空间直角坐标系及其应用课件

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系．给出顶点D1、B1、B的坐标，利用中点坐标公
式写出E、F点的坐标．
解析：建立如下图所示的坐标系．
方法一 点 E 在 xOy 面上的射影为 B，B(1，1，0)，竖坐标为 . 2
1 ∴E1，1，2.
栏 目 1链 接
点 F 在 xOy 面上的射影为 BD 的中点 G，竖坐标为 1，
1 1 ∴F2，2，1.
方法二 B1(1，1，1)、D1(0，0，1)、B(1，1，0)，E 为 B1B 中 点，F 为 B1D1 中点．
1＋1 1＋1 1＋0 1 ＝1，1， ， 故点 E 的坐标为 ， ， 2 2 2 2 1＋0 1＋0 1＋1 1 1 ＝ ， ，1. 点 F 的坐标为 ， ， 2 2 2 2 2
第 2章
平面解析几何初步
2．3 空间直角坐标系 2．3.1 用 空间直角坐标系及其应
课 标 点 击
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1．掌握空间直角坐标系的有关概念． 2．会利用空间直角坐标系表示空间中的点的坐 标．
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典 例 剖 析
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空间直角坐标系 如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是 BB1、D1B1的中点，棱长为1.求点E，F的坐标． 分析：以正方体顶点为坐标原点建立空间直角坐标
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空间直角坐标系的应用 晶体的基本单位称为晶胞，下图(1)是食盐晶胞的示 意图(可看成八个棱长为的小正方体堆积成的正方 体)，其中黑点代表钠原子，如下图(2)所示，建立
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空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在位
置的坐标．
解析：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们的坐标．下 层都在 xOy 平面内，故竖坐标都为 0，故这五个钠原子坐标为：(0，
上层原子竖坐标都为 1，所以这五个钠原子坐标为：(0，0，1)、
1 1 (1，0，1)、(1，1，1)、(0，1，1)、2，2，1.
a a 1 1 是 AC 的中点．显然 Q′的坐标为2，2，0.又 QQ′＝ CC′＝ a，所 2 2 a a a 以点 Q 的坐标为2，2，2.
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空间中点对称问题
求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的
点的坐标．
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分析：解决本题的关键是明确各坐标轴，各坐标 平面对称的两点的坐标关系，可借助图形．
解析：(1)关于xOy平面的对称点坐标为(1，－2，－
3)； 关于xOz平面的对称点坐标为(1，2，3)； 关于yOz平面的对称点坐标为(－1，－2，3)．
(2)关于x轴的对称点坐标为(1，2，－3)； 关于y轴的对称点坐标为(－1，－2，－3)； 关于z轴的对称点坐标为(－1，2，3)． (3)关于原点的对称点坐标为(－1，2，－3)．
1 1 0，0)、(1，0，0)、(1，1，0)、(0，1，0)、2，2，0.
1 1 栏 1 目 中层原子竖坐标都为 ，所以这四个钠原子坐标为：2，0，2、 2 链
接
1 1 1 1 1 1 1， ， 、 ，1， 、0， ， . 2 2 2 2 2 2
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规律总结：(1)能准确地确定空间任意一点的直角坐 标是利用空间直角坐标系的基础，因此一定要掌握
如下方法：过点M分别作三个坐标平面的平行平面
栏 目 (或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，确定x、y、链 接
z.具体理解可以以长方体为模型来进行． (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的坐标表 示的特征．
►变式训练 1．如右下图，在棱长为a的正方体OABCD′A′B′C′
中，对角线AC′与BD′相交于点Q.顶点O为坐标原点，
OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，试写出点Q的 坐标．
解析：由立体几何知识容易知道：点 A，B，C′，D′组成平行 四边形，点 Q 是该平行四边形对角线 BD′和 AC′的交点．过点 Q 作 QQ′⊥平面 OABC， Q′是垂足(正射影)， 由于 Q 是 AC′的中点． 故 Q′ 栏
A(1，2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2，1)．
规律总结：对称关系可简记为“关于谁对 称谁不变，其余的均相反”．特别地，关
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于原点对称，三个坐标符号都要变．
►变式训练
2．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求
它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐 标．
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解析：如右图所示，过点A作AM⊥xOy交平面于点M，
并延长到点C，使AM＝CM，则点A与C关于坐标平面
xOy对称，且C(1，2，1)． 过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB， 则点A与B关于x轴对称且点 B(1，－2，1)．
栏 目 ∴A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1，2，1)； 链 接