空间直角坐标系及其应用课件
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空间直角坐标系PPT课件
⑵AB AD AA'
AC AA' AC CC'
AC'
D A
C’ B’
C B
例2已知平行六面体ABCD A' B 'C ' D '，化简下
列向量表达式，并标出化简结果的向量： ⑶AB AD 1 CC'
2
解：⑶设M是线段CC’的中点，则
AB AD 1 CC' 2
AC CM
⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a 3a
三、空间向量的数乘运算 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a ()a ()a
例1 已知平行六面体 ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC；
空间直角坐标系
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)Oxx Nhomakorabea一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.与平面向量一样，对空间任意两个向量
a, b(b 0) 的充要条件是存在实数 λ 使
a λb
空间直角坐标系 课件
∴B(5,0,0)，D(0,4,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(5,4,0)，B1(5,0,4)．
图(1)
又 D1(0,4,4)，P 为 B1D1 的中点，∴P(52，2,4)．
[错因] 空间直角坐标系中，x轴、y轴和z轴的正方向排 列次序要符合右手法则，即用右手握住z轴，拇指所指 的方向为z轴的正方向，其余四指所指的方向为由x轴正 向到y轴正向的转动方向．错解中，坐标系的建立不符 合右手法则，因此解答是不正确的．
图(2)
∴P(2，52，4)．
[正解] 如图(2)，分别以 AD、AB 和 AA1 所在直线为 x 轴、y
轴和 z 轴，建立空间直角坐标系．
∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，
∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(4,5,0)，B1(0,5,4)． 又 D1(4,0,4)，P 为 B1D1 的中点，
探究点一 空间中点的坐标的确定
(1)过空间一点M分别作三个坐标平面的平行平面，与三个 坐标轴的交点的坐标分别为点M的横、纵、竖坐标．
(2)特殊位置点的坐标的特征． x轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中x为任意实数； y轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中y为任意实数； z轴上的点的坐标为(0,0，z)，其中z为任意实数； xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，其中x，y为任意实数； xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，其中x，z为任意实数； yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，其中y，z为任意实数．
已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，建立如 图不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点 的坐标．
[提示]在不同的空间直角坐标系下，同一个点的坐标是 不同的，应分别写出．
空间直角坐标系PPT课件
通过透视变换将三维图形投影 到某一平面上，产生近大远小
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互 相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互 相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该 点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标 系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量， 从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间 的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一 维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正 交性和无限延展性，是描述空间 中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是空间直角坐标系的起 点。
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互 相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互 相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该 点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标 系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量， 从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间 的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一 维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正 交性和无限延展性，是描述空间 中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该 点是空间直角坐标系的起 点。
高中数学必修课件第二章空间直角坐标系
台体
台体是由两个平行且小于大底面的截面所截得的几何体，在空间直角坐标系中可以通过上 下底面的方程和高度来描述。
几何体顶点、棱长等参数求解
要点一
顶点坐标
对于给定的几何体方程，可以通过解 方程求得顶点的坐标。例如，对于圆 锥方程$z = sqrt{x^2 + y^2} tan(theta)$，当$x=y=0$时， $z=0$，即顶点在原点。
质。
06
空间直角坐标系在实际问 题中应用
地球经纬度系统简介及转换方法
要点一
地球经纬度系统概述
要点二
经纬度与空间直角坐标系的转换
地球经纬度系统是一种以经度和纬度来表示地球上任意位 置的方法，广泛应用于地理、导航、气象等领域。
在实际应用中，经常需要将经纬度坐标转换为空间直角坐 标系中的坐标，或者将空间直角坐标系中的坐标转换为经 纬度坐标。这种转换可以通过一定的数学公式和算法来实 现。
点与坐标对应关系
空间中的每一个点都唯一对应一个三元组坐标，反之每一个三元组坐标也唯一对 应空间中的一个点。
空间向量及其运算规则
01
空间向量定义
既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模，方向由起
点指向终点。
02
向量表示
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组来表示，即向量的坐
标表示。
03
向量运算
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点积等，其中加法和减法遵循
平行四边形法则和三角形法则，数乘是将向量与标量相乘得到新的向量
，点积则是两个向量的数量积运算。
02
空间直角坐标系中点与线 关系
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量投影的概念，推 导出点到直线的距离公式 。
台体是由两个平行且小于大底面的截面所截得的几何体，在空间直角坐标系中可以通过上 下底面的方程和高度来描述。
几何体顶点、棱长等参数求解
要点一
顶点坐标
对于给定的几何体方程，可以通过解 方程求得顶点的坐标。例如，对于圆 锥方程$z = sqrt{x^2 + y^2} tan(theta)$，当$x=y=0$时， $z=0$，即顶点在原点。
质。
06
空间直角坐标系在实际问 题中应用
地球经纬度系统简介及转换方法
要点一
地球经纬度系统概述
要点二
经纬度与空间直角坐标系的转换
地球经纬度系统是一种以经度和纬度来表示地球上任意位 置的方法，广泛应用于地理、导航、气象等领域。
在实际应用中，经常需要将经纬度坐标转换为空间直角坐 标系中的坐标，或者将空间直角坐标系中的坐标转换为经 纬度坐标。这种转换可以通过一定的数学公式和算法来实 现。
点与坐标对应关系
空间中的每一个点都唯一对应一个三元组坐标，反之每一个三元组坐标也唯一对 应空间中的一个点。
空间向量及其运算规则
01
空间向量定义
既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模，方向由起
点指向终点。
02
向量表示
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组来表示，即向量的坐
标表示。
03
向量运算
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点积等，其中加法和减法遵循
平行四边形法则和三角形法则，数乘是将向量与标量相乘得到新的向量
，点积则是两个向量的数量积运算。
02
空间直角坐标系中点与线 关系
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量投影的概念，推 导出点到直线的距离公式 。
空间直角坐标系ppt课件
坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6， 故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对 称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的 对 称 点 为 P2 ， 点 P2 关 于 z 轴 的 对 称 点 为 P3 ， 则 (点2，P－3 的3，坐1)标 为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向 量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交 基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？ 提示 (x，y，z)；(x，y，z).
2.14空间直角坐标系ppt课件
求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出 相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式 求值．
4．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)． (1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|； (2)若xOz平面上的点M到A点的距离与到B点的 距离相等，求点M的坐标满足的条件．
解析： (1)由于点 P 在 x 轴上，故可设 P(a,0,0)， 由|PA|＝|PB|得 a－12＋4＋1＝ a－22＋4， 即 a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得 a＝1， 所以点 P 的坐标为(1,0,0)．
点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量 均不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1 ，－4)． 设点P关于点A的对称点坐标为P3(x，y，z)， 由中点坐标公式可得
－22＋x＝1 1＋ 2 y＝0 4＋ 2 z＝2
x＝4
，解得y＝－1 . z＝0
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点
O 引三条两两垂直，且有相同单位长
度的数轴：_x_轴__、__y_轴__、__z_轴_____，这样
就建立了一个_空__间__直__角__坐__标__系__O__－__x_y_z___.
(2)相关概念：__点__O___叫做坐标原点，_x_轴__、__y_轴__、__z_轴____
互相垂直且有相同单位长 定点o• 度的数轴,这样就建立了空
y纵轴
间直角坐标系O-xyz.点O 横 x
叫坐标原点;
轴
2.两条确定一个坐标平
面,分别称为xoy面,yoz面,zox面
yoz面
xoy面
x
z
zox 面
空间直角坐标系ppt课件
对应一个向量 OA ，且点 A 的位置由向量 OA 唯一确定，由空间向量基本定理，存在
唯一的有序实数组（x，y，z），使 OA xi yj zk .
z
在单位正交基底{i，j，k}下与向量 OA 对应的
有序实数组（x，y，z），叫做点 A 在空间直角坐标
系中的坐标，记作 A（x，y，z），其中 x 叫做点 A 的
么点 A（向量 OA ）的坐标为（x，y，z）.
z
k
i
x
.A
O j
y
空间直角坐标系中，点在坐标轴上或在坐标平面上时，其坐标的特点
（1）x轴上点的坐标中，纵坐标和竖坐标为0;
z
• C
（2）y轴上点的坐标中，横坐标和竖坐标为0;
（3）z轴上点的坐标中，横坐标和纵坐标为0.
1
O•
•
F
• 1
A
x
• E
•
1
下的坐标是 , ,3 .
2
2 2
z 3,
z 3,
故选 B.
3.在空间直角坐标系中，已知点 A 2, 1,3 ，B 4,1, 1 ，则线段 AB 的中点坐标是(
A. 1, 0, 2
B. 1, 0,1
C. 3, 0,1
向量的运算，所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.
类比于前面学过的平面向量的相关知识，平面向量的运算可以转化为
数的运算，那么，空间向量的运算是否也可以转化为数的运算？
能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐
标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面
我们就来研究这个问题.
唯一的有序实数组（x，y，z），使 OA xi yj zk .
z
在单位正交基底{i，j，k}下与向量 OA 对应的
有序实数组（x，y，z），叫做点 A 在空间直角坐标
系中的坐标，记作 A（x，y，z），其中 x 叫做点 A 的
么点 A（向量 OA ）的坐标为（x，y，z）.
z
k
i
x
.A
O j
y
空间直角坐标系中，点在坐标轴上或在坐标平面上时，其坐标的特点
（1）x轴上点的坐标中，纵坐标和竖坐标为0;
z
• C
（2）y轴上点的坐标中，横坐标和竖坐标为0;
（3）z轴上点的坐标中，横坐标和纵坐标为0.
1
O•
•
F
• 1
A
x
• E
•
1
下的坐标是 , ,3 .
2
2 2
z 3,
z 3,
故选 B.
3.在空间直角坐标系中，已知点 A 2, 1,3 ，B 4,1, 1 ，则线段 AB 的中点坐标是(
A. 1, 0, 2
B. 1, 0,1
C. 3, 0,1
向量的运算，所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.
类比于前面学过的平面向量的相关知识，平面向量的运算可以转化为
数的运算，那么，空间向量的运算是否也可以转化为数的运算？
能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐
标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面
我们就来研究这个问题.
空间直角坐标系通用课件
向量的数量积、向量积和混合积
通过向量的数量积、向量积和混合积，可以研究向量的长度、角度、向量的平行 与垂直等关系。
空间几何图形的表示与计算
平面几何图形
在空间直角坐标系中，可以表示平面几何图形，如三角形、 四边形、圆等，并研究其性质和计算面积、体积等。
立体几何图形
利用空间直角坐标系，可以表示三维几何图形，如长方体、 圆柱体、圆锥体等，并研究其性质和计算表面积、体积等。
各坐标轴的单位长度可以 根据实际需要设定，通常 为厘米或米等。
空间点的坐标表示
点P的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点P可以用三个实数来表示，这三个实数分别是 点P在三个坐标轴上的投影点的坐标值。
坐标表示方法
设点P在x轴、y轴和z轴上的投影点分别为P₁、P₂和P₃，则点P的坐标可以表示为 (x, y, z)，其中x=x₁, y=y₂, z=z₃。
柱面坐标系是以某一方向为轴线 ，以原点为中心，以一定长度为 范围的柱面来表示空间位置的坐
标系。
三个参数
柱面坐标系由三个参数确定，分别 是方位角、仰角和距离。
转换关系
柱面坐标系与直角坐标系之间可以 通过一系列的坐标变换进行转换。
任意曲线坐标系
定义
任意曲线坐标系是指以任意曲线为轴 线，以该曲线上某一点为中心，以一 定长度为范围的曲线来表示空间位置 的坐标系。
旋转变换可以用旋转变换矩阵来表示，该矩阵表示了每个点在旋转过程中 的角度和旋转轴的方向。
旋转变换在三维空间中也是可逆的，即可以通过旋转变换矩阵的逆矩阵来 恢复原始位置。
坐标变换的矩阵表示
坐标变换的矩阵表示是一种通用的方法，可以将平移变换和旋转变换等操作统一表示为 矩阵乘法运算。
通过坐标变换的矩阵表示，我们可以方便地实现三维空间中任意两个坐标系之间的转换 ，从而方便地描述三维空间中物体的位置和运动状态。
通过向量的数量积、向量积和混合积，可以研究向量的长度、角度、向量的平行 与垂直等关系。
空间几何图形的表示与计算
平面几何图形
在空间直角坐标系中，可以表示平面几何图形，如三角形、 四边形、圆等，并研究其性质和计算面积、体积等。
立体几何图形
利用空间直角坐标系，可以表示三维几何图形，如长方体、 圆柱体、圆锥体等，并研究其性质和计算表面积、体积等。
各坐标轴的单位长度可以 根据实际需要设定，通常 为厘米或米等。
空间点的坐标表示
点P的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点P可以用三个实数来表示，这三个实数分别是 点P在三个坐标轴上的投影点的坐标值。
坐标表示方法
设点P在x轴、y轴和z轴上的投影点分别为P₁、P₂和P₃，则点P的坐标可以表示为 (x, y, z)，其中x=x₁, y=y₂, z=z₃。
柱面坐标系是以某一方向为轴线 ，以原点为中心，以一定长度为 范围的柱面来表示空间位置的坐
标系。
三个参数
柱面坐标系由三个参数确定，分别 是方位角、仰角和距离。
转换关系
柱面坐标系与直角坐标系之间可以 通过一系列的坐标变换进行转换。
任意曲线坐标系
定义
任意曲线坐标系是指以任意曲线为轴 线，以该曲线上某一点为中心，以一 定长度为范围的曲线来表示空间位置 的坐标系。
旋转变换可以用旋转变换矩阵来表示，该矩阵表示了每个点在旋转过程中 的角度和旋转轴的方向。
旋转变换在三维空间中也是可逆的，即可以通过旋转变换矩阵的逆矩阵来 恢复原始位置。
坐标变换的矩阵表示
坐标变换的矩阵表示是一种通用的方法，可以将平移变换和旋转变换等操作统一表示为 矩阵乘法运算。
通过坐标变换的矩阵表示，我们可以方便地实现三维空间中任意两个坐标系之间的转换 ，从而方便地描述三维空间中物体的位置和运动状态。
空间直角坐标系及点的坐标表示PPT课件
定义
在空间直角坐标系中，一个点P 可以用三个实数x、y、z来表示，
这三个实数称为点P的坐标。
坐标轴
空间直角坐标系由三条互相垂直 的坐标轴X、Y、Z组成，其中X 轴与Y轴构成平面直角坐标系。
点的坐标表示
点P在直角坐标系中的表示方法 为(x, y, z)。
点在极坐标系中的表示
01
02
03
04
定义
在空间中，一个点P可以用极 径ρ和极角θ来表示，这种表示
通过球面坐标与直角坐标之间的转换公式将点在球面坐标系中的坐标转换为直 角坐标系中的坐标。
坐标系的扩展与推广
参数方程表示
通过引入参数方程来表示点的位置， 使得点的表示更加灵活和多样。
多维空间坐标系
将二维或三维直角坐标系扩展到更高 维度的空间，用于描述更复杂的多维 几何对象。
05
空间直角坐标系的实践 案例
计算几何量
通过空间直角坐标系，可以方便地计算几何量，如两点之间的距离、 点到直线的距离等。
在物理学中的应用
01
பைடு நூலகம்
02
03
描述物体运动轨迹
在物理中，物体的运动轨 迹通常可以用空间直角坐 标系来表示。
描述力场和电场
通过空间直角坐标系，可 以描述各种物理场，如重 力场、电场等。
计算物理量
利用空间直角坐标系，可 以方便地计算物理量，如 速度、加速度等。
镜像坐标系
将坐标系沿某一轴进行对 称，得到镜像坐标系，如 极坐标系。
拉伸坐标系
通过拉伸坐标轴上的单位 长度来改变坐标系的尺度， 但不改变其方向。
坐标系的转换
笛卡尔坐标系到极坐标系的转换
通过极坐标与笛卡尔坐标之间的转换公式将点在笛卡尔坐标系中的坐标转换为 极坐标系中的坐标。
空间直角坐标系.ppt
即
0 32 y 12 0 12 0 02 y 12 0 22
解之得
y 3, 2
故所求点为
M
0,
3 2
,
0
.
例 3 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程， 所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平 面的方程式三元一次方程
Ax By Cz D 0,
其中 A, B,C, D 均为常数，A, B,C 且不全为0.
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
（2）过 B 点的中线长为________；（3）过 C 点中 线 长为___________；
6. 已知平行四边形 ABCD的两个顶点 A( 2 ,3 ,5 ), B(1 , 3 , 2 )及它的对角线的交点 E( 4 ,1 , 7 )，则 顶点 C 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标为_____ ______；
0 32 y 12 0 12 0 02 y 12 0 22
解之得
y 3, 2
故所求点为
M
0,
3 2
,
0
.
例 3 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程， 所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平 面的方程式三元一次方程
Ax By Cz D 0,
其中 A, B,C, D 均为常数，A, B,C 且不全为0.
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
（2）过 B 点的中线长为________；（3）过 C 点中 线 长为___________；
6. 已知平行四边形 ABCD的两个顶点 A( 2 ,3 ,5 ), B(1 , 3 , 2 )及它的对角线的交点 E( 4 ,1 , 7 )，则 顶点 C 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标为_____ ______；
课件高中数学_人教版必修：空间直角坐标系PPT课件_优秀版
x A (3, 0, 0)
B '(3, 4, 2)
4y
C (0, 4, 0)
B(3, 4, 0)
典型例题
例3 .结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成 是八个棱长为 1/2的小正方体堆积成的正方体), 其中色点代表钠原 子,黑点代表氯原子. 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部 钠原子所在位置的坐标.
数对（a,b,c)叫做点P的坐标 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
1
• （2）y轴对称的点P 为_(___x,_y_,___z_) ; 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
注意 空间直角坐标系的画法
（1）x轴对称的点P1为__________;
2
• （3）z轴对称的点P 为__(__x_, __y_, _z_) . 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
墙 墙
地面
新知探究
1.空间直角坐标系
如图,OABC-D1A1B1C1是单位正方体.以O为原点,分别以 射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的 长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.这时我们说 建立了一个空间直角坐标系O-xyz .
其中点O叫做坐标原点, x
z
Ⅲ
z
yz 面 (-x0 , -y0)
（2）y轴对称的点P2为__________; 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置. 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
zx面
Ⅱ
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.
B '(3, 4, 2)
4y
C (0, 4, 0)
B(3, 4, 0)
典型例题
例3 .结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成 是八个棱长为 1/2的小正方体堆积成的正方体), 其中色点代表钠原 子,黑点代表氯原子. 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部 钠原子所在位置的坐标.
数对（a,b,c)叫做点P的坐标 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
1
• （2）y轴对称的点P 为_(___x,_y_,___z_) ; 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
注意 空间直角坐标系的画法
（1）x轴对称的点P1为__________;
2
• （3）z轴对称的点P 为__(__x_, __y_, _z_) . 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
墙 墙
地面
新知探究
1.空间直角坐标系
如图,OABC-D1A1B1C1是单位正方体.以O为原点,分别以 射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的 长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.这时我们说 建立了一个空间直角坐标系O-xyz .
其中点O叫做坐标原点, x
z
Ⅲ
z
yz 面 (-x0 , -y0)
（2）y轴对称的点P2为__________; 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置. 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
zx面
Ⅱ
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.
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栏 目 链 接
系．给出顶点D1、B1、B的坐标，利用中点坐标公
式写出E、F点的坐标．
解析：建立如下图所示的坐标系．
方法一 点 E 在 xOy 面上的射影为 B，B(1，1，0)，竖坐标为 . 2
1 ∴E1，1，2.
栏 目 1链 接
点 F 在 xOy 面上的射影为 BD 的中点 G，竖坐标为 1，
解析：(1)关于xOy平面的对称点坐标为(1，－2，－
3)； 关于xOz平面的对称点坐标为(1，2，3)； 关于yOz平面的对称点坐标为(－1，－2，3)．
(2)关于x轴的对称点坐标为(1，2，－3)； 关于y轴的对称点坐标为(－1，－2，－3)； 关于z轴的对称点坐标为(－1，2，3)． (3)关于原点的对称点坐标为(－1，2，－3)．
1 1 ∴F2，2，1.
方法二 B1(1，1，1)、D1(0，0，1)、B(1，1，0)，E 为 B1B 中 点，F 为 B1D1 中点．
1＋1 1＋1 1＋0 1 ＝1，1， ， 故点 E 的坐标为 ， ， 2 2 2 2 1＋0 1＋0 1＋1 1 1 ＝ ， ，1. 点 F 的坐标为 ， ， 2 2 2 2 2
栏 目 链 接
规律总结：(1)能准确地确定空间任意一点的直角坐 标是利用空间直角坐标系的基础，因此一定要掌握
如下方法：过点M分别作三个坐标平面的平行平面
栏 目 (或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，确定x、y、链 接
z.具体理解可以以长方体为模型来进行． (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的坐标表 示的特征．
解析：如右图所示，过点A作AM⊥xOy交平面于点M，
并延长到点C，使AM＝CM，则点A与C关于坐标平面
xOy对称，且C(1，2，1)． 过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB， 则点A与B关于x轴对称且点 B(1，－2，1)．
栏 目 ∴A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1，2，1)； 链 接
第 2章
平面解析几何初步
2．3 空间直角坐标系 2．3.1 用 空间直角坐标系及其应
课 标 点 击
栏 目 链 接
1．掌握空间直角坐标系的有关概念． 2．会利用空间直角坐标系表示空间中的点的坐 标．
典 例 剖 析
栏 目 链 接
空间直角坐标系 如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是 BB1、D1B1的中点，棱长为1.求点E，F的坐标． 分析：以正方体顶点为坐标原点建立空间直角坐标
1 1 0，0)、(1，0，0)、(1，1，0)、(0，1，0)、2，2，0.
1 1 栏 1 目 中层原子竖坐标都为 ，所以这四个钠原子坐标为：2，0，2、 2 链
接
1 1 1 1 1 1 1， ， 、 ，1， 、0， ， . 2 2 2 2 2 2
a a 1 1 是 AC 的中点．显然 Q′的坐标为2，2，0.又 QQ′＝ CC′＝ a，所 2 2 a a a 以点 Q 的坐标为2，2，2.
目 链 接
空间中点对称问题
求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的
点的坐标．
栏 目 链 接
分析：解决本题的关键是明确各坐标轴，各坐标 平面对称的两点的坐标关系，可借助图形．
►变式训练 1．如右下图，在棱长为a的正方体OABCD′A′B′C原点，
OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，试写出点Q的 坐标．
解析：由立体几何知识容易知道：点 A，B，C′，D′组成平行 四边形，点 Q 是该平行四边形对角线 BD′和 AC′的交点．过点 Q 作 QQ′⊥平面 OABC， Q′是垂足(正射影)， 由于 Q 是 AC′的中点． 故 Q′ 栏
栏 目 链 接
空间直角坐标系的应用 晶体的基本单位称为晶胞，下图(1)是食盐晶胞的示 意图(可看成八个棱长为的小正方体堆积成的正方 体)，其中黑点代表钠原子，如下图(2)所示，建立
栏 目 链 接
空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位
置的坐标．
解析：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们的坐标．下 层都在 xOy 平面内，故竖坐标都为 0，故这五个钠原子坐标为：(0，
A(1，2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2，1)．
规律总结：对称关系可简记为“关于谁对 称谁不变，其余的均相反”．特别地，关
栏 目 链 接
于原点对称，三个坐标符号都要变．
►变式训练
2．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求
它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐 标．
栏 目 链 接
上层原子竖坐标都为 1，所以这五个钠原子坐标为：(0，0，1)、
1 1 (1，0，1)、(1，1，1)、(0，1，1)、2，2，1.
系．给出顶点D1、B1、B的坐标，利用中点坐标公
式写出E、F点的坐标．
解析：建立如下图所示的坐标系．
方法一 点 E 在 xOy 面上的射影为 B，B(1，1，0)，竖坐标为 . 2
1 ∴E1，1，2.
栏 目 1链 接
点 F 在 xOy 面上的射影为 BD 的中点 G，竖坐标为 1，
解析：(1)关于xOy平面的对称点坐标为(1，－2，－
3)； 关于xOz平面的对称点坐标为(1，2，3)； 关于yOz平面的对称点坐标为(－1，－2，3)．
(2)关于x轴的对称点坐标为(1，2，－3)； 关于y轴的对称点坐标为(－1，－2，－3)； 关于z轴的对称点坐标为(－1，2，3)． (3)关于原点的对称点坐标为(－1，2，－3)．
1 1 ∴F2，2，1.
方法二 B1(1，1，1)、D1(0，0，1)、B(1，1，0)，E 为 B1B 中 点，F 为 B1D1 中点．
1＋1 1＋1 1＋0 1 ＝1，1， ， 故点 E 的坐标为 ， ， 2 2 2 2 1＋0 1＋0 1＋1 1 1 ＝ ， ，1. 点 F 的坐标为 ， ， 2 2 2 2 2
栏 目 链 接
规律总结：(1)能准确地确定空间任意一点的直角坐 标是利用空间直角坐标系的基础，因此一定要掌握
如下方法：过点M分别作三个坐标平面的平行平面
栏 目 (或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，确定x、y、链 接
z.具体理解可以以长方体为模型来进行． (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的坐标表 示的特征．
解析：如右图所示，过点A作AM⊥xOy交平面于点M，
并延长到点C，使AM＝CM，则点A与C关于坐标平面
xOy对称，且C(1，2，1)． 过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB， 则点A与B关于x轴对称且点 B(1，－2，1)．
栏 目 ∴A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1，2，1)； 链 接
第 2章
平面解析几何初步
2．3 空间直角坐标系 2．3.1 用 空间直角坐标系及其应
课 标 点 击
栏 目 链 接
1．掌握空间直角坐标系的有关概念． 2．会利用空间直角坐标系表示空间中的点的坐 标．
典 例 剖 析
栏 目 链 接
空间直角坐标系 如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是 BB1、D1B1的中点，棱长为1.求点E，F的坐标． 分析：以正方体顶点为坐标原点建立空间直角坐标
1 1 0，0)、(1，0，0)、(1，1，0)、(0，1，0)、2，2，0.
1 1 栏 1 目 中层原子竖坐标都为 ，所以这四个钠原子坐标为：2，0，2、 2 链
接
1 1 1 1 1 1 1， ， 、 ，1， 、0， ， . 2 2 2 2 2 2
a a 1 1 是 AC 的中点．显然 Q′的坐标为2，2，0.又 QQ′＝ CC′＝ a，所 2 2 a a a 以点 Q 的坐标为2，2，2.
目 链 接
空间中点对称问题
求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的
点的坐标．
栏 目 链 接
分析：解决本题的关键是明确各坐标轴，各坐标 平面对称的两点的坐标关系，可借助图形．
►变式训练 1．如右下图，在棱长为a的正方体OABCD′A′B′C原点，
OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，试写出点Q的 坐标．
解析：由立体几何知识容易知道：点 A，B，C′，D′组成平行 四边形，点 Q 是该平行四边形对角线 BD′和 AC′的交点．过点 Q 作 QQ′⊥平面 OABC， Q′是垂足(正射影)， 由于 Q 是 AC′的中点． 故 Q′ 栏
栏 目 链 接
空间直角坐标系的应用 晶体的基本单位称为晶胞，下图(1)是食盐晶胞的示 意图(可看成八个棱长为的小正方体堆积成的正方 体)，其中黑点代表钠原子，如下图(2)所示，建立
栏 目 链 接
空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位
置的坐标．
解析：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们的坐标．下 层都在 xOy 平面内，故竖坐标都为 0，故这五个钠原子坐标为：(0，
A(1，2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2，1)．
规律总结：对称关系可简记为“关于谁对 称谁不变，其余的均相反”．特别地，关
栏 目 链 接
于原点对称，三个坐标符号都要变．
►变式训练
2．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求
它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐 标．
栏 目 链 接
上层原子竖坐标都为 1，所以这五个钠原子坐标为：(0，0，1)、
1 1 (1，0，1)、(1，1，1)、(0，1，1)、2，2，1.