材料力学课件_平面图形的几何性质.

2.形心坐标公式
x
xd
A
A

Sy
A
A
y A y d A Sx
A
A
3.静矩与形心坐标的关系
Sy Ax Sx A y
推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。
二、讨论：
1.组合截面的静矩
根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于 它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：
I x0

Ix
Iy 2

1 2


I
y0

Ix
Iy 2

1 2
Ix
Iy
2

4
I
2 xy
Ix
Iy
2

4
I
2 xy
结论：
若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另 一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。
若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。
(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。
3.主惯性轴位置的确定
设坐标轴转动角度为0，则由惯性积的转轴公式及主惯性 轴的定义，得：
经整理，得
Ix
2
I
y
sin
2 0

I xy
cos 20

0
tan 20

2Ixy Ix Iy
4.主惯性矩的确定
由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯 性矩的转轴公式 ，化简后可得主惯性矩的计算公式如下：
注： 式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。
例I—4：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。
y
y b(y)
C
yc
d
解： （1）求形心坐标
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
xc

d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
yc

Sx A

d 3 12 πd 2 8
目录
§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积
1.极惯性矩（或截面二次极矩）
y
I p
2d A
A
2.惯性矩（或截面二次轴矩）
y
I y
x2 d A
A
I x
y2d A
A
O
由于 2 y2 x2
dA
x
x
所以
Ip
2 d A
A
(y2
A
x2)
dA IxIy
本章重点
1、静矩与形心 2、惯性矩、极惯性矩和惯性积 3、平行移轴公式、转轴公式
关键概念
静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形 心主惯性轴
目录
§ -1 静矩和形心 § I-2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积 § -3 平行移轴公式 § -4 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的
主惯性轴和主惯性矩
目录
§-3 平行移轴公式
1.平行移轴公式推导
y
yc
x xc dA yc
左图是一面积为A的任意形状的平
面，c为其形心，xcyc为形心坐标轴。与 该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为
xy ,形心c在oxy坐标系下的坐标为(a , b)
Cபைடு நூலகம்
xc
任意微面元dA在两坐标系下的
y
坐标关系为：
Ob
x
x xC b y yC a
I2 xc yc
57.4104 mm 4
目录
2
128
d2
8

2d
3

2


d 8
2
2d
3

a
2

思考题I—2：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点
Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有
四种答案(已知b>a)：
（A）Ixy＞０ ( C ) Ixy=０
（B） Ixy<０ （D） Ix=Iy

3

4bh2

zC


Sy A

15 2bh
2h 5

3
O
y
y dy
b
例I—2：确定图示图形形心C的位置。
解：
yC

Sz A
10 120 5 70 10 45 19.7mm 1200 700
zC

Sy A
10120 60 70105 39.7mm 1200 700
推论：具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的 主惯性轴。
6.主惯性矩:平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。
7.形心主惯性轴:过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。
8.形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形 心主惯性矩。
性矩。
y
解： 取平行于x轴的狭长条
h dy
y
则 dA=b dy
I x
y2d A
A
h
2 h
2
by2
d
y

bh3 12
同理
I
y

hb3 12
C
x
b
思考题I—1：平行四边形对形心轴x 的惯性矩应怎样计算？
5.主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积 I y0z0 =0时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。

Ix
2
Iy
sin
2

I xy
cos 2
规定：上式中的 的符号为：逆时针为正，顺时针为负。
讨论： 将上述转轴公式中的前两式相加可得：
I x1 I y1 I x I y
即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的 两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯 性矩。
2.截面的主惯性轴和主惯性矩
n
x
Sy A

Ai xi
i 1
，
n
Ai
i 1
n
y

Sx A

Ai yi
i 1
n
Ai
i 1
例I—1：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z 轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z
z

h1

y2 b2

解：
O
y
Sy

z dA A2
b 0
1
yc0
bⅡ
20 227 .6 0 113 .8
10 Ⅱ
I xc0
Imax
I xc
I yc 2
1 2
I xc
I yc
2

4
I2 xc yc
321 104 mm 4
I yc0
Imin

I xc
I yc 2
1 2
I xc I yc
2

4
n
S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
式中： xi , yi和 Ai 分别为第i个简单图形的形心坐标和面积。
2.组合截面的形心坐标公式
组合截面静矩
n
S y Ai xi i1
组合截面面积
n
S x Ai yi i1
n
A Ai i 1
组合截面的形心坐标公式为：
I 、 I , I 、 I xc1
yc1
xc 2
yc 2
（3）由平行移轴公式求整个截面的 I xc 、 I yc 、 I xc yc
xc0
yC 120
（4）由转轴公式得
80 aⅡ 20 10
40 C
bⅠ Ⅰ
aⅠ
xC
tan 20

2I xc yc I xc I yc
1.093
=113°.8
I x
y2 d A
A
A yc a2 d A
A yc 2 d A 2a A yc d A a2 A d A
I xc Sxc a2 A
I xc a2 A
同理，有：
I y

I yc
b2A
I xy I xc yc abA
（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意 两正交坐标轴的惯性矩之和。）
3.惯性积
y dA
I xy
xy d A
A
y
（其值可为正、为负或为零)
结论：截面对于包含对称轴在内
O
x
x
的一对正交轴的惯性积为0。
4.惯性半径
iy
Iy A
ix
I x （单位：长度的一次方） A
例I—3：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯
y
y
A dA
C E
D
O
x
B
新坐标系ox1y1 旧坐标系o x y
x1 x cos y sin y1 y cos x sin
将上述关系代入平 面图形对x1轴的惯性矩：
x
I x1 A y12 d A
Ix1
cos2
y2 d A sin2
A
x2 d A 2sin cos
§ -1 静矩和形心
y
一、基本概念
dA
1. 静矩（或一次矩）
C
y
y
x dA ——微面积对y轴的静矩
y dA ——微面积对x轴的静矩
O
x
x
x
S y
xd A
A
——整个平面图形对y轴的静矩
Sx
ydA
A
——整个平面图形对x轴的静矩
常用单位：m3 或mm3 。 数 值：可为正、负或 0 。
从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积
将随着角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的 角度0，使截面对与该角对应的新坐标轴x0、y0的惯性积为零。
依此进行如下定义：
(1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。
(2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。
(3) 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。
（思考题I—2）A
y
bO
（思考题I—3）
x
a
y a

x
Ba
D
思考题I—3：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的
任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:
(1)惯性积Ixy＝＿＿ (2)惯性矩Ix＝＿＿ 、 Iy＿＿＿。
目录
§-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的 主惯性轴和主惯性矩
1. 转轴公式

2d 3π
b( y) 2 R2 y2
（2）求对形心轴xc的惯性矩
Ix

πd 4 2
64

πd 4 128
由平行移轴公式得：
I xc

Ix

(
yc
)
2

πd 8
2

πd 4 128
d4
18π
例I—5：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy
z
z
a
a
y
y
a
a
d
d
解：
Iy

d (2a)3 12
d 4
若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯 性轴，且主惯性矩相等。
例I—6：计算截面的形心主惯性矩。
80 aⅡ 20 10
y
C
40
C bⅡ 10 Ⅱ
120 bⅠ
aⅠ
解：作形心坐标轴xcyc 如
Ⅰ
图所示。
（1）求形心坐标：
xC
(aⅠ, bⅠ) 、 (aⅡ , bⅡ )
（2）求对自身形心轴的惯性矩。
A
xy d A
A
Ix cos2 I y sin2 2Ixy sin cos
利用三角函数整理上式，得转轴公式 ：
I x1

Ix
2
Iy

Ix
Iy 2
cos 2

I xy sin 2
同理得：
I y1

Ix
2
Iy

Ix
2
Iy
cos 2

I xy sin 2
I x1y1
h
2
1

2
y2 2
b2

dy

4bh 2 15
Sz

y dA
A

b 0
yh1

y2 b2

d
y

b2h 4
z
A

dA
A

b 0
h1
y2 b2
dy

2bh 3
h
形心坐标为:

bh2
yC

Sz A

4 2bh

3b 8