.
A1 A2
x2x1 同相 T
o
- A2
t
-A1
两同相振动的振动曲线
x
A1
x1 反相
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
两反相振动的振动曲线
三 简谐振动的旋转矢量表示法
用匀速圆周运动表示简谐运动的位置变化.
设一质点沿圆心在O点而半径A的圆周作匀速运动，其
角速度为 .
规定 A A
设t=0时, 质点的径矢经过
A t x ox
与x轴夹角为 的位置
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2 超前和落后
若 =2-1>0, 则x2比x1较早达到正最大，称x2比
x1超前(或x1比x2落后).
F kx ma
a
d 2x dt 2
F
m
k x m
令 2 k
m
d 2x dt 2
k m
x
0
有
d 2x dt 2
2x
0
简谐振动微分方程
解微分方程
x A cos(t )
5 简谐振动速度和加速度
v dx A sin(t ) A cos(t )
dt
2
a
d2x dt2
A2
cos(t
四 理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律.
9-1 简谐振动的规律
学习要点
1. 注意简谐振动的规律和特点. 知道如何判断一个振 动是否为简谐振动？
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 了解研究谐振子模型的意义何在？
一 简谐振动的定义
开始计时，则在时刻t此径矢与x轴的夹角为 t ,
质点在x轴上的投影式 x Acos(t )
其与简谐运动的定义公式相同.
2π
T
当t 0时
A
o
x0 x
x0 Acos
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
2π
T
t t 时
A
t
o
Hale Waihona Puke x x0 xx Acos(t )
由 x A cos(t )
v A sin(t )
A xmax
t 0 时,
x0 A cos
v0 A sin
① ②
①2+(②/)2
有
x02
v0
2
A2
A
x02
v0
2
②/①有: 2 相位
tg v0 / A v0
x0 / A
x0
在x Acos(t )中，t 称为振动的相位.
1 定义
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位
移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，
这种运动叫简谐运动. 2 简谐振动的条件 1）在平衡位置附近来回振动.
F弹
x
2）受回复力作用. 3 弹簧振子
ox
一个轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以 自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
4 简谐振动的微分方程
以 o为 原点旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
旋转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
所以，做匀速圆周运动的质点在某一直径上（x轴） 的投影的运动就是简谐运动.
物理模型与数学模型比较
简谐振动
旋转矢量
A
振幅
)
A2
cos(t
)
6 简谐振动的能量
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
由 2 k /m
Ek
1 mv2 2
1 m2 A2 sin2(t )
2
1 kA2 sin2(t )
2
弹簧振子的总的机械能
E
Ek
Ep
1 2
k A2
弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时
dt 2
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t )
9-2 简谐振动的描述
学习要点 1. 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确
定它们的数值？ 2. 了解相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 3. 知道利用旋转矢量来表示及研究谐振动的方法.
一 振幅和相位
1 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值. 由初始条件决定，表征了系统的能量.
1） t x，存在一一对应的关系; 即其决
定质点在时刻的t的位置.
2）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一 理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. 二 理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素.
三 理解旋转矢量法和相位差的意义, 会用旋转矢量法分析 和解决简谐振动问题, 会做振动曲线.
Acos(t T )
周期：T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
,T , 都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
由 2 k 弹簧振子周期 T 2π m
m
k
三 简谐振动的判断（满足其中一条即可）
1）物体回复力作用
F kx 平衡位置 x 0
2）简谐运动的动力学微分描述 d2 x 2 x 0
例：有一水平弹簧振子，设弹簧劲度系数 k=1.6N.m-1，物体质量m=0.4kg。今把物 体向右拉至距平衡位置0.1m处，并给以一 向左的初速度，大小为0.2m.s-1，然后放手。 试求物体在放手后第3末的运动状态。
v
m 0
ox
x
0
二 相位差
1 相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，