概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-第四节-条件概率
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“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大”
概率统计
设：Ai 表示“第 i 个人抽到入场券”，i＝1,2,3,4,5
则：Ai表示
显然：P( A1 )
“第
1
5
i
,
个人未抽到入场券”
4 P( A1 ) 5 ,
由此得出： 第1个人抽到入场券的概率是 1/5
由于： A2 A1 A2
所以由乘法公式 ：
因为若第2个人 抽到了入场券，
注
▲ 类似可以定义:
P(B)
P(B A)
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)
▲ 条件概率符合概率定义中的三条公理：
非负性
★ 对每个事件B,有: P(B A) 0
★ P(S A) 1
规范性
★ 设 B1 , B2 ,L L 是两两互不相容的事件,
U 则有
P( Bi A) P(Bi A)
P( A3 A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) 1 7 (1 1) 9 (1 7 )(1 1) 197
2 10 2 10 10 2 200
P(B) 1 P(B) 1 197 3
200 200
概率统计
三. 全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法 公式的综合运用.
这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，
则此时不妨设 S ={1,2,…..,100}，由题意可得：
p
5 100
5 10000
100
该地区既是疑似病人 又是非典病人的概率 该地区疑似病人的概率
10000
P( AB ) P( A B) P(B)
某这一是非附典加疫了情条地件区B有的一概万人率，（某有一条阶件段概发率现）有
的概率为 1 ，若第一次落下时未打破，第二次
2
落下破的概率为
7
,若前两次落下未打破，第
10
三次打破的概率为
9
.
10
试求：透镜落下三次未打破的概率。
解： 设 Ai : “透镜第 i 次落下打破”,i 1,2,3
B : “透镜落下三次而未打破”.
解法1. 因为：B A1 A2 A3 , 所以有：
P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A3 A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 )
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
概率统计
二. 乘法原理
由条件概率的定义：P( A |
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：
从效果上看，每一次取出的球是什么颜色就 会增加了下一次也取到这种颜色球的概率。
因此，从中得到了一个如同传染病现象的粗 糙的数学模型。其中，每一次传染后都会增加 了再被传染的概率。
概率统计
例4. 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容 易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽 签的方法来解决。 入场 券
3
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
i 1
解: 设 Wi ={第 i 次取出是白球}, i = 1, 2, 3, 4
Rj ={第 j 次取出是红球}， j = 1, 2, 3, 4
b个白球, r 个红球
概率统计
于是：W1W2 R3 R4 表示事件：
连续取四个球,第一、第二个 是白球，第三、四个是红球.
用乘法公式容易求出： P(W1W2 R3 R4 )
2. 由条件概率的概念是否可以得出两个 事件乘积的概率？
3. 无条件概率 P(A)、条件概率 P( A B) 与乘积概率 P(AB)的区别是什么？
概率wenku.baidu.com计
1.定义： 设A, B是两个事件，则称 P( A B) 为在事件
B 发生的条件下事件 A 发生的 条件概率 .
记为 P( A B) P( AB) 其中 P(B) 0
0.536
P(C
AB)
C22 C62
0.067
10瓶名酒，其中 部优7瓶，国优3 瓶，第一人拿到 两瓶优名酒同时 第二人拿到部优、 国优名酒各一瓶， 第三个拿到两瓶
国优名酒。
故得：P( ABC ) 0.467 0.536 0.067 0.017
概率统计
例6．设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破
综合运用
加法公式 P(A+UB)= P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
概率统计
引例 有三个箱子分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红 球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球
求: 取得红球的概率.
可列可 加性
i 1
i 1
概率统计
2．性质 在第三节中概率的性质1至性质5对条件概率都成立 常用的有：
(1) P( B) 0
(2) P( A B) 1 P( A B) (3) P( A1 U A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B) 3. 条件概率的计算 （1) 用定义计算:
定理1：设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
(2) P( A1 A2 L An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
解：记 Ai={球取自i号箱},
i =1,2,3
1
2
3
B={取得红球}
注意到： B发生总是伴随着A1, A2, A3 之一同时发生
即： B A1B U A2B U A3B
且: A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式
P(B) P( A1B) P( A2B) P( A3B)
概率统计
P(B) P( A1B) P( A2B) P( A3B)
此题10的0人结为论疑：似该病地人区,有由1疑0人似为病非人典转病为人非,典其病中人5的人概 为由疑似病率人为转5为%非，典要病比人没。有附加条件“疑似病 A: 非典人病”人时的概B率: 疑大似50病倍人。
概率统计
提出三个问题：
1. 对于一般具有附加条件的概率问题是 否也一定具有引例中的表达形式 ？
Q AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36
样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
例3 波里亚罐子模型
一个罐子中包含b个白球和 r 个 红球. 随机地抽取一个球观看颜色 后放回罐中，并且再加进 c 个与 所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次。
随机取一个球，观 看颜色后放回罐中， 并且再加进C 个与 所抽出的球具有相 同颜色的球.
试求：第一、二次取到白球且 第三、四次取到红球的概率
P(B | A) P( AB) P(B) P( A) P( A)
A
活到
活到
20年 B 25年
以上
以上
0.4 0.5 0.8
概率统计
归纳
无条件概率 P(A)、条件概率 P(A|B) 及 P(AB) 的区别
★ 每一个随机试验都是在一定条件下进行的， 若设其样本空间为 S
概率统计
A B AB S
5张同样的卡片只有一张上写有“入场券”，其余的 什么也没写。现将它们放在一起洗匀,让5个人依次抽 取 问：后抽的人一定比先抽的人吃亏吗?
概率统计
“大家不必争先恐后，你们一个 一个按次序来，谁抽到 ‘入场券’ 的机会都一样大”。 到底谁说的对呢？请用已学的条件概 率、乘法定理来计算一下,每个人抽 到“入场券”的概率到底有多大?
解：设 A { 第一个拿到两瓶部优名酒 } B { 第二个拿到部优、国优名酒各一瓶} C { 第三个拿到两瓶国优名酒 }
概率统计
显然, 所求事件的概率为：
P( ABC ) P( A) P(B A) P(C AB)
而：P( A)
C72 C120
0.467
P(B
A)
C51 C31 C82
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率. 解: 设 事件A: {非典病人}，事件B: {疑似病人}
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2,L ,10000}
显然：P( A) 10 0.1% （千分之一） 10000
这是没有附加条件的概率 （无条件概率）
概率统计
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
分别表示第一颗,第二颗骰子的点数, 且设:
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 , B ( x1, x2 ) x1 x2
求： P(B A), P( A B) 解：依题意, 样本空间为：
S {(1,1), (1,2) (1,6) (2,1), (2,2)
(2,6) (6,1), (6,2) (6,6)} ------36种
概率统计
(1 9 ) (1 7 ) (1 1) 3
10
10
2 200
解法2. Q B A1 U A1A2 U A1A2 A3 , 而 A1与 A1 A2 及
A1 A2 A3 是两两互斥的事件，故有：
P(B) P(A1) U P(A1A2 ) U P(A1A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A1 )
第一章知识结构图
基本概念与运算 ( 随机试验,事件,样本空间 )
频率与概率
统计定义
古典定义
公理化定义
条件概率
独立性
概率统计
全概率公式与贝叶斯公式
第四节 条 件 概 率
一．条 件 概 率
引例．某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有 100人为疑似病人,有10人为非典病人, 其中 5人 为由疑似病人转为非典病人。
A {(5,5),(4,6),(6,4)}
------ 3种
B {(2,1), (3,2), (3,1), (4,3), (4,2), (4,1)
(6,5), (6,4) (6,1)} ------ 15种
概率统计
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
P( A | B) P( AB) , P(B)>0 P(B)
概率统计
（2) 在缩减的样本空间中计算:
例如 A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
则: P( A B) 1 3
B发生后的缩减 样本空间所含样
本点总数
在缩减 样本空 间中A 所含样 本点个
数
掷骰子
概率统计
例1．掷两颗骰子,观察出现的点数, 设 x1 , x2
b个白球, r 个红球
= P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2 R3)
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
概率统计
波里亚罐子模型的意义：
按照模型的要求，当每一次抽取后，这时与 取出的球有相同颜色的球的数目得到增加，而 与取出的球的颜色不同的球的数目保持不变。
概率统计
L P( An A1 A2 L An1 )
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率 为0.8，活到25年以上的概率为0.4.
问：现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上 的概率是多少？
解：设 A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
则所求为 P(B|A) . 依题意: P(A) = 0.8, P(B) = 0.4
4 5
3 4
1 3
1 5
继续做下去就会发现, 每个人抽
到“入场券” 的概率都是 1/5
有关抽签顺序问题的正确解答：
抽签不必争先恐后.
概率统计
例5．箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优 名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中 随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶．
问：恰好第一个人拿到两瓶部优名酒，同时第二 个人拿到部优、国优名酒各一瓶，第三个人 拿到两瓶国优名酒的可能性有多大?
P( A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) 则第1个人肯定
计算得:
41 1 P( A2 ) 5 4 5
没抽到。
即：第2个人抽到入场券的概率也是1/5.
概率统计
同理， 第3个人要抽到“入场券”，必 须
因此： 第1、第2个人都没有抽到.
由乘法 公式
P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
概率统计
设：Ai 表示“第 i 个人抽到入场券”，i＝1,2,3,4,5
则：Ai表示
显然：P( A1 )
“第
1
5
i
,
个人未抽到入场券”
4 P( A1 ) 5 ,
由此得出： 第1个人抽到入场券的概率是 1/5
由于： A2 A1 A2
所以由乘法公式 ：
因为若第2个人 抽到了入场券，
注
▲ 类似可以定义:
P(B)
P(B A)
P( AB) ,(P( A) 0)
P( A)
▲ 条件概率符合概率定义中的三条公理：
非负性
★ 对每个事件B,有: P(B A) 0
★ P(S A) 1
规范性
★ 设 B1 , B2 ,L L 是两两互不相容的事件,
U 则有
P( Bi A) P(Bi A)
P( A3 A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) 1 7 (1 1) 9 (1 7 )(1 1) 197
2 10 2 10 10 2 200
P(B) 1 P(B) 1 197 3
200 200
概率统计
三. 全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复 杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法 公式的综合运用.
这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，
则此时不妨设 S ={1,2,…..,100}，由题意可得：
p
5 100
5 10000
100
该地区既是疑似病人 又是非典病人的概率 该地区疑似病人的概率
10000
P( AB ) P( A B) P(B)
某这一是非附典加疫了情条地件区B有的一概万人率，（某有一条阶件段概发率现）有
的概率为 1 ，若第一次落下时未打破，第二次
2
落下破的概率为
7
,若前两次落下未打破，第
10
三次打破的概率为
9
.
10
试求：透镜落下三次未打破的概率。
解： 设 Ai : “透镜第 i 次落下打破”,i 1,2,3
B : “透镜落下三次而未打破”.
解法1. 因为：B A1 A2 A3 , 所以有：
P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A3 A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 )
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 x1 , x2分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 B ( x1, x2 ) x1 x2
概率统计
二. 乘法原理
由条件概率的定义：P( A |
B)
P( AB) P(B)
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即有：
从效果上看，每一次取出的球是什么颜色就 会增加了下一次也取到这种颜色球的概率。
因此，从中得到了一个如同传染病现象的粗 糙的数学模型。其中，每一次传染后都会增加 了再被传染的概率。
概率统计
例4. 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容 易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽 签的方法来解决。 入场 券
3
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
i 1
解: 设 Wi ={第 i 次取出是白球}, i = 1, 2, 3, 4
Rj ={第 j 次取出是红球}， j = 1, 2, 3, 4
b个白球, r 个红球
概率统计
于是：W1W2 R3 R4 表示事件：
连续取四个球,第一、第二个 是白球，第三、四个是红球.
用乘法公式容易求出： P(W1W2 R3 R4 )
2. 由条件概率的概念是否可以得出两个 事件乘积的概率？
3. 无条件概率 P(A)、条件概率 P( A B) 与乘积概率 P(AB)的区别是什么？
概率wenku.baidu.com计
1.定义： 设A, B是两个事件，则称 P( A B) 为在事件
B 发生的条件下事件 A 发生的 条件概率 .
记为 P( A B) P( AB) 其中 P(B) 0
0.536
P(C
AB)
C22 C62
0.067
10瓶名酒，其中 部优7瓶，国优3 瓶，第一人拿到 两瓶优名酒同时 第二人拿到部优、 国优名酒各一瓶， 第三个拿到两瓶
国优名酒。
故得：P( ABC ) 0.467 0.536 0.067 0.017
概率统计
例6．设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破
综合运用
加法公式 P(A+UB)= P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
概率统计
引例 有三个箱子分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红 球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红 球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球
求: 取得红球的概率.
可列可 加性
i 1
i 1
概率统计
2．性质 在第三节中概率的性质1至性质5对条件概率都成立 常用的有：
(1) P( B) 0
(2) P( A B) 1 P( A B) (3) P( A1 U A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B) 3. 条件概率的计算 （1) 用定义计算:
定理1：设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
P( AB) P(B)P( A B) P( A)P(B A)
注 乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
(1) P(ABC) P( A) P(B A) P(C AB)
其中: P(AB) > 0
(2) P( A1 A2 L An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
解：记 Ai={球取自i号箱},
i =1,2,3
1
2
3
B={取得红球}
注意到： B发生总是伴随着A1, A2, A3 之一同时发生
即： B A1B U A2B U A3B
且: A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式
P(B) P( A1B) P( A2B) P( A3B)
概率统计
P(B) P( A1B) P( A2B) P( A3B)
此题10的0人结为论疑：似该病地人区,有由1疑0人似为病非人典转病为人非,典其病中人5的人概 为由疑似病率人为转5为%非，典要病比人没。有附加条件“疑似病 A: 非典人病”人时的概B率: 疑大似50病倍人。
概率统计
提出三个问题：
1. 对于一般具有附加条件的概率问题是 否也一定具有引例中的表达形式 ？
Q AB { (6, 4) } P( AB) 1 ,
又 : P( A) 3 , 36
P(B) 15 36
从而: P(B A) P( AB) 1 P( A) 3
36
样本空间S有36 个方基法本2: 事在件缩;减 A的中样有本3空个间基本S A 事和件S;B B中中计有算15
P( A B) P( AB) 1 个基本事件 P(B) 15
例3 波里亚罐子模型
一个罐子中包含b个白球和 r 个 红球. 随机地抽取一个球观看颜色 后放回罐中，并且再加进 c 个与 所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次。
随机取一个球，观 看颜色后放回罐中， 并且再加进C 个与 所抽出的球具有相 同颜色的球.
试求：第一、二次取到白球且 第三、四次取到红球的概率
P(B | A) P( AB) P(B) P( A) P( A)
A
活到
活到
20年 B 25年
以上
以上
0.4 0.5 0.8
概率统计
归纳
无条件概率 P(A)、条件概率 P(A|B) 及 P(AB) 的区别
★ 每一个随机试验都是在一定条件下进行的， 若设其样本空间为 S
概率统计
A B AB S
5张同样的卡片只有一张上写有“入场券”，其余的 什么也没写。现将它们放在一起洗匀,让5个人依次抽 取 问：后抽的人一定比先抽的人吃亏吗?
概率统计
“大家不必争先恐后，你们一个 一个按次序来，谁抽到 ‘入场券’ 的机会都一样大”。 到底谁说的对呢？请用已学的条件概 率、乘法定理来计算一下,每个人抽 到“入场券”的概率到底有多大?
解：设 A { 第一个拿到两瓶部优名酒 } B { 第二个拿到部优、国优名酒各一瓶} C { 第三个拿到两瓶国优名酒 }
概率统计
显然, 所求事件的概率为：
P( ABC ) P( A) P(B A) P(C AB)
而：P( A)
C72 C120
0.467
P(B
A)
C51 C31 C82
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率. 解: 设 事件A: {非典病人}，事件B: {疑似病人}
(1) 若求 P(A), 则此时 S {1, 2,L ,10000}
显然：P( A) 10 0.1% （千分之一） 10000
这是没有附加条件的概率 （无条件概率）
概率统计
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：p
分别表示第一颗,第二颗骰子的点数, 且设:
A ( x1, x2 ) x1 x2 10 , B ( x1, x2 ) x1 x2
求： P(B A), P( A B) 解：依题意, 样本空间为：
S {(1,1), (1,2) (1,6) (2,1), (2,2)
(2,6) (6,1), (6,2) (6,6)} ------36种
概率统计
(1 9 ) (1 7 ) (1 1) 3
10
10
2 200
解法2. Q B A1 U A1A2 U A1A2 A3 , 而 A1与 A1 A2 及
A1 A2 A3 是两两互斥的事件，故有：
P(B) P(A1) U P(A1A2 ) U P(A1A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A1 )
第一章知识结构图
基本概念与运算 ( 随机试验,事件,样本空间 )
频率与概率
统计定义
古典定义
公理化定义
条件概率
独立性
概率统计
全概率公式与贝叶斯公式
第四节 条 件 概 率
一．条 件 概 率
引例．某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有 100人为疑似病人,有10人为非典病人, 其中 5人 为由疑似病人转为非典病人。
A {(5,5),(4,6),(6,4)}
------ 3种
B {(2,1), (3,2), (3,1), (4,3), (4,2), (4,1)
(6,5), (6,4) (6,1)} ------ 15种
概率统计
方法1: 在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 P ( A B ) 公式计算
P( A | B) P( AB) , P(B)>0 P(B)
概率统计
（2) 在缩减的样本空间中计算:
例如 A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
则: P( A B) 1 3
B发生后的缩减 样本空间所含样
本点总数
在缩减 样本空 间中A 所含样 本点个
数
掷骰子
概率统计
例1．掷两颗骰子,观察出现的点数, 设 x1 , x2
b个白球, r 个红球
= P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2 R3)
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
概率统计
波里亚罐子模型的意义：
按照模型的要求，当每一次抽取后，这时与 取出的球有相同颜色的球的数目得到增加，而 与取出的球的颜色不同的球的数目保持不变。
概率统计
L P( An A1 A2 L An1 )
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率 为0.8，活到25年以上的概率为0.4.
问：现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上 的概率是多少？
解：设 A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
则所求为 P(B|A) . 依题意: P(A) = 0.8, P(B) = 0.4
4 5
3 4
1 3
1 5
继续做下去就会发现, 每个人抽
到“入场券” 的概率都是 1/5
有关抽签顺序问题的正确解答：
抽签不必争先恐后.
概率统计
例5．箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优 名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中 随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶．
问：恰好第一个人拿到两瓶部优名酒，同时第二 个人拿到部优、国优名酒各一瓶，第三个人 拿到两瓶国优名酒的可能性有多大?
P( A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) 则第1个人肯定
计算得:
41 1 P( A2 ) 5 4 5
没抽到。
即：第2个人抽到入场券的概率也是1/5.
概率统计
同理， 第3个人要抽到“入场券”，必 须
因此： 第1、第2个人都没有抽到.
由乘法 公式
P( A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )